【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线离心率选择题及详细解析

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2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一．选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二．填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

2020高中数学圆锥曲线中的离心率问题(含答案解析版)

2019-2020学年百强名校好题汇编高一数学（选修2-1）专题06 圆锥曲线中的离心率问题一、选择题1．（贵州省铜仁市思南中学2018-2019学年高二上学期第二次月考）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（）A ． 3B ．433C ． 2D ．2332．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试）已知 1,0F c ， 2,0F c 是椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ． 3533 ，B ．3232 ，C ．331,2D ． 2123．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期第一次月考）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ． 32B ． 212C ．202，D ． 302，4．（重庆市綦江区南州中学高2019届高二下第三学月考）已知12F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ，，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（） A ． 32B ． 23C ．22D ． 315．设椭圆 2222:10x y C a b a b 的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，12PF PF 122，12π2F PF，则椭圆离心率的取值范围为（）A ． 202，B ． 2523，C ． 2533，D ． 5136．（湖北武汉华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中）如图，12F F 、是椭圆1C 与等轴双曲线2C 的公共焦点，A B 、分别是12C C 、在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则椭圆1C 离心率是（）A ．63 B ． 33 C ．23D ．137．（广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期期中）已知12F F ，是双曲线 2222:10,0x y C a b a b的左右焦点，若直线3y x 与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12F PF Q 是矩形，则双曲线的离心率为（） A ．55 B ． 525 C ． 31 D ． 218．（青海省西宁市第四高级中学2017-2018学年高二上学期期末）设椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点分别为12F F ，，P 是C 上的点，212PF F F ，1230PF F ＝，则C 的离心率为（）A ． 33B ．13C ．12D ．369．（黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二上学期期中）已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b过点 3,6P 的直线L 与C 相交于A B ，两点，且AB 的中点为 12,15Q ，则双曲线C 的离心率为（）A ． 2B ．32C ．35D ．510．（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中）若椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为322221x y a b的离心率为 ( ) A ． 54B ．52C ．32D ．5411．（江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期期中）过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于,A B 两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB △为正三角形，则椭圆的离心率为（）A ． 3B ．33C ．23D 2112．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二下学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b过点 3,2，当22a b 取得最小值时，椭圆的离心率为（）A ． 12B 2C 3D ．313．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知过椭圆 2222:10x y C a b a b的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为其右焦点，若1260F PF ，则椭圆的离心率为（）A ． 53B ．32C ．22D ．3314．（黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知,A B 是双曲线 2222:10,0x y C a b a b 的两个顶点，P 为双曲线上（除顶点外）一点，若直线,PA PB 的斜率乘积为12，则双曲线的离心率e （）A ． 5B ．6 C ． 2 D ．15二、填空题15．（天津市七校2018-2019学年高二上学期期中联考）已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12,F F ，M 为1C 与2C 的一个交点，12MF MF ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若212e e ，则1e _______．16．（江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二上学期期中）椭圆 2222:10x y C a b a b的右焦点 ,0F c 关于直线by x c的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 _________ ．17．（江苏省启东中学2018-2019学年高二上学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF ，则该离心率e 的取值范围是________．18．（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二上学期期中）已知双曲线2222:10,0x y C a b a b的右顶点为A ，焦距为2c ，以A 为圆心，c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M N ，两点．若120MAN ，则C 的离心率为______．19．（辽宁省实验中学2018-2019学年高二上学期期中）已知椭圆 2222:10x y C a b a b的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222x y b 相切于点A ，并与椭圆C 交于两点,P Q ，若12PF PF ，则椭圆的离心率为______．20．（江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期中）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF ，双曲线的离心率的取值范围为 1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是________．专题06圆锥曲线中的离心率问题（参考答案）一、选择题1．【答案】D 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1212PF PF a ，1222PF PF a ， 112PF a a ，212PF a a ，设122F F c ，12π3F PF，则在12PF F △中由余弦定理得22212121212π4+2cos3c a a a a a a a a ，化简2221234a a c ，该式变成2212134e e ，2212121334e e e e ，解得121233e e ，，121e e 的最大值是33，故选D.2．【答案】B 【解析】设 00,P x y ，则2200221x y a b ，因为120PF PF，即 20000,,c x y c x y c ，两式联立整理得：2222023a x c a c，又因为2200x a ，所以2222203a c a a c，解得3222e故选B【解析】∵90APO ，∴点P 在以AO 为直径的圆上， ∵ 0,0,0O A a ，，∴以AO 为直径的圆方程为22224a a x y ，即220x y ax ，由22222210x ax x a b y y消去y ，得222322()0b a x a x a b . 设 ,P m n ，∵P 、A 是椭圆22221x y a b 与220x y ax 两个不同的公共点，∴322a m a b a ，2222a b ma a b ，可得222ab m a b .∵由图形得0m a ，∴2220ab a a b，即222b a b ，可得222a c c ，得222a c ， ∴2a c ，解得椭圆离心率22e ，又∵)1(0e ，，∴椭圆的离心率e 的取值范围为212.故选B.4．【答案】D 【解析】如图所示：由题意可得：12MF MF ，2MF c ，12MF a c ，122F F c ，所以 22224c a c c ，化为2220e e ，又)1(0e ，，解得31e ，故选D.【解析】设10F c （，），20F c （，），由椭圆的定义可得，12||2PF PF a ，可设2||PF t ，可得1||PF t ，即有 12t a ①由12π2F PF ，可得22212||||4PF PF c ，即为 22214t c ，② 由2②①，可得22211e令1m ，可得1m ， ∵122 ，∴332m 即有 2222221221112221m m e m m由21529e ，解得2523e . 故选：B6．【答案】A【解析】设 22222:10x y C a a a ，则212AF AF a 且1222F F a ，因为21AF F △为直角三角形，故2221128AF a AF a ，故131AF a，所以椭圆的长轴长为3a 2633a a. 故选A【解析】联立方程222213x y a b y ，有22222222333a b x b a a b y b a ，所以222243a b PQ b a因为矩形的对角线的长度相等，所以12F F PQ ，即2222423a b c b a，化简得42840e e ，解得31e ，故选C.8．【答案】A【解析】设2PF x ，∵212PF F F ，1230PF F ， ∴12PF x ，123F F x ，又122PF PF a ，122F F c∴23a x ，23c x ，∴C 的离心率为：33e．故答案为：A.【解析】设 11A x y ，， 22B x y ，，由AB 的中点为 1215N ，，则1224x x ，1230y y ，由22112222222211x y a b x y ab ，两式相减得： 1212121222x x x x y y y y a b ，则 22121222121245b x x y y b x x a y y a ，由直线AB 的斜率1561123k ， ∴22415b a ，则2254b a，易得双曲线的离心率32e ，故选：B ．10．【答案】B【解析】因为椭圆 2222:10x y C a b a b的离心率为32，所以224a b ， 5 故选B.11．【答案】B【解析】根据题意，如图所示，可得1F AB △为正三角形，可得在12Rt AF F △中，有122AF AF ，12223F F c ，点A 在椭圆上，由椭圆的定义可得12223a AF AF AF ，则该椭圆的离心率121233F F c e a AF AF ，故选B.【解析】由点在椭圆上则：22941a b，则22222222229449131324925a b a b a b a b b a 当且仅当222249a b b a ，即2223b a时等号成立，则椭圆的离心率3e故选：D ．13．【答案】D 【解析】由题意可知点P 的坐标为2,b c a或2,b c a ，因为1260F PF ，则223c ba222233ac b a c ， 23230e e ，解得33e故选D14．【答案】B【解析】由题意，可得()0A a ，，()0B a ，，设()P m n ， ∴22200PA PB n n n k k m a m a m a． ∵点P 是双曲线上的点，可得22221m n a b，化简整理得 22222b m a n a ． ∴22222222PA PB b m a b a k k m a a， ∵直线PA ，PB 的斜率乘积为12，即2212PA PB b k k a ，可得22212c a a ，即2232c a ，解得62e 故选：B ．二、填空题15．10 【解析】如图，由椭圆定义及勾股定理得，1212221224PF PF a PF PF c ，可得2121PF F S b △ ，则222221121c b a c c e 同理可得2122PF F S b △ 则222222222c b c a c e 联立有22222212c c c c e e ，即2212112e e ， ∵212e e ， ∴1104e ．故答案为：104．16．2 【解析】设椭圆另一焦点为1F ，线段QF 与直线:b l y x c交点为M ，设1QF n ，QF m ， ,O M 分别为1,FF QF 的中点，所以1QF 平行OM ，又OM QF ，所以22224l m n a m n c m b k n c，整理得22ab m b c acn b c ，代入2224m n c ，整理得：2220b b c b bc c ，所以b c ，所以22e.【解析】由题意可得：12PF e PF ，又122PF PF a ，所以 212PF e a ，由于2a c PF a c ，所以 12a c e a ①，且 12a c e a ②，①式两边除以a ，得 112e e ，解得21e ②式两边除以a ，得 112e e ，恒成立，所以离心率e 的取值范围是 21,1 .18．2【解析】因为120MAN ，故A 到直线0bx ay 的距离为2c ，又A 到直线0bx ay 22ab ab c a b ,，故2c ab c ，也就是42440e e ，解得2e ．19．【答案】53【解析】因为OA PQ ，12PF PF ，12OF OF ，故12PF b ，222PF a b ，所以2AF a b故 22222b a b c a b ，所以32b a ，解得53e故答案为：5335【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，它们公共的焦距为2c ，2PF n ， ∵110PF ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．∴由椭圆与双曲线的定义，得121021022n a n a n c，解之得1255a c a c ， ∵双曲线的离心率的取值范围为(1)2，，∴125c c，设5c x c ，可得51x c x ，从而得到椭圆的离心率11521242c x e c x x ．由12x ，可得1235e ．故答案为：1235，。

