第五章流体动力学(连续性方程)-流体力学汇编

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理解流体力学中的连续性方程

理解流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，涵盖了许多重要

的基本方程。其中，连续性方程是流体力学中的基础之一，用于描述

流体在宏观尺度上的连续性。理解连续性方程对于研究流体运动和分

析流体现象具有重要意义。本文将介绍连续性方程的定义、推导与应用，并探讨其中的物理意义。

一、连续性方程的定义与推导

连续性方程描述了流体运动时，质量守恒的性质。在宏观尺度上，

流体的质量保持不变，由此可以得到连续性方程的数学表达式。

假设流体流动方向为坐标轴方向，流体通过某一截面的流量为Q，

流动截面面积为A，则单位时间内通过截面的质量为Δm。根据质量守

恒原理，Δm应保持不变。

考虑时间间隔Δt内，流体运动导致流量Q发生变化。根据定义，

Δt时刻通过截面的质量为Δm1，Δt+Δt时刻通过截面的质量为Δm2。

根据质量守恒原理，Δm1+Δm2应等于Δm。

Δm1+Δm2 = ρ1QΔt + ρ2QΔt (1)

其中，ρ1和ρ2分别为Δt时刻和Δt+Δt时刻的流体密度。

将流体密度表示为单位体积的质量，即ρ = m/V。在Δt时间间隔内，流体的体积可以表示为：

Δt时刻的体积为V1 = QΔt (2)

Δt+Δt时刻的体积为V2 = QΔt + AΔx (3)

其中，Δx为流体运动方向上的位移。

将公式（2）和（3）代入公式（1），得到：

ρ1QΔt + ρ2QΔt = ρ1V1 + ρ2V2 (4)

根据密度的定义，可以将公式（4）进一步推导为：

ρ1Q + ρ2Q = ρ1Q + ρ2(Q + AΔx) (5)

化简后可简化为：

流体力学连续性方程

第3章流体动力学基础

教学要点

一、教学目的和任务

1、本章目的

1）使学生掌握研究流体运动的方法

2）了解流体流动的基本概念

3）通过分析得到理想流体运动的基本规律

4）为后续流动阻力计算、管路计算打下牢固的基础

2、本章任务

1）了解描述流体运动的两种方法；

2）理解描述流体流动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、流线与迹线、流管、流束与总流、过水断面、流量及断面平

均流速等；

3）掌握连续性方程、伯努利方程、动量方程，并能熟练应用于求解工程实际问题动量方程的应用

二、重点、难点

1、重点：流体流动中的几个基本概念，连续性方程，伯努利

方程及其应用，动量方程及其应用。

2、难点：连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应

用。

三、教学方法

本章讲述流体动力学基本理论及工程应用，概念多，容易混淆，而且与实际联系密切。所以，必须讲清楚每一概念及各概念之间的联系和区别，注意讲情分析问题和解决问题的方法，选择合适的例题和作业题。

流体动力学：是研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学。

研究方法：实际流体→理想流体→实验修正→实际流体

流体动力学:研究流体运动规律及流体与力的关系的力学。

3.1 流体运动要素及研究流体运动的方法

一、流体运动要素

表征流体运动状态的物理量，一般包括v、a、p、ρ、γ和F等。

研究流体的运动规律，就是要确定这些运动要素。（1）每一运动要素都随空间与时间在变化；（2）各要素之间存在着本质联系。

流场：将充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点

均有确定的运动要素。

二、研究流体运动的两种方法

研究流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。

大学物理：第五章流体力学 (Fluid Mechanics)

VA
由功能关系：
外力作功： A FALA FB LB pASA (vAt) pB SB (vBt)
能量变化：
EpAlEimVp AmEpBkV12Bm ((vpB2Av
pB )V
2 A
)
m
g(hB
hA
)
V 0 V
1 2
v
2 A
ghA
PA
1 2
v
2 B
ghB
PB
上海交通大学物理系
应用柏努利方程注意
令 n 为毛细血管
A0v0 nAV
n 6109 或 60 亿
毛细血管横截面的总面积是主动脉横截面的 600 倍
上海交通大学物理系
五、柏努利方程(Bernoulli’s equation)
适用范围
同一流管理想液体
SA A
B SB
FB VB
A，B分别为同一流管中的两个不同截面上的点
FA
解： S1, v1 为容器的截面积和液面流速 S2 , v2 为水龙头的截面积和流速 S1v1 S2v2
在时刻 t ，容器中的水面到龙头的高度 h
1 2
v12
gh
P0
1 2
v
2 2
P0
v1 S2
2 gh
S12
S
2 2
v1

