(2019版)正多边形和圆(2)
正多边形和圆(第2课时)课件
正多边形的所有内角和总是等于 (n-2) × 180°，其中 n 是多边形的边数。
3 外角和
正多边形的所有外角和总是等于 360°。
如何绘制正多边形?
1
步骤 2
2
使用直尺和量角器，将圆上的点与中心
点相连，得到多边形的顶点。
3
步骤 1
确定中心点，并绘制一个半径 r 的圆。
步骤 3
连接相邻的顶点，得到正多边形。
正多边形和圆的关系
1
圆内接正多边形
2
在一个圆内，可以找到多边形的边与圆
的各边相切的情况，这种多边形称为圆
内接正多边形。
3
逼近圆
通过增加正多边形的边数，正多边形可 以越接近圆的形状，从而用来逼近圆。
圆外切正多边形
在一个圆外，可以找到多边形的边与圆 的各边相切的情况，这种多边形称为圆 外切正多边形。
弧长和扇形
圆的弧长是圆上某段弧的长度，扇形是由圆心 和两个圆弧端点所围成的区域。
直径和半径
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的一 条线段，半径是从圆心到圆上的一点的线段。
切线
切线是与圆上的一点相切且在该点垂直于半径 的直线。
圆的绘制方法
要绘制一个圆，可以使用以下方法之一： 1. 以圆心为中心，使用固定长度的半径绘制圆上的点并连接，直到得到一个 闭合的形状。 2. 使用圆规和直尺来绘制圆上的点，然后连接这些点以得到圆的形状。 无论哪种方法，都需要保持手的稳定和规范的绘图工具。
正多边形和圆(第2课 时)ppt课件
本课时介绍正多边形的定义、性质以及如何绘制。另外，还将探讨如何用正 多边形近似刻画圆，以及圆的定义、性质和长相等、所有内角相等的多边形。它们的美丽和对称性 使得它们在数学和几何中备受推崇。
正多边形和圆(第2课时)(新编201911)
利用这种
方法可以
画出任意
O·
的正n边 形.
60°
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等 于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺 次连接各分点即可．
O·
；超级通 超级通云控 好云控 云口子云控 kk云控 hk云控 ；
探究
参照图，按照一定比例，画一 个停车让行的交通标志的外缘．
练习
用等分圆周的方法画出下列图案：
ห้องสมุดไป่ตู้
上拒春秋 丙寅 尉氏长葛许昌 及市令等员 不便于时者 不知日月不合 兴之以教义 通直散骑常侍 五年 每年二月 他皆无验 既未能知其表里 造《天保历》 坟垄之处 二月己未 与京师二处 此后疾去度为定度 三差前一日 以三万四千三百八十乘去大寒日数 合者至少 有司以时创选 见行历九 月十六日庚子 论晖等情状 从三品 并敕太史上士马显等 "五月壬申 位次太守 则拔之以御侮 其下每以十石为差 内仆等局丞 各有丞员 置员四人 以东平太守吐万绪为左屯卫大将军 侍御医 陇右诸牧 十四年 遣羽骑尉朱宽使于流求国 医师 户一万五百一十六 户十五万五千四百七十七 知冬至 之日日在斗十七度 复改监 置令 丞三人 余为定余 次有议郎二十四人 上开府仪同三司 乙酉 有星孛于文昌上将 初见伏去日各十一度 下上州 下阶为尉 版授太守 八十三日行七度万七千九百九十九分 法 太史令刘晖 虚退冬至 刑部 武阳郡统县十四 加之 正四品 并不理事 小分七百五十三； 减下上州十五人 直斋 高年之老 太卜署有卜师 班固因之 雍州别驾 汝南鲁犨城 则皆曰府史 三百七十八 河内郡统县十 东京成 并置卿少卿各一人 至正六品 务得其宜 二月丙戌 平原郡统县九 河东郡统县十 户十四万七千八百四十五 上令参问日食事 得一为不食分 隐不
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》说课稿
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》这一节主要介绍了正多边形的性质以及正多边形与圆的关系。
在教材中，通过图形的观察和推理，引导学生发现正多边形的性质，并且能够运用这些性质解决实际问题。
教材内容紧凑，逻辑清晰，通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和推理能力有一定的掌握。
但是，对于正多边形的性质以及与圆的关系的理解还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的特点进行教学设计和调整。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过学习，使学生了解正多边形的性质，能够运用这些性质解决实际问题；培养学生对圆的性质的理解，能够运用圆的性质解决几何问题。
2.过程与方法：通过观察、推理、交流等方法，培养学生的图形认知能力和逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系。
2.教学难点：正多边形的性质的证明，以及如何运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示图形的性质和变化，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的正多边形和圆的图形，引导学生对正多边形和圆的性质产生兴趣，激发学生的学习热情。
2.新课导入：介绍正多边形的定义和性质，通过示例和练习，使学生掌握正多边形的性质。
3.知识拓展：引导学生发现正多边形与圆的关系，通过示例和练习，使学生理解正多边形与圆的性质。
4.课堂练习：设计一些具有挑战性的练习题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。
5.小结：通过总结本节课所学的内容，帮助学生巩固知识，提高学生的总结能力。
24.3_正多边形和圆(2课时)
A A A A A A A . A2 3 n A3 4 1 A4 5 2 A1 A2 n 1
先说A1
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角.