2020高考—圆锥曲线(解答+答案)

2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=．解得3n =-（舍去），32n =．故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2．若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =．所以C 的方程为22163x y +=．（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=．于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m+=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。

圆锥曲线重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有：椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可）方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线理( 解析版)

2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2020年高考数学圆锥曲线解答题必刷热点题型(附答案解析)

2020年高考数学圆锥曲线解答题必刷热点题型1．（2020•蚌埠三模）如图，设抛物线21:4C x y =与抛物线22:2(0)C y px p =>在第一象限的交点为2(,)4t M t ，点A ，B 分别在抛物线2C ，1C 上，AM ，BM 分别与1C ，2C 相切．（1）当点M 的纵坐标为4时，求抛物线2C 的方程；（2）若[1t ∈，2]，求MBA ∆面积的取值范围．2．（2020•威海一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P -是椭圆上一点，12||F F 是1||PF 和2||PF 的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且6HMA PHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．3．（2020•濮阳一模）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为1(0,)2，点A ，B 在该抛物线上且位于y 轴的两侧，3OA OB =u u u r u u u r g ．（Ⅰ）证明：直线AB 过定点(0,3)；（Ⅱ）以A ，B 为切点作C 的切线，设两切线的交点为P ，点Q 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，求||PQ 的最小值．4．（2020•辽阳一模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．（1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G ．证明：点G 在定直线上．（2）若2p =，点M 在曲线y =MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求MPQ ∆面积的取值范围．5．（2020•东莞市模拟）已知抛物线2:4E y x =，过抛物线焦点F 的直线1分别交抛物线E 和圆22:(1)1F x y -+=于点A 、C 、D 、B （自上而下）．（1）求证：||||AC BD g 为定值；（2）若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．6．（2020•天津一模）已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且||2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且(BO O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线离心率选择题及详细解析

2019年度高二数学理科考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1, 1A 、2A 是实轴顶点,F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是A ．)216,2(+B ．12,)2+C ．)216,1(+ D ．1(,)2++∞ 2．已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A ．334B ．332 C ．3 D ．2 3．设双曲线2222x y a b-＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A ．2 C D4．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（） A ． B ．C ．2D ．2 5．抛物线x y 82=的焦点为F ，过F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设n FB m FA ==,则=+nm 11（） A ．4 B ．8 C ．21 D ．1 6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能7．已知抛物线22y px =（p ＞0）的焦点F 恰好是双曲线22221x y a b -=的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为( )8．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=,则||PM 的最小值是（ )2 D.39．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为e ，直线与双曲线C 交于B A ,两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线()022>=p px y 上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线的斜率为（）A. 12+eB. 12-e C. 212+e D. 212-e 10．存在两条直线x m =±与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于ABCD 四点，若四边形ABCD 是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）三、解答题（题型注释）参考答案1．B【解析】试题分析：由于线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，说明以12A A 为直径的圆与BF 有两个交点，首先要满足a b e <⇒>BF 的距离小于半径a ，因为原点到BF bcbc a<，整理得：422b a c <，则22210ca ac e e -<⇒--<12e +⇒<，综上可知12e +<<；考点：求离心率2．A【解析】试题分析：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，双曲线的方程为)0,0(1222212>>=-b a b y a x ，半焦距为c ，由面积公式得333212⨯=⨯b b ，所以2212)13(3c a a +=⨯+，令θθsin 23,cos 21==ca c a ，所以334sin 32cos 21111≤+=+=+θθc a c a e e ，即椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为334。

