2021考研概率论选择专项-数学三(10道选择题及解析答案)

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数学三试题

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内持续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 (3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上持续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰(C)()112d ,d xx f x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+∑(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB(8) 设整体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该整体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21ni i E X X=⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x →=(10)设函数()f x 持续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =(11)若函数(,)z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=肯定，则(0,0)d _________.z=(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态散布(1,0;1,1;0)N ，则{0}_________.P XY Y -<=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品肯定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价钱，MC 为边际本钱，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的本钱函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型肯定此商品的价钱.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在概念域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x表达式.(19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数概念证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；(II)若矩阵X 知足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率散布；(II)求()E Y.(23) (本题满分11 分)设整体X的概率密度为,1,(,),xf xθθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12nX,X,,X为来自该整体的简单随机样本.(I)求θ的矩估量量；(II)求θ的最大似然估量量.。

2021年考研数学三真题答案解析

答案：CABC ADCA9.-1 10.42π 11 )1(313-p pe 12.3 13.3 14.22μσ+三解答题 15.解：1ln 11ln 2ln ln )1(lim 1ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(limln ln -+∞→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-⋅=-→+∞→-⋅-=-e x x xxx xx e x e xxx x x e xe x e xxx x xx x x x x xx x x xx xx 故而当16.解:1514)(3)321(21)3(2)3()33(11210104242232332232=-+-+=+=+=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+y yDDdy y y dy y y dx xy x dy dxdyxy x dxdy y y x xy x 原式 17.解：55-550,55-,;55,).2,0,22(),2,0,22(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(),2,5,1(,010********)10(2),,,(min max 222222=====--------⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=++='=+='-++++=u u u F E u C B u D A F E D C B A z y x F z y F y z x F x y F z y x yz xy z y x F z y x ，所以。

两点处；在两点处在两处因为在最可能的最值点令设λλλλλλ 18.lim ,0ln lim )1(111ln ln .ln )]1[ln(ln 0)1()2(.ln )]1[ln(ln ,ln )]1[ln(ln ,)1ln(,10)1(110210101111==∴+=+=-=≤+=≤≤+≤+∴≤+≤≤∞→∞→⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰n n n n n nnn nn nn n n u dt t t n dt t n tdt t dt t t dt t t dt t t u dt t t dt t t t t t t t t t 从而知由因此，当解：19.)(),3,0(),,0)(,0)(0,30),()()0().0()(),0(2)3()2(.2)3()2()(],3,2[]3,2[)(2)3()2()2().0()(),0(2)()(2)(),(2)(2)0()2(20).0()2()(),20()()()1(212121222=''⊂∈='='∈∈≤<<====++=∈+===='=-∈-=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξξξξξζηξηξζηζηζζζηηηηηf f f f f f f f f f f f f f x f f f f f f dx x f f dx x f f F F F F F dx x f x dt t f x F x 使得（从而存在），使，（），，（根据罗尔定理，存在且由于故由题设知使存在值定理，间，根据连续函数的介上的最小值与最大值之在介于故由题设知即），使，（，存在根据拉格朗日中值定理则设证：20.解：为任意常数。

2021年全国研究生招生考试考研数学三历年真题及详解

2021年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。

A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。

2.函数，在x＝0处（）。

A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。

因为即f′（0）＝1/2，故选D项。

3.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。

A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。

即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a －bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。

4.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。

A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。

5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。

2021考研数学三真题及答案解析(全)

(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续；
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ，则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ，则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零，故特征值为 1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵，若矩阵
B
=
1T 2T
，
1 1 ， k
表示任意常数，
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.

