二项分布高考试题.doc

合集下载

高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版

高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版一．选择题（共6小题）1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（）A．B．C．D．【分析】电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，由此利用相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式能求出电路正常工作的概率．【解答】解：∵三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，图种方式接入电路，∴电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，∴电路正常工作的概率：P＝（1﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【分析】由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的，从而得出结论．【解答】解：由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B 是相互独立的，故选：C．【点评】本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题．3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为＝0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε＝3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【分析】根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε＝3）＝（）2×（）；故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（ε＝3）的意义．6．已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件概率的公式，整理出求事件AB同时发生的概率的表示式，代入所给的条件概率和事件A的概率求出结果．【解答】解：∵P（B/A）＝，P（A）＝，∴P（AB）＝P（B/A）•P（A）＝＝，故选：D．【点评】本题考查条件概率与独立事件，本题解题的关键是记住并且会利用条件概率的公式，要正确运算数据，本题是一个基础题．二．填空题（共1小题）7．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝7；方差s2＝[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5＝4．从而有x1+x2+x3+x4+x5＝35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2＝20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三．解答题（共9小题）8．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）【点评】本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单9．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【分析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1＝0.32，则共有1000×0.32＝320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08＝1，∴x＝0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n＝50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50＝3，记他们的成绩为a，b，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50＝4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P＝【点评】本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．10．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【分析】（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：X01234P（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．11．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．【分析】设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为；（2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．【解答】解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X012P则…（13分）【点评】本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大．12．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【分析】（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X服从超几何分布，根据超几何分步的概率公式写出概率和分布列．（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对两道和答对三道，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到．【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X 服从超几何分布，分布列如下：X0123P即X0123P（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到【点评】本题考查超几何分布，本题解题的关键是看出变量符合超几何分布，这样可以利用公式直接写出结果．13．甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里再取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．【分析】（1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望【解答】解：（1）由题意，；∴，当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3，所以【点评】本题以摸球为素材，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值．14．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P （ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ01 2 3P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．【点评】本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．15．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．【分析】（1）利用二项分布即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线L1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．【解答】解：（1）设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．则，所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2．，，．随机变量X的分布列为：X012P所以．（3）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～，所以．因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．【点评】熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．16．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【分析】（1）首次获胜前已经负了两场说明已经比赛三场，前两场输，第三场嬴，用乘法公式即可求得概率；（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，比赛六场胜三场，故用乘法公式即可．（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），由公式即可得出篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【解答】解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P＝＝（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，故概率为C63×＝20××＝（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），∴EX＝6×＝2【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查根据所给的事件类型选择概率模型的方法，以及用概率模型求概率与期望的能力。

高考数学(人教a版,理科)题库：二项分布与正态分布(含答案).

第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝P ABP A＝0.120.2＝0.6.答案 A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案 C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B5．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则 ( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D 二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案 0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.841 3，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.∴P(－1<X<0)＝12P(－1<X<1)＝0.341 3.答案0.341 39．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ，根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。

第46讲超几何分布与二项分布(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)