专题20圆锥曲线离心率-解析版

专题20圆锥曲线离心率圆锥曲线离心率是高考数学命题中“永不消失的电波”,每年高考数学题中总是离不开圆锥曲线的离心率问题.为什么会如此呢?其一,离心率是圆锥曲线的重要几何特征;其二,圆锥曲线的离心率与其他基本量联系密切,容易产生知识交汇;其三,离心率与非解析几何知识相融合可以检测学生的综合分析能力.圆锥曲线离心率就是椭圆、双曲线的离心率,但由于椭圆、双曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合,许多几何性质叠加在一起,使应试者一时找不到突破口,形成思维卡壳点,必须寻找排除痛点的有效途径.一、充分挖掘几何图形中几何性质问题1:如图1,已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=√10,P是y轴正半轴上一点,PF1交椭圆于点A,若AF2⊥PF1,且△APF2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率为( )A.√54B.√53C.√104D.√154【解析】卡壳点:对图形中几何性质的挖掘成为障碍.应对策略:把直角三角形的内切圆性质与椭圆几何量之间建立联系.问题解答:设AF1=r1,AF2=r2.先挖掘信息“△APF2的内切圆半径为√22..因为PF2=PA+r1,又PF2=PA+r2−√2,所以r2−r1=√2①.再挖掘信息“AF2⊥PF1”得r22+r12=10②.由①②可得r2r1=4.故(r2+r1)2=(r2−r1)2+4r2r1=18,r2+r1=3√2=2a,2c=√10,所以e=√53.故选B.【反思】(1)通过挖掘问题中的平面几何图形来构造或列举a,b,c 的关系式,这是离心率问题中最常见的类型之一.掌握平面几何图形的特征与相关性质是高考的基本要求.(2)本题关键是挖掘出平面几何知识“直角三角形的内切圆的半径长等于两直角边之和减去斜边长的一半”,再加上“直角三角形中的勾股定理”,从而突破障碍.二、等价转化探求离心率不等式问题2:如图2,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),A 1,A 2是双曲线的顶点,F 是右焦点,点B(0,b),若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是（） A.(√2,√5+12) B.(√5+12,+∞) C.(1,√5+12) D.(√2,+∞)【解析】卡壳点:不理解题设条件中隐藏的几何性质. 应对策略:多角度理解题意,将目标层层转化.问题解答:条件“若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2),使得△P i A 1A 2构成以线段A 1A 2为斜边的直角三角形”可转化为“以A 1A 2为直径的圆与线段BF 有两个交点”,即转化为“{x 2+y 2=a 2,x c +y b =1有两解”,进而转化为“圆心(0,0)到线段x c +yb =1(0⩽x ⩽c)的距离小于半径a ",最后转化为“1a2<1b2+1c2且b >a (否则只会有一个交点)”,即“e 4−3e 2+1<0且e >√2”,即e >√2且e 2<3+√52.故选择A .【反思】(1)本题题设的几何条件代数化的转化过程是漫长的,先“由形到数”,再“由数到形”,多次转化才破解问题.(2)必须了解直线与圆有两个交点的代数意义,且了解方程组有两解所呈现的几何意义. (3)离心率问题就是要找到圆锥曲线基本量a,b,c 之间的代数关系式(等式或不等式).三、定义况性质建立离心率方程离心率是椭圆与双曲线的重要的几何性质之一,它离不开椭圆与双曲线的定义(基本定义与第二定义等),只有把问题中涉及定义的内容做精做细,才能找到基本量a,b,c 之间的数量关系.问题3:如图3,已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的左、右焦点分别是F1,F2,过点F2且倾斜角为60∘的直线与双曲线的右支交于点A,B,若△ABF1为等腰三角形,则双曲线C的离心率是（）A.−1+√132B.1+√132C.−1+√132或1+√132D.1+√32【解析】卡壳点:对题设中的等腰三角形不会分类思考.应对策略:对等腰三角形的两腰分类分析.问题解答:解法1 r2−r1=2a,r3−r4=2a,由对称性知F1A≠F1B.若F1B=AB,即r3=r1+r4,则r1=2a,r2=4a.由余弦定理知r22=r12+(2c)2−2×r1×2ccos120∘,即3a2−c2−ac=0,所以e=−1±√132. 若F1A=AB,即r2=r1+r4,则r3=4a,r4=2a.由余弦定理知r32=r42+(2c)2−2×r4×2ccos 60∘,即3a2−c2+ac=0,所以e=1±√132.又ba<√3,所以选择A.解法2目标优先思维,由对称性知F1A≠F1B,所以只有另两种情形,但必须满足ba<√3,所以选择A.【反思】对于特殊三角形,要抓其本质特征进行分类讨论,解法2能秒杀关键在于从“形”上分析.四、几何代数法共寻离心率问题4:如图4,已知点F为椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点M为圆O:x2+y2=b2上一动点(y轴右侧),过点M作圆O的切线,交椭圆于A,B两点,若△ABF的周长为3b,则椭圆E的离心率为_________.【解析】卡壳点:小题大做,跳入思维火坑不能出来.应对策略:由繁杂运算至简单运算的过程中,守找不同的思维切入点.抓住焦半径思考是一个智慧点.问题解答:解法1(考虑切点、切线的特殊性,结果跳入火坑)当点M为(b,0)时,AB=2bca ,AF=BF=√(bca)2+(c−b)2,则2√(bca )2+(c−b)2+2bca=3b,即4[(bc)2+(c−b)2a2]=(2bc−3ab)2.整理得−12b2c+5b2a+8abc−4ac2=0,两边同除以a3,得−12(ba )2e+5(ba)2+8(ba)e−4e2=0,即12e3−12e−9e2+5+8e√1−e2=0.将e=√53代人验算知满足题意.【反思】此处虽然考虑一种特殊位置关系,但运算太复杂,且最后的方程无法求解. 解法2(小题大做,结果发现一条性质)设直线AB:y=kx+m,由其与圆O相切可得b=√1+k2,所以m2=b2+b2k2.不妨设点M在第一象限,则k<0,m>0,故m=b√1+k2.将y=kx+m代人椭圆方程得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0.整理得(a2k2+b2)x2+2a2kb√1+k2x+a2b2k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=−2a2bk√1+k2a2k2+b2,Δ=4a2b2c2k2.故|x1−x2|=−2abcka2k2+b2,|AB|=−2abck√1+k2a2k2+b2.由焦半径公式可得|AF|+|BF|=a−ex1+a−ex2=2a+2abck√1+k2.a2k2+b2.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a,由题设知2a=3b,故e=√53解法3(几何代数一起挖掘,结果寻找到一个简捷途径)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,)−b2=ex1,则|AM|=√|OA|2−b2=√x12+y12−b2=√x12+b2(1−x12a2|AM|+|AF|=ex1+a−ex1=a.同理可得|BM|+|BF|=ex2+a−ex2=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53解法4(参数化表达,三角运算化解)设F(c,0),A(acos θ1,bsin θ1),B(acos θ2,bsin θ2),则|AM|=√|OA|2−b2=√a2cos2θ1+b2sin2θ1−b2=ccosθ1,|AF| =√(acosθ1−c)2+b2sin2θ1=√a2cos2θ1−2accosθ1+c2+(a2−c2)sin2θ1=√a2−2accosθ1+c2cos2θ1=a−ccosθ1,|AM| +|AF|=a.同理可得|BM|+|BF|=a.从而|AF|+|BF|+|AB|=2a..由题设知2a=3b,故e=√53【反思】(1)面对小题时,特殊化思维虽然是一条解题途径,但并非是一条能够迅速达到目标的最佳路径,因此,遇到障碍时,要及时修正,开辟新的思路.(2)积累圆锥曲线的一些性质和一些相关的智慧点是数学高考应试的技巧之一.（3）清圆锥曲线的本质特征,善于从几何与代数两个角度思考,从圆锥曲线的定义去思考并链接,可以找到快速求解的途径,解法3是最好的说明.五、先建切线方程减少运算量问题5:简化的奥运会主体育场的“鸟巢”钢结构俯视图如图5所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),顶点A(ma,0),B(0,mb),向内层椭圆x 2a2+y 2b 2=1引切线AC,BD ,若切线AC 与BD 的斜率之积为−916,则椭圆的离心率是_______.【解析】卡壳点:代数式运算力不足.应对策略:利用椭圆上点的切线方程,减少运算量. 问题解答:设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则CA:x 1x a 2+y 1y b 2=1 ①，BD:x 2x a 2+y 2y b 2=1 ②把A 点坐标代人①式,B 点坐标代人②式得x 1=am ,y 2=bm .将x 1,y 2的值分别代人椭圆方程可得y 1=b√1−1m 2,x 2=a√1−1m 2.由题意知k AC k BD =−916=b√1−12ma−am bm −mb a√1−1m2=−b 2a 2,即b 2a 2=916.故e 2=1−916=716,解得e =√74. 【反思】(1)此题的另一种解法,运算量就大得多.设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,外层椭圆方程为x 2(ma)2+y 2(mb)2=1(a >b >0,m >1),则A(ma,0),B(0,mb). 设切线AC 的方程为y =k 1(x −ma),切线BD 的方程为y −mb =k 2x .由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 1(x −ma)消去y 得(b 2+a 2k 12)x 2−2ma 3k 12x +m 2a 4k 12−(ab)2=0.Δ=(−2ma 3k 12)2−4(b 2+a 2k 12)[m 2a 4k 12−(ab)2]=0,得k 12=b 2a 2⋅1m 2−1.同理由{(bx)2+(ay)2=(ab)2,y =k 2x +mb消去y 得(b 2+a 2k 22)x 2+2mba 2k 2x +m 2a 2b 2−(ab)2=0.Δ=(2mba 2k 2)2−4(b 2+a 2k 22)[m 2a 2b 2−(ab)2]=0,得k 22=b 2a 2(m 2−1).所以−916=−b 2a 2,即b 2a 2=916,故e 2=1−916=716,解得e =√74. (2)本题是用数学眼光观察世界理念的产物,从北京奥运会的著名建筑“鸟巢”的设计信息中提炼抽象出这样一个数学问题.六、把垂直关系用活求离心率用代数方法解决几何图形中的问题,这是解析几何的基本研究方法,所以离心率问题也离不开代数变形、方程求解、不等式求解,挖掘几何性质或利用定义只是为了减少运算而不是完全去掉运算,所以在繁杂的数量关系中,一定水平的运算能力是解决问题的基本功. 