5月31日数学网上作业
【高一年级】每天一道数学题——5月31日
【高一年级】每天一道数学题——5月31日本期考察知识：基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．例题分析:例：例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
山东省滕州高一下学期5月月考数学试题(解析版)
高一第四次单元检测数学试题第Ⅰ卷（共60分）一､单选题1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量1e =C. 零向量与任意向量平行D. 若向量，满足，则a b ||||a b = a b =± 【答案】C 【解析】【分析】对于A ：由方向不一定相同否定结论；对于B ：单位向量.否定结论； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D ：，的方向可以是任意的. 否定结论. ab【详解】对于A ：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A 错误； 对于B ：单位向量.故B 错误； 1e =对于C ：零向量与任意向量平行.正确；对于D ：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. ab||||a b =ab故选：C2. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） ()()23i 4i 7z =+-i z A. -13 B. 13C. -26D. 26【答案】A 【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则化简即可.【详解】∵，的虚部为-13. ()()23i 4i 72613i z =+-=--z 故选：A3. 已知向量，若与共线，则等于（ ）()()2,3,1,2==- a b ma nb + 2a b - m nA. B. C. D. 212-122-【答案】A 【解析】【分析】先得出与的坐标，由共线得出，进而得出答案.ma nb +2a b -147m n =-【详解】解：易得，()()2,32,24,1ma nb m n m n a b +=-+-=-因为与共线， ma nb +2a b -所以， ()()()21324m n m n -⨯-=+⨯即，所以. 147m n =-12m n =-故选：.A 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A .B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，r 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 2l r =则圆锥和圆柱的高为， h ==所以圆锥的侧面积为，2112π2π2S r l r =⨯⨯=圆柱的侧面积为，222πS r h r =⨯=所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 12S S =故选:C.5. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）a b ||2||2b a == |2|2a b -=a b A. B.C.D.30︒45︒60︒90︒【答案】C 【解析】【分析】对等式两边平方即可求得夹角. 22a b -= 【详解】，，|2|2a b -=224a b∴-=即，22444a a b b -⋅+=即， 2244cos 4a a b b θ-+=又， 21b a ==，，48cos 44θ∴-+=解得，， 1cos 2θ=[0,]θπ∈所以. 60θ=︒故选：C6. 已知函数在时取得最大值，则（ ） ()sin f x x x =+x θ=πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即()f x π2π,Z 6k k θ=+∈可求解【详解】因为在时取得最大值， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭x θ=所以，即， ππ2π,Z 32k k θ+=+∈π2π,Z 6k k θ=+∈所以ππππcos 2cos 4πcos 43434k πθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin Z 3434k =⨯-⨯=∈故选：C7. 已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为A BCD -O A BCD -O （ ） A. B.C.D.π2π4π6π【答案】D 【解析】【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的所有棱长均为2，A BCD -故可把三棱锥放置在正方体中， A BCD -1111A BC D AB CD -如图设正方体的棱长为a ，则，解得2222a a +=a =三棱锥的外接球就是正方体的外接球，A BCD -故球的半径的表面积. O R ==O 24π6πS =⋅=故选：D8. 已知正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论： 1111ABCD A B C D -2,,E F 1,AB AC ①；11B C A E ∥②点到平面； E 11A B C ③三棱锥的体积为； 11A B CE -43④与AFCE 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】对于①，利用线线平行的判定即可；对于②③利用三棱锥的体积公式及等体积法转化即可；对于④利用余弦定理即可. 【详解】如图所示，对于①，在正方体中易知,而,∴不平行，故①错误； 11//B C A D 111A D A E A ⋂=11B C A E ，对于②③，设点到平面的距离为，则E 11A B C d，111111111122223232E A B C C A B E A B CE V d V V ---=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯=∴，②③正确；d =1143A B CE V -=对于④，取中点,连接，∥，即易知与的夹角可化为与的1A E H ,AH FH FH ∴CE AFCE AF HF夹角， 111,22AF A C HF EC AH =====由余弦定理可得 222cos sin 2AF HF AH AFH AFH AF HF +-∠==∠=⋅故⑤正确.综上正确的结论有三个， 故选:C二､多选题9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）,a bA. B.a b a b +≤+ a b a b -≤- C.D. 若，则a b a b ⋅≤⋅ a b > a b > 【答案】AC 【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，显然正确；对于B ，当为非零向量，且时，显然a b a b +≤+ ,a b a b =-r r，B 错误；20a b a a b -=>-=对于C ，，C 正确；对于D ，向量无法比较大小，D 错误.cos cos a b a b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅故选：AC.10. 在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ） 1111ABCD A B C D -AC BD O A. 平面 1AD //1BOC B. 平面BD ⊥1COC C. 与平面所成的角为 1C O ABCD 45 D. 三棱锥的体积为 1C BOC -23【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行判定定理判断A ，利用线面垂直判定定理判断B ，利用线面夹角的定义判断C ，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面111//,AD BC AD ⊄11,BOC BC ⊂1,BOC 平面，A 对；1∴AD //1BOC因为又平面，平面， ,BD CO ⊥1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以平面11,,BD CC CD CC C ⊥= 1,CD CC ⊂1,COC 平面，B 对；BD ∴⊥1COC 因为平面与平面所成角为 1C C ⊥1,ABCD C O ABCD 1,C OC ∠因为，C 错； 1tan 1C OC ∠=≠145,C OC ∠∴≠ 因为，D 对. 11112212323C BOC C BOC V V --==⨯⨯⨯⨯= 故选：. ABD11. 已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ） ()3sin22f x x x =C A. 图象关于直线对称 C 5π12x =B. 图象的所有对称中心都可以表示为（） C ππ,062k ⎛⎫+⎪⎝⎭k ∈ZC. 函数在上的最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案. ()f x【详解】， ()3πsin23sin 223f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A 选项，，所以图象关于直线对称，A 选项正确.5ππ5πππ2123632⨯-=-=C 5π12x =B 选项，由，解得， π2π3x k -=ππ26k x =+所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B 选项正确. C ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z C 选项，， πππ2π0,22333x x ≤≤-≤-≤所以当时，取得最小值C 选项正确. ππ2,033x x -=-=()f x 3⎛⨯= ⎝D 选项，， ππππ,2012623x x -≤≤-≤-≤所以函数在区间上单调递增，D 选项错误. ()f x ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：ABC12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结ABC ,,A B C ,,a b c ()()()::4:5:6b c c a a b +++=论正确的是（ ）A. B.sin :sin :sin 7:5:3A B C =0CA CB ⋅<C. 若，则的面积是15D. 若，则外接圆半径是6c =ABC 8+=b c ABC 【答案】AD 【解析】【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >72a t =52b t =32c t =理可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确. 【详解】设，，，， 4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >则，，， 72a t =52b t =32c t =对于A ，，故A 正确； 753sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t ==7:5:3=对于B ，，故B 不正CA CB ⋅ cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab+-=⋅222214925965()24448t t t t =+-=0>确；对于C ，若，则，，，6c =4t =14a =10b =所以，所以， 22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==⨯⨯1314=sin C ===所以的面积是，故C 不正确； ABC11sin 141022ab C =⨯⨯=对于D ，若，则，则，则，，， 8+=b c 53822t t +=2t =7a =5b =3c =所以，， 2224925913cos 227514a b c C ab +-+-===⨯⨯sin C ===所以外接圆半径为.故D 正确. ABC2sin cC==故选：AD第II 卷（共90分）三､填空题13. 设i 为虚数单位，若复数，则z 的实部与虚部的和为______． 12iiz +=【答案】1 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据实部和虚部的概念即可求得结果. z 【详解】因为， ()()()12i i 12i 2i i i i z +⨯-+===-⨯-因此，复数的实部与虚部之和为. z 2(1)1+-=故答案为：114. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.()()2,3,5,1a b == b a【答案】 (2,3)【解析】【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解即可.【详解】因为向量，()()2,3,5,1a b ==所以向量在向量的方向上的投影向量为b a，(2,3)a b a a a ⋅⋅== 故答案为：(2,3)15. 如图所示，CD 是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB （高为米）与雕像之间的地面上的点M 处（B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A 及雕像顶C的仰角分20)别是15°和60°，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30°，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．【答案】【解析】【分析】结合正弦定理、三角恒等变换等知识计算出正确答案.【详解】在中，，解得Rt ABM sin15AB AM=sin15AB AM == 其中()sin15sin 454o 534530sin cos 0c s sin 30=-=-， 12==在中，，ACM △301545,1801560105CAM AMC ∠∠=+==--=所以，由正弦定理得，，1804510530ACM ∠=--=sin sin AM CMACM CAM∠∠=故．sin 80sin CAM CM AM ACM ∠∠=⋅=在中，，所以Rt CDM △60CMD ∠=sin6080CD CM === 估算该雕像的高度为故答案为：16. 如图，在棱长为1的正方体中，点P 是线段上一动点（不与，B 重合），则下列命题中： 1A B 1A ①平面平面； 1AA P ⊥11D A P ②一定是锐角； 1APD ∠③；11DC D P ⊥④三棱锥的体积为定值． 11B D PC -其中真命题的有__________．【答案】①③④ 【解析】【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是11A D ⊥1AA P P 的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得1A B 1APD ∠1DC ⊥11A BCD ，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即11DC D P ⊥11B D PC -可知④正确.【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面11A D ⊥1AA P 11A D ⊂11D A P 1AA P ⊥，即①正确；11D A P对于②，当是的中点时，P 1A B易得， 11AP AD D P =====满足，此时是直角，所以②错误；22211AP D P AD +=1APD ∠对于③，连接，如下图所示;11,D C DC由正方体可知，且平面，平面，11DC D C ⊥BC⊥11DCC D 1DC ⊂11DCC D 所以， 1BC DC ⊥又，平面，所以平面；1D C BC C = 1,D C BC ⊂11A BCD 1DC ⊥11A BCD 又平面，所以，即③正确；1D P ⊂11A BCD 11DC D P ⊥对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，11B D PC -1111B D PC P B D C V V --=11B D C 平面，所以点到平面的距离是定值，1//A B 11B D C P 11B D C 所以三棱锥的体积为定值,即④正确.11B D PC -故答案为：①③④四､解答题17. 已知两个非零向量与不共线，a b （1）若，证明：三点共线； (),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=- ,,A B D （2）若，且，求实数的值． ()()1,21,1,a b c a b λ===+ ，b c ⊥ λ【答案】（1）证明见解析（2） 32λ=-【解析】【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可； 5BD AB =（2）根据向量坐标运算公式得到，根据进行坐标运算即可.c 0b c ⋅= 【小问1详解】根据条件可知，，555BD a b BC CD AB +===+ 所以，共线， AB BD又因为，有公共点B ，AB BD 所以A ，B ，D 三点共线．【小问2详解】因为， ()()1,21,1a b == ，所以，()()()1,2,1,2c a b λλλλλ=+=+=++ 因为，所以，解得， b c ⊥ 120b c λλ⋅=+++= 32λ=-所以实数的值为. λ32-18. 已知复数，.12i z =+223i z =-（1）计算.12z z ⋅（2）若，且复数的实部为复数的虚部，求复数.5z =z 12z z -z 【答案】（1）74i -（2）或.43i z =+43i z =-【解析】【分析】（1）由复数的乘法运算法则，即可求解；（2）设，由和，根据题意求得的值，即可求得复数.i z a b =+5z =124i z z -=,a b z 【小问1详解】由题意，复数，122,23i i z z =+=-可得212(2i)(23i)46i 2i 3i 74i z z ⋅=+-=-+-⋅=-【小问2详解】设，i(,R)z a b a b =+∈因为，所以，5z =2225a b +=由复数，所以复数的虚部为，12(2i)(23i)4i z z -=+--=12z z -4又因为复数的实部为复数的虚部，所以，z 12z z -4a =又由，解得，所以或.2225a b +=3b =±43i z =+43i z =-19. 已知函数． ()2cos 222x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）求在区间上的最大值． ()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）2π（2） 1-【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，即可求得周期； （2）由的范围得到的范围，再根据正弦函数的图象可得结果. x π4x +【小问1详解】， 2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -=-=-πsin(4x =+所以的最小正周期.()f x 2πT =【小问2详解】 ∵，∴， ππ22x -≤≤4π4π3π4x -≤+≤当，即时，ππ42x +=π4x =()max 1f x =-20. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的1AA AB C M 1AC 中点．已知，.14AA AC ==3BC =（1）求圆柱的体积；（2）求证：.BC AM ⊥【答案】（1）25π（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立. BC⊥1AAC 【小问1详解】解：设圆柱的底面半径为，r 因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则， AB C 4AC =3BC =ACBC ⊥由勾股定理可得，所以，， 25r AB ====52r =因此，该圆柱的体积为. 2215ππ425π2r AA ⎛⎫⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，，1AA ⊥ABC BC ⊂ABC 1BC AA ⊥又因为，，、平面，所以，平面. AC BC ⊥1AC AA A =∩AC 1AA ⊂1AAC BC ⊥1AAC 因为平面，所以，. AM ⊂1AAC BC AM ⊥21. 已知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，为1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===1AA =E 的中点．11B D（1）证明：平面；//AE 1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】连接AC 交BD 于点，连接，F 1C F 在直四棱柱中，，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11=AA CC 所以四边形为平行四边形，即，，11AAC C 11//AC AC 11=AC A C 又因为底面ABCD 为菱形，所以点为AC 的中点，F 点为的中点，即点为的中点，所以，，E 11B D E 11AC 1//C E AF 1C E AF =即四边形为平行四边形，所以，1AFC E 1//AE C F 因为平面，平面，，所以平面；1C F ⊂1BDC AE ⊄1BDC //AE 1BDC 【小问2详解】在直棱柱中平面，平面，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 所以，111BB AC ⊥又因为上底面为菱形，所以，1111D C B A 1111B D AC ⊥因为平面，1111111,,B D BB B B D BB =⊂I 11BB D D 所以平面，11A C ⊥11BB D D 因为在中，， ABD △2AB AD BD ===且点为BD 的中点，所以，即， F AF ==1C E =所以． 11111121332E BDC C BDE BDE V V S C E --==⋅=⨯⨯=△22. 的内角的对边分别为，已知，． ABC ,,A B C ,,a b c sin 0A A =2a b ==（1）求；c （2）设为边上一点，且，求的面积．D BC AD AC ⊥ABD △【答案】（1）4c =（2【解析】【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； sin 0A A +=23A π=c（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可. cos C =AD 【小问1详解】因为，所以，所以．在中，由余弦定理得sin 0A A =tan (0,)=∈A A π23A π=ABC ， 222844cos 3c c π=+-即，解得（舍去），．22240c c +-=6c =-4c =【小问2详解】因为，由余弦定理得，又，即是直2,4b a c ===222cos 2a b c C ab +-==AD AC ⊥ACD 角三角形，所以，cos AC DC C =则，又，则，所以的面积===DC AD 23A π=2326DAB πππ∠=-=ABD △为． 1sin 26S AB AD π=⋅⋅=。
浙江省金华市东阳市2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题【含答案】
“最慧学杯”数学学科竞赛一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知复数z 满足()12i z i +=（i 为虚数单位），则z =（）A.2B.1C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】首先利用复数代数形式的除法运算求出复数z ，再求出复数z 的共轭复数的模即可；【详解】解：()12i z i += ，()()()()2121111i i iz i i i i -∴===+++-1z i∴=-()22112z ∴=+-=，故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算及复数的模的计算，属于基础题.2.设0a >，0b >，则“a b >”是“11a b<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法结合得出11a b<的等价条件，即可得出结论.【详解】因为0a >，0b >，由11a b <可得110a b b a ab--=>，则0a b ->，即a b >，因此，若0a >，0b >，则“a b >”是“11a b<”的充要条件.故选：C.3.若ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC 的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.以上都有可能【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得可设2a k =，3b k =，4c k =，再由余弦定理判断最大角C 的余弦值符号即可求解.【详解】由sin :sin :sin 2:3:4A B C =，得::2:3:4a b c =，设2a k =，3b k =，4c k =（0k >），则由余弦定理有：22222249161cos 022234a b c k k k C ab k k +-+-===-<⨯⨯，又0C π<<，所以2C ππ<<，即C 为钝角；故选：A.4.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5.如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和方差分别是()A.x 和s 2B.3x 和9s 2C.3x ＋2和9s2D.3x ＋2和12s 2＋4【答案】C 【解析】【详解】3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数是3x ＋2，由于数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，所以3x 1＋2,3x 2＋2，…，3x n ＋2的方差为9s 2，所以选择C．【点睛】利用样本的平均数公式及方差公式可推导出如下结论：如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则123,,,......,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数和方差分别是ax 和22S a ，请同学们记住这个结论.记住如下结论6.已知函数π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.2B.4C.6D.10【答案】A 【解析】【分析】根据对称轴可得28k ω=+或68,Z,k k ω=-+∈进而根据三角函数的性子即可求解.【详解】由π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω的图象关于直线π8x =对称可得ππππ,Z,842k k ω+=±+∈解得28k ω=+或68,Z,k k ω=-+∈由πππππ0,,,64464x x ωω⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有最小值，所以ππ3π156422ωω+≤⇒≤，又28k ω=+或68,Z,k k ω=-+∈所以2ω=，故选：A7.在ABC 中，点D 在BC 上，且满足14BD BC =，点E 为AD 上任意一点，若实数,x y 满足BE xBA yBC=+ ，则12x y+的最小值为（）A.22B.43C.423+D.942+【答案】D 【解析】【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，41x y +=，再根据“1”的代换即可求出．【详解】因为14BD BC =，所以BE xBA yBC =+ ，即4BE xBA yBD =+ ，由,,A E D 三点共线可得41x y +=，且0,0x y >>，所以()12122449928942x y x y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当24x y y x =，即22174214x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩时取等号．