第27章《相似三角形》总复习

6.相似三角形与全等三角形的关系： 相似比等于1的两个三角形全等.
7.两个极具代表性的益智“模型”： “A”型和
“X” 型相似三角形.
A
E
D
A
D
E
B
C
B
D
C
A E
D
E
A
B
C
B
C
二、三角形相似的判定方法有哪些?
1.预备定理 平行于三角形一边直线截其它两 边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
第27章 相似 总复习
一、相似图形的定义、实质、及性质
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 2.相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相 似比(相似比与叙述的顺序有关). 3.相似多边形性质： ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例. ②相似多边形周长的比等于相似比. ③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
A边2B形2CA2nDB2n，Cn重Dn的复同面样积的为方法直a到2得到四。边形AnBnCnDn，则四 2n
7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四 周修筑小路:
(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围
成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由
A`
B`
Ax B
A`
B`
Ax B
x
x
4.相似三角形
三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三 角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫 做相似比(相似比与叙述的顺序有关).
5.相似三角形性质：
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比， 对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
性质，得CD 2DG,只需证明 2ED AD 即 CD DM
A
ED AD ,由题易证得DEG DG DM
∽
DAwk.baidu.com，
故结论成立。
例3.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
证法一：要证2ED DM AD CD成立，应把
积的形式转化成比例式（还应考虑系数2），
2ED CD ,要得出2ED，可延长DE到F，使 AD DM EF DE,又知CE DE EF,可得CDF是Rt,
由条件得 A
AMD∽FCD,结论成立。
E CG D
M
证法二：过点E作EGCD，根据等腰三角形的
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
练习
1,如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这
条件可以是
.A
D E
2．下列说法正确的是（ ） B
C
A 所有的等腰三角形都相似
B所有的直角三角形都相似
C所有的等腰直角三角形都相似
D有一个角相等的两个等腰三角形都相似
2.定理 三边对应成比例的两个三角形相似. 3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三 角形相似; 4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相似
基本图形
A
D
E
B D
B
D B
AC E
AC
C
E
D
A
B
E
C
D A
B
C
三、相似图形的特例图形的位似
1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所 在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形
叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似
比又称为位似比.
E
B
O
C
F
D F
O
A
E D
B C
A
2.性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比.
3.如何作位似图形(放大).
A
B
P G ●
CF
E′
D′
A′
A
B′ C′
G′ B
G
F′ C F
P●
F′
C′
G′
B′
DE
DE
A′
D′ E′
2、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
A
D O
B
E C
3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的 相似比是__3_：__5__对应边上的高的比是__3_：__5____， 周长之比是___3__：__5____。
4、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等
y
y
Dx C
D`
C`
Dx C
D`
C`
(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽 x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成矩 形和矩形ABCD相似?请说明理由.
10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。 你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全 等三角形除外）
A
C
E
G
B
1
2
3
D
F
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝ 度
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与
⊿ABC相似？
A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去 测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易 到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副 三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具 中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测 量工具是：——；
11、Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于
D。
（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一 对说明理由。
（2）若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。 C
∟
A
B
D
例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：
2ED DM=AD CD。
F E CD
M
AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程
于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似
比是_1_：__√_2__
A
D
E
B
C
5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
A
D
E
C
B
F
练习
6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中 点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小 写字母表示）求出x
例5 如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运
动（不运动至点A），过点D作DE AB，设AD=x，AE=y。（1）求
y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到