大学微积分复习题

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微积分复习题题库超全

习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。

3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g xxx f ==。

4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。

7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。

8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。

高等数学微积分上复习题及解答

（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=

x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f

大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。

答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。

答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。

微积分复习题(1)(1)

《微积分》期末考试复习题第一章函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。

大学高数微积分试题

期末练习题一、选择题 1．()3baf x dx '=⎰( ).A.()()f b f a -B.()()33f b f a -C.()()1333f b f a -⎡⎤⎣⎦ D.()()333f b f a -⎡⎤⎣⎦ 2．已知()F x 是()f x 的原函数，则()xaf t a dt +=⎰( ).A.()()F x F a -B.()()F t F a -C.()()F x a F x a +--D.()()2F x a F a +-3.下列广义积分发散的是( ).A.1dxx +∞⎰B.1+∞⎰C.21dx x +∞⎰D.1+∞⎰4．下列级数中发散的是( ). A.()()1111nn ln n ∞=-+∑ B.131n n n ∞=-∑C.()11113n n n -∞=-∑ D.123n n n ∞=∑5．下列级数中绝对收敛的是( ). A.()11121n n nn -∞=--∑ B.()()121!13n n nn n ∞+=-∑ C.()13112n n n n -∞=-∑ D.()111nn n ∞=-∑6．设函数()22z f x y =+，f 可微，则( ).A.z z yx x y ∂∂=∂∂ B.z z x y∂∂=∂∂ C.z z x y x y ∂∂=∂∂ D.z z x y ∂∂=-∂∂7．若点()00,x y 是二元函数(),f x y 的驻点，则( ).A. 点()00,x y 是(),f x y 的极值点B. 点()00,x y 是(),f x y 的最小值点C. 点()00,x y 是(),f x y 的最大值点D. 点()00,x y 可能是(),f x y 的极值点 8．设()11,f x y xy x y=++，则( ). A. 点()1,1是(),f x y 的驻点，但非极值点 B. 点()1,1是(),f x y 的极大值点C. 点()1,1是(),f x y 的极小值点D. (),f x y 无驻点 9．()110,xdx f x y dy -=⎰⎰( ).A.()1100,xdy f x y dx -⎰⎰ B.()110,xdy f x y dx -⎰⎰C.()11,dy f x y dx ⎰⎰ D.()110,ydy f x y dx-⎰⎰10．设D 由x 轴，ln y x =，x e =围成，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( ).A.()ln 1,exdx f x y dy ⎰⎰B.()ln 0,exdx f x y dy⎰⎰C.()1,ye dyf x y dx ⎰⎰D.()10ln ,ex dy f x y dx⎰⎰11．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A.()()22220x ydx xy dy -++= B.0xy y y '''++=C.()22y xy x yy '''-= D.0y y x '''++= 二、填空题1.()0sin x d tdt dx=⎰.2. ()11cos 1x x dx -+=⎰ .3.201dxx +∞+⎰收敛于 . 4.1⎰收敛于 .5. 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim n n u →∞= .6. 若级数11p n n ∞=∑发散，则p 满足 . 7. 级数()111n n n ∞=+∑的和为 . 8. 函数()()ln 1f x x =+在(]1,1-上的麦克劳林级数为 . 9. 函数()arctan f x x =在[]1,1-上的麦克劳林级数为 . 10. 设()sin z xy =，则dz = . 11. 设lnxz y=，则dz = . 12.二元函数z =的极大值为 . 13. 222z x y =++的极小值为 .14. 二元函数二阶微分方程212y x ''=的通解为 . 三、计算题 1．求 2x xe dx +∞-⎰.2.求()132132xx dx --+⎰.3.求40⎰.4.求20sin x xdx π⎰.5.1x xe dx -⎰.6.求曲线1y x=与直线y x =，2x =所围平面图形的面积.(书中答案错) 7.求曲线xy e =与直线y e =，0x =所围平面图形的面积.8. 求幂级数()212nn x n ∞=-∑的收敛半径和收敛域.9. 求幂级数15n nn x n∞=∑的收敛半径和收敛域.10.求Dxydxdy ⎰⎰，D 是由x 轴，2y x =，1x =所围成的区域.11.求2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由2y x=，24y x =，1y =在第一象限所围成的区域.12.求22xy De dxdy --⎰⎰，其中D 是圆域223x y +≤.13.求方程330z xyz -=所确定的函数(),z f x y =的偏导数z x∂∂，zy ∂∂.14.求方程ln x z z y =所确定的函数(),z f x y =的偏导数z x ∂∂，z y ∂∂.15.求微分方程2222411dy x x y dx x x +=++的通解. 16.求微分方程22x dyxy xe dx--=的通解. 17.求微分方程0xydx =的通解. 四、应用题1.设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、 B 的数量x 、y 间有函数关系()2,0.005P x y x y =.欲用150元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多？2.习题八：213.某工厂生产两种产品I与II，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品I与生产y单位的产品II的总费用是：()22+++++x y x xy y400230.0133求两种产品各生产多少，工厂可取得最大利润，最大利润为多少？4.要制造一个容积为4立方米的无盖水箱，问它的长宽高应各取什么样的尺寸时，才能使所用材料最省？五、证明题注.和上次的复习有重合题。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