第46讲超几何分布与二项分布一、单选题1．（2021·全国高二单元测试）一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为A ．49041001C C -B ．0413109010904100C C C C C + C ．1104100C CD ．1310904100C C C【答案】D 【详解】由超几何分布概率公式可知，所求概率为3190104100C C C故选：D2．（2021·云南昆明一中高三月考（理））某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（） A ．124B ．1124 C ．23D ．34【答案】D 【详解】解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为111311112344P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D.3．（2021·全国高二单元测试）设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η，若()519P ξ≥=，则()2P η≥的值为（） A ．1127B ．3281C ．527D ．1681【答案】A 【详解】因为随机变量()~2,B p ξ，所以()()()25110119P P p ξξ≥=-==--=，解得13p =，所以1~4,3B η⎛⎫⎪⎝⎭，则()()()4311411111210111C 133327P P P ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==----=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．4．（2021·全国高二单元测试）某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的作品被选为优秀作品，其中高一年级5名同学，高二年级5名同学，现从这10个优秀作品中随机抽7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为（） A ．112 B ．13C ．12D ．34【答案】A 【详解】从10个作品中抽7个，用X 表示抽到高二年级同学的作品数，则()5255710C C 15C 12P X ⋅===．故选：A ．5．（2021·全国高二单元测试）已知10名同学中有a 名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是815，则a =（） A ．1 B ．4或6C ．4D ．6【答案】B 【详解】设抽到的女生人数为X ，则X 服从超几何分布，()()111021010C C 81C 4515a a a a P X --====，解得4a =或6a =．故选：B ．6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和3个红球，从袋中任取2球．已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为（） A ．14B ．15C ．12D ．25【答案】A 【详解】从袋中任取2球，取出的2球中有黑球，共有226312C C -=种基本事件，两个球都是黑球共有233C =种基本事件，∴已知取出的2球中有黑球，则取出的两个球都是黑球的概率为31124= 故选：A ．7．（2021·全国高二课时练习）某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（）A ．615615C AB ．33105615C C CC．42105615C CCD．42105615C AA【答案】C 【详解】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为42105615C CPC=.故选：C8．（2021·广东电白·高二期中）围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧增智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（）A．19B．827C．1627D．1781【答案】B【详解】甲在比赛中以3:1获得冠军，即前三局中甲胜两局，且第四局甲胜.所以，甲在比赛中以3:1获得冠军的概率2232128C33327P⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭.故选：B.二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（）A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【答案】ABD 【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取n 次，A 、B 、D 中随机变量X 服从超几何分布.而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布. 故选：ABD10．（2021·全国高二单元测试）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（） A ．X 表示取出的最大号码 B ．X 表示取出的最小号码C ．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分D ．X 表示取出的黑球个数【答案】CD 【详解】AB 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB 错；CD 选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD 正确；故选：CD.11．（2021·山东潍坊·高二期末）袋子中有3个黑球2个白球现从袋子中有放回地随机取球4次取到白球记1分，黑球记0分，记4次取球的总分数为X ，则（） A ．2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1442625P X ==C ．X 的期望()125E X = D ．X 的方差()2425D X =【答案】AD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到白球的概率相等，又取到白球记1分，取4次球的总分数，即为取到白球的个数，对于A ，每次取球取到白球的概率为25P =，随机变量X 服从二项分布2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2X =，即4次取到2次白球，概率222423216(2)55625P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的期望28()455E X =⨯=，故C 错误；对于D ，因为2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的方差32452()5254D X =⨯⨯=，故D 正确．故选：AD ．12．（2021·湖北武汉·高二期中）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（）A ．2~4,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭B ．8(2)81P X ==C ．X 的期望8()3E X = D ．X 的方差8()9D X =【答案】ACD 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 正确；2X =，记其概率为22242124(2)3381P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为2~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 的期望28()433E X =⨯=，故C 正确；因为2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．（2021·全国高二课时练习）某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 【答案】1538【详解】X ＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，所以()1151522015138C C P X C ===.故答案为：1538. 14.（2021·江苏滨湖·立人高中高二期中）若一个随机变量的分布列为()r n r M N MnNC C P r C ξ--⋅==，其中0,1,2,,,min(,)r l l n M ==则称ξ服从超几何分布，记为~(,,)H n M N ξ，并将()r n r M N MnNC C P r C ξ--⋅==记为(;,,)H r n M N ，则(1;3,2,10)H =___________.【答案】715【详解】根据题意，13210r n M N ====，，， ()()1228310·71;3,2,10115C C H P C ξ∴==== 故答案为：715. 15．（2021·全国高二专题练习）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是________．【答案】83【详解】在一轮投篮中，甲通过的概率为12228233339P =⨯⨯+⨯= ，未通过的概率为19.甲3个轮次通过的次数X 服从二项分布X ～83,9B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式，得E (X )＝3×83＝83故答案为：8316．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）某学生在上学路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的期望为__________，方差为___________. 【答案】83 329【详解】设变量η为这名学生在上学路上因遇到红灯的次数，则2ξη=，由题意14,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()14433E η=⨯=，()1284339D η=⨯⨯=，所以()()823E E ξη==，()()3249D D ξη==，故答案为：832;39四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）一个袋中装有形状大小完全相同的8个球，其中红球2个，白球6个. （1）不放回地从袋中任取3个球，求恰有1个红球的概率；（2）有放回地每次取1球，直到取到2次红球即停止，求恰好取4次停止的概率；（3）有放回地每次取1球，共取3次，记取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1528；（2）27256；（3）分布列答案见解析，数学期望：34. 【详解】解：（1）由题意，从8个球中不放回地取3个球，有3856C =（种）不同的取法，其中恰有1个红球有122630C C ⋅=（种）不同的取法，所以恰有一个红球的概率1226381528C C P C ⋅==. （2）由题意，恰好取4次停止，即前3次中有1次取到红球，且第4次取到红球，有放回地每次取1球，取到红球的概率为2184=，根据独立重复试验的概率计算公式，可得所求概率213111271444256P C ⎛⎫=⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭.（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则()30312701464P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()2131127114464P C ξ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭， ()223119214464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()333113464P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， ξ的分布列如表所示因为13,4B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以数学期望13344E ξ=⨯=.18．（2021·全国高二课时练习）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为12，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．（1）设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列；（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（单位：元），用ξ表示η，并求η的数学期望和方差．【答案】（1）答案见解析；（2） 2300100ηξ=-， ()2100E η=，()10000D η=．【详解】解：（1）每张奖券是否中奖是相互独立的，∴14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴441()C 2i P i ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(0,1,2,3,4)i = ∴ξ的分布列为（2）14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()422E ξ=⨯=，()4122D ξ=⨯⨯=．又由题意可知2300100ηξ=-，∴()(2300100)2300100()230010022100E E E ηξξ=-=-=-⨯=，2()100()10000D D ηξ==．19．（2021·全国高二单元测试）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：mg ），已知甲厂生产的产品共有98件，下表是抽取的乙厂的5件产品的测量数据．（2）当产品中微量元素x ，y 满足175x ≥，75y ≥时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；（3）在（2）的条件下，若从乙厂抽出的5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列．【答案】（1）35m =；（2）14件；（3）分布列见解析. 【详解】（1）设乙厂生产的产品为m 件，依题意得14598m=，所以35m =．（2）由题意，知从乙厂抽取的5件产品中，优质品有2件，所以估计乙厂生产的优质品有235145⨯=（件）．（3）依题意，知ξ的取值为0,1,2，由超几何分布，则()33351010C P C ξ===，()213235315C C P C ξ===，()1232353210C C P C ξ===．所以ξ的分布列为：n 位优秀毕业生(包括x 位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同的. （1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n 与x 的值；（2）在（1）的条件下，记X 为选派的2位学生中女学生的人数，写出X 的分布列. 【答案】（1）n ＝5，x ＝2或n ＝6，x ＝3；（2）答案见解析. 【详解】（1）从n 位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为2(1)2n n n C -=， 2位学生中恰有1位女生的结果数为()113333n C C n -=-⨯依题意可得13213n n C C C -＝(3)3(1)2n n n -⨯-＝35，化简得n 2－11n ＋30＝0，解得n 1＝5，n 2＝6. 当n ＝5时，x ＝5－3＝2；当n ＝6时，x ＝6－3＝3，故所求的值为n＝5，x＝2或n＝6，x＝3；(2)①当n＝5，x＝2时，X可能的取值为0，1，2，P(X＝0)＝022325C CC＝310，P(X＝1)＝112325C CC＝35，P(X＝2)＝CC2225＝110.故X的分布列为0，1，2.P(X＝0)＝023326C CC＝15，P(X＝1)＝133261C CC＝35，P(X＝2)＝23326C CC＝15.故X的分布列为。

