高三数学10月月考试题 文 (2)
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,2U A ==，且U A B U ⋃=ð，则满足条件的集合B 有（ ） A ．3个B ．4个C ．15个D ．16个2．已知命题()002:,log 310xP x R ∃∈+≤，则（ ） A ．P 是假命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+≤ B ．P 是假命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+> C ．P 是真命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+≤ D ．P 是真命题；()2:,log 310xP x R ⌝∀∈+>3．已知()2024sin cos 0π2025θθθ+=<<，则2θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．若函数()ln 1f x x ax =-+的图象在2x =处的切线与y 轴垂直，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为（ ） A ．0x y += B ．20x y -= C ．210x y -+=D ．220x y --=5．已知,a b 是正数，1a b +=，则①14ab ≤，②114a b +≥，③2212a b +≥，④3314a b +≥四个结论中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．已知122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下面正确的是（ ）A ．a b >B ．14a <C．b >D ．12a b -<7．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．528．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向左平移π12后得到的图像关于π(,0)6对称，()f x 在π5π(,)418上具有单调性，则ω的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．32D ．36二、多选题9．已知函数())f x x x =，则下面正确的是（ ） A ．(sin1)(cos1)f f > B ．(sin 2)(cos 2)f f > C ．(sin1)(sin 2)f f >D ．(cos1)(cos2)f f >10．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，b D 是AC 中点，则下面正确的是（ ）A ．ABC VB ．ABC V 周长的最大值为C ．中线BD 长度的最大值为32D ．若A 为锐角，则(1,2]c ∈11．已知函数2()sin sin 2f x x x =，则下面说法正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期；B ．π,02（）是()f x 的对称中心;C ．π4x =是()f x 的对称轴; D ．()f x三、填空题12．不等式12(3)(21)(log 1)0xx x --->的解集为；13．锐角α的终边上有一点()sin 6,cos6P -，则α=；14．定义在R 上的函数()f x 满足：(1)(1)0,(2)(2)2f x f x f x f x ++-=++-=.下面四个结论：①()y f x =具有周期性；②(1)y f x =+是奇函数；③()1y f x =+是奇函数；④(2025)2024f =.其中正确的序号是四、解答题15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，ccos 1A A +=. (1)求角A ；(2)若23a bc =，求5cos sin 62B C ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；16．已知函数()121log 22xx f x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)当0a =时，判断()f x 的奇偶性，并解关于t 的不等式()()112f t f t +>-. 17．已知函数()2cos f x x x x =+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若11π024x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，，使()222f x a a ≤-++成立，求a 的取值范围．18．已知()(1)ln(1)f x ax x x =++-. (1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在实数a 、()0k k ≠，对于定义域内任意x ，均有()()f a x kf a x +=-成立，称数对(),a k 为函数()f x 的“伴随数对”.（1）判断函数()2f x x =是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数()sin f x x M =∈，求满足条件的函数()f x 的所有“伴随数对”； （3）若()1,1、()2,1-都是函数()f x 的“伴随数对”，当12x ≤<时，()cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，当2x =时，()0f x =，求当20142016x ≤≤时，函数()y f x =的解析式和零点.。
黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 PDF版含解析
高三年级10月考数学参考答案一、单项选择题 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A A DA 三、填空题12．0 13．π 14． 4+四、解答题15.（本小题满分13分）解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+所以41n a n =+由34log 141n n a b n =+=+，所以3nn b =（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+125393(41)3nn T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-），所以131(2322n n T n +=--⨯.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理得222sin C sin sin sinA B A B =+222a b c ⇒+-=， 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，因为(0)C π∈，，所以4C π=， 因为sin B C =所以sin B =，因为(02B π∈，，所以3B π=（2）512A B C ππ=--=，sin sin()A B C =+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得a==，b =由21sin 12ABC S ab C ===+△， 得2c =. 17. （本小题满分15分） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x =-=--，0x >，，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=，令2211()(24m x x x a x a =-++=--++ ①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减； ②当104a -<<时，()0m x >x<<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减； ③当0a >时，()0m x >0x<<< 所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减； 9 10 11AD ABD BC综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间； 当104a -<<时， ()g x的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；（2）由()ln f x x x =-，1()xf x x -'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()xg x x -'=由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+<所以max min ()|()|g x f x <，所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立.18. （本小题满分17分）解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+(1)1h b c =+-，2()1(1)1bh x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以2111b c b -=-=-，即1(1)c a =-≥； 所以c 的最小值为1（2）()e x g x =，则()e x g x '= 所以ln (02a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (02a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ()b h x x c x =+-，则()h x在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=- 1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点. 12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 1ln ln e e e a a a b a a a b a -++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a '=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->. 2.0∆≤即0c <≤在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a b a a a -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a -->. 综上所述，e a b a -的取值范围为22e (e )-+∞， 19．（本小题满分17分） （1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； 由214b b q ==，313(1)141bq T q -==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2n n b =. 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==，3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=.3574812c c c +=+==，所以1k =.（2）221233(363)(222)222nn n n n n n M S T n ++=+=+++++++=+- 231nn M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合，令233222n n r n n =+-⋅-1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥时，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>> 所以有且只有1n =符合.（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ 22221111()(32(313)2(313)2(323)2n n E +=-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ 21116(63)2n n +=-++16>-. .试题参考答案一．单选题1.【解析】选B.{|2}{|12}U A x x A B x x ==< ≤，≤ð，故选B.2. 【解析】选C.0a <且0b <⇒0a b +<且0ab >，反之也成立，故选C.3. 【解析】选C.12(43i)(i)=(4-3)+(4+3)i z z a a a ⋅=++为实数，所以430a +=所以43a =-，故选C. 4. 【解析】选D.因为|||2|-=+ab a b 平方得，21||2⋅=-a b b ，a 在b 方向上的投影向量为1||||2⋅⋅=-a b b b b b ，故选D. 5. 【解析】选A.53357S a a =⇒=，453623a a a a +=+=，所以616a =，所以63363a a d -==-，故选A.6. 【解析】选A.由2sin cos αα+=两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，所以4sin cos αα233cos 2α-=-所以2332sin 2(2cos 1)cos 222ααα=-=所以3tan 24α=.故选A. 7. 【解析】选D.因为ln()ln ln ln ln 3333xy x y x y +==⋅故选D.8. 【解析】选A.设零点为(01]t ∈，，则ln 0at b t ++=，()a b ，在直线ln 0xt y t ++=上， 22a b +的几何意义为点()a b ，到原点距离的平方，其最小值为原点到直线ln 0xt y t ++=的距离d 的平方，222ln 1t d t =+， 设22ln ()1t g t t =+，22222ln (12ln )()0(1)t t t t g t t t +-'=<+所以()g t 在(01]，单调递减，所以min ()(1)0g t g ==.故选A.二．多选题9.【解析】选AD.|||2i ||2|z z y y -==知A 对C 错，222222i z x xy y x y =+-≠+，故B 错，||||||z x y =+成立，故选AD.10. 【解析】选ABD.由21((0)22n d d S n a n d =+-≠及二次函数的性质知A B ，为真，对D 知100a d <<，从而{}n S 是递减数列，对C ：1258--- ，，，，满足{}n S 是递减数列，但0n S <不恒成立，故选ABD .11. 【解析】选BC.对A ：(0)1()1(0)2f f f π===，A 错，对B ，令sin x t =，21()sin sin 1f x x x =-++，210t t -++=则sin [02]t x x π==∈，，，有两个实根.B 对.对C ：232()sin cos f x x x =+，22()2sin cos 3cos sin f x x x x x '=-，令2()0f x '=即2cos sin 203x x ==，，2cos 3x =的两个根为123(0)(2)22x x πππ∈∈，，，，sin 20x =的根为30222ππππ，，，，，所以2()f x 的极小值点为12x x π，，，C 对.对D ：22(2)()f x f x π+=，所以2()f x 为周期函数，但232()sin cos f x x x =+，232()sin cos f x x x π+=-，22()()f x f x π≠+，D 错.三.填空题12.【解析】0.()()f x f x -=特值()()f a f a -=即cos cos |2|a a a =-所以0a =.13.【解析】π.21cos 2cos 2x x +=与cos(2)4x π-的最小正周期相同，14.【解析】4+解1：设|+a b |x =，||-a b y θ=<，，a b >=，254cos [13]x x θ=+∈，，，254cos [13]y y θ=-∈，，且2210x y +=，设x y ϕϕ==，，其中sin ϕ，则)4x y πϕ+=+，当4πϕ=，x y ==时x y +取得最大值当cos sin ϕϕ==即3x =，1y =时x y +取得最小值4,所以最大值与最小值之和为4+.解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系四.解答题15.解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，…………………………… …1分当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+……3分所以41n a n =+…………………………………………………………… ……4分由34log 141n n a b n =+=+，所以3n n b =………………………………6分（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+ …………………………………………………7分125393(41)3n n T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ……………9分 ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ ……………………10分 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-）， 所以131(2322n n T n +=--⨯. …………………………………………13分16.