重庆市第八中学2020届高三数学下学期强化训练试题三理

合集下载

重庆市第八中学高2023届高三(下)全真模拟考试数学参考答案

重庆八中高2023届高三（下）全真模拟考试数学试题答案一、选择题：CACDBDBC1.C 【详解】：{}|12(0,2]B x x A B =-≤≤∴= ，故选：C .2.A 【详解】：21(2i)(1i)(2i)3i z z =+=-+=-，所以，2223(1)10z =+-A .3.C 【详解】：根据题意，()285,N ξσ ，且(83870.3P ξ<<=，则()83850.15P ξ<<=，又由()78830.12P ξ<<=，故()780.50.150.120.23P ξ<=--=，故选：C .4．D 【详解】：如图所示，AP 为比萨斜塔的中轴线，44AOD ∠=︒，4BAP ∠=︒，则40PAC ∠=︒，即中轴线与赤道所在平面所成的角为40︒．故选：D．5.B 【详解】：的展开式只有第3项的二项式系数2n C 最大，4n ∴=，的第1r +项为()41412rrr r T Cx x -+⎛=- ⎝，，∴令，解得：1r =，，即：展开式中52x 项的系数为32.-故选：B ．6.D 【详解】：3log 3623236(0)(log 36)2log 232179f f -+=++=++=，故选：D ．7.B 【详解】如图建立平面直角坐标系，则()()33130,0,2,0,,,2222A B C D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴()13132,0,,2222AB AD BC ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭，设(),01BP BC λλ=≤≤ ，1322BP BC λλ=⎛=- ⎝⎭ ，∴13222AP AB BP λ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎝⎭+= ，又()112,0222x AP xAB y x y y y AD ⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭，∴112222x y yλ⎧-+⎪=⎪，解得112,y x λλ=-=，∴22222255211244144555x y λλλλλ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝⎛⎫=- ⎝⎭⎪⎭，即22x y +的最小值为45.故选：B.8.C 【详解】：2y x = ，cos y x =均为偶函数，故函数()f x 为偶函数，()2sin f x x x '=-+，()2cos f x x ''=-+，cos [1x ∈- ，1]，()0f x ∴''<，又(0)0f '= ，∴()0f x '<在(0，)+∞恒成立，故在(0,)+∞函数()f x 递减，函数在(,0)-∞递增.(1)(1(0,2))11f x f x x ->-⇔-<∈⇔，故选：C ．二、多项选择题：ACABDABDBC10.ABD 【详解】因为函数1()sin 2135i f x x i ===++-∑，定义域为R ，对于A ，()()()sin 3π3sin 5π5(π)sin π35x x f x x +++=+++sin 3sin 5sin 35x xx =---()()()()sin 3sin 5sin 35x x x f x --=-++=-，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，故A 正确；对于B ，()()()()sin 3sin 5sin 3sin 5()sin sin 3535x x x xf x x x f x ---=-++=---=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于点()0,0对称，故B 正确；对于C ，由题知()()()πf x f x f x +=-≠，故C 错误；对于D ，由题可知()cos cos3cos53f x x x x '=++≤，故D 正确.故选：ABD .11.ABD 【详解】：对于A ，由4a b e e += ，得2a b e + ，22a b ln ∴+ 当且仅当12a b n ==时等号成立，A 正确；对于B ，由40a b e e =->，得4a b e b b e +=+-且a ，(,ln 4)b ∈-∞，令(ln 4)()4x f x x e x <=+-，则()1x f x e '=-，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln 4)上单调递减，所以()(0)3f x f ≤=，即43a b e b b e +=+-≤，B 正确；对于C ，当0,13a b n ==时，01ab =<，C 错误；对于D ，22222222111()2()(()8222a b a b a b a b e e e e e e e e +=⋅+≥+=+=+，D 正确．故选：ABD ．12.BC 【详解】设(2)n n a =-,则221134n n n a a ---=⋅不为非零常数,所以{}(2)n -不是等方差数列,故A 错误；由题意21(1)n a n p =+-，则42a a ==即1p +=，解得1p =或0p =（舍去），当1p =时，2n a n =,n a =B 正确;设数列{}n a 为等比数列,不妨设n n a cq =,则11n n a cq --=,所以2222122(1)n n n a c qq a ---=-,若2222(1)n c q q --为常数,则1q =±,但此时2222(1)0n c q q --=,不满足题意,故C 正确;若数列{}n a 既是等差数列,又是等方差数列不妨设221n n a a p --=,(*2,,n n p∈N 为非零数),1(0)n n a a d d --=≠,所以1()n n a a d p -+=,即1n n p a a d -+=,所以2n p a d d-=,即22n p d a d =+所以{}n a 为常数列,这与1(0)n n a a d d --=≠,221(0)n n a a p p --=≠矛盾,故D 错误.故选：BC 三、填空题13.【详解】由定义知2p AM AF =-，所以22=p，4=p .14.【详解】设等比数列的公比为q ，0q >，在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，2534a q a ∴==，解得2q =，3322n nn a a -∴=⋅=，12(12)2212n n n S +-∴==--，511n S > ，12513n +∴>，当8n =时，1922512n +==，当9n =时，110221024n +==，∴正整数n 的最小值为9．∴使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为9．故答案为：9．15.【详解】()f x 存在唯一零点，1x ∴=是()y f x =的唯一零点，则x y e kx =-在(0,)+∞上无零点或有唯一零点1x =，即xe k x =在(0,)+∞上无解或有唯一解1x =令()x e g x x =，则2(())1x e x x g x '-=，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞上单调递增，要使xe k x=在(0,)+∞上无解或有唯一解1x =，只需min ()(1)k g x g e ≤==.综上，k e16．【详解】：正四面体的体积为332114323S ABC a V a a a -=-⨯⨯⨯==表面积为24S ==表，设正四面体的内切球半径为1r ，则1243⨯1r =得11r =．显然内切球心为O ，故O 到面ABC 的距离为11r =，球面与面ABC 相交部分为以2r ==的圆，设三角形ABC 的内切圆半径为3r ，圆心为O '，D 为BC 的中点，则30O BD ∠'=︒，BD =，故3r O D ='=，此时恰好23r r =，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当R =时，圆弧总长度为242r π⨯=．四、解答题：17．【详解】（1）因为223coscos 222C A a c b +=，则()()1cos 1cos 322a C c Ab +++=，……2分即cos cos 3ac a C c A b +++=，由正弦定理可得()()3sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin B A C A C A C A C A C =+++=+++()sin sin sin πsin sin sin A C B A C B =++-=++，因此，sin sin 2sin A C B +=.…………5分（2）因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得24a c b +==，由平面向量数量积的定义可得cos 3AB AC cb A ⋅==，…………7分所以，2222242322b c a c a c bc +-+-⋅==，可得222c a -=，即()()()42c a c a c a -+=-=，所以，12c a -=，则94c =，74a =，18.【详解】：（1）n a ，n S ，2n a 为等差数列，22n n n S a a ∴=+，且，0n a >当1n =时，2111122S a a a ==+，可得11a =；当2n 时，221112()2n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，…………2分则221111()()()n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由10nn a a -+>，故11n n a a --=，…………4分所以{}n a 是首项为1，公差均为1的等差数列，故n a n =．…………6分（2）由2n a m >，即2n m >，即21m n =-所以21n b n =-，………9分所以{}n b 的前50项和为()501991359925002+++++== ．………12分19.（1）由题意得：()()()819991,,100101010P A P B P B +====，()()981,100100P AB P AB ==……….2分()()()()181,10100P AB P B A P AB P A ∴===，()()()910P AB P B A P A ==….……4分()()19P B A L P B A∴==….……….…….…….…6分（2）()()1109010P X P X ≤=≥=()14109012105P X <<=-⨯= ，则43,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭………………7分Y ∴可能的取值为0,1,2,3，()()32131114120,1512555125P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1232314484642,3,551255125P Y C P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Y ∴的分布列为：………………11分（错一个扣1分）Y 0123P1125121254812564125∴数学期望()412355E Y =⨯=………………12分20.【详解】：（1）设AC 的中点为O ，连接1OA ，OB ，因为AB BC =,所以AC OB ⊥，又因为1AC A B ⊥，因为1,A B OB ⊂平面1OBA ，且1A B OB B = ，所以AC ⊥平面1OBA …………………（2分）因为1OA ⊂平面1OBA ，所以1AC OA ⊥，又因为O 是AC 中点，所以11AA AC =……………………（4分）（2）112A A AC ==，在△ABC 中，由余弦定理求得AC =12AO BO ==，又因为AC ⊥平面1OBA ，二面角1A AC B --的大小为3π，则13AOB π∠=，.…………………（6分）由（1）知，则以,OB OC所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得坐标如下：111133313(),3,0),(3,),(,23,(1,0,0).222222A CBC B .……………（7分）设平面11ACB 的法向量为(,,)m x y z =，11113(3,(13,0).22AC A B =-= 1330(3,1,3)230x z m x ⎧-=⎪⇒=--⎨⎪=⎩.