条件概率和二项分布

2019年11月18日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( )A ．14B ．23C ．13D ．122．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．25B ．35C ．12D ．233．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（） A ．37B ．45C ．67D ．12134．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（） A ．415B ．730C ．15D ．165．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．56236．一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得14kii a-=∑的概率mp n=，其中,m n 是互质的正整数，则54log log m n -的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分.现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X ，则EX 为（） A ．1516B ．3316C ．158D ．328．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( ) A ．89B ．35C ．25D ．139．在某项测量中，测量结果()2~0,X N σ，且0σ>，若X 在()0,1内取值的概率为0.3,则X 在()1,+∞内取值的概率为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X >=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.411．一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布()100,100N ，若()901100.68P X ≤≤≈，则该班数学成绩的及格（成绩达到90分为及格）率可估计为（） A ．90% B ．84%C ．76%D ．68%二、填空题12．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．13．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______.14．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则(|)P B A =________.15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示）附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．16．任取两个小于1的正数x 、y ，若x 、y 、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．17．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.18．下列命题中，正确的命题的序号为__________．①已知随机变量服从二项分布(,)B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p =； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<≤=-； ④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B :，则当8X =时概率最大.19．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如里这n 次抛掷所出现的点数和大于2n ，则算过关，可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为______；若直接挑战第四关，则通关的慨率为______．三、解答题20．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率. 21．已知()()()121,,234P A P B A P B A ===,求()()P B P A B ，. 22．为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立. （Ⅰ）若乙先答题，求甲3:0获胜的概率；（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .23．某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是(01)p p <<，且每头成年牛是否感染H 型疾病相互独立．（1）记10头成年牛中恰有3头感染H 型疾病的概率是()f p ，求当概率p 取何值时，()f p 有最大值？（2）若以（1）中确定的p 值作为感染H 型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率是()g k ，求当k 为何值时，()g k 有最大值？本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高考数学专题复习：二项分布与超几何分布