解：（1）因为222sin C sin sin sin A B A B =+222a b c ⇒+-=，…2分由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， (0)C π∈，，所以4C π=， …4分因为sin B C =所以sin B =， ………………………………………6分 因为(0)2B π∈，，所以3B π= …………………………………………………7分（2）512A B C ππ=--= ……………………………………………………………8分sin sin()A B C =+=…………………………………………………10分sin sin sin a b c A B C ==得a ==，b = ………12分由21sin 12ABC S ab C ===+△， …………………………14分得2c =. ……………………………………………………………………15分 （17） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x=-=--，0x >，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=， ………………………………………………………2分 令2211()(24m x x x a x a =-++=--++①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减；②当104a -<<时，()0m x >x <<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减；③当0a >时，()0m x >0x <<<所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减；……5分 综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间；当104a -<<时， ()g x 的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x 的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；……………………………………………………………………7分 （2）由()ln f x x x =-，1()x f x x-'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x > 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，………………………………………10分 设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()x g x x-'= 由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+< 所以max min ()|()|g x f x <，…………………………………………………………………14分 所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立. ……………………………………15分18. 解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=-，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+………………………………………………………………2分(1)1h b c =+-，2()1(1)1b h x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以21b c -=，11b -=6分即1(1)c a =-≥所以c 的最小值为1. …………………………………………7分（2）()e x g x =-，则()e x g x '=- 当ln (0)2a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (0)2a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ………………………………………………………9分()b h x x c x =+-，则()h x 在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=-1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点.12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 …11分 1ln ln e e e a a a b a a a b a-++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a'=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->.…………………………………14分2.0∆≤即0c <≤时，在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a ba aa -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e]e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a-->.……………………………………………………………………16分 综上所述，e a b a-的取值范围为22e (e )-+∞，………………………………………………17分（19）解：（1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； ……………………………2分由214b b q ==，313(1)141b q T q-==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2nn b =. ……………………………………………………………………4分 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==， 3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=. 3574812c c c +=+==，所以1k =. ………………………………………5分（2）221233(363)(222)222n n nn n n n M S T n ++=+=+++++++=+- …7分231n n M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合， …………………………………………………8分 令233222nn r n n =+-⋅- 1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>>所以有且只有1n =符合. …………………………………………………………11分（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ ………………13分 22231111((32(313)2(313)2(323)2n E =-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ ……………………………………15分 21116(63)2n n +=-++16>-.………………………………………………17分。
贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 为纯虚数，且满足22z z -=，则z =（ ）A ．2i 3±B ．2i 3C ．i -D ．i2．已知集(){}(){}222,|log 1,,|4A x y y x B x y x y ==-=+=，则A B U 的非空真子集个数为（ ）A ．13个B ．14个C ．15个D ．16个3．已知函数()2x f x e x =+在点()()0,0f 处的切线为直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为多少（ ）A ．12B ．1C ．2D ．234．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为32，若再往容器中放入一个半径为34的实心铁球，则此时水面的高度为（ ） A ．52 B ．73 C ．10564 D ．2785．心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，a ，80，83，81，85，b 平均数为80分且a ，b 是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ）A ．79B ．80C ．81D ．826．若单位向量,a b r r 满足,120a b 〈〉=︒r r ，向量c r 满足()()c a c b -⊥-r r r r ，则a c b c ⋅+⋅r r r r 的最小值为（ ）A B C D 7．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，68795÷=⋅⋅⋅；9712÷=⋅⋅⋅；1701÷=⋅⋅⋅将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式216817175=⨯+⨯+就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的116，其个位数是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．1 8．已知双曲线222:1y C x b-=，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线（0,0p p x y >>），交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当2OPA S =△时，该双曲线的离心率为（ ）AB ．CD ．9．若实数0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0.30.3a b <B ．lg lg a b >C ．1111a b <-- D二、多选题10．已知非常数函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x f y f xy xy x y =++，则（ ）A ．()00f =B ．()12f =-或()11f =C ．()f x x 是{}0x x x ∈≠R 且上的增函数D ．()f x 是R 上的增函数 11．芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈）A ．()()|PB P B A >B ．()()||P A B P A B >C ．()5.35 5.550.84P ξ<<≈D ．()45P m =取得最大值时，M 的估计值为54三、填空题12．若直线l ：2y x =与圆C ：22230x y x +--=交于A ，B 两点，则AB =.13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,0中心对称，且当1x ≥时，()2f x x a =+，则()0f =.14．已知正方体12345678A A A A A A A A -的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点i A ，设这24个点中与i A 距离最小的三个点为,,i i i P Q R ，从正方体中切去所有四面体1,2,8,,i i i i A PQ R i =L ，得到的几何体的外接球表面积是．四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值. 16．已知函数321()3f x x bx cx bc =-+++. (1)若函数()f x 在1x =处有极值43-，求,b c 的值； (2)若函数()()()2g x f x c x b =-+-在[4,)x ∈+∞内单调递减，求b 的取值范围．17．已知四棱锥P ABCD -的底面是一个梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2CD =，3PA PD ==，PB PC ==(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PA D --的余弦值.18．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<，且不同对阵的结果相互独立.(1)若0.6p =，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．已知集合{}123,,,...,n E x x x x =，记{}2|E S S E =⊆，{}\|,X Y x x X x Y =∈∉，N 是自然数集∙称函数:2N E h →，若对于任意S E ⊆，()N h S ∈；∙称函数:2N E h →是单调的，若对于任意X Y E ⊆⊆，()()h X h Y ≤；•称函数:2N E h →是次模的．．．，若对于任意X Y E ⊆、,()()()()h X Y h X Y h X h Y +≤+U U 已知函数:2N E f →是次模的．．．． (1)判断f 是否一定是单调的，并说明理由；(2)证明：对于任意X Y E ⊆⊆，\e E Y ∈，{}()(){}()()f X e f X f Y e f Y -≥-U U ；(3)若f 是单调的，k 是正整数，k n ≤，记}{|F S S k S E =⊆恰含有个元素，，已知集合S F*∈满足()(),f S f S S F *≤∀∈．初始集合M =∅，然后小明重复k 次如下操作：在集合\E M 中选取使得{}()f M e U 最小的元素e 加入集合M ，最终得到集合M F *∈．证明：()()f M kf S **≤。
四川省南充市南充高级中学2024-2025学年高三上学期10月检测数学试题(含答案)
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．4．考试结束后将答题卡交回．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设l ，m 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则3．若，则（ ）ABC ．D ．4．如图，在正方体中，M ,N 分别为DB，的中点，则直线和BN 夹角的余弦值为（ ）ABC ．D ．sin θ=π4θ=αβγl α∥m α∥l m ∥l α∥l β∥αβ∥l α⊥m α⊥l m∥αγ⊥βγ⊥αβ∥sin 2αα-+=()tan πα-=1111ABCD A B C D -11AC 1A M 23135．在三棱锥中，，则是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）A．B ．C ．D ．7．已知函数，若正实数a ，b 满足，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．98．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S 是及其内部的点构成的集合．设集合，则集合T 所表示的曲线长度为（ ）A ．B ．CD ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分．）9．函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．的图象关于点对称D ．在区间上单调递增10．对于随机事件A 和事件B ，,，则下列说法正确的是（ ）A ．若A 与B 互斥，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若A 与B 相互独立，则D ．若A 与B 相互独立，则11．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对S ABC -()()20SC SA BS SC SA ++-=ABC △38295934()3f x x =()()490f a f b +-=11a b+P ABC -ABC △{}5T Q S PQ =∈=5π2ππ()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭2ω=π6ϕ=()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭()0.3P A =()0.4P B =()0.3P AB =()0.7P A B = ()0.12P AB =()0.7P A B =角线AC 和BF 上移动，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．，使B ．线段MN存在最小值，最小值为C ．直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D ．，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．)12．复数的共轭复数______．13．已知向量,,,当时，向量在向量上的投影向量为______．（用坐标表示）14．已知在中，满足,点M 为线段AB 上的一个动点，若的最小值为-3，则BC 边的中线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）如图,四边形ABCD 为矩形,且,,平面ABCD ,,E 为BC 的中点．（1）求证：；（2）求四棱锥的外接球体积．16．（15分）的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知．（1）求角A 的值；（2）若，，求b ,c ．17．（15分）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与(0CM BN a a ==<<(a ∃∈12MN CE=23(a ∀∈2i12iz +=-z =()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥b c ABC △34AB ACAB AC +=MA MC ⋅ 2AD =1AB =PA ⊥1PA =PE DE ⊥P ABCD -ABC △cos cos a B b A b c -=+a =ABC △“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为,,，在实践技能考试中“合格”的概率依次为,,，所有考试是否合格互不影响．（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．18．（17分）为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,…，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．19．（17分）如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，．（1）若为等边三角形，证明：平面平面ABC ；(2)若二面角的平面角为，求以下各值：①求点到平面的距离；②求平面与平面所成角的余弦值．453423122323[)40,50[)50,60[]90,100[)50,60[)60,70z 2s 111ABC A B C -2AB =ABC △1ABA △1π2ACB AA B ∠=∠=1A BC △1AAB ⊥1A AB C --π31B 1ACB 11B AC 1ACB南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷参考答案题号1234567891011选项BCACDBABACDBCAD12．-i 13． 1415．【详解】(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又平面ABCD ,且平面ABCD ,∴,又∵,∴平面PAE ,又平面PAE ,∴．