《3.1 基本不等式》课件4-优质公开课-北师大必修5精品
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高中数学北师大版必修五课件：3.1基本不等式 (共29张PPT)
二、探索新知
a2 b2 2ab(a, b R) 当且仅当a b时,等号成立
证明 当a, b R时， ( a b) 2 0
a 2 2ab b 2 0 a 2 b 2 2ab 当且仅当a b时(a b) 2 =0 即：当a, b R时，a 2 b 2 2ab 当且仅当a b时,等号成立.
分别以 a , b (a 0, b 0)代替a, b会得到什么结果？
( a) ( b) 2 a b
2 2
a b 2 ab
ab ab 2
基本不等式 如果 a , b 都是非负数,那么
算术 平均数
ab 2
ab
几何 平均数
（当且仅当 a b 时,等号成立） 基本不等式又称为均值不等式
2
2
E
a
B
b
C
二、探索新知 当 BE CE时，中间的小正方形缩为一点
A
a b 2ab
2 2
D
E
a b
2
2
a
B
b
C
二、探索新知
根据以上图形，归纳猜想
如果 a, b R ,那么
a b 2ab
2 2
（当且仅当 a b 时,等号成立）
二、探索新知
a2 b2 2ab(a, b R) 当且仅当a b时,等号成立
2 2
ab ab (a 0, b 0) 2 异：适用范围不同.
同：取等号的条件相同 a b.
四、思维升华 ab ab 2 常见变形：
(a 0, b 0)
a b 2 ab
ab ab 2
2
3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)
1 1 1 即 ＋ ＋ ≥9. a b c
证法二：∵a，b，c 为正实数，
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋ c＝(a＋b＋c)a＋b＋ c
b c a c a b ＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋ c＋ c＋1
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
• 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( • A．ab≤4 B．ab≥4 • C．ab≤1 D．ab≥1
a＋b 解析： 由 a，b∈R ，∴ 2 ≥ ab，
＋
)
∴ ab≤1，∴ab≤1.
• 答案： C
a－c 3．已知 a＞b＞c，则 a－bb－c与 2 的大小关系是 ________． 解析： ∵a－b＞0，b－c＞0， a－b＋b－c a－c ∴ a－bb－c≤ ＝ 2 . 2
≥ • 1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－
b)2 ≥ 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立 a＝b 呢？当且仅当 时，取等号． • 2．还记得等差中项和等比中项吗？ a＋b • 两个正数a与b的等差中项为 ，正的等 ab 2 比中项为 . 5 • 例如，2与8的等差中项为 ，正的等比中项为 4，？
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
x y x ④由 xy＜0，得y、x均为负数，但在推导过程中将整体y
x y y ＋x提出负号后，－y、－x均变为正数，符合均值不等式
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
3.1《基本不等式》课件(北师大必修5)(张伟)
2 2
A 基本不等式 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
a2 b2 ab 即 2
文字叙述为: 两实数的平方和不小于它们积的2倍.
A 基本不等式
讲授新课
a b 2ab
2 2
即
a b ab 2
③、若x∈R，则 ④ 、若 x 0 ,则
其中正确的序号是
4 4 x 2 x 4 x x
1 1 x 2 x 2 x x
③
。
应用解题，巩固理解
• 例2. 设a 0, b 0, 证明不等式：
ab
2
2 1 1 a b
2 ab 证明： ab ab 1 1 （方法1） a b （作差法） a b ab(a b 2 ab ) 0 ab
A 基本不等式
课堂小结，强化认知 2 2 1. 两个不等式 a b 2ab ab ≥ ab a 0, b 0
2
a,b∈R
2. 数学思想：数形结合，转化与化归思想
作业
1. 上交：（1）课本P94 A组 3 （2）已知x、y均为正实数 求证： 2 2 3
( x y)(x y )(x y ) 8x y
a b 2ab
2 2
A 基本不等式
师生互动，总结归纳
探究4：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时
当a b时
2Leabharlann (a b) 02
2
(a b) 0
A 基本不等式 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
a2 b2 ab 即 2
文字叙述为: 两实数的平方和不小于它们积的2倍.
