1.1 探索勾股定理(第2课时)演示文稿
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探索勾股定理(2)优质课件PPT
1 探索勾股定理（2）
2021/02/01
1
回顾 & 思考☞
1.上节课学习了勾股定理，它的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
a2+b2=c2
勾股定理是否正确呢？有没有什么方法来验证呢？
2021/02/01
2
活动一
c
(1)请同学们剪出四个全等 a
的直角三角形，（如右图）
已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
D
2021/02/01
C
3
A4
12
B
6
活动二 议一议
观察右图，
用数格子的方
法判断图中三 角形的三边长 是否满足
c a
b
a²+b²=c².
(1)
2021/02/01
a c
b
(2)
7
练一练
1、已知：∠C＝90°， a：b＝3：4，c＝10，
a
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为__24___,斜边为上的高为___4_.8__.
2021/02/01
10
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
a
a
cb
c a
b
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
2021/02/01
4
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞 机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多 少千米？
2021/02/01
1
回顾 & 思考☞
1.上节课学习了勾股定理，它的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
a2+b2=c2
勾股定理是否正确呢？有没有什么方法来验证呢？
2021/02/01
2
活动一
c
(1)请同学们剪出四个全等 a
的直角三角形，（如右图）
已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
D
2021/02/01
C
3
A4
12
B
6
活动二 议一议
观察右图，
用数格子的方
法判断图中三 角形的三边长 是否满足
c a
b
a²+b²=c².
(1)
2021/02/01
a c
b
(2)
7
练一练
1、已知：∠C＝90°， a：b＝3：4，c＝10，
a
二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为__24___,斜边为上的高为___4_.8__.
2021/02/01
10
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
a
a
cb
c a
b
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
2021/02/01
4
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞 机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多 少千米？
1.1_探索勾股定理(2)ppt课件
a c
b
(2)
10
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，
a
求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿＿＿， S△ABC＝＿＿＿沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘 米）
A
B
E
G
C F
你能利用它说明勾股定理吗？
;.
4
b
（3）有人利用这4个直角三角形拼出了右
图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？
a
c
c
大正方形的面积可以表示为 ————————
——
(a+b)²
b
1
a
2
c + 2 ab×4 又可以表示为：———————
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
a
b c
c a
b
;.
5
大正方形的面积可以表示为
A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
D
;.
13
C 400米
10秒后 B
500米
A
;.
7
美国总统证法： D
c b
A
a
C
c a
b
B
（2）一个零件的形状如图， 已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
D
C
3
A4
;.
12
B
9
活动二
议一议
观察右图，用数格子的
方法判断图中三角形的三边 长是否满足 a²+b²=c².
c a
b
(1)
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
此外，实践活动的设计还可以更加丰富多样。例如，可以让学生走出教室，到校园中寻找直角三角形，并运用勾股定理解决实际问题。这样的教学方式有助于学生将理论知识与实际生活紧密结合，提高学习的趣味性和实用性。
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)课件(24张PPT)
方法七：在印度、阿拉伯和欧洲出现的拼图证明
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角 边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色，将两 个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定 理的证明。
方法八：加菲尔德“总统证明法”
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股
定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，
式运算，从理论上验证了勾股定理．
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
图2
Q 1 ab 4 (b a)2 c2 2
a2 b2 c2
勾股定理
-----人类最伟大的十个科学发现之一
32
42
52
方法一：赵爽“弦图”
三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅 “勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证 明。
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a 2 b2 c2.
方法：观察—猜想—探究—验证—归纳—应用； 思想：1. 特殊—一般
2. 数形结合思想 3. 方程的思想
正式作业：
必做题：1．课本P6随堂练习 2、习题1.2.第1题
选 做题：3、习题1.2.第3题
家庭作业： 1、完成本课绩优学案的绩优闯关 2、预习下一课并完成学案自主预习和重点解读
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
方法三：欧几里得“公理化证明”
希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著 《几何原本》给出一个公理化的证明。
F
G
H
北师版八年级数学上册课件：1.1 探索勾股定理(第2课时)
例题讲解
我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发 现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪, 测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你 能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
例题讲解
分析：根据题意,可以画出左图,其中点A表示小 王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的 位置.由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角, 这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002, 所以BC=300. 敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为 300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.
巩固练习
请你先欣赏下面一首诗: 平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅? 你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?