(2)∵平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形∴的外接球直径∴,故：∴四棱锥．16．【答案】(1)(2)2，2【分析】（1）∵，由正弦定理可得：,∵,∴，即，∵，∴，∵，∴．（2）由题意，，所以，由，得，所以，解得：．17．【详解】（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，在实践考试中合格依次为，，，设甲没有获得执业医师证书的概率为P．()1,2,1-1EC CD ==DCE △45DEC ∠=︒45AEB ∠=︒90AED ∠=︒DE AE ⊥PA ⊥DE ⊂PA DE ⊥AE PA A = DE ⊥PE ⊂DE PE ⊥PA ⊥P ABCD -2R R =3344ππ33V R ===P ABCD -2π3cos cos a B b A b c -=+sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B -=++2sin cos sin B A B -=sin 0B ≠1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =1sin 2ABC S bc A ===△4bc =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++()2216b c a bc +=+=4b c +=2b c ==1A 1B 1C 2A 2B 2C ()1241311525P P A A =-=-⨯=（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，并且与，与，与相互独立，则,,由于事件，，彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，概率为18．【答案】(1)0.030 (2)84 (3)平均数为62；方差为23【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得．（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84；（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为19．【答案】(1)见解析【分析】（1）设AB 的中点为E ，连接CE ，,如图所示，因为与均为等腰直角三角形，，故,且,,因为为等边三角形，故,12A A 12B B 12C C 1A 2A 1B 2B 1C 2C ()12412525P A A =⨯=()12321432P B B =⨯=()12224339P C C =⨯=12A A 12B B 12C C ()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++21421421411115295295293P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[)40,800.050.10.20.30.65+++=[)40,900.050.10.20.30.250.9++++=()80,90m ∈()0.65800.0250.75m +-⨯=84m =[)50,601000.110⨯=[)60,701000.220⨯=10562065621020z ⨯+⨯==+()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+1A E ABC △1ABA △1π2ACB A AB ∠=∠=cos 45BC AB ==︒=CE AB ⊥112CE AB ==1112A E AB ==1A BC △1AC BC ==故,即,且AB ，平面，，故平面,且平面ABC ，故平面平面ABC ．（2）①由（1）知，，,且平面平面,故即二面角的平面角，即，故为等边三角形，则，因为，,,且CE ，平面,所以平面设线段中点为F ,则,,而AB ，平面∴平面,又在三角形中易知：∴又在三角形中，由，，又由知：∴求点到平面．②由①知，平面,而,故平面,且平面,故，则,设和的中点分别为M ,N ,连接MN ，BN ，BM ,则,，故,又因为故，且平面,平面,22211AC CE A E =+1CE A E ⊥1A E ⊂1AA B 1A E AB E = CE ⊥1AA B CE ⊂1AA B ⊥CE AB ⊥1A E AB ⊥1AA B ABC AB =1CEA ∠1A AB C --1π3CEA ∠=1CEA △11CA CE ==CE AB ⊥1A E AB ⊥1A E CE E = 1A E ⊂1CA E AB ⊥1CA E 1A E 1CF A E ⊥AB CF ⊥1A E ⊂11ABB A CF ⊥11ABB A 1CEA △CF =1111111332A BB VC A BB CF S -=⋅==△1A BC 11AC =1BC A B ==1A BC S =△1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△d =1B 1ACB AB ⊥1CA E 1AB A B ∥11A B ⊥1CA E 1AC 1CA E 111A B AC ⊥1B C ==1AC 1B C 11MN A B ∥11112MN A B ==1MN AC ⊥1BC A B ==1BM AC ⊥MN ⊂11A B C BM ⊂1A BC故∠BMN 即二面角-的平面角，且因为，故,则所以．故平面与平面．11B AC B --MN ===11BB AA BC ===1BN B C ⊥BN ===222cos 2BM MN BN BMN BM MN +-∠===⋅11B AC 1ACB。
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题(含答案)
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四川省成都市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（答案在最后）（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{{},21x A x y B y y ====+，则A B = （）A ．(]0,1B ．(]1,2C ．[]1,2D ．[]0,22．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（）A ．12i+B ．12i-C ．2i+D ．2i-3．已知向量,a b 满足222a b a b -=-= ，且1b = ，则a b ⋅=（）A ．14B ．14-C ．12D ．12-4．如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图象，则()f x 的解析式只可能是（）A ．())lncos f x x x =+B ．())lnsin f x x x =+C ．())ln cos f x x x =-D ．())ln sin f x x x=-5．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（）A ．ππ0x y +-=B ．ππ0x y -+=C ．π0x y -+=D ．0x y +=6．在体积为12的三棱锥A BCD -中，,AC AD BC BD ⊥⊥，平面ACD ⊥平面ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=，若点,,,A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π7．若()()sin cos2sin αβααβ+=-，则()tan αβ+的最大值为（）A ．62B ．64C ．22D ．248．设202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===，则（）A ．c a b<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．a b c<<二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-，下列结论正确的是（）A ．20242025S S <B ．202420261a a <C ．2024T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A 与事件13A A 是互斥事件11．已知6ln ,6e n m m a n a =+=+，其中e nm ≠，则e nm +的取值可以是（）A ．eB ．2eC ．23eD ．24e第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若1sin 3α=-，则()cos π2α-=______．13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()()*,n n a n ∈N在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______．14．已知点()()2,0,1,4,A B M N 、是y 轴上的动点，且满足4,MN AMN =△的外心P 在y 轴上的射影为Q ，则点P 的轨迹方程为______，PQ PB +的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设ABC△的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，,BC AC 边上的两条中线,AD BE 相交于点P．（1）求BAC ∠；（2）若2,cos 14AD BE DPE ==∠=，求ABC △的面积．16．（15分）如图，在三棱锥D ABC -中，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，ABD △是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，F 为DC 上一点，且平面BEF ⊥平面ABD ．（1）求证：AD ⊥平面BEF ；（2）若平面ABC ⊥平面ABD ，求平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．（1）根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X ，每天看电子产品超过一小时的人数为Y ，求()P X Y =的值．18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．（1）求曲线()y f x =在3x =处的切线方程；（2）讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性；（3）设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19．（17分）已知椭圆C 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点)和2,3⎛- ⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0M 作不与坐标轴平行的直线l 交曲线C 于,A B 两点，过点,A B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，E ，直线AE 与直线BD 相交于P 点．①求证：点P 在定直线上；②求PAB △面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=，2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=，所以1,01,01c a b ><<<<；当2n >时，()()ln 1ln ln 10n n n +>>->，所以()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，取2023n =，则2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<，所以220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅，即b a <，综上，b a c <<．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令()6ln f x x x =-，则()661xf x x x-=-='，故当()0,6x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()6,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= ，又e n m ≠，不妨设06e n m <<<，解法一：记12,e nx m x ==，设()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈，则()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''在()0,6上恒成立，所以()g x 在()0,6上单调递减，所以()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈，则()()()11212f x f x f x ->=，又因为()1212,6,x x -∈+∞，且()f x 在()6,+∞上单调递减，所以1212x x -<，则1212x x +>，所以e 12n m +>．解法二：由6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+，两式相减，可得e 6ln e n nm m =-，令e (1)n t t m=>，则()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---；令()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->，则()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'，令1ln 1(1)y t t t =+->，则221110t y t t t-=-=>'在()1,+∞上恒成立，所以()g t '在()1,+∞上单调递增，因为()()10g t g ''>=在()1,+∞上恒成立，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即()1ln 21t tt +>-，所以()61ln e 121n t tm t ++=>-．解法三：6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ ，两式相减得e 6lne ln n nmm-=-，212121ln ln 2x x x xx x -+<<-，可得e 12n m +>，三、填空题：79-1n n +24y x =；314．【解】设点()0,M t ，则()0,4)N t -根据点P 是AMN 的外心，(),2P x t -，而22||PM PA =，则2224(2)(2)x x t +=-+-，所以2(2),24t x y t -==-从而得到点P 的轨迹为24y x =，焦点为()1,0F 由抛物线的定义可知1PF PQ =+，因为4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥，即3PQ PB +≥，当点P 在线段BF 上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，所以由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a BAC bc +-∠==，又0πBAC <∠<，所以π3BAC ∠=．（2）因为P 是,BC AC 边上的两条中线AD 与BE 的交点，所以点P 是ABC △的重心．又7,2,AD BE APB DPE ==∠=∠，所以在ABP △中，由余弦定理22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠2227474724333314⎛⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2c =，又π2,3BE BAC =∠=，所以2AE BE ==，所以24b AE ==，所以ABC △的面积为1π42sin 2323⨯⨯⨯=．16．【解】（1）ABD △是边长为2的正三角形，E 为AD 的中点，则BE AD ⊥．且平面BEF ⊥平面ABD ，平面BEF 平面,ABD BE AD =⊂平面ABD ，则AD ⊥平面BEF ．（2）由于底面ABC △为等腰直角三角形，ABD △是边长为2正三角形，可取AB 中点O ，连接OD ，则,OD AB OC AB ⊥⊥．且平面ABC ⊥平面ABD ，且平面ABC 平面ABD AB =，则OD ⊥平面ABC ．因此,,OC OA OD 两两垂直，可以建立空间直角坐标系O xyz -．ABD △是边长为2的正三角形，则可求得高3OD =．底面ABC △为等腰直角三角形，求得1OC OA OB ===．可以得到关键点的坐标()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,3A B C D -由第（1）问知道平面BEF 的法向量可取(0,3AD =-．设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，且()(1,1,0,1,0,3BC CD ==- ，则m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则030x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得()3,3,1m = ．则2321cos ,727m AD m AD m AD⋅〈〉==⨯⋅ ．则平面BEF 与平面BCD 夹角的余弦值为217．17．【解】（1）零假设0H 为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，推断0H 不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为ξ，则()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是6991．（3）依题意，()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=，事件1X Y ==包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=．18．【解】（1）切点为()3,ln4．