大一微积分试题及答案详解

大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。

由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。

2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。

3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。

答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。

2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。

答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。

3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。

微积分基础考试题及答案

微积分基础考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 3答案：D3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. x+C答案：A4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. π/2D. ∞答案：B5. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 曲线y=e^x与直线y=ln(x)相切的切点坐标为：A. (1,1)B. (e,e)C. (ln(e),e)D. (e,ln(e))答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为：A. (-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,2)∪(2,+∞)D. (-∞,+∞)答案：B9. 函数f(x)=x^3-3x的拐点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值为_________。

答案：02. 函数f(x)=ln(x)的反函数为_________。

答案：e^x3. 曲线y=x^3+3x^2+2x+1在x=-1处的切线方程为_________。

答案：y=-x4. 函数f(x)=x^2-4x+3的极大值为_________。

答案：45. 曲线y=x^2与直线y=2x相切的切点坐标为_________。

答案：(1,1)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) (x^2-2x+1) dx。

微积分复习题

复习题一：选择题1：如果322sin 3lim0=→x mx x ;则m=A 32,B 23, c 94, D 49. 2: 当x →∞时, 下列变量中是无穷小量的是A 221)1sin(x x x --,B 221sin )1(xx x --, C xx x 2211sin)1(--, Dx x x221sin 11-- 3: 函数fx=0{11--x e11=≠x x 在点x=1处A 连续B 不连续, 但有右连续.C 不连续, 但有左连续.D 左,右都不连续4: 设fx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+b x x ax x 1sin sin 1000>=<x x x 在x=0处, 不一定正确的结论是 (A) 当a=1时fx 左连续, B 当a=b 时fx 右连续, C 当b=1时fx 必连续, D 当a=b=1时fx 必连续 5: 若),1()1(2-=-x x x f 则fx=A 2)1(+x x , B 2)1(-x x , C )1(2+x x , D )1(2-x x 6: 函数21)(x x f --= 0<x<1 的反函数)(1x f -A 21x - B-21x - C21x --1<x<0 D -21x --1<x<07: 下列函数y=fu,u=φx 中能构成复合函数y=f φx 的是 A 1)(,11)(2+-==-==x x u u u f y ϕBy=fu=lg1—u, u=φx=12+x Cy=fu=arcsinu, u=φx= 22+x Dy=fu=arccosu, u=φx= 22+-x8: 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00)(312x xx x x f 则fx 在x=0处A 左导数不存在, 右导数存在B 右导数不存在, 左导数存在C 左, 右导数都存在D 左, 右导数都不存在9: 在曲线y=lnx 与直线x=e 的交点处, 曲线y=lnx 的切线方程是 A 0=-ey x B 02=--ey x C 0=-y ex D 0=--e y ex10: 设fx=⎪⎩⎪⎨⎧01cos 2xx 0=≠x x 则fx 在点x=0处 A 极限不存在, B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 11`:设fx=⎩⎨⎧≥<00x xex xx 在点x=0处, 下列结论错误的是A 连续B 可导C 不可导D 可微12: 函数3123)(x x x f -=在下列区间上不满足垃格朗日定理条件是A0,1 B--1,1 C0,27/8 D--1,0 13: 求下列极限, 能直接使用洛必达法则的是Ax x x sin lim ∞→ B x xx sin lim 0→ C x x x 3sin 5tan lim 2π→D x x x x sin 1sin20lim →14: 设函数fx 在开区间a,b 内有0)('<x f 且,0)("<x f 则y=fx 在a,b 内 A 单调增加, 图形上凹 B 单调增加, 图形下凹 C 单调减少, 图形上凹 D 单调减少, 图形下凹15:fx=||31x , 点x=0是fx 的A 间断点B 极小值点C 极大值点D 拐点16：关于函数231)(xx x f -=的结论错误的是 A 有一个零点 B 有两个极值点 C 有一个拐点 D 有两条渐近线 17下列函数中有一个不是xx f 1)(=的原函数, 它是 AFx=ln|x| BFx=ln|Cx| C 不为零且不为1的常数CFx=Cln|x| C 不为零且不为1的常数 