北京市西城区重点中学2016年10月人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》13.1 轴对称研究课说课稿

合集下载

人教版数学八年级上册13.1.1轴对称教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“轴对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如对称轴的确定和不规则图形的轴对称判定，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与轴对称相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如剪纸或折叠纸片来观察轴对称图形。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《轴对称》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过对称的情况？”比如，我们常见的剪纸艺术，很多图案都是轴对称的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索轴对称的奥秘。
实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们动手动脑，增强了他们对轴对称知识的理解。但在小组讨论中，我也注意到有些学生参与度不高，可能是因为主题过于开放或者他们对问题的理解不够深入。在今后的教学中，我需要更加注意引导学生的讨论，确保每个人都能积极参与进来。
学生小组讨论后，成果分享环节也让我看到了学生们的创造力和思考能力。他们能够将轴对称的概念与日常生活相结合，提出一些很有创意的想法。这让我感到很欣慰，也证明了我的教学方法在一定程度上是有效的。

八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结新人教版

第十三章轴对称一、知识框架：二、知识清单：1.轴对称：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.轴对称的性质：对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.3.线段垂直平分线性质①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.③线段垂直平分线的作图a 分别以线段的两个端点为圆心，大于1/2线段的适当长度为半径画弧，两弧交于两个点；b 过两个交点作直线，则直线即为已知线段的垂直平分线.4.画已知图形的轴对称图形（步骤）a 过已知点A 作对称轴l 的垂线，垂足为O ，在垂线上截取OA'，使OA'=OA ，则点A'是点A 的对称点；b 同理分别作出其它关键点的对称点；c 将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.5.关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②关于y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.③关于原点对称的点横纵坐标分别互为相反数；点P (,)x y 关于原点对称的点的坐标为P 1()y ,x --.6.等腰三角形（1）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）等腰三角形的性质（定理）：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.②等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）（3）等腰三角形的判定（定理）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

人教版数学八年级上册说课稿13.1《轴对称》

人教版数学八年级上册说课稿13.1《轴对称》一. 教材分析《轴对称》是人教版数学八年级上册第13章第1节的内容。

本节主要让学生了解轴对称的概念，理解轴对称的性质，学会判断一个图形是否为轴对称图形，以及会画出一个图形的轴对称图形。

本节内容是学生进一步学习几何知识的基础，也是培养学生空间想象能力的重要环节。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了平面图形的性质，有一定的几何基础。

但是，对于轴对称的概念和性质，学生可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要结合实例，让学生直观地感受轴对称的概念和性质，提高学生的空间想象能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，学会判断一个图形是否为轴对称图形，会画出一个图形的轴对称图形。

2.过程与方法：通过观察实例，培养学生的空间想象能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的美。

四. 说教学重难点1.重点：轴对称的概念，轴对称的性质。

2.难点：判断一个图形是否为轴对称图形，画出一个图形的轴对称图形。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例教学法、问题驱动法、合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例，引导学生观察、思考。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一个实例，引导学生观察、思考，引出轴对称的概念。

2.新课导入：讲解轴对称的性质，让学生通过实例感受轴对称的性质。

3.学生活动：学生分组讨论，判断给出的图形是否为轴对称图形，并画出其轴对称图形。

4.总结提升：教师引导学生总结轴对称的概念和性质，让学生明白轴对称在实际生活中的应用。

5.课堂练习：布置一些有关轴对称的练习题，让学生巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.性质：轴对称图形的对称轴是图形的中心线，图形的每一部分关于对称轴都有对称性。

人教八年级数学上册第十三章轴对称知识点常见考点例析

第十三章轴对称知识点常见考点例析一.知识框架图二.轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

三.轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．四.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；五.关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）六.关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；。

人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》

人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》一. 教材分析人教版八年级上数学第13章《轴对称》是初中数学的重要内容，主要让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

本章内容涉及图形变换，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的平面几何知识，具备一定的观察和分析能力。

但学生在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不深，因此在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体会轴对称的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念，轴对称的性质。

2.难点：轴对称的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引导学生观察实际问题，激发学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：引导学生通过操作、思考、交流等活动，自主探究轴对称的性质。

3.案例教学法：通过典型例题，引导学生运用轴对称解决实际问题。

六. 教学准备1.教学素材：收集相关的实际问题，准备典型例题。

2.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如剪纸、折叠等，引导学生观察并思考：这些实际问题有什么共同特点？学生可能回答出：这些实际问题都涉及到图形的对称性。

教师总结：对称性是这些实际问题的共同特点，今天我们要学习的就是关于对称性的一种重要类型——轴对称。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示轴对称的定义和性质，引导学生观察并思考：轴对称的定义是什么？轴对称的性质有哪些？学生可能回答出：轴对称的定义是图形关于某条直线对称；轴对称的性质有对称轴上的点不变，对称轴两侧的点关于对称轴对称。

人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称

人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称，让我们一起学习，一起进步吧!
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等。

(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(三线合一)(附：顶角+2底角=180°)
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地
应对新学习，达到长远目标。

由查字典数学网为您提供的人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称，祝您学习愉快!。

八年级数学人教版上册第13章轴对称图形13.1轴对称(第3课时图文详解)

A
平分线交于点P.
（1）求证：PA=PB=PC. （2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？ B
P C
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点
到三角形三个顶点的距离相等.
八年级数学上册第13章轴对称
1.如图，如果△ACD的周长为18cm，△ABC的周
长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些条件，
八年级数学上册第13章轴对称
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出
L
这些对称轴． A
B
作法：1．找出五角星的一对
对应点A和B，连结AB．
2．作出线段AB的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五
条对称轴．
八年级数学上册第13章轴对称
2.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直
A
你可以求出哪条线段的长?
D
【解析】
BE C
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm；
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm；
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋ CD＝
A（D4＋）B由D（＝2A）B－. （1）得BC＝10cm.
八年级数学上册第13章轴对称
八年级数学上册第13章轴对称
大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？
只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
八年级数学上册第13章轴对称
如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可．

初中数学人教版八年级上册：第13章《轴对称》全章教案(22页,含反思)