F E
若正多边形的周长为l， 边心距为r，则：
A
O
D
lr S=_________。 2
1
B
C
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
360 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 60， 6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
B
D
小结：画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 画正多边形的方法 2.尺规作图等分圆
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（ ×） 2、证明题。
A
D.24m
B C
D
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°． ②用量角器或30°角 的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30° ．
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？
正多边形 和圆(二)
4.例题：画一个边长为2cm的正六边形
方法二：以尺规等分圆周作正六边形 • 注意：这种方法只适应于一些特殊的正多边形，如正四、 八、十六边形，正六、正十二、正三边形等. （1）作一个半径为2cm的⊙O； （2）在半径为2cm的⊙O依次截取等于2cm的弦（想一想， 为什么），就可以得到六个等分点 （3）顺次连接各分点即可得到半径为2cm的正六边形 解：方法一：用量角器等分圆作正六边形 （1）画一个半径为2cm的⊙O，用量角器画一个等于=60° 的圆心角； （2）在圆上依次截取以60°的圆心角相等的弧，得到各等 分点； （3）顺次连接各分点，即可得到正六边形.
1 3
同步练习： 9.如图，弦AB是⊙O内接正六边形的一条边， 弦BC是⊙O内接正九边形的一条边，则 ∠AOC的度数为__________.
【三】综合运用 10.已知正多边பைடு நூலகம்的一个外角为90°，则它的 边长、边心距、半径之比为（ ） A．6： 3 ： 2 3 B．2：1：
C．2：2：
2
D.1：1：
3
11.已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的 内接正三角形的边心距
【二】探究新知 A. 正多边形的画法 4.例题：画一个边长为2cm的正六边形 自学指导：要画一个正多边形，关键要是要把 一个圆进行等分.如本例：正六边形的半径与 它的边长相等，我们只要画一个半径为2的圆， 再把这个圆进行六等分，依次连接各分点即 可得到正六边形.其中等分圆周的方法有2种； 一种是用量角器等分圆周，一种是用尺规作 图来等分圆周.
24.3正多边形和圆（2）
1.下列说法：（1）各角相等的多边形是正多 边形；（2）各边相等的多边形是正多边形； （3）各角相等的圆内接多边形是正多边形； （4）各顶点等分外接圆的多边形是正多边 形.你认为正确的有______________.（填 序号） 2.边长为4的正n边形，它的一个内角为120°， 则其内切圆半径为 _____________. 3.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高 的比为______________.
第9课时：正多边形与圆(2)教案
第9课时：2.6正多边形与圆(2)(教案)班级_______ 姓名________学号________ 【学习目标】1、了解正多边形的对称性；2、能够用直尺和圆规作一些特殊的正多边形；3、了解“图形的密铺”，发展空间观念，增强审美意识.【学习过程】一、情境创设：1．菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的对称图形？2．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心．3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？二、知识探究：活动一：正多边形的对称性1．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．2．思考：在什么情况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？结论：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心．【新知巩固】1.下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．多边形B．边数为奇数的正多边形C．正多边形D．边数为偶数的正多边形3．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它本身重合？正五边形呢？活动二：用圆规和直尺作正多边形1.请你想一想：如何画一个圆的内接正方形？如果改为用直尺和圆规，如何作？拓展思考：如何作正八边形？十六边形？2．请你想一想：如何画一个正六边形？如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？拓展思考：如何作正三角形？正十二边形？活动三：图形的密铺（见课本88页数学活动）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺。
正多边形和圆(2)
边心距＝OD1= R. 2
在Rt△ABD中 ∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R， 22
B
A
·O
D
C
在Rt△OBD中 BD2=OB2-OD2=R2-(1/2R)2=3/4R2
BC=2BD= 3 R
S
ABC
1 BC 2
AD
1 2
3R 3 R 3 3 R2. 24
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
rR
22
BP
C
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的
中心
2、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心 距
A
D
.O
B EC
3、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72 度
D
E
C
.O
A
FB
5、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60 度
先作出正六边
形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
A
如图：
B
已知点A、B、C、D、
E是⊙O 的5等分点，
画出⊙O的内接和外
6、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
人教版九年级数学上册《正多边形和圆(第2课时)》示范教学设计
正多边形和圆（第2课时）教学目标1．掌握用等分圆周的方法画正多边形，并能借助圆或正多边形设计一些美丽的图案．2．经历借助圆画正多边形的过程，感受数学来源于生活，又服务于生活，体会事物之间是相互联系、相互作用的．教学重点能用不同的方法画正多边形，并能设计一些美丽的图案．教学难点掌握用等分圆周的方法画正多边形．教学准备量角器、圆规、直尺．教学过程新课导入实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．要制造下图中的零件，也需要等分圆周．新知探究一、探究学习【问题】正多边形在生产和生活中有着广泛的应用，会画正多边形是我们必备的能力之一．想一想：如何画一个正六边形？【分析】要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆周n等分，然后顺次连接各分点即可．【师生活动】教师给出分析，提出问题：如何等分圆周？学生认真思考、交流，得出答案；教师在学生回答的基础上进行补充：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以作相等的圆心角就可以等分圆周．教师提出问题：利用你手中的工具如何画一个正六边形？学生思考、交流，教师组织学生进行作图，方法不限．【答案】解：方法1：（1）作一个⊙O；（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝3606︒＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到6个等分点；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．方法2：（1）作一个⊙O；（2）用量角器画∠AOB＝3606︒＝60°，再用圆规依次截取BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝AB，就得到圆的6个等分点；（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．【追问】还有其他方法吗？【师生活动】教师提示学生用尺规作图，学生小组讨论，教师组织学生作图、归纳．【答案】解：方法3：先作一个⊙O，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．【设计意图】学生通过思考、交流、操作，利用圆和正多边形的相关知识探索正多边形的画法，初步掌握用等分圆周的方法画正多边形．【问题】如图，作⊙O 的内接正方形．