A 基本不等式
讲授新课
a b 2ab
2 2
即
a b ab 2
③、若x∈R，则 ④ 、若 x 0 ,则
其中正确的序号是
4 4 x 2 x 4 x x
1 1 x 2 x 2 x x
③
。
应用解题，巩固理解
• 例2. 设a 0, b 0, 证明不等式：
ab
2
2 1 1 a b
2 ab 证明： ab ab 1 1 （方法1） a b （作差法） a b ab(a b 2 ab ) 0 ab
A 基本不等式
课堂小结，强化认知 2 2 1. 两个不等式 a b 2ab ab ≥ ab a 0, b 0
2
a,b∈R
2. 数学思想：数形结合，转化与化归思想
作业
1. 上交：（1）课本P94 A组 3 （2）已知x、y均为正实数 求证： 2 2 3
( x y)(x y )(x y ) 8x y
a b 2ab
2 2
A 基本不等式
师生互动，总结归纳
探究4：你能给出不等式 a 2 b2≥2ab 的证明吗？ 证明：（作差法） a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时
当a b时
2Leabharlann (a b) 02
2
(a b) 0
高中数学北师大版必修5《第3章 3 3.1 基本不等式》课件
19
[探究问题] 1．如何用 a，b 表示 PQ、OP 的长度？ [提示] 由射影定理可知 PQ＝ ab，而 OP＝12AB＝a＋2 b.
20
2．通过 OP 与 PQ 的大小关系，你能得出怎样的不等式？
[提示] 半径 OP＝a＋2 b，显然，它大于或等于 PQ，即a＋2 b≥ ab， 其中当且仅当点 Q 与圆心 O 重合．
6
下面我们来证明一下：
要证 a＋2 b≥ ab，
①
只要证 _a_＋__b_≥__2__a_b__，
②
要证②只要证_a_＋__b_－__2__a_b___≥0，
③
要证③只要证_( __a_－___b_)_2≥__0__，
④
显然④成立，当且仅当_a_＝___b__时④中的等号成立．
7
1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；
25
1．在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应 用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致．
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分 或适当恒等变形，以便于利用基本不等式．
26
3．由基本不等式变形得到的常见的结论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2) ab≤a＋2 b≤ a2＋2 b2(a，b∈R＋)； (3)ba＋ab≥2(a，b 同号)； (4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b∈R＋)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
2 ac×ac＋2 bc×bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立，
即 a＋b＋c≥9.
24
利用基本不等式证明不等式的技巧 (1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例 3 中把 a＋b＋c 拆 分为 a＋b，b＋c 和 c＋a，以便应用基本不等式得出不等关系． (2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、 可乘性等．
[探究问题] 1．如何用 a，b 表示 PQ、OP 的长度？ [提示] 由射影定理可知 PQ＝ ab，而 OP＝12AB＝a＋2 b.
20
2．通过 OP 与 PQ 的大小关系，你能得出怎样的不等式？
[提示] 半径 OP＝a＋2 b，显然，它大于或等于 PQ，即a＋2 b≥ ab， 其中当且仅当点 Q 与圆心 O 重合．
6
下面我们来证明一下：
要证 a＋2 b≥ ab，
①
只要证 _a_＋__b_≥__2__a_b__，
②
要证②只要证_a_＋__b_－__2__a_b___≥0，
③
要证③只要证_( __a_－___b_)_2≥__0__，
④
显然④成立，当且仅当_a_＝___b__时④中的等号成立．
7
1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；
25
1．在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应 用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致．
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分 或适当恒等变形，以便于利用基本不等式．
26
3．由基本不等式变形得到的常见的结论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2) ab≤a＋2 b≤ a2＋2 b2(a，b∈R＋)； (3)ba＋ab≥2(a，b 同号)； (4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b∈R＋)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
2 ac×ac＋2 bc×bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立，
即 a＋b＋c≥9.