问题6:已知直线l:y =x +1与曲线C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)交于不同的两点A,B,O 为坐标原点.(I)若|OA|=|OB|,求证:曲线C 是一个圆; (II)若OA ⊥OB ,当a >b 且a ∈[√62,√102]时,求曲线C 的离心率e 的取值范围.【解析】卡壳点:题设中几何条件的转化成为一个障碍.应对策略:充分利用两点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当OA ⊥OB 时,得到x 1x 2+y 1y 2=0. 问题解答:(I)证明:设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).因为|OA|=|OB|,所以√x 12+y 12=√x 22+y 22,即x 12+y 12=x 22+y 22, 所以x 12−x 22=y 22−y 12.因为点A,B 在曲线C 上,所以x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减得x 12−x 22=a 2b 2(y 22−y 12).所以a 2b 2=1,即a 2=b 2.故曲线C 是一个圆.(II)设直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 因为a >b >0,所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆. 因为OA ⊥OB ,所以y 1x 1⋅y2x 2=−1,即y 1y 2=−x 1x 2.将y =x +1代人b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0,整理得(b 2+a 2)x 2+2a 2x +a 2−a 2b 2=0. 所以x 1+x 2=−2a 2a 2+b 2,x 1x 2=a 2(1−b 2)a 2+b 2.因为点A,B 在直线l 上,所以y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1. 又因为y 1y 2=−x 1x 2,所以2x 1x 2+x 1+x 2+1=0. 所以2⋅a 2(1−b 2)a 2+b 2−2a 2a 2+b 2+1=0,所以a 2+b 2−2a 2b 2=0,即a 2+a 2−c 2−2a 2(a 2−c 2)=0，整理得2a 4−2a 2+c 2−2a 2c 2=0,所以c 2=2a 2(a 2−1)2a 2−1.故e 2=c 2a 2=2(a 2−1)2a 2−1=1−12a 2−1.因为a ∈[√62,√102],所以2a 2−1∈[2,4],所以1−12a 2−1∈[12,34],故e ∈[√22,√32]. 【反思】为了寻找离心率的范围,题中给出某一个几何量的变化范围,本身就是一个提示,建立离心率与此几何量的关系是目标,也是智慧点.强化练习1.若离心率为e 1的椭圆与离心率为e 2的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则e 12−1e 22−1等于（）A.−e 1B.−e 2C.−1e 1D.−1e 2【解析】由题意知c1=c2,d1=12√a2+b2=a1b2c2,d2=21√a2+b2=a2b1c2,d3=12√a2+b2=b2.从而(a2b1c2)2=a1b2c2⋅b2,即a22(a12−c12)=a1c2(c22−a22),两边同除以a12得e12−1e22−1=−e1.故选A.【反思】三个点到一直线的距离间有等量关系,因此为寻找两曲线离心率间的关系指出了方向.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,若l与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为（）A.√2 B.√3 C.2 D.√5【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=−1,|AB|=4|OF|=4.因为A(−1,ba ),所以ba=2,e2=1+(ba )2=5,选择D.【反思】对条件“|AB|=4|OF|”的挖掘是关键.3.如图,F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A.√2B.√3C.32D.√62【解析】解法1思维进人一般方法时:由题意OB2=3,则有，解得所以8a 2−13−a 2=3,整理得a 4−6a 2+8=0,解得a 2=2或a 2=4(舍去),选择D .解法2思维进人定义时:由题意c =3,AF 2+AF 1=4,AF 2−AF 1=2a ,解得AF 2=2+a,AF 1=2−a .又AF 12+AF 22=F 1F 22,得a =2,e =√62.选择D . 【反思】把题设条件中图形的几何性质挖掘出来.4.(1)如图1,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,虚轴的上端点为B ,线段AB 与渐近线交于点M ,若FM 平分∠BFA ,则该双曲线的离心率e 等于（）A.1+√3B.1+√2C.√3D.√2（2）如图2,A,F 分别是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点,过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直,与另一条渐近线和y 轴分别交于点P 和点Q .若AP ⊥AQ ,则C 的离心率是（）A.√2B.√3C.1+√134D.1+√1742222222213143x y a a x y x y ⎧-=⎪-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩228313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】(1)AB:x a +y b =1,OM:y =b a x ,解得M (a 2,b2),故M 为AB 的中点,从而判断△ABF 为等腰三角形,BF =FA,√c 2+b 2=a +c , 所以e 2−2e −2=0,解得e =2+√122=1+√3,选择A .(2)F(c,0),c 2=b ×FQ,FQ =c 2b,OQ =√c 4b 2−c 2=ac b,PQ:x c+by ac=1,联立方程{bx +ay =0,ax +by =ac,解得P (a 2c a 2−b 2,−abc a 2−b 2),于是acb−00+a ⋅−abca 2−b 2−0a 2c a 2−b2+a=−1,整理得2a 2+ac −2c 2=0,解得e =1+√174,选择D .【反思】抽象字母的代数式运算是基本功,在圆雉曲线运算中涉及方程组求解、繁分式运算都是常事,首先内心要接受,其次努力去化简,运算智慧是关键.5.如图,已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上一点,Q为双曲线渐近线上一点，点P ，Q 均位于第一象限，且2QP → =PF 2→ ,QF 1→ ∙QF 2=0→ ,则双曲线C 的离心率为（）A.√3−1B.√3+1C.√13−2D.√13+2【解析】设F 2(c,0),Q (x,bax),由““QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0”得(bx a)2=(c −x)(x +c)=c 2−x 2,解得x =a ,所以Q(a,b),从而得P (c+2a 3,2b 3).又点P 在双曲线上,所以(c+2a 3a)2−(2b 3b )2=1,化简得(e +2)2=13,选择C .【反思】(1)一是挖掘几何条件,即将几何条件代数化;二是运算中不能出错,细心细心再细心,代入时要细心,计算时要细心,一步一步做,不要跳步,要在草稿纸上留下痕迹,以便核对. (2)解析几何问题以运算繁杂为主要特征,因为运算要涉及运算方向、运算规则、运算次序,稍有一点出错,就可能导致解题失败.6.已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆C 上一点,且∠F 1PF 2=π3,若点F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上,则椭圆C 的离心率为_________.【解析】本题容易设点运算进人复杂思路,难以自拔.事实上,△F 1PF 2为正三角形,由于点P 的任意性,考虑特殊化情形,即PQ 为通径时,如答图.第6题答图可得b2a2c=tan π6=√33,所以a2−c2ac=2√33,即1e −e=2√33,整理得e2+2√33e−1=0,解得e=√33.【反思】(1)对圆雉曲线小题题设的每一个信息都要把握,缺一不可,否则思维就要受阻,一定要从几何图形上去挖掘,从特殊化上去挖掘,从定义上去挖掘,一旦进入实际计算，就会有新会有繁杂的运算等着你.(2)将一般问题特殊化处理是解决小题的常用思维方式,小题不能大做.7.设F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点,过点A作圆x2+y2=b2的切线,切点为P,则|AF|−|AP|=________.【解析】设F(−c,0),A(acos θ,bsin θ),其中θ∈(0,π2)|AF|=√(acos θ+c)2+b2sin2 θ=√a2cos2 θ+2accos θ+c2+(a2−c2)sin2 θ=√a2+2accos θ+c2cos2 θ=a+ccos θ,|AP|=√|OA|2−b2=√a2cos2 θ+b2sin2 θ−b2=ccos θ,|AF|−|AP|=a.【反思】椭圆上点的三角表示是运算简化的基础.8.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|= 2|F2B|,|AB|=|BF1|,则椭圆的离心率是__________.【解析】如答图所示,第8题答图设|AF 2|=2|F 2B |=2r 1,|AF 1|=r 2.由椭圆定义可列{r 1+3r 1=2a,r 2+2r 1=2a,所以|AF 1|=r 2=a ,|AF 2|=a,|BF 2|=a2.在△ABF 1与△BF 2F 1中运用余弦定理,cos B=(32a)2+(32a)2−a 22×32a ×32a=(32a)2+(12a)2−42×32a ×12a解得a 2=3,所以椭圆的离心率为√33.【反思】运用圆锥曲线的定义去建立几何量之间的关系是解题的关键点.9.如图,F 1和F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,求双曲线的离心率.【解析】解法1设AB交x轴于点M,并设双曲线的半焦距为c,因为△F2AB是等边三角形,所以|OM|=c2,|MA|=√32c将点A(−c2,√32c)代人双曲线方程:b2⋅c24−a2⋅34c2=a2b2,即c2(c2−a2)−3a2c2=4a2(c2−a2),他简珙c1−8a2c2+4a4=0,即e4−8e2+4=0，解得e2=4+2√3,e=√3+1.(因为e>1,所以e2=4−2√3及e=√3−1舍去)解法2连接AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c. 令|AF1|=r1,|AF2|=r2,由直角三角形的性质知:{r2−r1=2a,12r2⋅2c=r1r2,解得{r1=c,r2=2a+c.因为r12+r22=4c2,所以(2a+c)2+c2=4c2,即2a2+2ac−c2=0,整理得e2−2e−2=0. 因为e>1,所以取e=√3+1.【反思】两种解法都是运用圆雉曲线的定义与相关几何条件建立方程,即使是用解析法解题,也应不失时机地引入几何手段.。