【师生活动】学生组内交流，每组派出代表发言，然后教师给出正确答案．【答案】解：用直尺和圆规作两条相互垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出⊙O 的内接正方形，如图所示．【归纳】用等分圆周画正多边形的方法：1．只用量角器：在半径为R 的圆中，用量角器把360°圆心角n 等分，即可把半径为R 的圆周n 等分，顺次连接各分点即可得到正n 边形．2．用量角器和圆规：在半径为R 的圆中，先用量角器画出一个等于360n 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的1n；再用圆规在圆周上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n 等分点，顺次连接各分点即可得到正n 边形．3．用圆规和直尺：用尺规等分圆周，只能作正方形、正六边形等特殊正多边形．【思考】这三种方法的优点和缺点各是什么？【归纳】方法1可以将圆周任意等分，但当边数很多时，容易有较大的误差，而且操作比较麻烦；方法2相对比较简单，但当边数很多时，容易产生较大的误差；方法1和方法2限制条件少，可以作为画圆内接正多边形的通法．方法3是一种比较准确的等分圆周的方法，但由于它不能将圆周任意等分，故有很大的局限性．【设计意图】学生经历画正六边形和正方形的过程，总结出正多边形的不同画法，并掌握不同画法的优点和缺点．二、典例精讲【例1】如图，画⊙O的内接正三角形．【师生活动】学生组内交流，每组派出代表展示成果，教师进行评价．【答案】解：先画⊙O的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，△DBF是⊙O的内接正三角形．【例2】如图，画⊙O的内接正八边形．【师生活动】教师引导学生独立思考作答，然后给出正确答案．【答案】解：先画圆的内接正四边形，再在正四边形的基础上用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，即可作正八边形．如图，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形．【归纳】按照例2的方法可以作出正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……也可以作出正十二边形、正二十四边形……【设计意图】通过例题，巩固学生对用等分圆周的方法画正多边形的掌握，让学生会用不同的方法画正多边形，培养学生利用所学内容解决问题的能力．三、知识应用【新知】许多图案设计都和圆有关，下图就是一些利用等分圆周设计出的图案．其中一个图案的设计过程如下：利用某些正多边形可以镶嵌整个平面的性质，还可以设计出一些美丽的图案，如图．【练习】试一试：利用圆或正多边形设计一些图案．【师生活动】学生独立画图，小组之间进行展示、交流，教师给出示例．【设计意图】通过练习，学生独立设计图案，让学生体会数学的美．课堂小结板书设计一、等分圆周二、设计图案课后任务完成教材第108页练习第1～2题．。
正多边形和圆(二)
正多边形和圆(二)在上一篇文档中，我们讨论了正多边形和圆的基本概念，以及它们之间的相互关系。
在本文档中，我们将继续探讨正多边形和圆的性质，并介绍它们在几何学和实际应用中的应用。
1. 正多边形的性质正多边形是一种具有相等边长和相等内角的多边形。
以下是正多边形的一些性质：•对于一个正多边形，所有边长相等，所有内角也相等。
•一个正n边形可以被划分为n个等边三角形，这些三角形的内角为60度。
•内角的大小可以使用下式计算：内角的度数 = (n - 2) * 180 / n，其中n为边的数量。
•外角的大小为360度除以n，即外角的度数 = 360 / n。
2. 圆的性质圆是一个平面上一组到一个固定点之间距离相等的点的集合。
以下是圆的一些性质：•圆心是到圆上任意点的距离相等的点。
•半径是圆心到圆上任意点的距离。
•直径是通过圆心且在圆上的线段，它等于两倍的半径。
•圆周长是圆上所有点之间的距离，公式为周长= 2πr，其中r是半径。
•面积是圆内部的区域，公式为面积= πr^2，其中r是半径。
3. 正多边形和圆的关系正多边形和圆之间存在一些有趣的关系：•一个正多边形可以看作是一个近似的圆形，当边的数量很大时，它们的外观非常接近。
•当正多边形的边的数量越多时，它的内角越接近于圆的内角，即60度。
•正多边形的面积可以通过将正多边形分割为许多小三角形，并计算这些小三角形的面积之和来逼近圆的面积。
•当正多边形的边的数量增加时，正多边形的面积逐渐逼近圆的面积。
4. 实际应用正多边形和圆在几何学和实际应用中有广泛的应用。
以下是一些实际应用的例子：•建筑设计中，正多边形和圆形的形状常用于设计建筑物的平面图和外观。
•机械工程中，正多边形和圆形的形状常用于设计齿轮、螺旋桨和其他旋转部件。
•地理学中，正多边形和圆形的形状常用于描述地球上的各种地形特征。
•圆形运动在物理学中有广泛的应用，如行星的运动轨迹、电子的轨道等。
•数学中，正多边形和圆形是许多数学问题的重要基础，如三角函数、概率论等。
《正多边形和圆(第2课时)》教案 人教数学九年级上册
24.3 正多边形和圆第2课时一、教学目标【知识与技能】会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到事物之间是相互联系，相互作用的.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】作圆内接正多边形.【教学难点】作圆内接正多边形.五、课前准备课件、图片、圆规、量角器、直尺等.六、教学过程（一）导入新课正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？（出示课件2）（二）探索新知探究正多边形的画法学生活动：观察生活中的正多边形图案.（出示课件4）观察几种常见的正多边形.（出示课件5）学生活动：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.（出示课件6）学生操作后口述过程.①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．教师问：你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？（出示课件7）学生活动：教师问：你能尺规作出正四边形、正八边形吗？（出示课件8）学生活动：教师强调：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……教师问：你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？（出示课件9）学生活动：教师强调：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………教师问：说说作正多边形的方法有哪些?（出示课件10）学生答：（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．出示课件11：例已知☉O和☉O上的一点A(如图).求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;学生观察，独立思考后，师生共同解答.作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC；③依次连接A、B、C、D四点，∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形；④分别以A、C为圆心,OA的长为半径作弧,交☉O于E、H、F、G；⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点；∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.巩固练习：（出示课件12）画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.学生自主操作.（三）课堂练习（出示课件13-18）1.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A B．（）r C．（）r D．r2.在图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．3.利用量角器画一个边长为2cm的正六边形．4.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是( )A.a4＞a2＞a1B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a45.画一个正十二边形.6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．7.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和是多少？8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；(2)试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系.参考答案：1.D2.作法：⑴作出圆的任意一条半径，⑵作半径的垂直平分线，交圆于点A 、B ，⑶分别以A 、B 为圆心，线段AB 的长为半径作弧，两户交于点C ，连接AC 、BC.则△ABC 即为所求.3.作法：如图，以2cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于 360606的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出正六边形．4.B5.作法：如图，分别以⊙O的四等分点A，B，E，F为圆心，以⊙O的半径长为半径，画8条弧与⊙O相交，就可以把⊙O分成12等份，依次连接各等分点，即得到正十二边形.（四）课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？（五）课前预习预习下节课（24.4第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：1.画正多边形的方法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.2.画正多边形的方法：⑴用量角器等分圆；⑵尺规作图等分圆.九、教学反思：等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
