(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.9
讲案2.9指数式和对数式课前自主研习温故而知新 可以为师矣知 识 导 读1.指数幂的概念(1)整数指数幂整数指数幂的定义： (n ∈N *)由幂的定义可推出下述性质：(m ，n ∈N *)①a n ·a m ＝__________；②a m ÷a n ＝__________(m ＞n ，a ＞0)； ③(a n )m ＝__________；④(ab )n ＝a n ·b n ；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a n b n (b ≠0)． 为了取消m ＞n 的限制，我们规定：a 0＝1，a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N *)． [注意]：零的__________幂没有意义，零的__________幂也没有意义．(2)根式①n 次方根的定义，如果一个数的n次方等于a (n ＞1，n ∈N *)，那么这个数叫a 的n 次方根．当n 为奇数时，a 的n 次方根只有一个，这时正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数，记为__________．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个________．(a ＞0)②开方与乘方，求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是__________．如，3的4次方是34＝81，而3的4次方根是±43.(3)分数指数幂a m n＝__________(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1) a mn ＝1m na ＝__________.(4)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝__________，(a＞0，r、s∈Q)；②(a r)s＝__________，(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝__________(a＞0，b＞0，r、s∈Q)．2．对数式(1)对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，也就是a b＝N，那么，数b叫做以a为底数N的对数，记作__________，其中a叫做对数的__________，N叫做对数的__________．由对数的定义可以直接得到对数的几个性质：①零和负数__________对数；②log a1＝__________，(a＞0，a≠1)；③log a a＝__________，(a＞0，a≠1)；④a log a N＝__________，(a＞0，a≠1，N＞0)；⑤log a a m＝__________，(a＞0，a≠1)．(2)常用的两种对数，①________对数；②________对数．(3)对数的运算性质：(M、N＞0)①log a MN＝____________________；②log a MN＝____________________；③log a M p＝____________________. 导读校对：1.(1)①a m＋n②a m－n③a n·m零次负整数(2)①na±na②互逆运算(3)na m1na m(4)①a r＋s②a rs③a r·b r 2.(1)log a N＝b底数真数①没有②0③1④N⑤m(2)①常用②自然(3)①log a M＋log a N②log a M－log a N③p log a M基础热身1.下列运算结果中错误的是()A ．a 2·a 3＝a 5B ．(a 2)3＝a 6C ．(a 2)12＝aD ．(－a 2)3＝－(a 3)2 解析：(a 2)12＝a 2＝|a |，∴C 错． 答案：C 2．使式子(3－2x －x 2)34 有意义的x 的取值集合是( )A ．RB ．{x |x ≠1且x ≠2}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |－3＜x ＜1}解析：由3－2x －x 2＞0，解得－3＜x ＜1.答案：D3.log 89log 23的值是( ) A.23 B ．1 C.32D ．2 解析：log 89log 23＝log 2332log 23＝23·log 23log 23＝23.答案：A4．下列各式中，错误的是( )A ．(27a 3)13÷0.3a －1＝10a 2B ．(a 23－b 23)÷(a 13＋b 13)＝a 13－b 13C ．[(22＋3)2(22－3)2]12＝－1 D.4a ·3a 2a ＝24a 11解析：对于A ：(27a 3)13÷0.3a －1＝3a ÷310a ＝10a 2，正确；对于B ：(a 23－b 23)÷(a 13＋b 13)＝(a 13＋b 13)·(a 13－b 13)÷(a 13＋b 13)＝a 13－b 13，正确；对于C ：[(22＋3)2(22－3)2]12＝[(－1)2]12＝112＝1，C 错误；对于D ：4a ·3a 2a ＝12a 5a ＝24a 11，正确．答案：C5．下列四个数中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln 2 D．ln2解析：0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0，ln2<ln2.答案：D6．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝()A．1B．－1C．2 D．－2解析：∵(n＋1－n)(n＋1＋n)＝(n＋1)－n＝1∴n＋1＋n＝(n＋1－n)－1∴原式＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.答案：B思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.对于分数指数幂的理解应注意的问题(1)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化．(2)分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将a 24写成a12等必须认真考察a的取值才能决定，例如(－1)24＝4(－1)2＝1，而(－1)12＝－1无意义．(3)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．2．a b＝N⇔b＝log a N(a＞0且a≠1)是解决指、对数问题的一个有利工具．在进行指数式与对数式的互化时，既要知道指数式可以化为对数式，又要通晓对数式可以化为指数式．在解题时注意逆向思维，提高思维的灵活性.互动探究题型1指数式与对数式的运算例1.求值与化简： (1)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1412-·1233230.1a b --(()()； (3)已知log 23＝a,3b ＝7，试求log 1256(用a ，b 表示)．【解析】 (1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1(2)原式＝132224410⨯·a 32·a 32-·b 32-b 32＝425a 0b 0＝425(3)由题可知3b ＝7⇒log 37＝b ，∵a＝log 23，∴ab ＝log 27∴log 1256＝log 256log 212＝log 2(7×23)log 2(3×22)＝log 27＋3log 23＋2＝ab ＋3a ＋2题型2指数式与对数式的互化例2.设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1z －1x ＝12y； (2)比较3x,4y,6z 的大小．【解析】 (1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴k ＞1，且x ＝lg k lg3，y ＝lg k lg4，z ＝lg k lg6∴1z －1x ＝lg6lg k －lg3lg k ＝lg2lg k ＝lg42lg k ＝12y. (2)∵k ＞1，∴lg k ＞0.3x －4y ＝lg k lg3·lg4(lg64－lg81)＜0，4y－6z＝lg klg2·lg6(lg36－lg64)＜0，∴3x＜4y＜6z.错解辨析例 3.已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)【错解】a＝log189，b＝log185log3645＝log1845log1836＝log185＋log189log184＋log189＝a＋blog184＋b【错因】本题错在分母log1836的分解上，把log1836变为log184＋log189后无法再进行计算．(即使能计算，也相当繁琐)．【正解】log3645＝log1845 log1836＝log185＋log189log18182 9＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.1
讲案2.1函数的有关概念课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.映射的概念f：A→B表示________________________________，它有以下特点：(1)对应法则有__________．f：A→B 与f：B→A________.(2)集合A中__________一个元素，在对应法则f下，在集合B中都有__________的元素与之对应．(3)集合B中的元素__________都有原象，象的集合C与集合B之间的关系是__________．(4)通常映射由__________部分组成．提示：一一映射的三个特点：①首先必须是映射；②对于A中的不同元素在B中有不同的象；③B中每个元素都有原象，这样的映射才叫做从A 到B的一一映射．2．函数的概念函数是特殊的映射，它特殊在要求____________________________．函数三要素通常指的是：____________________________.两函数相同的充要条件是____________________________．两函数值域不同时____________，两函数值域相同时函数__________相同．提示：对于y＝f(x)的理解应是：y＝f(x)不一定都是解析式的形式，它只表示函数的一种对应关系，可以用解析式也可以用表格或图象体现．3．分段函数如果一个函数在定义域的不同子集上对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数．分段函数是多个函数吗？__________________.4．复合函数如果y＝f(u)，u＝g(x)，那么函数____________叫做复合函数．其中y＝f(u)叫做外函数，u＝g(x)叫做内函数，其中内函数u＝g(x)的值域是外函数g＝f(u)的__________．导读校对：1.集合A到集合B的一个映射(1)方向性不同(2)任何唯一(3)不一定C⊆B(4)三 2.集合A和集合B都是非空数集定义域值域对应法则定义域相同且对应法则相同函数一定不同不一定 3.不是 4.y＝f[g(x)]定义域基础热身1.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由函数的定义可得①③正确．答案：B2．已知f：x→2sin x是集合A(A⊆[0,2π])到集合B的一个映射，若B＝{0,1,2}，则A中的元素个数最多为() A．6 B．5 C．4 D．3解析：∵A⊆[0,2π]，由2sin x＝0得x＝0，π，2π；由2sin x＝1得x＝π6，5π6；由2sin x＝2得x＝π2.故A中最多有6个元素．答案：A3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析：A项定义域为[－2,0]，D项值域不是[0,2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．答案：B4．(2010·湖北卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎫19＝( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝f (－2)＝2－2＝14.答案：B5．设(x ，y )在映射f 下的象是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 2，x －y 2，则(－5,2)在f 下的原象是__________．解析：由x ＋y 2＝－5，x －y 22，解得x ＝－3，y ＝－7.答案：(－3，－7)6．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如表所示：填写下列g(f(x))的表格，其三个数依次为解析：g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1.答案：32 1思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．2．两个函数的定义域、值域、对应关系中有一个不同，则它们就表示不同的函数．3．映射具有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．4．注意映射与函数的区别与联系．函数必是映射，而映射却不一定是函数，函数是特殊的映射.互动探究题型1映射与函数的概念例1.下列从M到N的各对应法则f i(i ＝1,2,3,4)中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？(1)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝R，f1：求直线Ax＋By＋C＝0的斜率；(2)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝{α|0≤α＜π}，f2：求直线Ax＋By＋C＝0的倾斜角；(3)当M＝N＝R，f3：求M中每个元素的正切；(4)M＝N＝{x|x≥0}，f4：求M中每个元素的算术平方根．【解析】(1)当B＝0时，直线Ax ＋C＝0的斜率不存在．此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了．(2)对于M中任一元素Ax＋By＋C＝0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈[0，π)，故f2是从M到N的映射．但由于M不是数集，从而f2不是从M到N 的函数．(3)由于M中元素kπ＋π2(k∈Z)的正切无意义，即它在N中没有象．故f3不是从M到N的映射，自然也不是函数．(4)对于M中任一非负数，其算术平方根唯一确定，故f4是从M到N的映射．又M、N均为非空数集，所以f4是从M到N上的函数.题型2同一函数的判断例 2.下列三组函数中，f (x )、g (x )是否为同一函数？(1)f (x )＝lg x ，g (x )＝12lg x 2； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1(－1＜x ＜0)x －1(0＜x ＜1)，g (x )＝f －1(x )．【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不相同，故f (x )与g (x )不是同一函数．(2)f (x )的值域为(－∞，＋∞)，g (x )的值域为[0，＋∞)，值域不相同，故f (x )、g (x )不是同一函数．(3)g (x )＝f －1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(0＜x ＜1)x ＋1(－1＜x ＜0)f (x )与g (x )的对应法则、定义域、值域分别相同，故它们是同一函数．题型3分段函数与复合函数例3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋1x (x ＞1)x 2＋1(－1≤x ≤1)2x ＋3(x ＜－1)(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12－1，f {f [f (－2)]}的值； (2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a 的值． 【解析】 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12－1＝f (－2)＝－22＋3.f {f [f (－2)]}＝f [f (－1)]＝f (2)＝32.(2)当3x －1＞1，即x ＞23时，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1；当－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤23时，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；当3x －1＜－1，即x ＜0时， f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1. 综上所述，f (3x －1)＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3x 3x －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞239x 2－6x ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤236x ＋1.(x ＜0) (3)∵f (a )＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1a ＝32a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1＝32－1≤a ≤1解得a ＝2或a ＝±22.错解辨析例4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ， x ∈(－∞，1]log 81x x ∈(1，＋∞)则满足f (x )＝14的x 值为________．【错解】 令2－x ＝14得x ＝2，令log 81x ＝14，得x ＝3，所以x ＝2或3.【错因】 忽视了分段函数的定义域．【正解】 令2－x ＝14得x ＝2，但此时x ∈(－∞，1)应舍去，令log 81x ＝14得x ＝3满足x ∈(1，＋∞)，所以x ＝3.【答案】 3。
