2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)TF

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2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AEE

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t tt t x x a t t t===--， 22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+- 且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.2．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-，级数1nn U ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛． (3)121lim1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．4．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)LO

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…； (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11n n n ∞=-∑，由lim(1)0n x n n →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)． (2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e 1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．求下列各曲线所围图形的面积：（1） y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2) (1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23 ∴ D 1+D 2=2π+43, D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)QQ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =；解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少. (6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加，在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.2．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑； (3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)NJ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求函数1()f x x=在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解： 121211(1)(1)1(1)n n n n n x x x x x x θ+++=--++-+-++ 12211()1[(1)](1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]n n n f x x x x x x x x θθ++∴==-+-++=-++++++++<<-+2．将函数()0arctan d xt F t x t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1） 3．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232333331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n n n n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散． (3) ()()11132lim lim 2313lim21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散． (4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n n n n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．4．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)ABQ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=.证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<，使得2()0;,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b-<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n f ξ=.2．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)JM

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．计算0.2e 的近似值，使误差不超过310-. 解：234e e 1 (01)2624xxx x x x θθ=++++<< 230.2(0.2)(0.2)e 10.2 1.2213 1.22126≈+++=≈ 0.2444e 31(0.2)(0.2)(0.2)0.20.00020.00124248R θ⨯=⨯<⨯=⨯≈<2．用根值判别法判别下列级数的敛散性： (1) 1531n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2) ()[]11ln 1n n n ∞=+∑； (3) 21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (4) 1n n n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim 1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2) ()1lim 01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931n n n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim lim n n n b b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，b a =1，无法判定其敛散性．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133222213333n n n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为ΔL (x )= 772255222(52)d 51x x x x -=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5．半径为R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x －R )2+y 2=R 2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R ]区间上。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)CM

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数的极值:(1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==, 126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+,令0y '=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+；解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-，令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =+解: 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点. (7)y =解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =；解: e (cos sin )x y x x '=-,令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()e 2k k y x +++=-. (10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )x x x y x x x x x-''==, 令0y '=，得驻点e x =. 当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e (e)e y =.。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)GT

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x →∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x xx --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.2．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133********3nn n --+-++-；(4)155n ++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．3．已知电压u (t )=3sin2t ，求(1) u (t)在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin2d .ππu t tt ==⎰ (2) 电压的均方根值.解：均方根公式为()f x =故 ()u t ===4．设有一截锥体，其高为h ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a ，2b 和2A ，2B ，求这截锥体的体积。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKL

即
13．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：令
，
则曲线y=f(x)是凹的，因此，
,
即 .
;
证明：令f(x)=ex
.
则曲线y=f(x)是凹的，
则
即 .
证明：令f(x)=xlnx(x>0)
则曲线是凹的，，x≠y，有
即，
即 .
14．将f(x) = 2+|x| (-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.
(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为
解：⑴
⑵
19．设，且与相比是很小的量，证明：
证明：利用近似公式，有
.
20．利用微分求下列各数的近似值：
⑴ ；⑵ ；
⑶ .
解：⑴利用近似公式，有
.
⑵利用近似公式，有
⑶取，令，
而，则
21．求下列函数的微分：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
⑸ ；⑹ .
解：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷
；
⑸ ；
⑹ ；
22．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数：
解：f(x)在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,…)

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)FX

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.2．设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x x l n i n in i n ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰ 故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in x n in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)3．将函数f (x ) = x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn n n x n x a f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑ (0≤x ≤2)4．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数.解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn n b f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰ 从而()()()1111π2sin πn n f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π) 若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n x f x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)5．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)6．将函数()0arctan d x t F t x t=⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）7．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1n n U n ∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n n U U n U U n n n +=⋅≤=+⋅ 而由21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1n n U n ∞=∑绝对收敛．8．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为ΔL (x )= 772255222(52)d 51x x x x -=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.9．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)RW

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+2．将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1) f (x )=1-x 2 1122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭；(2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以112πn n =(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)3．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x(4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于44022⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]4．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩ 试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+5．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+6．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++；(2)22212131112131nn +++++++++++ (3)1πsin 3n n ∞=∑；(4)1n ∞=；(5)()1101nn a a∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散． (3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n Un=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．7．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元) 收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年8．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.9．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)F

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,x F x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()F ξ'=，即()e ()ef f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈2．将函数()f x =(x -1)的幂级数．解：因为()()()()()2111111!2!m nm m mm m m x xx x n---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1) 即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnnnn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑18．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1)ln3（误差不超过0.0001）；(2)cos2o （误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯ 61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记 ()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nxx ∞-==∑则()1011xn n x S x x x∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x'⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x x S xS x x x x+==<-4．（1）解：112xn n=∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛，1P ≤时，112pn n=∞发散. 从而当1x >时，112x n n =∞收敛，1x ≤时，112xn n=∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. （2）解：当1x >时，112x n n =∞收敛，则111(1)2n xn n +=∞-收敛.当0x ≤时，111(1)2n x n n+=∞-发散，(0)n U当01x <<时，111(1)2n x n n+=∞-收敛.（莱布尼兹型级数）5．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑；(5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nnnn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-1n nU ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n n nn n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又01111lim lim12311d n n n n Un n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．6．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；7．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKS

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t ⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)FQ

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min -1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？解：当水深为h 时，横截面为212s h == 体积为22212V sh '====d d 2d d V h h t t=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d V t-=⋅. 故有d 320.5d h t =⋅，得d d h t = (m 3·min －1).2．设函数 f (x ) = x 2(0≤x <1)，而()1s i n πn n s x b n x ∞==∑，-∞<x <+∞，其中()102sin πd n b f x n x x =⎰ (n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…； (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11n n n ∞=-∑，由lim(1)0n x n n →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)． (2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e 1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]4．（1）解：112x n n =∞相当于P 级数中P x =。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AAF

8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
故
16．设 ,求 .
解:
17．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
解：
18．计算的近似值，使误差不超过 .
解：
19．求函数在处的阶泰勒公式.
解：
20．利用泰勒公式求下列极限：
⑴ ⑵ (3)
解：⑴
⑵
(3)令 ,当时，，
21．求下列函数的微分：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
⑸ ；⑹ .
当时 ,
因此，曲线有三个拐点(－1，－1)， .
因为 =0
因此三个拐点在一条直线上.
11．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：令
，
则曲线y=f(x)是凹的，因此，
,
即 .
;
证明：令f(x)=ex
.
则曲线y=f(x)是凹的，
则
即 .
证明：令f(x)=xlnx(x>0)
则曲线是凹的，，x≠y，有
证明：在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使 .
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一、解答题

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)KV

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1x x x x +=≥+ 证明：令22()2arctan arcsin 1x f x x x =++, 22222222(1)22()1(1)22 011x x x f x x x x x +-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsin π.1x x x +=+2．将函数()0arctan d xt F t x t=⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）3．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++ 122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++ 1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+ 11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+4．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133222213333n n n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．5．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为ΔL (x )= 772255222(52)d 51x x x x -=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.。