初中数学人教版八年级上册实用资料第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时)第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)．∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题． 2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA ＝PB ，PO ⊥AB ，则必有AO ＝BO ，为什么？(2)如左下图，△ABC 中，AC ＝16 cm ，DE 为AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为26 cm .求BC 的长．(3)有A ，B ，C 三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法．难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？二、探究新知我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形．学生模仿教师的画法，边写画法，边画图．作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.CD就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图．教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？三、举例分析例2如图(1)，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2画轴对称图形(2课时)第1课时作轴对称图形通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．重点能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．难点较复杂图形的轴对称图形的画法．一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．二、探究新知[活动]在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？(直线l垂直平分线段PP′)[思考1]如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A′.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．[思考2]如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A′.(2)画出点B关于直线l的对称点B′.(3)连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．[思考3]如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A 关于直线l的对称点．(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．三、课堂练习1．教材第68页练习第1，2题2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是()四、小结与作业1．归纳：几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．2．作业：教材习题13.2第1题．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．重点用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．难点找对称点的坐标之间的关系．一、问题导入教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(0，－3)；(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．已知点A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－D(3，5) E(4，0) F(0，－3)5)关于x轴的对称点关于y轴的对称点【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？【归纳】关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．【探究3】按以上规律，说出点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？【归纳】一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．三、举例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a，b的值．(1)A，B关于y轴对称；(2)A，B关于x轴对称；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．【解析】(1)A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；(2)A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．四、课堂巩固1．平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知点P(－2，3)关于y轴对称点为Q(a，b)，则a＋b的值为()A．1B．－1C．5D．－53．点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴的对称点为P2，则P2的坐标为() A．(a，b) B．(a，－b)C．(－a，b) D．(－a，－b)4．若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于()对称．A．x轴B．y轴C．x轴或y轴D．不确定五、拓展思维如图，点A(1，4)，B(4，1)，l为第一、三象限角∠xOy的平分线．(1)求证：l垂直平分AB；(2)A，B关于l成轴对称吗？(3)如果点A，B的坐标分别为(6，8)和(8，6)，它们还关于l对称吗？(4)如果你发现了对称点的坐标规律，写出点P(m，n)关于第一、三象限角平分线的对称点Q的坐标．六、小结与作业小结：(1)点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．(2)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)即横坐标互为相反数，纵坐标相等．作业：教材习题13.2第3，4题．本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形(2课时)第1课时等腰三角形的性质和应用1．理解并掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．重点等腰三角形的性质及应用．难点等腰三角形的性质的证明．一、情境导入【活动1】教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．二、探究新知如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A 是顶角，∠B和∠C是底角．【活动2】把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．教师活动：引导学生归纳．性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．证明：作BC边上的中线AD，如图．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，所以△ABD ≌△ACD(SSS )，所以∠B ＝∠C. 这样，就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗？由△ABD ≌△ACD ，还可得出∠BAD ＝∠CAD ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°. 从而AD ⊥BC ，这也就证明了等腰△ABC 底边上的中线平分顶角∠A 并垂直于底边BC. 添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2. 三、应用提高例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．学生活动：小组合作，分组讨论、交流．教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角)发现：(1)∠ABC ＝∠ACB ＝∠CDB ＝∠A ＋∠ABD ； (2)∠A ＝∠ABD ； (3)∠A ＋2∠C ＝180°.若设∠A ＝x ，则有x ＋4x ＝180°，得到x ＝36°，进一步得到两个底角的度数．四、小结与作业请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．作业：教材习题13.3第1，3，7题．本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．第2课时等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．重点等腰三角形的判定方法．难点等腰三角形的判定方法的证明．一、提出问题出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：高、顶角平分线、底边上的中线．让学生逐一尝试，发现可以作AD ⊥BC ，或AD 平分∠BAC ，但不能作BC 边上的中线．学生口头证明后，选一种方法写出证明过程．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，作△ABC 的角平分线AD.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△BAD ≌△CAD(AAS )，∴AB ＝AC.归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”．三、应用举例 1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1＝∠2，AD ∥BC.(如图所示)求证：AB ＝AC.分析：要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：(1)作线段AB＝a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC＝h.(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．四、课堂小结1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？五、布置作业教材习题13.3第2，8，10题．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．13．3.2等边三角形(2课时)第1课时等边三角形的性质和判定。

八年级数学人教版上册第13章轴对称图形13.2.2用坐标表示对称轴(图文详解)

（2）在平面直角坐标系中,点(X,Y)关于直线X=-1对称点
的坐标是多少?
(-x-2,y)
（3）在平面直角坐标系中,点(X,Y)关于直线Y=1对称点
的坐标是多少?
(x,-y+2)
（4）在平面直角坐标系中,点(X,Y)关于直线Y=-1对称点
的坐标是多少?
(x,-y-2)
八年级数学上册第13章轴对称
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数. 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等.
2.在平面直角坐标系中画一个图形关于x轴或y轴的对称图形：先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.
在平面直角坐标系中画出下列各点
关于x轴的对称点. y
5 4
· B (-4, 2) 3 2
1
· C′(3, 4)
·-4 -3 -2 -1-10 -2
B ′(-4, -2) -3
-4
1 2 3 4 5x
· C(3, -4)
关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？
八年级数学上册第13章轴对称
y
5 4
-2
-3
· -4
C′(-3, -4)
·C(3, -4)
八年级数学上册第13章轴对称
关于y轴对称的点的横坐标互为相反数, 纵坐标相等.
八年级数学上册第13章轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_(_x_,_－__y_)_. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_(_－__x_,_y_)_.
(0,1) （4，0） (0, -1) (-4,0)

人教版八年级数学上册第十三章 1 1.1 轴对称

1.如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相
重合,这个图形就叫做轴对称图形
,这条直线就是它
的对称轴
.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成
轴) 对称 .
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图
形重合 ,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条
直线叫做对称轴 ,折叠后重合的点是对应点,叫
,CF与CD的数量关系
为
.
90° CF=1CD
2
关闭
答案
1
2
1.轴对称图形【例1】在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字可以看作是轴对称图形的是( ).
解析:A,B,D都不是轴对称图形,只有C是轴对称图形.故选C. 答案:C 点拨:轴对称图形的判断方法:确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,两旁的部分沿对称轴折叠后可重合.
做对称点
.
3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做
这条线段的垂直平分线.
4.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .类似地,轴对称图形的对称轴
是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
知识梳理预习自测
1.下列图形不是轴对称图形的是( ).
-6-
1
2
2.判断两个图形是否成轴对称
பைடு நூலகம்
【例2】观察下面各组图形,其中成轴对称的是
.(只
填序号)
解析:在图①②④中都能找出一条直线,沿这条直线折叠后两个
图形能完全重合,而图③中不存在这样的直线,所以成轴对称的是
①②④. 答案:①②④ 点拨:两个图形成轴对称,是指两个图形之间的一种特殊的关系,