高考数学专题复习：二项分布与超几何分布一、单选题1．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（） A ．1210B ．145C ．215D ．1152．已知某运动员每次射击击中目标的概率是p ，假设每次射击击中目标与否互不影响，设ξ为该运动员n 次射击练习中击中目标的次数，且()8E ξ=，() 1.6ξ=D ，则p 值为（） A ．0.6 B ．0.8 C ．0.9D ．0.923．已知随机变量X 服从二项分布1(3)3B ，，当{}0123k ∈，，，时，()P X k =的最大值是（）．A ．827 B ．49C ．19D ．1274．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛．若随机变量X 表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则3357612C C C 为（）A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)5．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球中至少有1个红球的概率为（） A ．12125 B ．16C ．98125D ．566．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()196P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（） A ．7B ．6C ．5D ．47．若随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，则p =（） A ．15B ．25C ．35D ．458．已知随机变量~(4,)X B p ，若8()3E X =，则(2)P X ==（）A ．29B ．49C ．89D ．827二、填空题9．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X ，求(1)P X ≤=__________．10．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得2分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则(9)P ξ≤=__________.11．若随机变量X 服从二项分布1(5,)2B ，那么(1)P X ≤=__________．12．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为__________（结果用最简分数表示）.13．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为1645，则a =__________． 14．已知随机变量~(2,),~01X B p Y -，若()()10.64,1P X P Y p ≥===，则(0)P Y =的值等于__________．三、解答题15．一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个．（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X 的分布列；（2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y 的分布列．16．小明和小林做游戏，每人连续投掷一枚均匀的硬币5次，谁投掷出的结果的概率小，谁就获胜，概率相等则为平局．（1）小明连续5次都是正面朝上，小林前3次是反面朝上，后2次是正面朝上，两人都认为自己赢了，你认为小明和小林谁赢了（通过计算两人的概率说明）；（2）如果用X 表示小明5次投掷中正面朝上的次数，求X 的分布列及期望；（3）已知在某局中小林先投，5次中出现2次正面朝上，问小明赢的概率有多大？17．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X 表示抽到的精品果的数量，求X 的分布列和期望．18．甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球.（Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分ξ的分布列以及数学期望()E ξ；（Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为1ξ、2ξ，求数学期望()1E ξ，()2E ξ.19．一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分（即获得-12分）. （1）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干次游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.20．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列.参考答案1．C 【分析】利用超几何分布概率公式计算概率．【详解】解：设X k =表示取出的螺丝钉恰有k 只是坏的，则()()428410C C 0,1,2C k k P X k k -===． ∴()2228410C C 22C 15P X ===．故选：C ． 2．B 【分析】由ξ服从(,)B n p ，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．【详解】由题意(,)B n p ξ，所以()8()(1) 1.6E np D np p ξξ==⎧⎨=-=⎩，解得0.810p n =⎧⎨=⎩．故选：B ． 3．B 【分析】由二项分布的概率公式依次求解可得答案【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布1(3)3B ，，所以3312()()()33kk k P X k C -==⋅⋅，{}0123k ∈，，，所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅⋅=，1123124(1)()()339P X C ==⋅⋅=，2213122(2)()()339P X C ==⋅⋅=，3303121(3)()()3327P X C ==⋅⋅=，∴max 4()(1)9P X k P X ====，故选：B ． 4．C 【分析】根据题意得到变量X 服从参数为12,5,6N M n ===的超几何分布，结合概率的计算的公式，即可求解. 【详解】由题意知，随机变量X 服从参数为12,5,6N M n ===的超几何分布，由概率的计算公式()k n k M N M nN C C P X k C ---=，可得3357612C C C 表示的是3X =的取值概率．故选：C. 5．D 【分析】根据题意，该问题符合超几何分布，利用超几何分布概率公式计算所取的3个球中没有1个红球的概率，进而可得答案. 【详解】根据题意，该问题符合超几何分布，其基本事件总数为310C ，其中所取的3个球中没有1个红球的基本事件为36C ，所求概率为36310C 1511C 66-=-=.故选:D. 6．C 【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为23，由对立事件得011121()()0.1333n n n n C C -⋅+⋅⋅<，即1(21)()0.13nn +⋅<，令1()(21)()(*)3n f n n n N =+⋅∈，由()f n 的单调性可解得结果.【详解】X 服从正态分布2(10,)N σ，且1(9)6P X <=， 2(911)3P X ∴≤≤=，即每个零件合格的概率为2.3合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．合格零件个数为零个或一个的概率为01111()()3323n n n n C C -⋅+⋅⋅，由011121()()0.1333nn n n C C -⋅+⋅⋅<，得1(21)()0.13n n +⋅<，令1()(21)()(*)3nf n n n N =+⋅∈，(1)231()63f n n f n n ++=<+，()f n ∴单调递减，又(5)0.1f <，(4)0.1f >， ∴不等式1(21)()0.13n n +⋅<的解集为{|5,*}.n nn N ∈n ∴的最小值为5.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得011121()()0.1333n n n n C C -⋅+⋅⋅<，即1(21)()0.13n n +⋅<.7．A 【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可【详解】解：因为随机变量~(,)B n p ξ，且()2E ξ=，8()5D ξ=，所以28(1)5np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1015n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选：A 8．D 【分析】根据数学期望值求出p ，再利用公式计算概率(2)P X =的值．【详解】解：由随机变量~(4,)X B p ，且8()3E X =，即843np p ==，解得23p =； 2224228(2)()(1)3327P X C ∴==-=．故选：D ． 9．67【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题．根据题意，X 的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可．【详解】解：由题意可得()305237C C 1020C 357P X ====，()215237C C 2041C 357P X ====，所以()()()246101777P X P X P X ≤==+==+=．故答案为：67．10．1335【分析】由题知取得红球的个数为1,2,3,4，对应的黑球个数为3,2,1,0，进而根据超几何分布求概率即可. 【详解】解:由题知，取得红球的个数为1,2,3,4，对应的黑球个数为3,2,1,0，所以3144344713(9)35C C C P C ξ+≤== 故答案为：133511．316【分析】首先根据二项分布的概率公式求出(1)P X =，(0)P X =，再根据()()(1)01P X P X P X ≤==+=计算可得；【详解】解：因为随机变量X 服从二项分布1(5,)2B所以415115(1)12232P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，50511(0)1232P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以()()153(1)01323216P X P X P X ≤==+==+= 故答案为：31612．