故选：D ．8.如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，6AB =，35SA =，它的内切球O 与四个侧面分别相切于点E ，F ，G ，H 处，则四边形EFGH 外接圆的半径为（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面SMN ，,M N 是,AD BC 中点，SMN 的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点,E G 为球与正四棱锥侧面的切点，求得SMN 的边长，得切点,E G 位置求得EG ，而四边形EFGH 是正方形，对称线为其外接圆直径，由此可得．【详解】如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面SMN ，不妨设,M N 是,AD BC 中点（,SM SN 是正四棱锥的斜高），则SMN 的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点,E G 为球与正四棱锥侧面的切点，正四棱锥S ABCD -中，6AB =，35SA =，则22(35)36SM SN ==-=，6MN AB ==，SMN是等边三角形，则,E G 分别为,SM SN 的中点，132EG MN ==，由正四棱锥性质知四边形EFGH 是正方形，所以外接圆半径为1322r EG ==．故选：C ．【点睛】方法点睛：在涉及到正棱锥与内切球、外接球的计算中，常常需要作出截面得出相应关系求解．对正四棱锥来讲，有两个截面，一个是本题中作出的过棱锥的标点，和底面对边中点的截面，它截正四棱锥内切球所得大圆为截面三角形的内切圆，另外一个是正四棱锥的对角面SAC ，它截外接球的大圆是截面三角形的外接圆．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分）9.对于集合,A B ，定义{|A B x x A -=∈，且}x B ∉，下列命题正确的有（）A.若A B A -=，则A B ⋂=∅B.若A B A ⋃=，则A A B B-=ðC.若*{N |15}A x x =∈-≤<，{|2B x x =≤，或3}x >，则{3}A B -=D.若{|0}A x x =≥，{|33}B x x =-≤≤，则()(){|30A B B A x x --=-≤≤ ，或3}x >【答案】ABC 【解析】【分析】根据集合新定义即{|A B x x A -=∈，且}x B ∉，一一判断各选项，可得答案.【详解】因为{|A B x x A -=∈，且}x B ∉，所以若A B A -=，则A B ⋂=∅，故A 正确，若A B A ⋃=，则B A ⊆,则A A B B -=ð，故B 正确;*{N |15}{1,2,3,4}A x x =∈-≤<=，{|2B x x =≤，或3}x >，则{3}A B -=，故C 正确，若{|0}A x x =≥，{|33}B x x =-≤≤，则{|3}A B x x -=>，{}|30B A x x -=-≤<，()(){|30A B B A x x ∴--=-≤< 或3}x >，故D 错误.故选：ABC10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()223x x x f =-+，则下列结论正确的是（）A.()2f x ≥B.当0x <时，()223f x x x =---C.1x =是()f x 图像的一条对称轴D.()f x 在(),1-∞-上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答.【详解】当0x >时，()223x x x f =-+，而函数()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，A 错误；当0x <时，22()()[()2()3]23f x f x x x x x =--=----+=---，B 正确；因为2(2)22233(0)f f =-⨯+=≠，1x =不是()f x 图像的对称轴，C 错误；因为当0x <时，22()(1)x f x -+=-，因此函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，D 正确.故选：BD11.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（）A.三棱锥1A D PC -的体积不变B.1//A P 平面1ACDC.1DP BC ^D.平面1PDB ^平面1ACD 【答案】ABD【解析】【分析】证明1//BC 平面1ACD 判断A ；证明平面11//A BC 平面1ACD 判断B ；利用1BC D 判断C ；证明1DB ⊥平面1ACD 判断D 作答.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11////AB DC D C ，11AB DC D C ==，即四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，则1//BC 平面1ACD ，于是得点P 到平面1ACD 的距离是定值，而1ACD △面积是定值，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；由选项A 知，1//BC 平面1ACD ，同理11//A C 平面1ACD ，而1111BC A C C ⋂=，111,BC A C ⊂平面11A BC ，则平面11//A BC 平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，即有1//A P 平面1ACD ，B 正确；因11BC BD C D ==，即1BC D 为正三角形，点P 在1BC 上，则DP 与1BC 不一定垂直，C 不正确；因1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，即有1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面1BB D ，则AC ⊥平面1BB D ，1DB ⊂平面1BB D ，于是得1DB AC ⊥，同理11DB AD ⊥，又1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1ACD ，则1DB ⊥平面1ACD ，而1DB ⊂平面1PDB ，因此平面1PDB ^平面1ACD ，D 正确.故选：ABD12.如下图所示，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且(),R OP xOA yOB x y =+∈，以下结论中正确的是（）A.当P 是线段CE 的中点时，12x =-，94y =B.当12x =-时，3[,4]2y ∈C.若x y +为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D.x y -的最大值为1-【答案】CD 【解析】【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，,2BC AB OB OA BE OB ==-=，A 选项，当P 是线段CE 的中点时，()()11222OP OB BP OB BC BE OB OB OA OB =+=++=+-+ 1522OA OB =-+，A 选项错误.B 选项，若()1R 2OP OA yOB y =-+∈设,F G 分别是,BC DE 的中点，连接GF 并延长，交AO 的延长线于'A ，则'//OE AG ，且'2AB AO BF OA ==，所以12OA OA '= ，则P 点的轨迹是FG ，337,,2,222A F A F OB FG BE OB A G OB OB ====='''，所以37,22y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，B 选项错误.C 选项，(),R OP xOA yOB x y =+∈ ，()1,R 222x y OP OA OB x y =+∈，令,22x ym n ==、OP 的中点为Q ，(),R OQ mOA nOB m n =+∈ 由于2,122x yx y +=+=，即1m n +=，所以,,Q A B 三点共线.设,H I 分别是,BE CD 的中点，连接HI ，交BC 于J ，则////HI BC DE ，B 是OH 的中点，J 是BC 的中点，则Q 点的轨迹是BJ ，P 点的轨迹是HI ，所以C 选项正确.D 选项，(),R OP xOA yOB x y =+∈，由于平行四边形BCDE 在OE 的左上方，,,O B E 三点共线，所以0x ≤，1y ≥，故当x 取得最大值0，y 取得最小值1时，x y -取得最大值1-，D 选项正确.故选：CD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()1,2a =- ，()21,1b m =- ，且a b ⊥ ，则2a b -= __________.【答案】5【解析】【分析】由已知可得32m =，()2,1b =，代入即可求出答案.【详解】由a b ⊥ 可得，0a b ⋅= ，即()2120m --+=，解得32m =，()2,1b = ，所以()()()21,24,25,0a b -=--=-r r，所以()222505a b -=-+=.故答案为：5.14.已知50,,sin 2313ππαα⎛⎫⎛⎫∈-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α=______.【答案】125326+【解析】【分析】由cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合α范围，求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由余弦的和角公式即可求解.【详解】50,,sin 2313ππαα⎛⎫⎛⎫∈-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，12cos 313πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12153125313213226+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为：125326+.15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.16.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()38f x ≤，则m 的取值范围是______．【答案】5(,]4-∞【解析】【分析】根据给定条件，可得()2(1)f x f x =-，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.【详解】因()()12f x f x +=，则()2(1)f x f x =-，又当(]0,1x ∈时，2111()()[0,]244f x x =--+∈，当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，2311()2(1)2(1)(2)2()[0,]222f x f x x x x =-=--=--+∈，当(1,2]x ∈时，由3()8f x =，解得54x =或74x =，当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，2111111()(1)(1)()[0,]222288f x f x x x x =+=-+=-++∈，显然，当0x ≤时，13()88f x ≤<，如图，对任意(],x m ∈-∞，都有()38f x ≤，必有54m ≤，所以m 的取值范围是5(,]4-∞.故答案为：5(,]4-∞四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量,a b ，若22a b == ，1a b ⋅=-（1）求a 与b的夹角θ；（2）求2a b -；（3）当λ为何值时，向量a b λ+ 与向量3a b -互相垂直？【答案】（1）120︒（2）21（3）47【解析】【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；（2）根据()222a b a b-=-r r r r 结合数量积的运算律计算即可；（3）由题意，得()()30a b a b λ+⋅-=，再结合数量积的运算律计算即可.【小问1详解】解：因为22a b == ，1a b ⋅=- ，所以1cos 2a b a bθ⋅==- ，又因0180θ︒≤≤︒，所以120θ=°；【小问2详解】解：()2222244161421a b a ba b a b -=-=+-⋅=++=；【小问3详解】解：当向量a b λ+ 与向量3a b -互相垂直时，()()30a b a b λ+⋅-=，即()223130a b a b λλ-+-⋅=，即()43130λλ---=，解得47λ=.18.如图所示，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，2DE DA ==，F 为棱AE 的中点，O 为BD 中点.（1）求证：OF //平面CDE ；（2）求AE 与平面BDE 所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）π6【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理可证明AO ⊥平面BDE ，所以AE 与平面BDE 所成角AEO ∠，求解即可.【小问1详解】取,DC ED 的中点,N M ，连接,,FM MN ON ，因为EAD 中，1//,2FM AD FM AD =，又因为1//,2ON AD ON AD =，所以//,FM ON FM ON =，所以四边形FONM 是平行四边形，所以//FO MN ，MN ⊂平面CDE ，FO ⊄平面CDE ，所以OF //平面CDE ；【小问2详解】连接AO ，因为底面ABCD 是正方形，所以AO BD ⊥，又因为DE ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以DE AO ⊥，,BD DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=，所以AO ⊥平面BDE ，所以AE 与平面BDE 所成角AEO ∠，因为2DE DA ==，所以2212222AO =⨯+=，又因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，所以222222AE =+=，所以在Rt AOE △中，21sin 222AO AEO AE ∠===，所以π6AEO ∠=.所以AE 与平面BDE 所成角的大小为π6.19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40,50),[50,60),[60,70),[90,100] 后得到如下频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，分别求a ，众数，中位数．（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分．（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在[7090，）分数段抽取的人数是多少？【答案】（1）0.03a =众数为75中位数为2203；（2）平均分为71、(3)11.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1，可求出a ；再由频率最大的一组，得到众数；根据中位数两边的频率之和相等，可求出中位数；（2）由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；（3）先由题意确定抽样比，进而可求出在[7090，）分数段抽取的人数.【详解】解析（1）由题意可得，(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，解得0.03a =；根据频率分布直方图可知：[7080，）分数段的频率最高，因此众数为75；又由频率分布直方图可知：[4070，）分数段的频率为0.10.150.150.4++=，因为[7080，）分数段的频率为0.3，所以，中位数为1220701033+⨯=.（2）由题中数据可得：该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为：(450.01550.015650.015750.03850.025950.005)1071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为201603=；又在[7090，）分数段共有60(0.30.25)33⨯+=人，因此，在[7090，）分数段抽取的人数是133113⨯=人.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数、众数、平均数、以及分层抽样的问题，熟记相关概念与公式即可，属于常考题型.20.()()π1cossin 02264x x f x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，已知点A ，B 是函数()f x 的图像与直线12y =的两个交点.且AB 的最小值为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对于ππ,123x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦都有()274f x m m ≥--，求m 的取值范围.【答案】（1）(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）先运用辅助角公式对()f x 作恒等变换求出单一三角函数形式的解析式，再根据条件求出ω，运用整体代入法求解；（2）求出()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，根据题意解不等式即可.【小问1详解】()11cossin cos sin cos cos sin 2264226264x x x x x f x ωωπωωπωπ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2231131sin cos cos sin 2cos 1222224442x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭311311sin cos sin cos sin 4422226x x x x x πωωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2,sin 226T AB f x x T πππω⎛⎫∴=====+ ⎪⎝⎭，当()222Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈时单调递增，即,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈时单调递增；【小问2详解】当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52366x πππ≤+≤，52362ππππ--＜，()min 134f x f π⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，原不等式等价于：21744m m ≥--，即220m m --≤，解得12m -≤≤；m 的取值范围是[]1,2-.21.在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =.（1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（2）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈，求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【详解】（Ⅰ），分别为的中点，为矩形，∵DE=EC ，∴DC ⊥EF ，又AB ∥CD ，∴AB ⊥EF ∵BF∩EF=F ，∴AB ⊥面BEF ，又AE ⊂面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BEF ．(Ⅱ),又，又,所以面,法一：建系AB 为x 轴，为y 轴，为z 轴,，,平面法向量1(0,0,1)n =，平面法向量·，可得.法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,则,面,,作于点，所以面,连,则,即为所求在中，,解得.22.已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．（1）若0a =，解不等式()1f x <；（2）若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【答案】（1）(),2-∞（2）21,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分当0x ≥时，当0x <时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；（2）得出分段函数()f x 的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.【小问1详解】解：当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅱ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x R ∈，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．【小问2详解】解：依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得()231142a a x ++-+=．因为函数()()21142a a g a ++-+=在()3,+∞上单调递增，所以()3322x g >=+，所以312012x <<-．所以123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．。
2025届上海市高三寒假网上测试数学试题
2025届上海市高三寒假网上测试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 2．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．3．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π5．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i6．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．87．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A 5B ．3C 3D ．32411．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．10212．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省牡丹江市八年级下学期数学5月线上月考试卷
黑龙江省牡丹江市八年级下学期数学5月线上月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）(2020·菏泽) 函数的自变量x的取值范围是（）A .B . 且C .D . 且【考点】2. （2分） (2019八上·浦东月考) 下列说法中，正确的是（）A . 被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B . 只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C . 与是同类二次根式D . 与是同类二次根式【考点】3. （2分） (2019八下·临泉期末) 下列运算不正确的是（）A . =B .C .D .【考点】4. （2分） (2018八上·江阴期中) 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A . 3、4、5B . 1、2、C . 5、12、13D . 、2、【考点】5. （2分） (2017八下·湖州月考) 某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛.只能有l9名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进人决赛，不仅要了解自己的预赛成绩．还要了解这39名同学比赛成绩的（）A . 平均数B . 中位数C . 方差D . 众数【考点】6. （2分）下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（）A . （x﹣1）（x+18）B . （x+2）（x+9）C . （x﹣3）（x+6）D . （x﹣2）（x+9）【考点】7. （2分） (2018八上·岳池期末) 多边形的每个内角都等于140°，从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（）A . 6条B . 7条C . 8条D . 9条【考点】8. （2分）(2013·茂名) 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A . a（x+y）=ax+ayB . x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C . 10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D . x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x【考点】9. （2分） (2020八上·长沙月考) 下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（）A . ，，B . ，，C . ，，D . ，，【考点】10. （2分） (2020七上·滨海月考) 下列每对数中，不相等的一对是（）A . (－2)3和－23B . (－2)2和22C . (－2)2 018和－22 018D . |－2|3和|2|3【考点】11. （2分）(2020·武汉模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（）A . 100°B . 120°C . 135°D . 150°【考点】二、填空题 (共7题；共12分)12. （1分）如图，点M、N在半圆的直径AB上，点P、Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为________．【考点】13. （1分） (2019八下·厦门期末) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC ＝8，则△ABC的面积为________．【考点】14. （1分） (2019八上·闵行月考) 若与是同类二次根式，那么整数x可以是________（写出一个即可）【考点】15. （1分）(2019·温州模拟) 因式分解：1﹣4a2＝________．【考点】16. （1分） (2020八上·都江堰期末) 平面直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标为________．【考点】17. （2分） (2020八上·长清月考) 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是________．【考点】18. （5分）(2018·宜宾模拟) 已知：如图，点E、F分别为▱ABCD的BC、AD边上的点，且∠1=∠2．求证：AE=FC．【考点】三、解答题 (共8题；共52分)19. （5分） (2020八下·曾都期末) 计算下列各题：（1）；（2） .【考点】20. （5分）计算：（1）；（2）．【考点】21. （2分） (2018九上·宁波期中) 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的CD的长．【考点】22. （5分） (2019八下·永川期中) 如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC上的点，连结DE并延长交AC的延长线于点F，若DE＝EF，求证：DB＝CF.【考点】23. （5分） (2018八上·长寿月考) 如图，在ΔABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点.求证：AB-AC＞PB-PC.【考点】24. （10分） (2019八上·沛县期末) 某校组织学生到相距80km的江阴黄山湖公园进行社会实践活动.上午8：00学生乘长途汽车从学校出发.上午8：30一位老师带着两名迟到的学生乘小轿车从学校出发，结果小轿车比长途汽车晚10分钟到达目的地.（1）小汽车的行驶时间比长途汽车的行驶时间少________小时；（请直接写出答案）（2）已知小轿车的平均速度是长途汽车的1.5倍，求小轿车的速度.【考点】25. （10分） (2016九上·大悟期中) 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．【考点】26. （10分） (2020八上·绍兴月考) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB 于点E.（1）求证：∠AEC＝∠ACE.（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长.【考点】参考答案一、单选题 (共11题；共22分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共12分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共52分)答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、考点：解析：。