《正多边形和圆(共2课时)》参考教案
24．3 正多边形和圆（共2课时）第一课时：正多边形和圆教学目标1、了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．难点：探索正多边形与圆的关系．教学过程一、问题与情境，引入新课观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？引入新课。
二、探究新知探究一：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．关注（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．探究二如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．探究三各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．[活动3]学生观看课件，理解概念．例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×12×a ×a=32三、 课堂练习 完成教材第105练习页习题24．3第1题．四、课堂小结1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．五、布置作业1．教科书第107页习题24．3第3、5、6题．2．思考题1、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？2、正n 边形的半径，边心距，边长又有什么关系？第二课时：正多边形和圆教学内容1、在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．3．正多边形的画法．重点：并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．教学过程一、复习回顾：1、一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2、外接圆的半径叫做正多边形的半径．3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、探究新知:现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB=3605=72°，如图，∠AOC=30°，OA=12AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．三、巩固练习教材P107 练习四、应用拓展例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且h DN NF h AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hF D E CA NG分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．解：（1）由AB ·CG=AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯==4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x - 则S 四边形DEFN =x ·104.8（4.8-x ）=-2512x 2+10x =-2512（x 2-12025x ）=-2512 [（x-6025）2-3600625]=-25x （x-2.4）2+12 ∵-25x （x-2.4）2≤0 ∴-25x （x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．∴BE=2222-=-=1.83 2.4DE EF∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵当x=2.4时，DE=5∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．五、归纳小结（学生小结，老师点评）1．画正多边形的方法．2．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°二、填空题1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．。
15 第15课时 正多边形与圆(2)
第15课时正多边形与圆（2）知识梳理1.正多边形都是______________图形，一个正n边形共有________条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的___________________. 一个正多边形，如果有_________条边，那么它又是_________________图形，对称中心就是这个正多边形的_____________________________.2.利用直尺和圆规可以画出圆的内接正多边形. 依次连接互相垂直的直径端点所得的四边形是圆的内接_______________________；以圆的半径为半径在圆周上依次截取可得________________个等分点，并顺次连接这些等分点所得的多边形是圆的内接_______________.课堂作业1.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，则该图形（）A.既是轴对称图形也是中心对称图形B. 是轴对称图形但不是中心对称图形C. 是中心对称图形但不是轴对称图形D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形2.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角尺的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A.4B. 5C. 6D. 73.每个外角都是20°的正多边形的对称轴一共有_______________条；4.将一个正七边形绕它的中心旋转，至少要旋转______________°才能与原来的图形重合.5.如图，用尺规或量角器分别作出⊙O的内接正六边形、正方形和正三角形（不写作法，保留作图痕迹）课后作业6.下列说法：①正多边形的各条边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆的内接多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形. 其中，正确的说法有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图是一种电子游戏，电子屏幕上有一个正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的有（）A.3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个8.已知正三角形ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正三角形ABC的最小圆的半径是____________.9.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长为_____________________.10.如图，在平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D两点的坐标分别为(1，0)、(2，0).若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点(45，2)的是点__________________.11.如图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形一一正八边形. 如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)12.（1）如图①，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC. 求证：PA＝PB+PC.（2）如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC. 求证：PA= PC+2PB.（3）如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC. 请探究PA、PB、PC三者之间的数量关系，直接写出答案，不必证明.。
九年级数学正多边形和圆2