DFx=ln|x|+C C 是不为零的常数 18若C xdx x f +=⎰2)(,则⎰=-dx x xf )1(2A C x +-22)1(2 B C x +--22)1(2 C C x +-22)1(21 D C x +--22)1(2119=+⎰dx x x 10)1(AC x ++10)1(111 B C x x +++112)1(11121 C C x x ++-+1112)1(111)1(121 D C x x ++++1112)1(111)1(121 20: 若sinx 是fx 的一个原函数, 则⎰=dx x xf )('Axcosx---sinx+C Bxsinx+cosx+C Cxcosx+sinx+C Dxsinx---cosx+C 21设x e f x+=1)(', 则fx=A1+lnx+C Bxlnx+C C C x x ++22Dxlnx---x+C 22⎰=-20|sin 21|πdx x A14-π B 4π- C 1123--πD0 23⎰+-=xdt t t y 02)2()1(则==0x dx dyA---2 B2 C---1 D1 24 已知Fx 是fx 的原函数, 则=+⎰xadt a t f )(AFx---Fa BFt —Fa CFx+a —Fx —a DFx+a___F2a 25已知广义积分⎰+∞+01kxdx收敛于1k.>0, 则k= A 2πB 22πC 2πD 42π26对于级数nn n na )1(1∑∞=+ a>0 下列结论中正确的是 Aa>1时, 级数收敛 Ba<1时, 级数发散 Ca=1时, 级数收敛 Da=1时级数发散27幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是A-1,1 B--1,1 C-1,1 D-1,1 28设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R0<R<+∞则n nx a )2(∑的收敛半径为 A2R B2R CR D R229设函数z=fx,y 在点),(00y x 处存在对x,y 的偏导数, 则=)(0,0'y x f xAxy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(00000limBxy x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(00000limCxy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(00000limD00),(),(limx x y x f y x f x x --→30设区域D 是单位园122≤+y x 在第一象限的部分, 则二重积分⎰⎰=Dxyd σA⎰⎰--221010x y xydy dx B ⎰⎰-yxydy dx 1010C ⎰⎰-2101y xydx dyD ⎰⎰102202sin 21dr r d θθπ31⎰⎰-=xdy y x f dx 101),(A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C⎰⎰101),(dx y x f dy D⎰⎰-ydx y x f dy 101),(32:⎰⎰-2201),(x x dy y x f dx=A:⎰⎰--211010),(y dx y x f dy. B:⎰⎰-+2111),(y dx y x f dy .C:⎰⎰--11112),(y dx y x f dy. D:⎰⎰-+--2211111),(y y dx y x f dy33:⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dxdy y x f dx 202110),(),(=A:⎰⎰-yydx y x f dy22),(.B:⎰⎰-yydx y x f dy21),(C:⎰⎰⎰⎰-+y y dx y x f dydx y x f dy 20211),(),(. D:⎰⎰-xxdx y x f dy 210),(34关于微分方程xe y dx dy dxy d =++222的下列结论: 1 该方程是齐次微分方程 2 该方程是线性微分方程3 该方程是常系数微分方程 3 该方程是二阶微分方程其中正确的是A 2 3 B1 4 2 C1 3 4 D 2 3435：微分方程0)(22'"=-y yy 的通解是 A x C C y 211-=B xC C y 211-= C x C y -=1D Cxy -=1136. 21sin(1)lim 1x x x →-- =37. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 38. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =39. 下列结论正确的是2. 21sin(1)lim 1x x x →-- =40. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 41. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =42. 下列结论正确的是 43. 设1cos ,00,0(){x x x x f x ≠==,则()f x 在点0x 处()A 极限不存在 ()B 极限存在但不连续()C 连续但不可导 ()D 可导 44. 下列结论错误的是()A 若函数()f x 在 0x x =处连续,则()f x 在0x x =处可导 ()B 若函数()f x 在 0x x =处可导,则()f x 在0x x =处连续()C 若函数()f x 在 0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处不可导()D 若函数()f x 在 0x x =处不可导,则()f x 在0x x =处也可能连续45. “''0()0f x =”是()f x 的图形在点0x 处有拐点的()A 必要非充分条件 ()B 充分非必要条件()C 充分必要条件 ()D 既非必要条件又非充分条件 46. 设'(ln )1f x x =+,则()f x = 47.21|sin |2x dx π-⎰=()C112π- ()D 0二: 计算题1: 确定函数的定义域225151sinxx acr y -+-=2已知函数⎩⎨⎧+=22)(x x x f 4,220≤<≤≤x x 求).1(-x f3xxx f -=1)( 求)]}([{)],([x f f f x f f 4设⎪⎩⎪⎨⎧=101)(x f 000>=<x x x 求).1(,,),1(2-+x f x f5求证: 如果A x f x x =→)(lim 0而且A>0, 则总存在一个正数δ, 使当δ<-<||00xx 时fx>06求证y 以A 为极限的充分必要条件是: 变量y 可以表示为A 与个无穷小量的和. 