2021考研数学三真题及答案解析(全)

(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数
______________.
【答案】 1 . 5
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) 0 1 0 1
4
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 ， 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ；
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ，得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
0
f
' y
y x2
0
2x2 x 1 y2 0
即
y
0
得驻点 (1, 0) ， (1 , 0) 2
f '' xx
4x
1 x
3(2x2 x4
x
1
y2)
（2）
f '' xy
2 y x3
f '' yy
1 x2
（3）驻点 (1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC B2 3 0 ， A 0
(A)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ，则 P( A | B) P( A)

考研数学三(解答题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)

考研数学三（解答题）专项练习试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．证明：D=正确答案：涉及知识点：线性代数2．设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计3．设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f”(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0f”(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f”(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)一f(0)=f，(c)+[f”(ξ2)(1一c)2一f”(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f”(ξ1)c2一f”(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c 处展开．知识模块：微积分4．设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx 的值．正确答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=．涉及知识点：一元函数积分学5．计算不定积分正确答案：涉及知识点：微积分6．设y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．正确答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt 涉及知识点：微积分7．设a1=2，证明：正确答案：(1)显然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥易知因此{an}单调递减且有下界，故极限存在．涉及知识点：无穷级数8．正确答案：涉及知识点：微积分一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为9．问X与Y是否相互独立?正确答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．涉及知识点：概率论与数理统计10．求两个部件的寿命都超过100小时的概α．正确答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) (因X，Y 相互独立) =[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)] =e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，且均服从参数为λ=0．5的指数分布．利用命题3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1) =e－λx．eλx=(e －0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三种求法都用到了X，Y的独立性．下述两种算法可以不用．解四由得所求概率为解五利用下述结论求之．对任意(x1，y1)，(x2，y2)，x10．1，Y>0．1)=P(0．10，a>0，则P(X>a)=e －λa，P(X－λa．涉及知识点：概率论与数理统计。

2021考研数学三真题试卷(Word版)

2021考研数学三真题试卷(Word版)2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分）1) 当x趋近于无穷大时，∫x2(et-1)dt是x7的（）A) 低阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小2) 函数f(x)={ex-1.x≠0.x。

x=0}，在x=0处（）A) 连续且取得极大值 (B) 连续且取得极小值 (C) 可导且导数等于零 (D) 可导且导数不为零3) 设函数f(x)=ax-blngx(a>0)有2个零点，则b/a的取值范围（）A) (e。

+∞) (B) (0.e) (C) (0.1/e) (D) (-∞。

0)∪(1/e。

+∞)4) 设函数f(x,y)可微，且f(x+1,e)=x(x+1)，f(x,x)=2xlnx，则df(1,1)为()A) dx+dy (B) dx-dy (C) dy (D) -dy5) 二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()A) 2,0 (B) 1,1 (C) 2,1 (D) 1,26) 设A=(α1,α2,α3,α4)的4阶正交矩阵，若矩阵B=[α2;1 α3]，β=1，k表示任意常数，则线性方程组Bx=β的通解x=()A) α2+α3+α4+kα1 (B) α1+α3+α4+kα2 (C) α1+α2+α4+kα3 (D) α1+α2+α3+kα47) 已知矩阵A=[2 -1;1 1]，使得PAQ为对角矩阵，则下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，分别取()A) P=1，Q=[1 1;3 2] (B) P=2-1，Q=[1 1;3 2] (C) P=2-1，Q=[1 1;-3 1] (D) P=1，Q=[-3 1;1 1]8) 设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列为假命题的是()A) 若P(A|B)=P(A)，则P(A∩B)=P(A)P(B)B) 若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)C) 若P(A|B)>P(A)，则P(B|A)>P(B)D) 若P(A|B)<P(A)，则P(B|A)<P(B)一、改错题B) 若 $P(A|B)>P(A)$，则 $P(A|B)>P(A)$。