2024年高考数学第一轮复习计划(二篇)
2024年高考数学第一轮复习计划1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数（含三角函数）、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。
并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
所以我们在数学复习时，除抓好知识、题型、方法等方面的教学外，还应通过各种方式、机会提高和规范学生的运算能力和逻辑推理能力。
2024年高考数学第一轮复习计划（二）一、整体规划1. 复习时间：根据高中教学进度和自身情况，确定复习时间段为一年。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.2
讲案2.2函数的表示法课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系____________来表示，这个__________叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是__________来表示两个变量的函数关系．(3)图象法：就是用__________表示两个变量之间的关系．提示：函数三种表示法的优点：①解析法的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．②列表法的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．③图象法的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况．2．求函数解析式的常见方法(1)若已知函数f(x)的类型，可用__________求f(x)的解析式．(2)若已知复合函数f[g(x)]的解析式求f(x)，可用________________求f(x)的解析式．(3)若已知抽象函数的表达式，则可用__________的方法求f(x)的解析式．导读校对：1.(1)用一个等式等式(2)列出表格(3)函数图象 2.(1)待定系数法(2)换元法或配凑法(3)解方程组基础热身1.若f(x)＝e x－e－x2，g(x)＝e x＋e－x2，则f(2x)等于()A ．2f (x )B ．2[f (x )＋g (x )]C ．2g (x )D ．2f (x )·g (x )解析：f (2x )＝e 2x －e －2x 2＝2·e x －e －x 2·e x ＋e －x 2＝2f (x )·g (x )．答案：D2．下列各函数解析式中，满足f (x ＋1)＝12f (x )的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x ＋12C ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝log 12x解析：∵2(1)x －＋＝12·2－x .∴C 项正确．答案：C3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )＝( )A.x 2－2x ＋1B.x 2－2|x |＋1C ．|x 2－1|D ．x 2－2x ＋1解析：由图象知y ＝f (x )为偶函数，排除A 、D 选项，C 为曲线，排除．答案：B4．已知f (sin x )＝cos2x ，则f (x )等于( )A ．sin2xB ．cos2xC ．1－2x 2D ．1－2x 2，|x |≤1解析：由cos2x ＝1－2sin 2x 求解．要注意|sin x |≤1.答案：D5．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x 2－1，则f (x )＝______.解法一：(换元法)：设t ＝1＋1x ≠1，则1x ＝t －1，1x 2＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，∴f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．解法二：(配凑法)：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－2x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ，且1＋1x ≠1.∴f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．答案：x 2－2x (x ≠1)思维互动启迪博学而笃志 切问而近思疑难精讲1.已知函数类型(如一次函数、二次函数等)，一般用待定系数法设出函数的解析式，然后根据条件求解．2．已知函数满足某种关系(对定义域内的自变量总成立)，用代入法求函数的解析式．3．根据实际意义(如面积、距离等)总结函数的解析式，注意定义域的特殊值．另外，在求函数的解析式时也要注意注明定义域．4．对于分段函数应分别求出各区间内的函数关系，再组合在一起，注意各区间的点要既不重，又不遗漏．5．关于复合函数的表达问题，要特别注意内层函数的值域落在外层函数定义域的哪一段内，进而选择相应的表达式计算．6．显然解析式是表示函数的一种方法，但并非所有的函数都能用解析式来表示，有时也要借助于图表等形式才可表示出来．通常研究的函数，一般都有解析式，在求解析式时，一定要注意写出函数的定义域.互动探究题型1求复合函数的解析式例 1.(1)若f (x ＋3)＝x 2－2x ＋3，求f (x )；(2)若2f (x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x (x ＞0)，求f (x )； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (2－1)的值．【解析】 (1)解法一：f (x ＋3)＝x2－2x ＋3＝(x ＋3)2－2x －6x ＋3－9＝(x ＋3)2－8x －6＝(x ＋3)2－8(x ＋3)＋24－6＝(x ＋3)2－8(x ＋3)＋18，∴f (x )＝x 2－8x ＋18.解法二：令x ＋3＝y ，则x ＝y －3.∴f (y )＝(y －3)2－2(y －3)＋3＝y 2－8y ＋18∴f (x )＝x 2－8x ＋18.(2)2f (x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x ① 在①中以1x 代换x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋f (x 2)＝1x ② 解①②组成的方程组得f (x 2)＝2x 2－13x ＝2x 2－13x2. 所以f (x )＝2x －13x(x ＞0)．(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3， ∴f (x )＝x 2＋3.于是有f (2－1)＝6－2 2.题型2利用函数性质求其解析式例2.已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，它在[0,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．【解析】 ∵x ∈[3,6]时，y ＝f (x )是二次函数，f (6)＝2且f (x )≤f (5)＝3∴当x ＝5时，二次函数有最大值3，当x ∈[3,6]时可设f (x )＝a (x －5)2＋3，由f (6)＝2，a ＋3＝2，得a ＝－1∴当x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3f (3)＝－1，由y ＝f (x )为奇函数，∴f (0)＝0当x ∈[0,3]时，y ＝f (x )为一次函数，由f (0)＝0，f (3)＝－1，得f (x )＝－13x ，由y ＝f (x )为奇函数当x ∈[－3,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－13x . 当x ∈[－6，－3]时，f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3∴f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－(x －5)2＋3，(3≤x ≤6)－x 3， (－3≤x ＜3)(x ＋5)2－3，(－6≤x ＜－3)题型3利用转化法求函数解析式例3.已知函数f (x )＝2x ＋1，当点P (x ，y )在y ＝f (x )的图象上运动时，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，x 3在y ＝g (x )的图象上，求函数g (x )．【解析】 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－y 2y ′＝x 3，则点Q 的坐标为(x ′，y ′)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ′y ＝－2x ′∴P (3y ′，－2x ′)． ∵P (3y ′，－2x ′)在y ＝2x ＋1的图象上，∴－2x ′＝23y ′＋1，∴y ′＝13log 2(－x ′)，∴g (x )＝13log 2(－x )(x ＜0).题型4利用赋值法求函数解析式例4.函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)求f (x )的解析式．【解析】 用赋值法(1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x .令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2.(2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x ，∴f (x )＝x 2＋x －2.错解辨析例5.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x x ∈(－∞，0)x 2 x ∈[0，＋∞)，求f (x ＋1)．【错解】 f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x ∈(－∞，0)(x ＋1)2，x ∈[0，＋∞)【错因】 x ＝－1∈(－∞，0)，此时1x ＋1无意义，故上述解法错误．【正解】 f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x ＋1∈(－∞，0)(x ＋1)2，x ＋1∈[0，＋∞)即f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1，x ∈(－∞，－1)(x ＋1)2，x ∈[－1，＋∞)。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.6
讲案2.6函数的奇偶性与周期性课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数的奇偶性(1)如果对于定义域内每一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫奇函数；都有__________，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是__________(大前提)．(2)函数可分为(按奇偶性)：__________、__________、__________、__________.任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝__________，其中__________是偶函数，__________是奇函数．(3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇±奇＝__________，偶±偶＝__________.奇×奇＝偶，偶×偶＝________，奇÷奇＝__________，偶÷偶＝__________(分母不为零)．奇函数的反函数是__________，若奇函数的定义域包含0，则__________．(4)图象特征：奇函数图象关于__________对称；偶函数图象关于__________对称；反之亦然．(5)判定方法：首先看函数的__________，若对称，再看：f(x)是奇函数⇔__________⇔__________⇔f(－x)f(x)＝__________⇔__________图象__________．f(x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔f(－x)f(x)＝__________⇔__________图象__________．(6)推广：y＝f(a＋x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝f(b－x)⇔__________.y＝f(b＋x)是奇函数⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝－f(b－x )⇔__________.2．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__________常数T ，使得当x 取定义域内的__________值时，都有__________，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫f (x )的__________．如果所有的周期中存在一个__________，那么这个__________就叫f (x )的最小正周期．(2)周期函数__________有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也一定是f (x )的周期，周期函数的定义域无__________界．(3)设a 为非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )f (x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1；⑤f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )；⑥f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是__________函数，__________是它的一个周期．(上述式子分母不为零)若f(x)同时关于x＝a与x＝b对称(a ＜b)，则f(x)是周期函数，__________是它的一个周期；若f(x)关于x＝a对称同时关于点(b,0)对称(b≠a)，则f(x)的一个周期T＝__________；若f(x)关于(a,0)对称同时关于(b,0)对称，则f(x)是一个周期函数，周期T＝__________.导读校对：1.(1)f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)关于原点对称的(2)奇函数偶函数既奇且偶函数非奇非偶函数f(x)＋f(－x)2＋f(x)－f(－x)2f(x)＋f(－x)2f(x)－f(－x)2(3)奇偶偶偶偶奇函数f(0)＝0(4)原点y轴(5)定义域是否关于原点对称f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0－1(f(x)≠0)f(x)＝－f(－x)关于原点对称f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝01(f(x)≠0)f(x)＝f(|x|)＝f(－x)关于y轴对称(6)f(a＋x)＝f(a －x)f(x)＝f(2a－x)f(x)关于x＝a对称f (x )关于x ＝a ＋b 2对称 f (b －x )＝－f (b ＋x ) f (x )关于(b,0)成中心对称图形 f (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，0中心对称 2.