…………………（9分）设平面11BB C C 的法向量为(,,)n a b c = ，113(3,(13,0).22BB BC ==-1330(3,1,3)2230a b c n a b ⎧+=⎪⇒=-⎨⎪-=⎩.………………………………（11分）记平面11ACB 与平面11BCC B 的夹角为|319|11,cos .131313θθ=.………………（12分）21.【详解】：（1）2()[ln (1)ln 1],f x x a x x =-++⋅22ln 1()[][ln (1)ln 1]x a f x x x a x x x+'∴=-+-++2ln (1)ln x a x a =+--(ln )(ln 1)x a x =-+则两根分别为121,a x e x e==………………………2分1︒当1a =-时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；2︒当1a >-时，则当1x e <或a x e >时()0f x '>，当1a x e e<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1(,)a e e ；3︒当1a <-时，则当a x e <或1x e >时()0f x '>，当1a e x e<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1(,a e e………………………5分（2）由（1）知，若1a =-，则2()[ln 1],f x x x =+⋅2()(ln 1)0f x x '∴=+≥，()f x ∴的在区间(1,)+∞单调递增.又12x x >，所以221212()()()f x f x m x x -<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立221212()()()f x f x m x x ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立221122()()f x mx f x mx ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立………………………………………………7分令2()()h x f x mx =-，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，则()0h x '≤在(1,)+∞上恒成立，……9分又2()(ln 1)2h x x mx '=+-，且1,x >2(ln 1)2x m x +≥在(1,)+∞上恒成立，2max (ln 1)2[]x m x +≥…………………………………………………10分令2(ln 1)()x g x x+=，则2(ln 1)(1ln )()x x g x x +-'=令()0g x '>得(1,)x e ∈，令()0g x '<得(,)x e ∈+∞，()g x ∴在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 42()()m g x g e e≥==2m e∴≥…………………………………………………12分22.【详解】（1）因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2ca=，所以22222,4c b c a ==-=，故C 的方程为22144y x -=；…………………………4分（2）由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=，……………………6分设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，(M M x ，)M y ，由题意可知(0,2)A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l ，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知11(2)2M t x x y +=+，故M 坐标为11(2)(,)2t x t y ++，……………………7分所以11(2)(2)OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OMk k ⋅=，则12(2)21(2)t y y t x x ++⋅=+，整理可得12(2)(2)2y y t t x x +++=，…………………………9分当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线GH :y =kx +t ，代入双曲线方程：22144y x -=中，可得222(1)240k x ktx t -++-=，所以212122224,11kt t x x x x k k --+==--，…………………………10分又1212(2)(2)(2)(2)y y kx t kx t ++=++++222222121222242(2)(2)()(2)(2)(2)111t kt t k x x k t x x t k k t t k k k ---+=+++++=⋅++⋅++=---，所以2221222122(2)(2)(2)2(2)(2)1(20)4421t y y t t t k t t t x x t t k -++++-+-+-====+≠----，故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为(0,1)．…………………………12分。

2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷

2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第1题5分2+i1−2i=（）．A. −iB. iC. 1+iD. −1+i2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第2题5分2020~2021学年10月河南洛阳洛龙区洛阳市第一高级中学高一上学期月考第1题若集合A={x∈N|(x−3)(x−2)<6}，则A中的元素个数为（）．A. 3B. 4C. 5D. 63、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第3题5分函数f(x)=e x−e−xx2−1的图象大致为（）．A.B.C.D.4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第4题5分已知向量a →=(1,2)，|b →|=√2，且a →⊥b →，则|a →+2b →|=（）．A. √13B. √17C. 13D. 175、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第5题5分若直线x −y =0与圆x 2+y 2−4x −6y +9=0相交于A ，B 两点，则|AB|=（）．A. 2B. √7C. 3D. √146、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第6题5分已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos⁡B=3，bcos⁡A=4，则c=（）．A. 4 B. 5 C. 6 D. 77、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第7题5分一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为n=r(modm)，例如7=1(mod3)．执行该程序框图，则输出的n为（）．A. 20B. 38C. 47D. 538、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第8题5分某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（）．A. 712B. 23C. 56D. 11129、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第9题5分直角△ABC 中，AB =AC =√3，D 为BC 边上一点，沿AD 将△ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若AH =1，则二面角C −AD −B 的余弦值是（）．A. 13B. √23C. √33D. √2210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第10题5分若函数f(x)=cos⁡(2x −π6)在(−a,a)上没有最小值，则a 的最大值为（）．A. π12B. π6C. 5π12D. 7π1211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第11题5分已知函数f(x)={1−|2x −3|,x ∈[1,2]−f (12x),x ∈(2,8]，则下列结论正确的是（）． A. f (2)=f (7)B. 函数f (x )有5个零点C. 函数f (x )在[3,6]上单调递增D. 函数f (x )的值域为[−2,4]12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第12题5分已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，过F1的直线l与y轴相交于点M，与C的右支相交于点P，且M为线段PF1的中点，若C的渐近线上存在一点N，使得MN→=2NP→，则C的离心率为（）．A. √2B. 53C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第13题5分函数f(x)=cos⁡x+13f′(π2)x，则f′(π2)=．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第14题5分若x，y满足约束条件{x−2y⩽04x−y−4⩾05x+4y−20⩾0，则z=x+3y的最小值为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第15题5分若α∈(0,π2)，且sin⁡α+2cos⁡α=√102，则tan⁡(α+π4)=．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第16题5分三棱台ABC−A1B1C1中，A1A=B1B=C1C=A1B1=2，AB=4，侧面A1B1BA⊥底面ABC，M为AB的中点，线段MC的长为；该三棱台的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第17题12分已知{a n}是公差不为零的等差数列，S n是其前n项和，若S3=9，且a5是a2与a14的等比中项．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 记b n=a n−log2a n，n∈N+，证明：b n<b n+1．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第18题12分近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据．(1) 求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16∘C ，估计当天的热饮销售量．(2) 根据表格中的数据计算R 2（精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响．参考公式：b ^=Σn i=1(x i −x)(y i −y)Σn i=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ，R 2=1−Σn i=1(y i −y ^i )2Σn i=1(y i −y)2．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第19题12分已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l 经过点P (2p,0)，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1) 判断△AOB 的形状，并说明理由．(2) 若|OA →+OB →|⋅|OP →|=5√13，且△AOB 的面积为5，求l 的方程．