浙江省宁波市镇海中学跨区招生数学试卷

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浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期中考试数学试卷答案

镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。

浙江省宁波市宁海2023-2024学年高一提前招生考试数学试卷含答案

2024年浙江省宁波市宁海创新班提前招生数学试卷（答案在最后）一、选择题（48分）1.若二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象经过点(),a b 、(),a b -，则m 的值为（）A.0B.3C.1D.0或3【答案】B【解析】【分析】由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是2y ax k =+型，由此求得问题的答案.【详解】∵二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象经过点(),a b 、(),a b -，∴函数图象关于y 轴对称，∴函数的解析式形式应该是2y ax k =+型，∴()230m m --=，解得：0m =或3m =，∴二次函数的二次系数不能为0，∴3m =.故选：B.2.小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】A【解析】【分析】由平均数的定义可得答案.【详解】小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，故选：A.3.已知直线11324y x =+上横、纵坐标都是整数的点的个数是（）A.0个B.1个C.不少于2个但有限个D.无数个【答案】A【解析】【分析】由直线11324y x =+，可得4213y x +=，分析整数性以及奇偶性即可得得解.【详解】由直线11324y x =+可得2413x y +=，如果直线11324y x =+上存在横、纵坐标都是整数的点，即x ，y 都是整数，可知4y ，2x 都是偶数，则24x y +为偶数，这与13为奇数矛盾，所以直线11324y x =+上不存在横、纵坐标都是整数的点.故选：A.4.如图四边形ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形，O 是BF 与EG 的交点.如果正方形ABCD 的面积是9，2CG =，则DEO 的面积为（）A.1B.94C.4D.254【答案】D【解析】【分析】连接BD ，根据正方形的面积可得3BC =，从而可得5BG =，进而可得正方形BEFG 的面积25=，然后根据正方形的性质可得45ABD BEG ∠=∠=°，从而可得BD EG ∥，然后利用平行线间的距离处处相等可得：DOE 的面积BOE = 的面积14=正方形BEFG 的面积，即可解答.【详解】连接BD ，因为正方形ABCD 的面积是9，则3BC =，且2CG =，则325BG BC CG =+=+=，可得正方形BEFG 的面积为25，又因为四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，则45ABD BEG ∠=∠=°，可知BD EG ∥，所以DOE 的面积12544DOE BOE BEFG S S S ===V △.故选：D.5.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果150∠=︒，那么2∠=（）A.30︒B.34︒C.36︒D.40︒【答案】B【解析】【分析】根据正三角形的内角等于60︒，150∠=︒得()180170DET GEF ∠=︒-∠+∠=︒，根据正五边形的内角等于108︒，得18072TSA RST ∠=-∠=°°，再根据正方形的内角等于90︒得9018STA TSA ∠=-∠=°°，进而得()18054ETD STA STP ∠=︒-∠+∠=︒，然后由三角形的内角和定理得()18056EDT DET ETD ∠=︒-∠+∠=︒，最后再根据2180EDT CDA ∠+∠+∠=°可得出2∠的度数.【详解】如下图所示：EFG △为正三角形，60GEF ∴∠=︒，1180DET GEF ∠+∠+∠= °，150∠=︒，()()1801180605070DET GEF ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，五边形PQRST 为正五边形，108RST STP ∴∠=∠=°，180********TSA RST ∴∠=-∠=-=°°°°，四边形ABCD 为正方形，90DAB CDA ∴∠=∠=︒，90SAT ∴∠=°，90TSA STA ∴∠+∠=°，90907218STA TSA ∴∠=-∠=-=°°°°，180STA STP ETD ∠+∠+∠= °，()()1801801810854ETD STA STP ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，()()180180705456EDT DET ETD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，2180EDT CDA ∠+∠+∠= °，()()2180180569034EDT CDA ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒.故选：B.6.若实数x 12x -=--，则x 应满足的条件是（）A .0x ≥或1x ≤- B.0x ≤ C.10x -≤≤ D.1x ≥-【答案】C【解析】【分析】分1x <-、10x -≤≤和0x >三种情况，结合根式分析求解即可.【详解】当1x <-时，则10x x <+<，()1112x x x ⎡⎤=---+=<--⎣⎦，不合题意；当10x -≤≤时，则10x +≥，()112x x x =--+=--，符合题意；当0x >时，则01x x <<+，()1112x x x =-+=->--，不合题意；综上所述：x 应满足的条件是10x -≤≤.故选：C.7.如图ABC 的三条高相交于点G ，CH 是角平分线，已知=45ABC ∠︒，60ACD ∠=︒，则图中的等腰三角形共有（）个.A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】根据条件和等腰三角形的判定分别找出等腰三角形即可.【详解】①AD BC ⊥ ，=45ABC ∠︒，ABD ∴ 是等腰三角形；②CF AB ⊥ ，=45ABC ∠︒，BCF ∴ 是等腰三角形；③60ACB ∠=︒ ，906030CBE ∴∠=︒-︒=︒，CH 是角平分线，1302BCH ACH ACB ∴∠=∠=∠=°，CBI ICB ∴∠=∠，BCI ∴△是等腰三角形；④60ACB ∠=︒ ，906030CAD ∴∠=︒-︒=︒，30ACJ CAJ ∴∠=∠=°，ACJ ∴ 是等腰三角形；⑤604515ACF ∠=-= °°°，901575CAF ∴∠=-=°°°，453075AHC ABC BCH ∴∠=∠+∠=+=°°°，75CAH CHA ∴∠=∠=°，ACH ∴△是等腰三角形；⑥45GCD DGC ∠=∠= °，CDG ∴ 是等腰三角形；⑦303060GIJ EBC HCB ∠=∠+∠=+= °°°，903060GJI CJD ∠=∠=-=°°°，60GIJ GJ ∴∠=∠=°，GIJ ∴△是等腰三角形；⑧AFG 是等腰三角形：综上分析，图中等腰三角形共有8个：ABD △、BCF △、BCI 、ACJ 、ACH 、CDG 、GIJ 、AFG .故选：D.8.如图，O 截ABC 的三条边所得的弦长相等，若80A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A.125︒B.120︒C.130︒D.115︒【答案】C【解析】【分析】过点O 作OE AB ⊥于E ，OD BC ⊥于D ，OF AC ⊥于F ，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD OE OF ==，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案.【详解】解：过点O 作OE AB ⊥于E ，OD BC ⊥于D ，OF AC ⊥于F ，80A ∠=︒ ，18080100ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，由题意得，HG PQ MN ==，OD OE OF ∴==，OE AB ⊥ ，OD BC ⊥，OF AC ⊥，OB ∴平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，()1502OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=︒，18050130BOC ∴∠=︒-︒=︒，故选：C .9.如图，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连结DE ，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（）A.259 B.258 C.157 D.207【答案】D【解析】【分析】由翻折得出AD DF =，A DFE ∠=∠，再根据FD 平分EFB ∠，得出DFH A ∠=∠，然后借助相似列出方程即可.