(1)非零 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) 周期 最小的正数 最小正数 (2)不一定 上、下 (3)周期 2a 2(b －a ) 4(b －a ) 2(b －a )基 础 热 身1.设f (x )是定义在R 上的增函数，F (x )＝f (x )－f (－x )，那么F (x )必为( )A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数解析：F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，排除B 、D.∵f (x )为增函数，∴f (－x )为减函数． ∴F (x )＝f (x )－f (－x )为增函数．答案：A2．(2010·广东卷)若函数f (x )＝3x ＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x －3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．答案：B3．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R 上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.答案：D4．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：∵函数f(x)的周期为5，∴f(x ＋5)＝f(x)．∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2.同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.答案：A5．(2010·江苏卷)若函数f(x)＝x(e x ＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为__________．解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x·(e－x＋a e x)＝x(e x＋a e －x)，化简得x(e－x＋e x)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案：－16．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)是以4为周期的周期函数；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确的结论的序号是__________．解析：∵f(x－2)＝－f(x)且f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0.又由f(x－2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f((x＋4)－2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴T＝4是周期．∴y＝f(x)的图象不关于x＝0对称，③错．∵f(x)是奇函数．∴f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－[－f(－x)]＝f(－x)．答案：①②④思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.判断函数的奇偶性，首先要判定其定义域是否关于原点对称，若对称，在定义域内尽可能地化简函数解析式，然后判定f(－x)＝±f(x)，f(－x)±f(x)＝0，f(－x)＝±1(f(x)≠0)等．f(x)2．函数的周期性(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个．(2)若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b，则T ＝a－b是函数f(x)的一个周期.互动探究题型1判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝1|x －1|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x (x ≥0)x 2＋2x (x <0). 【解析】 根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，且化简函数式，再验证f (－x )＝±f (x )是否成立，最后做出判断．(1)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．且f (x )＝x 2·2x ＋12x －1， ∵f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·1＋2x 1－2x ＝x 2·2x＋12x －1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝log 2(－x ＋(－x )2＋1)＝log 2(x 2＋1－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1＋x ＝log 2(x ＋x 2＋1)－1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．(4)解法一：f (x )的定义域为R x >0时，－x <0f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ＝f (x )x ＝0时，f (0)＝0＝f (－0)x <0时，－x >0f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ＝f (x )∴对于x ∈R 总有f (－x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．解法二：x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|∴f(x)＝x2－2|x|∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)∴f(x)为偶函数.题型2函数奇偶性的应用例2.(1)定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a＋1)＜f(2a －1)，求a的取值范围；(2)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求a 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，可得f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(a＋1)＝f(|a＋1|)，f(2a－1)＝f(|2a－1|)．由已知得f(|a＋1|)＜f(|2a－1|)，∴|a＋1|＞|2a－1|得：0＜a＜2.∴a 的取值范围是(0,2)．(2)∵f (x )是奇函数f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，∴f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)．∴f (x )定义在(－1,1)上，且在(－1,1)上为减函数．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1－1＜a 2－1＜11－a ＞a 2－1解得：0＜a ＜1.∴a 的取值范围为(0,1)．题型3函数周期性的判定及其应用例3.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12的所有x . 【解析】 (1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)由0≤x ≤1时，f (x )＝12x . 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ， 即－f (x )＝－12x . ∴f (x )＝12x . 故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)． 又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又知f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [2＋(－x )]＝－[－f (－x )]＝－f (x )．∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x (－1≤x ≤1)，－12(x －2) (1＜x ＜3).由上式知在[－1,3)上，仅有f (－1)＝－12，由f (x )是周期函数，得f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．题型4抽象函数的奇偶性及其应用例4.已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈Z )上的值域．【思维点拨】(1)应根据函数的单调性定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；(2)根据函数的奇偶性定义进行证明，只需证f(－x)＋f(x)＝0；(3)可考虑运用(1)、(2)两小题的结论．【解析】(1)设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)＋f(x2－x1)∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0.∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)．故f(x)是R上的减函数．(2)∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，∴可令a＝－b＝x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函数．(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，∴y＝f(x)在[m，n]上也是减函数，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)．由于f(n)＝f(1＋(n－1))＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，同理f(m)＝mf(1)．又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1，∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m].错解辨析例5.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－1＋1－x2；(2)f(x)＝(x－1) 1＋x 1－x；(3)f(x)＝1－x2|2－x|－2.【错解】(1)∵f(－x)＝(－x)2－1＋1－(－x)2＝x2－1＋1－x2＝f(x)∴f(x)为偶函数．(2)∵f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ＝－1－x 2，∴f (－x )＝－1－(－x )2＝－1－x2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)∵f (－x )＝1－(－x )2|2＋x |－2＝1－x 2|2＋x |－2， ∴f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )． ∴f (x )为非奇非偶函数．【错因】 (1)中错在只看到f (－x )＝f (x )，没有注意到f (x )的定义域，事实上定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0.∴x ＝±1， ∴f (x )＝0，正由于没有注意到f (x )＝0，所以误以为只能是偶函数．(2)中错在忽略了定义域为[－1,1)，它不关于原点对称，而仅仅从f (－x )＝f (x )出发而导致了错误．(3)中错在忽略了定义域为[－1,0)∪(0,1]，在此定义域内函数很容易化简，错解忽略了定义域，导致无法化简而造成错误．【正解】 (1)∵定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0.∴x ＝±1.∴f (x )＝0，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为既奇又偶函数．(2)先确定函数的定义域．由1＋x 1－x≥0且x ≠1，得－1≤x ＜1，其定义域不对称关于原点，所以f (x )＝(x－1) 1＋x 1－x既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|2－x |－2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，x ≠0.∴f(x)＝1－x2|2－x|－2＝1－x2(2－x)－2＝－1－x2 x.∴f(－x)＝－1－x2－x＝1－x2x＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．说明：判断函数奇偶性时，首先要注意函数的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.5
讲案2.5函数的单调性与最值课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如对于属于定义域I内某个区间上的__________两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有__________，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；当x1＜x2时，都有__________，那么f(x)在这个区间上是减函数．这个区间称为函数的__________，函数在这个区间上具备__________．从图象上看，单调增函数图象从左向右__________；减函数的图象从左向右__________．2．复合函数单调性的规律可概括为：__________.3．单调性的和差：增＋增则____________________________；减＋减则__________________________．4．奇函数在对称区间上具有__________的单调性；偶函数在对称区间上具有__________的单调性；互为反函数的两个函数具有__________的单调性．5．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有__________或(__________)；(2)存在x0∈I，使得__________．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．导读校对：1.任意f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)单调区间单调性逐渐上升逐渐下降 2.同性则增，异性则减 3.增减 4.相同相反相同5.(1)f(x)≤M f(x)≥M(2)f(x0)＝M基础热身1.(2010·北京卷)给定函数：①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①函数y＝x12在(0，＋∞)上为增函数，②y＝log12(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上也为减函数，③y ＝|x－1|在(0,1)上为减函数，④y＝2x＋1在(－∞，＋∞)上为增函数，故选B.答案：B2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]解析：∵f(x)对称轴为x＝a且开口向下，∴a≤1，又g(x)＝ax＋1在[1,2]上为减函数，知a＞0，∴a∈(0,1]．答案：D3．已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a的取值范围是() A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(2，＋∞)解析：y＝log a(2－ax)在[0,1]上是x 的减函数，∴x∈[0,1]，a＞0且a≠1，要使其为减函数，则a＞1，且2－ax＞0，即a＜2x，a＜2，∴1＜a＜2，∴a∈(1,2)．