24
利用基本不等式证明不等式的技巧 (1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例 3 中把 a＋b＋c 拆 分为 a＋b，b＋c 和 c＋a，以便应用基本不等式得出不等关系． (2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、 可乘性等．
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.1基本不等式》公开课课件_32
基本不等式
例1. 设a,b均为正数，证明
不等式:
ab
1
2
1
ab
例2.已知x>0, 试求函数 y x 1 的最小值。
x
课堂课小时结小结
a b ab 1.如如果果aa,b,b都都是是非非负负数数，，那么
2 a b 2
ab （当且仅当a=b时，等号成立）
称为基本不等式。
a b ab (a，b 0) 2
a,b范围是什么？ 你可以证明这个不等式吗？
证法一：
a
a
b
S1=a/2 ,s2=b/2 ,s矩 ab
b ∵ S1+s2 > s矩
∴ a b ab
2
证法二：
如果a,b都是非负数，那么
ab ab （当且仅当 a b时，等号成立）
2
其中的a,b可以是字母，或者表达式，只要满足非负即可
2.基其可本中以不的使等a用,式(b；当可可以以且是等仅一价当个转字化a=母为b，:时a也取可b“以是=2”一号a个b)表, a达b 式 ，(a只4要b)满2 足非负都
等形式，在具体问题中加以使用。
课后作业
1.阅读课本P88-89，完成例1的几何证明 2.预习3.2节
§3.1基本不等式
如果a∈R,那么有 a 2 0；
如果 x R, y R
(x y)2 0
结论：
x2 y2 xy 2
(当且仅当x=y时取“=”号)
提问：不等式中的等号什么时候成立？
x y 2
2
xy (2 a, y2 b , 则由这个不等式可以得出什么结论？
例1. 设a,b均为正数，证明
不等式:
ab
1
2
1
ab
例2.已知x>0, 试求函数 y x 1 的最小值。
x
课堂课小时结小结
a b ab 1.如如果果aa,b,b都都是是非非负负数数，，那么
2 a b 2
ab （当且仅当a=b时，等号成立）
称为基本不等式。
a b ab (a，b 0) 2
a,b范围是什么？ 你可以证明这个不等式吗？
证法一：
a
a
b
S1=a/2 ,s2=b/2 ,s矩 ab
b ∵ S1+s2 > s矩
∴ a b ab
2
证法二：
如果a,b都是非负数，那么
ab ab （当且仅当 a b时，等号成立）
2
其中的a,b可以是字母，或者表达式，只要满足非负即可
2.基其可本中以不的使等a用,式(b；当可可以以且是等仅一价当个转字化a=母为b，:时a也取可b“以是=2”一号a个b)表, a达b 式 ，(a只4要b)满2 足非负都
等形式，在具体问题中加以使用。
课后作业
1.阅读课本P88-89，完成例1的几何证明 2.预习3.2节
§3.1基本不等式
如果a∈R,那么有 a 2 0；
如果 x R, y R
(x y)2 0
结论：
x2 y2 xy 2
(当且仅当x=y时取“=”号)
提问：不等式中的等号什么时候成立？
x y 2
2
xy (2 a, y2 b , 则由这个不等式可以得出什么结论？
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
§3 基本不等式
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
3.1 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导方法. 2.理解基本不等式的几何意义及其等号 成立的条件. 3.能利用基本不等式证明不等式.
思维脉络
基本不等式 (1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号 成立.我们称上述不等式为基本不等式,其中������+2������称为 a,b 的算术平均 数, ������������称为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义:
lg������·lg������;
(4)若
a,b∈(0,+∞),则1������
+
1 ������
>
2������������.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)正确.在基本不等式������+2������ ≥ ������������中,将 a,b 分别用 a4,b4 代换, 且 a4≥0,b4≥0,
解析:①③错,都忽视了利用基本不等式时每一项必须非负这一
条件;
②正确,若 x<0,则 x+4������=- (-������) +
-
4 ������
≤-2
(-������)·
-
4 ������
=-4,当且仅当
-x=-4������,即 x=-2 时,等号成立;
④错,当 ������2 + 2 = ������21+2时,x2+2=1,x2=-1(不成立).故正确的是②.