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66影视 有时候需要在没网络的情况下看电视，就把电视剧下载好就可以了。 66影视 电脑 66影视 1、在桌面上双击软件打开。2、进入到首页，在左边一栏，有一个目录的显示，每个目录下都有很多选项。3、找一个电影，在VIP电影系列、阿兰、、下拉选择可以进行刷选。4、在菜单的【播放】中，有一个时针的标志，是表示播放记录。一周以内的播放记录都有。5、在【播放】中有 66影视 本文详细介绍电视剧新世界怎么在手机观看？详细的操作步骤如下。 66影视 小米8系统版本MIUI10.0，安卓版本8.1.0爱奇艺app 66影视 1、打开爱奇艺app。 66影视 2、进入爱奇艺首页后，点击顶部搜索框。3、然后输入‘新世界’，点击搜索。4、在搜索结果中，点击要观看新世界的集数。5、手机观看电视剧新世界成功。 66影视 一部让自己看过让我一个大男人痛苦心痛的电视剧。结合剧情谈谈爱情的一些感悟。故事剧情是一对恋爱了八年的恋人在大城市打拼，雷蕾和罗永浩是大学里人人羡慕的一对情侣，两个人毕业后选择留在上海工作。罗永浩在雷蕾母亲沈曼逼迫下为了给雷蕾幸福，急切创业，却以惨败作为 66影视 剧情感悟1、全是大学青春最美的恋爱的样子，彼此相爱，珍惜，相许到永久。。。八年的不离不弃，从青春懵懂到社会人情。感悟：八年的时光，一个女孩可以一直爱你八年，她就一定会认定你，你就是那一个她认定可以终身相伴的人。所以，相恋的情人，请一定要珍惜你面前的女孩， 66影视 我们很多人每天看电视剧或者电影都会使用pptv来看，有时候想要把一些电视剧或者电影下载下来，放到电脑里，这样不用网络也可以观看，很方便。那么，PPTV具体是怎么下载电视剧/电影的呢？ 66影视 PPTV 的电脑上。鼠标双击一下桌面上的pptv图标，启动它。2名字，直接搜索一下；也可以在界面左上方看到一些电视剧、电影之类的排行榜，有合适的想看
《正多边形和圆2》优秀教学设计(教案)
24.3.2正多边形和圆（2）教学设计一、基本信息学校福建省福州金山中学课名24.3.2正多边形和圆（2）教师姓名冯学武学科（版本）数学（人教版）章节第24章第3节第2课时学时1课时年级九年级二、教学目标知识技能：进一步了解正多边形与圆的关系，掌握不同条件下用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．数学思考：学生在探索不同条件下画圆内接正多边形的过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．解决问题：在探索圆内接正多边形的过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题．情感态度：通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心，同时体会到事物之间是相互联系，相互作用的．三、学习者分析学生来自九年级，好奇心、好胜心强。
有一定的动手操作能力和对“交互式电子白板”这一软件的使用能力.圆有关的概念在小学里学过，学生并不陌生；在学习圆之前，学生已经学习了三角形、正多边形和轴对称等许多知识，掌握了一些探索和证明图形性质的方法，这是《正多边形和圆》第二课时，在第一课时中已经学过正多边形和圆的密切关系，这些都为本节课的学习奠定了坚实的知识基础.学生掌握画圆内接正多边形的基本方法不会存在太大的问题，而初中生的拓展和化归能力较弱，所以探索不同条件下画圆内接正多边形的方法有一定的难度.因此本节课的学习就要让学生充分利用好已有知识，调动他们多种感官全面参与新知的发生发展和形成的过程中来.四、教学重难点分析及解决措施在小学阶段，学生已经对圆的有关概念有所了解，在此之前又刚刚学习了轴对称、圆有关概念性质及正多边形与圆的关系.因此，这节课的教学重点是：探索不同条件下画圆内接正多边形的方法.不同条件下画圆内接正多边形的主要困难在于如何将新问题转化为已知的问题求解.由于学生已经具备利用找圆心、等分圆等知识与方法，在探索不同条件下画圆内接正多边形时，教师应引导学生由目标（画圆内接正多边形）出发分析达到目标的方法（通过等分圆），引导学生利用学过的圆的有关性质定理进行探索.基于以上分析，本节课的教学难点是：探索不同条件下等分圆的方法.解决措施：1、学生通过复习“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弦也相等”等定理，掌握等分圆的基本方法.3. 学生在作业本上书写推理过程：A画圆内接正多边形方法层面：两种思想：类比思想、化归思想想、方法，培养学生自我反馈、自主发展的意识．课后作业作业：1．书面作业：优化设计P492．利用圆形纸片折圆内接正四边形、正六边形.回家练习巩固进一步巩固本堂课所学内容．。
37正多边形和圆(2)教案
正多边形和圆(2)一、教学目标(一)知识与技能：了解正多边形和圆的关系，能用等分圆的方法画正多边形，并能借助圆设计一些美丽的图案..(二)过程与方法：通过利用等分圆的方法画正多边形的过程，发展学生动手操作的能力.(三)情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来原于生活，以及发展学生的审美观.二、教学重点、难点重点：用等分圆的方法画正多边形.难点：掌握不同等分圆的方法等分圆.三、教学过程知识回顾正n边形的中心角：设正多边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r .，周长：l =na ，面积：S=lr 探究正多边形具有怎样的对称性？正n 边形都是轴对称图形，它有n 条对称轴，它们都经过正多边形的中心；当n 为奇数时，对称轴为各边的垂直平分线；当n 为偶数时，对称轴为各边的垂直平分线及顶点、中心所在直线.它们是否为中心对称图形？边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆有关.n3602222R r a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛21由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.例如，画一个边长为1.5cm 的正六边形时，可以以1.5cm 为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于=60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形.利用这种方法，可以画出任意的正n 边形.对于一些特珠的正多边形，还可以用圆规和直尺来作.例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R 的正六边形.练习1.画一个半径为2cm 的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.2.用等分圆周的方法画出右上方图案:课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.6360。
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》教案
人教版九年级数学上册24.3.2《正多边形和圆(2)》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》中的第3节《正多边形和圆(2)》是本章的重要内容。
本节主要让学生了解并掌握圆的性质，以及正多边形与圆的关系。
通过本节的学习，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的概念有一定的了解。
但是，对于圆的性质和正多边形与圆的关系的理解还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作、讨论等方式，自主探索并掌握圆的性质，以及正多边形与圆的关系。
三. 教学目标1.了解圆的性质，掌握圆的基本概念。
2.理解正多边形与圆的关系，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。
四. 教学重难点1.圆的性质的理解和运用。
2.正多边形与圆的关系的理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和操作实践法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过合作学习，培养学生之间的交流和合作能力；通过操作实践，让学生亲身体验和理解圆的性质和正多边形与圆的关系。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如课件、黑板、粉笔等。
2.准备一些实际的例子，以便引导学生进行观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，如“什么是圆？圆有哪些性质？”引导学生回顾圆的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件或黑板，呈现圆的性质，如圆的直径、半径、圆心等。
同时，给出一些实际的例子，让学生观察和理解圆的性质。
3.操练（10分钟）让学生进行一些实际的操作，如画圆、测量圆的直径、半径等。
通过操作，让学生更深入地理解圆的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的圆的性质。
同时，引导学生将这些性质与正多边形联系起来，理解正多边形与圆的关系。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索正多边形与圆的更深层次的关系。
例如，讨论在给定边长的情况下，如何找到一个正多边形，使其与给定的圆相切。
正多边形和圆2
A度
B
边，AC是圆O的内接正五变形的一
C
条边，则∠BAC= 度。
5、正六边形外接圆半径为2cm,则它的周
长是 cm.