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）（1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系（1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距（2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

2020年高考数学专题训练——第38讲圆锥曲线离心率综合问题

【答案】A
【解析】由题意知，外层椭圆方程为，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，可知是等腰三角形，在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．
7．如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则，，，因为，所以，，即，所以，即，，从而得，故选B．
4．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点 ,若的垂心为的焦点，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为为等腰三角形，设，
由为双曲线上一点，，
由为双曲线上一点，，
再中，由余弦定理得 ,
所以，所以
又因为，所以，所以，故选A.
二、填空题
13．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
10．设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（）
A. B. C. D.

高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

2020届高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围(含解析)

问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b, c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a, c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a, c的齐次式，进而求解.（2）要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征 1 PF|+ 1 P日>2 C的运用三、知识拓展2 21.在求椭圆务+与=1（a Ab >0 ）离心率范围时常用的不等关系：x兰a，y^b , a — c^FP^a + c,a bb兰OP兰a （P为椭圆上一点）2.在双曲线务岭=1a 0,b 0中，e=2=,1b,a2 b2 a Y 匕丿四、题型分析（一）借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点A -1,0和B 1,0，动点P x，y在直线l： ^x 3上移动，椭圆C以代B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A. 5B C.2、5D2后5555【答案】A【解析】A -1,0关于直线丨：y =x 3的对称点为A -3,2 ,连接AB交直线I于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为AB =2 5,所以椭圆C的离心率的最大值为° = I -5 ,故选A.1 1 a 岳5【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值2 2【小试牛刀】已知椭圆G :冷•占“（a ■ b ■ 0）与圆C2：x2 y^b2,若在椭圆G上存在点P,使得由点a bP所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（）AI B -今弓C •日）D详‘1）【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角.APB最小，若椭圆C i上存在点P令切线互相垂直，则只需.APB _ 900,即? - ■ APO _ 450,炸前450诗,解得U e_2,即°_手,而°：：：e ",彳池"即e曰）（二）借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，厶的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.2 2【例2】已知椭圆^2 ^7 =1（a b 0）上一点A关于原点O的对称点为B, F为其右焦点，若AF _ BF ,a b设"BF—且一药厂则椭圆离心率的取值范围是——【答案】【解析】左焦点为 F i .连结AF i ,BF i 可得四边形AF i BF 是矩形，所以AO =0F =0B = c .所以AB = 2c 又AF _ BF ,所以.AF = 2csin , BF = 2ccos 、f .又因为 AF^ BF , AF 1 AF = 2a .所以【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2csin t ' 2ccos ： = 2a ,然后借助已知条件五，4，利用三角函数的图象求解离心率的范围【百校联盟 2018届TOP202018届高三三月联考】•已知平行四边形ABCD 内接于椭圆【答案】A D.B 关于原点对称，设 D X 0,y ° , B -x °,-y ° , A X, y , - k AD2csin ：亠2ccos ：=2a ・即 a sin 匚：:cos ：、、2 sin( )4r n jr "I.因为，一，所以_12 4今―云吩亍门.所以子、;甞故填.63y —y 。