答案：B4．已知函数f(x)＝a－|x|(a＞0，a≠1)，且f(3)＝8，则()A．f(2)＞f(－2) B．f(－3)＞f(－2)C．f(1)＞f(2) D．f(－3)＞f(－4)解析：由f (3)＝a －3＝8得a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |， 即当x ≥0时，函数f (x )单调递增； 当x ≤0时，函数f (x )单调递减． ∴f (－3)＞f (－2)，应选B.答案：B5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[－1，＋∞)解析：∵x 2＋2x －3≥0，∴x ≤－3或x ≥1，排除C 、D.又x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4在(－∞，－1]上单调递减，∴y ＝x 2＋2x －3在(－∞，－3]上单调递减．答案：A6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3 (x ≤0)x ＋3 (0＜x ≤1)－x ＋5 (x ＞1)的最大值是__________．解析：当x≤0时，y≤3；当0＜x≤1时，3＜y≤4，当x＞1时，y＜4，∴y≤4，即函数的最大值为4.答案：4思维互动启迪博学而笃志 切问而近思疑难精讲1.函数单调性定义的两种等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么：(1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数．其中(1)的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率都大于(小于)零．2．复合函数的单调性(1)讨论复合函数单调性的依据是： 设y ＝f (t )，t ＝g (x )，x ∈[a ，b ]，t ∈[m ，n ]都是单调函数，则y ＝f (g (x ))也是单调函数，并且当外层函数f (t )在[m ，n ]上为增函数时，复合函数y ＝f (g (x ))与内层函数g (x )在[a ，b ]上有相同的增减性；当外层函数f (t )在[m ，n ]上为减函数时，复合函数y＝f(g(x))与内层函数g(x)在[a，b]上有相反的增减性．(2)讨论复合函数的单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定出其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述判断复合函数单调性的依据判定其单调性(3)复合函数的单调性也可利用导数法来判断．3．(1)函数单调性定义中的x1，x2具有任意性，证明时不可用特殊值代替．(2)函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时必须指明对应的区间．(3)函数具备单调性是指函数在某区间上的增或减的趋势，因此写单调区间时，可以写成包含端点的闭区间，也可写成不包含端点的开区间，但一般要求把端点至少写在一个给定区间内(不在定义域内的点除外)．(4)若函数f (x )在区间D 1、D 2上分别为增(减)函数，但f (x )在D 1∪D 2上不一定是增(减)函数.互动探究题型1函数单调性判定与证明例1.讨论函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)的单调性．【解析】 设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2 ∵当0＜x 2＜x 1≤a 时，恒有a x 1x 2＞1.则f (x 1)－f (x 2)＜0.故f (x )在(0，a ]上是减函数．当x 1＞x 2≥a 时，恒有0＜a x 1x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＞0故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )分别在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数；f (x )分别在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数.题型2求函数的单调区间例 2.求下列函数的单调区间，并指出其单调性(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223x x －＋； (2)f (x )＝log a (4＋3x －x 2)(a ＞0且a ≠1)．【解析】 利用复合函数单调性的方法求解．(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223x x －＋的单调性与μ＝－x 2＋3x 的单调性相反，单调区间相同，由μ＝－x 2＋3x 得f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. (2)函数y ＝log a (4＋3x －x 2)的定义域为－1＜x ＜4.令μ＝4＋3x －x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254μ在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上单调递减． 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a μ在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上单调递增；当a ＞1时，函数y ＝log a μ在⎝⎛⎦⎥⎤－1，32上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上单调递减．题型3抽象函数的单调性及应用例3.已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x ＞1时，f (x )＞0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－1，求满足不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2≥2的x 的取值范围． 【解析】 (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)证明：令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1.由于x 2x 1＞1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0，从而f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－f (3)，故f (3)＝1. 在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.又－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2＝f (x －2)，故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f (x (x －2))≥f (9)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －2＞0，x (x －2)≥9.解得x ≥1＋10.∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)题型4函数的最大(小)值求法及应用例4.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．【解析】 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24.①当－a2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a22，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a24，由3－a24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2＞2时，即a ＜－4时，f (x )min＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]. 错解辨析例5.证明：函数f (x )＝x ＋x 2＋1在R 上单调递增．【错解】 设任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则x 21＜x 22.∴x 21＋1＜x 22＋1，∴x 1＋x 21＋1＜x 2＋x 22＋1，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在R 上是增函数．【错因】 错在由x 1＜x 2，不可能推得x 21＜x 22，应严格按单调性定义证明．【正解】 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 21＋1)－(x 2＋x 22＋1)＝x 1－x 2＋x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1＝(x 1－x 2)×(x 21＋1＋x 22＋1＋x 1＋x 2)x 21＋1＋x 22＋1. ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，又x 21＋1＞|x 1|≥－x 1，x 22＋1＞|x 2|≥－x 2，∴x 21＋1＋x 1＞0, x 22＋1＋x 2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x)在R上是单调递增函数.。
高三数学第一轮复习计划
高三数学第一轮复习计划高三数学第一轮复习计划(6篇)光阴迅速，一眨眼就过去了，我们又将迎来新的喜悦、新的收获，是时候开始制定计划了。
计划怎么写才不会流于形式呢？以下是店铺整理的高三数学第一轮复习计划，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高三数学第一轮复习计划1一、指导思想：根据本校学生的实际，立足基础，构建知识网络，形成完整的知识体系。
面向低、中档题抓训练，提高学生运用知识的能力，要突出抓思维教学，强化数学思想的运用，要研究高考题，分析相应的应试对策，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益。
二、复习进度：结合本校实际，一轮在2月底3月初完成。
材料以教研室下发材料为主，进行集体备课，难题删去。
每章进行一次单元过关考试和一次满分答卷，统考前进行一次模拟考试练习。
三、复习措施：1、抓住课堂，提高复习效益。
首先要加强集体研究，认真备课。
集体备课要做到：“一结合两发挥”。
一结合就是集体备课和个人备课相结合，集体讨论，同时要发挥每个教师的特长和优势，互相补充、完善。
两发挥就是，充分发挥备课组长和业务骨干的作用，充分发挥集体的智慧和优势、集思广益。
集体备课的内容：备计划、课时的划分、备教学的起点、重点、难点、交汇点、疑点，备习题、高考题的选用、备学情和学生的阶段性心理表现等。
其次精选习题，注重综合。
复习中要选“题型小、方法巧、运用活、覆盖宽”的题目训练学生的应变能力。
选有一定的代表性、层次性和变式性的题目取训练学生综合分析问题的能力。
再次上好复习课和讲评课。
复习课，既讲题也讲法，注重知识的梳理，形成条理、系统的结构框架，章节过后学生头脑中要清晰。
要讲知识的重、难点和学生容易错的地方，要引导学生对知识横向推广，纵向深入。
复习不等于重复也不等于单纯的解题，应温故知新，温故求新，以题论法，变式探索，深化提高。
讲出题目的价值，讲出思维的过程，甚至是学生在解题中的失败的教训和走过的弯路。
功夫花在如何提高学生的分析问题和解决问题的能力上讲评课要紧紧的抓住典型的题目讲评，凡是出错率高的题目必须讲，必须再练习。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.3
讲案2.3函数的定义域课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数定义域的求法求函数定义域时，一般遵循以下原则：(1)f(x)是整式时，定义域是__________．(2)f(x)是分式函数时，定义域是____________________．(3)f(x)是偶次根式时，定义域是__________________________________ ________．(4)对数函数的真数大于零；当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须________________．(5)零指数幂的底数__________．(6)若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的__________．(7)对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式__________解出．(8)对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行__________．(9)由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合________________．2．函数定义域的表示方法函数的定义域必须用__________表示．导读校对：1.(1)全体实数(2)使分母不为零的一切实数(3)使被开方式为非负值时的实数集合(4)大于零且不等于1(5)不能为零(6)交集(7)a≤g(x)≤b(8)分类讨论(9)问题的实际意义 2.集合或区间基础热身1.(2010·湖北卷)函数y＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：要使函数有意义，则log 0.5(4x－3)＞0，∴0＜4x －3＜1.∴34＜x ＜1. 答案：A2．一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式和定义域是( )A ．y ＝20－2x (x ≤10)B ．y ＝20－2x (x ＜10)C ．y ＝20－2x (4≤x ＜10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析：三角形底边长为20－2x ，由满足组成三角形的条件得x ＋x ＞20－2x ，x ＞5.又∵20－2x ＞0，∴x ＜10.答案：D3．函数y ＝x ＋4x ＋2的定义域为__________．解析：由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4≥0x ＋2≠0解得x ≥－4，且x ≠－2，所以定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)．答案：[－4，－2)∪(－2，＋∞)4．函数y ＝的定义域为__________．解析：由log 12(1－2x )≥0得0＜1－2x ≤1⇒0≤x ＜12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 5．函数f (x )＝x －2x －3log 24－x 的定义域是__________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0x －3≠04－x ＞0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2x ≠3x ＜4∴2≤x ＜3或3＜x ＜4.即x ∈[2,3)∪(3,4)．答案：[2,3)∪(3,4)6．函数f (x )＝－x 2＋x ＋6x －1的定义域是__________．解析：依题意，⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0x ≠1， 解得－2≤x ＜1或1＜x ≤3，所以定义域为{x |－2≤x ＜1或1＜x ≤3}．答案：{x |－2≤x ＜1或1＜x ≤3}思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可．(2)对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b 解出．(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．2．在研究函数问题时，必须树立“定义域优先”的观点．高考对函数定义域通常是借助于函数性质或函数应用来考查的，具有隐蔽性，忽视定义域往往是个易错环节．如求单调区间、判断奇偶性、周期性等问题，都要先分析定义域.互动探究题型1求具体函数的定义域例1.求下列函数的定义域：(1)y ＝lg (|x |－x )1－x2； (2)y ＝25－x 2＋lgcos x ；(3)y ＝(x －1)0|x |＋x. 