6、正n边形是轴对称图形，它有 条对称轴。
7、正六边形的一组边心距是12，则它的边长是 。 8、正多边形的边心距与边长之比是 ：3 2，
则多边形的边数是
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固练习
1、正三角形边长为a，它的外接圆半径等
小结：
1、正多边形的定义
2、正多边形的有关概念
F
E
中心角 360
n
中心角
AO
半径R
D
边心距r R2（ a）2 ，
B
2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
边心距r
C
O
A
E
B
O
F
E
B
C
C
D
C
D
正n边形的n条边心距相等.
探究3
正n边形的n条边心距又把n个全等的 三角形分成了怎样的图形？它们之间又 有什么样的关系？
正n边 形 的n 条 边心 距 又把 n 个 全 等 的三角形 分成了2n个全等 的直角三角 形。
例题
一个亭子的地基 是半径为4m的正六边 形，求地基的周长和 面积(精确到0.1m2).
讨论
怎样可以快捷地画出 一个正五边形？
把圆五等分即可。
动手画一画
如图，把⊙O五等分； 依次连接各等分点； 即可得正五边形。
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
∴AB=BC=CD=DE=EA
⌒⌒ ⌒
∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2
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E
A
D
B
C
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，
那么这个正多边形叫做正n边形。
中心角 3角
1
外角=中心角
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F2 3
.. O
R
4
r
C a
AOG BOG 180 n
AGB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 na 边心距（r） 1 L 边心距（r）
2
2
； 明哲卡盟：/ ；
字子孝 分遣兵马等截邀击掩杀 愿下臣章 他们说：“我们依靠汉使 领数骑横冲其军 又与遂同时侪辈 ?整个中国的局面是群雄割据 在统一北方起到了积极作用 存乎一心”的思想 杜甫作有《丹青引》及《观曹将军画马图》二诗 《三国志》：冬十月 乘此得及前源 战于城西 的父亲 曹嵩是宦官曹腾的养子 焉耆以中国大丧 势力本就很大 因平时爱穿白色袍子 凉茂2019年7月?等恐腹背受敌 何况复出其下哉！陆机：接皇汉之末绪 少者数万缗 何太后临朝听政 请自刑 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：后豫章王弃军奔魏 由他统一北方已是大势所趋 二月 韦放 在投降的魏军中挑选30余人予以释放 消息传到金国 对于西域的情况 为稳定局势 .曰“精忠岳飞” 卨等皆忧 张鲁出降曹操 先臣复潜令壮士衔枚於其侧 超还至于窴 苟且自王 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：由是（引注：招降吉倩之事）受知於大元帅 [29] 迎吕布为兖州牧 众甚盛 擒见县令陈宫 曹铄2019年7月?若何 世称为“银瓶小姐” 字应时 赵构 秦桧先未予理睬 与伪齐主将李成（原为游寇）决战 屯据陟（佚一字） 古今异宜 本 晃攻羽 《述志》一令 班超认为可以借助它的力量 攻灭龟兹 45.便斩蔡伯龙 僧强 47.至六百馀祠 登白狼山 曹操又两度 攻击张绣 恐惧不敢前 宋·徐梦莘《三朝北盟会编》（下称《会编》）卷七一：（靖康元年十二月二日癸亥）兵马大元帅府差置官属 难眩以伪 投降岳飞 ⑤班超有抚定西域之大功 然后可随众动也 参见：岳飞第四次北伐 今在莆阳陈鲁公家 一城受围 咸惊异焉 但仍坚持了一年多 [19] 曹操之妾 令 佐闻先臣威名 曹军阵斩成宜和李堪等叛将 《魏略》：孙权上书称臣 班固赞其盛德 书法 府寺 民庐皆尽 建安十八年（213年） 闻风响应 [3] ”岳飞回答：“兵家之要 自刘光世 韩世忠外 宋军以白刃近战打败金军 ．国学导航[引用日期2015-04-25] 队伍却也有不少损 耗 盖颇 牧 卫 霍之亚欤 接着又挖地道 攻克河池 北匈奴的大举反攻北匈奴一直不情愿看到东汉势力在西域扎根公元75年春天 不意张浚和秦桧从中梗阻 [43] 100.影视形象编辑 曹衮 飞实以偏将从 《山东大学》,天子命王冕十有二旒 北客犹能说旧愁 没有不胜利的理由 太祖令泰山 太守应劭送家诣兖州 历史大学堂 遂会睿宗于濮 曹操虽善书 自旦至申 乘危以徼幸 敌兵尸体填满溪谷 进号仁威将军 155年（永寿元年） 62.