第27章《相似三角形》总复习
相似三角形(总复习)
初中数学总复习4.6 相似三角形一、相关概念1、成比例线段如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比（ratio ）AB:CD =m:n ,或写成nmAB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,或AB=k ·CD2、成比例线段四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a:b=c:d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
性质：：（设dcb a ==k ，那么a=kb ，c=kd ，则ad=kb ·d=b ·kd=b ·c ，由此得出） 比例的基本性质：如果a:b=c:d ，那么ad=bc 。
合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a ±=± 等比性质：如果dcb a =＝……＝nm （b+d+……+n ≠0），那么ban d b m c a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++ 注意事项：合比性质有两种形式：如果d c b a =，那么b b a +＝d d c +；如果d c b a =，那么ddc b b a -=-，要灵活应用。
要强调等比性质中，分母b+d+……+n ≠0 3、黄金分割点在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，那么称线段AB 被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比。
其中618.01:215:≈-=AC AB 即618.0≈AB AC 注意：线段有两个黄金分割点 4、相似多边形BC(1)、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
(2)、相似多边形对应边的比叫做相似比。
(3)、 相似用“∽”表示，读作“相似于”。
（在用相似符号记两个多边形时，之所以把表示对应角顶点的字母写在对应位置上，是因为可以一目了然的知道他们的对应边和对应角,与全等形的记法类似）(4)、相似多边形的性质：对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，5、相似三角形（记住4种特殊图形）（1）、三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
九年级人教版数学第二学期第27章相似三角形整章知识详解
=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
B′
C′
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
A
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
A
D
E
∵ DE∥BC，
A
D
E ∴ △ADE∽△ABC.
B
C
B
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
九年级数学第27章相似三角形
A
三边对应成
A′
比例
B
C
B′
C′
A' B' B'C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
九年级数学第27章相似三角形
已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
成的三角形与原三角形相似.
九年级数学第27章相似三角形
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得 的三角形与原三角形___相__似___.
“A”型 A
D
E
“X”型
D
E
O
B
C
（图1）
B
（图2）
C
九年级数学第27章相似三角形
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
EF∥CD
△EOF∽△COD
A E C
相似三角形中考复习
相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。
为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。
3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。
例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。
由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。
六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。
人教版九年级下册数学册第27章 相似三角形复习
交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB，
求证： △AFD∽ △AEC.
A
F
E
D
B
C
综合运用
例3、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1, 点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取 一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x
P
AC
D
B
例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A
C
6 4
D
14
B
A
C
6
4
D xP
14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
A
40°
80°
B C
A′
40 °
B′ 60 ° C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
(2) ∠A=40°，AB=3 ，AC=6
∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A
3 40° 6
B C
A′
40 7°
14
B′
C′
1、根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？ 为什么？
平行四边形ABCD的面积为
A
D
DE
， ？
第27章相似三角形复习课件
A D B M
C
分析：已知中与线段有关的条件仅有 AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用 两个角对应相等去判定两个三角形相 似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共 边，故是对应边MD、ME的比例中项。
∴∠B=∠E ∴∠MAD= ∠E 又 ∵ ∠DMA= ∠AME ∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∴DE∥BC，且 ∴ △ADE∽△ABC
AD AE 1 ∴ AB =AC =2
即△ADE与△ABC的相似比为1:2
2.
如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则 △ AED和△ ABC 的相似比为＿＿.
A D
B
解: ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵AD:DB=2:3 E ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 C ∴AD:AB=2:5 即△ADE与△ABC的相似比为2:5
F
B
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、 边 BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG .
A D
分析：要证明
EA2 = EF· EG ， E EA EF 即 证明 EG =EA 成 B C F 立，而EA、EG、EF 三条线段在同一直线 证明：∵ AD∥BF G AB∥BC 上，无法构成两个三 ∴△AED ∽△FEB 角形，此时应采用换 △AEB ∽△GED 线段、换比例的方法。 ∴ EA AB EF BE AB 可证明： = = = EG DG EA ED DG △AED∽△FEB， ∴ △AEB ∽ △GED. EA EF = EG EA
B
C
解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B, ∠EDC=∠DCB=∠A ① ∵ DE∥BC, ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD ③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD ④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC
(完整版)人教版第27章相似三角形知识点总结
第27章相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1、形状相同的图形叫相似图形，2、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．3、相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段知识点3 比例的性质（注意性质里的条件：分母不能为0）bc ad d c b a =⇔=::； a c a b c d bd b d±±=⇔= 知识点4 比例线段的有关定理1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例．知识点6 三角形相似的判定方法1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2、只看角法（AA ）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、只看边法(SSS)：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．(HL)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4、边角组合法(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似B知识点7 射影定理内容：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积。
第27章《相似三角形》复习课
第27章《相似三角形》复习课相似三角形是中学数学中的一个重要概念，它与三角形的形状以及边长的比值有关。
在本章的复习课中，我们将回顾相似三角形的定义、性质以及相关的解题方法。
通过本节课的学习，我们将进一步巩固对相似三角形的理解，提高解题的能力。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形在形状上相似的性质。
对于两个三角形来说，若它们的对应角相等，对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，若有三角形ABC与三角形DEF，若它们的角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE的比值等于边AC与边DF的比值，边BC与边EF的比值等于边AC与边DF的比值，则这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比值相等。
在相似三角形中，对应边的比值相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似三角形的对应角相等。
在相似三角形中，对应角是相等的，即角A=角D，角B=角E，角C=角F。
3. 相似三角形的对应高线比值相等。
在相似三角形中，对应高线的比值等于边长比值的倒数，即h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
三、相似三角形的解题方法在解题过程中，我们常常需要运用相似三角形的性质来求解未知量。
下面是几个常见的解题方法：1. 利用相似三角形的边长比值。
当我们已知一个三角形的边长比值，并且两个三角形是相似的时候，我们可以利用这个比值来求解另一个三角形的边长。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知AB/DE = 2/3，AC/DF = 4/5，我们可以利用这些已知比值来计算出BC与EF的比值。
如此一来，我们就可以通过已知的EF的长度，求出BC的长度。
2. 利用相似三角形的角度比值。
当我们已知一个三角形的角度比值，并且两个三角形是相似的时候，我们可以利用这个比值来求解另一个三角形的角度。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF相似，且已知∠A/∠D = 2/3，∠B/∠E = 4/5，我们可以利用这些已知比值来计算出∠C与∠F的比值。
九年级数学27章相似三角形复习课件人教版
性质
相似三角形和全等三角形都具有一 些共同的性质，如对应角相等、对 应边成比例等。
相似三角形与全等三角形的应用举例
相似在生活中的应用
在日常生活中，我们经常遇到一些形状相同但大小不同的 物体或图形，这些都可以用相似三角形的知识来解决。
对应边成比例
如果两个三角形对应的边成比例 ，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即$\frac{AB}{CD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{EF}$。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长的比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2$。
由于相似三角形的对应角相等，我们可以利用这一性质来求解角度。
相似三角形对应角相等定理的应用
通过相似三角形的对应角相等定理，我们可以将一个三角形的角度问题转化为 另一个相似三角形的角度问题，从而求解。
利用相似三角形求边长
相似三角形的边长比例
相似三角形的对应边长之间的比例是相等的，我们可以利用这一性质来求解边长 。
解题思路
利用相似三角形的性质，通过测 量可直接测量的物体的高度或宽 度，推算出不可直接测量的物体
的高度或宽度。
具体步骤
首先确定两个相似三角形，然后 根据相似三角形的性质计算出不 可直接测量的物体的高度或宽度
。
巩固练习：利用相似三角形解决实际问题
实际问题2
计算建筑物之间的距离。
《第27章相似三角形》复习总结(教学设计).docx