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第20题12分如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD =PB =2，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．(1) 若BD//面AMHN ，求证：MN ⊥PC ．(2) 若PA =PC =3，AC =2√6，求AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−2(x−1)+12a(x−1)2，其中a⩾1．(1) 证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2，并求x12+x22的取值范围．(2) 若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a的所有可能值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4k1+k2y=1−k21+k2（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos⁡(θ+π3)=2．(1) 求曲线C和直线l的普通方程．(2) 若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市第八中学高三三模理科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|2x+a|．(1) 若a=2，求f(x)⩽8的解集．(2) 若f(x)⩾3−|x−1|，x∈R，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;;13 、【答案】−3214 、【答案】50;715 、【答案】−2;16 、【答案】2;16π;17 、【答案】 (1) a n=2n−1．;(2) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) y^=−3x+150，102．;(2) 96.7%，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）．;19 、【答案】 (1) 直角三角形，证明见解析．;(2) 2x−3y−4=0或2x+3y−4=0．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √19．19;21 、【答案】 (1) 证明见解析，(1,7]．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) x24+y2=1(y≠−1)，x−√3y−4=0．;(2) [4−√72,4+√72]．;23 、【答案】 (1) 当x⩾1时，1⩽x⩽73；当−1<x<1时，−1<x<1；当x⩽−1时，−3⩽x<−1．;(2) (−∞,−5]∪[1,+∞)．;。

重庆市直属校(重庆市第八中学等)2020届高三下学期3月月考数学(文)试题

三、解答题：（本大题共6小题共70分）
17.已知数列满足，，，数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和 .
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列定义求出，再利用是等差数列求出数列的通项公式；
（2）写出，得，利用分组求和及裂项相消法即可求解.
【详解】（1）即证，令，
当，，单调递增；
当，，单调递减.
而，故
（2）
①当，
，，单调递增. 至多一个零点，故不符合.
②当时，
，，单调递增.
，，单调递减.
令，，
，，单调递减.
，，单调递增.
所以 .
（ⅰ）当时，，，有一个零点，故不符合
（ⅱ）当时，
由，
当时，，
，且，
，
即时，恒成立，
当时，，
，且，
，
故当时，不成立.
综上所述，
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的应用，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量与的夹角为120°，且，则 _____.
【详解】（1）由题意得，是以2为首项，2为公比的等比数列，，
，，是等差数列，
，
（2），
又
【点睛】本题主要考查了等比数列，等差数列的定义、性质，分组求和，裂项相消法求和，属于中档题.
18.如图，四边形为平行四边形，点在上，，且 .以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 .

重庆市第八中学2020届高三第2次月考理科数学试题(附答案解析)

重庆八中高2020级高三（下）第2次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}2|9A x x =<，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =I （） A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}2,1,0--2.设(1)()2i a bi ++=，其中,a b 是实数，i 为虚数单位，则3a bi +=（） A.2C.3.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log a =（） A.15B.16C.17D.184.若实数,x y 满足约束条件20,20,240,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A.8-B.6-C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（） A.35B.710C.45D.9106.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1CGCC =（）A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（）A. B. C. D.8.(()nmx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为（） A.40B.30C.20D.109.设函数()cos()f x x ωϕ=+()(0,0)x R ωπϕ∈>-<<的部分图象如图所示，如果127,,1212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A.2-B.12-C.2D.1210.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O .若三棱锥P ABC -的体积为1PO =（）A. B. C.D.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为(, 0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（）A.2D.312.函数()1ln()(0)(0)x f xe x x x x --<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（） A.4,15⎛⎤⎥⎝⎦B.(,1)[1,)-∞-+∞UC.(,1){1}-∞-UD.(1,0){1}-U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°，且()1,3a =-r，b =r a b ⋅=r r ________.14.已知函数()()3x af x a R -=∈满足()()4f x f x =-，则实数a 的值为________.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =________. 16.设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点,F M 分别作AB 的垂线交l 于点,P Q ，若3AF BF =，则FP MQ ⋅=________.三、解答题：（共70分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足(cos )c b A A =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC，求ABC ∆的周长.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥ .以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角E DF C --的正弦值. 19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ .在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1,2,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点.2ABF ∆后的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y =分别交于点,M N ，当MN 最小时，求直线AB 的方程.21.已知函数()1axe xf x =--，且()0f x ≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由. 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 3sin 12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N 两点. （Ⅰ）若点P 的极坐标为()2,π，求PM PN ⋅的值；（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲.已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（Ⅰ）当()()224f f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，,(,]x y a ∀∈-∞，不等式()|3|||f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.高2020级高三（下）3月月考理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）10.由题意ABC S ∆=，1O A =12OO =，设P 到平面ABC 的高为h ，则由V =4h =，所以点P 在小圆2O （如图所示，圆1O与圆2O 所在平面平行）上运动，22OO =，所以2O P =1PO ==.11.联立12221000()x bx ay y x a y a ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩或32222222a x c a by c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则322222,a a b E cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切于其中点，所以OE OF =，c =，化简即得e =12.当0x ≥时，()()11xf x ex -'=-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()00f =，当x →+∞时，()0f x →.当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实数根；当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有三个实数根；当(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，方程()t f x =有一个实数根.所以关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或者1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U .