高考数学复习微专题圆锥曲线的离心率问题及答案

微专题圆锥曲线的离心率问题及答案微专题201．答案：52. 解析：两条渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，所以b a ＝12，得出离心率为52.2．答案：2.解析：不妨设一条渐近线方程为bx －ay ＝0，所以|bc |b 2＋a2＝32c ，b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，所以离心率为2.3．答案：3－1；2.解析：假设渐近线与椭圆在第一象限内交点为P ，左、右焦点为F 1，F 2，由正六边形性质知，Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，PF 2＝c ，PF 1＝3c ，由椭圆定义知c ＋3c ＝2a ，所以椭圆M 的离心率为3－1，渐近线y ＝n m x 与x 轴夹角为60°，所以nm ＝3，双曲线N 的离心率为2.4．答案：53. 解析：设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为OQ 为△F 1PF 的中位线，所以PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又因为OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，△F 1PF 中勾股定理得，PF 12＋PF 2＝F 1F 2，b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，b 2＋(2a －b )2＝4a 2－4b 2，b a ＝23，所以e ＝c a ＝53.5．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6－22. 解析：因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，所以M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，过M 作y 轴的垂线，垂足为N ，△PQM 是钝角三角形，则∠PMQ ＞90°，∠PMN ＞45°，cos ∠PMN ＜22，acb 2＜22，e 2＋2e －1＜0，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是0＜e ＜6－22. 6．答案：(2－1，1)．解析：△PF 1F 2中，正弦定理sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝c a ＝PF 1PF 2，因为PF 2＝2a －PF 1，PF 1＝2ae1＋e ，a－c ＜PF 1＝2ae1＋e＜a ＋c ，又0＜e ＜1，所以椭圆E 离心率的取值范围是(2－1，1)．7．答案：5－12.解析：假设右焦点为F 2，连接F 2Q ，PQ →＝F 1F 2→，所以平行四边形F 1F 2QP ，F 1Q →＝λ(F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|)(λ>0)，所以F 1Q 为∠PF 1F 2的平分线，得菱形F 1F 2QP ，PF 1＝PQ ＝F 1F 2＝2c ，由圆锥曲线统一定义得PF 2＝e ·PQ ＝2c ·e ，由第一定义得PF 1＋PF 2＝2a ，2c ＋2c ·e ＝2a ，e 2＋e －1＝0，所以e ＝5－12. 8．答案：[7，10]．解析：以AB 中点O 为坐标原点，AB 为x 轴建系，设AB ＝2c ，则C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0满足e 24－y 02b 2＝1，又AE →＝λEC →，坐标化得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c （λ－2）2（1＋λ），λy 01＋λ，代入椭圆方程x 2a 2－y 2b 2＝1，e 24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－21＋λ2－⎝⎛⎭⎫λ1＋λ2·y 02b 2＝1，消去y 02b 2，得e 2＝1＋2λ1－λ＝－2＋31－λ，在⎣⎡⎦⎤23，34上为增函数，7≤e 2≤10，所以双曲线的离心率范围为[7，10]．1.(2018·苏北四市零模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．2．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．3．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．4．点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 22相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 中点，则椭圆C 的离心率为________．5．点M 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆E离心率的取值范围是________．6．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，该椭圆的离心率取值范围是________．7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →＝2F 1O →，F 1Q →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫F 1P →|F 1P →|＋F 1O →|F 1O →|(λ>0)，求椭圆的离心率．8．已知梯形ABCD 中，AB ＝2CD ，又AE →＝λEC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，当23≤λ≤34时，求双曲线的离心率范围．。

2020高考圆锥曲线离心率专题总结

圆锥曲线的几何性质1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系． 2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．考点一圆锥曲线的离心率问题例1．（2020·福建厦门高三期末）已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（） AB ．32 C ．53 D例2．（2020·安徽安庆高三期末）已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A．)+∞ B． C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭C（2020·福建漳州质检）已知1F 、2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过右焦点2F 的直线l ，交的左、右两支于A 、B 两点，若B 为线段2AF 的中点且1BF l ⊥，则双曲线的离心率为（） A ．4 B ．5 C ．6D ．7（2020·河南许昌质检）已知斜率为13的直线l 经过双曲线22221y x a b-=的上焦点F ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（） A．1e <<B．1e <<C．e > D．e > 考点二与圆锥曲线有关的最值问题例3．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．2.5例4．（2020·浙江嘉兴一中高三期末）已知A ，B 是椭圆：2213y x +=短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆上不同于A ，B 的动点，若直线PA ，PB 分别与直线4x =-交于点M ，N ，则OMN ∆面积的最小值为（） A．B．C．D．CC C C（2020·山西运城高三期末）已知1F ，2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(C ．(D ．(（2020·广东惠州三调）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（）A ．2B ．3C D考点三圆锥曲线综合问题典例5．（2020·武邑县教育局教研室高三期）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（）AB C D例6．（2020·安徽六安示范高中质检）已知抛物线24x y =-的焦点为F ，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F 为圆心，AF 为半径的圆交y 轴负半轴于点B .平行于AB 的直线l 与抛物线相切于点D ，设A ，D 两点的横坐标分别为A x 和D x ，则A D x x ⋅=（）A ．-4B ．2C ．-2D ．4【举一反三】（2020·安徽淮南一模）已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A 8B ．)41-C 8+D ．)22（2020·四川南充适应性考试）已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（） A ．1- B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化课后练习1．（2020·辽宁高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ，若点A ，B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点，点M 为直线2l上一点，且AM BM k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为（） A ．1BC ．2D2．（2020·河北高三期末）椭圆2222:11x y C a a +=-与抛物线24y x =在第一象限相交于点12,,P F F 为椭圆的左、右焦点.若22PF =,则椭圆的离心率是（）A ．12 BC ．34 D13．（2020·河南高三期末）已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( ) AB ．2CD4．（2020·陕西高三期末）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线的离心率为（） A．2BC．2+ DC C CC C C5．（2020·辽河油田第二高级中学高三月考）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为ABC ．2D6．（2020·石嘴山市第三中学高三期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．37．（2020·天津高三期末）抛物线22y px =(0)p >的焦点与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点F重合，且相交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线于另一点，且与双曲线的一条渐近线平行，若1||||2AF FC =，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D ．38．（2020·甘肃高三期末）F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，,M N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（）A ．2 B．CDB ．2eC ．eD ．2eCC。

2020届新高考数学二轮微专题突破专题06 圆锥曲线中的离心率的问题(解析版)

专题06 圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．例2、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；思路分析第(1)问根据条件求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆的方程；第(2)问根据条件转化为a ，b ，c 的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第规范解答 (1) 因为点P (3，1)，所以k OP ＝13，又因为AF ⊥OP ，则－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P (3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b2＝1，解得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1.(4分) (2) 解法1 由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0,解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c 2＝bca 2，又OP ⊥AF ，所以k OP ＝cb.由题意得c b ＝2bca 2，所以a 2＝2b 2.(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) 解法2 设点Q 坐标为(x 0，y 0)，则有x 20a 2＋y 20b 2＝1，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2，又k AQ ＝y 0－b x 0，k BQ ＝y 0＋b x 0，所以k AQ ·k BQ ＝y 20－b2x 20，将y 20＝b2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2代入上式，化简得k AQ ·k BQ＝－b 2a 2.(7分) 又k AQ ＝－b c ，所以k BQ ＝bca 2.因为OP ⊥AF ，所以k OP ＝cb .由题意得c b ＝2bca 2，所以a 2＝2b 2.(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) 解后反思从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心，缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差，例3、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值．【解】(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22，所以a －c 2＝22. 所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2)因为A(a ，0)，F(－c ，0)，所以线段AF 的中垂线方程为：x ＝a －c2.又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上，所以C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为A(a ，0)，B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分) 即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝22.(14分)题型二求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