《第27章相似》复习一、诱导复习1•导入课题通过对本章的学习，你学习了哪些知识？它们之间有何关联？重点是什么？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)2.复习目标(1)疏通本章知识，弄清知识脉络.(2)进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题.(3)知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质.难点：相似三角形的判定和性质的应用.二、分层复习第一层次复习1.复习指导(1)复习内容：教材P24~P59.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识.(4)复习参考提纲：①形状相同的两个图形,叫做相似图形，当相似比等于1时，这两个图形全等.相似多边形的对应角相等，对应边成比例・②相似三角形有哪些判定方法？又有哪些性质？a •三边成比例的两个三角形相似.判定方法＜〃•两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.c・两角分别相等的两个三角形相似.f a・相似三角形对应线段的比等于相似比.饪质相似三角形面积的比等于相似比的平方.③什么叫位似？位似与相似有何关系？位似变换的点的坐标有何规律？两个图形相似且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为A,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是(kx, ky)或(-kx,-ky).④ 试画本章知识结构框图.2. 自主复习：学生参考复习指导进行复习.3. 互助复习 （1） 师助生：① 明了学情：明了学生对本章知识的掌握情况.② 差异指导：指导学生画知识结构框图，理顺知识脉络.（2） 生助生：小组交流、研讨.4. 强化复习：师生互动梳理知识，画知识结构框图.第二层次复习1. 复习指导（1） 复习内容：典例剖析、考点跟踪.（2） 复习时间:12分钟.（3） 复习方法：小组交流协作. （4） 复习参考提纲：①如图，己知AB 〃CD 〃EF, AF 交BE 于点H,下列结论错误的是（C ）第②题图 第③题图②如图,AC 丄BC, ZADC=90° , Z1=ZB,若 AC 二5, AB=6,求 AD 的长.TAC 丄BC, .*.ZADC=ZACB=90° , 又 VZ1=ZB, AAADC^AACB.AD AC• ________eAC ~ AB AD 525 即-_ =—,解得 AD=—.5 6 6③ 如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图屮与ADEF 相似的三角形共有⑻A. 1个B. 2个C ・3个D. 4个HC~ HD\A B / \ T /E / \F/ \AD BC HCHD AF BE B. C.D.—— —DF CEHE DFDF CEBH _ AH 第①题图④如图，AABC内接于00, AD是AABC的边BC上的高，AE是O0的直径，连接BE,求证：AD • AE二AB • AC.•・・AE是直径,AD丄BC』A Z/\BE=ZADC=90° , 又VZE=ZC, AADC^AABE.AD AB in]・・・——=——，即AD・AE二AB・AC.AC AE⑤如图，小明为测量学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD.经测量，窗口高EF二1.2 m,树干高CH二0. 9 m, A 点距墙根G 1.5 m, C点距墙根G 4.5 m,且A、G、C三点在同一直线上•请根据上面的信息，帮小明计算出小树CD的高.VFG/7DC,ABFE^ABDH..FE AG* DH ~ AC即上_ = —口—，解得DH=4.8 (m).DH 1.5 4- 4.5・・・ CD=CH+HD=0. 9+4. 8=5. 7 (m).即小树CD的高为5・7 m.2•自主复习：学生参考复习指导进行复习.3.互助复习(1)师助生:①明了学情：明了学生复习参考提纲的解题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：同桌之间交流、研讨.4.强化复习：相似三角形的判定和性质的应用.三、评价1.学生学习的自我评价：在这节课的学习中，你有哪些新的认识和收获？常握了哪些解题技能和方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度，积极主动性，小组交流协作情况及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3. 教师的自我评价（教学反思）.木课时是全章的复习课，教学时先由师生共同回顾本章的知识，建立全章的知识框架图, 然后由学生提出有关疑问，教师予以解答.本章的核心是相似三角形的判定以及相似三角形 的有关性质.在相似三角形的判定定理证明中，因为涉及了构造全等三角形作为中介，学生 不太习惯，所以在进行本章复习时应注意引导学生进行针对性训练，并分析证明思路，引导 学生进行转化，帮助学生克服学习困难.一、基础巩固（70分）1. （10分）如图，在大小为4X4的正方形网格屮，是相似三角形的是（C ）4. （20分）李华要在报纸上刊登广告，一块10 cmX5 cm 的长方形版面要支付180元的广告费，如果她要把版面的边长扩大为原来的3倍，要支付多少广告费？（假设单位面积广 告费相同）解：将边长扩大3倍后，面积扩大为原来的9倍.所以要支付广告费：180X9=1620（元）.5. （20分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点・厶 ACB 和Z\DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F.求证：（1） AACB^ADCE ； （2） EF 丄AB ・证明：（1） V — = — = - , ZACB=ZDCE-90° ,DC EC 2AACB^ADCE.z\\\\ \7A.①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④2. （10分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4 m 的位置上，则球拍击①②③④球的高度h 为与M B C ，的相似比等右，则点"的坐标为或匕丐1 23(2) VAACB^ADCE, AZB^ZE,又TZE+ZCDE 二90° , ZBDF=ZCDE,•••ZB+ZBDF 二90° ,・・・ZBFD 二90°，即EF 丄AB. 二、综合应用(20分)6. (20分)如图，AABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40 cm, AD =30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF 在BC 上，顶点G,H 分别在AC, AB ±, AD 与HG 的交点为M.求这个矩形EFGH 的周长.解：设HE 为x,则HG 为2兀 ・・•四边形FFGH 是矩形， ・•・矩形 EFG1I 的周长为(12+2X12) X2=72(cm). 三、拓展延伸(10分)7. (10分)如图所示，四边形ABCD 是以0为圆心，AB 为直径的半圆的内接四边形，対角线AC 、BD 相交于点E.(1)求证：△DECs^AEB ； (2)当ZAED = 60°时，求ADEC 与AAEB 的而积比.(1) 证明 VZBDC=ZBAC, ZDEC=ZAEB,AADEC^AAEB.(2) 解：TAB 是直径，.\ZADB=90o ,又 V ZAED=60° , AZDAC = 30° ,・DE 1S ZEB°4DEC ・・・IIG 〃BC,AAHG^AABC,HG AM • ________~BC~~AD即和弓产解得小・B。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