【详解】作//DH AC ，交BC 于H ，结合题设有DH BC ⊥，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，由勾股定理得：5AB ==，将ADE V 沿DE 翻折得DEF ，则AD DF =，A DFE ∠=∠，又因为FD 平分EFB ∠，则DFE DFH ∠=∠，可得DFH A ∠=∠，在Rt DHF △中，3sin sin 5DFH A ∠=∠=，设3DH x =，则5DF x =，55BD x =-，因为BDH BAC ∽，则BD DH AB AC =，即55354x x -=，解得47x =，所以2075AD x ==.故选：D.10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点D 的坐标为()2,6-，反比例函数()0k y x x =<经过点D ，若AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，则BCE 的面积为（）A.3B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】依据点D 的坐标为()2,6-，即可得出2CO =，6AB =，进而得到12CO AB ⨯=，再根据线段成比例可得BCE 的面积.【详解】因为点D 的坐标为()2,6-，且CD CO ⊥，则2CO =，6CD AB ==，可得12CO AB ⨯=，又因为AB ∥OE ，则BC AB OC EO =，可得12BC EO AB CO ⋅=⋅=，所以BCE 的面积162BCE BC O S E =⨯⨯=△.故选：C.11.如图，正方形ABCD 的边长是3，BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ DP ⊥；②2OA OE OP =⋅；③AOD OECF S S = 四边形；④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD BC =，90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到P Q ∠=∠，根据余角的性质得到AQ DP ⊥；故①正确；根据相似三角形的性质得到2AO OD OP =⋅，由OD OE ≠，得到2OA OE OP ≠⋅；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF BE =，DF CE =，于是得到ADF DFO DCE DOF S S S S -=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形；故③正确；根据相似三角形的性质得到34BE =，求得134QE =，135QO =，3920OE =，由三角函数的定义即可得到结论.【详解】因为四边形ABCD 是正方形，AD BC ∴=，90DAB ABC ∠=∠=︒，BP CQ = ，AP =BQ ∴，在DAP 与ABQ 中，AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.DAP ABQ ∴△≌△，P Q ∴∠=∠，90Q QAB ∠+∠=︒ ，90P QAB ∴∠+∠=︒，90AOP ∴∠=︒，AQ DP ∴⊥；故①正确；90DOA AOP ∠=∠=︒ ，90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒，DAO P ∴∠=∠，DAO APO ∴△∽△，AO OP OD OA∴=，2AO OD OP ∴=⋅，AE AB > ，AE AD ∴>，OD OE ∴≠，2OA OE OP ∴≠⋅；故②错误；在CQF △与BPE 中FCQ EBP Q P CQ BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CQF BPE ∴△≌△，CF BE ∴=，DF CE ∴=，在ADF △与DCE △中，AD CD ADC DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADF DCE ∴V V ≌，ADF DFO DCE DOF S S S S ∴-=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形；故③正确；1BP = ，3AB =，4AP ∴=，PBE PAD △∽△，43PB PA EB DA ∴==，34BE ∴=，134QE ∴=，QOE PAD △∽△，1345QO OE QE PA AD PD ===，135QO ∴=，3920OE =，1255AO QO ∴=-=，13tan OA 16OE OAE ∴∠==，故④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义是解题的关键.12.在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（）A.点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B.点P 是ABC 三条内角平分线的交点C.点P 是ABC 三条高的交点D.点P 是ABC 三条中线的交点【答案】D 【解析】【分析】作辅助线，设AD PE x ==，AE DP y ==，则()22222820033233AP CP BP x y ⎛⎫++=-+-+ ⎪⎝⎭，可知当83x =，2y =时，222AP CP BP ++的值最小，进而分析点P 的位置.【详解】过P 作PD AC ⊥于D ，过P 作PE AB ⊥于E ，延长CP 交AB 于M ，延长BP 交AC 于N ，如图：因为90A ∠=︒，PD AC ⊥，PE AB ⊥，可知四边形AEPD 是矩形，设AD PE x ==，AE DP y ==，在Rt AEP △中，可得222AP x y =+，在Rt CDP △中，可得()2228CP x y =-+，在Rt BEP 中，可得()2226BP x y =+-，则()()22222222286AP CP BP x y x y x y ++=++-+++-22316312100x x y y =-+-+()22820033233x y ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，可知当且仅当832x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，222AP CP BP ++的值最小，此时83AD PE ==，2AE PD ==，又因为90A ∠=︒，PD AC ⊥，可知PD AB ∥，则AM AC PD CD=，即81623AM =，解得3AM =，可知12AM AB =，即M 是AB 的中点，同理可得12AN AC =，N 为AC 中点，所以P 是ABC 三条中线的交点.故选：D.二、填空题（24分）13.已知a 是一元二次方程210x x --=的一个解，则代数式221a a a a--+的值是______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得210a a --=，结合题意整理即可得解.【详解】因为a 是一元二次方程210x x --=的一个解，则210a a --=，显然0a ≠，可得2211,1a a a a--==，所以2212a a a a--+=.故答案为：2.14.如图，正八边形ABCDEFGH 中，GFB ∠=______.【答案】3π8【解析】【分析】利用外接圆被各个顶点平分确定圆心角，再随之确定圆周角.【详解】如图，正八边形存在外接圆，且各个顶点将圆周平分为八段弧，而整个圆对应的圆心角是2π，所以包含三段单位弧段的 GB对应的圆心角33π2π84GOB ∠=⋅=，从而其对应的圆周角13π28GFB GOB ∠=∠=.故答案为：3π8.15.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式()()2220a x b x c -+-+<的解集为______.【答案】()(),35,-∞⋃+∞【解析】【分析】先根据图象确定2x -的取值范围，再确定x 的取值范围.【详解】根据图象，原不等式等价于()()2,13,x -∈-∞+∞ ，即()(),35,x ∈-∞+∞ .故答案为：()(),35,-∞⋃+∞.16.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G 正好在书架边框上，每本书的厚度为5cm ，高度为20cm ，书架宽为40cm ，则FI 的长______.【答案】4017##6217【解析】【分析】设CFE θ∠=，则20cos ,5sin CF FI θθ==，结合题意分析可得sin 44cos θθ=-，与22sin cos 1θθ+=联立运算求解即可.【详解】由题意可知：20cm,20cm,5cm BC EF FG ===，设CFE θ∠=，则FGI θ∠=，20cos ,5sin CF FI θθ==，由题意可知：2020cos 5sin 40BC CF FI θθ++=++=，整理得sin 44cos θθ=-，联立方程22sin 44cos sin cos 1θθθθ=-⎧⎨+=⎩，消去sin θ整理得217cos 32cos 150θθ-+=，即()()17cos 15cos 10θθ--=，解得15cos 17θ=或cos 1θ=（舍去），所以8sin 17θ=，405sin 17FI θ==.