1235【分析】设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中15N =.2M =.3n =，根据超几何分布的概率计算公式直接求解即可. 【详解】设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中15N =.2M =.3n =，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为1221331512(1)35C C P X C ⋅===. 故答案为：1235. 13．2或8 【分析】利用超几何分布概率公式计算即可. 【详解】根据题意，得1645=1110-210a aC C C ，解得a =2或a =8．故答案为：2或8. 14．0.6 【分析】根据二项分布的概率性质计算求解．【详解】12222(1)(1)(2)(1)0.64P X P X P X C p p C p ≥==+==-+=，解得0.4p =（ 1.6p =舍去），(0)1(1)110.40.6P Y P Y p ==-==-=-=．故答案为：0.6．15．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X 服从超几何分布337310()k kC C P X k C -==，计算即可；（2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y 服从二项分布33()0.3(10.3)kk k P Y k C -==⨯⨯-，计算即可．【详解】解：（1）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X 服从参数为10N =，3M =，3n =的超几何分布，因此337310()k kC C P X k C -==，0,1,2,3k =，所以03373107(0)24C C P X C ===，123731021(1)40C C P X C ===，21373107(2)40C C P X C ===，30373101(3)120C C P X C ===；所以X 的分布列为：（2）随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，3，且()~3,0.3Y B ，所以0033(0)0.3(10.3)0.343P Y C ==⨯⨯-=，1123(1)0.3(10.3)0.441P Y C ==⨯⨯-=，223(2)0.3(10.3)0.189P Y C ==⨯⨯-=，3303(3)0.3(10.3)0.027P Y C ==⨯⨯-=，所以Y 的分布列为：16．（1）两人为平局；（2）分布列见解析；期望为52；（3）38．【分析】（1）分别计算两者出现的概率，通过比较大小，即可求解；（2）由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解；（3）由（2）知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率为516，故小明要赢，必须在投掷5次中出现0，1，4，5次正面朝上，将对应的概率求和，即可求解. 【详解】解:（1）结论：两人为平局小明11111112222232P =⨯⨯⨯⨯= 小林211111112222232P P =⨯⨯⨯⨯==（2）由题知：0,1,2,3,4,5X =()0505111=02232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1415115=12232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()232511105=2223216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323511105=3223216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4145115=42232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5055111=52232P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1555515012+3453232161632322E X =⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（3）由（2）知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率516，故小明要赢，必须在投掷5次中出现0、1、4、5次正面朝上，即小明赢的概率15513+++=323232328P = 17．（1）12125；（2）分布列见解析，45.【分析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A ，求出()P A ，抽到礼品果的个数1~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由概率公式()2P X =可得答案；（2）用分层抽样得到精品果和非精品果个数，精品果的数量()~10,2,4X H ，所有可能的取值为0，1，2，计算出相应的概率可得答案. 【详解】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A ，则()2011005P A ==，现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴恰好有2个水果是礼品果的概率为()2231412255125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭．（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量()~10,2,4X H ，所有可能的取值为0，1，2，则()26210103C P X C ===，()11642108115C C P X C ===，()242102215C P X C ===．∴X 的分布列为所以，()424105E X ⨯==． 18．（Ⅰ）分布列见解析，5.6；（Ⅱ）()1 2.2E ξ=，()2 1.8E ξ=. 【分析】（Ⅰ）利用二项分布的概率公式，求出概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅱ）先求出随机变量1ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解()1E ξ，再利用()1E ξ与()2E ξ之间的关系求解()2E ξ即可. 【详解】解：（Ⅰ）()()443280,1,2,3,455k kk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：()8121621696162845678 5.66256256256256255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （或()3288455E ξ=-⨯=）（Ⅱ）()223412255189110050C C P C C ξ⋅====⋅； ()211112314324122554812210025C C C C C C P C C ξ⋅+⋅====⋅；()221111343214122556243310010C C C C C C P C C ξ⋅+⋅+====⋅；()2112141225541410025C C C P C C ξ⋅====⋅；()191231111234 2.2502510255E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅==， ()()214 1.8E E ξξ=-=.19．（1）答案见解析；（2）95144；（3）答案见解析. 【分析】（1）X 的取值范围为{}0,1,2,3，再依次求出对应的概率，从而可得X 的分布列和数学期望；（2）设“第i 盘游戏获得15分”为事件()1,2i A i =，则由（1）可得()()12(1)(2)P A P A P X P X ===+=，所以可求出所求概率()()121P A P A -；（3）设每盘游戏得分为Y ，则Y 的取值范围为{}12,15,120-，结合（1）可得Y 的分布列，从而可求出Y 的期望，当期望为负时，说明分数在减少【详解】解：（1）X 的取值范围为{}0,1,2,3，每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16p =，1(3,)6X B ~，3031125(0)16216P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，2131175(1)166216P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭， 2231115(2)166216P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)6216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：所以12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）设“第i 盘游戏获得15分”为事件()1,2i A i =，则 ()()12905(1)(2)21612P A P A P X P X ===+===. 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为 ()()12951144P A P A -=，因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95144. （3）设每盘游戏得分为Y ，则Y 的取值范围为{}12,15,120-，由（1）知，Y 的分布列为：Y 的数学期望为12551512151202161221636EY =-⨯+⨯+⨯=-. 这表明，获得分数Y 的期望为负.因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大. 20．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由1~5,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求出η的可能取值，再求出对应的概率，进而得出分布列. 【详解】（1）1~5,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,ξ的分布列为5512()C ,0,1,2,3,4,533k kk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ的分布列为（2）η的分布列为()P k P η==（前k 个是绿灯，第1k +个是红灯）21,0,1,2,3,433kk ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ (5)P P η==（5个均为绿灯）523⎛⎫= ⎪⎝⎭故η的分布列为。