方法总结：建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用 莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形 中常用勾股定理建立方程求线段的长.
课堂小结
1.勾股定理的验证方法. 2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应 用勾股定理解题.
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完��
北师大版数学八年级上册1.1 探索勾股定理第2课时课件
b a
2
=2ab+b2-2ab+a2
c
a
=a2+b2
所以a2+b2=c2
大梯形的面积可以表示为（a b）2 ；
2
也可以表示为
1 c2 2 ab
2
2
D
美国总统证法：
bc Aa
C 因为（a b）2 1 c2 2 ab
2
2
2
c
a
所以 1 a 2 ab 1 b2 1 c2 ab
2
2
2
（第二课时）
知识回顾：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜
边为，那么 a2 b2 c2。
ac
b
勾
弦
股
学习目标
1.通过构造图形，利用等面积法验证勾股定理。 2.使用勾股定理解决简单实际问题。
预习检测
探究：以不同的图形验证勾股定理。
大正方形的面积可以表示为（a b）2
也可以表示为 c2 4 ab
2
bc a
因为（a b）2 c2 4 ab 2
所以a2+2ab+b2 = c2 +2ab
即a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 c 2
也可以表示为 4 ab （b - a）2
2
因为 c2= 4• 1 ab +(b-a)2
A
巩固练习
随堂练习
课堂小结
本节课学习了_________ 学会了_________ 感受了_________
作业
课堂作业：ABC组：习题1.2第1、2题。 预习作业：1.2 一定是直角三角形 AB组： 通过引例、归纳知识点。尝试完成课后习题。 C组： 通过引例、归纳知识点。了解本节知识点的运用。
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3， 因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
《探索勾股定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (7)
1
径庭 ,而且建立在任何线段都可公度根底
上的几何学面临被推翻的威胁 ,第|一次数
学危机由此爆发．
勾股定理与第|一次数学危机
1? 1
据说 ,毕达哥拉斯学派对希帕索斯 的发现十分惶恐、恼怒 ,为了保守秘 密 ,最||后将希帕索斯投入大海．不能 表示成两个整数之比的数 ,15世纪意大 利著名画家达.芬奇称之为 "无理的数 〞 ,无理数的英文 "irrational〞原义就 是 "不可比〞．第|一次数学危机一直 持续到19世纪实数的根底建立以后才
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
自主探究
b
a
1. 如图 ,你能表示大正方形的 a c 面积吗 ?能用两种方法表示
cb
吗? 〔1〕 (a b)2
c
c
b
a
〔2〕 c2 4 1 ab
2.
(a b)2
与
2 c 2
4
1
ab
a 图1 b
有什么关系 ?为什么 ?
2
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
ba
a c cb
于是这位中年人不再散步 ,立即回家 , 潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算 ,终于弄清楚了其中的道 理 ,并给出了简洁的证明方法．
1876年4月1日 ,他在<新英格兰教育日 志>上发表了他对勾股定理的这一证法．
1881年 ,这位中年人 -伽菲尔德就任 美|国第二十任总统．后来 ,人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明 ,就把这一证法称为 "总统〞证法．
美|国总统证法
D
bc Aa
C
c a
探索勾股定理(第2课时)PPT课件
解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′， 连接 AB′，交 A1B1 于P 点，连接 BP. 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′． 易知 P 点即为到点 A，B 距离之和最短的点． 过点 A 作 AE⊥BB′ 于点 E， 则 AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6 (km)． 由勾股定理，得 AB′2＝AE2＋B′E2＝82＋62＝100， ∴ AB′＝10 (km)，即 AP＋BP＝AB′＝10 km． 故出口 P 到 A，B 两村庄的最短距离和是 10 km．
a bc
c a
b
证明：
S梯形
1 (a b)(a b)， 2
又S梯形 3个三角形的面积和
= 1 ab 1 ab 1 c2，
222
1 (a b)(a b) 1 ab 1 ab 1 c2.
2
2
2
2
a2 b2 c2.
课外链接
青出
青入 c
青朱出入图
青 出
b
朱出
青方
朱方
a 朱入
青入
典例探究 深化新知
新课讲授
在下图中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形， 你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？
a
c
b
如何计算大正方形 的面积呢？
新课讲授
为了计算大正方形的面积，小明进行了适当的割补，如图所 示。
ac
b 补
割 ac
b
毕达哥拉斯证法
D
ac
Ab
证明：
∵S正方形ABCD=(a+b)2=a2+b2+2ab， C
∴152 x2 102 （25 x)2，
C
解得 x 10.