二下数学线上学习作业单(八)
一、直接写得数。
88-32= 25+29= 96-27= 38+35= 57+41= 54+31= 60-24= 95-52= 12+54= 85+6= 36+17= 84-23= 41-18= 19+35= 59+17= 50+70= 49÷5= 200+50= 700-200= 8×4－9= 64÷9 =36÷4 =48÷8 =29÷4 =5×7-7 = 53+18= 8×8= 9×3= 16+29= 74+6-8= 二、列竖式计算并验算：318+456 759+541567—485 400—259二、列竖式计算：58+450+243 785—463—178 726—178+842三、根据条件提一个用减法计算的问题并解答。
中央广播电视塔高405米，广州广播电视塔高600米，一、直接写得数。
19+72= 17+28= 8+31= 53+33= 64-61= 32+18= 86-30= 8+91= 83-82= 34+50= 77+9= 76-12= 78+22= 96-31= 25+8= （）+6=21 （）-6=27 63+（）=71 （）+4=31 90-（）=81 （）+20=27 54+（）=60 （）+4=50 7×6= 32÷4＝ 62－45＝ 24÷4＝28+3+20=二、列竖式计算，然后比较每组的三道算式，你发现了什么？236+152 327+89 538+387388—236 416—327 925—538388—152 416—89 925—387我的发现是：一、解决问题：奶奶家养的鸡比鸭多15只，后来又养了25只鸡和36只鸭，现在是哪种家禽少？少多少只？一、直接写得数。
67-56= 20+59= 47+22= 86+12= 55-15= 2+73= 100-10= 19+49= 58+28= 48-16= 98-11= 88+4= 64-42= 31-3= 90-5=39+28= 59+12= 21+37= 14+13= 58+29= 65-47＝ 9×5＝ 63÷7＝ 34－17＝ 61-50-2= 50－34= 41-12= 50－33= 59+3 8= 60＋7×5=35－18＝ 87＋9＝ 20×6＝ 25÷8＝ 80－9×5= 二、列竖式计算：427+192 573—345 700—169427+195 523—345 700—196427+595 503—345 700—691三、解决问题：1.三位同学比身高，小丽身高132厘米，比小亮矮10厘米，小华比小亮矮12厘米，这三位同学中谁最矮？是多少厘米？2.原来小红比贝贝多15张画片，现在小红给贝贝4张后，小红还比贝贝多多少张画片？一、直接写得数。
学2019-2020学年高一数学5月线上教学质量检测试题(含解析)
学2019-2020学年高一数学5月线上教学质量检测试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，第1~8只有一项是符合题目要求的，第9~10有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分.）1.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算展开即可．【详解】解：故选D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2.已知sin(α＋45°)＝，则sin2α等于( )A. －B. －C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，∴sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键.3.已知是第三象限角，则可化简为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角关系式化简，结合是第三象限角判断即可求解.【详解】,因为是第三象限角，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数同角关系式及三角函数的符号判断，属于基础题.4.已知点在第三象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由点所在象限，可得，，再利用三角函数符号确定角所在象限，即可得解.【详解】点第三象限，，，由，知角的终边所在的象限为第二象限或第四象限，由，知角的终边所在的象限为第三象限或第四象限，综上，角的终边所在的象限为第四象限.故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数符号确定角所在象限，属于基础题.5.已知正方形的边长2，，，则为（）A. 6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得，由向量模的公式计算可得答案.【详解】如图，因为正方形的边长为2， , ,，,故选：C．【点睛】本题考查向量模的计算，关键是利用向量的加法计算的值6.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换的概念，先求出向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式．【详解】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是．故选：A．【点睛】本题考查三角函数图象变换，掌握三角函数图象的三种变换概念是解题基础．特别要注意相位变换与周期变换的顺序．7.设的三个内角，向量，，若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为向量，，若，解得为选C8.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．9.给出的下列命题中正确的是（）A. 若，是第一象限角，且，则B. 函数是奇函数C. 是函数的一条对称轴D. 在区间上的最大值是，最小值为.【答案】B【解析】【分析】对于A，通过举反例，即可得知A错误；对于B，利用诱导公式进行化简，借助奇函数的定义，即可得解；对于C，求出的对称轴，即可判断；对于D，根据三角函数的图象即可求得结果.【详解】对于A，若，，满足，是第一象限角，且，但是不成立，故A错误；对于B，，令，则，所以，所以为奇函数，故B正确；对于C，，，解得，所以不是函数的对称轴，故C错误；对于D，，，，，在区间上的最大值是，最小值为，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查的是三角函数的性质，包括单调性、奇偶性、对称性及最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.10.下列关于的结论中，正确的是（）A. 若，则为锐角三角形B. 若，则为钝角三角形C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】A中，由余弦定理，可得为锐角，但不确定，可判定不正确；B中，由余弦定理可得为钝角，可判定是正确的；C 中，由三角形的内角和定理可得，结合正弦定理可判定不正确；D中，由，可得，结合正弦定科判定是正确的.【详解】对于A中，由，根据余弦定理可得，所以为锐角，但不确定，所以不一定为锐角三角形，所以不正确；对于B中，由，根据余弦定理可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，所以正确；对于C中，由，可得，由正弦定理可得，所以不正确；对于D中，由，可得，由正弦定可得：，所以，故是正确的.故选：BD【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理和余弦定理，以及三角形内角和定理和性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，其中多空题每空2分，共16分，将答案填在题中的横线上.）11.已知外接圆半径为2，，则_______.【答案】【解析】分析】已知角A对的边是BC边，根据正弦定理求解即可.【详解】由于角A对边是BC边，根据正弦定理，可得.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.12.复数，则_______ .【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.【详解】复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属于基础题.13.求值：________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】解：由两角和的正弦公式可得：，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.14.已知向量，，其中，，则_______，与夹角的余弦值为_______.【答案】 (1). 10 (2).【解析】【分析】先利用向量的坐标运算求出与的坐标第一空：利用向量数量积的坐标运算直接计算即可；第二空：利用公式计算即可.【详解】解：由已知得，第一空：；第二空：.故答案为：10；.【点睛】本题考查向量数量积坐标运算，向量夹角的计算，是基础题.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数以及模.【答案】（1）;（2），【解析】【分析】(1)将表示为的形式，结合纯虚数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入化简为的形式，结合复数的模长公式即可求解.【详解】(1)将代入得，因为为纯虚数,所以解得，所以复数.(2)由(1)知，所以，.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.16.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得，得到，即可求得的大小；（2）由正弦定理得到，再由余弦定理列出方程，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，又因为，则，所以，即，又由，所以.（2）由，由正弦定理可得，由余弦定理得，即，代入，可得，即所以，.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.17.已知函数（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）化简解析式，由此求得的最小正周期.利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）由的值求得的值，进而求得的值.【详解】（1）.所以的最小正周期为.由，解得，所以的单调递增区间为.（2）由于，且，所以.所以.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，属于中档题.18.已知（1）化简；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，即可得到；（2）由，求得，再结合三角函数的基本关系式，即可求得的值；（3）由，代入（1）中的解析式，利用三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得.（2）由，即，又由，因为，可得，所以.（3）由，可得.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式的化简、求证问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查化简与运算能力.学2019-2020学年高一数学5月线上教学质量检测试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，第1~8只有一项是符合题目要求的，第9~10有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分.）1.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算展开即可．【详解】解：故选D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2.已知sin(α＋45°)＝，则sin2α等于( )A. －B. －C.D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，∴sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键.3.已知是第三象限角，则可化简为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角关系式化简，结合是第三象限角判断即可求解.【详解】,因为是第三象限角，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数同角关系式及三角函数的符号判断，属于基础题.4.已知点在第三象限，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由点所在象限，可得，，再利用三角函数符号确定角所在象限，即可得解.【详解】点第三象限，，，由，知角的终边所在的象限为第二象限或第四象限，由，知角的终边所在的象限为第三象限或第四象限，综上，角的终边所在的象限为第四象限.故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数符号确定角所在象限，属于基础题.5.已知正方形的边长2，，，则为（）A. 6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析易得正方形中，由向量加法的性质可得，由向量模的公式计算可得答案.【详解】如图，因为正方形的边长为2， , ,，,故选：C．【点睛】本题考查向量模的计算，关键是利用向量的加法计算的值6.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换的概念，先求出向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式．【详解】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是．故选：A．【点睛】本题考查三角函数图象变换，掌握三角函数图象的三种变换概念是解题基础．特别要注意相位变换与周期变换的顺序．7.设的三个内角，向量，，若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为向量，，若，解得为选C8.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．9.给出的下列命题中正确的是（）A. 若，是第一象限角，且，则B. 函数是奇函数C. 是函数的一条对称轴D. 在区间上的最大值是，最小值为.【答案】B【解析】【分析】对于A，通过举反例，即可得知A错误；对于B，利用诱导公式进行化简，借助奇函数的定义，即可得解；对于C，求出的对称轴，即可判断；对于D，根据三角函数的图象即可求得结果.【详解】对于A，若，，满足，是第一象限角，且，但是不成立，故A错误；对于B，，令，则，所以，所以为奇函数，故B正确；对于C，，，解得，所以不是函数的对称轴，故C错误；对于D，，，，，在区间上的最大值是，最小值为，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查的是三角函数的性质，包括单调性、奇偶性、对称性及最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.10.下列关于的结论中，正确的是（）A. 若，则为锐角三角形B. 若，则为钝角三角形C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】A中，由余弦定理，可得为锐角，但不确定，可判定不正确；B中，由余弦定理可得为钝角，可判定是正确的；C中，由三角形的内角和定理可得，结合正弦定理可判定不正确；D中，由，可得，结合正弦定科判定是正确的.【详解】对于A中，由，根据余弦定理可得，所以为锐角，但不确定，所以不一定为锐角三角形，所以不正确；对于B中，由，根据余弦定理可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，所以正确；对于C中，由，可得，由正弦定理可得，所以不正确；对于D中，由，可得，由正弦定可得：，所以，故是正确的.故选：BD【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理和余弦定理，以及三角形内角和定理和性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，其中多空题每空2分，共16分，将答案填在题中的横线上.）11.已知外接圆半径为2，，则_______.【答案】【解析】分析】已知角A对的边是BC边，根据正弦定理求解即可.【详解】由于角A对边是BC边，根据正弦定理，可得.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.12.复数，则_______ .【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算进行化简，再借助复数的辐角主值的求法进行求解即可.【详解】复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的除法运算及复数的辐角主值的计算，属于基础题.13.求值：________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】解：由两角和的正弦公式可得：，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.14.已知向量，，其中，，则_______，与夹角的余弦值为_______.【答案】 (1). 10 (2).【解析】【分析】先利用向量的坐标运算求出与的坐标第一空：利用向量数量积的坐标运算直接计算即可；第二空：利用公式计算即可.【详解】解：由已知得，第一空：；第二空：.故答案为：10；.【点睛】本题考查向量数量积坐标运算，向量夹角的计算，是基础题.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知复数，且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数以及模.【答案】（1）;（2），【解析】【分析】(1)将表示为的形式，结合纯虚数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入化简为的形式，结合复数的模长公式即可求解.【详解】(1)将代入得，因为为纯虚数,所以解得，所以复数.(2)由(1)知，所以，.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.16.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求，的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得，得到，即可求得的大小；（2）由正弦定理得到，再由余弦定理列出方程，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，又因为，则，所以，即，又由，所以.（2）由，由正弦定理可得，由余弦定理得，即，代入，可得，即所以，.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.17.已知函数（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）化简解析式，由此求得的最小正周期.利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）由的值求得的值，进而求得的值.【详解】（1）.所以的最小正周期为.由，解得，所以的单调递增区间为.（2）由于，且，所以.所以.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，属于中档题.18.已知（1）化简；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据三角函数的诱导公式，即可得到；（2）由，求得，再结合三角函数的基本关系式，即可求得的值；（3）由，代入（1）中的解析式，利用三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得.（2）由，即，又由，因为，可得，所以.（3）由，可得.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式的化简、求证问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查化简与运算能力.。
人教版小学数学五年级下册每日一练5月31日
每日一练 5月31日 姓名:一、填空题1. )()(15)(2416)(83==÷==←填小数。
2. 用三个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
二、选择一个长方体的长、宽、高分别是acm 、bcm 、hcm,如果高增加4cm ，它的体积比原来增加（ ）cm ³。
A.4abhB.ab(h+4)C.4a请说明理由：三、解方程。
15265=-x 31432=+x四、解决问题1. 贝贝想用一个长方体容器测量一种玻璃球的体积，他做了如下实验：（1）给容器中注入一定量的水，接着将一个棱长6cm 的正方体完全浸入水中，当把正方体从水中取出后，水面下降了4cm 。
（2）将九个同样的玻璃球浸入水中后，量得水面又上升了5cmo在整个过程中都没有水溢出，请根据这些信息计算一个玻璃球的体积自我评价：（ ）☆家长签名： 家长评价：（ ）☆ 老师评价：（ ）☆竹枝词袁宏道其四侬家生长在河干，夫婿如鱼不去滩。
冬夜趁霜春趁水，芦花被底一生寒。
其二雪里山茶取次红，白头孀妇哭春风。
自从貂虎横行后，十室金钱九室空。
1．请比较这两首诗思想内容的异同。
2．有人说，袁宏道的诗“俚俗浅薄”，也有人说他的诗歌“申说性灵而不失风雅”，你同意哪种看法？并联系这两首诗简要陈述理由。
参考答案1．同：这两首诗都揭示了劳苦人民的悲惨命运。
其四，主要写“丈夫”象鱼一样不离河滩，终日劳作，冬夜冒着严霜，春夜趁着寒水奔波干活，但家里用的却是芦花铺底的薄被。
如此艰辛地劳作，生活却依然是如此的贫困，不着一字，却揭示了劳苦人民的悲惨命运。
其二，前两句以山茶一株株一朵朵竟相开放的妩媚、艳丽，反衬白发孀妇在春风中哭泣的辛酸与苦难，末句则直接描写了一幅民不聊生的画面。
异：其四只揭示了人民生活的悲惨，而其二不仅这样，还点明了原因——是“貂虎横行”才造成百姓的“十室九空”，反映了官府的苛税对百姓的压榨。
（此题只要求学生能答出要点即可，不一定分析这么详细）2.同意后一种看法。
七年级数学5月作业检测卷参考答案
七年级数学5月作业检测卷参考答案1-5 BCBCA 6-10 CDABD11. x≠2 12. 4(x+2)(x-2) 13. 2014. -12 15. 1 16. 36°17．（6分）解：（1）原式＝2+2-1＝3； (3分) （2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2﹣2x＝﹣4x+1．（3分）18．解：（1），①+②，得3x＝9，解得：x＝3，把x＝3代入②，得3﹣y＝5，解得：y＝﹣2，所以原方程组的解是；（3分）（2），方程两边都乘x﹣2，得1+3（x﹣2）＝﹣（1﹣x），解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程无解．（3分）19.(1)证明：因为CD平分∠ACB，所以∠2=∠3．因为∠1=∠2，所以∠1=∠3，所以DE//AC；（3分）(2)解：因为CD平分∠ACB，∠3=30°，所以∠ACB=2∠3=60°．因为DE//AC，所以∠BED=∠ACB=60°．因为∠B=25°，所以∠BDE=180°−∠BED−∠B=180°−60°−25°=95°．（3分）20．解：原式＝•＝•＝2x，（3分）∵当x＝﹣2，2，0时分式无意义，∴x＝﹣1或1，当x＝﹣1时，原式＝﹣2；当x＝1时，原式＝2．（3分）21.解：（1）50 ......（2分）（2）球类填7，扇形统计图中“跑步”所对应的扇形的圆心角的度数是36° ....（各1分）（3）120 .............（2分）22.解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次购买的单价为1.1x元，根据题意，得14521.1x −1200x=20，解得x=6，经检验，x=6是原方程的解且符合题意，答：第一次水果的进价是每千克6元．（3分）(2)第一次购水果：1200÷6=200(千克)，第二次购水果：200+20=220(千克)，第一次盈利：200×(8−6)=400(元)，第二次盈利：100×(9−6.6)+120×(9×0.5−6.6)=−12(元)，所以两次共盈利：400−12=388(元)，答：两次销售中，总体上是盈利的，共盈利388元．（3分）23.解：（1）第4个式子为5+＝5×；（2分）（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验：左边＝+＝＝右边；（3分）（3）∵m，n是一对“和积数对”，∴m+n＝mn，设m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；（3分）24．解：(1)60 （2分）(2)设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行．①当0＜t＜90时，如图①，灯A射出的光束交PQ于C，灯B射出的光束交MN于D.∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA.∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD.∴2t＝1·(30＋t)，解得t＝30.②当t＝90时，易得两灯的光束不平行．③当90＜t＜150时，如图②，灯A射出的光束交PQ于C，灯B射出的光束交MN于D.∵PQ∥MN，∴∠PBD＋∠BDA＝180°.∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA.∴∠PBD＋∠CAN＝180°.∴1·(30＋t)＋(2t－180)＝180，解得t＝110.综上所述，当灯A转动30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．（4分）(3)∠BAC和∠BCD的数量关系不会变化．设灯A射线转动时间为m秒，∵∠CAN＝(180－2m)°，∴∠BAC＝60°－(180－2m)°＝(2m－120)°.由题易得∠ABP＝120°，∴∠ABC＝(120－m)°，∴∠BCA＝180°－∠ABC－∠BAC＝(180－m)°，∵∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°－∠BCA＝120°－(180－m)°＝(m－60)°，∴∠BAC＝2∠BCD. （2分）。