2021-2022学年高中数学北师必修五课件：第三章 3.1 基本不等式
2
2.(2020·成都高一检测)不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 ( )
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
【解析】选B.当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.
3.(教材二次开发:例题改编)当a,b∈R,下列不等关系成立的是
(填序
号).
① ab
2
ab ;②a-b≥2
()
3.(2020·无锡高一检测)给出下面四个推导过程:
①因为a,b∈(0,+∞),所以 b a ≥2 b a =2;
ab
ab
②因为x,y∈(0,+∞),所以lg x+lg y≥2 lg x lg y ;
③因为a∈R,a≠0,所以 4 +a≥2 4 a =4;
a
a
④因为x,y∈R,xy<0,所以 x y －[(－x ) (－y)] －2 (－x ) (－y) =-2.
A.a<b<
ab <
ab 2
C.a<
ab
<b<
a
b 2
B.a< ab < a b <b
2
D. ab <a< a b <b
2
()
2.不等式(x-2y)+ 1 ≥2成立的条件为
x 2y
A.x≥2y,当且仅当x-2y=1时取等号 B.x>2y,当且仅当x-2y=1时取等号 C.x≤2y,当且仅当x-2y=1时取等号 D.x<2y,当且仅当x-2y=1时取等号
ab ;③a2+b2≥2ab;
④a2-b2≥2ab.
高中数学 第一部分 第三章 §3 3.1 基本不等式课件 北师大版必修5
[一点通]
将所要证明的不等式分解变形，重新组
合后再用基本不等式，体现了“配凑”的数学方法，其 中要注意等号是否成立，尤其是多个基本不等式相加(乘) 或多次连续使用基本不等式．
1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立 的是 A．a＋b≥2 ab a2＋b2 C. ≥2 ab ab b a B.a＋b≥2 2ab D. ≥ ab a＋ b ( )
与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
解析：∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2ac，a2＋c2＞2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac. 答案：p＞q
a2 b2 c2 3．已知a，b，c都大于0，求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
(2)关系： 两个正实数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数．
对于两个不等式 a＋b ①a ＋b ≥2ab，② ≥ ab 2
2 2
(1)两个不等式成立的条件不同．不等式①中a，b 都是实数；不等式②要求a，b都是非负数．
(2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义 a＋b 两个不等式a ＋b ≥2ab和 ≥ 2
பைடு நூலகம்
1 1 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝3，则a＋b的取值范围是______．
解析：∵a＞0，b＞0，a＋b＝3， 1 1 a＋b a＋b b a 2 ∴a＋b＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥ 3a 3b 3a 3b 3 2 b a 2 4 · ＋ ＝ ， 3a 3b 3 3
3 当且仅当a＝b＝ 时等号成立． 2 4 答案：[ ，＋∞) 3
证明：法一：∵a、b、c为不等正数，且abc＝1， ∴ a＋ b＋ c＝ 1 1 1 1 1 1 b＋c a＋c a＋b ＋ ＋ 2 2 2 1 1 1 ＝a＋b＋c. 1 bc＋ 1 ac＋ 1 ab＜
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随堂演练
2.基本不等式
������+������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成 2 ������+������ 立.我们称上述不等式为基本不等式,其中 称为 a,b 的算术平均数, ������������称 2
(1)概念:如果 a,b 都是非负数,那么
解析:选项 A,B,C 忽略了利用基本不等式求值的前提条件,只有选项 D 是正确的. 答案:D 反思运用基本不等式时,必须保证在 a,b 均为非负数的前提下使用.