7: 求x x x )21(lim +∞→ 8设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=241)(22x x x x f 2;10;1≠>≠≤x x x x 求函数的间断点, 并判断其类型.9用定义讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(x x x f00=≠x x 在点x=0处的连续性与可导性 10讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=421121)(2x x xx x f x x x x <≤<≤<≤221100在点x=0, x=1, x=2处的连续性与可导性.11求曲线x x x 223=+在点1,1 处切线方程与法线方程 12求)1(arcsin xf y =,求其导数 13xxx x y +++=3333 求其导数 14xyy x arctan ln22=+确定y 是x 的函数, 求函数y 的导数15设fx=sinx, 20π≤≤x ,求满足垃格朗日公式的ξ值16求)ln 11(lim 1xx x x --→= =+-→)]11ln([2lim x x x x 17求函数3223)(x x x f -=的单调增减区间和极值以及凹向与拐点181作函数2221)(x ex -=πϕ的图形 2 作函数axbe cy -+=1 a, b, c 均为大于0的常数的图形19求下列极限1x arc x x cot )11ln(lim +∞→ 2x x x 10)sin 1(lim +→ 32)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 20求下列不定积分 1⎰-dx x x 322⎰+32xx dx 3⎰xdxx arctan 4⎰+--dxx x x 65122211求]sin [2⎰x x tdt dx d 2求极限⎰→x t x dt e xsin 001lim3 设fx ⎩⎨⎧++=2112x x 4,22||≤<≤x x 求k 的值, 使⎰=3340)(k dx x f 4dx x xe 21)(ln 12⎰5⎰+∞∞-+21x dx 6⎰-112x dx 7dx e x xr ⎰+∞--01λ 22求抛物线4, (22)-==x y x y 所围成的图形的面积23求曲线2211,2xy x y +==与直线3,3-==x x 所围成的图形的面积 24求椭园1222=+by a x 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体体积 251求级数∑∞=1n n n n x 的收敛半径和收敛域 2 求级数∑∞=+1)12(n nn x 的收敛半径和收敛域26求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数, 并求级数∑∞=12n nn的和271求2223xy y x z -+=的各二阶偏导数 2 求yye x z 2=的各二阶偏导数 28要造一个容量一定的长方体箱子,问选择怎样的尺寸,才能使所用的材料最少 29计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )2(,其中D 是由直线y=1,2x —y+3=0与x+y —3=0围成的图形30计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ22, 其中D 是园y y x 222=+围成的区域,31；计算1x x x x x sin tan lim 20-→ 2 12x 32x lim 1x +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x 3)0(x ＞x y x =4已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd ．5 dx x x ⎰+)ln 21(1 6；)0＞( 22a dx x a ⎰- 7⎰21arcsin xdx 8⎰+∞∞-+231x dx 9 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x100)＞(ln lim 0n x x nx +→ 11)0(sin x ＞x y x= 12已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd 13 dx x x x x ⎰+++)1(122 14)0＞( 22a dx x a ⎰- 15 ⎰-π053sin sin dx x x 16 ⎰+∞∞-+21x dx 1721lim[ln(1)]x x x x→∞-+ 18方程2sin()0y xe y π-=确定隐函数()y y x =,求'0,1|x y y ==-;1920cos 2x xdx π⎰ 202ln xdx x ⎰四证明及综合题1指出函数14123223+-+=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点． 2指出函数123+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点 3证明方程3520x x --=在区间(,)-∞+∞内只有一个正根;．4设()f x 在[0,]a 上连续(0)a ≠,在(0,)a 内可导,且()0f a =,证明存在一点ξ,使得'()()0f f ξξξ+=5用极限的定义证明211lim21=--→x x x 6如果fx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b , 使等式fb －fa =f •'fξb －a 成立．7.用极限定义证明当0＞0x 时,00limx x x x =→8.如果fx 及Ｆx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,且对于任一x ∈a,b,F ′x ≠0, 则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立．。