故答案为：4017.17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，将边AD 绕点D 逆时针旋转60︒得到DE ，线段DE 交边BC于点F ，连接BE .若165C E ∠+∠=︒，2BE =，CD =，则线段BC 的长为______.【答案】【解析】【分析】先证明135EBA ∠=︒，然后通过构造等腰直角三角形的方法求得AE ，即可随之确定BC .【详解】如图，过A 作直线BE 的垂线，交直线BE 于点G ，则90BGA ∠=︒.同时，连接AE .由已知有DE DA =，60EDA ∠=︒，故ADE V 是等边三角形，且60CFD EFB ∠=∠=︒.所以()180180360606024016575CDF EBF C CFD E EFB C E ∠+∠=︒-∠-∠+︒-∠-∠=︒-︒-︒-∠+∠=︒-︒=︒.从而7560135EBA EBF FBA EBF CDA EBF CDF FDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒.由于180********GBA EBA ∠=︒-∠=︒-︒=︒，而90BGA ∠=︒，故BGA △是等腰直角三角形，AB 为斜边.由已知有2BE =，AB CD ==，故42BG AG AB ===，所以426EG BG BE =+=+=，从而BC AD AE =====故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用已知条件的同时构造等腰直角三角形，方可使用勾股定理解决问题.18.如图，等腰直角ABC 的斜边AB 下方有一动点D ，90ADB ∠=︒，BE 平分ABD ∠交CD 于点E ，则CECD的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】设ABD ϕ∠=，先用平面几何方法及正弦定理求得πsin4πsin 4CECDϕ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求最小值.【详解】设ABD ϕ∠=，则2ABE ϕ∠=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由于πππ22ACB ADB ∠+∠=+=，故,,,A B C D 四点共圆，从而π4CDB CAB ∠=∠=.所以πsin sin 4πsin sin 4CBD CD CB CB CDB ϕ⎛⎫+ ⎪∠⎝⎭=⋅=⋅∠，()πsin sin sin 42πsin sin sin 42CBE CBE CE CB CB CB CB CEB CDB DBE ϕϕ⎛⎫+ ⎪∠∠⎝⎭=⋅=⋅=⋅∠∠+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.这就得到πsin π4sinπ42sin 4CECDϕ=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.当π4ϕ=时，ππsin sin44ππ2sin sin 24CE CD ϕ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以CE CD的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用正弦定理确定CECD的表达式，再求出最小值.三、解答题（48分）19.已知实数,a b 满足1a b +=，222a b +=，求a b -的值.【解析】【分析】先由已知条件证明()23a b -=，再确定a b -的可能值.【详解】由于()()()()()()22222222212224a b a b a b a ab baab b a b -+=-++=-++++=+=，故()23a b -=.所以a b -=或a b -=.当132a =，12b -=时，有1a b +=，222a b +=，此时a b -=；当132a -=，132b +=时，有1a b +=，222a b +=，此时a b -=.所以a b -的所有可能值为.20.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动，赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A :90100S <≤，B :8090S <≤，C :7080S <≤，D :70S ≤，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整.（2）扇形统计图中m =______，n =______，B 等级所占扇形的圆心角度数为______.（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）统计图见详解（2）15；5；252︒（3）23【解析】【分析】（1）根据题意求总人数和C 等级人数，进而可得统计图；（2）根据题意结合人数关系求,m n ，再根据比例取圆心角；（3）作出树状图或列表，结合相应数据求概率.【小问1详解】由题意可得：总人数为2870%40÷=，则C 等级的人数为4042826---=，据此补全统计图，如图所示：【小问2详解】由题意可得：62%100%15%,%100%5%4040m n =⨯==⨯=，即15,5m n ==，所以B 等级所占扇形的圆心角度数为70%360252⨯︒=︒.【小问3详解】树状图如下：列表如下：1A 2A 1B 2B 1A ╱×√√2A ×╱√√1B √√╱×2B √√×╱所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率82123P ==.21.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，5AB BC ==，1CD =，AD AB >，点B 到直线AD 的距离为BE .①求BE 的长；②若,M N 分别是,AB AD 边上的动点，求MNC 周长的最小值.【答案】（1）理由见解析（2）①4②【解析】【分析】（1）使用旋转前后的三角形全等即可得到结论；（2）①构造,AD BC 的交点，并使用相似三角形理论；②构造C 关于直线,AB AD 的对称点，然后利用两点之间线段最短即可.【小问1详解】此时有BCE 全等于BAF △，故90FBE ABC ABF CBE ABC ∠=∠+∠-∠=∠=︒，且BE BF =.从而BE BF =，90FBE ∠=︒，且9090180FBE FDE ∠+∠=︒+︒=︒.所以四边形BEDF 为“直等补”四边形.【小问2详解】如图，延长,AD BC ，设它们交于点F .①由已知有90ABC ADC ∠=∠=︒，故AC ==7AD ===.由于90CDF ABF ∠=∠=︒，CFD AFB ∠=∠，故CDF 相似于ABF △，所以15DF CF CD BF AF AB ===.而1111247115552525AD AF DF AF BF AF BC CF AF AF AF ==-=-=--=--=-，故253AF =.由于90AEB ABF ∠=∠=︒，BAE FAB ∠=∠，故ABE 相似于AFB △，所以AE ABAB AF=.故2253253AB AE AF===，所以4BE ===.②由于734DE AD AE =-=-=，故BD ===.设C 关于直线,AB AD 的对称点分别是,C C '''，则,B D 分别是,CC CC '''的中点，所以2C C BD '''=.从而根据对称性有2CM MN NC C M MN NC C C BD ''''''++=++≥==当,M N 分别为,AB AD 各自与线段C C '''的交点时，等号成立.所以MNC的周长的最小值是【点睛】关键点点睛：小问2的①亦可通过15CF AF AF ====解出253AF =或254AF =，再由24125AD AF =-和5AD AB >=得到254AF >，从而推知253AF =.22.已知在平面直角坐标系中，直线13:34=+l y x 交坐标轴于A 、B 两点，直线2:l y kx b =+交坐标轴于C 、D 两点，已知点()2,0C ，()0,6D .（1）设1l 与2l 交于点E ，试判断ACE △的形状，并说明理由；（2）点P 、Q 在ACE △的边上，且满足OPC 与OPQ △全等（点Q 异于点C ），直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）ACE △为等腰三角形，理由见详解（2）点Q 在坐标为86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，412,55⎛⎫-⎪⎝⎭，(2,0)-，418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）代入点C ，D 求得直线2:36l y x =-+，进而可得到点E 的坐标为418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出AE ，,AC CE ，从而可判断出ACE △为等腰三角形；（2）分①P 、Q 在CE 上；②P 在CE 上，Q 在AE 上；③P 在AE 上，Q 在CE 上；④P 在AC 上，Q 与点E 重合四种情况结合图形求解即可.