-6-
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题型二
题型三
【变式训练 1】 下列不等式:①x+ ≥2;② ������ + ≥2;③若 0<a<1<b, 则 logab+logba≤-2;④若 0<a<1<b,则 logab+logba≥2.其中正确的是( A.②④ B.①② C.②③ D.①②④ 解析:①因为式子 x+ ≥2 中 x 的取值范围没有规定,所以当 x>0
《3.1 基本不等式》课件4
-1-
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1.理解掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式证明不等式.
-2-
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随堂演练
1.不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 【做一做 1】 已知 x,y∈R,下列不等关系中正确的是( ). A.x2+y2≥2|xy| B.x2+y2≤2|xy| C.x2+y2>2|xy| D.x2+y2<2|xy| 解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立. 答案:A
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题型一
判断不等式成立
【例 1】 下列说法正确的是( A.若 a,b∈R,则 + ≥2
������ ������ ������ ������
).
������ ������ · =2 ������ ������ 4 ������-2
B.若 x>0,y>0,则 lg x+lg y≥2 lg������· lg������ C.若 x<2,则 x+
������有
意义,则 a,b 均为非负数.从反例来看:当 a 与 b 中仅有一个为负数时,则 ������和 ������中有一个无意义,那么基本不等式不成立;当 a 与 b 均为负数时, ������������>0,则基本不等式不成立,因此基本不等式中的 a,b 均为非负数.
������+������ <0,而 2
1 ������
1 ������
).
时,x+ ≥2,当且仅当 x=1 时,等号成立,当 x<0 时,x+ =- (-������) +
1 ������
1 ������
1 ������
答案:C
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题型二
利用基本不等式比较两数(式)的大小
2 1 (a>2),n=22-������ (b≠0),则 ������-2
为 a,b 的几何平均数,因此,基本不等式又称为均值不等式. (2)文字叙述:两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (3)意义: ①几何意义:半径不小于半弦. ②数列意义:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 【做一做 2】 已知 x<0,求证:x+ ≤-4. 证明:∵x<0,∴-x>0,
【例 2】已知 m=a+
m,n 之间的大小关系是(
).
A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 解析:先根据均值不等式求出 m 的取值范围,然后再根据指数函数的性 质求出 n 的取值范围,再比较 m,n 的大小. ∵a>2,∴a-2>0.
∵m=a+ ∴m≥2
1 1 =(a-2)+ +2, ������-2 ������-2 1 (������-2)· +2=4,当且仅当 ������-2
4 ������
∴-x+ ≥2 (-������) × =4,
当且仅当-x= ,即 x=-2 时等号成立.
4 4 -������
4 -������
4 -������
∴x+������≤-4.
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基本不等式中的 a,b 均为非负数 x=
������2 +������2 剖析:从基本不等式的推导过程来看:对于 ≥xy(x,y∈R),当 2 ������+������ ������,y= ������时,得基本不等式 ≥ ������������,则 a 与 b 的取值须满足 ������与 2
a-2=
1 ,即 ������-2
a=3 时,等号成立.
即 m∈[4,+∞). 由 b≠0,得 b2>0,∴2-b2<2. 2 ∴22-������ <4,即 n<4.∴n∈(0,4).故 m>n. 答案:A
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反思在应用均值不等式时,一定要注意是否满足条件,若条件不满足,则 应拼凑出条件,即问题一端出现“和式”,另一端出现“积式”,以便于运用均值 不等式.
1 ≤-2,当且 (-������) 1 1 1 仅当 x=-1 时,等号成立,故①不成立.②因为 x 与 同号,所以 ������ + =|x|+ ≥2, ������ ������ |������| 1 当且仅当|x|=1 时,等号成立,故②正确.③当 0<a<1<b 时,logab= <0,所以 log������ ������ 1 logab+logba≤-2,当且仅当 a= 时,等号成立,故③正确.由③可知,④不成立. ������
4 4 =x-2+ +2≥2 ������-2 ������-2 ������ ������ ������ ������
(������-2)· +2=6 ≤- 2
-������ -������ · =-2 ������ ������
D.若 a,b∈R,且 ab<0,则 + =-
-������ -������ + ������ ������