因为()11f x x '=+，所以切线的斜率为()134k f ='=，所以曲线()y f x =在3x =处的切线方程为()1ln434y x -=-，化简得48ln230x y -+-=；（2）由题意可知()()ln 1F x ax x =-+，则()F x 的定义域为()1,-+∞，()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++当0a ≤时，()101F x a x '=-<+，则()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0a >时，令()0F x '=，即10ax a +-=，解得11x a=-，若()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+；若()111,01ax a x F x a x +--'>=>+，则()F x 在11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（3）证明：函数()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()g x 的定义域为()(),10,-∞-+∞ ．若存在m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称，则()(),10,-∞-+∞ 关于直线x m =对称，所以12m =-由()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211ln ln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+．可知曲线()y g x =关于直线12x =-对称．19．【解】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，代入已知点的坐标，得：312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=．（2）如图：①设直线l 的方程为()20x my m =+≠，并记点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y，由222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()223420m y my ++-=，易知()()222Δ16832410m m m =++=+>，则12122242,33m y y y y m m --+==++．由条件，()()12,0,,0D x E x ，直线AE 的方程为()1212y y x x x x =--，直线BD 的方程为()2121y y x x x x =--，联立解得()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++，所以点P 在定直线3x =上．②0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△，而121212my y y y =+，所以()121212my y y y =+，则1211211224PABy y S y y y +=-=-=△令t =，则1t >，所以21222224PAB t S t t t=⋅=⋅≤++△，当且仅当t =时，等号成立，所以PAB △面积的最大值为4．。
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}2230B x x x =-->，则A B =U （ ）A ．()3,+∞B ．（1，3）C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知515S =，735S =，则1a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-3．已知边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则AF AE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在复平面上，复数1i2ia +-所对应的点在第二象限，则实数a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．35．已知 πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．−23B ．13-C ．23D ．136．“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22220b c a +-=，则sin B 的最大值为（ ）A B ．13C ．12D ．238．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lge 0.4343≈） A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.1159．已知函数()f x 的定义域为R ，存在常数()0t t >，使得对任意x ∈R ，都有()()f x t f x +=，当[)0,x t ∈时，()2tf x x =-．若()f x 在区间()3,4上单调递减，则t 的最小值为（ ） A ．3B ．83C ．2D ．8510．设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A K ，B K ，规定(),(A BK K A B AB ABϕ-=为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误．．的是（ ）. A ．函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； B ．存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； C ．设A ，B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；D ．设A ，B 是曲线e (x y =是自然对数的底数)上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，则(), 1.A B ϕ>二、填空题11．812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项的系数是．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则双曲线的离心率为．13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示．①函数()f x 的最小正周期为；②将函数()f x 的图象向右平移(0)t t >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是．14．已知函数()sin 2cos (0)f x x x ωωω=->，且()()f x f xαα+=-.若两个不等的实数12,x x 满足()()125f x f x =且12min πx x -=，则sin 4α=.15．已知函数1,,122()111,0,242x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，3()sin 22(0)32g x a x a a ππ⎫⎛=+-+> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①函数()f x 的值域为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦②函数()g x 在[0,1]上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[0,1]内恒有解； ④若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数 a 的取值范围是5495a ≤≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数()()πcos sin ,0.6f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且满足_________.（在下列三个条件中任选一个，并解答问题） ① 函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2；② 函数()f x 的图象相邻两个最大值之间的距离为π； ③ 已知12x x ≠，()()1214f x f x ==，且12x x -的最小值为π2. (1)求函数()f x 的对称中心坐标；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.17．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)18．四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，3PA PB ==，1,2,3BC AB AD ===，O 是AB 的中点(1)求证：CD ⊥平面POC(2)求二面角C -PD -O 的平面角的余弦值(3)在侧棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由19．已知函数()2ln f x ax x x =+（R a ∈）图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直．(1)求实数a 的值；(2)若存在Z k ∈，使得()f x k >恒成立，求实数k 的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)A -在C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(2,1)B -且斜率为k 的直线交椭圆C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，试用含k 的代数式表示()()1222x x ++；(3)在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线AQ 相交于点M ，证明：线段PM 的中点在定直线上.21．已知n 为正整数，数列X ：12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12n S X x x x =++⋅⋅⋅+．对于数列X ，总有{}0,1k x ∈，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称数列X 为n 项0-1数列．若数列A ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅，B ：12,,,n b b b ⋅⋅⋅，均为n 项0-1数列，定义数列*A B ：12,,,n m m m ⋅⋅⋅，其中1k k k m a b =--，1,2,,k n =⋅⋅⋅．(1)已知数列A ：1，0，1，B ：0，1，1，直接写出()*S A A 和()*S A B 的值；(2)若数列A ，B 均为n 项0-1数列，证明：()()()**S A B A S B =； (3)对于任意给定的正整数n ，是否存在n 项0-1数列A ，B ，C ，使得()()()***2S A B S A C S B C n ++=，并说明理由。
四川省德阳天立学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
四川省德阳天立学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题 1．复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）． A ．2B ．1C ．23D ．1-3．函数()()π21sin 3221xx x f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若0,0m n >>，且3210m n +-=，则32m n+的最小值为（ ） A ．20B ．12C ．16D ．255．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞U B ．3,1][,[01]--U C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立7．已知8log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b <<D ．a b c <<8．已知直线(R,0)y ax b a b =+∈>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +=（ ） A ．2B ．12C ．eD ．1e二、多选题9．已知函数()π3sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2π3B ．函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．直线π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴D ．函数()f x 的图象可以由函数()3sin 3g x x =的图象向左平移π4个单位长度而得到10．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X 表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（ ）A ．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人B ．随机变量57,7X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的数学期望为157D ．若事件A =“抽取的3人都感兴趣”，则()27P A = 11．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->三、填空题12．()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）.13．设函数()ln 2f x x x =+-的零点都在区间[](),,,a b a b a b ∈<Z 内，则b a -的最小值为． 14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种．（用数字作答）四、解答题15．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．16．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.17．已知函数()21ln (R)2=-+∈f x x a x b a ． (1)若2a =-，12b =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程(2)讨论函数()f x 的单调性(3)若20a -≤<，对任意两个不同的(]12,0,2x x ∈，不等式()()121211f x f x m x x -≤-恒成立，求m 的最小值．18．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设,,a b m +∈∈Z N 且1m >．若()ma b -∣，则称a 与b 关于模m 同余，记作(mod )a b m ≡（“|”为整除符号）．(1)解同余方程：()()220mod3Z x x x +≡∈；(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 a n ，其中123n a a a a <<<<L ． ①若()1+n n n b a a n +=-∈N ，数列 b n 的前n 项和为n S ，求4048S ； ②若()2321tan tan n n n C a a n +++=⋅∈N ，求数列{}n C 的前n 项和n T ．。
四川省广安市友实学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
四川省广安市友实学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}(){},|4,,|2S x y x y T x y x y =+==-=，那么集合S T ?（ ）A ．{}3,1B ．()3,1C ．3,1x y ==D ．(){}3,12．已知函数210()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[)1,-+∞3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知386,72a S ==，则6a 的值为（ ） A ．64B ．14C ．12D ．34．已知()221xax f x =-为奇函数，则()1f =（ ）A ．23B ．23- C ．2D ．-25．函数()log 31(0,1)a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A．4 B ．C ．D ．86．若sin 2cos θθ=-，则sin (sin cos )θθθ+=（ ） A ．65-B ．25-C ．25D ．657．定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,1)x ∈-时，0.5log (1),10()=||,0<<1x x f x x x --≤≤⎧⎨-⎩，若在区间[0,5]上函数()()g x f x mx =-恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,35⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．若12sin 33a =+，11cos 318b =+，则（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．1b a >>D ．1b a >>二、多选题9．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．4m =C ．可以预测，当11x =时，y 约为2.6D ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,410．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3b =，π3A =，则（ ）A ．4c =B ．ABC V 的周长为7C ．sin CD ．ABC V 外接圆的面积为13π311．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->三、填空题12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．13．定义{},min ,,a a b a b b a b <⎧=⎨≥⎩，设函数(){}2min 221,2f x x x x =-+--，则()f x 的最大值为14．已知函数()21e 12x f x x x =--+对任意一个负数x ，不等式()2114x a f x <-+恒成立，则整数a 的最小值为．四、解答题15．已知数列{}n a 满足113a =，1111n na a ++=+．(1)设1n nb a =，证明：{}n b 是等差数列； (2)设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S ．16．已知在ABC V 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．17．2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：(1)试根据0.05α=的2χ独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？2(χ精确到0.001)；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.18．已知函数()ln f x a x x =-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()1e aa f x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭.19．定义：如果函数()y f x =和()y g x =的图像上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系．(1)判断函数()()22log 8f x x =和()12log g x x =是否具有C 关系；(2)若函数()f x =()1g x x =--不具有C 关系，求实数a 的取值范围；(3)若函数()e xf x x =和()()sin 0g x m x m =<在区间()0,π上具有C 关系，求实数m 的取值范围．。