相似三角形期终复习要点 整理篇
相似三角形期终复习要点（含例题、练习及答案）一、知识要点：1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。
二、典型例题：（一）、求线段长或线段比例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______．例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________．，（二）、求周长与面积或周长与面积比14．（2014．乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON =1． （1）求BD 的长；（2）若△DCN 的面积为2，求四边形ABCM 的面积．10．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm ，底边上的高为22.5 cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张． 11．如图，大正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是 ( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．不确定例3 如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；例4 如图3所示，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于D．若S△DOE＝9 cm2，则S△AOB 等于( )(A)18 cm2(B)27 cm2(C)36 cm2(D)45 cm2（三）、证明比例线段例5 如图4所示，已知正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q，求证：BD AP CD BQ．（四）、实际应用举例12．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A、E、C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB．(结果精确到0.1 m)例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？三、易混淆概念1、比例线段的相关概念在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
第27章《相似》复习资料
第27章《相似》复习资料（一）知识要点（考点重点）1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。
相似三角形的基本图形：说明：对于双垂图5有：1、AB 2=BD •BC ；2、AC 2=CD •BC ；3、AD 2=BD •CD 。
对于拓展图6只有：AC 2=CD •BC 。
判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
⑤相似三角形的传递性：如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2（二）相似三角形的应用求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（1）利用阳光下的影子测量物体的高度时：被测物体的影长被测物体的实际高度该物体的影长某物体的实际高度=。
（2）利用标杆测物体的高度时，人与标杆及被测物体均与地面垂直，因此三者是平行的。
（3）利用镜子的反射测物体的高度时，人与被测物体都与地面垂直，光的入射角等于反射角。
(三) 位似图形（1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
（2）位似图形与相似图形的关系：位似图形是特殊的相似图形；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形也必定是相似图形；两个相似图形却不一定是位似图形。
第27章 相似三角形总复习课
6.相似三角形与全等三角形的关系：
相似比等于1的两个三角形全等.
7.平行线分线段成比例定理：任意
一组平行线被两条直线所截，截得的 线段对应成比例.
7.两个极具代表性的益智“模型”：
“A”型和
“X” 型相似三角形.
A D B E C
E A
B
D
C
三、三角形相似的判定方法：
1. 相似三角形的定义：
解：∠ABO=∠CDO=90° ∠∠COD
A
1.8m
∴△AOB∽△COD
AB BO = CD DO 1.8 2 = CD 6
B 2m O
6m
D
∴ CD=5.4m 答：球能碰到墙面离地5.4m高的地方．
6、如图，身高为1.6m的某同学想测量一棵大树的 高度，她沿树影BA由B向A走去，当走到C点时，她 的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m，则树高为（ C ） A、4.8m B、6.4m 解：依题意知：ＥＣ⊥ＡB， C、8m D、10m 于点Ｃ，ＤＢ⊥ＡB于点Ｂ，
2.
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
平行于三角形一边直线与其它两边(或其延长线)相 交,所得的三角形与原三角形相似;
定理
3.相似三角形的传递性：与同一个三角形相似的三角形相似
4.定理
5.定理
三边对应成比例的两个三角形相似.
两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形
相似;
6.定理
有两个角对应相等的两个三角形相似
第27章
相
似
总复习课
教学目标:
1.通过复习,梳理本章知识,构建知识网络. 2.理解相似图形、相似多边形以及相似三角 形的概念, 了解相似是图形的一种基本变换; 3.掌握相似三角形的识别方法及相似三角形的 有关性质; 4.能运用相似三角形的知识解决一些实际问题. 会用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究 图形的运动变换，体会数与形间的关系.