2010-2019高考数学真题分类汇编第36讲二项分布及其应用、正态分布

专题十一概率与统计第三十六讲二项分布及其应用、正态分布一、选择题1．（2015湖北）设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0．8B ．0．75C ．0．6D ．0．45 4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.0二、填空题5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ．6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是．7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =，则p = ．8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

学生高三拔高练习9二项分布+离散型随机变量

第8讲二项分布与正态分布1 .某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452 .设随机变量X 服从正态分布N (1,8),则函数f (x )=X 2+2x +X 不存在零点的概率为()1112A.4 B, 3 C ，2 D ，33 .某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为1 2和P ,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的 8, 、 , 9 一、概率为40,则P =()4 .假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800, 50。

的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800V X W900的概率为p 。

，则p ° =5 5.设随机变量X 〜B (2, p ),随机变量Y 〜B (3, p ),若P (X N1)=d ，则P (Y N 91) =.6.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x , y ,设事件 A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x /y ”，则概率P (B |A ) = ( )2 1 1 2 A ，2 B ，4 C ，3 D ，31A ，10 2B ，15C ，6D ，5 (2)7.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为市3前2局中乙队以2 ： 0领先，则最后乙队获胜的概率是() 4 8 19 40A.§B-27 C，27 D，818.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.元件I |—------- ------- 1元件1-------第9讲离散型随机变量的均值与方差1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X) = ()A.1B.0.6C.2.44D.2.42.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为() A.100 B.200 C.300 D.4003.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4, D(X) =1.44,则二项分布的参数n, p的值为()A. n=4, p=0.6B. n=6, p=0.4C.n=8, p=0.3D.n=24, p=0.11A ，6 1 B.-3 2 D.- 34 .已知随机变量X +n =8,若X 〜B （10, 0.6）,则E （n ）, D （n ）分别是（）A.6, 2.4B.2, 2.4C.2, 5.6D.6, 5.65 .口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5一...、一 (八 .......................................... ... ............................................ 6 .设X 为随机变量，X 〜B n ,-，若随机变量X 的数学期望E (X ) =2,则P (XI 3J =2)等于.7 .随机变量已的取值为0,1,2.若PC =0)=!E (J )=1,则D (f )= ___________ .58 .某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 6009 .从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ,已知E (X )=3,则D (X ) = ()随机取出3个球.设q 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3, 4, 5,则有两组相邻的标号3, 4和4, 5 量q 的均值E (j )为()元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元.8A ，5 6B ，5 4C ，5 2D ，510.袋中装有大小完全相同，标号分别为1, 2 3, …，9的九个球.现从袋中此时J 的值是2),则随机变11.马老师从课本上抄录一个随机变量f的分布列如下表:请小牛同学计算f的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E( f )高考中概率与统计问题的热点题型1.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;⑵若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;⑶求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.2 .为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;⑵为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望.(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) n (ad —bc ) 2附：K 23.某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项「年后可获得的利润"(万元)的概率分布列如下表所示：且f1的期望E© )=120；若投资乙项目一年后可获得的利润f J万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为□(。

高考数学一轮复习 10.10二项分布、超几何分布、正态分布练习理

第十节二项分布、超几何分布、正态分布题号 1 2 3 4 5 6 答案1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B(n ，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14解析：由ξ～B(n ，p)，有E(ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np(1－p)＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B.1235 C.335 D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 52⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 52C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B 答案：B5．一个袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A m2A n3的是( ) A ．P(ξ＝3) B ．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2) 解析：P(ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n . 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x28()x∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2 答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2. 答案：28．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2＜ξ≤6)＝0.682 6，则P(ξ≤10)＝________．解析：∵P(4－2＜ξ≤4＋2)＝0.682 6， ∴σ＝2，P(－2＜ξ≤10)＝P(4－2×3＜ξ≤4＋2×3)＝0.997 4， P (ξ≤10)＝P(－2＜ξ≤10)＋12[1－P(－2＜ξ≤10)]＝0.997 4＋12(1－0.997 4)＝0.998 7.答案：0.998 79．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_____________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p)2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲先抽一题，乙再抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？ (3)甲抽到选择题的条件下，乙抽到选择题的概率是多少？解析：(1)记A ＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则P(A)＝6×410×9＝415；∴所求的概率是415.(2)记B ＝“甲、乙没有谁抽到选择题”，则B 为所求事件， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－4×310×9＝1315；∴甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是1315.(3)记C ＝“甲抽到选择题”，D ＝“乙抽到选择题”，则P(C)＝610＝35，P(CD)＝6×510×9＝13，∴P(D|C)＝P （CD ）P （C ）＝59.因此，所求的概率是59.12．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共有54人，求这个班的这次数学考试中及格(不小于90分)的人和130分以上的人数．解析：∵ξ～N(110，202)， ∴μ＝110，σ＝20，∴P(90＜ξ≤130)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ＝0.682 6)， P (ξ＞130)＝12[1－P(90＜ξ≤130)]＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3，因此，及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数54×0.158 7≈9(人)．13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(C)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0，1，2，3，则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝1)＝P(C)＝427，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，所以X 的分布列为P1627 427 427 19所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.14.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．(1)求至少有1天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望．解析：(1)5天全不需要人工降雨的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝225，故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P 1＝2325.(2)X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5. P(X ＝5)＝225，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝725， P(X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝73200， P(X ＝2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝43200， P(X ＝1)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＝11200， P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1200. 所以不需要人工降雨的天数X 的分布列是X 0 1 2 3 4 5 P1200112004320073200725225E(X)＝0×1200＋1×11200＋2×43200＋3×73200＋4×725＋5×225＝3.1.15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.视觉听觉视觉记忆能力偏低中等偏高超常听觉记忆能力偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 B偏高 2 a 0 1超常 0 2 1 1且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P(A)＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a)＝40－38＝2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法一记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P(B)＝1－P(B)＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.方法二记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k24C 3－k16，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k24C 3－k16C 340，k ＝0，1，2，3.ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P14247722475521 2352531 235所以E(ξ)＝0×14247＋1×72247＋2×5521 235＋3×2531 235＝2 2231 235＝95. 16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，故P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125.(2)ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 22C 25C 25＝1550＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 22C 25C 25＝125.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P95012251550125数学期望为E(ξ)＝1×1225＋2×1550＋3×125＝1.2.17．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ，则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布为X 0 1 2 3 P27642764964164故X 的数学期望E(X)＝3×4＝4.。