大一微积分期末考试题

大一微积分期末考试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个选项是微积分的基本概念？A. 导数B. 积分C. 极限D. 无穷小量2.函数f(x)在x=2处的导数为3，那么函数f(x)在x=2处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 4D. 53.函数y = x^2 + 3x - 2 的最大值是：A. -2B. 1C. 2D. 44.设函数y = e^x，则函数y = e^(-x)的导数为：A. e^xB. -e^(-x)C. -e^xD. e^(-x)5.曲线y = sin(x)在点（0，0）处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大6.函数y = ln(x)的导数为：A. 1/xB. ln(x)C. -1/xD. 17.若函数f(x)满足f'(x) = 2x，则f(x)的原函数为：A. x^2 + CB. x^2 + 1C. x^3 + CD. x^3 + 18.函数y = sin^2(x)在区间[0, π]上的定积分值为：A. 0B. 1C. π/2D. π9.函数y = x^3在区间[0, 1]上的定积分值为：A. -1/4B. 1/4C. 1/3D. 110.若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则在区间[0, 2]上的定积分值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、计算题（共3题，共30分）1.计算函数y = sin(x) + cos(x)在区间[-π/4, π/4]上的定积分值。

解：∫[ -π/4, π/4 ] (sin(x) + cos(x)) dx = [-cos(x) + sin(x)]│[-π/4, π/4]= [(sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(-π/4) + cos(-π/4))]= [(1/√2 + 1/√2) - (1/√2 - 1/√2)]= 2/√2= √22.计算函数y = ln(x)在区间[1, e]上的定积分值。