2020届高考数学二轮复习专题《圆锥曲线的离心率问题》

专题33 圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在解决圆锥曲线问题中有着重要作用．纵观近几年高考试题，离心率在填空题中考查居多，一是求椭圆(或双曲线)的离心率的大小，二是求椭圆(或双曲线)的离心率的范围，难度一般为中等或中等偏下．解答题中考查大都是把离心率作为求椭圆方程的一个条件，只需代入即可，是基本要求．本专题主要通过对近年来各地的一些模考题及高考题的分析，来探索有关求离心率的策略与方法.(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为________．图33-1点M 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若△PQM 是钝角三角形，则椭圆E 离心率的取值范围是________．本题考查求椭圆离心率的大小和范围，(1)题中，设B 为椭圆的左顶点后，由椭圆的对称性可得，四边形APBQ 是平行四边形，从而有△AFM与△BQF相似，从而可得AFBF＝AMBQ＝12BQBQ＝12，于是可得a与c的等量关系，进而求得离心率的值，本解的解决包含着等价转化思想的应用；(2)题中，要求离心率的范围，先要找出含有a，b，c的不等关系的条件，将题中的圆心角钝角∠PMQ转化为它的一半的范围，从而由45°<12∠PMQ<90°，由此可得a，b，c的不等关系，进而可求离心率的范围.(2019·全国卷)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则双曲线C的离心率为________．图33-2(2020·济南模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为________．设F 1，F 2是椭圆E：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是________．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为________．(2019·全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B两点．若F 1A →＝AB →，BF 1→·BF 2→＝0，则C 的离心率为________．(2020·徐州模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点，若PF 1与x 轴垂直，cos ∠PF 2F 1＝1213，则该双曲线的离心率为________．32由通径长公式得|PF 1|＝b 2a ，∵cos ∠PF 2F 1＝1213，∴|PF 2|＝13b 25a，∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴13b 25a －b 2a ＝2a,8b 2＝10a 2，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32. 在Rt △PF 1F 2中， ∵cos ∠PF 2F 1＝1213， ∴tan ∠PF 2F 1＝512，∴b 2a 2c ＝512， ∴5ac ＝6b 2＝6(c 2－a 2)，即6c 2－5ac －6a 2＝0. ∴ 6e 2－5e －6＝0解得e ＝32，e ＝－23(舍去)作业评价(2020·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 中点，则椭圆C 的离心率为________．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的取值范围为________．如图33-5所示，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．图33-5如图33-6所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.若|PF 1|＝|PQ |，则椭圆C 的离心率e 为________．图33-6如图33-8所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图33-8(2018·全国卷)设F 1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为________．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P，使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，该椭圆的离心率取值范围是__________．(2020·潍坊模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，F A为半径的圆交C的左支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为________．。

2020高考数学复习专题63 圆锥曲线的离心率(解析版)

专题63圆锥曲线的离心率专题知识梳理1.离心率的概念：在圆锥曲线中，我们把c a 称为离心率，在椭圆中a 是长半轴长，在双曲线中，a 是实半轴长，c 都称为半焦距，离心率都用字母e 表示.当离心率1e >时，表示的图形是双曲线；当离心率1e =时，表示的图形是抛物线；当离心率01e <<时，表示的图形是椭圆．2.在计算离心率的大小时，通常有三种方法：一是根据题目中的条件，直接求出,,a b c 的值，再计算离心率；二是建立,,a b c 之间的齐次等量关系，再化归为关于离心率e 的方程求解；三是建立,,a b c 之间的齐次不等式，再化归为关于离心率e 的不等式，求离心率e 的取值范围．3.要得到a 、b 、c 的关系式，常常有两种途径，一是利用图形中存在的几何特征，譬如焦点三角形，圆锥曲线的定义等构造等式；二是利用坐标运算，如果题目中的条件难以发掘几何关系，则考虑将点的坐标用a 、b 、c 表示，再利用条件列出等式或不等式求解．.考点探究【例1】已知椭圆方程为22143x y +=，则椭圆的离心率为．【解析】由题意知，椭圆的长半轴长为2a =，短半轴长为b =，解得1c ==，∴离心率12c e a ==．【例2】如图，F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为____．【解析】连接AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，由△F 2AB 是等边三角形，得∠AF 2F 1＝30°，|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝(3－1)c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.【例3】在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a =±，而直线:10l x y ++=与b y x a =的交点肯定在y 轴左侧，只要保证直线:10l x y ++=与b y x a =-的交点也在y 轴左侧，即1b a->-，∴b a <，222c a a -<，离心率1e <<题组训练1.已知双曲线22221x y a b -=的一焦点坐标为，且这点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．【解析】由题意知半焦距为c =，且到渐近线b y x a=的距离为1，1=，解得224a b =，又225a b +=，解得24=a ，2,1=b ∴离心率为2e =．2.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点，若1PF 与x 轴垂直，2112cos 13PF F ∠=,则该双曲线的离心率为▲．【解析】在12PF F ∆中，∵2112cos 13PF F ∠=，122F F c =，∴2136c PF =，156c PF =，又∵212PF PF a -=，∴135266c c a -=，得32c a =．即离心率为32e =．3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为____．【解析】过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得点M 的横坐标为c ，所以点M 的纵坐标为2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1.4．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____．【解析】由题意得，圆半径r ＝b 2a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0＞cos A 2＝c r >cos π4，即22<c r<1，所以22<ac a 2－c 2<1，即22<e 1－e 2<1，解得e ∈(6－22，5－12)．5．椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率e 的取值范围是____．【解析】设F(－c ，0)，A(0，b)，B (a ，0)，且ΔFAB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将F (－c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)分别代入可得m ＝－c ＋a 2，n ＝b 2－ac 2b ，由m ＋n <0可得－c ＋a 2＋b 2－ac 2b<0，即1－c ＋b －c b <0⇒b －c ＋b －c b<0，所以b －c <0，即b 2<c 2∴e 2>12，所以e 6.（2019徐州期中调研）设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点，若1PF 与x 轴垂直，2112cos 13PF F ∠=,则该双曲线的离心率为▲．【解析】在12PF F ∆中，∵2112cos 13PF F ∠=，122F F c =，∴2136c PF =，156c PF =，又∵212PF PF a -=，∴135266c c a -=，得32c a =．即离心率为32e =．7.如图，椭圆22221(0)xya b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是.【解析】设00(,)P x y ，∵线段AP 的垂直平分线过点F ，∴PF AF =，又∵20PFc a ax c =-，∴0PF a ex =-，2a AF c c =-，∴20a c a ex c -=-，即20a a ex a c a c-≤=+-≤11e -≤<．8.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．则椭圆的离心率为.【解析】由题意知(,0),(0,)A a B b ，则(,22a b M ，∴2223(,)(,)22222a b a b b OM AB a b ⋅=-=-+=- ，即2222444a b a c ==-，∴234e =，即2e =．9.椭圆22221(0)xya b a b+=>>，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则离心率e =【解析】由题意知(,0),(0,)F c B b ，直线2:a l x c =，则1d =，22a d c c =-，∵126d d =，∴22a c c -=，即2224()6a c a c -=，∴42610e e +-=，解得213e =，即3e =．10.椭圆的左焦点为F,若F 关于直线03=+y x 的对称点A 是椭圆上的点，则椭圆的离心率为【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点(,0)F c -0y +=的对称点00(,)A x y ，则000(1,0,2y x c y ⎧⋅=-⎪+⎪=解得00,2,2c x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵点00(,)A x y 在椭圆上，∴22223144c c a b +=，解得1e =-．。