【思维点拨】 欲使函数有意义，需分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次数被开方数非负，通过解不等式(组)即可．【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0|x |－x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1x ＜0.∴函数的定义域为(－1,0)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 25－x 2≥0cos x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤x ≤52k π－π2＜x ＜2k π＋π2(k ∈Z ). 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0|x |＋x ≠0，得x ＞0且x ≠1. ∴函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}．【总结点评】 (1)如果只给函数的解析式(不注明定义域)，其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域．(2)如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域．题型2求复合函数的定义域例 2.(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；(3)已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．【思维点拨】(1)求函数的定义域就是求自变量x的取值范围，求f(x2)的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样．(2)由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f(x)的定义域．(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f(x)的定义域，进而再求f(2x2－2)的定义域．它是(1)与(2)的综合应用．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，∴要使f(x2)有意义，需使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f(x2)的定义域为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}．(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0＜x＜1.令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f(t)的定义域为1＜t＜3，∴函数f(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(3)∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，∴－2≤x≤3，令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，∴f(t)的定义域为－1≤t≤4.即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，∴－3≤x≤－22或22≤x≤3，∴函数f(2x2－2)的定义域为{x|－3≤x≤－22或22≤x≤3}．【总结点评】若已知复合函数f(g(x))的定义域求f(x)的定义域，可令t＝g(x)，由x的范围推出t的范围，再以x换t即得f(x)的定义域．若已知f(x)的定义域求复合函数f(φ(x))的定义域，可将f(x)的定义域写成关于x的不等式，然后将x换成中间变量φ(x)，再解不等式即可得到复合函数f(φ(x))的定义域．题型3函数定义域的逆向问题例 3.k为何值时，函数y＝2kx－8kx2＋2kx＋1的定义域为R.【解析】①k＝0时，y＝2kx－8 kx2＋2kx＋1＝－81＝－8.即x取任意实数时，y都有意义，所以其定义域为R.②k＞0时，分母kx2＋2kx＋1恒不等于0的条件是判别式小于0，即(2k)2－4k＜0.∴0＜k＜1.③k＜0时，抛物线kx2＋2kx＋1的开口向下，它恒不等于0的条件是其顶点的纵坐标小于0，即4k －4k 24k＜0. 由此得出k ＞1，与k ＜0矛盾，即k ＜0时不成立．综上所述，当0≤k ＜1时，函数y ＝2kx －8kx 2＋2kx ＋1的定义域为R . 错解辨析例 4.已知函数f (x )＝1x ＋1，求函数f [f (x )]的定义域．【错解】 f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1＝11x ＋1＋1＝x ＋11＋x ＋1＝x ＋1x ＋2，∴定义域为{x |x ≠－2}．【错因】 上式中11x ＋1＋1＝x ＋11＋x ＋1这一步是不等价变形．因为从左到右定义域范围扩大了．本题错解的原因是忽略了f (x )＝1x ＋1中应满足x ＋1≠0. 【正解】 f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1＝11x ＋1＋1＝x ＋1x ＋2， (x ≠－1且x ≠－2)∴定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}.。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.10
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1 |x| 解法二：①由 y＝( ) 可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴 3 1x 对称，故先作出 y＝( ) 的图象保留 x≥0 的部分，当 x＜0 时， 3 1x 1 其图象是将 y＝( ) (x≥0)的图象关于 y 轴对折，从而得出 y＝( ) 3 3 |x| 的图象． 1 |x| 1 |x＋1| ②将 y＝( ) 向左平移 1 个单位，即可得 y＝( ) 的图象， 3 3 如图所示．
解析：画直线 x＝1 与各曲线相交，即可知，选 D. 答案：D
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4．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则一定有( ) A．0＜a＜1 且 b＞0 B．a＞1 且 b＞0 C．0＜a＜1 且 b＜0 D．a＞1 且 b＜0
2
1 1)＝－ . 2 答案：C
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6．函数 f(x)＝a
a x＋1
的值域为__________．
解析：当 0＜a＜1 时，ax＋1＞1， ∴0＜f(x)＜a，即这时 f(x)的值域为(0，a) 当 a＞1 时，ax＋1＞1，∴f(x)＞a，这时的值域为(a，＋∞)． 答案：0＜a＜1 时，(0，a)；a＞1 时，(a，＋∞)
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3．底数与指数函数的图象相对位置关系
(1)由指数函数 y＝ax 与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变到大． 1 x (2)由指数函数 y＝a 与直线 x＝－1 相交于点(－1， )可知， a 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变到小． 如图所示的指数函数的底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.11
讲案2.11对数函数课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.定义函数__________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为__________．2．对数函数及其图象和性质y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象特征和性质导读校对：1.y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) (0，＋∞) 2.R y ＝0y ＞0 y ＜0 y ＜0 y ＞0 (0，＋∞) 减函数基 础 热 身1．已知图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4是函数y ＝log a x 的图象，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 的值依次可能为( )A ．3、2、13、12B ．2、3、13、12C ．2、3、12、13D ．3、2、12、13解析：设C 1：y ＝log a 1x ，C 2：y ＝log a2x，C3：y＝log a3x，C4：y＝log a4x.当y＝1时，由图象可知a3＜a4＜1＜a1＜a2.答案：B2．将y＝2x的图象作怎样变化，再作关于直线y＝x的对称图象，可得函数y＝log2(x＋1)的图象()A．先向左平移1个单位B．先向右平移1个单位C．先向上平移1个单位D．先向下平移1个单位解析：y＝log2(x＋1)的反函数为y＝2x－1，由此可知由y＝2x先向下平移1个单位便得到y＝2x－1.答案：D3．函数f(x)＝－log3(x2－2x)的单调递减区间为()A．(1，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(2，＋∞)解析：y＝－log3x递减，y＝x2－2x 在(2，＋∞)上递增，∴f(x)＝－log3(x2－2x)单调递减区间为(2，＋∞)．答案：D4．已知f(x)＝a x，g(x)＝log a x(a＞0，a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()解析：首先清楚这两类函数图象在坐标中的位置和走向，另外还应知道f(x)＝a x与g(x)＝log a x(a＞0，a≠1)互为反函数，于是可排除A、D.因B、C中关于y＝x对称，最后利用函数值关系式f(3)·g(3)＜0，排除B.答案：C5．(2010·天津卷)若a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c解析：a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.答案：D6．函数f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝－x对称，则函数y＝f(4x－x2)的递增区间是__________．解析：设(x，y)是f(x)的图象上任意一点，则点(x，y)关于直线y＝－x的对称点(－y，－x)在函数y＝2x的图象上，∴－x＝2－y即－y＝log2(－x)，∴y＝－log2(－x)，这就是f(x)的解析式，即f(x)＝－log2(－x)(x＜0)．∴f(4x－x2)＝－log2(x2－4x)(x＜0或x＞4)．当x＜0时，u＝x2－4x是递减的，y ＝－log2u也是递减的，故f(4x－x2)的递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.对数的大小比较(1)比较同底数的两个对数值的大小，例如比较log a f(x)与log a g(x)的大小，其中a＞0且a≠1.①若a＞1，f(x)＞0，g(x)＞0，则log a f(x)＞log a g(x)⇔f(x)＞g(x)＞0.②若0＜a＜1，f(x)＞0，g(x)＞0，则log a f(x)＞log a g(x)⇔0＜f(x)＜g(x)．(2)同真数的对数值大小关系如图：2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)是互为反函数的两个函数．(2)y＝a x与y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象关于y＝x对称．3．解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有：(1)形如log a f(x)＝log a g(x)(a＞0且a≠1)的方程，化成f(x)＝g(x)求解．(2)形如F(log a x)＝0的方程，换元法求解．(3)形如log f(x)g(x)＝c的方程，化成指数式[f(x)]c＝g(x)求解.互动探究题型1对数型函数的定义域与值域(x2－2ax＋例1.对于函数f(x)＝log123)，解答下列问题：(1)若f(x)的定义域为R，求实数a 的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；(5)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；(6)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．【思维点拨】定义域为自变量x 的取值范围，值域为对应函数值的集合，单调区间为定义域的子区间．【解析】设u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.(1)∵u＞0对x∈R恒成立，∴u min＝3－a2＞0，∴－3＜a＜3(或由x2－2ax＋3＞0的解集为R得Δ＝4a2－12＜0求出－3＜a＜3)．(2)∵f(x)的值域为R，∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞)，∴Δ＝4a2－12≥0，即a≥3或a≤－ 3.∴实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知u＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立．∵g (x )的对称轴为x ＝a .∴当a ＜－1时，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12a ＋4＞0， 解得－2＜a ＜－1.当a ≥－1时，Δ＜0，即－3＜a ＜3，∴－1≤a ＜ 3.故所求a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1，3)，即(－2，3)．(4)命题等价于x 2－2ax ＋3＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．∴x 2－2ax ＋3＝0的两根为1和3， ∴2a ＝1＋3，即a ＝2.(5)∵y ＝f (x )≤－1，∴u ＝g (x )值域为[2，＋∞)．∴3－a 2＝2，即a ＝±1.(6)命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )在(－∞，1]上为减函数g (x )＞0对x ∈(－∞，1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1g (1)＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1a ＜2，即所求a 的取值范围是[1,2)．【总结点评】 (1)定义域为R 的问题实质上是不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题．(2)值域为R 的问题实质是x 能取遍某区间上的所有值，一般利用方程有解的条件求参数的取值范围．题型2对数型函数的单调性例2.已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题设，3－ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，a ＞0且a ≠1，∵a ＞0，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a ＞0，∴a ＜32，∴a 的取值范围为(0,1)∪(1，32)． (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32(3－32x )，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数不存在.题型3对数函数的综合问题例3.已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a ＞0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a ＞1，x ∈(r ，a －2)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与r 的值．【思维点拨】 第(1)问利用在定义域内f (－x )＝－f (x )恒成立求出m .第(3)问由f (x )∈(1，＋∞)转化为x 的取值．再由x ∈(r ，a －2)建立关系式求出a 与r 的值．