人教版八年级上册课件123角平分线的性质共29张

已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE
3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程 。
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
B
A
D
C
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
A D
P
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； O （3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
D
A
C P
E B
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
解：如图，集贸市场在D处
设OD=Xm 则由题得
= X
1
500
20000
解
得x=0.025m 即OD=2.5cm
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
想一想： 为什么 OC 是角平分线呢？
A Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
请画出任意角 ∠AOB的平分线
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论 :角的平分线上的点到角的 两边的距离相等 .
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
A
C
P
EB
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
说一说 你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边
的距离相等)
O
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
全等三角形
角平分线的性质
探究1---想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道
∵BM是△ABC的角平分线，点 P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
结 角论 形： 内三部角一形 点的 ，三 并条 且角 到平 三分 边线距交离于相B三等
E
C
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
已知：如图， OC是∠AOB的平分线，点 P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠ PDO= ∠PEO=90 （垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
D
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
O
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
作法：1、以_点__O_ 为圆心，
A C
__适__当__ 长为半径作圆弧， E来自与角的两边分别交于C、
D两点；
2、分别以C__、__D_ 为圆心， _超__过___C_D_一__半的长为半径 B
D
O
作弧，两条圆弧交于
∠ AO内B 一点__E__ ； 3、作射线_O__E__ ； _O__E__ 就是所求作的射线。
A
到角的两) 边的距离相等
D
C
P
O
E B
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点 P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
结 角论 形： 内三部角一形 点的 ，三 并条 且角 到平 三分 边线距交离于相B三等
E
C
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
? 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
)
A
（×） B
D
C
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已
知∴） DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
4、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D__⊥_O__A_，__P_E_⊥__O_B_
∴PD=PE (
角的平分线上的点
理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三 角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线 的定义）
经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的 方法吗？小组内互相交流一下吧！
尺规作图：
观察领悟作法，探索思考证明方法：
∴点Q在∠AOB的平分线上
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上．
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
O
公路
铁路
sD
C
如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与 ∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
H
Ｄ
Ｃ
更上一层楼！
F ＰＥ Ａ
ＢG