初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.1知识点总结含同步练习及答案

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称垂直平分线的性质与判定尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形，若，则的度数为（）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和，可得，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、为为、上的两个顶点，请你在边上找一点，使周长最小？分析：由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小．如果设关于的对称点为，所以只要使最小即可．作法：① 作关于的对称点；② 连接交于点；③ 连接，则周长最小，为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线上截取，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段，（设）．如图，在中，，，边上的垂直平分线交、分别于点、，则的周长等于（）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知，所以的周长等于的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有、、三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A. 在，两边高线的交点处B. 在，两边中线的交点处C. 在，两边垂直平分线的交点处D. 在，两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和的和，记作段就是线段与 ③ 连接，则此时角等于．③ 过，两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出的平分线．② 过、两点作直线 ∠DCE M N 已知线段，，作一条线段，使其长为即线段为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点，使，则点一定在线段的垂直平分线上，又点到两边的距离相等，则点也在的平分线上，所以作线段的垂直平分线和的平分线，两线的交点即为点．解：分别作线段的垂直平分线和的平分线，与相交于点，则点即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、．若，则的周长为．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

新人教版八年级数学教材上册第十三章《-轴对称》全章教案

13.1.1轴对称教学设计【教学目标】一、知识与技能1. 了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.2. 了解线段垂直平分线的概念.二、过程与方法探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用.三、情感态度与价值观欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。

【教学重点】轴对称的概念和性质【教学重点】轴对称的概念和性质【教学方法】观察、作图操作、类比【教学课型】新授课【教学准备】多媒体、剪刀、尺规【教学过程】一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、探索新知：问题1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴•这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系:把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。

两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。

人教版初中数学八年级上册第十三章：轴对称(全章教案)

第十三章轴对称本章的内容包括：轴对称、画轴对称图形、等腰三角形、最短路径问题．轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用．在中考中，本章重点考查轴对称图形的性质、等腰三角形、等边三角形的判定及性质．【本章重点】轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及判定．【本章难点】运用轴对称的思路分析认识复杂图形，进行推理论证．【本章思想方法】1．体会和掌握分类讨论思想，如：在解答等腰三角形的问题中，当腰和底、顶角的大小、角的位置不明确时，需要进行分类讨论．2．体会方程思想，如：在解决等腰三角形的问题时，根据边或角之间的关系，先设适当的边或角为未知数，再将其他的边或角用含未知数的代数式表示出来，最后根据等腰三角形的周长或三角形的内角和定理等构造方程解决问题．3．体会数形结合思想，如：运用本章知识解决实际问题时经常根据题意画出符合条件的图形，利用数形结合思想解决问题．13．1轴对称3课时13．2画轴对称图形2课时13．3等腰三角形4课时13．4课题学习最短路径问题1课时13．1轴对称13.1.1轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．【教学难点】轴对称的性质．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.4．图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？【解答】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形，(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形．(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2 cm，∠D＝∠C ＝95°.【答案】2 cm95°【互动总结】(学生总结，老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．下图中的轴对称图形有(B)A．(1)(2)B．(1)(4)C．(2)(3)D．(3)(4)2．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B ＝40°，则∠BCD的度数是(A)A．130° B．150° C．40° D．65°3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，n条对称轴．解：如图．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．请完成本课时对应练习！13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定．【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？答：直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2．垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3．垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分∠AMB环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长为35 cm，求BC→需求BC＋DC的长，利用AD＝BD(垂直平分线的性质)→BC＋DC＝AC.【解答】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35 cm.∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，从而找出AD 与EF 的关系．【解答】AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF .在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ， ∴AE ＝AF ，∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上，即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结，老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段P A ＝5，则线段PB 的长度为( B )A．6 B．5C．4 D．32．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC 于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．(2)解：∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证△ADE ≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF 即可．【解答】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD ＝CF ， ∴AB ＝BC ＋AD .【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)线段垂直平分线⎩⎪⎨⎪⎧性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等判断：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线请完成本课时对应练习！第3课时线段垂直平分线的有关作图一、基本目标【知识与技能】理解并掌握线段垂直平分线的有关作图．【过程与方法】经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．【情感态度与价值观】通过作轴对称图形的对称轴，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力，同时培养学生动手操作的意识及能力．二、重难点目标【教学重点】理解作轴对称图形的对称轴的方法．【教学难点】能解决有关线段垂直平分线的作图题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．2．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．3．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴．解：它们都是轴对称图形，第一幅图的对称轴是中间的水平直线，第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线．4．作线段AB 的垂直平分线．解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例题】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．【互动探索】(引发学生思考)如何作轴对称图形的对称轴？【解答】所画对称轴如下所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．活动2巩固练习(学生独学)1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．2．观察图中的图形，是轴对称图形的画出所有的对称轴．略环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．请完成本课时对应练习！13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形一、基本目标【知识与技能】掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法．【过程与方法】在探索问题的过程中体会知识间的关系，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用，感受数学与生活的联系．【情感态度与价值观】经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，培养学生的应用意识和探究精神．二、重难点目标【教学重点】作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．画出下列轴对称图形的所有对称轴．略2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.3．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形．【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？【解答】如图所示：【互动总结】(学生总结，老师点评)我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．活动2巩固练习(学生独学)1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(B)2．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.略活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝()A．20° B．30°C．40° D．50°【互动探索】根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)作与图形成轴对称的图形，关键在于将图形抽象出各点，然后作点的对称点，再连线即可．请完成本课时对应练习！第2课时坐标中的轴对称一、基本目标【知识与技能】理解并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律．【过程与方法】1．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生形象思维能力和数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．【情感态度与价值观】在探索规律的过程中，培养学生的应用意识和探究精神，提高学生的求知欲和好奇心．二、重难点目标【教学重点】直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．【教学难点】能解决有关坐标中的轴对称问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P68～P70的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.2．(1)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；(2)关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3．点P(－4,3)关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为(－4，－3).4．点P(－3,4)关于y轴的对称点为M，则点M的坐标为(3,4).环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在平面直角坐标系中，已知点A(－3,1)、B(－1,0)、C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．【互动探索】(引发学生思考)作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么？【解答】如图，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．【互动总结】(学生总结，老师点评)在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连结，即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形．活动2巩固练习(学生独学)1．点A(2，－3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是(2，－3).2．点P(3,4)关于y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则a－b＝－7.3．已知点A(2a－b,5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2018的值．解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a－b＝2b－1,5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5.(2)∵A、B关于y轴对称，∴2a－b＋2b－1＝0,5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2018＝1.3．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并指出△A1B1C1的顶点坐标．解：画图略．其中A1(3，－4)、B1(1，－2)、C1(5，－1)．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点在格点上．(1)若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD 关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；(2)点D1的坐标是________；(3)求四边形ABCD的面积．【互动探索】(1)以点B 为原点，线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y 轴对称的点，顺次连结即可；(2)根据直角坐标系的特点，写出点D 1的坐标；(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形，求出面积．【解答】(1)画图略． (2)点D 1的坐标为(－1,1)．(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3＋12×1×2＝52.【互动总结】(学生总结，老师点评)轴对称变换作图，基本作法是：(1)先确定图形的关键点；(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点；(3)按原图形中的方式顺次连结对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)坐标中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律作已知图形关于x 轴、y 轴对称的图形请完成本课时对应练习！13．3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、基本目标【知识与技能】1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．2．利用等腰三角形的性质解决相关问题．【过程与方法】经历等腰三角形性质的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，提高学习的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握等腰三角形的性质．【教学难点】运用等腰三角形的性质解决有关问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P75～P77的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.2．教材P75【探究】：(1)如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC.从上述过程中可知，在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角：①重合的线段：AB与AC、BD与CD、AD与AD；②重合的角：∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.3．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)．(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.4．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.设∠A＝x，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝1＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36.∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的角平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等求解．【证明】过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2.∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°.∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.∴∠DBC＝∠2.∴∠BAD＝2∠DBC.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证等式中，角之间的数量关系，利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(D)A．20°B．50°或80°C．10°D．20°或80°2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝3 cm.3．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.证明：∵AB＝AC，CN＝AC，∴AB＝CN，∠N＝∠CAN.又∵AB∥CN，∴∠BAM＝∠N，∴∠BAM＝∠CAM，∴AM为∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴AM为三角形ABC的边BC上的中线，∴BM＝CM.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 是等腰三角形，且∠A ＋∠B ＝130°，求∠A 的度数．【互动探索】要求∠A ，需先讨论∠A 是等腰△ABC 的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．【解答】①当∠A 为顶角时，则∠B ＝∠C . ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠B ＝∠C ＝50°. ∴∠A ＝80°.②当∠C 为顶角时，则∠A ＝∠B ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝65°.③当∠B 为顶角时，则∠A ＝∠C ， ∵∠A ＋∠B ＝130°， ∴∠A ＝∠C ＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角三线合一轴对称性请完成本课时对应练习！第2课时等腰三角形的判定一、基本目标【知识与技能】1．探索等腰三角形的判定方法．2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．【过程与方法】经历判定等腰三角形的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强数学语言表达能力．【情感态度与价值观】在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，感受数学学习的乐趣，激发学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形的判定方法．【教学难点】会运用等腰三角形的判定方法解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P77～P78的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形．2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.证明过程略．(提示：作△ABC的角平分线AD)3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边)．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC，本题不能直接连结AD，由全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．【证明】连结BC.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB.∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，需证CE＝CF.由等角的余角相等可得∠B＝∠ACD，由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.【解答】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝3 cm.2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°.3．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2,3)，在y轴上确定点P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6【互动探索】∵△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P1；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P2、P4；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P3.综上所述，共有4个．故选B.。