第五章流体动力学(控制体雷诺输运定理)-流体力学

5.2雷诺输运定理
CS1 CS3
I
t
II
III
t t
当dt0时，II区与原控制体体积相同，I区为CS1面流进的物理量，III区为CS3面流出的物理量.
5.2雷诺输运定理
CVIII CVI I
dA1
II
u
dA3
III
n
u
t
n
t t
CVII
如图所示的dA微元面上, 流体法向速度为vn , 则流体在单位时间内流过dA面的体积通量为 vn dA
5.1.1体系
参看右图: t to瞬间,选定的流体系统处于A1标注的位置,在t to dt 瞬间, 流体系统将占据A2标注的位置.
A2 , t to dt
z
A1 , t to
从流体系统的质量守恒定律来看,该系统的质量始终等于常数.
y
x
5.1.1体系
设系统的质量为m, 质量守恒定律的数学表达式即是 :
雷诺输运定理:某瞬间控制体内的流体所构成的体系, 它所具有的物理量的随流导数,等于同一瞬间控制体中所含同一随流物理量的增加率(右面第一项,体积分) 与该物理量通过控制面的净流出率(右面第二项,面积分)之和
这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体仍否属于原来的流体系统都成了问题.

第五章流体动力学(连续性方程)-流体力学

所以
u1d A1 = u2d A2
→ dQ1=dQ2
（微小流束的连续性方程）
2.总流连续性方程
Q1 = Q2 或 V1A1 = V2A2
（总流连续性方程）
截面小的地方流速大，截面大的地方流速小。 3.有分支流动的连续性方程
Q1 = Q2 + Q3
V1A1 = V2A2 + V3A3
例题：一旋风除尘器入口面积为
第五章流体动力学（一）
本章研究流体的宏观机械运动规律，流体受力与运动的关系，运动流体与固体边界的相互作用主要内容：
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7
控制体和系统雷诺输运定理流体流动的连续性方程理想流体的运动微分方程流体运动的能量方程流体运动的动量方程伯努利方程实验及工程应用
§5.3 流体流动的连续性方程
一、直角坐标系中的连续性方程
取微小正六面体
vx
(vx
x
)
dx 2
x
方向，dt内流进的质量
vx
(vx
x
)
dx 2
ρvx
y
dy
dt内流出的质量
dz dx
[vx
(vx
x
)
dx ]dydzdt 2
z
x
dt时段，x方向流进与流出质量的净增量 dt时段，六面体内流进与流出质量的净增量

流体力学连续性方程和恒定总流动量方程

输出项
外力项不包括惯性力输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一，必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。当流体有分流或汇流时当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
dx dx , y , z , t u x x , y , z , t dydzdt 2 2
u dx dx ( x, y , z , t ) u x ( x, y, z , t ) x dydzdt x 2 x 2 u dx dx ux x dydzdt x 2 x 2
K1' 2'
dt时段动量变化
K K1'2' K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
K 1'-2' K 2-2' K 1'-2
dt 时间内水流动量的变化
K 1-2 K 1-1' K 1'-2

流体力学第二版(蔡增基)第五章解析

孔口、管嘴出流和有压管流的水力计算，是连续性方程、能量方程以及流动阻力和水头损失规律的具体应用。
§5.1 孔口自由出流
在容器壁上开一孔口，若孔壁的厚度对水流现象影响较小，这种孔口称为薄壁孔口。
一般来说，孔口上下缘在水面下深度不同，经过孔口上部和下部的出流情
况也不相同。但是，当孔口直径d与孔口形心以上的水头高H相比较很小时，
H＋ α1v12
2g
0 αcvc2 2g
hw
水箱中的微小沿程水头损失可以忽
略，于是hw只是水流经孔口的局部水
头损失，即
hw
hj
vc 2 2g
方程可改写为 H＋ α1v12 αcvc2 ζ vc2
2g 2g 2g
H＋1v12
2g
H0
vc
1 c
2gH0 2gH0
H0—为孔口的总水头； vc—收缩断面的平均流速；
2
2
前者与自由出流的能量损失
相同，为 vc2 2g，后者可看成圆
管突扩的能量损失，为：
0
0
1 Ac
A2
2
vc 2 2g
vc 2 2g
11
注意到 1v12 2v22 0 ，可整理得
2g 2g
2
2
vc 2gz
其中速度系数 1 1 孔口淹没出流流量
q vc Ac 2gzA mA 2gz