2021考研数学三真题及答案解析

2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当0x →，23(e 1)d x t t -⎰是7x 的A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.【答案】C 【解析】()()2366755e 1d 2e12limlim lim 077x t x x x x t xx x x →→→--===⎰,故选C.2.函数e 1,0,()1,0x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处A.连续且取极大值.B.连续且取得最小值.C.可导且导数等于零.D.可导且导数不为零.【答案】D【解析】因为)0(11e lim 0f xxx ==-→，故连续；又因为211e 11e lim 220=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D3.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有2个零点，则ba 的取值范围A.()e,+∞. B.()0,e .C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【答案】A【解析】()ln f x ax b x,=-若0<b ，不满足条件，舍去若0>b 令()=0bf x a x'=-，得b x a =.在()()000b b ,f x ,,f x .a a ⎛⎫⎛⎫''<∞> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()0x x lim f x ,lim f x +→+∞→=+∞=+∞，令=ln 1ln 0b b b f b b b ,a a a ⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ln 1b a >，即e b a >.故选A.4.设函数(),f x y 可微，且()222+1,e (1),(,)2ln ,xf x x x f x x xx =+=则()d 1,1f =A.d d x y +.B.d d x y -.C.d y .D.d y -.【答案】选C【解析】由于2(1,e )(1)x f x x x +=+两边同时对x 求导得212(1,e )(1,e )e (1)2(1)xxxf x f x x x x ''+++=+++令0x =得12(1,1)(1,1)10f f ''+=+222121(,)(,)24ln 2f x x f x x x x x x x''+=+⋅令1x =得12(1,1)2(1,1)02f f ''+=+因此1(1,1)0f '=；2(1,1)1f '=.所以d (1,1)d f y =，答案选C5.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为A.02，B.11，C.12，D.21，【答案】B【解析】()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =+++--222222112222333131222x x x x x x x x x x x x =+++++-+-221223132222x x x x x x x =+++二次型对应矩阵为011121110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,11101||121=1211111E A λλλλλλλλ--+---=----------100(1)122111(1)((2)(1)2](1)(3)λλλλλλλλλ=+------=+---=+-则11p q ==.6.设1234(,,,)=A a a a a 的4阶正交矩阵，若矩阵T 1T 2T 31,11⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a B a a β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=x A.2341.k +++a a a a B.1342.k +++a a a a C.1243.k +++a a a a D.1234.k +++a a a a 【答案】D【解析】()T 1T 21234T 3111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααααααα，不难验证A,B,C 均不是方程组的解.7.已知矩阵101211125-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则、P Q 分别取（）.100101100100.010,013.210,010001001321001100101100123.210,013.010,012321001131001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】通过代入验证100101100210013010.3210011012111250010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭-⎝选C8.设B A ,为随机事件，且()10<<B P ，下列为假命题的是A.若()()A P B A P =，则()()A P B A P =B.若()()A P B A P >，则()()A P B A P >C.若()()B A P B A P >，则()()A P B A P >D.若()()B A A P B A A P ⋃>⋃，则()()B P A P >【答案】选D【解析】A.条件失效，独立，显然成立B.()(|)()()()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B =>⇒>()()1()()()(|()1()1()()()()1()1()()[()1]1()1()P AB P A P B P AB P A B P B P B P A P B P A P B P B P B P A P B P B P A P A --+==---+>--+-=-=-=故B 正确.C.显然()()()P AB P A P B >，()(|)()()P AB P A B P A P B =>故C 正确.D.[()]()()()()()()()()()P A A B P AB P B P AB P AA B P A B P A B P A P B P AB ⋃-⋃===⋃⋃+-∣，()()()P A P B P AB >-，不能说明()()P A P B >，错误.故选D.9.设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本，令121111=,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ==-===-∑∑ ,则A.()()2212,E D nσσθθθ+==.B.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-==.C.()()2212,E D nσσθθθ+≠=.D.()()2212122,E D nσσρσσθθθ+-≠=【答案】B【解析】11ˆ()E E X Y E X EY θμμ=-=-=-.221212ˆ()2Cov(,)2D D X Y D X DY X Y n n nσσσθρσ=-=+-=+-10.设总体X 的概率分布{}{}{}111,23,24P X P X P X θθ-+======利用来自总体X 的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得θ的最大似然估计值为A.1.4B.3.8C.1.2D.5.8【答案】A【解析】()351124L θθθ-+⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()4ln 51ln 52ln 313ln 415ln 213lnln -++--=++-=θθθθθL 令()01513d dln =++--=θθθθL 得1ˆ4θ=二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.