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》教学设计

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册第13章《轴对称》是学生学习几何知识的重要章节，主要内容包括轴对称的定义、性质、判定及其在实际问题中的应用。

本章教材通过丰富的实例，引导学生探究轴对称的规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已具备一定的几何基础，对图形的变换有一定的了解。

但轴对称的概念较为抽象，学生对其理解可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生建立轴对称的概念。

三. 教学目标1.理解轴对称的定义及其性质。

2.学会判断一个图形是否为轴对称图形。

3.能够运用轴对称的知识解决实际问题。

4.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.轴对称的定义和性质。

2.判断一个图形是否为轴对称图形。

3.轴对称在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例，引导学生感受轴对称的现象。

2.合作学习法：鼓励学生分组讨论，共同探究轴对称的性质。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，总结规律。

4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示轴对称的实例和性质。

2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对轴对称的理解。

3.教学道具：准备一些实际物品，如卡片、纸张等，用于展示轴对称的现象。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生发现轴对称的现象，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示教材中的实例，引导学生总结轴对称的定义和性质。

如：一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能够完全重合，则这个图形关于这条直线对称。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，判断教材中的图形是否为轴对称图形。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，巩固对轴对称的理解。

教师及时批改，给予反馈。

5.拓展（10分钟）引导学生思考轴对称在实际问题中的应用，如设计图案、解决几何问题等。

八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点

八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称：如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

二、轴对称的性质1. 对应点性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2. 对应线段与对应角：轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

三、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。

2. 关于y轴对称：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。

五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

2. 等边三角形：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；等边三角形具有等腰三角形所有的性质。

判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2. 三角形三条边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