第五章流体力学

g 1 1 f ( H h)dh gH 2 5.66 105 N sin 2 sin o 0
H
dh h θ
p H
水平压力为： f水平
1 gH 2 4.90 10 5 N 2
3、流体中的浮力、阿基米德原理：
物体部分或全部浸于液体中时，因压强随深度增加而增加，物体下方所受向上的压力大于物体上方所受向下的压力。其总效果为物体受到一个竖直向上的作用力，称为浮力。对于静止流体中的一团液体，因其静止，所以该团液体所受重力与浮力相等，即：
(1) 对物块A： FD G A F浮对A,B,C： FE FD G A GB GC
F浮 G A FD FE FD GB GC FD
ρgV A FD D B
FE GB GC 36.5 N
A
C
E
又：F浮 C gV A
F浮 C 1.316 10 3 kg 3 m gVA
1 1 2 2 动能增量：Ek V v 2 V v1 2 2
p1
v1 S1
势能增量： E p g( h2 h1 )V 外力作功：
A A'
h1
S2
v2
B
h2
B'
p2
W p1 S1l1 p2 S2 l 2 p1V p2 V

流体力学连续性方程微分形式

D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx PM pM A ( p )dydz 2 x 右表面 P p A ( p dx p )dydz N N 2 x

等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p 2
p 1 (p xx p yy p zz ) 3 u
x u y y u z z
x
p yy p 2 p zz p 2

第三节流体动力学基本方程式
z
2、实际流体的运动微分方程式同样取一微元六面体作为控制体。
第三节流体动力学基本方程式
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
5
p x p y pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为
中心的微元六面体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
第三节流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
1
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz

流体力学第五章II资料

一、欧拉运动微分方程
根据牛顿第二定律，可写出沿X轴的运动微分方程：
du
dt
用流体微团的
dxdydz fxdxdydz
质量 dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
通除上式，得：
du dt
fx
1
p x
同理：
du dt
fx
1
p x
dv dt
fy
1
p y
dw dt
fz
1
p z
P 1 p x x
P 1 p y y
2 vx uy
fz
1
p z
z
v2 2
2uz
wx
fy
Baidu Nhomakorabea
1
p y
y
v2 2
2 vx uy
2、理想、不可压缩流体二元流动的基本微分方程组
u t
u
u x
v
u y
fx
1
p x
v t
u
v x
v
v y
fy
1
p y
u v 0 x y
u t
u
u x
w u z
fx
1
p x
w u w w w t x z

流体力学第五章流体动力微分形式基本方程

x y z dxdydz
dt ，则在单位时间 t dt 时刻流体密度为时刻流体密度为， t 内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为 dxdydz 第3页 t
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
根据连续流动原理，净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
连续性方程
在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。一、笛卡儿坐标系统的连续性方程 ( wx ) y 在流场中取一六面体微团，其边长为 w dxdydz x x d y， d z（图5.1）。沿 x 方向在单位时间 d x， wxdydz dy 内流入六面体的流体质量为
( w ) 0 t
D w 0 Dt
（5.2）（5.3）（5.3a）
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第五章
流体动力学微分形式基本方程
第一节
对于稳定流动，
连续性方程
（5.4）（5.4a）
即
0 ，于是式（5.1）变为 t wx w y wz 0 x y z

5 流体力学

和连续性方程
s1v 1 s 2v 2
联立可得：
Q sv s1s2
2p 2 2 ( s1 s2 )
讨论1：是什么力量使飞机能够在天空中自由翱翔？
P下
P上
讨论2：火车站候车站台边为什么要划上黄色的警戒线？
§5.2 粘滞流体一.流动形态 1.雷诺实验
流速较小
Байду номын сангаас
流速较大
观察水流形态有何变化？
§5.1 理想流体的定常流动一.几个概念
★讨论：流体具有那些特点呢？
1.流体：具有流动性的连续介质，是液体与气体
的总称。
特点：流动性、可压缩性、粘滞性。
可压缩性：
分子间距：气体：10-9m，液体：10-10m，液体的压缩性较小，一般情况下可忽略。（水在1000atm下，体积缩小5％）。粘滞性：内摩擦力：各层相对流动时，相邻两层间的相互作用力。有些液体（水、酒精）粘滞性较小,在流动范围不大，管道较粗时可忽略粘滞性。
特点：∵流线不相交
∴管内的流体不流出管外的流体不流进管内外不交换质量.
二.连续性原理导出v与s之关系
连续性方程(equation of continuity)
在 △t 时间内通过两个截面的流体的体积为 S1 面： S1*v1 △t 。
S2 面： S2*v2 △t 。由于理想流体不可压缩，则有 S1v1 △t = S2v2 △t S1v1 =S2v2 或 Qv =v S = 恒量