若cos ey =则1d d x y x==.【答案】1sin e 2e-.【解析】可得y '=111sin e 2ex x y -=='==.12.5x =_______.【答案】6【解析】5353x x x=+⎰()()352231199622x x =--+-=⎰.13.设平面区域D由曲线y x π=(0≤x ≤1)与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积________.【答案】π4【解析】利用旋转体体积计算公式得()2120ππd πsin d 4baV yx x x x x π===⎰⎰14.差分方程t y t ∆=的通解t y =.【答案】()12t ty t C =-+.【解析】先解齐次差分方程10t t y y +-=，t y C=再设非齐次的解为()*01t y t A At =+，代入差分方程()()()01011t+1t A A t A A t ++-+⎡⎤⎣⎦整理得0112A A t A t++=对比系数后得011212A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得通解()12t ty t C =-+15.多项式12121()211211xx x x f x xx-=-中的3x 项的系数为______.【答案】5-【解析】3x 项为()()1+2+213331415x x x -+-=-，因此3x 项系数为5-16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则,X Y 的相关系数为.【答案】15【解析】3111022EXY EX EY ===221()4DX EX EX =-=，221()4DY EY EY ==-111152220ρ==⋅三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，求a 的值.【解析】()+101lim arctan 1e 2x x a x a x →π⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，()1011lim arctan 12e x x a x a x -→π⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦，由于()101lim arctan 1x x a x x →⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在，得1e=+22e a a ππ+-，得11=e e a ⎛⎫- ⎪π⎝⎭.18.（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x-+=+的极值.【解析】()()()()22222423212411221,04x x x x x y x y x f x y x xx x x ⎡⎤-⋅--+-+-⎣⎦'=+=+-=，()222,02y y yf x y x x'===，得0y =,代入()()()()22222233331211212+2121,0x x x x x x x x x x x x f x y x x x x x x--+-+---+-'=+-====，得1,12x x ==-.故得坐标()1,0,1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.()()()()()2322222236443221[1]32122233,;21,;,.xx xyyy x x x y x x x y f x y x x x x x x y f x y f x y x x-⋅--+⋅--+''=--+-=+''''=-=在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处，得224;0;4,960.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值11,0ln 422f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；在点()1,0-处，得23;0;1,30.0A B C AC B A ===-=>>,取极小值()1,02f -=.19.（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分()()222ed d .x y Dxy x y +-⎰⎰【解析】()()()()()222222222222211sin cos 223sin 2344011111sin 222sin 22224400000002ed d d ecos2d d e cos2d 11111d e d sin 2e d e e d e e 224841e 1.8x y r rr Dr r r r r r r rxy x y r r r rr r r r r r r θθθθθθθθθθππ+++ππ++-===+==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）设n 为正整数，()n y y x =是微分方程()10xy n y '-+=满足条件()()111n y n n =+的解.(1)求()n y x .(2)求级数()1nn y x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】(1)由微分方程()10xy n y '-+=得()1d 1en x n xny x C Cx ++⎰=⋅=代入()()111n y n n =+，得()11C n n =+,故()()111n ny x x n n +=+.（2）1lim1n n na a ρ+→∞==,11R ρ==，当1x =±时，()1n n y x ∞=∑收敛，故收敛域[]1,1-.()()()[]111,1,11n n n S x y x x x n n ∞+===∈-+∑,则有()1111n n S x x x∞-=''==-∑，得()()()()001d 0d 0ln 11xxS x S t t S t x t''''=+=+=---⎰⎰，()()()()()()0d 0ln 1d 01ln 1xxS x S t t S t t x x x '=+=--+=--+⎰⎰.21.设矩阵2101201a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 仅有两不同的特征值，若A 相似于对角矩阵，求,a b 的值，并求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【解析】2210||120()[(2)1]1E b a bλλλλλλ---=--=------A ()2()43()(1)(3)0.b b λλλλλλ=--+=---=当1b =时，1a =，1233,1λλλ===，110110101⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P .当3b =时，1a =-，1233,1λλλ===，101101011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P .22.（本题满分12分）在区间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=.（1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度；（3）求X E Y⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意得，~(0,1)X U ,101,()0.x f x <<⎧=⎨⎩其他（2）221X Y X XZ X -===-;当1z <时，()0z F z =;当1z ≥时，()0z F z =221222{}(1)1d 2.11z P Z z P z P X x X z z +⎧⎫=≤=-=≥==-⎨⎬++⎩⎭⎰ 故22,1(1)()0,Z z z f z ⎧>⎪+=⎨⎪⎩，其他..（3）221112111d 2d (1)1(1)2ln 2 1.E E z z z z z z z X YZ +∞+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰.。