当10t =，21t =解得1a =；当1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，()()222200110a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<.综上所述，(1,0){1}a ∈-U .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.由题意()()220n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，因为{}n a 各项均为正数，所以0n S >，可得2n S n n =+，所以11124(1)n n n a n a a n n +=⋅=+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以202011111150514223202020212021T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 16.由对称性，不妨设A 在一象限，设直线AB 的倾斜角为θ，由3AF BF =得31cos 1cos ppθθ=-+ 得1cos 2θ=，所以2AF =，23BF =，23MF = .记AB 与l 的交点为S ，x 轴与l 的交点为R ，则2cosRF SF θ==，tan SF FP θ==tan SM MQ θ==，所以169FP MQ ⋅=. 三、解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin (cos )C B A A =又因为ABC ∆中A B C π++=，故sin sin()C A B =+.sin()sin (cos )A B B A A ∴+=sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A ∴+=+sin cos sin A B B A ∴=又因为A 为ABC ∆的内角，故sin 0A ≠cos B B ∴=，(0,)B π∈Q ，6B π∴=（Ⅱ）如图，AD =6B π=，则sin ADc AB B===又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 4b a c ac B =+-⋅=2b ∴=故三角形的周长6a b c =++=+18.解：（Ⅰ）因为DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥，所以DE ⊥平面BEF ，所以DE BF ⊥①因为22AE EB ==，所以2EF =，1EB =，又60FEB ∠=︒，由余弦定理得：BF =所以222EF EB BF =+，所以FB EB ⊥②由①②得BF ⊥平面BCDE ，所以平面BFC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）建系如图，设DE a =，则(1,,0)D a ，(1,0,0)E ，F ，(1,DF a =--因为直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，所以直线DF 与平面BCDE所成角的正弦值为4，又(0,0,1)n =r为平面BCDE 的法向量，所以cos ,4n DF n DF n DF ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r4=，解得2a =. 所以(1,2,0)D ，(2,2,0)C -，则(0,2,0)ED =u u u r，(1,DF =--，设平面EDF 的法向量(,,)m x y z =u r，则200200y ED m x y DF m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u ru u u r ury x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，取1z =得m =u r，同理可取平面DFC的法向量2)p =u r，所以cos ,7m p m p m p ⋅===⋅u r u ru r u r u r u r所以sin ,7m p =u r u r，即得二面角E DF C --的正弦值为7. 19.解：（Ⅰ）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆˆˆ(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，因此需对本次的生产过程进行检查.（Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B .因此11920(1)(0.9974)0.0026P X C ==⨯200.950.00260.0494≈⨯⨯=，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=.20.解：（Ⅰ）由题意可得：4a =，ca a=⇒=11c b =⇒= 22:12x C y ⇒+=（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，则显然直线AB 与x 轴不重合，设:1AB x my =-，则可知1m ≠-由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩得()222210m y my +--=12222m y y m ⇒+=+，12212y y m =-+ 直线()111:10PA y x x y x +--=，令2y =，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+， 12123311x x MN y y =-=++()()()()()()1221121111311my y my y y y -+--+++121212131m y y y y y y +-=+++==，当0m =时，MN =当0m ≠时，MN ==，由于1(,2)[2,)m m +∈-∞-⋃+∞，则11,1(1,)2211m m⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭++，此时MN 的最小值为6<1m =处取得. 综上，当MN 最小时，直线:1AB x y =-，即1y x =+.21.解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x R ∈，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增；且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立，从而()()212110x x e x x ---->，()()121210x x e x x ---->，又1210x e x x >-，2210x e x x >-，所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021ln x x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021ln x x e e x x x -=-. 22.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22312x y +=.因为点P 的直角坐标为(2,0)-，所以点P 在直线l 上.将直线l的参数方程222x y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得22231222⎛⎫⎛⎫''-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭240t ''⇒-=，则12||||4PM PN t t ''⋅=⋅=.（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为2sin )16sin 3πθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，当且仅当6πθ=，其周长有最大值16.23.解：（Ⅰ）22224a a ⇔---->⇔2222(2)(2)2a a a a a ≤-⎧--+>⇒⎨--++>⎩ 或22(2)(2)2a a a -<≤⎧⎨---+>⎩或2(2)(2)2a a a >⎧⎨--+>⎩，解得(,1)a ∈-∞-. （Ⅱ）max min ()(3)f x y y a ⇔≤++-，其中当,(,]x y a ∈-∞时3(3)()y y a y a y ++-≥++-33a a =+=+（当且仅当[3,]y a ∈-取等号），（()()24a x x f x a =--≤当且仅当2a x =取等号）所以234a a ≤+，解得(0,6]a ∈.。

重庆市第八中学2020届高三下学期强化训练理科综合试题三含答案

重庆八中高2020级高三（下）强化训练三理科综合试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Ni-59Ga-70 Ba-137一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于硝化细菌与小球藻的叙述中，错误的是A．都可以将CO2和H2O合成糖类B．均含有光合色素中的叶绿素C．都存在核酸和蛋白质的结合物D．细胞中都含有DNA和RNA2．关于细胞生命历程的叙述中，错误的是A．被病原体感染的细胞的清除可通过细胞凋亡完成B．同种生物不同细胞细胞周期持续时间可能不同C．同一个体不同细胞的功能差异是在细胞分裂过程中形成的D．致癌因子会损伤细胞中的DNA，使原癌基因和抑癌基因突变3．下列有关生物学实验和方法的叙述，错误的是A．观察有丝分裂实验，装片的制作过程中根尖解离后要用清水漂洗B．用高倍镜观察黑藻细胞叶绿体，要向装片滴加生理盐水C．黑光灯诱捕农业害虫属于物理信息在生产中的应用D．生态缸应置于室内通风、光线良好且避免阳光直射的地方4．下列关于人体基因表达的叙述，正确的是A．基因表达可发生在细胞核、线粒体和叶绿体中B．通过碱基互补配对原则，DNA上碱基序列可决定mRNA的序列C．翻译时，一种tRNA可能转运多种氨基酸D．转录和翻译时的碱基互补配对方式完全相同5．下列有关人体免疫调节的相关叙述中，正确的是A．健康人的T细胞直接移植给艾滋病患者可提高患者的免疫力B．当麻风杆菌寄生于宿主细胞内，需要抗体进入细胞内将其消灭C．免疫活性物质是由免疫细胞或其他细胞产生的发挥免疫作用的物质D．自身免疫病具有发作迅速、反应强烈、消退较快等特点6．生长素能促进细胞伸长生长的机理指出：生长素与细胞膜上的受体结合，从而激活了细胞膜上转运氢离子的载体，将氢离子向膜外运输，进而激活细胞壁上酶X，最终导致细胞壁松散，细胞因吸水伸长。