陕西省高三下学期5月学业质量检测(三)数学(文)试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ） 11|122x A x ⎧⎫-=-<⎨⎬⎩⎭{}27100B x x x =-+≥∣A ．B ．C ．D ．2A ∈5B ∉()R 3A B ∈ ð[]()2,5A B ⊆⋃【答案】C 【分析】先根据不等式的运算求解得到，进而根据集合的概念以及运算，即可得出答案.,A B 【详解】由可得，，等价于， 11122x --<3122x -<31x -<解得，即，.131x -<-<24x <<()2,4A =解可得，或，27100x x -+≥2x ≤5x ≥所以，.(][),25,B =-∞⋃+∞对于A 项，因为，所以，故A 项错误；()2,4A =2A ∉对于B 项，因为，所以，故B 项错误；(][),25,B =-∞⋃+∞5∈B 对于C 项，因为，所以，()R 2,5B =ð()R 2,4A B = ð所以，故C 项正确；()R 3A B ∈ ð对于D 项，因为，所以，故D 项错误.()[),45,A B =-∞+∞ ()4A B ∉ 故选：C.2．设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）()()()12i i R ,z a a z =-+∈=a A ．B ．C ．2D ．33-13-【答案】D【分析】根据复数的乘法运算化简复数z ，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.【详解】，()()()12i i 212i z a a a =-+=++-由已知得，解得，2120a a ++-=3a =故选：D3．如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则ABCD 120,1,2BAD AB AD AC ∠=︒===E CD 的值为（ ） EA EB ⋅A ．-3B ．C ．D ．313-32【答案】C【分析】根据余弦定理得到，确定为圆的直径，为等边三角形，建立坐标系，BD =AC BCD △确定点坐标，计算向量的数量积得到答案.【详解】连接，由余弦定理知，所以BD22211121132BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BD =由正弦定理得，所以为圆的直径， 2sin120BD AC ==︒AC 所以，所以，CD AD ⊥CD =CD BD =又，所以为等边三角形，18012060BCD ∠=︒-︒=︒BCD △以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.D DA x DC y则， ()31,0,,2A E B ⎛⎛ ⎝⎝31,,,02EA EB ⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝所以. EA EB ⋅= 331,,022⎛⎛⎫⋅= ⎪ ⎝⎭⎝故选：C.4．某市为比较甲､乙两个旅游景点的经营状况，将这两个旅游景点2021年12个月的月收入（单位：万元）绘制成了如下茎叶图：则（ ）A ．甲景点的月收入的中位数小于乙景点的月收入的中位数B ．甲景点的月收入的平均数小于乙景点的月收入的平均数C ．甲景点的月收入的极差大于乙景点的月收入的极差D ．甲景点的月收入的方差小于乙景点的月收入的方差 【答案】D【分析】根据数据的中位数、平均数、极差、方差的概念与性质逐项判断即可.【详解】甲景点的月收入的中位数为，乙景点的月收入的中位数为，故333433.52+=313231.52+=不正确；A 甲景点的月收入的平均数为33，乙景点的月收20222428323334353536484912+++++++++++=入的平均数为33，故不正确； 17172024303132334344495612+++++++++++=B 甲景点的月收入的极差为，乙景点的月收入的极差为，故C 不正确；492029-=561739-=观察茎叶图可知，甲景点的月收入更集中，乙景点收入较分散，所以甲景点的方差小于乙景点的月收入的方差，D 选项正确.故选：D.5．设实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ） 2224y x y x x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩z x y =+A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，进而利用直线的截距即可确定最优解，进而可求最值.【详解】作出可行域如图中阴影部分所示.联立，可得， 20240x y x y -=⎧⎨+-=⎩()1,2A 当直线经过点时，截距最大，则.y x z =-+()1,2A z max 123z =+=故选：C.6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（24x y =F l F 30︒M M 在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，则（ ）MN l ⊥N NF x D FD =A ．2BC ．4D ．【答案】A【分析】由已知可得.点作，垂足为，根据已知结合几何性质，可得1OF =F FA MN ⊥A .然后在在中，即可得出答案.60OFD MNF ︒∠=∠=Rt OFD △【详解】由已知可得，，.()0,1F 1OF =如图所示，过点作，垂足为.F FA MN ⊥A 由题得，所以.30∠=︒AFM 60NMF ∠=︒根据抛物线的定义可知，MF MN =所以是等边三角形.MNF 因为，//MN OF 所以.60OFD MNF ︒∠=∠=在中，. Rt OFD △121cos 2OF FD OFD ∠===故选：A.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的值为（ ）1a =1b =A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【分析】根据程序框图，逐步执行计算，求出的值，判断返回继续执行，直到满足条件，执行输s 出，即可得出答案.【详解】执行第一次循环，得，，，，；2c =1a =2b =4s =3n =执行第二次循环，得，，，，；3c =2a =3b =7s =4n =执行第三次循环，得，，，，；5c =3a =5b =12s =5n =执行第四次循环，得，，，，；8c =5a =8b =20s =6n =执行第五次循环，得，，，，.13c =8a =13b =33s =7n =因为，所以退出循环，输出.3330>16n -=故选：B.8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） ()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ω=A ．1B ．C ．2D ． 3252【答案】B 【分析】设的最小正周期为，由图象可知，可推得或.根据()g x T 2π2T T <<21ω-<<-12ω<<，可推得.分别求解以及，即可得出答案. 409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()39Z 4k k ω+=-∈21ω-<<-12ω<<【详解】设的最小正周期为， ()πcos 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T 由图象可知，2π2T T <<则，所以，所以或.2π4π2πωω<<12ω<<21ω-<<-12ω<<又由题图知，，则， 409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()4ππππZ 962k k ω-+=+∈解得. ()39Z 4k k ω+=-∈解可得，不满足条件； 13924k -+<<--1599k <<解可得，， 23941k +-<<11799k -<<-当且仅当时，符合题意.1k =-所以，，此时. 1k =-32ω=故选：B.9．在正方体中，分别为棱的中点，则平面与平面1111ABCD A B C D -,,L M N 111,,A B AD CC LMN 的位置关系是（ ）1CBD A ．垂直B ．相交不垂直C ．平行D ．重合 【答案】A【分析】结合正方体的结构特征，利用线线垂直证明线面垂直，证得平面，可得平面1BD ⊥LMN 平面.1CBD ⊥LMN 【详解】设棱的中点分别为，连接，连接111,AA B C ,P Q ,,,,,LP LM PM LQ QN LN 1111,,,BC B C BD CD，如图所示，正方体中，平面，平面，，11C D ⊥11BCC B 1CB ⊂11BCC B 111C D CB ⊥正方形中，，，平面，11BCC B 11BC CB ⊥1111BC C D C = 111,BC C D ⊂11BC D 平面，平面，∴，1CB ⊥11BC D 1BD ⊂11BC D 11BD CB ⊥分别为棱的中点，，，∴，,Q N 111,B C CC 1//NQ CB 1BD NQ ⊥同理可证，平面，，∴平面，1BD LQ ⊥,NQ LQ ⊂NQL NQ LQ Q ⋂=1BD ⊥NQL 平面，∴，LN ⊂NQL 1BD LN ⊥同理可证，1BD LM ⊥平面，，∴平面，平面，故平面平面,LM LN ⊂LMN LM LN L ⋂=1BD ⊥LMN 1BD ⊂1CBD 1CBD ⊥.LMN 故选：A.10．中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）700A ．B ．C ．D ． 2.76 5.5111.0222.05【答案】D【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数()n n *∈N n a {}n a 12q =列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.1a 5a 【详解】设该马第天行走的里程数为， ()n n *∈N n a 由题意可知，数列是公比为的等比数列， {}n a 12q =所以，该马七天所走的里程为，解得. 17111127270016412a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-712350127a ⨯=故该马第五天行走的里程数为. 75144123501280022.0521272127a a ⨯=⋅=⨯=≈故选：D.11．已知函数，在区间上，若为增函()()sin cos ,cos sin ,0f x x x g x x x ωωωωω=+=->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 数，为减函数，则的取值范围是（ ）()g x ωA ． B ． C ． D ． 10,2⎛⎤ ⎝⎦(]0,130,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.【详解】由题意得. ()()ππ,44f x x g x x ωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，由，得. π4t x ω=+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π424t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭因为在区间上，为增函数，为减函数，所以， π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()g x πππ242πππ24ωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得，所以. 12ω≤102ω<≤故选：A12．已知四边形是等腰梯形，，梯形的四个顶点ABCD //,2,4,60AD BC AD BC ABC ==∠= ABCD 在半径为4的球面上.若是该球面上的任意一点，当四棱锥的体积最大时，其高为S S ABCD -（）A ．B ．C ．D ．624+【答案】C【分析】先求出四边形的外接圆的直径，设球心为，四边形的外接圆圆心为，ABCD O 'ABCD O 在Rt 中，由求出，因为四棱锥的底面的面积AOO '△222AO AO OO ''=+OO '=S ABCD -ABCD 为定值，所以当高最大时体积最大，求解即可.【详解】因为四边形是等腰梯形，，ABCD //,2,4,60AD BC ADBC ABC ==∠= 过点作，垂足为，则，所以. A AE BC ⊥E 1BE =22,3AB BE AE EC ====在中，，所以，即.AEC △22212AC AE EC =+=222BC AB AC =+90BAC ∠= 同理可得.所以四边形的外接圆的直径为.90BDC ∠= ABCD 42,2BC r r ===设球心为，四边形的外接圆圆心为，如图所示.O 'ABCD O在Rt 中，，即，AOO '△222AO AO OO ''=+22242OO =+'解得又因为四棱锥的底面的面积为定值，OO '=S ABCD -ABCD所以当高最大时体积最大，其高最大为.4SO OO '+='故选：C.二、填空题13．已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.{}n a n n S 24S =-238a a +=-{}n a 【答案】2-【分析】设的公差为，由已知可得出，求解即可得出答案.{}n a d 24d =-【详解】设的公差为，{}n a d 由题意得.124a a +=-则，所以.()()231224a a a a d +-+==-2d =-故答案为：.2-14．志愿者在打赢疫情防控阻击战中贡献了自己的力量，现从3名男性志愿者和2名女性志愿者中，任选3名参加社区志愿服务，则既有男性志愿者又有女性志愿者的概率为__________.【答案】/0.9 910【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可求得答案.【详解】从5名志愿者中任选3人，共有种选法；35C 10=男性志愿者和女性志愿者都有人入选，分为2男1女和2女1男两种情况，共有种选法，因而所求的概率， 21123232C C C C 9+=910P =故答案为： 91015．已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三223y x x =+-P ,,A B C ,,,A B C P 点的一个圆的标准方程为__________.【答案】（答案不唯一）22(1)(1)5x y +++=【分析】由抛物下方程求得P 、A 、B 、C 四点坐标，任取三点代入圆的一般方程计算并化简为标准方程即可.【详解】令，则，0y =2230x x +-=解得，不妨设；121,3x x ==-()()1,0,3,0A B -令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.x ==3y -()0,3C -P ()1,4P --设所求圆的方程为. ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->当圆过三点时，,,,A B C 10293029303D F D D F E E F F ++==⎧⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩所以圆的方程为. ()()22222230115x y x y x y +++-=⇒+++=当圆过三点时，, ,,B C P 1740493049303D E F D D F E E F F --+==⎧⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎩所以圆的方程为. ()()22224430225x y x y x y ++++=⇒+++=当圆过三点时，, ,,A B P 102930317403D F D D F E D E F F ++==⎧⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪--+==-⎩⎩所以圆的程为. ()22223252330124x y x y x y ⎛⎫+++-=⇒+++= ⎪⎝⎭当圆过三点时，,,,A C P 108174009309D F D D E F E E F F ++==⎧⎧⎪⎪--+=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩当圆过三点方程为. ,,A C P ()2222890425x y x x y ++-=⇒++=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)5x y +++=16．已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()()()g x f f x a =-()g x a 范围是__________. 【答案】(],1-∞【分析】设，根据的范围，讨论求得的解析式.根据解析式得出函数的性()()()h x f f x =x ()h x 质，作出的图象，根据函数图象，即可得出答案. ()h x 【详解】设，()()()h x f f x =当时，，； 0x ≤e 0x >()()lne xf f x x ==当时，，；01x <≤ln 0x ≤()()ln e xf f x x ==当时，，.1x >ln 0x >()()()ln ln f f x x =综上可得，. ()(),1ln ln ,1x x h x x x ≤⎧=⎨>⎩函数的定义域为，ln(ln )y x =()1,+∞由复合函数单调性可知函数单调递增. ()ln ln y x =又， ()()e ln ln e 0h ==作出的图象如图所示()hx由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，1a ≤()h x y a =即有两个零点， ()g x 所以的取值范围是. a (],1-∞故答案为：.(],1-∞【点睛】思路点睛：根据函数的解析式（或导函数）得出函数的性质，然后作出函数的图象，结合函数的图象，即可得出参数的取值范围.三、解答题17．已知的内角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c sin 2sin ,2cos B C a b B ==(1)求；cos A (2)证明：.()sin 2cos sin B C B C -=【答案】(1)14-(2)证明见解析【分析】（1）根据正弦定理结合已知可得，再利用余弦定理化简可得，2b c =2cos a b B =a =利用余弦定理计算即可求得答案.cos A （2）对于，利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正弦公式化简2cos a b B =sin 2sin cos A B B =即可证明结论.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.sin 2sin B C =2b c =因为，所以由余弦定理可得，2cos a b B =22222a c b a b ac +-=⨯两式联立，整理得，即.226a c =a =在中，由余弦定理得. ABC 2221cos 24b c a A bc +-===-（2）证明：因为，由正弦定理可得， 2cos a b B =sin 2sin cos A B B =因为，所以， ()πA B C =-+()sin sin A B C =+则，()sin 2sin cos B C B B +=所以， sin cos cos sin 2sin cos B C B C B B +=由，sin 2sin B C =得， sin cos cos sin 4sin cos B C B C C B +=即，sin cos 3sin cos B C C B =则， sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B -=所以.()sin 2cos sin B C B C -=18．如图，在三棱锥中，，，为的中点.-P ABC 90ACB ∠=︒PB PC =D AB(1)证明：； BC PD ⊥(2)若，，，求三棱锥的体积. 1AC BC ==32PA =PB =P ACD -【答案】(1)证明见解析 (2) 112【分析】（1）取的中点，根据已知可判定平面，进而即可得出证明； BC E BC ⊥PDE（2）连接，根据已知求出，.根据勾股定理求得.进而即可判定AE AE =1PE =PE AE ⊥PE ⊥平面.然后根据锥体的体积公式，即可得出答案. ABC 【详解】（1）如图，取的中点，连接. BC E ,DE PE 又为的中点， D AB 所以.//DE AC 又，所以. 90ACB ∠=︒DE BC ⊥因为，所以.PB PC =PE BC ⊥又因为，平面，平面， DE PE E =I DE ⊂PDE PE ⊂PDE 所以平面.BC ⊥PDE 因为平面，所以.PD ⊂PDE BC PD ⊥（2）如图，连接，AE 因为，，1AC BC ==90ACB ∠=︒所以AE ===因为，所以. PB =1PE ==在中，，，，PAE △AE =1PE =32PA =所以，所以.222AE PE PA +=PE AE ⊥又，，平面，平面， PE BC ⊥AE BC E ⋂=AE ⊂ABC BC ⊂ABC 所以平面.PE ⊥ABC ， 1111112224ADC ABC S S ==⨯⨯⨯= 所以三棱锥的体积.P ACD -1111133412P ACD ADC V S PE -=⨯⨯=⨯⨯= 19．科教兴国，科技强国，人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育平台，为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2016年—2021年人工智能教育市场规模统计表.如下表所示，若用x 表示年份代码（2016年用1表示，2017年用2表示……依次类推），用y 表示市场规模（单位：亿元）， 年份编号 x 123456年份2016 2017 2018 2019 2020 2021市场规模亿元 /y 254 3544549541654 2054(1)根据统计表中的数据，计算市场规模的平均值，及与的样本相关系数，并判断两个变量y y x r 与的相关关系的强弱（若，则认为相关性较强；否则没有较强的相关性，精确到y x 0.75r ≥0.01）；(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的线性回归方程，并据此预测2023年y x y x 中国人工智能教育市场规模（精确到0.1）.附：线性回归方程，其中，， ˆˆˆybx a =+()()()1122211ˆnniii ii i nniii i xx y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-样本相关系数r ==参考数据：6126734i i i x y ==∑=【答案】(1)，，与具有较强的相关性954y =0.96r ≈y x (2)，2676.9亿元 ˆ382.86386.01yx =-【分析】（1）根据已知数据，即可求得，，，进而根据样本相关954y = 3.5x =()62117.5i i x x =-=∑系数公式，求出的值，即可得出答案；r （2）根据已知条件可求得，，即可得出线性回归方程，代入，即可得ˆ382.86b≈ˆ386.01a ≈-8x =出答案.【详解】（1）由已知可得，254354454954165420549546y +++++==.1234563.56x +++++==又，()621i i x x =-∑()()()()()()2222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5=-+-+-+-+-+-17.5===则样本相关系数. r =67000.967000==≈因为样本相关系数，所以与具有较强的相关性，且正相关.0.960.75r ≈>y x （2）设y 关于x 的线性回归方程为，其中 ˆˆˆybx a =+，6162216ˆ382.866i ii ii x y xybxx ==-==≈-∑∑， ˆˆ954382.86 3.5386.01ay bx =-=-⨯≈-所以关于的线性回归方程为. y x ˆ382.86386.01yx =-把代入得（亿元）. 8x =ˆ2676.9y≈故据此预测2023年中国人工智能教育市场规模将达到约2676.9亿元.20．已知函数.()e xf x ax a =--(1)若 在上单调递增，求a 的取值范围； ()f x ()0,∞+(2)若存在零点且零点的绝对值小于2，求a 的取值范围 ()f x 【答案】(1)(,1]-∞(2)221e ,1,e 3⎡⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭【分析】（1）利用单调性与导函数正负的关系即可求解，（2）分情况讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最值，进而可确定零点所在的区间，即可根据不等式求解.【详解】（1），()e xf x a '=-因为在上单调递增,则当时，，，即 ()f x ()0,∞+0x >()0f x '≥e 0x a -≥e x a ≤而当时，，则有，0x >e 1x >1a ≤所以若在上单调递增，a 的取值范围是 ()f x ()0,∞+(,1]-∞（2）若，，单调递增，且有， 0a ≤()0f x '≥()f x ()110ef -=>由f （x ）存在零点且零点的绝对值小于2，可知存在唯一零点 ()02,1x ∈--由，则，. 2(2)e 0f a --=+<21e a <-若，令，解得，0a >()e 0xf x a '=-=ln x a =当时，，单调递减，(,ln )x a ∈-∞()0f x '<()f x当时，，单调递增. (ln ,)x a ∈+∞()0f x ¢>()f x 则取极小值，即， ()f x ()ln ln 0f a a a =-≤ln 0a a ≥又，则，， 0a >ln 0a ≥1a ≥又， ，且当趋向于正无穷时,趋向于正无穷， ()110ef -=>(0)10f a =-<x ()f x 故此时存在两个零点，分别设为，()f x ()1212,x x x x <又，则，由题意，则有，即，110x -<<22x <()22e 30f a =->2e3a <故，2e 13a ≤<综上，a 的取值范围是.221e ,1,e 3⎡⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值,零点以及不等式恒成立问题．函数零点问题常见方法：① 分离参数，利用导数求解的单调性，进而确定最值. ()a f x =()f x ② 数形结合( 图象与图象的交点)； ()y f x =y a =③讨论参数.21．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点，.直线（不经E ()2,0A B ⎛ ⎝x t =过点）与椭圆交于两点，，直线与椭圆交于另一点，点满足B E ,M N ()1,0Q MQ E C P ，且在直线上.0QP NC ⋅=P NC (1)求的方程；E (2)证明：直线过定点，且存在另一个定点，使为定值.NC R PR 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设方程为，代入点的坐标，得出方程组，求解221mx ny +=()0,0,m n m n >>≠,A B 即可得出答案；（2）设的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出MQ ()10x my m =+≠的方程为.令，整理可得，即可得出定点. NC )121112(y y y y x x x x +-=--0y =4x =进而由已知可推得，即可得出的轨迹，得出答案. QP PH ⊥P 【详解】（1）设的方程为，E 221mx ny +=()0,0,m n m n >>≠则，解得， 41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以的方程为.E 2214x y +=（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， MQ 设的方程为，MQ ()10x my m =+≠设点，，则，.()11,C x y ()22,M x y ()22,N x y -2x t =联立，消去，得， 22144x my x y =+⎧⎨+=⎩x ()224230m y my ++-=则， 2Δ16480m =+>且，. 12224m y y m -+=+12234y y m -=+所以，所以的方程为. 