【小问1详解】ACE △为等腰三角形，理由如下：对于直线13:34=+l y x ，令0x =，可得3y =，令0y =，可得4x =-，即()()4,0,0,3A B -；将点()2,0C ，()0,6D 代入直线2:l y kx b =+，可得206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，则直线2:36l y x =-+，联立方程33436y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得45185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即418,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得6,,65AE CE AC =====，即AE AC CE =≠，所以ACE △为等腰三角形.【小问2详解】①当P 、Q 在CE 上时，如图1，此时OPC OPQ ≅，则2OQ OC ==，设(3),6Q m m -+，又因为(2,0)C ，则()222362m m +-+=，解得85m =或2m =（舍去），所以86,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②P 在CE 上，Q 在AE 上时，如图2，此时OPC POQ ≅V V ，则,2POC OPQ PQ OC ==∠=∠，可知PQ OC ∥，设3,34Q n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则32,34P n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入36y x =-+得()333264n n +=-++，解得45n =-，所以412,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；③P 在AE 上，Q 在CE 上时，如图3，此时OPC OPQ ≅ ，则2OQ OC ==，可知(2,0)Q -；④P 在AC 上，Q 与点E 重合时，如图4，此时OPC POQ ≅V V ，则2,PQ OC POC OPQ ∠∠===，可得AOD APO =∠∠，AP PQ AO OC AC AE +=+==，所以Q 与点E 重合，即418,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述：点Q 在坐标为86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，412,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)-，418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过()3,0A 、()1,0B -、()0,3C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 是线段BC 上一动点，点D 关于AC 、AB 的对称点分别为点M 、N ，连接MN 交线段AC 、AB 于E 、F .求MF NE ⋅最小值；（3）在（2）的条件下请直接写出线段MN 的取值范围.【答案】（1）223y x x =-++（2）725（3）12565MN ≤≤【解析】【分析】（1）将,,A B C 三点代入解析式解得,,a b c ，即可得函数表达式；（2）分析可知：MAN △为等腰直角三角形，且AEN FAM :△△，进而可得2MF NE AD ⋅=，可知当且仅当AD BC ⊥时，AD 取到最小值，运算求解即可；（3）结合（2）可知：5AD ≤≤，且MN =，即可得结果【小问1详解】因为抛物线2y ax bx c =++经过()3,0A 、()1,0B -、()0,3C ，则93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为223y x x =-++.【小问2详解】连接AD，由题意可知：3,1OC OA OB ===，则45,4,CAO BC AB AC ∠=︒===由对称可知：,,AM AD AN MAC CAD BAD BAN ==∠=∠∠=∠，则()2290MAN MAC CAD BAD BAN CAD BAD CAO ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，可知MAN △为等腰直角三角形，则45AMN ANM ∠=∠=︒，即AMN ANM EAO ∠=∠=∠，又因为AEN AMN MAE EAO MAE MAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，可知AEN FAM :△△，则NA NE MF MA=，可得2MF NE NA MA AD ⋅=⋅=，当且仅当AD BC ⊥时，AD 取到最小值，即MF NE ⋅最小值，此时5OC AB AD BC ⋅==，所以MF NE ⋅最小值为2725AD =.【小问3详解】由（2）可知4,AB AC ==，且AD的最小值为5，可知5AD ≤≤，且MAN △为等腰直角三角形，则MN ==，所以65MN ≤≤.24.如图，在矩形ABCD 中，4cm AD =，3cm DC =，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 、Q 分别从点C 、A 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿C O B →→运动.到点B 停止，点Q 沿A D C →→运动，到点C 停止.连接,,AP AQ PQ ，设APQ △的面积为()2cmy （这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q 的运动时间为x （s ）.（1）当PQ CD ∥时，求x 的值；（2）当572x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）直接写出在整个运动过程中，使AQ PQ =的所有x 的值.【答案】（1）209（2）2235,41022128,45556,57x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩（3）2511,4,132【解析】【分析】（1）计算,P Q 到直线AB 的距离，由已知条件得到方程，再求解即可；（2）对不同的情况分类讨论计算三角形的面积；（3）对不同的情况分类讨论，列出相应的方程，再解出即可.【小问1详解】先大致将情况分为以下四种：当502x ≤≤时，点P 在OC 上，点Q 在AD 上；当542x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在AD 上；当45x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在DC 上；当57x ≤≤时，点P 停止在点B 处，点Q 在DC 上.由于点P 到直线AB 的距离为4max 4,05x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，点Q 到直线AB 的距离为{}min ,4x ，故{}4max 4,0min ,405x x ⎧⎫-=≠⎨⎬⎩⎭，由4max 4,005x ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭知4405x ->，故{}44min ,45x x -=.直接验证即知0x ≠，从而由{}4min ,4445x x =-<知4x <，故445x x =-，得209x =.【小问2详解】当542x ≤≤时，有AQ x =，而点P 在OB 上，点P 到直线AB 的距离为445x -，故点P 到直线AD 的距离为35x ，所以21332510y x x x =⋅⋅=；当45x ≤≤时，点Q 在DC 上，4DQ x =-，而点P 在OB 上，点P 到直线AB 的距离为445x -，故点P 到直线AD 的距离为35x ，所以()()21343121244421482555555y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当57x ≤≤时，点Q 在DC 上，4DQ x =-，而点P 停止在点B 处，故13462y =⋅⋅=.综上，所求的函数关系式为2235,41022128,45556,57x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩.【小问3详解】当502x ≤≤时，点P 在OC 上，点Q 在AD 上.若AQ PQ =，则85AP AQ =，即855x x -=，解得2513x =；当542x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在AD 上.此时点P 到直线AB 的距离为445x -，点P 到直线AD 的距离为35x .若AQ PQ =，则x =，解得4x =；当45x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在DC 上.此时4DQ x =-，点P 到直线AB 的距离为445x -，点P 到直线AD 的距离为35x .若AQ PQ ==4x =；当57x ≤≤时，点P 停止在点B 处，点Q 在DC 上.此时4DQ x =-，若AQ PQ =，则Q 是CD 的中点，从而342x -=，得112x =.综上，满足条件的x 的所有可能取值是2511,4,132.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于不同情况的分类讨论，较为繁琐，需要细心才能不重不漏.。