北京西城区学习探究诊断数学八上第十三章轴对称

第十三章轴对称．．．．．．．测试轴对称．． 1．．．．学习要求．．．．．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的观点，弄清它们之间的差别与联系，能识1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．别轴对称图形．．．．．．．．．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的对于某直线对称的图形．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题．．．．．．假如一个图形沿着一条直线_____，直线两旁的部分能够_____，那么这个图形叫做_____，．．．．．．．．．．．．．．1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这条直线叫做它的_____，这时，我们也就说这个图形对于这条直线（或轴）_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与_____重合，那么这两图形叫做对于_____，．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这条直线叫做_____，折后重合的点是_____，又叫做 _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．成轴对称的两个图形的主要性质是．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）成轴对称的两个图形是 _____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（）假如两个图形对于某条直线对称，那么对称轴是任何一对_____的垂直均分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．．．．．．．．4．轴对称图形的对称轴是_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（）角是轴对称图形，它的对称轴是_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．51．．．．．．（）线段是轴对称图形，它的对称轴是_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．．（3）圆是轴对称图形，它的对称轴是_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、选择题．．．．．．在图－中，是轴对称图形的是（）．．．．6 ．．．11 ．．．．．．．．．．．．图－． 1．．．1．在图－的几何图形中，必定是轴对称图形的有（）．．．．7 ．．．12 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图－．1．．．2．个B．个C．个D．个A．．．2 ．．．．．3．．．．4．．．5．．如图－，与对于直线对称，则∠的度数为（）．．．．8 ．．．．．．．．13ABC ．．A'B'C'．．．．．．．．．．．．．．．．l B．．．．．．．图－．1．．．3．°B．°C．°D．°A．．．．30．．．．50．．．．90．．．．．100．将一个正方形纸片挨次按图－，的方式对折，而后沿图中的虚线裁剪，成图．．．．．．．．．．．．．．91．．．．．．4ab ．．．．．．．．．．．c．．．．．．．．．．d款式，将纸睁开摊平，所获得的图形是图－中的（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．．．5 ．．．．图－． 1．．．4图－． 1．．．5．如图－，将矩形纸片（图①）按以下步骤操作：（）以过点的直线为折．．．．．10 ．．．．．．．．．16ABCD．．．．．．．．．．．．．．．．．1．．．．． A．．．．．．痕折叠纸片，使点恰巧落在边上，折痕与边交于点（如图②）；（）以．．．．．．．．B．．．．． AD．．．．．．．． BC．．．．．． E．．．．．．．．．．．2过点的直线为折痕折叠纸片，使点落在边上，折痕交边于点（如图．． E．．．．．．．．．．．．．．A．．． BC．．．．．．． EF．．． AD．．．．． F．．．．③）；（）将纸片收展平，那么∠的度数为（）．．．．．．．．．．．．．．．．3AFE．．．．．．．．．图－．1．．．6A．60°B． 67.5°C． 72°D． 75°．．．．．．．．．．．．．．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．一、解答题．．．．．11．请分别画出图．．．．．．．．．（1）正方形．．．．．．1－ 7 中各图的对称轴．．．．．．．．．．．．（2）正三角形．．．．．．．（3）订交的两个圆．．．．．．．．．图 1－7．．．．12．如图 1－ 8，ABC 中， AB＝ BC，ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 A'处，若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点 D 为 AB 边的中点，∠ A＝ 70°，求∠ BDA'的度数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 1－8．．．．13．在图 1－ 9 中你可否将已知的正方形按以下要求切割成四部分，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）切割后的图形是轴对称图形；（2）这四个部分图形的形状和大小都同样．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．请起码给出四种不一样切割的设计方案，并画出表示图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 1－9．．．．14．在图 1－ 10 这一组图中找出它们所包含的内在规律，而后在横线的空白处设计一个适合．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的图形．．．．．图 1－10．．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．15．已知，如图1－ 11，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴上， BC⊥ x 轴于点 C，点 A 对于直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．OB 的对称点 D 恰幸亏 BC 上，点 E 与点 O 对于直线BC 对称，∠ OBC＝ 35°，求∠ OED ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的度数．．．．．图 1－11．．．．．测试 2线段的垂直均分线．．．．．．．．．．．学习要求．．．．1．理解线段的垂直均分线的观点，掌握线段的垂直均分线的性质及判断，会画已知线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．段的垂直均分线．．．．．．．．．2．能运用线段的垂直均分线的性质解决简单的数学识题及实质问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、填空题．．．．．1．经过 _____而且 _____的 _____ 叫做线段的垂直均分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．线段的垂直均分线有以下性质：线段的垂直均分线上的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．相等．．．．_____与这条线段 _____的 _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．线段的垂直均分线的判断，因为与一条线段两个端点距离相等的点在_____，而且两点确．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．定 _____，所以，假如两点M、N 分别与线段AB 两个端点的距离相等，那么直线MN 是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．_____．．．．．．．4．达成以下各命题：．．．．．．．．．．（1）线段垂直均分线上的点，与这条线段的_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）不在线段垂直均分线上的点，与这条线段的_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5）综上所述，线段的垂直均分线是_____的会合．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．如图 2－ 1，若 P 是线段 AB 的垂直均分线上的随意一点，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 1）PAC≌ _____；（ 2） PA＝ _____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）∠ APC＝ _____；（ 4）∠ A＝ _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 2－1．．．．6．ABC 中，若 AB－ AC＝ 2cm，BC 的垂直均分线交AB 于 D 点，且ACD 的周长为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则 AB＝ _____， AC_____.．．．．．．．．．．．．．．．．．．7．如图 2－ 2，ABC 中， AB＝ AC， AB 的垂直均分线交AC 于 P 点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）若∠ A＝ 35°，则∠ BPC＝ _____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 2）若 AB＝ 5 cm， BC＝3 cm，则PBC 的周长＝ _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 2－2．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．一、解答题．．．．．8．已知：如图2－ 3，线段 AB．．．．．．．．．．．．．．．．．求作：线段AB 的垂直均分线MN ．．．．．．．．．．．．．．．．．作法：．．．图 2－3．．．．9．已知：如图2－ 4，∠ ABC 及两点 M、 N．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求作：点P，使得 PM ＝ PN，且 P 点到∠ ABC 两边的距离相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作法：．．．图 2－4．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．14cm，．．．．．10．已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，研究能否存在一个定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．在直线 l 上运动时，点P 与 A、 B 两点的距离总相等．假如存在，请作出定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．存在，请说明原因．．．．．．．．．．图 2－5．．．．11．如图 2－ 6， AD 为∠ BAC 的均分线， DE ⊥AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F ，那么点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．对于 AD 对称？若对称，请说明原因．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 2－6．．．．测试 3轴对称变换．．．．．．．．学习要求．．．．1．理解轴对称变换，能作出已知图形对于某条直线的对称图形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实质问题.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B，当点 P ．．．．．B；若不．．．．E、F 能否．．．．．一、填空题．．．．．1．由一个 _____获得它的 _____叫做轴对称变换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．假如由一个平面图形获得它对于某一条直线l 的对称图形，那么，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）这个图形与原图形的 _____完整同样；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）新图形上的每一点，都是 _____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）连结随意一对对应点的线段被_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．因为几何图形都能够当作是由点构成的，所以，要作一个平面图形的轴对称图形，可归．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．结为作该图形上的这些点对于对称轴的______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、解答题．．．．．4．试分别作出已知图形对于给定直线．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）．．．（2）．．．（3）．．．5．如图 3－ 4 所示，已知平行四边形．．．．．．．．．．．．．．．．．图形．（不要求写作法）．．．．．．．．．．．l的对称图形．．．．．．．．图 3－1．．．．图 3－2．．．．图 3－3．．．．ABCD 及对角线BD，求作BCD 对于直线BD 的对称．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－4．．．．6．如图 3－ 5 所示，已知长方形纸片ABCD 中，沿着直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直线 EF 的对称图形．（不要求写作法）．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－5．．．．EF 折叠，求作四边形EFCD 对于．．．．．．．．．．．．．．．．7．为了美化环境，在一块正方形空地上分别栽种不一样的花草，现将这块空地按以下要求分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．成四块：（ 1）切割后的整个图形一定是轴对称图形；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）四块图形形状同样；．．．．．．．．．．．．（3）四块图形面积相等，现已有两种不一样的分法：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四均分点作该边的垂线段（图②），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（图②中的两个图形的切割看作同一种方法）．请你依据上述三个要求，分别在图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③的三个正方形中，给出此外三种不一样的切割方法．（只绘图，不写作法）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－6．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．