流体力学-第五章

Dw 1 p fz Dt z
第一节
理想流体的运动微分方程（2）
DV 1 f p Dt
u u u u 1 p u v w fx t x y z x
v v v v 1 p u v w fy t x y z y
w w w w 1 p u v w fz t x y z z
1 V V V f p t
第一节
理想流体的运动微分方程（3）
1 V V V f p t
DV 1 f p Dt
U P V 2 2v x u y z z z 2
V2 V2 U P dx y U P 2 x 2 V 2 U P 0 z z
Du u V 2 2w y v z Dt t x 2
第一节
理想流体的运动微分方程（5）
u 1 p V 2 2w y v z f x t x x 2 v 1 p V 2 2u z w x f y t y y 2
dxdydz
Dv p dy p dy f y dxdydz p dydz p dxdz Dt y 2 y 2

流体力学(连续性方程)

流体力学——微分形式的基本方程

内容主要内容

微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等

微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量

关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。

本章内容

内容

¾微分形式的连续性方程

¾作用在流体元上的力

¾微分形式的动量方程

¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件

¾压强场

流体运动的连续性

17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？

哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。

直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。(图B3.1.1)

微分形式的连续性方程

如图B3.1.1所示，

设流体流过以M(x,y,z)

为基点，以dx,dy,dz为

边长的控制体元。

在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为

取极限后可得

利用质点导数概念，可改写为

方程适用于：任

在直角坐标系中为

可压缩流体定常运动

因，由（B3.1.6在直角坐标系中为

表面力

表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体的接触力，如压强、粘性切应力等

流体运动的连续性方程

流体运动的连续性方程
1.1 连续性微分方程
对于均匀不可压缩流体，ρ为常数，则
ux uy uz 0 x y z
（4-18）
式（4-18）即为不可压缩流体的连续性微分方程。该式说明：
对于均匀不可压缩流体来说，单位时间流出与流进单位体积空间的
流体体积之差等于零，即流体体积守恒。
上述形式的连续性微分方程是1755年欧拉首先建立的，是质量
22 A2 11A1 0
22 A2 11A1 （4-19）
这就是恒定流动条件下总流的连续性方程。它表明，在
恒定流动中，总流沿程通过各过流断面的质量流量都相等。
① υ1
② υ2
控制面
流体运动的连续性方程
1.2 总流的连续方程
若流动不仅是恒定的，流体还是不可压缩的，则式（4-
19）中ρ1=ρ2，故有
【解】代入连续性方程
2x 2y
①
x
y
22 0
②
0
3xy
3x
0
x y
满足连续性条件；不满足连续性条件，流动不存在。
流体运动的连续性方程
1.2 总流的连续方程
【例4-5】直径4.5cm的压气机进口断面上空气的密度为1.2kg/m3，平均流速为 5m/s。经过压缩后在直径为2.5cm的圆管中以平均流速3m/s送出，求通过压气机的质量流量和出口断面的空气密度。

流体力学基本方程

流体力学是研究流体力学基本方程和流体运动的科学。流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。下面将详细介绍流体力学基本方程及其应用。

一、连续性方程

连续性方程描述了在任何给定的瞬间，流体质点的质量是守恒的。它可写成以下形式：

∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0

其中，ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表速度矢量，∇代表向量的梯度运算符。

连续性方程的应用主要体现在流体质点的质量守恒和质点间的相互作用中。在实际应用中，我们可以通过连续性方程来确定流体的流速分布、流体的流量以及管道的流场特性等重要参数。

二、动量方程

动量方程描述了流体运动过程中动量的守恒。它可写成以下形式：

ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg

其中，p代表压力，τ代表应力张量，g代表重力加速度。

动量方程的应用主要涉及到流体的力学特性，即流体的加速度、流速变化以及流体受外力作用下的运动行为。通过动量方程，我

们可以计算流体的速度分布、流体的力与压力的关系以及物体受

到流体作用力的情况。

三、能量方程

能量方程描述了流体运动过程中能量的守恒。它可写成以下形式：

ρ(∂e/∂t + v·∇e) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρQ

其中，e代表单位质量流体的内能，k代表流体的导热系数，T

代表温度，Q代表单位时间单位体积的热源。

能量方程的应用主要与流体的能量转化和传输有关。通过能量

方程，我们可以计算流体的温度分布、热传导现象以及流体在受

热源作用下的温度变化等。

综上所述，流体力学基本方程包括连续性方程、动量方程和能