21考研数学三真题详解

21考研数学三真题详解考研数学三，作为考研数学中的一大难点，对很多考生来说都是一个绕不过去的槛。

在这里，我们将为大家详细解析21考研数学三的真题，帮助大家更好地理解和掌握考点。

下面，我们将按照题目的顺序进行逐一解析。

1. 题目一：题目描述：设A与B是n阶矩阵，且满足AB-A=2B。

若C=BA，则下列结论正确的是？解析：首先，我们可以将原方程转化为AB-A-2B=0，进一步整理得到AB-2B-A=0。

然后，我们对C进行展开，得到C=BA。

由此，我们可以推出C-2B-A=0。

综上所述，选项C正确。

2. 题目二：题目描述：设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，请证明在区间(a,b)内存在ξ，使得f'($\xi$)=$\frac{f(\(\xi$)}{$\xi$}\)。

解析：根据题目条件，我们可以利用罗尔定理进行证明。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，在区间闭区间[a,b]上可导，且满足f(a)=f(b)=0，所以存在a<ξ<b，使得f'(ξ)=0。

然后，我们需要利用中值定理来进一步证明。

根据中值定理，存在η∈(a,ξ)，使得$\frac{f(\(\xi$)}{$\xi$-a}\)=f'(η)。

将上述结果代入，我们可以得到f'(η)=$\frac{f(\(\xi$)}{$\xi$-a}\)。

因此，在区间(a,b)内存在ξ，使得f'($\xi$)=$\frac{f(\(\xi$)}{$\xi$}\)。

通过以上的解析，我们可以看出，21考研数学三的真题内容相对较为复杂，需要考生具备扎实的数学基础和一定的解题技巧。

希望大家能够通过这次详解更好地理解和掌握这道题目，并在考试中取得好成绩。

祝各位考生顺利通过考研数学三！。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在【答案】A【解析】f （0，1）＝0，由偏导数的定义()()()()0000,1ln 1sin1,10,1lim lim sin1lim x x x x x f x f fx x xx →→→+-∂===∂，因为0lim 1x x x +→=，0lim 1x x x -→=-，所以()0,1fx ∂∂不存在，()()()1110,10,0,1ln 1lim lim lim 1111y y y f y f f y y y y y y →→→-∂-====∂---，所以()0,1fy ∂∂存在.2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D【解析】当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

2021年全国硕士研究生招生考试数学三真题详细解析

案.
1 0 −1
（7）已知矩= 阵 A
2
−1
1
，若下三角可逆矩阵
P
和上三角可逆矩阵
Q
，使
PAQ
为对角矩阵，
−1 2 −5
则 P ， Q 可以分别取（）
1 0 0 1 0 1
（A）
0
1
0
，
0
1
3
.
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
（B）
2
−1
0
，
0
1
0
.
−3 2 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
（C）
2
−1
0
，
0
1
3
.
−3 2 1 0 0 1
【答案】应选（C）.
1 0 0 1 2 −3
（D）
0
1
0
，
0
−1
2
.
1 3 1 0 0 1
【分析】本题如果希望通过矩阵方程来求得 P ， Q 显然难度较大，但对于客观题，一个计算问题通过
答案验证显然要简单得多。将选项代入快速验算，容易到本题答案为（C）. 【详解】对选项 C,
【详解】对于选项（A），
P( A B) =P( AB) =P( A) ⇒ P( AB) =P( A)P(B) ， P(B)
( ) 事件 A, B 相互独立，即互不干扰，因此易得 P A B = P ( A) ，故 A 正确.
( ) ( ) 对于选项（B）,知 P( A B) = P( AB) > P ( A) ⇔ P( AB) > P( A)P(B) ，若 P A B > P A 成立，则 P(B)