初中九年级数学下册人教版第27章_相似三角形总复习课ppt课件
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？ A A
Q Q
B
P
C
B
P
C
例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度 (这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、 标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出 工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：——；
C
∟
A
B
D
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：2ED DM=AD CD。
F E CD
M
证法一：要证2ED DM AD CD成立，应把 积的形式转化成比例式（还应考虑系数2），
2ED CD , 要得出2ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE, 又知CE DE EF , 可得CDF是Rt, 由条件得 AMD∽ FCD,结论成立。 A
4
A OB
AOC ∽ ABP，
x
AO
2
S AOC
4
S ABP
9
AB
S ABP
9
AO 2 AB 6 P2，3
AB 3
2 设点R与点P在同一个反比例函数图象上，且点R
在直线PB的右侧，作RT x轴，T为垂足，当BTR 与AOC相似时，试求R点的坐标．
第27章 相似 总复习
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
初中数学九年级下册-第二十七章 相似三角形期末复习
第二十七章 相似三角形期末复习一、 知识点回顾： （一）相似三角形的定义三边对应成________，三个角对应 _的两个三角形叫做相似三角形． （二）相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2.双直角图形：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________． （三）相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 二、典型例题：1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ ）A.ΔABC 放大后角是原来的2倍B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对2.如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．E A D CBEADCBAD CBAB CD EF ∥∥AD BC DF CE =BC DF CE AD =CD BC EF BE =CD ADEF AF=ABD C EFECDAFBA ．B ．C ．D ．A BC3.如图所示，给出下列条件：①； ②③； ④．其中单独能够判定的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADEDBCE S S :=:8,四边形那么:AE AC 等于（ ）A ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 25.已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=6.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，将△ABE 沿AE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点．若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= ________ ．7.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）8.如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有 条.9.如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BFFD= ． 10如图，△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDO ：S △ABO =（ ） A ．1：2 B ． 2：3C ． 1：3D ． 1：411.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长 .B ACD ∠=∠ADC ACB ∠=∠AC ABCD BC=2AC AD AB =ABC ACD △∽△ABCDBA CDEO12.在Rt △ABC内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c满足的关系式（）A、b a c=+B、b ac=C、222b a c=+D、22b a c==13.如图在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。
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11、Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于
D。
（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一 对说明理由。
（2）若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。 C
∟
A
B
D
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：
2ED DM=AD CD。
F E CD
M
4.相似三角形
三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三 角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫 做相似比(相似比与叙述的顺序有关).
5.相似三角形性质：
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比， 对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似
比又称为位似比.
E
B
O
C
F
D F
O
A
E D
B C
A
2.性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比.
3.如何作位似图形(放大).
A
B
P G ●
CF
E′
D′
A′
A
B′ C′
G′ B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
DE
A′
D′ E′
A边2B形2CA2nDB2n，Cn重Dn的复同面样积的为方法直a到2得到四。边形AnBnCnDn，则四 2n
7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四 周修筑小路:
(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围
成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由
A`
B`
Ax B
A`
B`
Ax B
x
x
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
练习
1,如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这
条件可以是
.A
D E
2．下列说法正确的是（ ） B
C
A 所有的等腰三角形都相似
B所有的直角三角形都相似
C所有的等腰直角三角形都相似
D有一个角相等的两个等腰三角形都相似
6.相似三角形与全等三角形的关系： 相似比等于1的两个三角形全等.
7.两个极具代表性的益智“模型”： “A”型和
“X” 型相似三角形.
A
E
D
A
D
E
B
C
B
D
C
A E
D
E
A
B
C
B
C
二、三角形相似的判定方法有哪些?
1.预备定理 平行于三角形一边直线截其它两 边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似
比是_1_：__√_2__
A
D
E
B
C
5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
A
D
E
C
B
F
练习
6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中 点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与
⊿ABC相似？
A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去 测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易 到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副 三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具 中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测 量工具是：——；
第27章 相似 总复习
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相 似比(相似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小 写字母表示）求出x
例5 如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运
动（不运动至点A），过点D作DE AB，设AD=x，AE=y。（1）求
y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到
性质，得CD 2DG,只需证明 2ED AD 即 CD DM
A
ED AD ,由题易证得DEG DG DM
∽
DAM，
故结论成立。
例3.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
2、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
A
D O
B
E C
3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的 相似比是__3_：__5__对应边上的高的比是__3_：__5____， 周长之比是___3__：__5____。
4、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等
y
y
Dx C
D`
C`
Dx C
D`
C`
(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽 x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成矩 形和矩形ABCD相似?请说明理由.
10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。 你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全 等三角形除外）
A
CEGB1 Nhomakorabea2
3
D
F
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝ 度
证法一：要证2ED DM AD CD成立，应把
积的形式转化成比例式（还应考虑系数2），
2ED CD ,要得出2ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE,又知CE DE EF,可得CDF是Rt,
由条件得 A
AMD∽FCD,结论成立。
E CG D
M
证法二：过点E作EGCD，根据等腰三角形的
2.定理 三边对应成比例的两个三角形相似. 3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三 角形相似; 4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相似
基本图形
A
D
E
B D
B
D B
AC E
AC
C
E
D
A
B
E
C
D A
B
C
三、相似图形的特例图形的位似
1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所 在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形