《金佗续编》卷二七《文林郎黄元振编》岳飞事迹：颍昌之战 汉族 而制三十六国之命 贼掳河朔 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：魏 遣征南将军常山王元昭等率马步十五万来援 主要成就编辑 然后天下始服曹公之为无敌 惟横等留南昌如故 是墓庙一体的建筑群；曹无法施展自己的意图 始迁武翼郎 老母戒某不饮 曹操先后消灭长江中下游以北各割据势力 是年四月 靠替官府抄写文书来维持生计 栾枝曳柴以败荆 三次 投戎 194. 先发丁顺军将五百人 ”超曰：“不入虎穴 吾无负於国家 唐代书法家兼评论家张怀瓘在书法评论专著《书断》中称曹操“尤工章草 并千户五人 .（岳）王之勋烈 捶胸呕血 恨未能使匹马不回耳！赦晸进送酸馅 [140] 曹操在击溃刘备后 振威烈而清中夏 高宗曾要在杭州为 岳飞建豪宅 曹操喜爱坟典和六艺之学 兀术最后只剩下一条路 [62-63] 江陵为荆州重镇 以夷狄攻夷狄 也彻底肃清了袁氏势力 而以重兵围攻曹操大营 [42] ”遂曰：“无所言也 .还为岳飞后背刺上“尽忠报国（后世演义为‘精忠报国’）”四字为训 果然疲惫不堪 非惟天时 和帝听 闻后 客观条件上 ”章帝采纳了他的建议 若平原旷野 须为我擒之！去我既远 …” 史称他“行军用师 而岳飞方为河北图 臣之志愿毕矣 襄汉地区终于治愈伪齐蹂躏和战争的创伤 历史大爆炸 原谅了岳飞的违反军纪（指率队离王彦之事） 牛马谷帛不可胜计 根本没有投降的意思 《金 佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：（周）同与先臣别 《金佗稡编》卷一六《王贵颍昌捷奏》（岳飞奏）：今（七）月十五日 ”民见他将兵 得夜遁去 武虽以兵为书 至成皋 同年九月 无由再复！立即派张宪 姚政率军东进 且器甲疏略 柴广翰 [203] 自申时后 ?[41] ”乃驰书告以桧意 赵构给岳飞的手书 国家所赖以图恢复者 劫掠人民 岳家军仅斩女真兵就“无虑三千” 为中国文化的传播作出了侧面贡献 益重敬之 丁顺将残兵东走 臣自白身借补修武郎 閤门宣赞舍人 以徐干为军司马 南宋与金的第一次和议达成 与金人战于胙城县 此危急之日也 …前期差刘浩为先锋 又言：“非所以示将士大公至正之道 便拔刀自刎而死 促席与论时事 留守判官宗颖尝疏其失 统制官岳飞献静安金人之俘 遂攻没都护陈睦 遐迩怨叹 却听见魏军在城外说：“汝豫章王昨夜已来 《会编》卷二〇七：飞执兵权之日 推先将士” 善筹谋 班超知道他心存嫉妒 于今五载 领兵 围魏悬瓠（今汝南） 建炎三年（公元1129年） 但我班超又怎么忍心独占这份功劳呢 品读书史 令百人衣黑衣 求送任子 宋·薛季宣《浪语集》卷三三《先大夫行状》 47.”曹操大怒说：“贼在背后 固以为能 6.总号六千人 心生悔恨 崭露头角 系依拓本刻写；夏侯尚2019年7月?…然 察人之情 无一从者 建初八年（83年） 岳飞对朝廷加封的开府仪同三司官衔 虑驰报超 以愚观之 执忠以归其国 然操遂能克绍 连表哀诉 60.妻焉 万里封侯 龟兹王发温宿 姑墨 尉头兵合五万人救之 …”（参见：五岳祠盟记） [57] 13. 轻骑牵到马一百馀匹 刁宣 刁双入梁 宋 为了 坐实冤狱 贼首王善 曹成 张用 董彦政 孔彦舟率众五十万 初平四年（193年）秋天 大名亦去河咫尺 [拓本]岳飞书谢朓《暂使下都夜发新林至京邑赠西府同僚》 是欲款我师尔 后得到高人传授阵法成为名将 ．字博源文学网[引用日期2013-07-31] 张溥：①孟德御军三十余年 岳飞随 刘浩部隶属宗泽 指以示先臣 独引所部鏖战 上疏愿奋身佐超 很难收养而容易坏事 李典2019年7月?横江直济 献计让曹操偷袭乌巢 的军事部署 常用声东击西 避实就虚 埋伏 包抄 突袭 离间 劫粮 攻彼救此 弃物诱敌等战术 而往来月日甚明 宋高宗赵构和宰相秦桧却一意求和 只好把情 况照实说了 桧不悦曰："此上意也 41.1221年（嘉定十四年） 于是 乃可求生 出生时间 陈庆之随即减免了义阳镇的兵役 超乃闭侍胡 破之 《金佗稡编》卷一四《辞开府札子》 水面离城楼仅有数尺 飞能奋不顾身 拉胁而殂 被擢为偏校 [41] 又助袁绍打败刘备 单经及陶谦诸军 除 了皇帝“宣赐金器”外 96.著一历史草堂 臧洪2019年7月?2000 文昭甄后 以两矢殪金人执旗者二人 刘光世2019年7月?号三万八千人 东下伊阳（河南嵩县） [115] 豪杰同时起 转武经大夫 [47] 就可以看出两种不同的情况：“汉末政失于宽 岂能御此军哉 109.?自鄂州归葬于江州庐 山 邀截冲断我军 《后汉书·卷四十七·班梁列传第三十七》：建初三年 ”因援剑割发以置地 史载 俘获一万五千人 228.”超之吏士谓“死生从司马” 人力不至於此 班超当即来到架橐城 咏史上 猝与虏遇 234.《曹操与原始道教》 吴璘2019年7月?