1212NCy y k x x +=-NC )121112(y y y y x x x x +-=--令，则，0y =()112212111212y x x y x x y x x y y y y -+=-=++()()21211211y my my y y y +++=+()12121224my y y y y y ++==+所以直线恒过定点，设为点. NC ()4,0H 又因为，在上，0QP NC ⋅=P NC 所以，QP PH ⊥则点在以为直径的圆上，从而的中点，使为定值.P QH QH 5,02R ⎛⎫⎪⎝⎭PR 32【点睛】思路点睛：设的方程为，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出MQ ()10x my m =+≠坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的xOy C 2224,111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩t O x 正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. l 2cos 3sin 0a ρθρθ+-=(1)求的普通方程和的直角坐标方程； C l (2)若与有公共点，求实数的取值范围. C l a 【答案】(1)，()22114x y y +=≠-230x y a +-=(2). []5,5-【分析】（1）根据曲线的参数方程与直线的极坐标方程转化为普通方程即可；（2）写出曲线的三角参数方程，与直线的直角坐标方程联立，通过求三角函数的值域即可得出C l 实数的取值范围.a 【详解】（1）因为，且221111t t --<≤+222x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()22222214111t t t t ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭+所以的普通方程为.C ()22114x y y +=≠-因为所以的直角坐标方程为.cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l 230x y a +-=（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）.C 2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩απ3π22α-<<，()234cos 3sin 5sin a x y αααϕ=+=+=+其中.4πtan 0,32ϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，取得最大值5；当时，取得最小值. π2αϕ=-a 3π2αϕ=-a 5-所以实数的取值范围为. a []5,5-23．设，且.,,a b c ∈R 1a b c ++=(1)若，求的最小值；(),,0,a b c ∈+∞111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求的最小值.222(1)(1)(2)a b c -++++【答案】(1)8 (2)3【分析】（1）根据，将所求式子分子“1”替换，结合基本不等式即可得最小值； 1a b c ++=（2）法1：利用三个数和的完全平方公式变形，再结合重要不等式即可求最小值；法2：利用柯西不等式求解最小值即可.【详解】（1）因为，1a b c ++=所以 1111111a b c a b c a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11a b c a b c b c ++++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 8b c a c a b a b c +++=⨯⨯≥=当且仅当时，等号成立.=a 13b c ==所以的最小值为8.111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）法1：2222[(1)(1)(2)](1)(1)(2)2[(1)(1)(1)(2)a b c a b c a b b c -++++=-+++++-++++，()()22221]3(1)(1)(2)c a a b c ⎡⎤++-≤-++++⎣⎦故由已知得， 2229(1)(1)(2)33a b c -++++≥=当且仅当时，等号成立. 2,0,1a b c ===-所以的最小值为3.222(1)(1)(2)a b c -++++法2：，故()()()()22222222(1)(1)(2)111[112](2)9a b c a b c a b c ⎡⎤-++++++≥-++++=+++=⎣⎦，当且仅当时，等号成立. 2229(1)(1)(2)33a b c -++++≥=2,0,1a b c ===-所以的最小值为3.222(1)(1)(2)a b c -++++。
2022春北师版七下数学5月31日星期二家庭作业
2022春北师版七下数学5月31日星期二家庭作业一、A 选1.下列计算正确的是（）A.x 2÷x 2＝0B.（x 3y ）2＝x 6y 2C.2m 2+4m 3＝6m5D.a 2•a 3＝a 62.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．将数据0.0000000099用科学记数法表示为（）A.119910-⨯ B.80.9910-⨯ C.99.910-⨯ D.109.910-⨯4.地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中自变量是()．A.地表B.岩层的温度C.所处深度D.时间5.如图，在下列给出的条件中，不能判定//AB EF 的是（）A.3B ∠=∠B.1B∠=∠ C.14∠=∠ D.2180B ∠+∠=︒6.下列说法中，正确的是（）A.“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件B.“如果a 2＝b 2，那么a ＝b ”是必然事件C.可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生D.“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件7.已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（）A.45°B.60°C.90°D.120°8.如图所示，已知12∠=∠，则不一定能使ABD ACD △≌△的条件是（）A.BD CD= B.B C∠=∠ C.AB AC = D.AD 平分BAC∠9.下列运算正确的是（）A.（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y2B.（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y2C.（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D.（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y210.“脱贫攻坚”小组乘汽车赴360km 处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度高速行驶，汽车行驶的路程y （km）与时间x （h）间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为（）A.5小时B. 4.5小C.4小时D. 5.5小时二、A 填11.计算：2﹣2÷2﹣3＝_______．12.已知：等腰三角形的两边长分别为6cm ，3cm ，则此等腰三角形的周长是_____cm ．13.李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分（边界忽略不计）的概率是_______．14.如图，ABC 中，∠A ＝90，∠ABC ＝60°，以顶点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB ，BC 于点E ，F ；再分别以E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点P ，作射线BP ，交边AC 于点G ，若ABG 的面积为5cm 2，则BCG 的面积为______cm 2．三、B 填21.已知：m +2n ﹣2＝0，则3m •9n的值为______．22.长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm 的四根木棒，从中任意取三根，能搭成（首尾连接）一个三角形的概率为______．23.已知（x ﹣2）（x 2+mx +n ）的乘积展开式中不含x 2和x 项，则m ﹣n 的值为______．24.已知22(5)(6)0a b ab +-+-=，则22a b +=__________.25.如图，两个正方形边长分别为a 、b ，如果17,60a b ab +==，在图中任意取一点，这个点在阴影部分的概率是______．。
七年级数学第六章数据的收集与整理2普查与抽样调查课时练习
第2节普查和抽样调查一、选择题1．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了1000个成年人，结果其中有150个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（)A．调查的方式是普查B．本地区约有15％的成年人吸烟C．样本是150个吸烟的成年人D．本地区只有850个成年人不吸烟答案：B解析：解答:调查的方式是抽查，所以A错误；样本是1000个成年人的抽烟情况，所以C,D错误；=15％，所以B正确．抽烟的成年人所占的比例约是:1501000故选：B．分析：根据调查的情况可以判断是抽查，根据样本与总体的关系进行判断．此题主要考查了抽样调查,以及总体与样本的关系．2．下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是（）A．为制作校服,了解某班同学的身高情况B．了解全市初三学生的视力情况C．了解一种节能灯的使用寿命D．了解我省农民的年人均收入情况答案：A解析：解答：A．人数不多，适合使用普查方式，所以A正确；B．人数较多，结果的实际意义不大，因而不适用普查方式，所以B错误;C．是具有破坏性的调查，因而不适用普查方式，所以C错误；D．人数较多，结果的实际意义不大,因而不适用普查方式，所以D错误．故选：A．分析:由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．此题考查了抽样调查和全面调查,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查选用普查．3．下列调查方式合适的是（)A．为了了解市民对电影《南京》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生B．为了了解全校学生用于做数学作业的时间,小民同学在网上向3位好友做了调查C．为了了解“嫦娥一号”卫星零部件的状况,检测人员采用了普查的方式D．为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式答案：C解析：解答:A．要了解市民对电影《南京》的感受，应随机抽查一部分市民,只采访了8名初三学生，具有片面性；B．要了解全校学生用于做数学作业的时间，应从全校中随机抽查部分学生,不能在网上向3位好友做调查，不具有代表性;C．要保证“嫦娥一号"卫星零部件的状况,是精确度要求高、事关重大的调查，往往选用全面调查；D．要了解全国青少年儿童的睡眠时间,范围广,宜采用抽查方式．故选：C．分析:根据抽样调查和全面调查的特点作出判断．此题考查了抽样调查和全面调查，一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查选用普查．4．下列调查中，适合用全面调查的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解一批炮弹的杀伤半径C．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比D．了解全国青少年喜欢的电视节目答案：A解析：解答：A．了解某班同学立定跳远的情况难度较小、工作量不大,故适合用全面调查；B．了解一批炮弹的杀伤半径具有一定的破坏性，适合用抽样调查；C．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比具有一定的破坏性，适合用抽样调查;D．了解全国青少年喜欢的电视节目普查的难度较大，适合用抽样调查．故选：A．分析：分别根据普查和抽样调查适宜的条件对各选项进行逐一分析解答．此题考查的是普查与抽样调查的联系与区别．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．5．为了解全市1600多万民众的身体健康状况，从中任意抽取1000人进行调查，在这个问题中，这1000人的身体状况是（)A．总体C．样本D．样本容量答案:C解析：解答:A．总体是全市1600多万民众的身体健康状况的全体，错误；B．个体是所抽取的1000人中每一个人的身体状况，错误；C．样本是所抽取的这1000人的身体状况，正确;D．样本容量是1000,错误．故选:C．分析：总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体．在这个问题中,这1000人的身体状况是样本．正确理解总体、个体、样本的含义是解答此类题的关键．6．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体;③2000名考生是总体的一个样本④样本容量是2000．其中说法正确的有（)B．3个C．2个D．1个答案:C解析：解答：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体; 2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000．因此正确的是①④．故选：C．分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体,再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小;样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．7．为了了解某校300名初三学生的睡眠时间,从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．300名学生是总体B．300是样本容量C．30名学生是抽取的一个样本D．30是样本的容量答案：D解析：解答：此题中总体是某校300名初三学生的睡眠时间，样本是抽取的30名学生的睡眠时间，因此样本的容量是30．所以A，B，C都错，D对．故选：D．分析：样本的容量指一个样本所含个体的数目，即抽取学生的数量是样本的容量,不带单位．掌握总体,样本,样本的容量的概念．8．为了了解某校初三年级400名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析,在这个问题中,总体是（）A．400名学生的体重B．被抽取的50名学生C．400名学生D．被抽取的50名学生的体重答案：A解析:解答:此题题考查的对象是某校初三年级400名学生的体重情况，所以总体是400名学生的体重．故选：A．分析：此题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据,而非考查的事物”，关键是明确考查的对象．9．下列调查的样本具有代表性的是( ）A．利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的产量估水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验答案:D解析:解答：A．利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日最高气温,不具代表性，所以此选项错误;B．在农村调查市民的平均寿命,不具代表性，所以此选项错误; C．利用一块实验水稻田的产量估水稻的实际产量，不具代表性,所以此选项错误;D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验，具有代表性,所以选项正确．故选：D．分析：根据抽样调查的可靠性，分别分析得出即可．此题主要考查了抽样的可靠性,利用抽样必须全面进而得出是解题关键．10．为了测量调查对象每分钟的心跳次数，甲同学建议测量2分钟的心跳次数再除以2,乙同学建议测量10秒的心跳次数再乘以6，你认为哪位同学的方法更具有代表性( ）A．甲同学B．乙同学C．两种方法都具有代表性D．两种方法都不合理答案：A解析:解答:∵要测量调查对象每分钟的心跳次数，由于2分钟远远大于10秒钟，∴甲同学建议测量的根据代表性，误差更小些;∴选甲同学的方案．故选：A．分析：甲同学建议测量2分钟的心跳次数大于乙同学建议测量10秒的心跳次数．根据样本容量越大，越具有代表性进行解答．选此类题的方案时，注意样本容量越大越具有代表性．11．下列抽样调查较科学的是（）①小芳为了知道烤箱中所烤的面包是否熟了，取出一小块品尝；②小明为了了解初中三个年级学生的平均身高，向初三年级一个班的学生做调查；③小琪为了了解北京市2005年的平均气温，上网查询了2005年7月份31天的气温情况；④小智为了了解初中三个年级学生的平均体重，向初一,初二，初三年级各一个班的学生做调查．A．①②B．①③C．①④D．③④答案:C解析：解答：①和④的抽样调查符合样本的代表性和广泛性的标准，是较科学的；②要了解初中三个年级的情况，一个年级的学生不具代表性，不科学；③一年中不同季节气温变化是很大的，调查时只选了一天的情况，调查的对象太少，缺乏代表性，也不符合广泛性．故选：C．分析：抽样调查只考查总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性．12．为了了解某校学生的每日运动量，收集数据正确的是( ）A．调查该校舞蹈队学生每日的运动量B．调查该校书法小组学生每日的运动量C．调查该校田径队学生每日的运动量D．调查该校某一班级的学生每日的运动量答案：D解析：解答：采用抽样调查，必须使样本具有代表性．选项A、B、C都比较特殊，不具有代表性．选项D某一班级的学生每日的运动量，可以代表这个学校的每日运动量，因而收集的数据是正确的．故选：D．分析：采用抽样调查，所调查的对象都有被抽到的机会．注意抽样调查的样本一定要具有广泛性和代表性．13．为了让人们感受丢弃废旧电池对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一个月内丢弃废电池的数量，结果如下（单位：个）：7，5,6，4，8，6，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计该月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量约为( ）A．180B．225C．270D．315答案：C解析：解答：估计本周全班同学各家总共丢弃废电池的数量+++++×45=270．为:7564866故选:C．分析:先求出6名同学家丢弃废电池的平均数量作为全班学生家的平均数量,然后乘以总人数45即可解答．此题主要考查了用样本估计总体，生产中遇到的估算产量问题,通常采用样本估计总体的方法．14．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（) A．50人B．64人C．90人D．96人答案:D解析：解答:随机抽取了50名学生的成绩进行统计,共有15名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为:15÷50=30%，又∵某校七年级共320名学生参加数学测试,∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30％=96人．故选：D．分析：随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．此题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的估计就越精确．15．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息,可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（）A．1200名B．450名C．400名D．300名答案：D解析:解答：∵喜爱体育节目的学生占1—10％—5％—35％-30%=20％,该校共1500名学生，∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20％=300(名），故选：D．分析:先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比，再乘以总人数，得到答案．此题考查了用样本估计总体，关键是根据扇形统计图求出喜爱体育节目的学生数占总人数的百分比．二、填空题16．为了了解一批圆珠笔心的使用寿命,宜采用方式进行调查;为了了解你们班同学的身高，宜采用方式进行调查．答案:抽样调查|普查解析：解答：了解一批圆珠笔心的使用寿命，调查过程带有破坏性,只能采取抽样调查，而不能将整批圆珠笔心全部用于实验，所以填抽样调查；了解你们班同学的身高，调查范围小，实施全面调查简便易行,且又能得到较准确的数据,所以填普查．故答案为：抽样调查；普查．分析:要选择调查方式，需将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来具体分析．此题考查的是普查和抽样调查的选择．在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏,以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时应选择抽样调查．17．一个样本，各个数据的和为515,如果这个样本的平均数为5，那么这个样本的容量是__答案：103解析：解答：根据题意得：样本的容量是:515÷5=103．故答案为：103．分析：样本的容量=样本中各个数据的和÷样本的平均数,根据这个关系就可以求解．样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，一般是用样本中各个数据的和÷样本的平均数，可以求得样本的容量．18．某商场在“十一"长假期间平均每天的营业额是15万元，由此推算10月份的总营业额约为15×31=465（万元）,你认为这样推断是否合理？答：（填“合理"或“不合理”)答案：不合理解析：解答：不合理,因为抽样不具有代表性．分析：抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面,各个层次的对象都要有所体现．抽样调查时抽查的样本要具有代表性,数目不能太少．19．为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼条．答案：800解析：解答：设湖里有鱼x条，则20025,解得x=800．x100故答案为：800．分析:第二次捕得200条所占总体的比例=标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此进行解答．此题考查的是通过样本去估计总体．20．在开展“国学诵读"活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间,并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是答案：520解析：解答：该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小=520人．时的人数是1300×15550故答案为：520．分析：用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比计算得到答案．此题考查了用样本估计总体的知识,解题的关键是求得样本中不少于7小时的人数所占的百分比．三、解答题21．请指出下列抽样调查的总体、个体、样本、样本容量分别是什么？（1）为了了解某种家用空调工作1小时的用电量，调查10台该种空调每台工作1小时的用电量；答案:解答：(1)总体：该种家用空调工作1小时的用电量；个体：每一台该种家用空调工作1小时的用电量；样本：10台该种家用空调每台工作1小时的用电量；样本容量：10；（2）为了了解初二年级270名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查．答案：初二年级270名学生的视力情况|每一名学生的视力情况|抽取的50名学生的视力情况｜50解答：总体：初二年级270名学生的视力情况；个体：每一名学生的视力情况；样本：抽取的50名学生的视力情况;样本容量：50．解析：分析:总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．22．为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计,统计结果如图所示：（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别是6元/千克、8元/千克和3元/千克,则这7天销售额最大的水果品种是________；答案：西瓜解答：（1）根据统计图得：西瓜的销售额为250×6=1500元，苹果的销售额为140×8=1120元，香蕉的销售额为400×3=1200元，∴西瓜的销售额最大;（2)估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？答案：600×30=600（千克）解答：1407答:估计一个月该水果店可销售苹果600千克．解析:分析：（1）根据统计图得到每种水果的销售量，销量与单价的积就是销售额，由此比较大小；（2)首先从统计图中得到7天苹果的销售量,然后计算平均数，再利用样本估计总体的思想即可求出一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果的销售量．23．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球，记下颜色,然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有多少个?答案：45解答：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球,∴白球与红球的数量之比为1：9，∵白球有5个,∴红球有9×5=45（个)．解析：分析：小亮共摸了100次，其中10次摸到白球,则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1:9；进而计算出红球数．此题考查的是通过样本去估计总体,只需将样本“成比例地放大”为总体．24．小辰家买了一辆小轿车，小辰连续记录了七天中每天行驶的路程：请你用学过的统计知识解决下面的问题：（1）小辰家的轿车每月(按30天计算）要行驶多少千米?答案：1200++++++=40，解答：（1)∵362927404372337∴40×30=1200．即小辰家的轿车每月要行驶1200千米．（2）若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升4.74元，请你算出小辰家一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元？（精确到百元）答案:5500解答：4。
北师大七年级上《6.2普查与抽样调查》课时练习含答案解析