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于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法．
1876年4月1日，他在《新英格兰教育 日志》上发表了他对勾股定理的这一证 法．
188，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的 证明，就把这一证法称为“总统”证法．
a b c
2 2 2
图2
一分耕耘,一分收获!
1、已知△ABC中，∠B＝90゜， AC=13cm,BC=5cm，则AB＝___. 2、求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分 是正方形； （2）阴影部分是长方形；
（3）阴影部分是半圆 。。
（1）
（2）
（3）
想一想
延伸拓展 3.一个直角三角形的斜边为20cm ,且 两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
1 1
？
趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都 华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣 赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附 近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会 神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声 探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走 去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见 一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一 个直角三角形……
第一章
勾股定理
1. 探索勾股定理（第2课时）
问题情境
1．上节课我们已经通过探索得到了 勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 2．如何验证勾股定理呢 ？ 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你想得到自己的方 法吗？
合作探究
小组活动：请你利用自己准备的四个 全等的直角三角形拼出以斜边为边长的 正方形． 有不同的拼法吗？
勾股定理与第一次数学危机
约公元前 500 年，毕达哥拉斯学派的
弟子希帕索斯 (Hippasus) 发现了一个惊人
的事实，一个正方形的对角线的长度是不 可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)， 若正方形边长是 1 ，则对角线的长不是一 个有理数，它不能表示成两个整数之比，
1 1
？
这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相
a
验证方法一
a b b a
c c
a
c c a
b
b
图1 方法小结：我们利用拼图的方法，将 形的问题与数的问题结合起来，再进行整 式运算，从理论上验证了勾股定理． 你还能用图2进行验证吗？
1 2 c ab 4 (a b) 2 2 2 2 a b c
2
验证方法二
c
1 2 2 ab 4 (b a) c 2
6m
课堂小结
通过本节课的学习你有何收获呢？
请共同走进勾股世界
径庭，而且建立在任何线段都可公度基础 上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数 学危机由此爆发． •
勾股定理与第一次数学危机
据说，毕达哥拉斯学派对希帕索 斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守 秘密，最后将希帕索斯投入大海．不 能表示成两个整数之比的数，15世纪 意大利著名画家达.芬奇称之为“无理 的数”，无理数的英文“irrational”原 义就是“不可比”．第一次数学危机 一直持续到19世纪实数的基础建立以 后才圆满解决．我们将在下一章学习 有关实数的知识 ．
美国总统证法
D c C c a
b A
a
b
B
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻 刚好飞到一个男孩子头顶上方4000 m处， 过了20 s，飞机距离这个男孩子头顶5000m， 飞机每小时飞行多少千米？
C B
4km
A
拓展练习
1．如图是某沿江地区交通平面图， 为了加快经济发展，该地区拟修建一条 连接M，O，Q三城市的沿江高速，已 知沿江高速的建设成本是100万元/ km， 该沿江高速的造价预计是多少？
拼图展示
图1
图2
自主探究
b
a
c b 1. 如图，你能表示大正方形 c 的面积吗？能用两种方法表 c 示吗？ c 2 ( a b ) （ 1） a b 1 2 （2） c 4 ab a 图1 b 2 1 2 2 2. (a b) 与 c 4 ab 有什么关系？为什么？ 2 你能验证勾股定理了吗？
O
M
30km
N 40km
50km
P
Q
120km
2．如图，一个 25 m长的梯子 AB， 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时的 AO 距 离为 24 m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m，那么梯子底端B也外移4 m吗？
A C
O
B
D
3．如图，受台风麦莎影响，一棵 高18米的大树断裂，树的顶部落在离树 根底部6 m处，这棵树折断后有多高？
追溯历史
国内调查组报告 用图 2 验证勾股定理的方 法，据载最早是 三国时期数学 家赵爽在为《周髀算经》作注 时给出的，我国历史上将图 2 弦上的正方形称为弦图． 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM-2002）在北京召开，这 届大会会标 的中央图案正是经 过艺术处理的弦图，这既标志 着中国古代的数学成就 ，又像 一只转动的风车，欢迎来自世 界各地的数学家们！