【解析】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1， ∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，∴m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0，a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)．设x 1＜x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1＞1，x 2＞1，x 1＜x 2，∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，x 2－x 1＞0.∴t (x 1)＞t (x 2)，即x 1＋1x 1－1＞x 2＋1x 2－1， ∴当a ＞1时，log a x 1＋1x 1－1＞log a x 2＋1x 2－1， f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)当a ＞1时，要使f (x )的值域是(1，＋∞)，则log a x ＋1x －1＞1，∴x ＋1x －1＞a ， 即(1－a )x ＋a ＋1x －1＞0，而a ＞1.∴上式化为x －a ＋1a －1x －1＜0 ①又f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， ∴当x ＞1时，f (x )＞0；当x ＜－1时，f (x )＜0.因而，欲使f (x )的值域是(1，＋∞)，必须x ＞1，所以对于不等式①，当且仅当1＜x ＜a ＋1a －1时成立， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧r ＝1a －2＝a ＋1a －1a ＞1，解得r ＝1，a ＝2＋ 3.错解辨析例4.已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是() A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)【错解】y＝2－ax是减函数，则a＞0.在对数函数中底数a∈(0,1)或a∈(1，＋∞)∴0＜a＜1.【错因】本题解答时，易犯两个错误．①忽略真数为正这一条件．②其中含有字母，忘记对字母分类讨论．【正解一】由y＝log a u，知a＞0，因此u＝2－ax单调递减，要使复合函数y＝log a(2－ax)递减，则y＝log a u必递增，所以a＞1，排除A、C.又因为a＝2时，y＝log2(2－2x)在x ＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除了D.∴选B.【正解二】先求函数定义域，2－ax＞0，ax＜2，因a是对数的底数，故a＞0，从而x＜2a，递减区间[0,1]必须在其定义域内，故有1＜2a，a＜2.若0＜a＜1，当x在[0,1]上增大时，2－ax减小，log a(2－ax)增大，故函数y ＝log a(2－ax)在[0,1]上单调递增，与题设矛盾，故a＞1.综上所述，1＜a＜2，选B.【答案】 B。
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【解法三】 利用双根式． 由已知，f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值 ymax＝8. 4a－2a－1－a2 即 ＝8，∴a＝0(舍)或 a＝－4. 4a ∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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5．(2010· 安徽卷)设 abc＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的 图象可能是( )
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解析：由 A，C，D 知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴ b 对称轴 x＝－ ＞0，知 A、C 错误，D 符合要求．由 B 知 f(0)＝ 2a b c＞0，∴ab＞0，∴x＝－ ＜0，B 错误． 2a 答案：D
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x1，x2 有且仅有 一个在(k1，k2)内
b k1＋k2 k1＜－ ＜ 2a 2 或 f(k2)＝0， k1＋k2 b ＜－ ＜k2 2 2a __________
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基 础 热 身 1.已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)，若 x1＜x2，x1＋x2＝0， 则( ) A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)＞f(x2) D．f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解法一：(作差比较)： f(x1)－f(x2)＝ax2＋2ax1－ax2－2ax2 1 2 ＝a(x2－x2)＋2a(x1－x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)． 1 2 ∵x1＋x2＝0，x1＜x2，a＞0， ∴x1－x2＜0，x1＋x2＋2＝2＞0， ∴a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝2a(x1－x2)＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)．
高中数学一轮复习计划范本（3篇）
高中数学一轮复习计划范本一、理清概念、夯实基础1.要透彻理解各章节公式定理，数学试卷中的各个小题都是依据各章节的概念、公式定理及知识点来进行的，它们是解题的理论基础，同时也是提高解题能力的关键所在。
因此要透彻理解各种定义的由来、内容、特征，掌握其本质，并注意新旧概念间的有机联系，使数学各个基础知识点成为判断的有力工具。
2.要明确定理、公式的成立条件、推证思路、主要功能，只有这样，应用时才会心中有数、有的放矢。
比如：在等差数列中定义用于证明是否等差数列。
学习数学概念不仅要解决是什么与怎么样的问题，更要解决是怎样想到的即怎么来的问题，以及有了这个概念以后，理论将怎样建立与发展起来。
这样弄清概念、公式、法则、定理的来龙去脉，了解公式的推导过程及实际意义，使新旧知识联成一片，才能掌握完整的、系统的知识，才会运用，即使在忘记了的时候也能自己推导出来。
3.要在对定理、公式理解变通的基础上牢固记忆，以记导用，以用促记，这样，用起来才能得心应手。
二、总结技巧、重写错题要认真领会数学教材中的例题，做到举一反三，触类旁通。
要认真总结其中的规律，归纳其中所用的技巧和思路，学会运用这些技巧和思路来解决问题。
比如，准备一本错题本与典型题本，把平时不会做与做错的题，重新认真地做一遍，并加以总结出技巧，找出原来错误所在，并把正确的做法记住。
三、掌握方法、提高解题技能解题练习是数学学习中最基本的训练方法，一定要思路开阔，灵活多变。
解题证题也是学好数学的重要方面，做足够数量的习题练习，是巩固数学基础知识和掌握基本技能的必要途径。
解题能力的高低，证题方法的得当，决定于分析问题和解决问题的能力。
这种能力一方面取决于对基础知识的理解程度，另一方面又是在练习作业中锻炼培养出来的。
在练习作业中会训练思维，开拓思路。
高中数学一轮复习计划范本（二）1.抓纲扣本，注重三基，夯实基础，构建知识体系根据第一轮复习、总体指导思想，我们确立第一轮复习的重点是“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）的复习，以课本为主，同时借助资料，整合知识，夯实基础，把各节知识点进行整理，各章知识点形成知识体系，充分利用图表，填空等形式，构建知识网络。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.12
讲案2.12函数的图象及其变换课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.描点法作图(1)确定函数的__________；(2)化简函数__________；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；(4)画出函数的图象．2．图象变换法作图(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象__________________________而得到；函数y＝f(x)＋b(b≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象__________________________而得到．(2)伸缩变换函数y＝Af(x)(A＞0，且A≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的____________________________________，横坐标不变而得到；函数y＝f(ωx)(ω＞0，且ω≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的__________________________________，纵坐标不变而得到．(3)对称变换：函数y＝－f(x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图象而得到；函数y＝f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图形而得到；函数y＝－f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图形而得到；函数y＝|f(x)|的图象是可通过作函数y＝f(x)的图象，然后________________________，其余部分保持不变而得到；函数y＝f(|x|)的图象是：函数y＝f(x)______________________________．导读校对：1.(1)定义域解析式2.(1)向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位(2)纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A倍横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1ω倍(3)x轴y轴原点把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分基础热身1.函数y＝1－1x－1的图象是()解法一：特殊值法．当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2.观察图形应选B.解法二：图象变换法．可将y＝1－1x－1的图象看成y＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得．答案：B2．已知图①中的图象对应函数为y ＝f(x)，则图②中的图象对应的函数，在下列给出的四式中，只可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)解析：由图象知，当x＜0时，y＝f(x)对应的图象无变化，∴当x＜0时，x＝－|x|.答案：C3．如图所示，那么函数y＝|f(x＋1)|的图象是()解析：先将y ＝f (x )图象向左平移1个单位，再将x 轴下方图象关于x 轴对称过来即得A.答案：A4．(2010·重庆卷)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋2－x ，∴f (－x )＝f (x )，是偶函数．答案：D5．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__________.解析：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图象关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－a＋22＝1.∴a＝－4.而f(x)是定义域在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，∴a＋b2＝1.∴b＝6.答案：66．把函数y＝log3(x－1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，再向右平移12个单位，所得图象的解析式为__________．答案：y＝log3(2x－2)思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法．3．图象的对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇、偶函数的图象，还要证明y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，只要证明f－1(x)＝f(x)．若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于x＝a对称．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．4．常见结论(1)若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝a＋b2成轴对称图形．(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝12(b－a)对称．(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x＝a与x＝b(b＞a)都对称，则f(x)为周期函数，2b－2a是它的一个周期(未必是最小正周期，下同)．(4)若定义在R上的函数关于点(a，c)和(b，c)(b＞a)成中心对称，则f(x)是周期函数，2b－2a是它的一个周期．(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，c)成中心对称，又关于直线x ＝b(b＞a)成轴对称，则f(x)是周期函数，4b－4a是它的一个周期．互动探究题型1作函数的图象例1.作出下列函数的图象：(1)y＝(12)|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1.【解析】利用图象变换作图．(1)作出y＝(12)x的图象，保留y＝(12)x图象中x≥0的部分，加上y＝(12)x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝(12)|x|的图象(如图)(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0的部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图)(3) 由y ＝2x －1x －1得y ＝1x －12. 作出y ＝1x 的图象，将y ＝1x的图象．向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y ＝1x －1＋2的图象(如图)题型2函数图象的识别例2.已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )【解析】 由已知图象知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数且都在x 轴上方，∴g(x)的图象上任一点的切线的斜率在增加，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率在减少，又由f′(x0)＝g′(x0)．答案：D题型3函数图象的对称性例3.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m 对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．【解析】(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)，又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)，由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m －x0)]＝f(x0)＝y0，则P′(2m－x0，y0)在y＝f (x )的图象上，故y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立，∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|.又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.错解辨析例 4.设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称【错解】 ∵函数定义在实数集上且f (x －1)＝f (1－x )，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称．【错因】 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈．即对称问题中有一结论．设函数y＝f(x)定义在实数集上，且f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称，这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然得到一个错误的答案．【正解】作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法．下面只讲常规求解法．∵y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称．【答案】 D。