北师大版数学七年级上册第6章第2节普查和抽样调查同步检测一、选择题1．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了1000个成年人，结果其中有150个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是150个吸烟的成年人D．本地区只有850个成年人不吸烟答案：B解析：解答：调查的方式是抽查，所以A错误；样本是1000个成年人的抽烟情况，所以C，D错误；抽烟的成年人所占的比例约是：1501000=15%，所以B正确．故选：B．分析：根据调查的情况可以判断是抽查，根据样本与总体的关系进行判断．此题主要考查了抽样调查，以及总体与样本的关系．2．下列事件中最适合使用普查方式收集数据的是（）A．为制作校服，了解某班同学的身高情况B．了解全市初三学生的视力情况C．了解一种节能灯的使用寿命D．了解我省农民的年人均收入情况答案：A解析：解答：A．人数不多，适合使用普查方式，所以A正确；B．人数较多，结果的实际意义不大，因而不适用普查方式，所以B错误；C．是具有破坏性的调查，因而不适用普查方式，所以C错误；D．人数较多，结果的实际意义不大，因而不适用普查方式，所以D错误．故选：A．分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．此题考查了抽样调查和全面调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查选用普查．3．下列调查方式合适的是（）A．为了了解市民对电影《南京》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生B．为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向3位好友做了调查C．为了了解“嫦娥一号”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式D．为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式答案：C解析：解答：A．要了解市民对电影《南京》的感受，应随机抽查一部分市民，只采访了8名初三学生，具有片面性；B．要了解全校学生用于做数学作业的时间，应从全校中随机抽查部分学生，不能在网上向3位好友做调查，不具有代表性；C．要保证“嫦娥一号”卫星零部件的状况，是精确度要求高、事关重大的调查，往往选用全面调查；D．要了解全国青少年儿童的睡眠时间，范围广，宜采用抽查方式．故选：C．分析：根据抽样调查和全面调查的特点作出判断．此题考查了抽样调查和全面调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查选用普查．4．下列调查中，适合用全面调查的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解一批炮弹的杀伤半径C．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比D．了解全国青少年喜欢的电视节目答案：A解析：解答：A．了解某班同学立定跳远的情况难度较小、工作量不大，故适合用全面调查；B．了解一批炮弹的杀伤半径具有一定的破坏性，适合用抽样调查；C．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比具有一定的破坏性，适合用抽样调查；D．了解全国青少年喜欢的电视节目普查的难度较大，适合用抽样调查．故选：A．分析：分别根据普查和抽样调查适宜的条件对各选项进行逐一分析解答．此题考查的是普查与抽样调查的联系与区别．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．5．为了解全市1600多万民众的身体健康状况，从中任意抽取1000人进行调查，在这个问题中，这1000人的身体状况是（）A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C解析：解答：A．总体是全市1600多万民众的身体健康状况的全体，错误；B．个体是所抽取的1000人中每一个人的身体状况，错误；C．样本是所抽取的这1000人的身体状况，正确；D．样本容量是1000，错误．故选：C．分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．在这个问题中，这1000人的身体状况是样本．正确理解总体、个体、样本的含义是解答此类题的关键．6．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本④样本容量是2000．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解答：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000．因此正确的是①④．故选：C．分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．7．为了了解某校300名初三学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．300名学生是总体B．300是样本容量C．30名学生是抽取的一个样本D．30是样本的容量答案：D解析：解答：此题中总体是某校300名初三学生的睡眠时间，样本是抽取的30名学生的睡眠时间，因此样本的容量是30．所以A，B，C都错，D对．故选：D．分析：样本的容量指一个样本所含个体的数目，即抽取学生的数量是样本的容量，不带单位．掌握总体，样本，样本的容量的概念．8．为了了解某校初三年级400名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是（）A．400名学生的体重B．被抽取的50名学生C．400名学生D．被抽取的50名学生的体重答案：A解析：解答：此题题考查的对象是某校初三年级400名学生的体重情况，所以总体是400名学生的体重．故选：A．分析：此题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物”，关键是明确考查的对象．9．下列调查的样本具有代表性的是（）A．利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的产量估水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验答案：D解析：解答：A．利用当地的七月份的日平均最高气温值估计当地全年的日最高气温，不具代表性，所以此选项错误；B．在农村调查市民的平均寿命，不具代表性，所以此选项错误；C．利用一块实验水稻田的产量估水稻的实际产量，不具代表性，所以此选项错误；D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验，具有代表性，所以选项正确．故选：D．分析：根据抽样调查的可靠性，分别分析得出即可．此题主要考查了抽样的可靠性，利用抽样必须全面进而得出是解题关键．10．为了测量调查对象每分钟的心跳次数，甲同学建议测量2分钟的心跳次数再除以2，乙同学建议测量10秒的心跳次数再乘以6，你认为哪位同学的方法更具有代表性（）A．甲同学C．两种方法都具有代表性D．两种方法都不合理答案：A解析：解答：∵要测量调查对象每分钟的心跳次数，由于2分钟远远大于10秒钟，∴甲同学建议测量的根据代表性，误差更小些；∴选甲同学的方案．故选：A．分析：甲同学建议测量2分钟的心跳次数大于乙同学建议测量10秒的心跳次数．根据样本容量越大，越具有代表性进行解答．选此类题的方案时，注意样本容量越大越具有代表性．11．下列抽样调查较科学的是（）①小芳为了知道烤箱中所烤的面包是否熟了，取出一小块品尝；②小明为了了解初中三个年级学生的平均身高，向初三年级一个班的学生做调查；③小琪为了了解北京市2005年的平均气温，上网查询了2005年7月份31天的气温情况；④小智为了了解初中三个年级学生的平均体重，向初一，初二，初三年级各一个班的学生做调查．A．①②B．①③C．①④D．③④答案：C解析：解答：①和④的抽样调查符合样本的代表性和广泛性的标准，是较科学的；②要了解初中三个年级的情况，一个年级的学生不具代表性，不科学；③一年中不同季节气温变化是很大的，调查时只选了一天的情况，调查的对象太少，缺乏代表性，也不符合广泛性．故选：C．分析：抽样调查只考查总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性．12．为了了解某校学生的每日运动量，收集数据正确的是（）A．调查该校舞蹈队学生每日的运动量B．调查该校书法小组学生每日的运动量C．调查该校田径队学生每日的运动量D．调查该校某一班级的学生每日的运动量解析：解答：采用抽样调查，必须使样本具有代表性．选项A 、B 、C 都比较特殊，不具有代表性．选项D 某一班级的学生每日的运动量，可以代表这个学校的每日运动量，因而收集的数据是正确的．故选：D ．分析：采用抽样调查，所调查的对象都有被抽到的机会．注意抽样调查的样本一定要具有广泛性和代表性．13．为了让人们感受丢弃废旧电池对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一个月内丢弃废电池的数量，结果如下（单位：个）：7，5，6，4，8，6，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计该月全班同学各家总共丢弃废旧电池的数量约为（ ）A ．180B ．225C ．270D ．315答案：C解析：解答：估计本周全班同学各家总共丢弃废电池的数量为：7564866+++++×45=270． 故选：C ．分析：先求出6名同学家丢弃废电池的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．此题主要考查了用样本估计总体，生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法．14．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）A ．50人B ．64人C ．90人D ．96人答案：D解析：解答：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀， ∴样本优秀率为：15÷50=30%，又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%=96人．故选：D ．分析：随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．此题考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，对总体的估计就越精确．15．为调查某校1500名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（）A．1200名B．450名C．400名D．300名答案：D解析：解答：∵喜爱体育节目的学生占1-10%-5%-35%-30%=20%，该校共1500名学生，∴该校喜爱体育节目的学生共有1500×20%=300（名），故选：D．分析：先求出喜爱体育节目的学生占总人数百分比，再乘以总人数，得到答案．此题考查了用样本估计总体，关键是根据扇形统计图求出喜爱体育节目的学生数占总人数的百分比．二、填空题16．为了了解一批圆珠笔心的使用寿命，宜采用方式进行调查；为了了解你们班同学的身高，宜采用方式进行调查．答案：抽样调查｜普查解析：解答：了解一批圆珠笔心的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整批圆珠笔心全部用于实验，所以填抽样调查；了解你们班同学的身高，调查范围小，实施全面调查简便易行，且又能得到较准确的数据，所以填普查．故答案为：抽样调查；普查．分析：要选择调查方式，需将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来具体分析．此题考查的是普查和抽样调查的选择．在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时应选择抽样调查．17．一个样本，各个数据的和为515，如果这个样本的平均数为5，那么这个样本的容量是__答案：103解析：解答：根据题意得：样本的容量是：515÷5=103．故答案为：103．分析：样本的容量=样本中各个数据的和÷样本的平均数，根据这个关系就可以求解．样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，一般是用样本中各个数据的和÷样本的平均数，可以求得样本的容量．18．某商场在“十一”长假期间平均每天的营业额是15万元，由此推算10月份的总营业额约为15×31=465（万元），你认为这样推断是否合理？答：（填“合理”或“不合理”）答案：不合理解析：解答：不合理，因为抽样不具有代表性．分析：抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．抽样调查时抽查的样本要具有代表性，数目不能太少．19．为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼条．答案：800解析：解答：设湖里有鱼x条，则20025，解得x=800．x100故答案为：800．分析：第二次捕得200条所占总体的比例=标记的鱼25条所占有标记的总数的比例，据此进行解答．此题考查的是通过样本去估计总体．20．在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是答案：520解析：解答：该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1300×15550=520人．故答案为：520．分析：用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比计算得到答案．此题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于7小时的人数所占的百分比．三、解答题21．请指出下列抽样调查的总体、个体、样本、样本容量分别是什么？（1）为了了解某种家用空调工作1小时的用电量，调查10台该种空调每台工作1小时的用电量；答案：解答：（1）总体：该种家用空调工作1小时的用电量；个体：每一台该种家用空调工作1小时的用电量；样本：10台该种家用空调每台工作1小时的用电量；样本容量：10；（2）为了了解初二年级270名学生的视力情况，从中抽取50名学生进行视力检查．答案：初二年级270名学生的视力情况｜每一名学生的视力情况｜抽取的50名学生的视力情况｜50解答：总体：初二年级270名学生的视力情况；个体：每一名学生的视力情况；样本：抽取的50名学生的视力情况；样本容量：50．解析：分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．22．为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示：（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别是6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额最大的水果品种是________；答案：西瓜解答：（1）根据统计图得：西瓜的销售额为250×6=1500元，苹果的销售额为140×8=1120元，香蕉的销售额为400×3=1200元，∴西瓜的销售额最大；（2）估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？答案：600解答：1407×30=600（千克）答：估计一个月该水果店可销售苹果600千克．解析：分析：（1）根据统计图得到每种水果的销售量，销量与单价的积就是销售额，由此比较大小；（2）首先从统计图中得到7天苹果的销售量，然后计算平均数，再利用样本估计总体的思想即可求出一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果的销售量．23．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有多少个？答案：45解答：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：9，∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个）．解析：分析：小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；进而计算出红球数．此题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体．24．小辰家买了一辆小轿车，小辰连续记录了七天中每天行驶的路程：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天路程（千米）36 29 27 40 43 72 33 请你用学过的统计知识解决下面的问题：（1）小辰家的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？答案：1200解答：（1）∵362927404372337++++++=40，∴40×30=1200．即小辰家的轿车每月要行驶1200千米．（2）若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升4.74元，请你算出小辰家一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元？（精确到百元）答案：5500解答：4.74×8×1200×12÷100=5460.48≈5500．即小辰家一年的汽油费用大约是5500元．解析：分析：（1）先求出七天中每天行驶的路程的平均数，再求一个月的行程进行解答；（2）求出一年行驶路程，需汽油以及费用列式计算求得．生活中常遇到的估算的问题，通常采用样本估计总体的方法．25．小明家的鱼塘养了某种鱼2000条，现准备打捞出售，为了估计鱼塘中的这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞了3次，得到数据如下：鱼的条数平均每条鱼的质量第一次捕捞15 1.6千克第二次捕捞15 2.0千克第三次捕捞10 1.8千克（1）鱼塘中这种鱼平均每条质量约是______千克，鱼塘中所有这种鱼的总质量约是______千克；若将这些鱼不分大小，按每千克7.5元的价格出售，小明家约可收入______元；答案：1.8｜3600｜27000解答：（1）（15×1.6+15×2.0+10×1.8）÷40=1.8（千克），1.8×2000=3600（千克），3600×7.5=27000（元）；（2）若鱼塘中这种鱼的总质量是（1）中估计的值，现在鱼塘中的鱼分大鱼和小鱼两类出售，大鱼每千克10元，小鱼每千克6元，要使小明家的此项收入不低于（1）中估计的收入，问：鱼塘中大鱼总质量应至少有多少千克？答案：1350解答：设鱼塘中大鱼总质量应至少有x千克，由题意列不等式得10x+6（3600-x）≥27000，解得x≥1350．答：鱼塘中大鱼总质量应至少有1350千克．解析：分析：（1）根据平均数的公式求解，每条鱼的平均质量×总条数=总质量，总收入=总质量×7.5；（2）列不等式求解．考查了用样本估计总体的思想．。
2021-2022年高一下学期5月月考 数学 含答案
2021-2022年高一下学期5月月考数学含答案考生注意：1、试卷所有答案都必须写在答题卷上。
2、答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分。
一、选择题：（本大题共有10 题，每题5分，共50分）1. 下列语句中，是赋值语句的为（）A. m+n=3B. 3=iC. i=i²+1D.i=j=32. 已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（）A.M>NB. M<NC. M=ND. 无法确定3. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲，X乙，则下列结论正确的是（）A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定C．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定D．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定4. 将两个数a=5，b=12交换为a=12，b=5，下面语句正确的一组是（）A. B. C. D.5. 将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且样本中含有一个号码为003的学生，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为（）A. 20,15,15B. 20,16,14C. 12,14,16D. 21,15,146. 如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A. i>10B. i<10C. i>11D. i<117. 设a、b是正实数，给定不等式：①＞；②a＞|a-b|-b；③a2+b2＞4ab-3b2；④ab+＞2，上述不等式中恒成立的序号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2 cd的最小值是( )．9. 在△ABC中，三边a、b、c成等比数列，角B所对的边为b，则cos2B+2cosB 的最小值为（）A. B.-1 C. D. 110. 给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（）A.4900B.4901C.5000D.5001二、填空题：（本大题共有5 题，每题5分，共25分）11. 已知x、y的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.712. 已知函数f（x）＝，则不等式f（x）≥x2的解集是13. 如果运行下面程序之后输出y的值是9，则输入x的值是输入xIf x＜0 Theny=（x+1）*（x+1）Elsey=（x-1）*（x-1）End if输出yEnd14. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（b-c）cosA=acosC，则cosA=15. 设a+b=2，b＞0，则+ 的最小值为三、解答题（本大题共有6 题，共75 分）16. 已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的解集为非空集{x|n＜x＜5}（1）求实数m和n的值（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．（2）求关于x的不等式loga17. 某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值作为代表（例如区间[70，80）的中点值是75），试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．18. 根据如图所示的程序框图，将输出的x，y依次记为x1，x2，…，xxx，y1，y2…yxx，（1）求出数列{xn }，{yn}（n≤xx）的通项公式；（2）求数列{xn +yn}（n≤xx）的前n项的和Sn．19. 在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC= ，（1）求BC的长；（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．20. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1 m2森林损失费为60元，问应该派多少消防员前去救火，才能使总损失最少？21. 各项为正数的数列{an }满足＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m、n，使得向量=（2an+2，m）与向量=（−an+5，3+an）垂直？说明理由．1~5 CAADB 6~10 ADDCB11. 2.6 12. [-1,1] 13.-4或4 14. 15.16.解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）（3分）∴（1分）（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增由loga（-nx2+3x+2-m）＞0得x2+3x-3＞1（2分）即 x2+3x-4＞0x＞1 或 x＜-4（1分）2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0得：（2分）即4132132122xx x-<<⎧⎪⎨---+<>⎪⎩或（1分）（1分）∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），当0＜a＜1时原不等式的解集为：321321(4,,1)22---+-)(（1分）17. 解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y，又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9 ∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分＝10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=21018. 解：（1）由程序框图可得到数列{xn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴xn=3n-1，（n≤xx）．数列{yn+1}是首项为3公比为2的等比数列，∴yn +1=3•2n-1，∴yn=3•2n-1-1，（n≤xx）．（Ⅱ）∵xn +yn=3n-1+3•2n-1-1=，（n≤xx）．∴Sn=（2+5+…+3n-1）+（3+6+…+3•2n-1）-n=+3•2n-3-n=3•2n+（n≤xx）．19.解：（1）由cosC＝得sinC＝sinA＝sin(180°−45°−C)＝(cosC+sinC)＝由正弦定理知BC＝•sinA＝1022•＝3（2）AB＝•sinC＝1022•＝2, BD＝AB＝1由余弦定理知CD＝222cosBD BC BD BC B+-=＝20. 解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费=125tx+100x+60（500+100t）=125x•+100x+30000+y=1250•+100（x-2+2）+30000+=31450+100（x-2）+≥31450+2=36450，当且仅当100（x-2）=，即x=27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元.21. 解：（1）当n=1时，＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1当n=2时，＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；（2）由＝4Sn −2an−1…①，＝4Sn+1−2an+1−1…②②-①，得−＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0∵数列{an }的各项为正数，∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列∴数列{an }的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；（3）∵向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）∴结合（2）求出的通项公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）若向量⊥，则•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0化简得m=4（n+1）+16+∵m、n是正整数，∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使⊥符合题意综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）垂直．38420 9614 阔40291 9D63 鵣\Up30830 786E 确•30468 7704 眄21622 5476 呶36719 8F6F 软9c27258 6A7A 橺1。
2021年高一下学期5月月考数学试题