8．已知：如图3－ 7，A、 B 两点在直线l 的同侧，点A'与 A 对于直线l 对称，连结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于 P 点，若 A'B＝ a.．．．．．．．．．．．（1）求 AP＋PB；．．．．．．．．．．（2）若点 M 是直线 l 上异于 P 点的随意一点，求证： AM ＋ MB＞ AP＋ PB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－7．．．．A'B 交 l ．．．．．9．已知： A、 B 两点在直线l 的同侧，试分别画出切合条件的点M．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）如图 3－ 8，在 l 上求作一点 M，使得｜ AM － BM ｜最小；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作法：．．．图 3－8．．．．（2）如图 3－ 9，在 l 上求作一点 M，使得｜ AM － BM ｜最大；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作法：．．．图 3－9．．．．（3）如图 3－ 10，在 l 上求作一点 M，使得 AM ＋ BM 最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－10．．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．10．（ 1）如图 3－ 11，点 A、 B、 C 在直线 l 的同侧，在直线l 上，求作一点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形 APBC 的周长最小；．．．．．．．．．．．图 3－11．．．．．P，使得四边．．．．．．（2）如图 3－ 12，已知线段 a，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作两点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．P 在点 Q 的左边）且PQ＝a，四边形APQB 的周长最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－12．．．．．11．（ 1）已知：如图3－ 13，点 M 在锐角∠ AOB 的内部，在OA 边上求作一点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．边上求作一点Q，使得PMQ 的周长最小；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－13．．．．．P、Q （点．．．．．P，在OB ．．．．．（2）已知：如图 3－ 14，点 M 在锐角∠ AOB 的内部，在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．到点 M 的距离与点P 到 OA 边的距离之和最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 3－14．．．．．OB 边上求作一点P，使得点 P ．．．．．．．．．．．．．．测试 4用坐标表示轴对称．．．．．．．．．．．学习要求．．．．1．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点对于x轴或 y ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．轴对称点的坐标的规律，从而能在平面直角坐标系中作出与一个图形对于x 轴或 y 轴对称的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图形．．．．2．能运用轴对称的性质，解决简单的数学识题或实质问题，提升剖析问题和解决问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的能力．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、解答题．．．．．1．按要求分别写出各对应点的坐标：．．．．．．．．．．．．．．．．．已知点A（ 2,4） B（－ 1,5） C（－ 3,－ 7） D（ 6,－ 8） E（ 9,0）F（0,－ 2）对于 y 轴的对称A'（） B'（）C'（）D'（） E'（）F'（）点对于 x 轴的对称A''（） B''（）C''（） D ''（） E''（）F''（）点2．已知：线段AB，而且 A、 B 两点的坐标分别为（－2，1）和（2，3）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 1）在图 4－ 1 中分别画出线段AB 对于 x 轴和 y 轴的对称线段A1B1及 A2B2，并写出相．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．应端点的坐标．．．．．．．．（2）在图 4－ 2 中分别画出线段．．．．．．．．．．．．．．．并写出相应端点的坐标．．．．．．．．．．．．图 4－1．．．．AB 对于直线x＝－ 1 和直线 y＝ 4 的对称线段．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A3B3及 A4B4，．．．．．．．．．．图 4－2．．．．3．如图 4－ 3，已知四边形ABCD 的极点坐标分别为 A （ 1，1），B （ 5，1）， C （ 5，4），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．D （ 2，4），分别写出四边形ABCD 对于 x 轴、 y 轴对称的四边形 A B C D 和 A B C D．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1．1．1．．2．2．2．2．．．．．．．的极点坐标．．．．．．．图 4－3．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．4．如图 4－ 4，ABC 中，点 A 的坐标为（ 0， 1），点 C 的坐标为（ 4， 3），点 B 的坐标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．为（ 3，1），假如要使ABD 与ABC 全等，求点 D 的坐标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 4－4．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．5．如图 4－ 5，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角均分线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 4－5．．．．实验与研究：．．．．．．（1）由图察看易知 A（ 0， 2）对于直线 l 的对称点 A'的坐标为（ 2， 0），请在图中分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．别注明 B （ 5，3）、 C （－ 2， 5）对于直线 l的对称点 B'、 C'的地点，并写出它．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．们的坐标： B'_____、 C'_____；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．概括与发现：．．．．．．（ 2）联合图形察看以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （ a， b）对于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一、三象限的角均分线l 的对称点 P'的坐标为 _____ （不用证明）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．运用与拓广：．．．．．．（ 3）已知两点 D （ 1，－ 3）、 E （－1，－ 4），试在直线 l 上确立一点 Q，使点 Q到．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．测试 5 等腰三角形的性质．．．．．．．．．．．学习要求．．．．掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、填空题．．．．．1． _____的_____叫做等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．（ 1）等腰三角形的性质 1 是______________________________________________ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 2）等腰三角形的性质 2 是 ______________________________________________ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）等腰三角形的对称性是 _____，它的对称轴是 _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 5－1．．．．3．如图 5－1，依据已知条件，填写由此得出的结论和原因．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 1）∵ABC 中， AB＝ AC，．．．．．．．．．．．．．．．．∴∠ B＝ ______ ．（）．．．．．．．．．．．．．（ 2）∵ABC 中， AB＝ AC，∠1＝∠ 2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∴AD 垂直均分 ______．（）．．．．．．．．．．．．．．．．（ 3）∵ABC 中， AB＝ AC， AD ⊥ BC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∴BD ＝ ______．（）．．．．．．．．．．．．．（ 4）∵ABC 中， AB＝ AC， BD ＝ DC ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∴AD ⊥ ______．（）．．．．．．．．．．．．．4．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其余两边长分别为_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6．等腰三角形一个角为70°，则其余两个角分别是_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、选择题．．．．．8．等腰直角三角形的底边长为．．．．．．．．．．．．．．2A ．25cm ．．．．．．．2C． 10cm．．．．．．．5cm，则它的面积是（）．．．．．．．．．．．．B ． 12.5cm2．．．．．．．．．2D ． 6.25cm ．．．．．．．．．9．等腰三角形的两边长分别为25cm 和 13cm，则它的周长是（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．63cmB ． 51cm．．．．．．．．．．．．C． 63cm 和 51cm D ．以上都不正确．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10．△ ABC 中， AB＝ AC， D是 AC 上一点，且AD ＝BD＝ BC，则∠ A 等于（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．45°B． 36°C． 90°D． 135°．．．．．．．．．．．．．．．．．）．综合、运用、诊疗．．．．．．．．一、解答题．．．．．11．已知：如图5－2，ABC 中， AB＝ AC， D、 E 在 BC 边上，且AD ＝ AE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证： BD ＝ CE．．．．．．．．．．图 5－2．．．．12．已知：如图5－3， D、 E 分别为 AB、 AC 上的点， AC＝ BC＝ BD，AD ＝AE， DE＝ CE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求∠ B 的度数．．．．．．．．图 5－3．．．．13．已知：如图5－4，ABC 中， AB＝ AC， D 是 AB 上一点，延伸CA 至 E，使 AE＝AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．试确立 ED 与 BC 的地点关系，并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 5－4．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．14．已知：如图5－5， Rt ABC 中，∠ BAC＝90°， AB＝AC ，D 是 BC 的中点， AE＝BF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证：（ 1） DE＝ DF ；（ 2）DEF 为等腰直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 5－5．．．．15．在平面直角坐标系中，点P （2， 3）， Q （ 3， 2），请在 x 轴和 y 轴上分别找到．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和 N 点，使四边形 PQMN 周长最小．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）作出 M 点和 N 点．．．．．．．．．．．．（2）求出 M 点和 N 点的坐标．．．．．．．．．．．．．．．图 5－6．．．．测试 6等腰三角形的判断．．．．．．．．．．．学习要求．．．．M点．．掌握等腰三角形的判断定理．．．．．．．．．．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、填空题．．．．．1．等腰三角形的判断定理是_________________________________________________ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．ABC 中，∠ B＝ 50°，∠ A＝ 80°， AB＝ 5cm，则 AC＝______ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．如图 6－ 1， AE∥ BC，∠ 1＝∠ 2，若 AB＝ 4cm，则 AC＝ ____________．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．如图 6－ 2，∠ A＝∠ B，∠ C＋∠ CDE＝ 180°，若 DE ＝ 2cm，则 AD ＝ ____________ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 6－1图6－2图6－3图6－4．．．．．．．．．．．．．．．．5．如图 6－ 3，四边形ABCD 中， AB＝ AD，∠ B＝∠ D ，若 CD ＝ 1.8cm，则 BC＝ ______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6．如图6－4，△ ABC 中， BO、 CO 分别均分∠ ABC 、∠ ACB， OM ∥AB， ON∥ AC， BC＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10cm，则OMN 的周长＝ ______ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7． ABC 中，CD 均分∠ ACB，DE∥ BC 交 AC 于 E，DE＝ 7cm，AE＝ 5cm，则 AC＝ ______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8． ABC 中， AB＝ AC， BD 是角均分线，若∠ A＝ 36°，则图中有 ______个等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9．