高三数学第一轮复习计划(范例)
高三数学第一轮复习计划（范例）4??深化能力立意，考查考生的学习潜能5??重视基础，以教材为本6??重视应用题设计，考查考生数学应用意识二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。
第一轮为系统复习(第一学期)，此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。
在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。
同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。
三、具体方法措施1.?认真学习《考试说明》，研究高考试题,提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，复习的依据.?高考试题是《考试说明》的具体体现。
?只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我们与命题专家在认识《考试说明》上的差距。
?并力求在复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。
2.高质量备课，参考网上的课件资料，结合我校学生实际，高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。
充分发挥全组老师的集体智慧，确保每节课件都是高质量的。
统一教案、统一课件。
3.高效率的上好每节课，重视“通性、通法”的落实。
要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上;放在体现通性、通法的例题、习题上;放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。
4.狠抓作业批改、讲评，教材作业、练习课内完成，课外作业认真批改、讲评。
一题多思多解，提炼思想方法，提升学生解题能力。
5.认真落实月考，考前作好指导复习，试卷讲评起到补缺长智的作用。
6.结合实际，了解学生，分类指导。
高考复习要结合高考的实际，也要结合学生的实际，要了解学生的全面情况，实行综合指导。
可能有的学生应专攻薄弱环节，而另一些学生则应扬长避短。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.7
讲案2.7反函数课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.反函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，值域为C.由y＝f(x)求出x＝φ(y)．如果对于C中每个y值，在A中都有唯一的值和它对应，那么x＝φ(y)为以y为自变量的函数，叫做y＝f(x)的反函数，记作____________________，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作__________________．(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的__________和__________．2．反函数的求解步骤第一步从y＝f(x)中求出x；第二步________________；第三步确定y＝f－1(x)的定义域，即原函数的______________．3．原函数与反函数图象间的关系(1)原函数与其反函数的图象关于________________对称．(2)若点P(a，b)在y＝f(x)的图象上，则点__________在y＝f－1(x)的图象上．(3)若y＝f(x)与x＝f－1(y)互为反函数，则在同一坐标系下的图象关系是__________．4．反函数的性质(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有____________的单调性．(2)奇函数的反函数是____________________．(奇偶性)(3)若y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)的反函数是__________．5．反函数的存在性问题(1)定义域是单调区间的函数一定存在反函数吗？________.(2)奇函数一定存在反函数吗？__________.(3)偶函数一定不存在反函数吗？__________.(4)周期函数一定不存在反函数吗？__________.(5)函数y＝f(x)存在反函数的充要条件是：y＝f(x)的定义域和值域构成__________映射．6．两个重要结论(1)若y＝f(x)存在反函数，x∈A，y∈C，则f－1[f(x)]＝__________，f[f－1(x)]＝__________.(2)已知y＝f(x)，求f－1(a)可以利用__________，从中求出x，即f－1(a)．导读校对：1.(1)x＝f－1(y)y＝f－1(x) (2)值域定义域 2.交换x、y的位置值域 3.(1)直线y＝x(2)(b，a)(3)相同 4.(1)相同(2)奇函数(3)其自身5.(1)一定(2)不一定(3)一定(4)一定(5)一一 6.(1)x x(2)f(x)＝a 基础热身1.函数y＝1x＋5(x≠－5)的反函数是()A．y＝1x－5(x≠0)B．y＝x＋5(x ∈R )C ．y ＝1x ＋5(x ≠0)D ．y ＝x －5(x ∈R )解析：由y ＝1x ＋5得x ＝1y －5，x 、y 互换得y ＝1x －5(x ≠0)．答案：A2．设函数y ＝1＋3－x 的反函数为y＝g (x )，则g (10)等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－1解析：∵1＋3－x ＝10，∴3－x ＝9，∴x＝－2.答案：B3．设函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f－1(x )，若f (x )＝2x ，则f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( ) A. 2 B ．1 C.12 D ．－1解析：令f (x )＝2x ＝12，则x ＝－1，故f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 答案：D 4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥0，－x 2， x ＜0.的反函数是( )A ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≥0，－x ，x ＜0.B ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－x ， x ＜0. C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≥0，－－x ，x ＜0.D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0，－－x ，x ＜0.解析：当x ≥0时，y ＝2x ，且y ≥0，∴f －1(x )＝x 2(x ≥0)．当x ＜0时，y ＝－x 2且y ＜0，∴f －1(x )＝－－x (x ＜0)．∴函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0－x 2，x ＜0的反函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－－x ，x ＜0.答案：C5．函数y ＝ln(2x ＋1)(x >－12)的反函数是( )A ．y ＝12e x －1(x ∈R )B ．y ＝e2x －1(x ∈R )C ．y ＝12(e x －1)(x ∈R )D ．y ＝e 2x －1(x ∈R )解析：由y ＝ln(2x ＋1)(x >－12)得2x＋1＝e y ，x ＝e y －12，因此函数y ＝ln(2x＋1)(x >－12)的反函数是y ＝12(e x －1)(x ∈R )，选C.答案：C6．设P (3,1)为二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋b (x ≥1)的图象与其反函数y ＝f －1(x )的图象的一个交点，则( )A ．a ＝12，b ＝52B ．a ＝12，b ＝－52C ．a ＝－12，b ＝52D ．a ＝－12，b＝－52解析：由题意f －1(x )图象过P (3,1)，则f (x )＝ax 2－2ax ＋b 的图象过(3,1)点和(1,3)点⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋b ＝1a －2a ＋b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝52. 答案：C思维互动启迪博学而笃志 切问而近思疑难精讲(1)函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．(2)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称；反之，若单调函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)和函数y＝g(x)互为反函数．(3)函数y＝f(x)的反函数仍为自身函数的充要条件是它自身的图象关于直线y＝x对称．(4)设函数y＝f(x)(x∈A，y∈B)存在反函数y＝f－1(x)(x∈B，y∈A)，则f－1(f(x))＝x(x∈A)，f(f－1(x))＝x(x∈B)．(5)若函数y＝f(x)是单调函数．则它的反函数y＝f－1(x)的单调性和原函数y ＝f(x)的单调性相同．(6)若函数y＝f(x)是单调函数，且函数y＝f(x)与它的反函数y＝f－1(x)的图象有交点，则交点必在直线y＝x上．①定义域上的单调函数必有反函数．②周期函数不存在反函数．③分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成.互动探究题型1反函数的求法例1.求下列函数的反函数：(1)y ＝2x ＋3x －1(x ＜1)； (2)y ＝x 2＋x (x ≤－1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1， (0≤x ≤1)x 2，(－1≤x ＜0)【解析】 (1)y ＝2＋5x －1在x ＜1时为减函数，存在反函数．原函数的值域是{y |y ＜2}．由y ＝2＋5x －1反解，得x ＝y ＋3y －2故反函数为y ＝x ＋3x －2 (x ＜2)(2)y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，易知在x ≤－1时，函数是递减函数，存在反函数．对原式两端平方，得y 2＝x 2＋x∴x ＝－1±1＋4y 22∵x ≤－1∴x ＝－1－1＋4y 22，且原函数的值域为{y |y ≥0}故所求的反函数为y ＝－1－1＋4x 22(x ≥0)． (3)当0≤x ≤1时，－1≤x 2－1≤0，即－1≤y ≤0.由y ＝x 2－1 (0≤x ≤1)，得x ＝y ＋1∴f －1(x )＝x ＋1 (－1≤x ≤0)当－1≤x ＜0时，0＜x 2≤1，即0＜y ≤1.由y ＝x 2 (－1≤x ＜0)，得x ＝－y ∴f －1(x )＝－x (0＜x ≤1)综上所述，f－1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (－1≤x ≤0)－x (0＜x ≤1)题型2原函数与反函数图象间的关系例 2.(1)若点(4,3)既在函数y ＝1＋ax ＋b 的图象上又在它的反函数的图象上，求函数的解析式；(2)y ＝f (x )＝2x ＋3x －1，y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x 对称，求g (3)的值；(3)如果函数f (x )＝ax ＋22x ＋3⎝⎛⎭⎪⎫x ≠－32的图象关于直线y ＝x 对称，求实数a 的值．【解析】 (1)∵(4,3)在y ＝f (x )的图象上，∴1＋4a ＋b ＝3⇒4a ＋b ＝4① ∵(4,3)在其反函数图象上，∴(3,4)在其原函数图象上．∴1＋3a ＋b ＝4⇒3a ＋b ＝9②①－②得a ＝－5，代入①得b ＝24， ∴f (x )＝1＋24－5x .(2)因为y ＝2x ＋3x －1(x ≠1，y ≠2)．∴xy －y ＝2x ＋3，得x ＝y ＋3y －2，所以f －1(x )＝x ＋3x －2(x ≠2)．所以f －1(x ＋1)＝x ＋4x －1(x ≠1)．由x ＋4x －1＝3，解得x ＝72， 所以g (3)＝72.(3)∵f (x )的图象关于直线y ＝x 对称． ∴f (x )的反函数就是f (x )的自身．由y ＝ax ＋22x ＋3得y (2x ＋3)＝ax ＋2，即(a －2y )x ＝3y －2.∴x ＝3y －2a －2y ，∴f －1(x )＝3x －2a －2x＝－3x ＋22x －a. ∵f －1(x )＝f (x )，∴a ＝－3.题型3反函数的综合问题例 3.已知函数f (x )满足f (x －3)＝log 5x 6－x(3≤x ≤5)．(1)求函数f (x )的解析式及定义域；(2)求函数f (x )的反函数f －1(x )； (3)若f (x )≥log 5(2x )，求x 的取值范围．【解析】 (1)设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵f (x －3)＝log 5x6－x，∴f (t )＝log 53＋t 3－t.∵3≤x ≤5,0≤t ≤2. 由⎩⎪⎨⎪⎧3＋t 3－t ＞00≤t ≤2，得0≤t ≤2.于是f (x )＝log 53＋x 3－x，且定义域为[0,2]．(2)设y ＝f (x )＝log 53＋x3－x，则3＋x 3－x ＝5y ，即x ＝3(5y－1)5y ＋1， ∴f －1(x )＝3(5y－1)5y ＋1，∴f －1(x )＝3(5x－1)5x ＋1.∵0≤x ≤2，∴1≤3－x ≤3， ∴3＋x 3－x ＝－1＋63－x∈[1,5]， 从而log 53＋x3－x∈[0,1]．故函数f (x )的反函数为f －1(x )＝3(5x－1)5x＋1(0≤x ≤1)． (3)f (x )≥log 5(2x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 3－x≥2x ＞00≤x ≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1或32≤x ＜30≤x ≤2⇒0＜x ≤1或32≤x ≤2.例 4.(2011·重庆模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋1(b ∈R )满足f (－1)＝f (3)．(1)求b 的值；(2)当x ＞1时，求f (x )的反函数f －1(x )． 【解析】 (1)∵f (－1)＝f (3)， ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1.解得b ＝－2(或利用对称性求解)．(2)由(1)，令y ＝(x －1)2(y ＞0)， ∴x －1＝y ，即x ＝1＋y ，∴当x ＞1时，f －1(x )＝1＋x (x ＞0).错解辨析例 5.求函数y＝x2＋4x＋3，x∈(－∞，－2]的反函数，并求反函数的定义域和值域．【错解】由已知得x2＋4x＋(3－y)＝0x＝－4±16－4(3－y)2＝－2±1＋y，所以，所求的反函数为y＝－2＋1＋x和y＝－2－1＋x.反函数y＝－2＋1＋x的定义域是[－1，＋∞)，值域是[－2，＋∞)，反函数y＝－2－1＋x的定义域是[－1，＋∞)，值域是(－∞，－2]．【错因】上述解法忽视了原函数的定义域(－∞，－2]，故在求得反函数时，没有舍去y＝－2＋1＋x而产生了错误．【正解】由已知得x2＋4x＋(3－y)＝0得x＝－2±1＋y，∵x∈(－∞，－2]，∴x＝－2－1＋y，因此所求的反函数是y＝－2－1＋x，定义域是[－1，＋∞)，值域是(－∞，－2].。