2020届重庆市第八中学高三第四次月考(12月)数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（）A ．{|1}{|3}<-⋃>x x x xB ．{|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC ．{|13}x x -≤≤D ．{|13}x x -<<【答案】C【解析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A . 【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，故选：C. 【点睛】本题考查集合补集的运算，是基础题.2．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（） A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得．【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ．故选：B ．【点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （） A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】利用3=-n n S a n 得出1231n n a a -=+，先求出1a ，再利用递推式求出3a 即可.【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=， 21323112a a ∴=+=+，得254a =， 321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.4．设0a >，0b >，若双曲线22122:1x y C a b -=的离心率为2，则双曲线22222:1-=-x y C a b的离心率为（） A ．2 B 23C 3D 2【答案】B【解析】先通过1C 的离心率求出,a b 的关系，利用,a b 的关系进一步可求出2C 的离心率. 【详解】解：对于1C 有22224a b e a+==，得223b a =，对于2C 有2222224433a b a b e a +===，得233e = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，是关键是找到,a b 的关系，是基础题. 5．已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（）A ．()y f x =的图像关于直线2x =对称B ．()y f x =的图像关于点(2,1)对称C ．()f x 在(0,4)单调递减D ．()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明. 【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-， 222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ；现在证明B 的正确性：2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.6．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-r r r ，若()//a c b -r r r ，则向量a b +r r 与向量c r 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据()0a b c +⋅=v r r得到两个向量垂直.【详解】()3,3a c k -=-r r ，因为()//a c b v r r-，所以()3331k -⨯=⨯，解得2k =，当2k =时，()()()4,4,2,2,0a b c a b c +==-∴+⋅=v v r r r v ，所以向量a b +vr 与向量c r 的夹角为2π．故选D 【点睛】这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.7．过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(1)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ，B ，若||||PA PB =，则22x y +的最小值为（）A ．5 B ．54C ．5 D ．5【答案】B【解析】通过切线长定理得出点P 在线段12C C 的垂直平分线上，求出线段12C C 的垂直平分线方程，代入点P 坐标，进一步代入22x y +，利用二次函数的性质求其最小值即可.【详解】如图：由圆的切线的性质：222212||||1,||1PA PC PB PC =-=-，又||||PA PB =，12||C C P P ∴=，所以点P 在线段12C C 的垂直平分线上，12C C 的垂直平分线为21(1)12y x =--+，即522y x =-+，点(,)P x y 在522y x =-+，所以点P 的坐标满足522y x =-+，2222255525(1)244x x y x x ⎛⎫=+-+=-+≥ ⎪⎭∴⎝+，22x y +的最小值为54，故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线问题，关键是将目标式转化为一个变量的函数，求函数的最值即可，难度不大，考查了学生的计算能力.8．已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将cos y x =图象上所有点（） A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 C ．先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向右平移12π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，22T ππ=⨯=，22πωπ==，∵sin[2]06πϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，∴3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，可得：()2cos 236f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴将cos y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到()y f x =的图象，故选A.9．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有（）种不同情况. A ．720 B ．240C ．180D ．128【答案】C【解析】根据裁判所说，AB 不是第一，B 不是第六，C 比AB 成绩都好，对C 的名次分类讨论求出结果. 【详解】C 比AB 成绩都好且AB 不是第一，所以C 不可能是第六，第五，当C 是第四名时，B 只能第五，A 只能第六，共336A =种；当C 是第三名时，共11322324C C A =种，当C 是第二名时，共11333354C C A =种，当C 是第一名时，共11344396C C A =种，综上：总共6245496180+++=种，故选：C. 【点睛】本题考查分类计数原理，重点要理清裁判的话，进行分类讨论，是中档题. 10．若函数()cos cos 2=++xf x x a b 在区间[0,]π最大值是M ，最小值是m ，则-M m （） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】设cos2xt =，则01t ≤≤，则2()21g t t at b =++-，结合二次函数的图象和性质，设函数2()21g t t at b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，则()()2212122t t M m t t a ∴-=-+-，即可得到答案【详解】解：设cos 2xt =，则01t ≤≤， ∴22()()2cos cos 12122x xf xg t a b t at b ==++-=++-，设函数2()21g t tat b =++-在1t 处取的最大值，在2t 处取的最小值，1201,01t t ≤≤≤≤，且12t t ≠，()()2211122221,21t M g t at b m g t at b t ∴==++-==++-，()()22221122121221212t t M m t at b t at b t t a ∴-=++----+=-+-，∴与a 有关，但与b 无关，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 11．已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（）A ．6B ．2C ．32D ．10 【答案】B【解析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果．【详解】解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯= 90AO B '︒∴∠=，由O 是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ，在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，22422OH a b ∴-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．12．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，4,216=a ，5,424=a ，，若,2020=i j a ，则i j +=（）24612108141618203028262422A ．65B ．70C ．71D ．72【答案】C【解析】由题意正偶数n a 为等差数列，由图摆放找每一行所放的数，及每一行的数字总数与本数列的每一项的关系即可发现规律【详解】解：由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数… 又因为,2020=i j a 指图中摆放的第i 行第j 列，所以先求第m 行的最后一个偶数，该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，(1)2020,442m m m +≤≤２，当44m ≤时，44(144)1980+=，第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故26j =，所以452671i j +=+=．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，任意两项之间及项与项数之间的关系，考查学生的观察与分析能力，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．二、填空题13．设()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，则00=x y ________. 【答案】-1【解析】将P 坐标代入直线和圆的方程，消去2200x y +可得00x y 的值.【详解】解：因为()00,P x y 为直线1x y +=与圆223x y +=的交点，将()00,P x y 坐标代入直线和圆的方程得，001x y +=①， 22003x y +=②将①2-②得()()200020213x y x y ++-=-，得001x y =-，故答案为：1- 【点睛】本题考查直线和圆的的交点问题，是基础题.14．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，3()ln =- f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))-- f 处的切线方程为________. 【答案】210x y -+=【解析】求出0x <时的函数的解析式，计算(1)f -，'(1)f -的值，求出切线方程即可．【详解】解：∵函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x >时，3()ln =- f x x x ，不妨设0x <，则0x ->，故()3()ln () f x xx f x -=---=-，故0x <时，()3()ln f x xx +=-，故'2()31 f x x x=+，故(1)1ln11 f -+=-=-，'(1)312 f -=-=，故切线方程是：2(1)1y x =+-，整理得：210x y -+=，故答案为：210x y -+=．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．15．在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ+的最大值为________. 【答案】3【解析】根据题意，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系，可得A 、B 、C 、D 的坐标以及直线BD 的方程，进而可得圆C 的方程，据此设P 的坐标为221cos ,1sin 22θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；由向量的坐标公式可得,,AB AD AP uuu r uuu r uuu r的坐标，又由向量的坐标计算公式可得221cos ,1sin (1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，进而可得,λμ的表达式，相加后分析可得答案．