判断以下命题的真假：．．．．．．．．．．．．（ 1）有两个内角分别是70°、 40°的三角形是等腰三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形还是等腰三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4）假如一个三角形有不在同一极点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形．（）．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．一、解答题．．．．．10．已知：如图6－5，ABC 中， BC 边上有 D 、E 两点，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证：△ ABC 是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．图 6－5．．．．11．已知：如图6－6，ABC 中， AB＝ AC， E 在 CA 的延伸线上，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证： AE＝ AF.．．．．．．．．．ED ⊥BC．．．．．．．图 6－6．．．．12．已知：如图6－ 7，ABC 中，∠ ACB＝ 90°， CD⊥ AB 于 D ，BF 均分∠ ABC 交 CD 于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．E，交 AC 于 F.．．．．．．．．求证： CE ＝CF．．．．．．．．．．图 6－7．．．．13．如图 6－ 8，在△ ABC 中，∠ BAC＝60°，∠ ACB＝ 40°， P、Q 分别在 BC、 CA 上，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．且 AP、 BQ 分别为∠ BAC、∠ ABC 的角均分线，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证： BQ＋ AQ＝ AB＋ BP．．．．．．．．．．．．．．．．图 6－8．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．14．如图 6－ 9，若 A、B 是平面上的定点，在平面上找一点C，使ABC 构成等腰直角三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形，问这样的 C 点有几个？并在图6－ 9 中画出 C 点的地点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 6－9．．．．15．如图 6－ 10，对于顶角∠ A 为 36°的等腰ABC，请设计出三种不一样的分法，将ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．切割为三个三角形，而且使每个三角形都是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 6－10．．．．．测试 7等腰三角形的判断与性质．．．．．．．．．．．．．．学习要求．．．．娴熟运用等腰三角形的判断定理与性质定理进行推理和计算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、填空题．．．．．1．假如一个三角形的两条高线相等．．．．．．．．．．．．．．．．（如图 7－1），那么这个三角形必定是．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－1．．．．______ ．．．．．．．．2．如图 7－ 2，在ABC 中，高 AD 、 BE 交于 H 点，若 BH ＝ AC，则∠ ABC＝ ______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－2．．．．3．如图 7－ 3，ABC 中， AB＝ AC， AD ＝ BD，AC＝ CD ，则∠ BAC＝ ______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－3．．．．4．如图 7－ 4，在ABC 中，∠ ABC＝ 120°，点 D 、 E 分别在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．DB ＝ BC，则∠ A 的度数为 ______°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－4．．．．AC 和 AB 上，且 AE＝ ED ＝．．．．．．．．．．．．．．5．如图 7－5， ABC 是等腰直角三角形，BD 均分∠ ABC ，DE⊥ BC 于点 E，且 BC＝ 10cm，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则△ DCE 的周长为 ______cm．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－5．．．．二、选择题．．．．．6．△ ABC 中三边为a、 b、 c，知足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝______图7－50，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则这个三角形必定为（）．．．．．．．．．．．A ．等边三角形B ．等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．C．等腰钝角三角形 D ．等腰直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．7．若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形必定是（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．等边三角形B ．不等边三角形．．．．．．．．．．．．．．．C．等腰三角形 D ．等腰直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．8．如图 7－ 6， ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 108°，若 AD、 AE 三均分∠ BAC，则图中等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．腰三角形有（）．．．．．．．A．4 个B．5 个C．6 个D．7个．．．．．．．．．．．．．．．．图7－6图 7－7．．．．．．．．．等腰三角形两边、知足｜－＋｜＋（＋－2．2）＝，则此三角形的周长是（9 a b a b2a3b 110．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ．7B． 5C． 8D．7或5．．．．．．．．．．．．．．10．如图 7－ 7，ABC 中， AB＝ AC， BE＝ CD ，BD＝ CF，则∠ EDF ＝（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．2∠A B ． 90°－2∠ A．．．．．．．．．．．．．）．C． 90°－∠ A D ．90o1A ．．．．．．．．．2三、解答题．．．．．11．已知：如图7－8， AD 是∠ BAC 的均分线，∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．求证： EF 均分∠ AEB．．．．．．．．．．．．．图 7－8．．．．B＝∠ EAC， EF⊥AD 于 F.．．．．．．．．．．．．．．．12．已知：如图7－ 9，在ABC 中， CE 是角均分线， EG∥ BC，交 AC 边于 F ，交∠ ACB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的外角（∠ ACD）的均分线于G，研究线段EF 与 FG 的数目关系并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－9．．．．13．如图 7－ 10，过线段AB 的两个端点作射线AM ，BN，使 AM ∥ BN，请按以下步骤绘图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．并回答．．．．．（1）画∠ MAB、∠ NBA 的均分线交于点 E，∠ AEB 是什么角？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）过点 E 任作一线段交 AM 于点 D ，交 BN 于点 C．察看线段 DE 、CE，有什么发现？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．请证明你的猜想．．．．．．．．．（3）试猜想 AD ， BC 与 AB 有什么数目关系？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－10．．．．．14．已知：如图7－11，ABC 中， AB＝ AC，∠ A＝ 100°， BE 均分∠ B 交 AC 于 E．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）求证： BC＝ AE＋ BE；．．．．．．．．．．．．．．．（2）研究：若∠ A＝ 108°，那么 BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 7－11．．．．．测试 8等边三角形．．．．．．．．学习要求．．．．掌握等边三角形的性质和判断．．．．．．．．．．．．．．．讲堂学习检测．．．．．．一、填空题．．．．．1． _____的_____叫做等边三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）边的性质： _____；．．．．．．．．．．．．．．（2）角的性质： _____；．．．．．．．．．．．．．．（3）对称性：等边三角形是 _____图形，它有 _____ 对称轴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．等边三角形的判断方法：．．．．．．．．．．．．．（）三条边 _____的_____是等边三角形；．．．．．．1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（）三个角 _____的_____是等边三角形；．．．．．．2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 3） _____的等腰三角形是等边三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．含°角的直角三角形的一个主要性质是______．．．．4 30．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．判断以下命题的真假：．．．．．．．．．．．．5①有一个外角是°的等腰三角形是等边三角形．（）．．．．．．．．．．120．．．．．．．．．．．．．．．②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．④三个外角都相等的三角形是等边三角形．（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．已知：如图－，是等边三角形，⊥于，⊥于，若∥，．．．．．．．6．．．．．81ABC．．．．．．．．．．AE．．．．．BC．E．．．．．．．ADCD．D．．．AB．．．．．．CD 则图中°的角有 _____个．．．． 60．．．．．．．．．．．．图－． 8．．．17．如图8－ 2，B、 C、 D 在向来线上，ABC、ADE 是等边三角形，若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．CE＝ 15cm，CD ．．．．．．．．．．＝6cm，则 AC＝_____，∠ ECD ＝ _____．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 8－2．．．．8．如图 8－3，已知 AB C 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 120°， DE 垂直均分AC 交 BC 于 D，垂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．足为 E，若 DE＝ 2cm ，则 BC＝ _____cm.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 8－3．．．．综合、运用、诊疗．．．．．．．．解答题．．．9．已知：如图8－ 4，ABC 和BDE 都是等边三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1）求证： AD ＝ CE；．．．．．．．．．．．．（ 2）当 AC⊥ CE 时，判断并证明AB 与 BE 的数目关系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图－． 8．．．4．如图－，已知是等边三角形，、分别在边、上，且＝，连结．．．．．10 ．．．．．．85 ．ABC．．．．．．．．．． D．．．E ．．．． BC．．．．．AC ．．． CD．．．．．．．．CE 并延伸至点，使＝，连结、和．DE．．．．．．． F．．． EF．．．．．．．．AE AF．．．．．BE ．CF．．．（ 1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（ 2）求证： AF＝ BD ．．．．．．．．．．．．．图 8－5．．．．11．已知：如图8－ 6，四边形ABCD 中， AC 均分∠ BAD， CD ∥ AB， BC＝ 6cm，∠ BAD ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．30°，∠ B＝ 90°．求 CD 的长 ______．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 8－6．．．．拓展、研究、思虑．．．．．．．．12．（ 1）如图 8－ 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结 AC 和 BD，订交于点E，连结 BC，求．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．∠AEB 的大小；．．．．．．．．图 8－7．．．．（2）如图 8－ 8，△ OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△ OCD 绕着点 O ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．旋转（△ OAB 和△ OCD 不可以重叠），求∠AEB 的大小．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图－． 8．．．8．已知：如图－，△为等边三角形，延伸到，延伸到，使＝，．．．．．．．．13 8．．．．．．．．9ABC ．．．．．．．．．BC．．．D．．．． BA．．．E．．． AE．．．．．．BD 连结、．．． CE．．．．．．DE求证：＝.．．．CE．．．．．．DE图－． 8．．．914．已知：如图8－10，四边形ABCD 中，∠ A＝∠ B＝ 90°，∠ C＝ 60°， CD ＝ 2AD，AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．＝4．．．．（1）在 AB 边上求作点 P，使 PC＋ PD 最小；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图 8－10．．．．．（2）求出（ 1）中 PC＋ PD 的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