微积分专复习题

微积分复习题第一章函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( B )A. (0，5)B. (1，5 )C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ D ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.下列函数中为奇函数的是（ D ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4)D.y=1e 1e x x +-4.函数f(x)=1+xsin2x 是（ B ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数5.下列极限正确的是( A ) A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ； C.1sin lim =∞→x x x ； D.12sin lim 0=→xx x ；6.=→2xtan3xlimx （ B ） A.∞B.23C.0D.17.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( D )A.0B. 1C.m1D. m8.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ B ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ，，在0=x 点处连续，则k 等于( B ) A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( B ) A. 0 B. 41 C. 21 D. 2二、填空题1.=-∞→xxx x sin lim ______1_____2.x x x)21(lim +∞→＝ 2e . 3.设f(x)=⎩⎨⎧>-≤+010sin x e x ax x在x=0处连续，则常数a=____0_________. 三、解答题 1. 求下列各极限：(1) 64lim 222-+-→x x x x解：原式22(2)(2)24limlim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+ (2) xxx x cos 1sin lim 0-→解：原式=00022sin cos cos2222limlim 2lim cos 211222sin sin sin222x x x x x x xx x x x x x →→→⋅⋅==⋅=⋅⋅= (3) )1312(lim 321---→x x x 解：原式= 22211232(1)3(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→⎛⎫++-+-= ⎪-+-++-+++⎝⎭ = 2221121(21)(1)lim lim (1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→--+-=-+++-+++ 21(21)31lim(1)(1)232x x x x x →+===+++⋅第二章导数及其应用一、单项选择题:1.如果f(x 0)=0且f '(x 0)存在，则=-→0x x x x )x (f lim 0( A ) A.f '(x 0)B. 0C. 不存在D. ∞2.设y=log a x （a>0，a ≠1），则dy=（ D ） A.x1dx B.x 1 C.ax ln 1 D.ax ln 1dx 3.设函数u(x),v(x)可导，且u(x)≠0,若)()(x v x u y =，则y '等于（ B ）A ．)()()()()(2x v x v x u x v x u ''+' B ．)()()()()(2x v x v x u x v x u '-' C ．)()()()()(2x v x v x u x v x u +'' D ．)()()(2x v x v x u ''4.设y=2x +e 2,则y ′=（ C ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 5.设y=sin(7x+2),则=dxdy( B ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2) 6.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ B ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=07.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ A ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 8.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ A ） A.),1(+∞ B.)1,(-∞ C.),(+∞-∞D.),2(+∞二、填空题1.曲线2x x y +=上点(1,2)处的切线平行于直线13-=x y .2.设y=xlnx+x 2，则dy=(ln 12)x x dx ++.3.函数2x 11y +=的单调递减区间是(0,)+∞ 4.若函数)(x f 在0x 点取得极小值，且)(x f 在0x 点可导，则)(0x f '必为____0_______．5.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a - 1，=c ___1____．6.设)(),(x g x f 可导，0)0()0(==g f ，当0≠x 时0)(≠'x g ，且A x g x f x =''→)()(lim，则=→)()(limx g x f x A ．三、解答题： 1.求下列函数的导数:(1) +=xxe y xxsin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x⋅-⋅-'=++=++ (2) ()1ln +=x x y解：1ln(1)(1)ln(1)11x y x x x x x x ''=++⋅+=++++ （3）2sin )32cos(xx y +-=解：1sin(23)(23)cos 3sin(23)cos 2222x x xy x x x '⎛⎫''=--⋅-+⋅=-+ ⎪⎝⎭2.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0x y y xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e y y x e -'=+ 当0x =时，0y = 于是000|10x e y e=-'==+ 3.求下列极限：（1）xxe x x sin cos lim 0-→；解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== (2) 30sin lim x xx x -→解：原式2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→-=== (3) )1e 1x 1(lim x 0x --→ 解：原式0001111lim lim lim (1)(1)1102x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---=====--+++++ 四、证明题1.证明：当x>0时，e x >1+x.证：设()(1)x f x e x =-+，则0(0)(10)0f e =-+=()10x f x e '=->，显然()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞上可导所以()f x 在[0,)+∞上单调增加，则()(1)(0)0xf x e x f =-+>=即0x >时，1xe x >+第三章不定积分一、单项选择题1.若⎰⎰=++=dx )1x 2(f ,C )x (F dx )x (f 则（ B ）A. 2F(2x+1)+CB.C )1x 2(F 21++ C.C )x (F 21+ D.2F(x)+C2.设)()(x f x F ='，则下列正确的表达式是（ B ） A.⎰+=C x f x dF )()( B.⎰+=C x F dx x f )()(C.⎰+=C x f dx x F dxd)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 3.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ D ） A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1xx - 4.⎰=xdx 3sin （ B ） A.C x 3cos 31+B. -C x 3cos 31+C. –cos3x+CD. cos3x+C5.下列等式计算正确的是（ A ）A.⎰+-=C x xdx cos sinB.⎰+=---C x dx x 43)4(C.⎰+=C x dx x32D.⎰+=C dx x x336．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( C ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y sin 1'=+D. x y y ='+''2 二、填空题1.⎰=-dx x )12sin( 1cos(21)2x C --+． 2.不定积分⎰=dx x33ln 3xC +． 3.微分方程0y dxdy =-的通解为xy Ce = 4.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是132y Cx =- 三、解答题 1.求下列不定积分：（1）⎰++dx x x x )1(21222；解：原式222222(1)111arctan (1)1x x dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰（2）⎰+dx x )1ln(2；解：原式22222ln(1)ln(1)ln(1)1xx x xd x x x x dx x =+-+=+-⋅+⎰⎰22222(1)11ln(1)2ln(1)2(1)11x x x dx x x dx x x +-=+-=+--++⎰⎰ 2ln(1)2(arctan )x x x x C =+--+2.求解下列微分方程：（1）22x e xy dxdy-=+ 解：2()2,()x P x x Q x e-==由通解公式2()()22()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()2222xx x xe e e dx C e x C ---=+=+⎰（2）y ′+ycosx=e -sinx解：sin ()cos ,()x P x x Q x e -==由通解公式()()cos cos sin ()P x dx P x dx xdx xdx x y e Q x e dx C e e e dx C ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()sin sin sin sin xx xx e eedx C e x C ---=+=+⎰（3）x y '+y=xe x ， y(1)=1 解：两边除以x ，1x y y e x '+=，1(),()x P x Q x e x== 由通解公式11()()()dx dx P x dxP x dx x x x y e Q x e dx C e e e dx C --⎛⎫⎰⎰⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()ln ln 11xx xxxe e e dx C xe dx C xdeC x x-=+=+=+⎰⎰⎰()()11x x x x xe e dx C xe e C x x =-+=-+⎰ 第四章定积分及其应用一、单项选择题1.=⎰→320sin limx dt t xx （ B ）A.41 B.31 C.21D.12.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 3.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.04.广义积分⎰+∞1xdx （ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于15.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二、填空题 1.⎰-=++113.___2___)1cos 3(dx x x x2.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则____112_______. 三、解答题(图自己画)1.计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。