【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系：则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1)则BD 的方程为x ＋y ＝1，点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===，则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=； P 在圆C 上，设P 的坐标为221cos ,122θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin 22AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则221cos ,1(1,0)(0,1)22θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22sin )2sin 324πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．16．在ABC V 中，D 是BC 边上一点，60︒∠=∠=BAD DAC ，14BC =，且ABD △与ADC V 面积之比为53，则AD =________. 【答案】154【解析】根据题意画出图形，结合图形求得ABAC的值，再利用余弦定理求得AC 、AB 的值，最后利用三角形的面积公式求得AD 的值．【详解】解：ABC V 中，∠BAD ＝∠DAC ＝60°，如图所示；1sin 605213sin 602ABD ACDAB AD S AB S AC AC AD ︒︒⋅⋅∴===⋅⋅V V ；由余弦定理得，2222cos120AB AC A B AC C B ︒=+-⋅⋅，2222551493AC AC AC AC ∴++⋅=，解得AC ＝6， ∴AB ＝10；113sin120106322ABC S AB AC ︒∴=⋅⋅=⨯⨯=V 113sin 601015322261010ABD S AB AD AD ︒∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=⨯+V ，解得154AD =．故答案为：154．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求 ABC V 面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2）34【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A 的值，即可确定出角A 的大小；(2)由,cos a A 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值．【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ，由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ， ∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， ∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号） ∴13sin 24=≤V ABC S bc A ，所以ABC V 3【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，749=S .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-，12n nb -=或11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；（2）12362n n n T -+=-【解析】(1)由已知求得公差和首项即可；(2) 2313572112222n n n T --=++++⋯+，①23111352321222222n n nn n T ---=+++⋯++，②利用错位相减法①−②可得n T ．【详解】解：（1）由()17412177349a d S a a d =⎧⎨==+=⎩，则1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩或112a d =⎧⎨=⎩，当1613a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，11733=+n a n ，1163-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭n n b ；当112a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=；（2）当1d >时，由（1）可得，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n c --=， ∴12135211222n n n T --=+++⋯+ ∴123111352321222222---=++⋯++n n n n n T ， ∴1231122222123132222222n n n nn n T --+=+++⋯+-=-，∴12362n n n T -+=-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，及错位相减法求和，属于基础题． 19．已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ，求证：直线l 过定点.【答案】（1）24x y =（2）证明见解析【解析】（1）设动圆圆心为(,)M x y ，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设:l y kx b =+，将其和轨迹C 联立，得到根与系数的关系，代入12112+=x x ，可得,b k 的关系，代入:l y kx b =+，即可找到定点．【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.从而12121122+=⇒+=x x x x x x，即48=-k b ，则12=-b k 则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线恒过定点问题，考查了学生的运算能力，是中档题． 20．已知函数()ln (1)()=--∈R f x x k x k . （1）若()0f x ≤，求k ；（2）确定k 的所有可能取值，使得存在1t >，对任意的(1,)∈x t ，恒有2(1)()2->x f x . 【答案】（1）1k =；（2）k 的取值范围是(,1)-∞【解析】（1）先验证0k ≤不合题意，当0k >，通过导数确定单调性及最值来求得k 的值；（2）分1k ³，1k <讨论，构造函数2(1)()ln (1)2x G x x k x -=---，利用导数求其单调性及最值，进而可得k 的取值范围. 【详解】解：（1）()ln (1)=--f x x k x ，(0,)x ∈+∞.若0k ≤，由(2)ln 2ln 20=-≥>f k ，得0k ≤不符合题意；若0k >，11()-'=-=kxf x k x x，当10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x k 时，()0f x '<，()f x 单调递减；则max 111()ln 1ln 10ln 10⎛⎫⎛⎫==--=--+≤⇔-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f k k k k k k k k令()ln 1=-+h k k k ，11()1-'=-=kh k k k，()h k 在(0,1)x ∈单调递增；在(1,)x ∈+∞单调递减； max ()(1)0==h k h ，则1k =.（2）由（1）知，当1k ³时，对于1x >，ln 1(1)<-≤-x x k x则2(1)()ln (1)02-=--<<x f x x k x ，从而不存在1t >满足题意；当1k <时，22(1)(1)()()ln (1)22--=-=---x x G x f x x k x ，(0,)x ∈+∞，则有21(1)1()1-+-+'=-+-=x k x G x x k x x. 由()0'=G x 得2()(1)10=-+-+=g x x k x ，(0)10g =>，(1)10=->g k则211(1)40---+=<k k x （舍），221(1)41-+-+=>k k x . 当()21,x x ∈时，()0G x '>，故()G x 在[)21,x 上单调速增.从而当()21,x x ∈时，()(1)0>=G x G ，即()(1)>-f x k x . 综上，k 的取值范围是(,1)-∞. 【点睛】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、化归与转化思想，是一道难度较大的题目．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线2=-x b 有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任一点，1(1,0)-P ，2(1,0)P .若12PP PP ⋅u u u r u u u r 的最小值为2a . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同两点A ，B ，点O 为坐标原点，且()12OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，当AOB V 的面积S 最大时，求22112=-T MP MP 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[32,1)- 【解析】（1）设点(,)P x y ，利用向量的坐标运算研究12PP PP ⋅u u u r u u u r的最小值，建立方程，求出,a b 的值，即可得椭圆C 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，将直线l 与椭圆C 联立，可得12x x +和12x x ，求出点O 到直线l 的距离，即可求出AOB V 的面积S 的表达式，利用基本不等式，求面积S 的最大值，根据最大值的成立条件和前面求出的12x x +和12x x ，可得点M 的轨迹方程，进而可得1=t MP 的范围，将22112=-T MP MP 转化为21242T t t =+-T 的取值范围.【详解】解：（1）设点(,)P x y ，由题意知2a b =，222:2+=C x y a ，则22221211⋅=+-=-+-u u u r u u u r PP PP x y y a ，当y b =±时，12⋅u u u r u u u r PP PP 取得最小值，即2212--=a a b ， 21222⇒-=⇒=a a a ，2b =C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240+++-=k x mkx m ， 122421⇒+=-+mk x x k ，21222421-=+m x x k ，点O 到直线l 的距离21d k =+22222211424||142221211-⎛⎫=⋅⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭+mk m S d AB k k k k ()()22222224242222221m k m m k m k ++-+-=≤=+S 2，当且仅当22242=+-m k m 即2221m k =+，①此时120222221+==-=-+x x mk k x k m ，20021=+=-+=k y kx m m m m，即01=m y ，00022=-=-m x k x y 代入①式整理得，()22000102+=≠y x y ，即点M 的轨迹为椭圆221:1(0)2+=≠x C y y ，且点1P ，2P 为椭圆1C 的左、右焦点，即1222+=MP MP ，记1=t MP ，则(221)∈-t ，从而2222111122(22)242=-=-=+-T MP t t t t MP 322'=-T t ，令0'≥T 可得1t ≥，即在T 在(21,1)单调递减，在21)单调递增，且(1)342=-T (21)1(21)542=>+=-T T 故T 的取值范围为[32,1)-. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查最值问题，难度较大，对计算能力要求较高，考查了学生综合分析问题的能力.22．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点3,0)P .