人教版八年级数学上册第十三章轴对称知识点归纳

人教版八年级数学上册第十三章轴对称知识点归纳13.1轴对称如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

如果一个平面图形沿着一条直线折叠，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

轴对称图形与轴对称的区别：①轴对称图形是一个具有对称关系的图形；轴对称是两个图形的位置关系。

②轴对称图形可以有多条对称轴；两个图形成轴对称，则只有一条对称轴。

经过线段中点，且垂直于这条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线。

也叫做中垂线。

垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

轴对称的性质：①如果两个图形关于一条直线对称，那么它们肯定是全等的。

但两个图形全等，它们却不一定成轴对称。

②如果两个图形关于一条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

轴对称图形的性质：①轴对称图形的对称轴两侧的部分是全等的。

②轴对称图形的对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线。

尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线画法：分别以A、B两点为圆心，以大于1AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点2作直线CD，则直线CD为所求已知点O是直线l上的一点，求作过点O的直线PQ⊥l画法：以O为圆心，适当长度为半径画圆弧，交l与A、B两点分别以A、B两点为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点2作直线PQ，则直线PQ为所求已知点P是直线l外的一点，求过点P作直线PQ⊥l画法：以点P为圆心，适当长度为半径画圆弧，交l与A、B两点分别以A、B两点为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点2作直线PQ，则直线PQ为所求13.2画轴对称图形画轴对称图形的步骤：①找出关键点。

人教版八年级上数学说课稿《第13章轴对称》

人教版八年级上数学说课稿《第13章轴对称》一. 教材分析《人教版八年级上数学》第13章是关于“轴对称”的内容。

这部分内容主要让学生了解轴对称的概念，理解轴对称的性质，以及掌握如何寻找对称轴和判断两个图形是否关于某条直线对称。

这一章的内容是学生进一步学习几何图形的重要基础，也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的关键。

二. 学情分析八年级的学生已经初步掌握了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。

但他们在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不够深入，对如何寻找对称轴和判断两个图形是否关于某条直线对称的方法还不够熟练。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的实际情况，有针对性地进行教学。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，学会寻找对称轴，判断两个图形是否关于某条直线对称。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.重点：轴对称的概念、性质，寻找对称轴，判断两个图形是否关于某条直线对称。

2.难点：如何引导学生理解和运用轴对称的性质，以及如何寻找对称轴和判断两个图形是否关于某条直线对称。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、折叠等，引导学生关注轴对称，激发学习兴趣。

2.探究新知：讲解轴对称的概念和性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握轴对称的基本知识。

3.应用拓展：让学生尝试寻找生活中的对称轴，判断两个图形是否关于某条直线对称，巩固所学知识。

4.总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强调轴对称的重要性和应用价值。

5.布置作业：设计一些有关轴对称的练习题，让学生进一步巩固所学知识。