高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析

圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94，当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14；（2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0，由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9，同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ）由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ）设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．，解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4，所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2，所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0，而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1，由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1，即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1，所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2，设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案解几综合题答案1.解：（Ⅰ）由已知得()(,) 11 22OA OB m n mn ?=?=-=-分14m n ∴?= …………4分（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+- …………5分∴)x m ny m n =+=-?? 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn = 8分∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支…………9分（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-=即 22(31)1290t y ty -++=易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0t t t ?=--=+>设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧12122121222222(2)(2)2()491224313134031x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?+?+--+=->-∴ 2310t -<，即2103t <<又由 120x x +>同理可得 2103t << …………11分由3ME EN =得1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴121223(2)3x x y y -=-??-=?由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631t y t =-由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 222331y t =--消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t << …………13分故所求直线l 存在，其方程为：15250x y --=或15250x y +-= 2. （I ）由已知()y M ,0，()y x N -, 2分则()()422,,22=-=-?=?y x y x y x MN OP ，即12422=-y x 4分（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，24||||2121-==x y y此时()()()02422221212121=---=+--x x y y x x ，则0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则=-+=4222y x m kx y ()042412222=+++-m kmx x k 则()()>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即>+-≠-024012222k m k又124221--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分∴()()()22121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=124122124124222222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?()=+++-=21212142y y x x x x 01241248128124222222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则012822=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141|4|22<+=+-=k k k d 13分由①②可得，4max =d 14分3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+121222x x x y y y +?=+?=??..........1’由222x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’ 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ?=+>2122421k x x k +=+....................................................5’于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m = 由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-??m ?=.............10’同理，在'QF F ?，设||QF n =，则|'|QF m = 也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-??n ?=’于是1111||||PF QF m n +=+=+=..........................14’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)∵双曲线1131222=-x y 的离心率为125，∴F 对应的准线方程为512=y ,由双曲线的定义得|,512|125||,125|512|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分）又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，)4().512(125||),512(125||)3().512(125||201分分 -=-=-=∴y CF y BF y AF∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴26113126)(21022210==-=+=x x y y y y 得代入，∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(+=λ，∴在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分）∵线段AC 的中点为D 点，∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分）∴设直线l 的方程为),2(6212121x x x y y x x y +----=-),(13,11312,11312,)(2621222122221212122212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又,21362121+---=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）故直线l 恒过点（0，225）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2= b 2+ c 2，所以b a 2=，…………①由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②由①②知1,2===c b a ，∴椭圆的标准方程为：.1222=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y 解方程组=++=122y x kx y消去.230,034)21(222>>?=+++k kx x k y 得由得设),(),,(2211y x N y x M ，则221214k k x x +-=+……………… ③ .213221k x x +=………………④又因M 在DN 之间，所以DN DM λ=，即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-，于是λλλλ212212212221)1(,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2222213)1()214(k k k +=++-，整理得.)1(316121,)1(3121162222λλλλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .331,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>λλλ由此解得kk又.131,10<<∴<<λλ …………………………………………………………10分当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 31,0==这时，.31=∴λ ……………………………………………………………………………11分综上所述，λ的取值范围是.1,31??∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF caF F c 解得==1222b a ，从而所求椭圆的方程为.1222=+y x （4分）（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.设直线AB 的方程为)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.由=++=12),2(22y x x k y 消去x 得22)21(22=+-y y k ，即.02412222=+-+y k y kk 根据条件可知??≠<+?-=?.0,0128)4(222k kk k 解得.22||0<<="">设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得+=+=+.122,1242221221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而+=+=+.122,124)1(222222k k y k k y λλ 消去.128)1(222+=+k y λλ得（8分）令3151],31,51[,)1()(212≤<≤∈+=λλλλλλφ任取，则22212121)1()1()()(λλλλλφλφ+-+=-.0)11)((2121>--=λλλλ（10分）]31,51[)(是区间λφ∴上的减函数，从而)51()()31(φλφφ≤≤，即536)(316≤≤λφ， 5361283162≤+≤∴k ，解得.22||0,21626221<<≤≤-≤≤-k k k 适合或因此直线AB 的斜率的取值范围是].2 1,62[]62,21[ -- （12分）7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， (4)分∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =，∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=，∴ 1011(1),2.m x y y λλ?-=--=? ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ?=+-=-??……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m m m λλλ?+=?-+-+=?-?……………………………10分消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤．……………………………14分8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM A M 即即………（2分）.544212221=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）设∠POM =α，则.5cos ||||=??α.5sin ||||,25=??∴=αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)9(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++?∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.故存在定一点 E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |2＝1，即|x 2－y 2|＝2．………………………………4分∵P ∈D ．∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2＞0．∴x 2－y 2＝2(x ＞0)．即曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)．…………6分（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 22．即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分∵曲线C 的方程为x 22－y 22＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2．根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |x 2－1＝2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22．由此可得x 1＋x 2＝4＋22．∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分（Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2＝1(x ＞0)，∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2．分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '．设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．由双曲线的定义可得，|AF ||AA '|＝|BF ||BB '|＝2，∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴|QQ '|＝12|AB |．②把②代入①得|AB |＝22(12|AB |－1)，解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分（Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线AB 过点F (2，0)，当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意．∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．代入双曲线方程x 2－y 2＝2得，x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0，∵直线与双曲线交于A ，B 两点，∴k ≠±1．∴x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2k 2－1．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]……………………………………………………9分∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离12(x 1＋x 2)相等．即12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．∴12(1＋k 2)[? ??4k 2k 2－12－4?4k 2＋2k 2－1]＝12?4k 2k 2－1．………………………………………12分化简得k 4 －2k 2－1＝0，解得k 2＝1＋2（k 2＝1－2不合，舍去）．经检验，当k 2＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。

2020高考圆锥曲线试题带答案

一选择题
1. 如果方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是（ 4m m3
A． 3 m 4
B． m 7 2
C． 3 m 7 2
D． 7 m 4 2
2．如图，F1，F2 是双曲线
C：
x2 a2

y2 b2
1(a＞0，b＞0)的左、右焦
4
2
4
1
A.
B.
C.
D.
5
3
7
2
7.若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是
（ D）
A.( 15 , 15 ) 33
B.(0, 15 ) 3
C.( 15 , 0) 3
D.( 15 , 1) 3
8. 已知直线 l1, l2 是经过椭圆
F2
'( 0 , 6 )
,
设所求双曲线的标准方程为 y 2 a2

x2 b2
1(a

0, b

0) ,
由题意知半焦距 c =6,
2a 4 5 a 2 5 ∴ b 4 ,
故所求双曲线的标准方程为 y 2 x 2 1 . 20 16
考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.
则点 P 的轨迹方程为___ y 4(x 2) _____.
三解答题 1. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( 5 , 3) , 求它的标准方程.
22
16.由椭圆定义知 2a

5 2

2
2

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