（1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【答案】（1）曲线2C 的普通方程为：2214x y +=，参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）曲线1C 的普通方程为：y x 3=3=-+y x【解析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；（2）曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出α的值，进而可得曲线1C 的普通方程．【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（2）将曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：()223sin123cos 10++-=t t αα12212||||3sin 5⋅===PA PB t t α2sin 24⇒=⇒=παα或34π所以曲线1C 的普通方程为：y x 3=-3=-+y x 【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23．已知1()=+f x x x. （1）求不等式1()3||+<f x x 的解集；（2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252【解析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围；（2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值. 【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ， (||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ，不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（2）111()||2||2||||=+=+≥⋅=f x x x x x x x ，所以，1a b +=，()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b . 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.。

重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测(三)数学试题

重庆八中高2022级高三（下）数学调研检测（三）命题人：龙云飞王虎军一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．已知集合(){}lg 1A x x y ==-，{}1,0,1B =-，则A B ⋂=（） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．(]0,1D ．(),1-∞2．已知复数z 的共轭复数为z ，若4z z +=，()i 2z z -=（i 为虚数单位），则z =（） A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（） A ．209-B ．119-C ．79D ．1694．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()cos15sin15,cos15sin15P ︒-︒︒+︒，则tan α＝（）A ．23-B ．23+C ．62-D ．35．函数ππlncos 22y x x =-<<⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象是（）A ．B ．C ．D ．6．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是（）A ．420B ．－420C ．1680D ．－16807．已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（0ω>，()0,πϕ∈）与x 轴的两个交点，且满足12minπ3x x -=，现将函数()f x 的图像向左平移π6个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π68．已知双曲线()2222: 10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为（），A ．2B ．51-C ．253+ D ．25+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正三角形ABC 的边长为2，设D 为BC 的中点，则下列结论正确的是（） A ．AB 与BC 的夹角为60° B ．()12AB AC AD += C ．1AB CD -=D ．()AB AC BC +⊥10．已知0a b <<，则下列不等式正确的是（） A ．2a ab <B ．()()ln 1ln 1a b ->-C ．21a b ab>-+D ．cos cos a b b a +>+1l ．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，AD 的中点，则下列说法正确的是（） A ．1A H EF ⊥B ．1AB ∥平面DEFC ．GF 与AB 所成的角的余弦值为66D ．点1B 到平面EFG 的距离为312．已知函数()21exx x f x +-=，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()max 25ef x =，则t 的最小值为2 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()e ,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=______．14．已知向量()2,1a =，()1,0b =，()1,2c =，若()c a mb +∥，则m =______．15．将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为______，该组合体的外接球的体积为______．16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数，在某种玩法中，用n a 表示解下n （9n ≤，n *∈N ）个圆环所需的最少移动次数，数列{}n a 满足11a =，且1121,2,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a 是2a 和22S 的等差中项，且3322S a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足221log n n b a -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求使得2022n n S T >-成立的n 的最小值． 18．（本小题12分）如图，在圆锥OO '中，AB 为底面圆的直径，C ，D 为底面圆上两点，且四边形ACO D '为平行四边形，过点O '作EF CD ∥，点P 为线段OB 上一点，且满足2OP PB =．（1）证明：CD ⊥平面AOB ；（2）若圆锥OO '的侧面积为底面积的2倍，求二面角B PF E --的余弦值．19．（本小题12分）5G 的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份） 1 2 3 4 5 6 收入（百万元）6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图，如图．（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dxy c =（a ，b ，c ，d 均为常数）哪个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程，并预测该公司8月份的5G 经济收入；（3）从前6个月收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X ，求X 分布列和数学期望．参考数据：xyu()621ii xx =-∑()()61iti x x yy =--∑()()61ii i xx u u =--∑3.5021.152.8517.50 125.356.73其中设ln u y =，ln i i u y =（1i =，2，3，4，5，6）参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据(),i i x v （1i =，2，3，…，n ），其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()121ˆn i i i n i i x x v v x x β==∑--=∑-，ˆˆav x β=-， 4.56e 95.58≈， 4.58e 97.51≈． 20．（本小题12分）如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知8cos 9A =，2a =，△ABC 的面积为172．（1）求b ，c ．（2）O 为边AC 上一点，过点A 作AD BC ∥交BO 延长线于点D ，若△AOD 的面积为2173，求cos D ．21．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)3,0，点()2,1P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记△P AT 、△PBT 的面积分别为1S 、2S ，求12S S +的取值范围．22．（本小题12分）已知函数()π2πsin e12x f x a x -⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-+，()f x '是()f x 的导数，且π02f ⎛⎫'⎪⎭=⎝．（1）求a 的值，并判断()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性；（2）判断()f x 在区间()π2π,2ππ2k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦N 内的零点个数，并加以证明．重庆八中高2022级高三（下）数学调研检测（三）参考答案详细解答：1．因为集合(){}{}lg 11A x y x x x ==-=<，{}1,0,1B =-，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．设i z a b =+，i z a b =-，a ，b ∈R ，由4z z +=，有24a =，得2a =，由()i 2z z -=，有22b -=，得1b =-，故2i z =-．故选B ．3．∴()()41239f x f x x ''=-+，∴()()()413233133f f f '''=-+⇒=， ∴()222ln 9f x x x x =-+，∴()2161299f =-=，故选D ．4．()cos15sin1545152︒-︒=︒+︒=，()cos15sin154515︒+︒=︒-︒=，即P ⎝⎭，则tan α=D ． 5．由偶函数排除B 、D ，∵0cos 1x <≤，∴0y ≤，∴排除C ．故选A ．6．8122y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则有2个因式取2x ，有两个因式取2y -，其余4个因式取1，所以展开式中22x y 项系数是22224864124202C C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．选A ．7．令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-，因为12min π3x x -=，故令21x x >，并取17π6x ωϕ+=，211π6x ωϕ+=，则()212π3x x ω-=，即可求得2ω=．此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移π6个单位得到π2sin 213y x ϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若其为偶函数，则ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π6k ϕ=+．