2021年高一下学期5月月考数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）m为任意实数时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5必过定点（9，﹣4）．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：对于任意实数m，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+2y﹣1）m+（x+y﹣5）=0．让m的系数和常数项为零即可．解答：解：方程（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5可化为（x+2y﹣1）m+（x+y﹣5）=0∵对于任意实数m，当时，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点由，得．故定点坐标是（9，﹣4）．故答案为（9，﹣4）．点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．2．（5分）函数y=sin2x+2cosx（≤x≤）的最小值为﹣2．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先将y=sin2x+2cosx转化为y=﹣cos2x+2cosx+1，再配方，利用余弦函数的单调性求其最小值．解答：解：∵y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2，∵≤x≤，∴﹣1≤cosx≤，﹣2≤cosx﹣1≤﹣，∴≤（cosx﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（cosx﹣1）2≤﹣．∴﹣2≤2﹣（cosx﹣1）2≤．∴函数y=sin2x+2cosx（≤x≤）的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方法的应用，属于中档题．3．（5分）已知数列的前n项和，第k项满足5＜a k＜8，则k的值为8．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据数列的第n项与前n项和的关系可得a1=S1=﹣8，当n≥2 a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣10，由5＜2k﹣10＜8求得正整数k的值．解答：解：∵数列的前n项和，∴a1=S1=1﹣9=﹣8．当n≥2 a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣9n﹣[（n﹣1）2﹣9（n﹣1）]=2n﹣10，由5＜a k＜8 可得5＜2k﹣10＜8，解得＜k＜9，故正整数k=8，故答案为8．点评：本题主要考查数列的第n项与前n项和的关系，解一元一次不等式，属于基础题．4．（5分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=﹣1时，l1∥l2．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行的条件可得：，解后注意验证．解答：解：由平行的条件可得：，由，解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．故答案为：﹣1．点本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题．评：5．（5分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求解答：解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a b2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：点评：本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题6．（5分）若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．解答：解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足选项．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型．7．（5分）过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．考点：直线的截距式方程．专题：探究型；分类讨论．分析：分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求．解答：解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故答案为2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．8．（5分）已知以x，y为自变量的目标函数z=kx+y （k＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（1，2），B（0，1），C（，0），D（，0），E（2，1），若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则k=1．考点：简单线性规划的应用．专题：图表型．分析：由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解答：解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y应与直线AE平行∵k AE==﹣1，∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．9．（5分）（xx•湖北）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，则q的值为﹣2．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：压轴题；分类讨论．分析：首先由S n+1，S n，S n+2成等差数列，可得2S n=S n+1+S n+2，然后利用等比数列的求和公式分别表示S n+1，S n，S n+2，注意分q=1和q≠1两种情况讨论，解方程即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S n+1，S n，S n+2成等差数列，则2S n=S n+1+S n+2，若q=1，则S n=na1，式显然不成立，若q≠1，则为，故2q n=q n+1+q n+2，即q2+q﹣2=0，因此q=﹣2．故答案为﹣2．点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．10．（5分）若三直线x+y+1=0，2x﹣y+8=0和ax+3y﹣5=0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为{，3，﹣6}．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题；直线与圆．分析：首先解出直线x+y+1=0与2x﹣y+8=0的交点，代入ax+3y﹣5=0求解a的值；然后由ax+3y﹣5=0分别和已知直线平行求解a的值．解答：解：由，得，所以直线x+y+1=0与2x﹣y+8=0的交点为（﹣3，2），若直线ax+3y﹣5=0过（﹣3，2），则﹣3a+6﹣5=0，解得；由ax+3y﹣5=0过定点（0，），若ax+3y﹣5=0与x+y+1=0平行，得，a=3；若ax+3y﹣5=0与2x﹣y+8=0平行，得，a=﹣6．所以满足条件的a组成的集合为{}．故答案为{}．点评：本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．11．（5分）设S n=1+2+3+…+n，n∈N*，则函数的最大值为．考点：等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：由题意求出S n的表达式，将其代入代简后求其最值即可．解答：解：由题意S n=1+2+3+…+n= ∴===≤=等号当且仅当时成立故答案为点评：本题考查等差数列的前n项公式以及利用基本不等式求最值，求解本题的关键是将所得的关系式转化为可以利用基本不等式求最值的形式，利用基本不等式求最值是最值的一个比较常用的技巧，其特征是看是否具备：一正，二定，三相等．12．（5分）直线l：x=my+n（n＞0）过点A（4，4），若可行域的外接圆直径为，则实数n 的值是2或6．考简单线性规划的应用．点：专题：不等式的解法及应用．分析：令直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B点，则得可行域是三角形OAB，根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解答：解：设直线l：x=my+n（n＞0）与x轴交于B（n，0）点，∵直线x=my+n（n＞0）经过点A（4，4 ），直线x﹣y=0也经过点A（4，4 ），∴直线x=my+n（n＞0）经过一、二、四象限∴m＜0∴可行域是三角形OAB，且∠AOB=60°∵可行域围成的三角形的外接圆的直径为，由正弦定理可得，=2R=∴AB=•sin∠60°=8=∴n=2或6故答案为：2或6．点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知条件，结合正弦定理，构造关于n的方程，是解答本题关键．13．（5分）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l的个数为2条．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：探究型；直线与圆．分析：由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可得=1，求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．解答：解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3 因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．故答案为2．点评：本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．14．（5分）若a，b，c∈R，且满足，则a的取值范围是[1，5]．考点：函数与方程的综合运用．专题：应用题．分析：根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a的不等式，解之，即可得到a的取值范围．解答：解：∵a2﹣bc﹣2a+10=0，∴bc=a2﹣2a+10∵b2+bc+c2﹣12a﹣15=0．∴b2+bc+c2=12a+15．∵b2+bc+c2≥bc+2bc=3bc ∴12a+15≥3（a2﹣2a+10）∴a2﹣6a+5≤0∴1≤a≤5∴a的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]点评：本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知，，，求f（β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，，结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．解答：解：（1）∵=sinxcos=∴，∴T=2π，f（x）max=2（2）∵∴cosαcosβ=0∵，∴点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用．16．（14分）如图，要测量河对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求AB之间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先在△ACD中求出∠CAD、∠ADC的值，从而可得到AC=CD=，然后在△BCD中利用正弦定理可求出BC的长度，最后在△ABC中利用余弦定理求出AB的长度即可．解答：解：在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°∴AC=CD=km 在△BCD中，∠BCD=45°∠BDC=75°∠CBD=60°∵=∴BC==，在△ABC中，由余弦定理得：AB2=2+（）2﹣2×cos75°=3+2+﹣=5∴AB=km答：A、B之间距离为km．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的综合运用．解三角形在高考中是必考内容，而且属于较简单的题目，一定要做到满分．17．（15分）过点P（2，1）的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；（2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．考直线和圆的方程的应用．点：专题：直线与圆．分析：（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|•|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．解答：解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b＞0，∴a＞2．==．当且仅当a﹣2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此时b=1+．∴，此时l：，即；（2）由（1）知，，∵，∴．当且仅当，即a=3时等号成立，此时b=3．∴u min=4，此时l：，即x+y=3．点评：本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．18．（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：先设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其利产值为z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=600x+400y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=600x+400y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解答：解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其利产值为z元，根据题意，可得约束条件为…（3分）作出可行域如图：…．（5分）目标函数z=600x+400y，作直线l0：3x+2y=0，再作一组平行于l0的直线l：3x+2y=z，当直线l经过P点时z=600x+400y取得最大值，…．（9分）由，解得交点P（7.5，35）…．（12分）所以有z最大=600×7.5+400×35=18500（元）…（13分）所以生产甲产品7.5千克，乙产品35千克时，总产值最大，为18500元．…（14分）点评：本题是一道方案设计题型，考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的解析表达式；（3）证明：+…+＞2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用不等式的求f（1）的值．（2）利用待定系数法求函数的解析式．（3）利用放缩法证明不等式．解答：解：（1）因为x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．所以当x=1时，有1≤f（1）≤（1+1）=1，所以f（1）=1．（2）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，a≠0，因为f（1）=1，f（﹣1）=0，所以a+c=b=．因为f（x）≥x对一切实数x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0，所以必有，解得a＞0，ac，所以c＞0．因为，当且仅当a=c=取等号，所以．（3）因为，所以+…+＞．故不等式+…+＞2成立．点本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩法证明不等式，综合性较强．评：20．（16分）（2011•朝阳区一模）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．（Ⅰ）证明d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列d m分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（c m）4（c m＞0），求数列的前n项和S n．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S n，求使得不等式成立的所有N的值．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可；（Ⅱ）由d1=1，d2=3，代入d m中，确定出d m的通项，根据题意的分组规律，得到第m组中有2m﹣1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m﹣1个奇数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前m2个奇数的和，又前m组中所有数之和为（c m）4（c m＞0），即可得到c m=m，代入中确定出数列的通项公式，根据通项公式列举出数列的前n项和S n，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②﹣①即可得到前n项和S n的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到d n和S n的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后左边设成一个函数f（n），然后分别把n=1，2，3，4，5代入发现其值小于0，当n≥6时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20，所以得到满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数．解答：解：（Ⅰ）由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=[1+（n﹣1）d2]﹣[1+（n﹣1）d1]=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．（4分）（Ⅱ）当d1=1，d2=3时，d m=2m﹣1（m∈N*）．数列d m分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），．按分组规律，第m组中有2m﹣1个奇数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）=m2个奇数．注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+（2k﹣1）=k2，所以前m2个奇数的和为（m2）2=m4．即前m组中所有数之和为m4，所以（c m）4=m4．因为c m＞0，所以c m=m，从而．所以S n=1•2+3•22+5•23+7•24+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n.2S n=1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1．①故2S n=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n﹣（2n﹣1）•2n+1=2（2+22+23+…+2n）﹣2﹣（2n ﹣1）•2n+1==（3﹣2n）2n+1﹣6．②②﹣①得：S n=（2n﹣3）2n+1+6．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得d n=2n﹣1（n∈N*），S n=（2n﹣3）2n+1+6（n∈N*）．故不等式，即（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）．考虑函数f（n）=（2n﹣3）2n+1﹣50（2n﹣1）=（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．当n=1，2，3，4，5时，都有f（n）＜0，即（2n﹣3）2n+1＜50（2n﹣1）．而f（6）=9（128﹣50）﹣100=602＞0，注意到当n≥6时，f（n）单调递增，故有f（n）＞0．因此当n≥6时，（2n﹣3）2n+1＞50（2n﹣1）成立，即成立．所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，…，20．（14分）点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，会利用错位相减的方法求数列的通项公式，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．29922 74E2 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山东省滨州市高一下学期5月月考数学试题(解析版)
5月联合质量测评试题高一数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为600、300、100，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的n 有18人，则的值是（ ） n A. 20 B. 30C. 40D. 50【答案】B 【解析】【分析】按分层抽样的定义，建立比例关系可得答案.【详解】非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数比为， 600:300:1006:3:1=按分层抽样方法，其中非常喜欢的有18人可得， 61810n ⨯=解得. 30n =故选：B.2. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形,,a b c ABC ,,A B C π,4,3A c a ===个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 1或2【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. π4C =5π12B =【详解】因为，由正弦定理，所以π,4,3A c a ===sin sin a c A C =4sin C =， sin C =又因为，故，. 2π(0,3C ∈π4C =5π12B =故选：B.3. A ，B ，C 表示不同的点，n ，l 表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法正确的是（ ） αβA. 若，，，则 l αβ= n α∥n β∥n l ∥B. 若A ，，A ，，则B l ∈B α∉l α∥C. 若A ，，A ，B ，，，则 B α∈C β∈l αβ= C l ∈D. 若，，，则αβ∥l ⊂αn β⊂l n ∥【答案】A 【解析】【分析】根据点、线、面的位置关系，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：选项A ，因为，，，所以，故A 正确； l αβ= n α∥n β∥n l ∥选项B ，因为A ，，A ，，所以或l 与相交，故B 不正确；B l ∈B α∉l α∥α选项C ，A ，，A ，B ，，，此时点C 不一定在平面a 内，所以不正确，故B α∈C β∈l αβ= C l ∈C 不正确；选项D ，由，，，则l 与n 可能平行，也可能异面，故D 不正确．αβ∥l ⊂αn β⊂故选：A.4. 已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 56π||1,||a b == (2)()a b a b -⋅+=A. B.C.D. 1-127252-【答案】D 【解析】【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.【详解】. ()()225522cos 21362a b a b a a b b π⎛-⋅+=+⋅-=+-=- ⎝ 故选：D.5. 在中，角的对边分别为，已知，则的外接圆面积为ABC ,,A B C ,,a bc π3,4a c B ===ABC （ ） A.B. C.D.5π210π5π47π2【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理及正弦定理求得结果. 【详解】已知， π3,4a c B===由余弦定理可得，(22222π2cos 323cos54b ac ac B =+-=+-⨯=由正弦定理可得2sin b R B ===R =则的外接圆面积. ABC 25ππ2S R ==故选：A .6. 如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与1111ABCD A B C D -11,2AB AD AA ===E 1DD 1BD 所成角的大小为（ ）AEA.B.C.D.π3π4π65π6【答案】C 【解析】【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在1CC F 1BD AE 1BD AF1D BF ∠1D BF中由余弦定理可得答案.【详解】取的中点，连接，所以， 1CC F 1D F BF 、//AE BF 直线与所成角即为直线与所成的，1BD AE 1BD AF1D BF ∠所以，，22211112D F D C FC =+=2222BF BC CF =+=，222221*********D B D C D A D D =++=++=在中由余弦定理可得, 1D BF2221111cos 2D B BF D F D BF D B BF +-∠===⨯因为，所以.1π0,2D BF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦1π6D BF ∠=故选：C.7. 已知分别为三个内角的对边，且满足,,a b c ABC ,,A BC 2cos ,(cos )a b C b c a C C =+=+，则的形状为（ ） ABC A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】分别利用正弦定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，(cos )b c a C C +=+，sin sin sin (cos )sin cos sin B C A C C A C A C +=+=因为，所以，πA B C ++=π()B A C =-+则有，sin()sin sin cos sin A C C A C A C ++=+即，sin cos cos sin sin sin cos sin A C A C C A C A C ++=所以，因为，所以，cos sin sin sin A C C A C +=(0,π)C ∈sin 0C≠，即，因为，cos 1A A -=π1sin()62A -=(0,π)A ∈所以或，则或（舍去）.ππ66A -=π5π66A -=π3A =πA =又因为，由正弦定理可得， 2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以，πA B C ++=π()A B C =-+则，化简整理可得，， sin()2sin cos B C B C +=sin()0B C -=所以，又因为，所以为等边三角形， B C =π3A =ABC 故选：C.8. 已知梯形，且为平面内一点，则,ABCD AB CD ∥22,1,,AB CD AD AB AD P ===⊥ABCD 的最小值是（ ）()PC PB PC ⋅+A. B. C. D. 214-12-32-【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出和的坐标，再利用向量数量积的坐标运算即可求出结PC PB PC +果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，因为，则，，设，22,1AB CD AD ===(1,1)C (2,0)B (,)P x y 所以，，故，(1,1)PC x y =-- (2,)PB x y =-- (32,12)PB PC x y +=--所以2222531()(1)(32)(1)(12)225342[((]444PC PB PC x x y y x y x y x y ⋅+=--+--=+--+=-+--，又为平面内一点，故当时，取到最小值.P ABCD 53,44x y ==()PC PB PC ⋅+ 14-故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ） 20231ii z +=i A. 的虚部是 z 1-B.1i z =--C. 若复数满足，则的最大值是0z 01z z -=0z 1+D. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 220x x b ++=2b =【答案】BCD 【解析】【分析】化简得到，，的虚部是，A 错误，，B 正确，1i z =-+z =z 11i z =--C 正确，代入计算得到D 正确，得到答案.011z z ≤+=+【详解】，，202331i 1i 1i1i i i iz -+++====-+z =对选项A ：的虚部是，错误； z 1对选项B ：，正确；1i z =--对选项C ：，故 001z z z z -=≥-011z z ≤+=对选项D ：，即，故，正确； ()()21i 21i 0b -++-++=20b --=2b =故选：BCD.10. 已知向量，，，设的夹角为，则（ ）()2,3a b += ()4,1a b -=- ()2,1c = ,a bθA.B.