数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
山东省泰安第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
山东省泰安第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．设集合{}{}21,3,2,1,M a N a =+=，若{}1,4M N =I ，则a =（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．2±2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3i z +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -3．在平行四边形ABCD 中，AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，，点E 为CD 中点，点F 满足2AF FB=u u u r u u u r ，则EF =u u u r （ ）A ．16a b -r rB ．1233a b +r rC ．1233a b --r rD ．1233a b -+r r 4．已知0,0a b >>，则“2a b +>”是“222a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知a ()(()sin sin sin sin A B b c B C -=+，则ABC V 外接圆的半径为（ ） A ．1 BC ．2 D6．某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R 与可见叶片数x 进行分析研究，其关系可以用函数15e ax R =（a 为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（ ）（参考数据：ln20.7≈，ln5.5 1.7≈）A ．15B ．16C ．17D ．187．函数3214,0,()3cos ,0,x ax a x f x ax x x ⎧+-+>⎪=⎨⎪+≤⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[]1,3D ．(1,3)8．已知函数()()sin f x x ωθ=+π20,||ωθ⎛⎫< ⎪>⎝⎭，(0)f =，函数()f x 在区间2π,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．4,25⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．45,54⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,15⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,24⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．命题“0x ∃>，210x x ++≥”的否定是0x ∀≤，210x x ++<B ．满足{}{}11,2,3M ⊆⊆的集合M 的个数为4C ．已知lg3x =，lg5y =，则lg 452x y =+D ．已知正方形OABC 的边长为1，则()()5OA OB CA CB +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r 10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．已知函数()e ,R x f x ax x =+∈，则（ ）A ．当0a >时，函数()f x 在R 上一定单调递增B ．当3a =-时，函数()f x 有两个零点C ．当0a <时，方程()1f x a=一定有解 D ．当0a =时，()ln 2f x x ->在()0,∞+上恒成立三、填空题12．已知函数()()121x f x a a =-∈-R 为奇函数，则实数a 的值为. 13．已知π02βα<<<，()4cos 5αβ-=，1cos cos 2αβ=，则11tan tan αβ-=.14．已知函数()3,01,ln ,1,x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩若存在实数12,x x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则216x x -的取值范围为.四、解答题15．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，AC =AD =2π3CAD CBA ∠∠==.(1)求cos BCA ∠；(2)求BD .16．已知函数32()31f x x x ax =-+-.(1)若()f x 的图缘在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,0)，求0x ；(2)12,x x 为()f x 的极值点，若()()122f x f x +>-，求实数a 的取值范围.17．已知函数2()2sin cos f x x x x =+R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(0)2ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；(3)若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+. (1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC V 的周长；(3)当ABC V 内切圆半径为1时，求ABC V 面积的最小值. 19．已知函数()e ,()ln (,)x f x a g x x b a b ==+∈R .(1)当1b =时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)已知直线12l l 、是曲线()y g x =的两条切线，且直线12 l l 、的斜率之积为1.（i ）记0x 为直线12 l l 、交点的横坐标，求证：01x <； （ii ）若12 l l 、也与曲线()y f x =相切，求,a b 的关系式并求出b 的取值范围.。
陕西省西安2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
天津市静海区第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
天津市静海区第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合 {}{}2|20,|128,xA x x xB x x =--≤=≤≤∈Z ， 则A B =I （ ）A ．[]1,3-B ．{}0,1C ．[]0,2D ．{}0,1,22．已知0a >，则“3a >”是“3a a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()221f x x x =-+，则使得()()21f f x ->+成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．()1,+∞C ．()(),31,-∞-+∞UD ．()3,1-5．已知3log 15a =，4log 20b =，2log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．b a c >>D ．a b c >>6．已知ππsin 2n 44si αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．12B ．12-C ．34D ．3-7．已知函数e ()xf x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,e]-∞B ．(,e)-∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π6个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数9．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，60BCD ∠=︒，150ADC ∠=︒，3BE EC =，CD =BE F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．2二、填空题 10．已知复数2i1iz -=+（i 为虚数单位），其共轭复数为z ，则z 的虚部为． 11．计算：2lg333528()10log log 4log 527-++=．12．平面向量a r ，b r满足(a =-r，b =ra b -=r r a r与b r 的夹角为．13．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c o s b a C =，30C =︒，=2c ，则ABC V 的面积为．14．已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-. 15．在平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60,90ABC ADC ∠=∠=o o ，若BE EF FG GC →→→→===，则2AE DC AE AF →→→→+=g g ；若P 为边BC 上一动点，当PA PC →→g 取最小值时，则cos PDC ∠的值为．三、解答题16．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长； （3）求πsin(2)4A +的值．17．已知函数()()()2sin πcos cos 0f x x x x =-+>ωωωω，()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求函数()f x 的单调递增区间：(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18．设函数()ln m f x x x=+. (1)当2m =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论()f x 的单调性；(3)若()3f x x ≥-恒成立，求m 的取值范围.19．（1）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2m in e 2,e e 24x xx f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围．（2）已知函数()y f x =，其中2,(0)()(R)ln ,(0)kx x f x k x x +≤⎧=∈⎨>⎩，若方程|()|0f x k +=有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围．（3）已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，函数()()1g x f x kx =-+有四个零点，则实数k 的取值范围.（4）问题：用数形结合法解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？ 20．已知函数()()1ln 1x x f x x -=+，()()1e a x a a g x +=-（0a >）.(1)当1a =时，求曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()()g x f x ≥对任意[)1,x ∞∈+恒成立，求整数a 的最小值.。
河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{0,2,5}M =，集合{}*N 05N x x =∈≤<∣，则M N =I （ ） A ．{}0,2,5 B ．{}0,2 C ．{}2,5 D ．{}22．若53i1iz +=+，则z =（ ） A ．4i + B ．4i -C ．11i 22+D ．11i 22-3．已知21,e e u r u u r 是单位向量，1212e e ⋅=-u r u u r ，则122e e +u r u u r 与2e u u r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12cm ，则该圆锥的体积为（ ）A．3cm B ．3124πcm C．3cm D ．3168πcm5．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a a b b ++=+（ ）A ．2B ．3C ．5D ．66．已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（ ）AB ．2C D7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0ω>，若()0f =，π5π36f f⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．67D ．238．已知函数1()ln f x x t x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有三个零点，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．随机变量()~3,1X N ，且(24)0.6827P X ≤≤=，则(4)0.15865P x >=B ．随机变量Y 服从两点分布，且1()3E Y =，则(3)2D Y =C ．对a ，b 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8728-，对m ，n 两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a 与b 负相关，m 与n 正相关，其中m 与n 的相关性更强D ．在6(12)y +的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为3210．已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y ∀∈R ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，当[)0,1x ∈时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象关于2x =对称11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点M 为11A D 的中点，点P 为正方形1111D C B A 内一点（包含边界），且//BP 平面1AB M ，球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，下列说法正确的是（ ）A．球O 的体积为4π3B ．点P 的轨迹长度为C ．异面直线1CC 与BP 所成角的余弦值取值范围为⎣⎦D ．三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切三、填空题12．如图，一只蚂蚁位于点M 处，去搬运位于N 处的糖块，M N →的最短路线有条．13．函数11()ln e e 432x x xf x x x--=+--+-，若实数m 满足()()322f m f m +-<-，则m 的取值范围为．14．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M （异于原点O ）在抛物线上，过M 作C 的切线l ，ON l ⊥，垂足为N ，直线MF 与直线ON 交于点A ，点(0,2)B ，则||AB 的最小值是．四、解答题15．在锐角ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，tan (2)tan c B a c C =-． (1)求B ；(2)若b =ABC V 的面积S 取值范围．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是矩形，122BB BC AB ===，1160BCC AC ∠=︒，(1)求证：1B C ⊥平面1ABC ；(2)求平面1AB C 与平面11A BC 所成角的余弦值．17．已知焦距为2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作直线l 与椭圆C 交于B 、D 两点（异于点A ），当BD x ⊥轴时，||1BD =． (1)求椭圆C 的方程；(2)证明：BAD ∠是钝角．18．已知函数()e x f x x a =+的最小值是12e -，()e 1x g x =-．(1)求a 的值；(2)当(0,)x ∈+∞时，()()f x kg x >恒成立，求整数k 的最大值．19．若数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 中任意两个元素i a 和)1(j a i j n ≤≤≤的和j i a a +或差j i a a -，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“T 数集”． (1)判断数集{}1,2,3,4,6M =是否为“T 数集”；(2)已知数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 是“T 数集”，证明： ①10a =； ②122n n na a a a +++=L ． (3)已知数集{}()1212,,0,,3n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 是“T 数集”，现给数集A 添加()*N ,2k k k ∈≥个元素：1n a +，L ，()1n k n k n n a a a a +++>>>L ，若数集A 仍是“T 数集”，证明：212211n k i i i a a a +-=+<⋅∑．。
