山东大学 信息科学工程学院5-3 常系数线性差分方程的时域求解法
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程的法
差分方程常用解法1、 常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nk k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（2）的通解中有构成项： n c n c n nϕρϕρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构成项:n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +*n x （4） 方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1）中确定出系数即可。
差分方程的解法分析及MATLAB实现
差分方程的解法分析及MATLAB实现差分方程是描述离散时序系统行为的数学工具。
在离散时间点上，系统的行为由差分方程给出，这是一个递归方程，其中当前时间点的状态取决于之前的状态和其他外部因素。
解差分方程的方法可以分为两类：直接解法和转化为代数方程的解法。
直接解法通过求解差分方程的递归形式来得到解析或数值解。
转化为代数方程的解法则将差分方程转化为代数方程进行求解。
一、直接解法的步骤如下：1.将差分方程表示为递归形式，即将当前时间点的状态表示为之前时间点的状态和其他外部因素的函数。
2.根据初始条件，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态。
以下是一个简单的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+1，其中n为时间点。
按照上述步骤求解该差分方程：1.将差分方程表示为递归形式：y(n)=2y(n-1)+12.根据初始条件，假设y(0)=1，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态：y(1)=2y(0)+1=2*1+1=3y(2)=2y(1)+1=2*3+1=7y(3)=2y(2)+1=2*7+1=15...依此类推计算出所有时间点的状态。
二、转化为代数方程的解法的步骤如下：1.假设差分方程的解具有指数形式，即y=r^n，其中r为待定参数。
2.将差分方程代入上述假设中，得到r的方程。
3.解得r的值后，再根据初始条件求解出常数值。
4.得到差分方程的解析解。
以下是一个复杂一些的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+3y(n-2)，其中y(0)=1，y(1)=2按照上述步骤求解该差分方程：1.假设差分方程的解具有指数形式：y=r^n。
2.代入差分方程得到：r^n=2r^(n-1)+3r^(n-2)。
3.整理得到：r^2-2r-3=0。
4.解得r的值为：r1=-1，r2=35.根据初始条件求解出常数值：y(0)=c1+c2=1，y(1)=c1-c2=2、解得c1=1.5，c2=-0.56.得到差分方程的解析解：y(n)=1.5*(-1)^n+-0.5*3^n。
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
常系数线性差分方程的求解28页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是பைடு நூலகம்讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
3常系数线性差分方程
该“线性”与线性系统的“线性”含义不 同
2、常系数差分方程的求解：
① 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 ② 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 ③ 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 ④ 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。
前面已经证明： 当 x1(n)=(n) 时，y1(n) = anu(n) 当 x2(n)=(n-1) 时， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) 令：x3(n)=(n)+(n-1)， y3(0)=1 y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1 y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a … y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1 ∴ y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) ∵ 当x3(n)=x1(n)+x2(n)时，y3(n)≠y1(n)+y2(n)， 所以，该系统也不是线性系统。
B、当边界条件为y(0)=0时，为线性、移变系统 C、当边界条件为y(-1)=0时，为线性、移不变系统 证：(这里只证明A，B和C留给大家课后思考证明。)
令：x1(n)=(n)， y1(0)=1 y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 … y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an ∴ y1(n) = anu(n)
§1.3 常系数线性差分方程
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
常系数线性差分方程
同步骤1），由
y3 (n
1)
1 a
[
y3 (n)
x3 (n )]
得y3(n) an1，n 1
y3(n) (1 a) (n) (1 a a2 )an1u(n 1)
an1u(n 1)
4）结论：
当输入x1(n) (n)时，输出
y1(n) (1 a)anu(n) an1u(n 1) 当输入x2 (n) (n 1)时，输出
y2 (n) an1(a2 1)，n 1
同步骤1），由
y2 (n
1)
1 a
[
y2
(n)
x2 (n)]
得y2 (n) an1，n 1
y2 (n) a (n) (1 a2 )an1u(n 1) an1u(n 1)
3）令输入x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1)，
例1：已知常系数线性差分方程
y(n) ay(n 1) x(n)
若边界条件
y(1) 0
求其单位抽样响应。
解：令输入x(n) (n)，则输出y(n) h(n)，
又已知y(1) 0
由y(n) ay(n 1) x(n)，得
y(0) ay(1) x(0) 1 y(1) ay(0) x(1) a y(2) ay(1) x(2) a2
y1(n) an (a 1)，n 0
由y1 (n
1)
1 a
[
y1(n)
x1(n)]，得
y1 ( 2)
1 a
[
y1(1)