|2|26b a +=ac ⊥C. D. b c∥cos θ=【答案】BD 【解析】【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A 错误，，()1,2a =- ()3,1b = 2b a += 0a c ⋅=B正确，与不平行，C 错误，计算夹角得到D 正确，得到答案.b c【详解】设，，则， ()11,a x y = ()22,b x y = ()()1212,2,3a b x x y y +=++=，故，，()()1212,4,1a b x x y y -=--=-121224x x x x +=⎧⎨-=-⎩121231y y y y +=⎧⎨-=⎩解得，，故，，1213x x =-⎧⎨=⎩1221y y =⎧⎨=⎩()1,2a =- ()3,1b = 对选项A ：，故，错误； ()21,5b a +=2b a += 对选项B ：，故，正确；()()01,22,1a c =⋅=-⋅ a c ⊥对选项C ：，故与不平行，错误；3112⨯≠⨯b c对选项D ：，正确；cos a b a bθ⋅===⋅ 故选：BD.11. 在中，内角所对的边分别为，已知，ABC ,,A B C ,,a b c 221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++则（ ） A. 23A π=B. 若是底边为为其内心，则ABC N ::NBC NAC NAB S S S =△△△C. 若，则的周长为157,15a bc ==ABC D. 若，则0,2OA OB OC a ++== OBC S ≤△【答案】ACD 【解析】【分析】分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的相关知识进行求解即可. 【详解】由可得，221sin sin (sin sin )cos B C B C A +=++，则，2221sin sin sin sin cos B C B C A =+++222sin sin sin sin sin A B C B C =++由正弦定理可得，，由余弦定理可得，A 为三角形内角， 222a b c bc =++2221cos 22b c a A bc +-==-所以，故选项A 正确； 2π3A =若是底边为的等腰三角形，因为，则， ABC 2π3A =2BC ABAC ===设内切圆圆心为， ABC r 则，故选项B 错误； 111:::::1:1222NBC NAC NAB S S S BC r AC r AB r =⋅⋅⋅= 若，因为，由余弦定理可得， 7,15a bc ==2π3A =2222()a b c bc b c bc =++=+-所以，则的周长为15，故选项C 正确；8+=b c ABC 因为，所以为的重心，则，0OA OB OC ++= O ABC 13OBC ABC S S =△△因为，由余弦定理可得（当且仅当时去等号）， 2π3A =2223a b c bc bc =++≥b c =则，所以，故选项D 正确， 43bc ≤111sin 332OBC ABC S S bc A ==⨯≤ 故选：ACD.12. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球），阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．亦可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比．若已知该比值为的圆锥，其母线长为，底面半径为，轴截面如图所12l r 示，则（ ）A. 若，则1r =3l =B. C. 用过顶点的平面去截圆锥，则所得的截面图形可以为直角三角形AD. 若一只小蚂蚁从点出发，沿着圆锥的侧面爬行一周到达 B G 【答案】ABD 【解析】【分析】先证明圆锥容球定理，写出推导过程，推出其中几何尺寸之间的代数关系，再根据本题的几何特征逐项分析.【详解】如图，O 为内切球的球心，设圆锥的高为，内切球的半径为R ， AD h =则，，()()2222222,,,CE r OD R l r h AO h R R l r ==-==-=+-()l r r h R-∴=又三角形ABC 的面积，， ()1122222S rh l r R =⨯=+()()(),l r R l r r l r R h r R r+-+∴=∴= ①即， 22R l rr l r-=+ ②设内切球的体积为，圆锥的体积为，内切球的表面积为，圆锥的表面积为，1V 2V 1S 2S 则有，将①代入上式得， 3312224π4π31ππ3R V R V r h r h ==()321122224π4ππππV S R R l r R V rl r S rr ===++由题意，，，将②代入上式得：， 21224π1ππ2V R V rl r ==+()28R r l r ∴=+()()28r l r l r -=+即，所以当时，，A 正确；22960,3l r lr l r +-==1r =3l =由②式得：，由式得：，B 正确； 2221,42R r R r r ===①h =sin h ACB l ∴∠==由于圆锥的对称性，过A 点的平面截圆锥所得的图形必定是等腰三角形，其顶角最大为， BAC ∠由于，，C错误； ()()()22222222233,2,AB AC r r BC r AB AC BC +=+=∴+>π2BAC ∠<对于D ，圆锥展开后的扇形如下图：在上图的扇形中，，由前面的计算知：，， 2π2π33r BAC r ∠==2AG r =3AB r =由余弦定理得：，D 正确； 22222cos 19,BG AB AG AB AG BAC r BG =+-∠=∴= 故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．13. 已知一组数据1，2，，4，5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． m 【答案】2 【解析】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. m 【详解】依题意，所以方差为12453,35m m ++++==.()()()()()22222113233343535⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦[]1411425=⨯+++=故答案为：.214. 已知外接圆的圆心为，且是与方向相同的单ABC O ||||,||||1,AB AC AB AC OA AB e +=-== BC位向量，则在上的投影向量为__________． BABC【答案】12e 【解析】【分析】根据题意结合数量积的运算律分析可得，进而可得，结合投影向量运AB AC ⊥60ABC ∠=︒算求解即可.【详解】因为，即，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 则，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 整理得，即，则为圆的直径，0AB AC ⋅= AB AC ⊥BC O 又因为，则为等边三角形，即， 1OB OA AB ===u u u r u u r u u u rOAB 60ABC ∠=︒所以在上的投影向量为.BA BC()11cos 122BA ABC e e e ⎛⎫∠=⨯= ⎪⎝⎭u u rr r r 故答案为：. 12e15. 直三棱柱的底面的直观图如图所示，其中，且111ABC A B C -ABC A B C '''2,1A B A C ''''==13AA =，则直三棱柱外接球的表面积为__________．111ABC A B C -【答案】 17π【解析】【分析】根据条件得出底面是等腰直角三角形，将把直三棱柱补成长方体，再利用ABC 111ABC A B C -长方体体对角线长即长方体外接球的直径，从而求出结果.【详解】因为在底面的直观图中，，由斜二测法知，底面中，ABC A B C '''2,1A B A C ''''==ABC ，且，2AB AC ==90CAB ∠=︒如图，把直三棱柱补成长方体，则长方体的体对线长是直三棱柱外接球的111ABC A B C -111ABC A B C -直径，设外接球的半径为，又，，所以，R 13AA =2AB AC ==12AD R ===故直三棱柱外接球的表面积为111ABC A B C -24π17πS R ==故答案为：.17π16. 在中，为的中点，的平分线分别交于点，且，ABC D AC A ∠BC BD 、E O 、2,6AB AC ==，则__________；__________．60BAC ∠=︒AE =cos EOD ∠=【答案】 ①.②. ##【解析】【分析】利用余弦定理求出，并借助三角形面积公式及角平分线求出，再用余弦定理求出；BC BE AE 然后利用向量数量积求出夹角余弦作答. 【详解】在中，由余弦定理得ABCBC ===因为平分，则，有， AE BAC ∠1sin 301213sin 302ABEACEAB AE S BE AB CE S ACAC AE ⋅====⋅14BE BC ==在中，，即有， ABE ABC BAC BAE ∠>∠>∠AE BE >=由，即，解得； 2222cos30BE AB AE AB AE =+-⋅2744AE =+-=AE 显然，则，12BD AC AB =- 2221136426cos 60744BD AC AB AC AB =+-⋅=⨯+-⨯=即，又，||BD =111()(3)444AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 于是2211(3)(2)(6)88AE BD AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-++⋅ ， 19(643626cos 60)84=-⨯++⨯= 因此cos cos ,||||AE BD EOD AE BD AE BD ⋅∠=〈〉===所以，=AE cosEOD ∠=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知复数．若为纯虚数，求的值； ()2256232i,R z m m m m m =-++--∈z m （2）已知复数，若满足，求的值．i(,R)z a b a b =+∈z i 153i z z z ⋅+=+,a b【答案】（1）；（2）或 3m =33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）是纯虚数，则复数实部为0虚部不为0，计算得到答案.z （2）设，代入计算得到，解得答案. i z a b =+22315a a b b =⎧⎨+-=⎩【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得．z 225602320m m m m ⎧-+=⎨--≠⎩3m =（2）设，所以，i z a b =+i z a b =-．22i (i)(i)i(i)i 153i z z z a b a b a b a b b a ⋅+=+-++=+-+=+所以，解得或. 22315a a b b =⎧⎨+-=⎩33a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=-⎩18. 某高校为了对该校研究生的思想道德进行教育指导，对该校120名研究生进行考试，并将考试的分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100] 知，分值在的人数为15．2b a c =+[]90,100（1）求图中的值；,,a b c （2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75分，则认为该校研究生思想道德良好，试判断该校研究生的思想道德是否良好．【答案】（1），，0.0275a =0.02b =0.0125c =（2）该学校研究生思想道德良好． 【解析】【分析】（1）根据频率确定，再根据频率和为1计算得到答案. 0.0125c =（2）分别根据公式计算平均数和中位数，比较得到答案.【小问1详解】分值在的人数为15人，所以的频率为，即． [90,100][90,100]15=0.1251200.0125c =，又，所以，2a c b +=(0.030.00750.0025)101a b c +++++⨯=0.06a c b ++=解得，. 0.02b =0.0275a =【小问2详解】 这组数据的平均数为：，450.025550.075650.2750.3850.275950.1257675⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>前组频率和为， 3()100.00250.00750.020.3⨯++=前组频率和为，4()100.00250.00750.020.030.6⨯+++=故这组数据的中位数满足，解得， m 0.50.3(70)0.03m -=-⨯76.775m =>所以该学校研究生思想道德良好．19. 如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是ABCD PQSH -ABCD PADH ⊥,ABCD PAD 正三角形，是底面的中心，是线段上的点．N ABCD M PD（1）当//平面时，求证：平面；MN PABQ AM ⊥PCD （2）求二面角的余弦值． P BC A --【答案】（1）证明见解析（2． 【解析】【分析】（1）连接，证得，由底面是正方形，所以，根据面面垂直的PB MN PB ∥ABCD CD AD ⊥性质，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证CD ⊥PADH CD AM ⊥AM PD ⊥得平面；AM⊥PCD （2）取的中点分别为，连接，证得即为所求二面角的,AD BC ,G O ,,PG PO GO POG ∠P BC A --平面角，在直角中，结合，即可求解. PGO △cos GOPOG PO∠=【小问1详解】 证明：连接，PB 因为平面，平面，且平面平面， //MN PABQ MN ⊂PBD PBD PABQ PB =所以，MN PB ∥又因为在中，是的中点，所以是的中点，PBD △N BD M PD 因为底面是正方形，所以，又因为平面平面， ABCD CD AD ⊥PADH ⊥ABCD 平面平面平面，所以平面， PADH ⋂,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥PADH 因为平面，所以，所以是正三角形， AM ⊂PADH CD AM ⊥PAD 所以，因为，且平面，所以平面．AM PD ⊥PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD AM ⊥PCD 【小问2详解】解：取的中点分别为，连接， ,AD BC ,G O ,,PG PO GO 所以是正三角形，所以，PAD PG AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PG ⊂PAD 所以平面，PG ⊥ABCD 因为平面，所以，BC ⊂ABCD PG BC ⊥又因为且平面，所以平面，BC GO ⊥,,PG GO G PG GO =⊂ PGO BC⊥PGO 因为平面，所以，则即为所求二面角的平面角， PO ⊂PGO BC PO ⊥POG ∠P BC A --设，则， AD a =,GO a PG ==在直角中，，所以， PGO △PO =cos GO POG PO ∠==即所求二面角． P BC A --20. 已知半圆圆心为，直径为半圆弧上靠近点的三等分点，以为邻边作平行四边O 4,AB C =A ,AO AC 形，且，如图所示，设AODC 2ED CE =,OC a AD b ==（1）若，求的值；OE a b λμ=+λμ+（2）在线段上是否存在一点，使得?若存在，确定点的位置，并求；若不存AC F DF OE ⊥F ||AF 在，请说明理由．【答案】（1）1 （2）存在，为线段靠近的四等分点，AC C 3||2AF = 【解析】【分析】（1）法一：以作为基底向量，利用平面向量的线性运算法则表示向量，结,OC a AD b == OE合平面向量基本定理列方程求得，即可得的值；法二：建立平面直角坐标系，利用向量的坐标,λμλμ+运算，列方程求解的值，即可得的值；,λμλμ+（2）法一：令，由得数量积为，根据向量的线性运算即可列方程求解即可得答AF t AC = DF OE ⊥0案；法二：根据数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】法一：因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A60AOC ∴∠=︒又因，则为正三角形且平行四边形为菱形AO CO =AOC AODC2ED CE = 为线段靠近的三等分点E ∴CD C因，令,OC a AD b ==AD OC K ⋂=∴1111151()3332266OE OC CE a CD a KD KC a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，则51,66λμ==∴1λμ+=法二：如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系O AB xxOy因为半圆弧上靠近点的三等分点，C A 且为正三角形、平行四边形为菱形60AOC ∴∠=︒,AOC COD AODC 则(2,0),(2,0),(A B C D --为线段靠近的三等分点2ED CE E =∴CD C ，故13E ⎛∴- ⎝13OE ⎛=- ⎝(a OC b AD ==-==OE a b λμ=+((13133λμλμ⎧-+=-⎪⎛∴-=-+∴ ⎝+=56116λλμμ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪=⎪⎩【小问2详解】法一：存在点，使得F DF OE ⊥令因平行四边形为菱形，所以AF t AC = AODC 0,||2,||a b a b ⋅===112()2222t t DF AF AD t AC b t KC KA b t a b b a b -⎛⎫=-=-=--=+-=+ ⎪⎝⎭2251252524120662212121212t t ta t t t DF OE a b a b b ---⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且33||||42AF AC == 法二：存在点，使得F DF OE ⊥令()AF t ACt t ===(3,()(DF DA AF t t ∴=+=-+=-33303t DF OE t -∴⋅=-+-=34t ∴=则为线段靠近的四等分点3,4AF AC F =AC C 且.33||||42AF AC == 21. 今年“五一”假期，“进淄赶烤”成为最火旅游路线，全国各地游客纷纷涌向淄博，感受疫情后第一个最具人间烟火气的假期．某地为了吸引各地游客，也开始动工兴建集就餐娱乐于一体的休闲区如图，在的长均为60米的区域内，拟修建娱乐区、就餐区、儿童乐园区，其中为了2π,,3BAC AB AC ∠=ABC 保证游客能及时就餐，设定就餐区域中．AEF △π3EAF ∠=（1）为了增加区域的美感，将在各区域分隔段与处加装灯带，若，则灯带AE AF π12CAF ∠=总长为多少米？AE AF +（2）就餐区域的面积最小值为多少平方米？ AEF △【答案】（1）（2）平方米【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理即可求解；（2）利用正弦定理和三角形面积公式求出面积的表达式，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】因为为等腰角形，且顶角为，所以， ABC 2π3π6B C ==在中，由，则， AFC △ππ,126CAF C ∠==3π4CFA ∠=由正弦定理， πsin sin6AC AFCFA=∠12AF =中， AF ∴==ABE ππππ,31246BAE B ∠=-==则，由正弦定理可得， 7π12AEB ∠=πsin sin 6AB AEAE AEB=∴==-∠，所以灯带总长为.AE AF ∴+=AE AF +【小问2详解】设，则， CAF θ∠=π3BAE θ∠=-由正弦定理可， 3030,5πcos sin 6AF AE θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭1πsin 23AEF S AE AF ∴=⨯⨯=△=，πππ5π0,2,3666θθ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当即时，，ππ262θ+=π6θ=πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭面积最小为AEF S =△所以就餐区域面积最小值为平方米.22. 如图①，在梯形中，，，，将ABCD ,2,60AB CD AB A =∠=︒∥90ABD Ð=°45CBD ∠=︒沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交ABD △BD A BD ' A C '=B A C '于点．,A D A C '',E F（1）求证：平面； BE ⊥A CD '（2）求点到平面的距离． F A BD '【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后CD A D '⊥CD BE ⊥利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即FG F A BD '可；方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图①，，，，， 2AB = 60A ∠=︒90ABD ∠=︒45CBD ∠=︒，，4AD ∴=BD CD ==如图②，∵，，，4A D '=CD =A C '=，222A D CD A C ∴+=''，CD A D '∴⊥，且，平面，CD BD ⊥ A D BD D '= ,A D BD '⊂A BD '平面，CD \^A BD '又平面，，BE ⊂ A BD 'CD BE ∴⊥平面，且平面，，A C '⊥ BEF BE ⊂BEF BE A C '∴⊥又，且平面，平面．A C CD C '⋂= ,A C CD '⊂A CD 'BE ∴⊥A CD '【小问2详解】方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， F FG A D '⊥G BE ⊥A CD '而平面，FG ⊂A CD '，BE FG ∴⊥且，平面，平面， A D BE E '⋂=,A D BE '⊂A CD 'FG ∴⊥A BD '则垂线段的长度即为点到平面的距离．FG F A BD '在中，，，A BC ' 2AB '=BC =A C '=，222A B CB A C ''∴+=，BC A B '∴⊥由已知得，则 BF A C '⊥A F '=由（1）知，，， CD A D '⊥A F FG A C CD '∴='FG ∴=即点到平面． F A BD '方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， F A BD 'F A BE '由（1）知平面，平面，， BE ⊥A CD 'A D '⊂A CD 'BE AD ∴⊥在直角三角形中，，，，A BD '2AB '=4A D '=BD =由等面积得，， 1122A B BD A D BE ''⨯⨯=⨯⨯即，， A B BD BE A D'⨯=='1A E '∴=平面，且平面，，A C '⊥ BEF EF ⊂BEF EF A C ∴⊥'由（1）知，∽，， CD A D '⊥A FE '∴△A DC ' A F A D A E A C ''∴=''A F '∴=则在直角三角形中， A FE 'EF =设点到平面的距离为， F A BE 'd 在三棱锥中，由等体积得，，F A BE '-F A BE B A EF V V ''--=即 1133A BE A EF d S BE S ''⨯⨯=⨯⨯ △， 11113232d BE A E BE EF A F ''∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， d ∴=即点到平面． F A BD '。
高一数学下学期5月阶段性测试试题含解析 试题
兖州区2021-2021学年高一数学下学期5月阶段性测试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8个小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.复数z =〔其中i 为虚数单位〕在复平面内对应的点位于〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】此题首先可以通过复数的运算法那么对复数z =进展化简，得到12z =-+，即可得出复数z 所对应的点的坐标，问题得解．【详解】221322232231313422131313i i i zi i ii i， 所以复数z 所对应的点为12⎛-⎝⎭，它在第二象限，应选B ． 【点睛】此题主要考察复数的运算法那么以及复数所对应的点的坐标，考察运算才能，考察推理才能，是简单题．2.12,e e 是两个不一共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.假设向量a 与b 一共线，那么实数k 的值是〔 〕 A. 2- B. 1-C.13D.43【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量一共线根本定理,设λab ,即可解方程组求得k 的值.【详解】根据平面向量一共线根本定理,假设向量a 与b 一共线 那么满足λab即()211263k e e e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩应选:A【点睛】此题考察了平面向量一共线根本定理的简单应用,属于根底题. 3.给出以下命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的选项是〔 〕 A. ①② B. ②③C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断.【详解】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的， 故②正确；③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴一共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线互相平行，故④正确； 综上可知②④正确，①③错误. 应选：D.【点睛】此题主要考察了圆柱、圆锥、圆台的几何构造特征，属于根底题.4.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，那么3a b -＝〔 〕C. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进展平方，，可得结果. 【详解】由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴那么343a b -=应选：D.【点睛】此题考察的是向量的数量积的运算和模的计算，属根底题。
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5月31日数学网上作业 班级： 姓名：
解决问题:
（1）两桶同样重的油，吃掉一部分后，第一桶还剩3.6千克，第二桶还剩4.2千克。
哪桶油吃掉得多？多吃了多少千克？
（2）小果从家到学校要走1.5千米，他走了0.4千米后又回家取了一本书。
这样他比平时去学校要多走多少千米？
（3）小明家、小红家和学校同在一条笔直的马路西侧，小明家离学校1.4千米，小红家离学校2.6千米，小明家离小红家多少千米？
（4）某建筑公司现在有50吨沙要一次就运到建筑工地。
现了解到如下信息：
怎样安排车辆最节省运费，一共要付出运费多少元？
（5）小明和小红各有一本纸质相同（纸的厚度）的书
2厘米 4厘米
（6） 一个长方形的长是25米，宽17米，它的长和宽都增加5厘米，它的面积增加了多少？
（7）要做一个长方形枕套，长50厘米，宽比长少20厘米，做这个枕套至少要用多大一块布？还要在四周缝一圈花边，需要多长的花边？
（8）小明把一个长方形的宽延长2分米后，变成了一个正方形，原来长方形的长是8分米，原来长方形的面积是多少？（画图）
（9）长方形的面积是36平方米，正方形的面积是25平方米。
两个图形如下图重叠，未重叠部分的面积是37平方米，那么阴影部分的面积是多少？
（10）2008年2月25日是星期二，请根据这条信息制定2008年3月的月历。
（11）一次数学测试，第一小组10名同学的平均成绩是87分，其中女生4人，平均分是90分，求男生的平均成绩是多少？
（12） 在合唱比赛中，三年级各班得分如下：
① 请你把这张统计表填写完整。
② 根据统计表，请你写出三年级合唱比赛的排名：。