2021年考研数学三真题及答案

2021年考研数学三真题及答案一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小題给出的四个选项中，只有一个选項是符合題目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位■上.)(I)^.γ→()H ・「(/ -LW 是F 的Jo(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无务小・【答知C.【惮解】因为当XT 0时.(e" - IMd= 2x(∕-l)-x',所以是X T高阶无穷小•止确答案为C.(2)函¾/(X)= ■—F'"°,在X = 0 处1.x ≡0{A)连续且职极大值. (B)连续且取极小值.(C)PJ导且导数为O. (Q)可导且导数不为0.【答案】D.【详解】冈为Iim/(x)=Iim-——=I=/(O)・故"x)在X = O处连续：X -*0 x->0 J_ Z 1 x_ _因为Iin√g-∖°) = Iim Y A =Iim NT「工=・故∕r(O) = ^-,正确笞案为D.2 x-0 八。

X-O “Jr 2 2(3)设函数/(x) = αr-61nxU∕>())有两,零点，则仝的取值范围是a(A)(gz)・(B)(O(C)(O I-)・(D)(I,÷x).e e【答案】A.【惮解】令/CV) = αr -AInx = 0 . ∕r(x) = α--> 令f(x) = 0有驻Ax= —∙∕f-=«•—-⅛∙ In-<0 »X a ∖aj a a从rfιiln~>l,可得->c.匸确答案九A.a a(4)设函数f(x,y)可微./(-Y + 1,^) = x(.Y + r)2. /(x,x2) = 2τ2lnr •则妙(1,1) =(A,)dx + dy. (B) d⅛—⑪. (C)Qp. (D)-Qy.【答案】C.【禅解】f∖x + Le x)+e x f：(X + Le x) = (x+1)2+ 2XCV +1) ①X = O X = 1 ..I带入①②式宵U = I/；(IJ)4^(I O=i ・ ∕υj)÷2Λ(iJ)=2£ (x, X 2) + 2.v∕ζ'(.‰ X 2 » = 4-VIn x + ZV联立可得ΛUJ)=O ∙人(M) = I ∙ √f(∣j) = ^(UXv+Λ7i 」肋工心・故止确答案为C ∙⑸一次型/(r 1 ,.r 2,xj = (r 1 ÷ r 2)2 ÷ (.r 2 ÷ r j )2 - (T i « X 1)2的止悄性指数与負惯性指数依次为(A)2,0.(B)IJ.(C)2J.(D)1,2.【答案】B.【详解】/(ΛH .v 2,x 3) = (.Y 1 + x 2)2 +(x 2 +X J )2—(x 3-x 1)2=2Xj + 2X 1X 2 ÷2.τ2x 3 ÷2ΛI X 3'0 1 Γ所以J=I 21 ,故特征多项式为 1 1 0/A ・1 —1HE-JI=-I -2 -1 =(Λ + 1)(Λ-3)Λ-1 -1 Z(B) α∣ + e + +⅛ •【解析】因为A=(a r a 2.a r a 4)为4阶止交矩阵.所以向址组α1,α2,α3,α4是一组标笊止交向:Sfα∩俎•则I(B)=3. XBa 4= α√ αj =0.所以齐次线性方程组BX=O 的通解为而IXJX = α1 ±α2 + a 、+ ka 「其中A 为任总常数.故应选D 1 0-1、(7)ι2知竝阵Zl= 2 -1 I •若卜三用町逆矩阵P 和上三角町逆矩阵Q ・^PAQ 为对和-1 2 -5Z矩阵，则P, Q 可以分别取CeT、T⑹设/l = (α1,α2,α3,αj∕j4μ∕r 止殳矩阵.