x1(1)]
a 1
y1 ( 3)
1 a
[
y1(2)
x1(2)]
a 2
_常系数线性差分方程的求解37页PPT
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
37
_常系数线性差分方程的求解
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
常系数线性差分方程的求解
2.有重根 3.有共轭复数根
X
7
2.特解
第
页
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
输入
输出
xk eak
ykAeak
xkejk
ykAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱjk
xkcosk ykA cos(k)
xksink ykAsin(k)
xk kn
y k A n k n A n 1 k n 1 L A 1 k A 0
X
4
二．时域经典法
第
页
1.齐次解：齐次方程的解
ykayk10
但起 y 1 始 ,y 2 , 状 y N 态 不能全为
y 1 0 , y y 0 1 y y1 0 Lyy k k 1 a
说 明 y k 是 一 个 公 比 为 a 的 几 何 级 数 , 所 以 yk Cak
或由特征 ra方 0,程 可r得 a 指数形式
ykCrkCak X
5
求待定系数 C由边界决定
第
页
设y1
2 a
,
代入原方程，
令k
0
y0a y1 2
由方程解yk
齐次解
y0C0aC C2 yk 2ak
求差分方程齐次解步骤
差分方程
特征方程特征根
y(k)的解析式由起始状态定常数
X
6
根据特征根，解的三种情况
第
页
1 .无重 r1根 r2rn n 阶方程
y k C 1 r 1 k C 2 r 2 k L C n r n k
xk A
yk C
xk rk
yk Crk
xk rk（r与特征根重）
ykC 1krkC 2rk
X
山东大学 信息科学工程学院5-1 离散时间信号-序列
RN (n) 1
累加和
L
1 2 3
N 1
1 o
与其它序列的关系：
N 1 n
R N (n ) u(n ) u(n N )
R N ( n ) ( n ) + ( n 1 ) + L + ( n ( N 1 ))
(n k )
k 0
x(n)
4．斜变序列
则 : 0 N 2 m ( m 为任意整数
2 N m
即：若
0
因为N为序列周期，为任意正整数，m也是整数
有理数，则正弦序列为 无理数，则正弦序列为
周期序列，且周期 非周期序列
N
2
0
m
7．复指数序列
x (n ) e
j 0 n
cos 0 n + j sin 0 n x (n) e
x (t )
卷积和
1 0 1 2 3 n
物理意义：任意离散时间信号可分解为无穷多个移序 单位样值序列的加权和．
四、卷积和
１．定义
x1 (n ) * x 2 (n )
m
x1 (m ) x 2 (n m )
图解过程：换元－反折－移序－相乘－累加和
２．性质 交换率
代数性质
x1 ( n ) * x 2 ( n ) x 2 ( n ) * x1 ( n )
例5.1-4 见讲义 p31
sn
a 1 (1 q )
n
1 q
常 用 序 列 的 卷 积 和 公 式
n n
n
如 : x(n) n
1,
(0 n 6)
常系数线性差分方程的求解
1
比较两边系数得
33DD12
2 2D
1
1
解得
D1
2 3
,
D2
1 9
完全解为 y(n) c(2)n 2 n 1
39
代入边界条件y(1) ，求1 c
1 c(2)n 2 (1) 1
3
9
y(n) 8 (2)n 2 n 1
Байду номын сангаас
9
39
得 c8 9
经典法不足之处
(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 (2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 (3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 (4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
上式称为k齐0 次微分方程的特征方程，其根 1,2, N
称为差分方程的特征根。
非重根时的齐次解 N
C11n
C2
n 2
C
N
n N
Ck
n k
k 0
K次重根时的齐次解
K
(C1nK1 C2nK2 CK1n CK )1n
Ci
n
K
i n 1
i 1
共轭根时的齐次解 1,2 a jb e j0
差分方程的边界条件不一定由 y(0), y(1), y(2), , y(N 1) 这一组数字给出。对于因果系统，常给定
y(1), y(2), y(3), , y(N) 为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指 y(1), y(2), y(3都),等,于y(零N，) 而不是指
y(0), y(1), y(2),等,于y(零N。1)
a0 y(n) a1y(n 1) aN1y(n N 1) aN y(n N) 0
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y zi ( n ) y h ( n )
由初始状态
后向差分方程： 前向差分方程： y ( 1 ), y ( 2 ), , y ( N ) y ( 0 ), y ( 1 ), , y ( N 1 )
形同
可确定齐次解中的待定系数
)=0,y(1)=2,激励x(n)=2nu(n),求y(n) 解： y(n) = – 3y(n – 1) – 2y(n – 2) + x(n)
y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + x(2) = – 2
y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + x(3) = 8 …
二、经典解法
§５.3
常系数线性差分方程 的时域解
迭代法、时域经典法、时域零输入零状态法、变换域法
一、迭代法
特点：概念清晰 方法简单 易于编程 但一般不易得到差分方程解析形式的(闭合)解
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知边 界条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为
y(n) + 3y(n – 1) + 2y(n – 2) = x(n)
k
a 不等于特征根 a是一特征单根 a是一个r 阶特征根
k
所有特征根均不等于1 k r ( B 0 B 1 n B k n ) n 有r 阶等于1的特征根
B 0 sin n B 1 cos n
例题：见讲义p35 例5.3-1
或 cos n
三、零输入响应
由定义推知：
见讲义 p36 5.5.3
与微分方程经典解类似， y(n) = yh(n) + yp(n) 齐次解 齐次解
（见讲义 p33）
特解
特解： 线性时不变系统输入与输出有相同的形式
输入
常数
Ba
n
特解
B
( B 0 B 1 n )a
n
r n
a n
sin n
n
( B 0 B 1 n B r n )a
B 0 B1 n B k n