解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。

代入x=1得斜率为7。

又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。

8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。

解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。

利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。

以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。

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微积分总复习题详细答案

微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。

对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。

2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。

3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。

4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。

- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。

- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。

二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。

2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。

3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。

- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。

- (sin(x))' = cos(x)。

- (cos(x))' = -sin(x)。

- (e^x)' = e^x。

4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。

大学微积分试题及答案

大学微积分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处一定有极值C. f(x)在点x=a处的导数为0D. f(x)在点x=a处的导数一定大于0答案：A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A3. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^3-3答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的凹凸性是：A. 凹B. 凸C. 不确定D. 既非凹也非凸答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x^2-4x+3的极小值点是______。

答案：12. 曲线y=x^3-3x在点(2,5)处的切线斜率是______。

答案：33. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间是______。

答案：[3, +∞)4. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的法线方程是______。

答案：y=-x+7三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4。

令f'(x)=0，解得x=1, 2。

在区间[0,1]上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间[1,2]上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间[2,3]上，f'(x)>0，函数单调递增。

因此，函数在x=1处取得极大值f(1)=1，在x=2处取得极小值f(2)=-2。

在区间端点处，f(0)=-2，f(3)=1。

所以，函数在区间[0,3]上的最大值为1，最小值为-2。

2. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的面积。

微积分复习题附答案

微积分复习题附答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 0D. 32. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/43. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = sin(x) \)D. \( f(x) = cos(x) \)4. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式在x=0处的前两项是：A. \( 1 + x \)B. \( e + x \)C. \( 1 + e \cdot x \)D. \( e + e^2 \cdot x \)5. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数\( g(x) = sin(x) + cos(x) \)的导数是_________。

7. 函数\( h(x) = \ln(x) \)的定义域是_________。

8. 函数\( F(x) = \int_{1}^{x} t^2 dt \)的原函数是_________。

9. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)的极值点是_________。

10. 函数\( G(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)的拐点是_________。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5 \)的导数，并找出其单调区间。