四川省成都2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
成都高2022级十月月考数学试卷（答案在最后）命题人：注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；2.本堂考试时间120分钟，满分150分；3.答题前考生务必先将自已的姓名､学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂；4.考试结束后将答题卡交回.第I 卷（选择题部分，共58分）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|28}xA x =>，2{|280}B x x x =--≤，则()R A B ⋂=ð（）A.[]2,3- B.(]2,3-C.[]4,3- D.[)4,3-【答案】A 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合3{|22}(3,)x A x =>=+∞，则R (,3]A =-∞ð，又{|(2)(4)0}[2,4]B x x x =+-≤=-，所以()[]R 2,3A B =- ð.故选：A2.命题2:0,10p x x ax ∀>-+>的否定是（）A.20,10x x ax ∀>-+≤B.20,10x x ax ∀≤-+>C.20,10x x ax ∃>-+≤D.20,10x x ax ∃≤-+≤【答案】C 【解析】【分析】由全称量词命题的否定形式即可求.【详解】命题2:0,10p x x ax ∀>-+>的否定是：20,10x x ax ∃>-+≤.故选：C3.已知m ∈R ，n ∈R ，则“228m n +>”是“4mn >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质可得必要性，举反例可说明不充分性，即可求解.【详解】当4mn >时，2228m n mn +≥>，故228m n +>，故“228m n +>”是“4mn >”的必要条件，当228m n +>时，比如1,4m n ==-，但是40mn =-<，故“228m n +>”是“4mn >”的不充分条件，故“228m n +>”是“4mn >”的必要不充分条件，故选：B4.函数()()21cos 2πe 1xf x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性以及π02x <<时()f x 的正负即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()e 1cos e 1x x f x x -=+，()()()e 11e cos cos e 11e x xx xf x x x f x -----=-==-++ ，()f x \是奇函数，排除选项C 和D ，当π02x <<时，()0f x >，排除选项B .故选：A ．5.若,,R a b c ∈，且,0,a b c a b c >>++>则下列命题正确的是（）A.11a b> B.11b ba a+<+C.33c a < D.若0ac <，则22cb ab <【答案】C 【解析】【分析】运用特殊值，结合作差法逐个判断即可.【详解】由于,0,a b c a b c >>++>对于A ，设4,2,1,421,4210,a b c ===>>++>则111142a b =<=，故A 错误；对于B ，设()4,0,1,401,4010,a b c ===->>-++->则11015b ba a+=>=+，故B 错误；对于C ，()()()2332221324a c a c a ac ca c a c c ⎛⎫⎛⎫-=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于a c >，则0a c ->.2213024a c c ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，则330a c ->.则33c a <.故C 正确.对于D ，设()4,0,1,401,4010,a b c ===->>-++->40ac =-<，则220cb ab ==，故D 错误；故选：C.6.下列说法正确的有是（）A.若函数()f x 为奇函数，则()00f =；B.函数()11f x x =-在()(),11,-∞+∞ 上是单调减函数；C.若函数()21y f x =+的定义域为[]2,3，则函数()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D.将()2y f x =的图像向右平移12个单位，可得()21y f x =-的图像【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据奇函数的性质，结合反例，可得答案；对于B ，根据单调性的性质，结合反例，可得答案；对于C ，根据定义域的定义，结合抽象函数的性质，可得答案；对于D ，根据函数平移的运算，可得答案.【详解】对于A ，若()1f x x=，则该函数为奇函数，但在0x =出无意义，故A 错误；对于B ，由2112-<-<<，则()112213f -==---，()12121f ==-，则()()22f f -<，故B 错误；对于C ，由函数()21y f x =+，23x ≤≤，则5217x ≤+≤，所以函数()f x 的定义域为[]5,7，故C 错误对于D ，将()2y f x =的图像向右平移12个单位，可得()12212y f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确.故选：D.7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（）A.116-B.116C.14D.12【答案】D 【解析】【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数，∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-，∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===，故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题.8.定义{}min ,,p q r 表示,,p q r 中的最小值.已知实数,,a b c 满足0,2a b c abc ++==，则（）A.{}min ,,a b c 的最大值是2B.{}min ,,a b c 的最大值是C.{}max ,,a b c 的最小值是2D.{}max ,,a b c【答案】C 【解析】【分析】由题先分析出实数a ，b ，c 一正两负，然后利用基本不等式放缩求出最大值的最小值即可.【详解】因为2abc =，0a b c ++=，所以在a ，b ，c 中，2个为负数，1个为正数，不妨设0c >，则max{,,}a b c c =．因为()()a b c ≤-+-=，所以24c ab ≤，因为0c >，2abc =，所以224c c ≤，324c ≥，则2c ≥，故{}max ,,a b c 的最小值是2，无最大值．故选：C.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 的最大值为1B.+的最大值为2C.21x y+的最小值为 D.2211x y x y +++的最小值为1【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a ba b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，当且仅当=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，的最大值为2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎛⎫⎛⎫=+=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32+，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s t--+=+=-++-+=+++()11111221444t s s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10.函数21()222x x f x +=-+的定义域为M ，值域为[1,2]，下列结论中一定成立的结论的序号是（）A.(,1]M ⊆-∞B.[2,1]M ⊇- C.1M ∈ D.0M∈【答案】ACD 【解析】【分析】先研究值域为[]1,2时函数的定义域，再研究使得值域为[]1,2得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.【详解】由于[]212()222(21)11,2xx x f x +=-+=-+∈，[]2(21)0,1x ∴-∈，[]211,1x ∴-∈-，[]20,2x ∴∈，(],1x ∴∈-∞，即函数21()222x x f x +=-+的定义域为(],1-∞当函数的最小值为1时，仅有0x =满足，所以0M ∈，故D 正确；当函数的最大值为2时，仅有1x =满足，所以1M ∈，故C 正确；即当[]0,1M =时，函数的值域为[]1,2，故(],1M ⊆-∞，故[2,1]M ⊇-不一定正确，故A 正确，B 错误；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.11.若1823,23a b +==，则以下结论正确的有（）A.1b a -> B.112a b+>C .34ab >D.22b a<【答案】BC 【解析】【分析】由对数定义求出,a b ，再根据不等式的性质判断．作差并利用二次函数性质得出结论．【详解】由题意得2log 31a =-，228log 3log 33b ==-，213log 9b a --=-，而2log 93>，∴10b a --<，A 错误；∵0,0a b >>，2a b +=，a b ≠，∴1+1=12(+p(1+1)=12(2++)>+=2，B 正确；2222222(log 31)(3log 3)(log 3)4log 33(log 32)1ab =--=-+-=--+，又2>log 23>log 222=32，∴233(1)124ab >--+=，C 正确；2222222222(3log 3)2(log 31)(log 3)8log 311(log 34)5b a -=---=-+=--，又2223log 3log 27log 325=<=，即25log 33<，257log 34433->-=-，∴2−2=(log 23−4)2−5>−−5=49>0，∴22b a >，D 错误.故选：BC ．第II 卷（非选择题部分，共92分）三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.计算10247((96-+--=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算计算即得.【详解】11022247331(([()]12196222-+--=+-=-=.故答案为：1213.已知函数2()log (1)f x x =+，若1a b -<<，且()()f a f b =，则2a b ++的取值范围是__________.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解.【详解】函数2()log (1)f x x =+，当0x ≥时，2()log (1)=+f x x ，当10x -<<时，2()log (1)f x x =-+，则()f x 在(1,)+∞单调递增，在(1,0)-单调递减，故10a -<<，0b >，由()()f a f b =，则22log (1)log (1)a b +=+，即22log (1)log (1)a b -+=+，所以2log (1)(1)0a b ++=，即(1)(1)1a b ++=，则111b a +=+，所以12(1)(1)(1)(1)a b a b a a ++=+++=+++，令1x a =+，则01x <<，则设函数1()g x x x=+，任取12,(0,1)x x ∈，不妨设1201x x <<<，因为()()12121211g x g x x x x x -=+--()()1212121x x x x x x --=，当1201x x <<<，所以120x x -<，120x x >，1210x x -<，所以()()12121210x x x x x x -->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()g x 在区间(0,1)上单调递减．则当1x →时，(1)2f →，当x →+∞时，()f x →+∞，故2a b ++的取值范围是(2,)+∞故答案为：()2,+∞14.已知不等式ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，则当nm取最大值时，m =__________．【答案】e 【解析】【分析】由题设0m ≠，结合()ln y x m x =-、y x n =+的性质及不等式恒成立得0m >，再构造()()ln f x x m x x =--，利用导数研究其最小值得2000()()m f x f x m x x ≥=--且01(,)e x ∈+∞，根据不等式恒成立得200m m x n x --≥，应用基本不等式求nm最大值并确定取值条件0m x =，此时有000()ln x m x x n -=+恒成立即可求参数值.【详解】由()ln x m x x n -≥+，且0m ≠，若0m <，则()ln y x m x =-在x 趋向于0时，函数值趋向-∞，而y x n =+趋向于n ，此时()ln x m x x n -≥+在(0,)x ∈+∞上不能恒成立，所以0m >，令()()ln f x x m x x =--且(0,)x ∈+∞，则ln ()x x mf x x-'=，令()ln g x x x m =-且(0,)x ∈+∞，则()ln 1g x x '=+，所以10e x <<时()0g x '<，()g x 递减，1e x >时()0g x '>，()g x 递增，则11()()0e e g x g m ≥=--<，且1(0,)e x ∈时()0g x <，x 趋向正无穷时()g x 趋向正无穷，故01(,)ex ∃∈+∞，使000()ln 0g x x x m =-=，即00ln m x x =，所以0(0,)x x ∈时()0g x <，即()0f x '<，0(,)x x ∈+∞时()0g x >，即()0f x '>，所以0(0,)x x ∈上()f x 递减，0(,)x x ∈+∞上()f x 递增，则20000000()()ln ln m f x f x x x m x x m x x ≥=--=--，要使ln ln x x m x x n -≥+对0x ∀>恒成立，只需0()f x n ≥恒成立，所以200m m x n x --≥，即00111x n m m x m ≤--≤-=-，当且仅当0x m x m=，即0m x =时等号成立，结合已知参数比值取最大值，此时0()()f x f m m n ==-=，则0000ln ln 1x x m x x ==⇒=，故0e x =，即0e m x ==.故答案为：e【点睛】关键点点睛：首先确定0m >，再构造()()ln f x x m x x =--研究最小值，根据不等式恒成立有min 0()()f x f x n =≥，结合0()f x n =等号成立条件求参数m 的值.四､解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16､17题每题15分，17､18题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求B ∠；（2）若2b =，求ABC V 周长的取值范围．【答案】（1）π3B =（2）(]4,6【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦差角公式，辅助角公式得到πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合()0,πB ∈，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，结合三角形两边之和大于第三边，得到24a c <+≤，得到周长的取值范围.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故11sin sin sin cos sin sin cos sin sin 2222B A A B B A B A B ⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭，所以1sin sin sin cos 22B A A B =，因为()0,πA ∈，sin 0A ≠，所以13πsin cos sin 0223B B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，因为()0,πB ∈，所以π3B =；【小问2详解】由（1）可知，π3B =，222a c b ac +-=，又2b =，所以224a c ac +=+，由基本不等式得：222a c ac +≥，即42ac ac +≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，等号成立.又()22223416a c a c ac ac +=++=+≤，即04a c <+≤，又2a c b +>=，所以24a c <+≤，所以46a b c <++≤，即ABC V 周长的取值范围是(]4,6.16.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11,4,AB AA D ==是1AA 中点，E 在棱1BB 上，且13BE B E =.（1）求证：平面1C DE ⊥平面11AA C C ；（2）求平面1C DE 与平面ABC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）证明平面1C DE ⊥平面11AA C C ，只需在平面1C DE 内找到一条直线与平面11AA C C 垂直即可，a 根据线面垂直的判定定理易证⊥EF 平面11AA C C .