2020高考数学三轮冲刺专题二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A. B. C. D.（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为，其中比赛进行了3局的概率为，所求概率为，故选B．2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则A. B. C. D.（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题．【解答】解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种所以小赵独自去一个景点的可能性为种因为4 个人去的景点不相同的可能性为种，所以．故选A．3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，，故选：C．设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可知：同学3次测试满足X∽，该同学通过测试的概率为．故选：A．判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是A. B. C. D.（正确答案）C解：记该动物从出生起活到10岁为事件A，从出生起活到15岁的为事件AB，而所求的事件为，由题意可得，，由条件概率公式可得，故选C．活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题．本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问题的关键，属中档题．6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：，故选：D．事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，将4个不同的小球装入4个不同的盒子，有种不同的放法，若没有空盒，有种放法，有1个空盒的放法有种，有3个空盒的放法有种，则至少一个盒子为空的放法有种，故“至少一个盒子为空”的概率，恰好有两个盒子为空的放法有种，故“恰好有两个盒子为空”的概率，则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率；故选：A．根据题意，由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率．8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为，若，则A. B. C. D.（正确答案）A解：根据题意，得，因此，事件AB对应的区间长度为，结合总的区间长度为1，可得又，同理可得因此，故选：A由题意，算出且，结合条件概率计算公式即可得到的值．本题给出投点问题，求事件A的条件下B发生的概率，着重考查了条件概率及其应用的知识，属于基础题．9. 九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么A. B. C. D.（正确答案）B解：由题意，，，，故选B．确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为A. B. C. D.（正确答案）D解：解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即．又，，由公式．故选：D．设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即先求出和的值，再根据，运算求得结果．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．11. 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在内”，B表示事件“豆子落在内”，则A.B.C.D.（正确答案）D解：如图所示，作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，所以，故选：D．作三条辅助线，根据已知条件这些小三角形全等，即可求出．本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．12. 下列说法中正确的是设随机变量X服从二项分布，则已知随机变量X服从正态分布且，则；．A. B. C. D.（正确答案）A解：设随机变量X服从二项分布，则，正确；随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是．，，，正确；利用积分的几何意义，可知，正确；故不正确．故选：A．分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义，考查学生的计算能力，知识综合性强．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如果，当取得最大值时， ______ ．（正确答案）50解：，当，由组合数知，当时取到最大值．故答案为：50．根据变量符合二项分布，写出试验发生k次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查概率的最值，考查组合数的性质，是一个比较简单的综合题目．14. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ ．（正确答案）解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与建立对应，显然：，，．．故答案为：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．（正确答案）解：在第一次抽到偶数时，还剩下1个偶数，3个奇数，在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．故答案为：．根据剩下4个数的奇偶性得出结论．本题考查了条件概率的计算，属于基础题．16. 若随机变量，且，则 ______ ．（正确答案）解：随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，，故答案为：．由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值，再根据，求得的值．本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率；Ⅱ记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．（正确答案）解：记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件，由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击3次，相当于3次独立重复试验，故．故甲至少有1次未击中目标的概率为；由题意知X的可能取值是0，1，2，3，，，，X的概率分布如下表：X 0 1 2 3P设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件，则，，为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值．甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做．18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球从A中摸球，每次摸出一个，共摸5次求：恰好有3次摸到红球的概率；设摸得红球的次数为随机变量X，求X的期望；Ⅱ从A中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A中摸球，若是红球则在袋子B中摸球，若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球，若是红球则在袋子A中摸球，如此反复摸球3次，计摸出的红球的次数为Y，求Y的分布列以及随机变量Y的期望．（正确答案）解：Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有3次摸到红球的概率：．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到：，．随机变量Y的取值为0，1，2，3；且：；；；；随机变量Y的分布列是：的数学期望是．由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据独立重复试验公式得到结果．由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案．由题意知计摸出的红球的次数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围．（正确答案）解：，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而，所以由知，解得：根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数，由，可以构造一个关于的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围．本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，的关键是要根据，可以构造一个关于的不等式．。

高考数学一轮复习专题01 二项分布(解析版)

概率与统计专题一：二项分布一、知识储备一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n kn P X k C p p -==-（0,1,2,k n =）如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)XB n p 。

二、例题讲解1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）81256；（2）分布列见解析；期望为3．【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；（2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以22333181()C 444256P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，40411(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，314133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 444381(4)C 4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：数学期望3()434E X np ==⨯=． 2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：103；（2）802187.【分析】（1）由题意可得2(5,)3XB ，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列，（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，由题意可知2(5,)3YB ，且{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，再利用相互独立事件的概率公式求解即可【详解】解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为23，所以2(5,)3XB ，从而5521()()()33k k kP X k C -==，0,1,2,3k =，所以，随机变量X 的分布列为：所以210()533E X =⨯=；（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，则2(5,)3Y B ，且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥，且X 与Y 相互独立，由（1）可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. (,)B n p 表示发生的概率为p ；3．（2021·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. （1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差；（2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】（1）分布列见解析，5()3E X =，1(0)9D X =；（2）分布列见解析；（3）211243.【分析】（1）由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及方差；（2）Yk =（0,1,2,3,4k =），表示前k 个是绿灯，第1k +个是红灯，5Y =表示5个均为绿灯，则21()()33k P Y k ==⨯，0,1,2,3,4k =，由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列；（3）利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【详解】（1）由题意可知，X 可取0、1、2、3、4、5，服从二项分布1~(5)3X B ，，则0551232(0)()()33243P X C ==⋅⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅⋅=， 22351280(2)()()33243P X C ==⋅⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅⋅=，∴X 的分布列为：∴()533E X =⨯=，()5339D X =⨯⨯=；（2）由题意可知，Y 可取0、1、2、3、4，5 则0211(0)()333P Y ==⨯=，1212(1)()339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ==⨯=， 3218(3)()3381P Y ==⨯=，42116(4)()33243P Y ==⨯=，5232(5)()3243P Y ===，∴Y 的分布列为：（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A ，所求概率32211()1(0)1243243P A P X =-==-=.(,)B n p (,)B n p 表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为p ，至于这n 次实验成功了几次，后一次实验做完才知道；而此题首次成功，续的实验。

高考数学专题二项分布、超几何分布与正态分布问题(学生版)

高考数学专题二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况。

二项分布

二项分布【典型例题】例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于（） A 、9160 B 、21 C 、185 D 、21691 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )A.12584 B. 12581 C. 12536 D. 12527 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是（）A 、73B 、356C 、351 D 、3522 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是。