2024年浙江省宁波市宁海中学创新班提前招生数学试卷

2024年浙江省宁波市宁海中学创新班提前招生数学试卷一、选择题（48分）1．（4分）若二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象经过点（a，b）、（﹣a，b），则m的值为（）A．0B．3C．1D．0或32．（4分）小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差3．（4分）已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（）A．0个B．1个C．不少于2个但有限个D．无数个4．（4分）如图四边形ABCD与BEFG是并列放在一起的两个正方形，O是BF与EG的交点．如果正方形ABCD的面积是9，CG＝2，则△DEO的面积为（）A．1B．C．4D．5．（4分）将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果∠1＝50°，那么∠2＝（）A．30°B．34°C．36°D．40°6．（4分）若实数x满足，则x应满足的条件是（）A．x≥0或x≤﹣1B．x≤0C．﹣1≤x≤0D．x≥﹣17．（4分）如图△ABC的三条高相交于点G，CH是角平分线，已知∠ABC＝45°，∠ACD＝60°，则图中的等腰三角形共有（）个．A．5B．6C．7D．88．（4分）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（）A．125°B．120°C．130°D．115°9．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（﹣2，6），反比例函数经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（）A．3B．5C．6D．711．（4分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则P A2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点二、填空题（24分）13．（4分）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个解，则代数式的值是．14．（4分）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GFB＝．15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为．16．（4分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长．17．（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，线段DE 交边BC于点F，连接BE．若∠C+∠E＝165°，BE＝2，CD＝4，则线段BC的长为．18．（4分）如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是．三、解答题（48分）19．（6分）已知实数a、b满足a+b＝1，a2+b2＝2，求a﹣b的值．20．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．（8分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E 的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD 的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．22．（8分）已知在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3交坐标轴于A、B两点，直线l2：y＝kx+b交坐标轴于C、D两点，已知点C（2，0），D（0，6）．（1）设l1与l2交于点E，试判断△ACE的形状，并说明理由；（2）点P、Q在△ACE的边上，且满足△OPC与△OPQ全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是线段BC上一动点，点D关于AC、AB的对称点分别为点M、N，连接MN交线段AC、AB 于E、F．求MF•NE最小值；（3）在（2）的条件下请直接写出线段MN的取值范围．24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，DC＝3cm，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．（1）当PQ∥CD时，求x的值；（2）当时，求y与x之间的函数关系式；（3）直接写出在整个运动过程中，使AQ＝PQ的所有x的值．。

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）I.<5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（A.直线y=・x上B.抛物线上C.直线y=x上D.双曲线个，=1上2.（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%.则相同距离的行车时间可节省k%.那么的值是（A.35B.30C.25D,203.（5分）若-\<a<Q.则私a3,缶,右一定是（aA.最小，J最大aB.拓最小，〃最大C.上最小，〃最大aD. {■最小.折最大4.（5分）如图，将八ADE绕正方形A8CD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连接EF交AB于H,则卜列结论错误的是（A.AEIAFB.EF：AF=yj2-15.C.A—=FH・FE D・FBz FC=HB：EC（5分）在ZMBC中.点。

.E分别在A&AC上.且CD与BE相交于点F.已知WDF 的而积为10,ZiBCF的而积为20,的面积为16,则四边形区域ADFE的面枳等A.22B.24C.36D.44于（）6.（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到卜.次两人再同班，最长需要的天数是（）A.30B.35C.56D.448二.填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7.（5分）已知NA为锐角且4sin?A-4siMcosA+cos2A=0,则lanA8.（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A, B两艘船相会之后，4船以每小时12海浬的速度往南航行，矿船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过小时后.观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9.（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C三点的抛物线对应的函数关系式是.C10.（5分）桌而上有大小两颗球，相互靠在一起.己知大球的半径为20cm.小球半径攵则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm.11.（5分）物质A与物质B分别由点A（2,0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以I单位/秒等速运动，物质8按顺时针方向.以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是.A(2.0)12.（5分）设G. C2. C3,…为一群圆，其作法如下：G是半径为“的圆，在Q的圆内作四个相等的圆G（如图），每个圆C2和侦IG都内切，旦相邻的两个圆G均外切.再在每一个圆G中，用同样的方法作四个相等的圆G，依此类推作出Cs，C6.则（1）圆G的半径长等于（用«表示）；（2）圆Ck的半径为3为正整数，用"表示，不必证明）Cl三.解答题（本题有4个小题，共60分）13.（14分）如|¥|,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆。

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三上学期4月统一测试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三统一测试数学试题的。

1.已知集合，，则( )A. B. SC. TD. Z 2.已知是互相垂直的单位向量，若，则( )A. B.C. 0D. 23.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，均为锐角，且，则的最大值是( )A. 4B. 2C.D.5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x 轴，左边第一根弦在y 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线又称为雁柱曲线方程为，第第0根弦表示与y 轴重合的弦根弦分别与雁柱曲线和直线l ：交于点和，则( )参考数据：A. 814B. 900C. 914D. 10006.数列满足，，且其前n 项和为若，则正整数( )A. 99B. 103C. 107D. 1987.已知函数，，若，，，则a 、b 、c 的大小关系为( )A. B. C. D.8.已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m的值可以是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的有( )A. 若复数z满足，则；B. 若复数z满足，则；C.若复数满足，则；D. 若复数，则10.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为( )A. B. 1 C. 2 D. 311.在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则( )A. 当时，的周长为定值B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，有且仅有一个点P，使得D. 当时，有且仅有一个点P，使得平面12.已知函数，函数有两个不等实根，则下列选项正确的是( )A. 点是函数的零点B. ，，使C. 是的极大值点D. a的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【考试必备】2018-2019年最新浙江省镇海中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】

2018-2019年最新浙江省镇海中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形O周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）AB．10D6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选A拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（）A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.Error!B. Error!C.Error!D.Error!8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A．2.5 B．2 C. D.23510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )水平面主视方向A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）（A ）两个外离的圆（B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆（D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0；②abc >0；③8a ＋c >0；④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式有意义． 13－x14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.计算：(－1)0＋sin45°－2－1 201118。

浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷

浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）（A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【】8、下列命题中正确的个数有…【】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。

浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期中考试数学试卷含答案

高一数学第1页共4页镇海中学2023学年第二学期期中考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i z =+，2i z =，其中i 为虚数单位，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）A． CD．3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4.若a b c ，，为空间中的不同直线，αβγ，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ） ①a c b c ⊥⊥，，则a b ；②a b αα⊥⊥，，则a b ；③αγβγ⊥⊥，，则αβ ； ④a a αβ⊥⊥，，则αβ .A ．0B ．1C ．2D ． 3 5．一个射击运动员打靶6:9，5，7，6，8，7下列结论不正确．．．的是（ ▲ ） A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为76．如图，正三棱柱'''ABC A B C −的所有边长都相等，P 为线段'BB 的中点，Q 为侧面''BB C C 内的一点（包括边界，异于点P ），过点A 、P 、Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不．可能．．是（ ▲ ） A ．五边形 B ．四边形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 7．已知球O 为棱长为1的正四面体ABCD 的外接球，若点P 是正四面体ABCD 的表面上的一点，Q 为球O 表面上的一点，则PQ 的最大值为（ ▲ ）ABCD．2高一数学第2页共4页 8. 三棱锥P ABC −中，2 4 2 3PA PB CP BA BC ABC π====∠=，，，，则三棱锥P ABC−的体积的最大值为（ ▲ ） A.1 B.2 C.6 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分． 9.已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ▲ ）A. 事件A 与B 可能为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则()0.48P AB = C. 若A 与B 互斥，则()0.8P A B = D. 若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M N E ，，分别为线段111 A A D C B D ，，中点，P Q ，分别为线段BE ，线段1CD 上的动点，则三棱锥M PQN −的体积（ ▲ ）A.与P 点位置有关B.与P 点位置无关C.与Q 点位置有关D.与Q 点位置无关 11.如图，三棱锥P ABC −中，ABC △的正三角形，PA ⊥底面2ABC PA Q =，，是线段BC 上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.点B 到平面PAQ 的距离的最大值为32B.三棱锥P ABC −的内切球半径为38C.PB 与AQ 所成角可能为4πD.AQ 与平面PBC 所成角的正切值的最大值为43非选择题部分(共92分)三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a b ，，则事件||1a b −≤“”的概率为__▲__.13.正方体1111ABCD A B C D −棱长为2N ，为线段AC 上一动点，M 为线段1DD 上一动点，则1A M MN +的最小值为__▲__.14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C 车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C 三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.高一数学第3页共4页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数z 满足方程()1i i a z b +=，其中i 为虚数单位，a b ∈R 、. （1）当12a b ==，时，求||z ；（2）若1z z ⋅=，求2b a +的最小值.16.（15分）正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E ，F 分别为11A D 和11C D 的中点． (1)证明：直线CF 平面BDE ;(2)求直线1AA 与平面BDE 所成角的正切值．17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.A 1高一数学第4页共4页 18.（17分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC △是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===，（1）证明：BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点B 到面11ACC A 的距离;（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C −−的大小为6π，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB AC ，，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC(A) 或，其值为二面角B AO C −−的大小,点A 称为球面角的顶点，大圆弧 AB AC ，称为球面角的边. 不在同一大圆上的三点A B C ，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC △.这三条劣弧称为球面ABC △的边，A B C ，，三点称为球面ABC △的顶点；三个球面角A,B,C 称为球面ABC △的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A B C ，，. （1）球面ABC △的三条边长相等（称为等边球面三角形），若A=2π，求球面ABC △的内角和；（2）类比二面角，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，PM PN PQ ，，称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角 O ABC −. (i) 求球面ABC △的三个内角的余弦值; (ii) 求球面ABC △的面积.A镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.12图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然3过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，4⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。

浙江省宁波市镇海中学2023届高三第二学期模拟考试数学含答案

2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

【详解】因为点 P 到直线 x = -1 和它到点 (1,0) 的距离相等，
所以，点 P 的轨迹是以点 (1,0) 为焦点，直线 x = -1 为准线的抛物线，
设其方程为
y2
=ห้องสมุดไป่ตู้
2
px
，则
p 2
= 1，可得
p
=
2
，
答案第11 页，共22 页
故点 P 的轨迹方程为 y2 = 4x . 故选：D. 4．C 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可【详解】 a1 = 1, a2 = 4, a3 = 2, a4 = 1, a5 = 4, a6 = 2,L ,
(1)求 x 1 和 x2 ；
( ) (2)求 xn 和 xn-1 的关系并证明 n Î N* ；
( ) (3)证明：
i =1
2n
<
å n
xi
<
2n +1 n Î N* .
试卷第51 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
B
D
C
B
D
A
B
ABC BCD
题号 11
答案 AD
1．A
D．
k
£
-
4 3
7．已知 a = log2023 2024 ， b = log2024 2025 ， c = log2025 2026 ，则（）
A． a > b > c
B． a > c > b
C． c > b > a
D． c > a > b

2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e -2．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立．则p ⌝为（） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 5．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（） A ．55B ．35C ．79D ．2356．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（） A ．1B ．2C ．2D ．227．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 8．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（） A ．2()1x f x x =+ B ．727)2(f x x x =++-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x -+=9．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．23D ．12-11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（）A ．6898B ．6896C ．5268D ．526612．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（） A ．8B ．12C ．14D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

镇海中学跨区招生试题

yxP OB A第3题数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）：１．若a 、b+的值是（）（A ）二者均为有理数（B ）二者均为无理数（C ）一个为无理数，另一个为有理数（D ）以上三种情况均有可能．２．若xyx yx y yx 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是（）．（A ）29 （B ）49 （C ）5 （D ）6 ．３．如图，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴，垂足为A ，PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个．４．等边△ABC 的各边与它的内切圆相切于111,,A B C ，111A B C ∆的各边与它的内切圆相切于222,,A B C ，…，以此类推.若△ABC 的面积为1，则555A B C ∆的面积为（）（A ）51 （B ）251 （C ）521 （D ）1021．５．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（）(A) 1个 (B) 2个 (C) 50个 (D) 100个．６．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表：则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（）．（A ）① （B ）② （C ）④ （D ）③或⑤．７．如图，已知等腰梯形ABCD ，腰AB ＝CD ＝m ，对角线AC ⊥BD ，锐角∠ABC ＝α，则该梯形的面积是（）（A ）αsin 2m （B ）22)(sin αm（C ）αcos 2m （D ）22)(cos αm ．８．△ABC 有一边是另一边的2倍，又有一个内角等于30°，则下列正确的是（）(A) △ABC 不是直角三角形 (B) △ABC 不是锐角三角形(C) △ABC 不是钝角三角形 (D) 以上答案都不对．９．正五边形广场ABCDE 的边长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A 处，乙从C 处A B CD题7图同时出发，沿A —B —C —D —E —A 的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（）（A ）甲不在顶点处，乙在顶点处（B ）甲在顶点处，乙不在顶点处（C ）甲乙都在顶点处（D ）甲乙都不在顶点处10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３（D ）以上都不对．二、填空题（每小题5分，共30分）：11．如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若的度数为96°，的度数为36°，动点P 在直径AB 上，则CP＋PD 的最小值为___________．12．已知正数a ，b ，有下列命题：(1) 若a ＝1，b ＝11； (2) 若a ＝12， b ＝52≤32；(3) 若a ＝2，b ＝352； (4) 若a ＝1， b ＝5≤3．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则a b ≤________． 13．如果满足261610x x a ---=的实数x 恰有6个，则实数a 的值等于__________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线AC 对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是________．15．已知y x ,均为实数，且满足32,1222=+=++xy y x y x xy ，则33y xy x ++＝______________．16．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样……．则这5只猴子至少摘了_________个桃子．D'EDCB A第14题PD CBA第11题三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：17．关于x 的方程xkx xx x x k 1122+=---只有一个解，求k 的值和相应方程的解．18．已知：点A （6，0），B （0，3），线段AB 上一点C ，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，作CE ⊥y 轴于E ，若四边形ODCE 为正方形．⑴ 求点Ｃ的坐标；⑵ 若过点C ，E 的抛物线c bx ax y ++=2的顶点落在正方形ODCE 内（包括四边上），求a 的取值范围；⑶ 在题⑵的抛物线中与直线AB 相交于点Ｃ和另一点Ｐ，若△PEC ∽△PBE ，求此时抛物线的解析式．19．在一圆中，两条弦AB ，CD 相交于点E ，Ｍ为线段EB 之间的点（不包括E ，B ）．过点D ，E ，M 的圆在点E 的切线分别交直线BC ，AC 于F ，G ．若t ABAM =，求EFGE （用t 表示）．20．整数012320,,,,,x x x x x 满足条件：00x =，101x x =+，211x x =+，321xx =+，…，200320021xx=+.⑴ 试用仅含2003x 的代数式表示12320022003x x x x x +++++ ， ⑵ 求12320022003x x x x x +++++ 的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：１．Ａ２．A ３．D 4．Ｄ５．D ６．C ．７．Ｂ８．Ｂ９．Ｂ 10．Ｃ二、填空题（每小题5分，共30分）：11． 3 12．169413．1014．20354815． 420 16．3121三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：17．原方程可化为01232=-+-x kx kx ① 当0=k 时，原方程有唯一解21=x ．（３分）当0≠k 时，方程①的0)1(454)23(222>-+=+-=∆k k k k 故总有两个不同的实数根．按题设原方程只有一个解，因此必有一个根是原方程的增根，从原方程可知增根只可能是０或１，显然，０不是方程①的根，故1=x 是方程①的根，代入①得21=k ．由韦达定理可得原方程的根为21-=-k．所以，当0=k 时，原方程的解为21=x ；当21=k 时，原方程的解为2-=x ．（８分）18．⑴ C （2，2）（２分） ⑵ 0＜a ≤2 （５分） ⑶ P （32-，310）（８分）223432+-=x x y （10分）19．EFGE ＝tt-1．（以下解法仅供参考）连结AD ，MD ，BD ．可证得△CGE ∽△BDM ，MBDM CEGE =；①△CEF ∽△AMD ，DBAM EFCE =；②①×②得：EFGE ＝MBAM ＝tt -1．20．由已知得2210022211223222220032002200221,21,21,2 1.x x x x x x x x x x x x ⎧=++⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪⎪=++⎩于是222003001220022()2003x x x x x x =+++++ ，又00x =，则221220032003200320032()22003(1)2004x x x x x x ++=+-=+- ,即 12320022003x x x x x +++++ =1222003(1)2004x +-. （５分）由于12320022x x x x x +++++ 为整数，则20031x +是偶数，比较2442004-与2462004-的大小，可得12320022003x x x x x +++++ ≥122442004-＝34．当02419600x x x x ==== ，13519591x x x x ====- ，19611x =，19622x =，19633x =，…，200343x =时，等号成立．所以12320022003x x x x x +++++ 的最小值为34．（12分）。