若走阵B =α21• 0 I<<>I令上式等于零•故持征值为一1・3・0∙故该一次型的止惯性指数为1∙负惯性指数为1.故h ⅛½B.则线性方程组Bx=β的通解X =k 任怠常数.(C)α1+α2+α4+Arα3. 【答案】D.(D)O l + α⅛ +α5 +⅛α4.α2, (α∣÷α2÷<⅞) =9 1 α31X j/故线性方程组BX = P 的通解 B(O l + α2 + α)="0 0、∩ 0 ∩'I 0“ 0 0) (A) 0 1 00 1 3 (B) 2-100 1 0,0 0 I y,0 0 1,「3 2 I yJ) 0 I yrI 01 0 ΓrI 0 0、"2-3、 (C)2-10 9 0 1 3(D) 0 I 0 90-12「3 2 1?<θ 0 1?J 3 I y卫0 1,【答案】C. 【解析】'1 0-1 1 0 0、rI 0 -1 1 0 0、rI 0 -1 1 0 0、(/,£) = 2 -11 0 I 0 → 0 -1 3 -2 I 0 → 0 1 -3 2 -I 0Ll 2-5 0 0 «>0 X 2 -6 1 0 L、0 0 0 一3 2 I丿= (F 1P)JiJP= 2-1 O(8)设力•(A) 若 P(QB) = Pa)•则 P(A ∖B) =P(A). (B) 若P(A ∖B)>P(A). Wl P(A ∖B)>P(A)(C) 若 P(A ∖B)> P{A ∖ B).则 P(A ∣ B) > P(A). (D) 若PaMUE)>P(亦MUB),则P(A)>P(B).【答案】D.P(A U B) P(A U B) P(A)+P(B) -PSB)因为 P(A ∖A{)B)>P(A ∖A{JB)・ ^P(A)> P(B)-P(AB),故止确答案为 D(9)设(S)∙ (X 2,Y 2).…∙ (X a J n )为来自总体N(ggσDd 的简单随机样木.令fl n一 I "0 = μ∖-μ" Jr=-Yy. , F = -Yr. Θ = X^Y 则刃m 力/=10 -1、q 0 0、0 1 -30 1 0O O O → O O 0 1 0 0 1 0 I0 1 00 1 3O<θ O(∖ O IA•则Q= 0 1 3 .故应选C.0 0 1B 为随机事件.且O<P(g)<l ∙下列命题屮不成立的是【详解"(小UB) =寫罟P ⑷+P ⑻" P(AIA W =Pa(AiJR))PE) PW-P {AB)P(A)◎-3 2(A)E(^) = ^・ D@)=气 +6n∖b}E{θ) = θ, D{0)=σ'+σ2 ^2pσ'°2ħ{C)E(Θ)≠Θ. D(4)=S-f ・・.nφ)f(⅛)≠6>. D{β) = σ'^^tσ2^~2^'σj .n【答案】B _ _【详解】因为・匕丫是二维正态分布•所以F 与卩也服从二维正态分布.Wu-F 也服从二维止态分布.BIJ E(ff) = E(X- Y)=E(X^E(Y) = μl ^μ2=θ.D(O) ^D(X-Y)^D(X)^D{Y)-CoV(^Y)-UVP 竺J 故止确答案为 B.n(K))^ 总体.¥分布 ∕jP{Λ = l} = ⅛^. P{X=2} = P{X=3}=^-・利用* 自总体24的样木值1・3・2. 2. 1, 3・b 2.可得0的晟大似然估计值为【答案】A.【惮解】似然函数(⅛3(⅛5>2 4 取对数 In L(O) = 3In (―) -F 5ln(—):24二填空題GMl 共6小題，毎小JKS 分，共30分答赛写在答慝低指定便覽上) HI)心 M 2$ 严.畤 I MJ =(l3)i2Ψ∣tn^A<β∣1ιffi^r = √*∙SLn^(0≤.γ≤ 1) T 工紬W 诙用。