例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为()1212,P P P P >，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求:（1）12, P P ;（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为31，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望．1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）A 、31 B 、52 C 、65 D 、32 2．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是（）A 、21p pB 、)1()1(1221p p p p -+-C 、211p p -D 、)1)(1(121p p ---3．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则==)12(X P 。

考点49 条件概率与二项的分布原卷

考点49 条件概率与二项的分布【考纲要求】了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．【命题规律】条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大．【典型高考试题变式】（一）二项分布例1．【2017年高考全国II 理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X = ．【变式1：改变条件】已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．【变式2：改编条件和结论】设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为________．【变式3：改编条件和结论】（2022浙江·高三月考）甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为23，设X 为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是27，则()E X =______．（二）条件概率例2．【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A ． 0．8B ． 0．75C ． 0．6D ． 0．45例3．【2010高考安徽理15】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关【变式1：改编条件】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )=（）A ．12B ．13C ．14D ．25【变式2：改编条件和结论】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0．45B ．0．6C ．0．65D ．0．75【变式3：改编条件和结论】（2022宁夏·银川一中高三月考（理））在一个不透明的袋中装有5个白球，3个红球（除颜色外其他均相同），从中任意取出2个小球，记事件A 为“取出的球中有红色小球”，事件B 为“取出的2个小球均是红球”，则()P B A =__________．【数学思想】（1）函数方程思想；（2）转化与化归思想．【温馨提示】（1）条件概率的问题中：①事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．②当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）．（2）注意二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． ③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．【典例试题演练】一、单选题1．（2022广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()2100050N ，，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．782．（2022浙江·诸暨中学高三月考）设X 为随机变量，~(6,)X B p ，若随机变量X 的期望为4，则(1)P X ≥=（）A ．1729B ．4243C ．716729D ．7287293．（2022四川成都·高三月考（理））若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B +=，则()P A B =（）A ．29B ．23C ．14D ．164．（2022·全国·高三专题练习）从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名．则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（）A ．140，212021B ．502021，212021C ．140，212000D ．212000，5020215．（2022·全国·高三专题练习）设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（）A ．610B ．710C ．611D ．7116．（2022·全国·高三专题练习）某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则()|P A B =（）A ．16B ．310C ．12 D ．357．（2022福建省南平市高级中学高三月考）已知在 10 支铅笔中，有 8 支正品，2 支次品，从中任取 2 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（）A ．15B ．845 C ．89D ．458．（2022·全国·高三专题练习）某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为1p ，2p ．若13p 4=，223p =，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（） A ．23B ．25C ．12D ．139．（2018·浙江·高三学业考试）一袋中有6个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则(12)P ξ=等于（）A ．101021212()()33C B ．91021112()()33C C ．9119221()()33C D ．9119212()()33C10．（2022·浙江·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.311．（2022重庆市第七中学校高三月考）一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球是1白1黑的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．11212．（2022浙江杭州·高三期中）设随机变量()~2,X B p ，若()519P X ≥=，则()E X =（） A ．23B ．13C ．43D ．113．（2022全国·高三专题练习（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为（）A ．14B ．12C ．34D ．45二、填空题14．（2022山东·广饶一中高三月考）甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”．此时，一男孩过来．乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”．根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为___________．15．（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3．不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出行球放入乙箱中，分别以1A ､2A ､3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则()1P B A =___________，()P B =___________．16．（2022福建·福州四中高三月考）东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A 为“甲独自选修一门课程”，B 为“三人选修的课程都不同”，则概率()|P B A =______．17．（2022·全国·高三专题练习）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A ．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B ，则()P B A =_________．18．（2022北京市八一中学高三开学考试）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．19．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0．20，0．25，0．3，0．25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________．20．（2022黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A ：蓝色骰子的点数为5或6；事件B ：两骰子的点数之和大于9，则在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率()|P A B =______．四、解答题21．（2022江苏·海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）．甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果相互独立不受影响．（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由．22．（2022广东·高三月考）新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，Y 为当天销售这两类服装带来的总收益．求当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值及Y 的期望E （Y ）．23．（2022湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．24．（2022海南·海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次分）．设每次击鼓出音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200，且各次击鼓出现音乐相互独立．现音乐的概率为12（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？25．（2022海南·三亚华侨学校高三月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率．26．（2022吉林长春·高三月考（理））移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一．近日，lpsosChina 针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄段人数类型[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60使用移动支付 45 40 25 15 不使用移动支付102045（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[)40,50之间的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．27．（2020·江苏·南京市第五高级中学高三月考）甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110．（1）求n 的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；（3）从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和()E ξ．28．（2022湖南·长郡中学高三月考）设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为23，乙同学每天6：30之前到校的概率均为34，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．29．（2022广东·高三月考）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．（1）设X为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．30．（2022山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，[)70,80，[)80,90，[]90,100的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在[]90,100的为A 等级，成绩在[)70,90的为B 等级，其它为C 等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B 等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？31．（2022湖北·高三期中）小C 和小D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小C 同学在甲盒子中取球，小D 同学在乙盒子中取球．（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

(完整版)二项分布经典例题+练习题

二项分布1．n 次独立重复试验一般地,由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。

我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

(1）独立重复试验满足的条件第一:每次试验是在同样条件下进行的;第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三:每次试验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n knCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回,求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

3。

甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ,求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理)）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等）3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考(重庆理））(本小题满分13分,（Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分。

)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,。

约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1，乙每3，且各次投篮互不影响.次投篮投中的概率为12（Ⅰ) 求甲获胜的概率；(Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告，试求需要比赛场数的期望．结束,假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是123．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查。