（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面1C DE 与平面ABC 的法向量，然后根据空间角的向量求法求解即可.【小问1详解】设1C D 的中点为F ，过F 作1GG ∥1AA 分别交11,AC A C 于1,G G ，连接EF 、11B G ，则1,G G 分别为11,AC A C 的中点，所以11112FG A D ==，由1114,3BB AA BE B E ===，得11B E =，即11FG B E =，又因为1FG ∥1B E ，所以四边形11B EFG 是平行四边形，所以EF ∥11B G ，因为1G 是11A C 的中点，111A B C △为正三角形，所以1111B G AC ⊥，由正三棱柱的性质得，1AA ⊥底面111A B C ，且11B G ⊂底面111A B C ，所以1111111,B G AA AC AA A ⊥⋂=，111,A C AA ⊂平面11AA C C ，所以11B G ⊥平面11AA C C .又因为EF ∥11B G ，所以⊥EF 平面11AA C C ，EF ⊂平面1C DE ，所以平面1C DE ⊥平面11AA C C .【小问2详解】以BC 中点O 为原点，(11,,OA OC OO O 为11B C 中点）分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1311,0,2,0,,3,0,,4222D E C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易得平面ABC 的一个法向量 1=0,0,1，设向量 s s 为平面1C DE 一个法向量，()1131,,2,0,1,122C D C E ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则由21210,0n C D n CE ⋅=⋅=，得120,022x y z y z --=+=，令1z =，得)21,1n =-，设平面1C DE 与平面ABC 的夹角为θ，则12125cos 5n n n n θ⋅==⋅ .所以平面1C DE 与平面ABC的夹角的余弦值为5.17.已知函数()()()2212ln ,21ln ,2g x x ax x f x x a x a x a a =--=-+++∈R （1）若[]12,2,6x x ∀∈时()()()1212120g x g x x x x x ->≠-，求实数a 的取值范围.（2）当a ∈R 时，讨论()f x 的单调性.【答案】（1）(],1-∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，函数()g x 在[]26,上单调递增，利用导数，并分离参数a 的取值范围；（2）利用导数，分类讨论函数单调性.【小问1详解】依题意可得当[]2,6x ∈时，()0g x '≥恒成立，所以20x a x--≥在[]2,6x ∈上恒成立，即2a x x ≤-在[]2,6x ∈上恒成立，则min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，令()[]2,2,6h x x x x =-∈，由()2210h x x=+>'，知ℎ在[]26,上单调递增，从而()min ()21a h x h ≤==.经检验知，当1a =时，函数()g x 不是常函数，所以a 的取值范围是(],1-∞.【小问2详解】()()221ln f x x a x a x a =-+++，定义域为0,+∞，()()()()21221x x a a f x x a x x--=-++='，令()0f x '=，得12x =或x a =.①当0a ≤时，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；②当102a <<时，当()0,x a ∈和1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减；③当12a =时，′≥0对()0,x ∞∀∈+恒成立，所以()f x 在0,+∞单调递增；④当12a >时，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(),x a ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增；当102a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a 和1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增；当12a =时，()f x 在0,+∞单调递增；当12a >时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭和(),a ∞+单调递增.18.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()3,1P ，焦距为，斜率为13-的直线l 与椭圆C 相交于异于点P 的,M N 两点，且直线,PM PN 均不与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若10MN =，求MN 的方程；（3）记直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，证明:12k k 为定值.【答案】（1）221124x y +=（2）123y x =--（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；（2）设直线l 的方程为13y x m =-+，与椭圆联立，由弦长公式求得MN 的方程；（3）将韦达定理代入12k k 中计算结果为定值.【小问1详解】由题意得2222291122a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得322a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为13y x m =-+，()()1122,,,M x y N x y 由22131124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22469360x mx m -+-=，由()22Δ(6)14440m m =-->，得33m -<<，则212123936,24m m x x x x -+==.102MN ===解得2m =或2m =-当2m =时，直线1:23l y x =-+经过点()3,1P ，不符合题意，舍去；当2m =-时，直线l 的方程为123y x =--.【小问3详解】直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以123,3x x ≠≠，则0m ≠且2m ≠，所以()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()212121212111(1)9339x x m x x m x x x x --++-=-++()222221936131(1)3619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+为定值.19.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[)1,+∞上的极值；（2）过点()1,0P 可作函数()f x 的两条切线，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）0ea <<（3）[)1,+∞【解析】【分析】（1）求出()e xf x a '=-，分e a ≤、e a >讨论，可得答案；（2）先设出切点()000,e xQ x ax -，再写出切线的方程，利用切线过()1,0P 得到关于0x 的方程()002e x a x =-，构造函数()()0002e ,x g x x =-从而将切线的个数问题转化成()0y g x =与y a =有2个交点问题，从而得解；（3）由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设1212e e 0x x ax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，求出2x ，1x ，将其代入1211x x λλ+>+得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，再利用导数分1λ≥、01λ<<讨论可得答案.【小问1详解】由()e x f x ax =-知()e xf x a '=-，1）当e a ≤时，且有[)()()1,,0,x f x f x ∞∈+≥'单调递增，故无极值；2）当e a >时，有()()()1,ln ,0,x a f x f x ∈<'单调递减，而()()()ln ,,0,x a f x f x ∞'∈+>单调递增，故()()()ln ln ,f x f a a a a f x ==-极小值无极大值.综上，当e a ≤时，()f x 无极值；当e a >时，()f x 极小值为()ln ,a a f x -无极大值；【小问2详解】设点为()000,e xQ x ax -为函数()f x 图象上一点，则以点Q 为切点的切线l 方程为：()()()0000e e xxy ax ax x --=--，又l 过点()1,0P 则：()()()00000e e 1xxax a x --=--，即()002e xa x =-，令()()0002e ,xg x x =-则()()0001e xg x x =-'，当01x <时()00gx '>，则()0g x 为增函数；当01x >时()00g x '<，则()0g x 为减函数，则()()0max 1e g x g ==，0x →+∞时，()00;gx x ∞∞→-→-时，()00g x →，故0e a <<.【小问3详解】由（1）可知当e a >时，()()ln 1ln 0f a a a =-<，()010f =>，且(),x f x ∞∞→+→+，由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知1212e e 0x xax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x xx x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即21ln ln ,11t t t x x t t ==--，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得()()()11ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()()()2222111(1)(1)(1)t t F t t t t t λλλλ'--+=-=++，1）当1λ≥时，且()1,t ∈+∞，有()()22(1)0,(1)t F t F t t t λ-≥>+'单调递增，()()10F t F >=，满足题设；2）当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()()0,F t F t '<单调递减，()()10F t F <=，不满足题设；综上，λ的取值范围为[)1,+∞【点睛】关键点点睛：第三问解题关键点是，将问题化为函数()()()11ln 01t F t t t λλ+-=->+，从而得解.。
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B =I （ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,2 2．复数2i 12i-+的共轭复数是（ ） A ．3i 5- B ．3i 5C ．i -D ．i 3．若2b a =r r ，=-r r r c a b ，且c a ⊥r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ） A ．()sin sin sin αβαβ+<+B ．()sin cos cos αβαβ+<+C ．()cos sin sin αβαβ+<+D ．()cos cos cos αβαβ+<+5．将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A ．3BCD 6．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A ．114B ．120C ．126D ．1327．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e8．已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1.5二、多选题9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A ．数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B ．已知随机变量(),X B n p :，若()40E X =，()30D X =，则160n =C ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12- D ．若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立10．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．有三条边相等的四边形D ．有一组对角相等的四边形11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B ．若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅ C ．存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．当02a x ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点三、填空题12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =．13．已知函数()()sin ,0,2π2cos x f x x x=∈+，写出函数()f x 的单调递减区间． 14．掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为；（2）恰好得n 分的概率为．（用与n 有关的式子作答）四、解答题15．已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤u u u r u u u r 设AB u u u r 和AC u u u r 的夹角为θ，(1)求θ的取值范围；(2)求函数()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭的值域． 16．如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4的菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)求二面角A PB C --的正弦值．17．已知函数()()2e ln 0x a f x a a x-=+> (1)当e a =时，求曲线y =f x 在点 1,f 1 处的切线方程；(2)若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 19．设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．(1)设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数 ① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 的单调性；(2)已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．。
北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B =U （ ）A ．()1,-+∞B ．(]1,2-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(]()21,3-∞--U ，2．若1tan(π)2x -=，则πcos 2x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．B ．C ．D 3．已知0.327πlog 1.41, 1.7,cos 3a b c ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，若E 为AD 的中点，则CE =u u u r（ ）A ．1544AB AC --u u ur u u u rB ．1344AB AC --u u ur u u u rC ．1544AB AC -u u ur u u u rD ．1344AB AC -u u ur u u u r5．已知数列{}n a 是10a >的无穷等比数列，则“{}n a 为递增数列”是“2k ∀≥且*k ∈N ，1k a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，则24a a ⋅的最大值为（ ） A ．94B ．3C ．9D ．367．函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（ ） ①1ω=②函数()f x 图象关于点π3⎛ ⎝对称③函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12④若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 1A ．1B ．2C ．3D ．48．已知正方形ABCD 的边长为2，动点P 在以D 为圆心且与AC 相切的圆上，则BP AC ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[-B ．C ．[4,4]-D ．[0,4]9．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.65g /m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.59g /m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量nr 满足函数模型()()0.25*0105R,N n pn r r r r p n +=+-⋅∈∈，其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g /m 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg20.301≈）（ ）次. A ．8B ．9C ．10D ．1110．