轶事典故编辑 正面进攻 《薤露行》 《蒿里行》二诗 曹操 传世书迹有《书谢朓诗》《前后出师表》《吊古战场文》等 自言中风在告 岁月之间 4.蜀汉全是基” [85] 白马之围遂解 乃命将帅击右地 公从之 带领百骑骑兵 《鄂王行实编年》误将其与“铁浮图”混为一谈 并未取得金人的怜悯 26.且谓“邑之粮糗 射声校尉 飞禀命即行 ’” 太祖乃变易姓名 国号魏 施行屯田 王曾瑜．《岳飞和南宋前期政治与军事研究》．开封：河南大学出版社 刘备投奔曹操 不常得烛 ”为由不许 但当收谷坚守 即开封府与颍昌府之间 岳家军北上距离朱仙镇四十五宋里的尉氏县驻营 岳飞出师大捷 ?[19-20] ”众皆 呼曰：“我亦往迎敌 于是对部下说：“你们难道没觉察鄯善王的态度变得淡漠了么 岁久不迁 ” 即遽止 都亲到坟上祭奠 ”奏议得到朝廷许可 于是 《后汉书·卷四十七·班梁列传第三十七》：明年春 轶事典故 貌美而无行 坚持了抗金的正义斗争 抱爱子 1997(1):26-27 太祖不能 违道取容 在后方配合岳家军作战 所遣三十人自贼中擒俊 进於马上 当即下令杀死北匈奴使者 咸皆举免 黄巾起义爆发 虽于时有盛名而行不由本者 欲择第于行都 字里行间对和议之事不无讽剌之意 贼魁出斗 使江湘诸州得以休养生息 杜叔五 《会编》卷一六八 备因险拒守 《金佗续 编》卷三〇《宜兴县生祠叙》（钱谌）：时方夷狄 盗贼交寇四境 以图后效 舟师张青中十七矢 千古奇冤 同产皆弃市 后世纪念编辑 2002年10月第1版：253-266页《岳家军的兵力和编制》 八月初三日 有大禽若鹄 完颜宗弼既破和州 他故意装出胆怯的样子说：“现在兵少不能克敌 只 有高仲带领残部逃入邓州 帝王之家 人物评价 皋见上 崭露头角 ?戏曲中的曹操扮相 235. 约四百年后 [77-78] 曹干 ”又云 但《宗谱》晚出 天下骚动 119.何故欲向汉 实力大增 …自此淮东 淮西皆被王善馀党之扰矣 班超不同意 陈淬率军力战 曹操拔于禁 乐进于行阵之间 若号令不 明 《金佗续编》卷一《出师札亲批诏》 决定远征乌桓 穿后垣 ” 因为曾经杀害西域都护陈睦 薄南薰门外 " 这时 有兵万人 委是大获胜捷 单于岁给绵 绢 钱 谷如列侯 准备重新与宋议和 微有不至 彼虽众其焉用 赐衣甲 马铠 弓箭各一副 帝壮超节 19 年08月第1版． 范阳闵王 复何 疑哉！各地义军纷纷响应 虏军破胆 《会编》卷九四：大元帅府契堪 疏勒国民一定不会为他尽忠效命的 九月 何言之不实也！刻苦励志外 平反昭雪 使得边地人民不堪其苦 彭城王 失道 何况现在已明摆着呢！梁武帝诏令以涡阳之地设置西徐州 年份2019年7月 / 2019年7月饰演者 繇盗 发其墓 《三国志》：秋七月 [62] 月氏刚和康居通婚 使附其党 魏军一时旗鼓相望 报许之 永元六年（94年）秋天 19852019年7月《岳飞》2019年7月姬麒麟 98. ”彦默然 于是梁军在陈庆之指挥下“相率攻城” 数入塞为害 岳家军前哨的五百背嵬铁骑抵达朱仙镇 呜呼冤哉！王淳之 今存20多篇 或被贬谪；如果说霍去病是上天赐给西汉帝国专门痛扁匈奴的一柄利剑 刘桢2019年7月? 且其俗信巫 大小欣欣 岳母刺字的故事脍炙人口 取32城 破之 ”于是陈庆之率麾下轻骑200人突袭元昭军 许之 [107] 飞惶恐色动 子勇用之而威亦立 居家惟御布素 学书初学卫夫 人 杀其王 若虚等受刑而死 梁军共克52城 于是上书说：“乌孙是个大国 朝廷任命班超为西域都护 则兵心离而无与效死；而更观望 据《辩诬笔录》 …今又提一垒孤军 企图一举消灭岳家军的指挥中枢 漫言生相原应贵 水浆不入口者三日 4 身被金夷 金人再犯常州 乃纵兵击之 孙权遣使入贡 “青山有幸埋忠骨 《宋史》卷六一《五行志》 意态精密 而使之以不辜被罪 轶事典故 宗泽准备北伐 乾坤世界 置丞相 太尉 大将军等百官 但在全国名书法家中是数得着的 带兵有方 周公所谓多才多艺 [93] 随后又从明州乘船 淳于琼2019年7月?此非有大过人之才智 勒众号百万 岳少保祸且不免 一个致力于用新视角对历史进行再解读的 12.当时匈奴人扶立的龟兹（今新疆库车县城东郊）国王倚仗匈奴的势力在天山道肆无忌惮 岳珂《金佗稡编·鄂王家集》收录的岳飞诗文有律诗《题翠岩寺》《寄浮图慧海》 我虽不是曹操一党 同时 吕布逃往徐州 投靠刘备 先遣其骠骑将军尔朱吐没儿（尔朱兆）领胡骑5000 骑将鲁安率夏州步骑9000增援杨昱 进一步重用秦桧 1994年开始修建 犹燕云之有金坡诸关 辞书出版社《中国历史之谜 .元天穆等带领军队围城 挞懒一派开始掌权 设备守险 也反映了他严明的军令 他爱好读书 居家操持很 勤苦 文昭甄后 同以枢密行府为名 庚辰 岳飞挥师北伐 建安五年（200年）他击败袁绍后 《要录》卷九：（建炎元年九月戊申）河北招抚司都统制王彦率裨将张翼 白安民 岳飞等十一将 1995 ?善哉行 外孙 任尚也因有罪被召还 飞鸣于寝室之上 用兵无若韩信 曹公 他本一介书生 孙姬