2024年高三数学第一轮复习计划模版（二篇）
2024年高三数学第一轮复习计划模版一、构建知识网络,注重基础,重视预习,提高复习效率数学的基础知识理解与掌握,基本的数学解题思路分析与数学方法的运用,是第一轮复习的重中之重。
对知识点进行梳理,形成完整的知识体系,确保基本概念、公式等牢固掌握。
要扎扎实实,对每个知识点都要理解透彻,明确它们要求以及与其他知识之间的联系。
复习课的容量大、内容多、时间紧。
要提高复习效率,必须使自己的思维与老师的思维同步。
而预习则是达到这一目的的重要途径,要做到“两先两后”,即先预习后听课,先复习后作业。
以提高听课的主动性,减少听课的盲目性。
而预习了之后,再听老师讲课,就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍,把重点放在自己还未掌握的内容上,从而提高复习效率。
预习还可以培养自己的自学能力。
二、提高课堂听课效率,勤动手,多动脑。
高三的课一般有两种形式：复习课和评讲课,到高三所有课都进入复习阶段,通过复习,学生要能检测出知道什么,哪些还不知道,哪些还不会,因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂,增强听课的主动性。
现在学生手中都会有一种复习资料,在老师讲课之前,要把例题做一遍,做题中发现的难点,就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力,自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法,坚持下去,就一定能举一反三,提高思维和解决问题的能力。
此外还要作好笔记,笔记不是记录而是将上述听课中的要点,思维方法等作出简单扼要的记录,以便复习,消化,思考。
三建好错题档案,做好查漏补缺。
这里说的“错”,是指把平时做作业中的错误收集起来。
高三复习,各类试题要做几十套,甚至更多。
如果平时做题出错较多,就只需在试卷上把错题做上标记,在旁边写上评析,然后把试卷保存好,每过一段时间,就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。
查漏补缺的过程就是反思的过程。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.13
讲案2.13函数的应用课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.常见的几种函数模型(1)一次函数型______________；(2)反比例函数型______________；(3)二次函数型______________；(4)指数函数型y＝N(1＋p)x(增长率问题)(x＞0)；(5)分段函数型．2．解应用问题的一般程序是：读题⇒建模⇒求解⇒反馈．(1)读题：深刻理解题意，正确审题，弄清已知什么，求取什么，需要什么．(2)建模：通过设元，将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型．(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出．(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确作答．导读校对：1.(1)y＝kx＋b(k≠0)(2)y＝kx(x≠0，k≠0)(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)基础热身1.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.323cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2解析：设一个正三角形的边长为x cn，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32(x－2)2＋23≥23(cm2)．答案：D2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是如图中的()解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在先进过程中s随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在先进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.答案：A3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台解析：产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必满足总售价≥总成本，即25x≥(3000＋20x－0.1x2)，0.1x2＋5x－3000≥0，x2＋50x－30000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．答案：C4．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y万元，每年下调率平均为x%，那么y和x的函数关系式为()A．y＝30(1－x%)6B．y＝30(1＋x%)6C．y＝30(1－x%)5D．y＝30(1＋x%)5解析：每年价格为上一年的(1－x%)倍，所以五年后的价格为y＝30(1－x%)5.答案：C5．(2010·陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋510 解析：由题意，可用特殊值法求解，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋410＝2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋510＝2，所以C ，D 选项错误，故选B.答案：B6．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是__________元．解析：设每台彩电原价为x 元，依题意有80%·x(1＋40%)－x＝270.解得x ＝2 250.答案：2 250思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.解数学应用问题的基本思想2．函数的综合应用函数把数学的各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角等彼此渗透、相互融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性，解这类综合问题应注意以下几点：(1)在解题时，有些函数的性质并不明显的，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法．(2)应坚持“定义域优先”的原则，即先弄清自变量的取值范围．(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题．互动探究题型1二次函数型应用题例 1.某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0＜x＜100)，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？【解析】设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足(100－x)·a·(1＋2x%)≥100a.因为a＞0，x＞0，可解得0＜x≤50.设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元，则f(x)＝(100－x)·a·(1＋2x%)＋1.2ax －100a，∴f(x)＝－0.02a(x2－110x)＝－0.02a(x－55)2＋60.5a，∵x∈(0,50]，且f(x)在(0,50]上单调递增，∴当x＝50时，f(x)max＝60a，因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．题型2分段函数型应用题例 2.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降价0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0＜x ≤100时，P ＝60.当100＜x ＜550时，P ＝60－0.02(x－100)＝62－x 50. 当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧60 (0＜x ≤100)，62－x 50 (100＜x ＜550)(x ∈N )51 (x ≥550)， (3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 20x (0＜x ≤100)，22x －x 250 (100＜x ＜550)11x (x ≥550)，(x ∈N )当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．题型3指数函数型应用题例3.假设A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%.2001年A型进口车每辆价格为64万元(其中含32万元关税税款)．(1)已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？(2)某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%(五年内不变)，且每年按复利计算(例如，第一年的利息计入第二年的本金)，那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按(1)中所述降价后的B型汽车？【解析】(1)设B型车平均每年下降x万元，那么46－5x≤(32＋32×25%)×90%，解得x＝2.∴B型车平均每年至少下降2万元．(2)5年后，B型车价格不高于46－5×2＝36(万元)．5年后存款本息合计为33(1＋1.8%)5＝33(1＋0.018)5＞33(1＋5×0.018＋10×0.0182)≈36.077，36．077＞36.∴能够买到降价后的B 型车.错解辨析例4.方程2x2－3x＝k，在－1≤x≤1的范围内有实数根，求实数k的范围．【错解】2x2－3x－k＝0，Δ＝9＋8k≥0⇒k≥－9 8.【错因】忽略了x的取值范围【正解】设f(x)＝2x2－3x－k①在－1≤x≤1的范围内有两实根．所以有以下不等式组：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ Δ≥0f (－1)≥0f (1)≥0－1＜34＜1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＋8k ≥02＋3－k ≥02－3－k ≥0 ⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ k ≥－98k ≤5k ≤－1⇔－98≤k ≤－1②方程f (x )＝0在－1≤x ≤1的范围内仅有一个实根时，Δ＞0，且当x ＝1时与x ＝－1时y 值的乘积不能是正数．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞－98(5－k )(k ＋1)≥0故－1≤k ≤5. 综上可知：当－98≤k ≤－1时，原方程有二实根．当－1≤k ≤5时，原方程有一实根．9∴k范围为－8≤k≤5.。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.13
y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (3)二次函数型__________________________； (4)指数函数型 y＝N(1＋p)x(增长率问题)(x＞0)； (5)分段函数型．
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2．解应用问题的一般程序是： 读题⇒建模⇒求解⇒反馈． (1)读题：深刻理解题意，正确审题，弄清已知什么，求取 什么，需要什么． (2)建模：通过设元，将实际问题转化为数学关系式或建立 数学模型． (3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出． (4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正 确作答．
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【解析】 设分流出 x 万人， 为保证第二产业的产值不减少， 必须满足 (100－x)· (1＋2x%)≥100a. a· 因为 a＞0，x＞0，可解得 0＜x≤50. 设该市第二、三产业的总产值增加 f(x)万元， 则 f(x)＝(100－x)· (1＋2x%)＋1.2ax－100a， a· ∴f(x)＝－0.02a(x2－110x)＝－0.02a(x－55)2＋60.5a， ∵x∈(0,50]，且 f(x)在(0,50]上单调递增， ∴当 x＝50 时，f(x)max＝60a， 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出 50 万 人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．
解析：设每台彩电原价为 x 元，依题意有 80%· x(1＋40%) －x＝270.解得 x＝2 250. 答案：2 250
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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思
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疑难精讲 1.解数学应用问题的基本思想
9 ⇔－ ≤k≤－1 8
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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.4
∴u＝x2－2kx＋k 能取所有正值， ∴Δ≥0 即 4k2－4k≥0. 解得 k≥1 或 k≤0. 答案：C
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4．(2010· 重庆卷)函数 y＝ 16－4x的值域是( A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
)
解析：要使函数有意义，则 16－4x≥0.又因为 4x＞0， ∴0≤16－4x＜16，即函数 y＝ 16－4x的值域为[0,4)． 答案：C
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疑难精讲 1.函数值域的求法 (1)配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其 值域，其关键在于正确化成完全平方式． (2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值 域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如 y＝ax＋ b± cx－d(a，b，c，d 均为常数且 ac≠0)的函数常用此法求解． (3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数 x2， 则常用此法．通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式 Δ≥0，确定 y 的范围，即为原函数的值域． (4)不等式法：借助于重要不等式 a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0) 求函数的值域． 用不等式法求值域时， 要注意均值不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”．
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2．(1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变 化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量 x 是否属于 R. (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键．分段 函数的值域应分段分析，再取并集． (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 域，这是求值域的重要环节.
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