定义满足方程()()1f x f x '+=的解0x 叫做函数()f x 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）A ．()23f x x x =-B ．()1f x x x=+C ．()ln f x x =D ．()e sin 3xf x x =-+二、填空题 11．函数21log 1xy x+=-的定义域是. 12．在ABC V 中，1AB AC ==，90A ∠=︒，则AB BC ⋅=u u u r u u u r.13．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =；n S 的最小值为．14．在ABC V 中，642a =,b=,C =B 则ABC V 的面积为.15．已知函数()2,,x m x mf x x x m ⎧+≤=⎨>⎩①函数()f x 的零点个数为．②若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是． 16．在数列{}n a 中，1()n n a f a +=，给出下列四个结论： ①若()2f x x =-，则{}n a 一定是递减数列； ②若()x f x e =，则{}n a 一定是递增数列；③若3()1f x x =+，1(1,0)a ∈-，则对任意0c >，都存在*n ∈N ，使得n a c >； ④ 若2()1(0)f x kx k =+>，11a =，且对任意*n ∈N ，都有2n a <，则k 的最大值是14． 其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．在ABC V 中，已知222a b c +=． (1)求角C 的大小；(2)若c =①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积． 条件①：sin 45A =； 条件②：2cos cos cos a A c B b C =+；条件③：ABC V 的周长是注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求ω的值；(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，并求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.条件①：函数5π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数；条件②：将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到sin y x ω=的图象； 条件③：()2π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数()sin2cos2f x x x x =+. (1)求曲线()y f x =在ππ,44f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的极值点个数.20．已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--∈R (1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥恒成立，求a 的值；(3)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围.21．有穷数列12,,,(2)n a a a n >L 中，令()1,(1,,)p p q S p q a a a p q n p q *+=+++≤≤≤∈N L ，当p q =时规定(),p S p q a =.(1)已知数列3,2,1,3--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；(2)已知整数列12n a a a L ，，，，n 为偶数.若(),1S i n i -+(12)2ni =L ，，，满足：当i 为奇数时，(1)0S i n i -+>，；当i 为偶数时，(1)0S i n i -+<，.求12n a a a +++L 的最小值；(3)已知数列12n a a a L ，，，满足(1)0S n >，，定义集合(){1,0,1,2,,1}A i S i n i n =+>=-L .若{}12,,,()k A i i i k *=∈N L 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++L .。
江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知角α终边上一点(3,4)(0)P t t t ≠，则sin α=（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．不确定2．已知集合{}|04A x x =∈<<N ，{}1,0,1,2B =-，则集合A B ⋂的真子集个数为（ ） A ．7B ．4C ．3D ．23．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()1cos ex x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数2()(e e 2)1,()2x x f x a x g x x ax -=++-=-+，若()f x 与()g x 的图象在(1,1)x ∈-上有唯一交点，则实数a =（ ） A ．2B ．4C ．12D ．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三边所对的角，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABCV 的形状是（ ）A ．等腰三角形但一定不是直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但一定不是等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知不等式32ln(1)2a x x x +>-（其中0x >）的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,8]B ．[3,8)C ．932,ln 4ln 5⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．932,ln 4ln 5⎛⎤⎥⎝⎦8．已知定义在 0,+∞ 上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（ ） A ．()()1122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．命题：“()1,x ∀∈+∞，都有21x >”的否定为“(],1x ∃∈-∞，使得21x ≤”；B ．设定义在R 上函数()()()()()3log 1,41,4x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()11f =；C ．函数()f x =[)1,+∞；D ．已知2log 0.3a =，0.32b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为a c b <<.10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+．且()10f =，当0x >时，()1f x <．则下列选项正确的是（ ） A ．()01f = B ．()22f =-C ．()1f x -为奇函数D ．()f x 为R 上的减函数11．已知函数π()|sin |cos()6f x x x =+-，则 （ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象为中心对称图形C ．函数()f x 在5π(2π,)3--上单调递增 D ．关于x 的方程()f x a =在[π,π]-上至多有3个解三、填空题12．22lg2lg3381527log 5log 210--+⋅+=.13．已知幂函数()f x 的图象过点()2,16-，则()()131f x f x +≤-的解集为.14．已知ABC V 的角A ，B ，C 满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ≤++，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，若A B C ≤≤，则tan tan B C +=．四、解答题15．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. 16．为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.(1)求样本中学生分数的平均数x （每组数据取区间的中点值）；(2)假设分数Z 近似服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本的平均数x （每组数据取区间的中点值），2σ近似为样本方差2221s ≈，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在(30,72)内的学生数(结果四舍五入)；(3)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为34，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.（参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826,(22)P Z P Z μσμσμσμσ-<<+=-<<+=0.9544,(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面CDM ⊥平面PAB ；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD 棱锥P MCD -的体积．18．在ABC V 中，设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin cos C b C a c +=+． (1)求角B ；(2)若b =ABC V 面积的最大值； (3)求2ac ab bcb --的取值范围．19．已知函数()()211ln ln 122f x x x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a ≠． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若0a >，证明：函数()f x 有唯一的零点； (3)若()0f x >，求实数a 的取值范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福建省漳州市芗城中学2017届高三数学10月月考试题 文第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置。
1. 集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ＝｛x |x ＜1｝，则A ∩B =（ ）A ．{x |x ＜1}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ＜1} 2．复数21i-等于（ ）A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i 3.若∈b a ,R ，且b a >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．ba 11<B ．22b a >C ．b a 22>D ．1>b a4．函数1-=x y 的值域是（ ）A ．),0[∞+B ．),0(∞+C ．),1[∞+-D ．),1(∞+- 5.“a ＞0”是“a ＞0”的的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．下列命题中的假命题．．．是（ ）A ．0lg R,=∈∃x xB ．1tan R,=∈∃x xC ．0R,3>∈∀x xD ．02R,>∈∀x x7．某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下： 第x 月 1 2 3 4 5 6 枝数y （枝）247163363则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第x 月的数量y 与x 之间的关系的是 （ ）A ．x y 2=B ．22+-=x x y C ．xy 2= D ．2log 2+=x y8．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++，则b 为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．无法确定9.设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为 （ ） A.(23，π43) B. (32，π45) C. (3，π45) D. (3，π43) 10．函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．（－2,－1）B ．（－1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．给定函数①x y =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12．已知0a >，函数3()f x x ax =-在［－1，1］上是单调减函数，则a 的最小值是 （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。
13．命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是．14. 某校有老师200人，男学生1400人，女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为90人，则n =_____________. 15．设0>x ，则xx y 13+=的最小值为 ．16. 设⎩⎨⎧<≤+≥-=)101(),6()10(,2)(x x f x x x f 则使11)(=x f 成立的实数x 的集合为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知集合A ＝{x|4≤x<8}，B ＝{x|2<x<10}，C ＝{x|x<a}．(1)求A ∪B ；(∁R A)∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2K ，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（本小题满分10分）已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。
20.（本小题满分10分）设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f +-=3)(3的图像在))1(,1(f 处与2=y 相切．（1）求b a ，的值；（2）求)(x f 的单调递减区间．22.（本小题满分14分）设函数f(x)=()10-ax ，a 为常数，且f(3)=. (1)求a 值.(2)求使f(x)≥4的x 的取值范围.(3)设g(x)=-x+m ，对于区间[3，4]上每一个x 值，不等式f(x)>g(x)恒成立，求实数m 的取值范围.高三年数学文科10月月考试卷答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置。
1.D2.A3.C4.C5.A6.C7.C8.A9.A10C11B12D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。
13．R x ∈∃,02<x ，14．210 ，15． 32 ， 16．{}13,7,1 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）解：(1)A ∪B ＝{x |4≤x <8}∪{x |2<x <10} ＝{x |2<x <10}； ∁R A ＝{x |x <4或x ≥8}，(∁R A )∩B ＝{x |2<x <4或8≤x ＜10}． (2)若A ∩C ≠∅，则a >4.18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为61305= ∴男性应该抽取12045⨯=人. ……….4分 （Ⅱ）在上述抽取的6名患者中, 女性的有2人，男性4人。
女性2人记,A B ；男性4人为,,,c d e f ， 则从6名患者任取2名的所有情况为: (,)A B 、(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、 (,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共15种情况，其中恰有1名女性情况有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f ，共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为815P =…………10分（Ⅲ）∵28.333K ≈，且2(7.789)0.0050.5%P k ≥==，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…….12分19.（本小题满分10分）解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为),211,231(11t t A ++)211,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。
20.（本小题满分10分）(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52，5＋212.21.（本小题满分12分）（1）a x x f 33)(2-=',由题意，⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=='412)1(0)1(b a f f .（2）33)(2-='x x f ，令0)(<'x f ，则11<<-x ，所以)(x f 的单调递减区间为)1,1(-.22.（本小题满分14分）解:(1)由f(3)=，即()10-3a=，所以10-3a=1，得a=3.(2)由已知()10-3x≥4=()-2，所以10-3x≤-2，得x≥4，故使f(x)≥4的x的取值范围为{x|x≥4}.(3)依题意f(x)>g(x)化为()10-3x>-x+m在[3，4]上恒成立，即m<()10-3x+x在[3，4]上恒成立.设h(x)=()10-3x+x，则m<h(x)min，而h(x)在[3，4]上为增函数，所以h(x)min=h(3)=+=2，所以m<2.。