2013年浙江省镇海中学跨区招生数学试卷及答案

2013镇海中学跨区招生数学试题卷满分：120分时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（）⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（）（A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（）（A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３（D ）以上都不对．第9题图二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

浙江省镇海中学年跨区班招生科学试卷

宁波镇海中学跨区班招生试题科学试卷一，选择题（每题3分，共75分）1．现在厂家有一批规格为1米×1米×1米的立方体水泥块，已知这种水泥块每块的质量为2500千克，某工地需要100块这种水泥块，要求厂家运到工地，厂家只有限载8吨的货车，则需要运几车才能完成？（） A ：31 B ：32 C ：33 D ：342．把0℃的水和-5℃的一块冰混合后，放在一个与外界隔热的容器里，那么过一段时间后，下列正确的说法是（）A ：部分冰熔化，冰的质量减少 B ：部分水凝固，水的质量减少 C ：以上两种情况都有可能发生 D ：冰和水的质量均保持不变3．跳绳是冬季的一种健身运动，旁人看起来似乎很简单，然而亲自跳起来就会感到运动量是相当大的。

有位同学对此作了专门研究：跳绳者的质量m=50kg ，跳绳者的重心高度随时间变化的情况如图所示。

根据所给条件可估算出此跳绳者在1分钟内克服重力做功的平均功率为：（）A ．168.75WB ．135WC ．75WD ．67.5W4．如图8所示，如果在a 、b 两点之间再并联一个灯泡，则( )A ．电流表示数增大，电压表示数减小B ．电流表示数减小，电压表示数增大C ．电流表示数增大，电压表示数增大D ．电流表示数减小，电压表示数减小 5．如图18所示，主光轴上有一点光源，在透镜的另一侧有一光屏．光屏、点光源通过凸透镜在光屏上形成一个光斑，现让光屏稍微靠近凸透镜，光斑的面积会减小，设凸透镜的焦距为f ，由此可判断( )A ．d 一定小于fB ．d 一定大于2fC ．d 一定大于f ，小于2fD ．d 可能大于2f ，也可能小于f6．如图20所示，有一电路暗盒，盒内有一电源和一定值电阻，A 、B 、C 为表面的三个接线柱．现有一实验灯泡的红、蓝两线头分别去接触三个接线柱，测试结果如下表所示，则下列判断中正确的是( )实验次数实验过程实验现象(灯泡发光情况)1红线头接A 接线柱蓝线头接C 接线柱正常发光蓝线头接B 接线柱不亮 2红线头接B 接线柱蓝线头接C 接线柱灯光暗淡蓝线头接A 接线柱不亮 A ．A 、B 间连接的是电阻，A 、C 间连接的是电源 B ．B 、C 间连接的是电阻，A 、C 间连接的是电源 C ．B 、C 间连接的是电阻，A 、B 间连接的是电源 D ．A 、C 间连接的是电阻，B 、C 间连接的是电源 7．在某次青少年“机器人”展示活动中，甲、乙、丙三个智能机器人在周长为20m 的圆形轨道上进行速度测试活动．它们同时从同一位置出发，甲率先跑完5圈，此时乙正好落后甲半圈；当乙也跑完5圈时，丙恰好也落后乙半圈．假设甲、乙、丙沿圆周运动时速度大小均保持不变，按照大赛的要求，三个机器人都要跑完50圈，那么当甲完成任务时，丙还要跑( )A ．9圈B ．9.5圈C ．10圈D ．10.5圈8．如图24所示，三个定值电阻R 1、R 2、R 3的电阻值均不相等，在 A 、 B 之间接一个电源，在C 、D 之间接一个电流表，电流表的示数为I ，现将电源、电流表的位置互调，则电流表的示数( ) A ．可能增大 B ．可能减小 C ．一定不变 D ．由于R 1、R 2、R 3大小关系不知，故无法判定 9．有一个梯形物体浸没在水中，如图15所示，水的密度为ρ，深度为H ，物块高度为h ，体积为V ，较小的下底面面积为S ，与容器底紧密接触，其间无水．则该物体所受的浮力为( )A. ρgVB. ρ( V- hS)gC. ρ(V-HS)gD. ρgV-(p 0+ρgH)S 10.用I 2O 5可以测定空气受CO 污染的程度，发生的反应是 I 2O 5+5CO I 2+5CO 2根据生成的CO 2的多少，可以判断CO 的含量。

浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案

镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（）（A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（）（A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３（D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y＝﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y＝x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y＝x上，故本选项正确；D、因为xy＝1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy＝1上，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得＝k%．解得k＝20．故选：D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3＝﹣0.000 000 001，＝﹣0.1，＝﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF＝AE，∠F AB＝∠EAD，∠F AB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF＝：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC＝HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2＝FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．44【分析】可设S△ADF＝m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF＝m，∵S△BDF：S△BCF＝10：20＝1：2＝DF：CF，则有2m＝S△AEF+S△EFC，S△AEF＝2m﹣16，而S△BFC：S△EFC＝20：16＝5：4＝BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4，而S△ABF＝m+S△BDF＝m+10，∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4＝（m+10）：（2m﹣16），解得m＝20．S△AEF＝2×20﹣16＝24，S ADEF＝S△AEF+S△ADF＝24+20＝44．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152＝105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3＝每天3个班再用105除以3＝35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152＝105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）＝35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sin A﹣cos A＝0，再根据tan A的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sin A﹣cos A）2＝0，解得：2sin A﹣cos A＝0，2sin A＝cos A，∴tan A＝＝＝0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC＝3x，AC＝12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2＝OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2＝AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2＝AB2＝（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2＝（15x）2，解得：x＝2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y＝﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．故答案为：y＝﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB 是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，∴AB＝25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE＝CD，EC＝BD＝5cm，∴AE＝AC﹣EC＝15cm，在Rt△AEB中，BE＝＝＝20（cm），∴CD＝20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×＝，物质B行的路程为16×＝，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×＝，物质B行的路程为16×2×＝，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×＝16，物质B行的路程为16×3×＝32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×＝，物质B行的路程为16×4×＝，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×＝，物质B行的路程为16×5×＝，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11＝3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC＝2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC＝2r，推出方程2a﹣2r＝2r，求出即可；（2）求出r＝（﹣1）a，r3＝（﹣1）r＝a，r4＝，得出圆∁k 的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC＝2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝2r，∴2a﹣2r＝2r，解得：r＝（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r＝（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3＝（﹣1）r＝a，C4的半径是r4＝，…圆∁k的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k＝（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC＝AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC＝AD，从而得到AD＝AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB＝BE＝4，从而求得BC＝BE＝4，然后连接BD，得到∠DBE＝90°，进而得到BE＝BC＝CE＝4，然后求面积即可．【解答】解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC＝AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC＝AD，∴AD＝AE．（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又AE＝2OC，∴AB＝BE＝4，∵AD＝AE，∴BC＝BE＝4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE＝90°，∴DB⊥AE，∵AB＝BE，∴DA＝DE＝AE，∴△AED是等边三角形，∴BC＝OA＝BE＝CE＝4，∴△BCE是等边三角形，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b＝﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2＝|x2﹣x1|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4，∴|AB|＝2．又设顶点M（a，b），由y＝（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b＝﹣（p﹣1）2﹣1．当p＝1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM＝|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z＝12，3x+y＝19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣600×4+19300＝16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z＝12，3x+y＝19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y＝x﹣1与C 点不过y＝x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF＝n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y＝x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y＝x﹣1；则2＝（m+3）﹣1，m＝﹣1与m＞0不合；∴C点不过y＝x﹣1；若点D过y＝x﹣1，则2＝m﹣1，m＝2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y＝ax2﹣7ax+10a（也可得：y＝a（x﹣2）（x﹣5）＝a（x2﹣7x+10）＝ax2﹣7ax+10a）∴y＝a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于N，交AD于F，设AF＝n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF＝NF，CN＝BC＝2，∴CF＝n+2，DF＝2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2＝CF2；∴32+（2﹣n）2＝（n+2）2，∴n＝，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a＝，∴a＝﹣；∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y＝x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y＝x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。

宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(解析版)

考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150浙江宁波镇海中学2026届高二数学秋季月考卷第一期分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a =，()1,1b =− ，则2a b −=A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b −=−−=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（） A. 1 B.12C. 12−D. 1−【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =− 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =，直线2:310l x ay −−=的斜率不存在，此时两条直线不垂直；当0a ≠时，直线1:320l x y −+=的斜率113k =，直线2:310l x ay −−=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =− ，所以13113a a×==−，解得：1a =−. 故选：D.3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（） A. (),20−∞ B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞【答案】B 【解析】分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +−>，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5−∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（） A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bb B. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bb C. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥ D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN =，则k 等于（）A. 0B. 23−C. 23−或0 D. 34−或0 【【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离，即可求出k 的值. 【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心 (3,2) 到直线 3y kx =+ 的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34−，故选：D.6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（）， A. 1条 B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果. 【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=，将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=，当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b −+∴===+−−−， a ∗∈N ，303b ≠−，33b ∗∴∈−N ，31b ∴−=或33b −=，44b a = ∴ =或62b a = = ，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（）A [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)ADa a =>，(02)AP x x =<<，则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =−，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +−=，所以a ，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x −−+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求.PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y −+−=的圆心为()9,2C ，半径为4，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO −≤≤+−≤≤+，所以5PM PN PO PC +≥+−，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =−−的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ，则1322nmn m ==−− ，解得33m n =− =− ，故()3,3G −−，因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立，所以PM PN +的最小值为1358−=. 故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（） A. 1 B. 2 C. 1− D. －2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y −=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行，所以1a ≠±．故选：AC.10. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确的是（） A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3πB. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断；选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=，即可判断；选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠°，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D −−的平面角为14DAD π∠=；故C 正确. 选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥. 同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C −−的平面角。

浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷(原卷版)

镇海中学2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（） A. 2B.C. D. 42. 若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +− 构成基底的向量是（）A. aB. 2a b +C. 2a c +D. c3. l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（） A. l 平行平面α内的无数条直线 B. l 平行于平面α的法向量 C. l 垂直于平面α的法向量D. l 与平面α没有公共点4. 己知 (2,2,1)(1,1,0)ab =，，则a 在b上投影向量的坐标为（）A. (1,1,0)B. (1,2,0)C. (2,2,0)D. (1,1,1)5. 点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不确定6. 如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈ ，则||AP的最小值为（）A.B.C.D.127. 实数,x y 满足2222x y x y +=−，则|3|x y −+最小值为（）的的A. 3B. 7C.D. 3+8. 在棱长为2的正四面体O ABC −中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A. 23B. 23C.D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9. 已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,F F，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A. 椭圆CB. 12F PF △的周长为3C. 12F PF ∠不可能是直角D. 当1260F PF ∠=°时，12F PF △10. 已知圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A. 直线12C C 恒过定点(3,0)B. 当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ = C 若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a < D. 当13a =时，圆1C 与圆2C11. 埃舍尔是荷兰著名版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E −与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n −=分别为线段的中点．左.的塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D −′′′′的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45°，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n nn n n A B C D A B C D n ′′′′−=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A. 在图5中，1322A P E P ⊥B. 在图5中，直线12Q A 与平面122A E PC. 在图10中，设点nA ′的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D. 在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)−，则点A 到平面α的距离是_______．13. 已知点P 是直线80−+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y −+−=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c −，下顶点为点()0,M b −，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15. 已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)−，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．16. 如图，正三棱柱111ABC A B C 所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D AB =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．17. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且过(−．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P −直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直的线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB =，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得1||4PB PB +=且1||PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．19. 在空间直角坐标系O xyz −中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c−−−==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z −+−+−=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+−=，平面1:210y z β−+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．。