当0k =时，π6ϕ=．故选A ．8．由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=，所以l x ⊥轴，即:l x a =，不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b ．设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，∴()()00,2,c x y a c b --=-，∴00322x c ay b =-⎧⎨=-⎩，即()32,2B c a b --，∵点()00,B x y 在双曲线上，∴()()22223221c a b ab---=，整理得229120c ac a --=，∴291210e e --=，解得e =e =．故选C ． 9．因为AB 与BC 的夹角为120°，故A 错误；因为D 为BC 的中点，所以()12212AB AC AD AD +=⨯=，故B 正确；因为2AB CD AB BD AD -=+===C 不正确；因为2AB AC AD +=，在等边三角形中，AD BC ⊥，所以()AB AC BC +⊥，故D 正确．故选：BD ．10．对于A 项，因为a ＜b ＜0，所以2a ab >，故A 项错误；对于B 项，因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，即1－a ＞1－b ＞1，又函数ln y x =在()0,+∞上单调递增，所以()()ln 1ln 1a b ->-，故B 项正确；对于C 项，因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，则()()()()22a b a b ab -+->-⨯-=，所以2a b ab +<-，可得02a bab +<-<，所以2a b ab>-+1，故C 项正确；对于D 项，令函数()cos f x x x =-，得()1sin 0f x x '=+≥，所以函数()f x 在R 上单增，又a ＜b ＜0，所以cos cos a a b b -<-，即cos cos a b b a +<+，故D 错误．故选BC ．11．A 选项：取BC 中点为M ，则易得1BF B M ⊥，故1BF A H ⊥与1AB A H ⊥，BF AB B ⋂=，可得1A H ⊥平面ABF ，又EF ⊂平面ABF ，故1A H EF ⊥，A 正确；B 选项：若1AB ∥平面DEF ，则1DC ∥平面DEF 或1DC 在平面DEF 内，显然不成立，B 错误； C 选项：取1DD 中点为Q ，则FQ AB ∥，∠GFQ 为所求角，如2tan 2GFQ ∠=，故6cos 3GFQ ∠=，C 错误；D 选项：三棱锥1B EFG -中，6EF FG GE ===，1115B E BF BG ===，等边三角形EFG 的外接圆半径为162232R =⨯=，所以1B 到平面EFG 的距离为()()22523-=，D 正确．故选AD ．12．对于A ：()2010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确；对于B ：()()()2122e ex xx x x x f x +---'==，当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(),1-∞-，()2,+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ：当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是()1e f -=-，再根据单调性可知，当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选ABC ．三、填空题13．()()()()()()()5523321121e f f f f f f f -=-+=-=-+=-=-+==；故答案为e ． 14．由题意可得()2,1a mb m +=+，由()c mb a +∥，可得()11220m ⨯-+⨯=，解得32m =-，故答案为32-． 15．如图，连接P A 交底面BCD 于点O ，则点O 就是该组合体的外接球的球心．设三棱锥的底面边长为a ，则33CO PO R a ===，得3223a ⨯=，所以6a =，2R =，所以()3482π2π33V =⋅=．故答案6；82π3．16．当n 为奇数时，n －1为偶数，n －2为奇数，则()1222222124n n n n a a a a ---=+=-+=，故数列{}n a 的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列， ∴1112142n n n a +--=⨯=（19n ≤≤，n 为奇数），故解下n （n 为奇数）个环所需的最少移动次数为12n -（19n ≤≤，n 为奇数）．四、解答题17．（1）22322S a a +=，3322S a =-，∵0n a >，∴2322q q +=，()21112a q a q +=-，∴2q =，12a =．∴2n n a =，n +∈N ．（2）221log 21n n b a n -==-，()21212n n n T n +-==，()12122212n n n S +⨯-==--．20220n n S T +->，12220240n n ++->，数列{}122n n ++为单调递增，当9n =时，12211052024n n ++=<；当10n =时，12221482024n n ++=>．∴min 10n =．18．（1）在圆锥OO '中，OO '⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴CD OO '⊥，四边形ACO D '为平行四边形，又在圆锥OO '中，O C O D ''=， ∴四边形ACO D '为菱形，∴CD AB ⊥．又OO '，AB ⊂平面AOB ，OO AB O ''⋂=，∴CD ⊥平面AOB ．（2）在圆锥OO '中，OO '⊥平面ABC ，又AB ，EF ⊂平面ABC ，∴OO AB '⊥，OO EF '⊥，由（1）知CD AB ⊥，又EF CD ∥，∴AB EF ⊥，以点O '为坐标原点，向量O F '的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．设圆锥OO '的底面半径为r ，母线长为R ．则2πS r =底，12ππ2S r R Rr =⋅⋅=侧．由题意知2S S =侧底，即2π2πRr r =，∴2R r =．不妨令3r =，则6R =，∴()0,3,0B ，()3,0,0E -，()3,0,0F ，(3P ， ∴(0,3BP =-，(3,2,3PF =--，()6,0,0EF =，设平面BPF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111303230BP m y z PF m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令13x =，则13y =11z =，∴()3,m =是平面EPF 的一个法向量．设平面EPF 的法向量为()222,,n x y z=，则222260320EF n x PF n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令2y =，则20x =，22z =-，∴()0,3,2n =-是平面BPF 的一个法向量．设二面角B PF E --的大小为θ，则031cos cos ,77m n m n m nθ⋅+====⨯， ∴二面角B PF E --的余弦值为17． 19．（1）e dxy c =，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y 轴上差距是增大的趋势，故用e dxy c =表示更合适．（2）由e dxy c =得ln ln e ln dxy c c dx ==+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =，()62117.50ii x x =-=∑，()()616.73i i i x x u u =--=∑， 2.85u =，所以()()()1216.73ˆ0.3817.50niii nii x x v v dx x ==--==≈-∑∑，ˆ 2.850.38 3.50 1.52av x β=-=-⨯=， ln 0.38 2.580.38 3.50 1.52c u x =-=-⨯=，所以ln 1.520.38y x =+，即 1.520.38exy +=，则回归方程为 1.520.38ˆe xy+=，预测该公司8月份的5G 经济收入 1.520.3884.56eee 95.58y ⨯==≈百万元．（3）月收入超过16百万的个数为X 的可能取值为1，2，3，则()212436411205C C P X C ====，()1224361232205C C P X C ====，()032436413205C C P X C ====，则X 的分布列为所以()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． 20．（1）∵()0,πA ∈，sin 0A >，∴sin A ==1sin 2ABC S bc A ===△9bc =，在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22216b c =+-，∴2218b c +=，∴()222218290b c b c bc -=+-=-⨯=，∴b c =， ∴29bc b ==，解得：3b =，∴3b c ==．（2）设OC OA λ=，0λ>，则1OBC ABC S OC OC S AC OA OC λλ===++△△，∴1OBC S λλ=+△，AD BC ∥，则OBC ODA ∽△△． ∴22OBC ODA S OC S OA λ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴2OBC S λ=△∴21λλλ=+，解得：12λ=或32-（舍）或0（舍），∴113OC AC ==，在△ABC中，由余弦定理得222cos 26a b c C ab +-==．在△OBC 中，由余弦定理得222272cos 333OB OC BC OC BC C =+-⋅=-=，则3OB =，222cos 242BC OB OC CBO BC OB +-∠==⋅，又AD BC ∥，则D CBO ∠=∠，∴cos cos 42D CBO =∠=． 21．（1）由题意知：223b a +=．将点P 代入得：22411a b +=，∴22223411b a a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得∴2263a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y ．直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=，0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，∴1t >，12262t y y t -+=+，12232y y t =+．直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-．直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-． 112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-， ()1212121122122211x x S S TA TB y y ⎛⎫--+=⨯⨯+=++ ⎪--⎝⎭，现求12122211x x y y --+--的取值范围：()()()()()()12211212122121221111x y x y x x y y y y --+----+=----，将x 用y 表示代入，原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++．由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++，原式()()224124441655t t t t t +=-=->+++，所以()1212315S S t t +=->+，函数为关于t 递增函数，故()121,3S S +∈． 22．（1）()π2cos e 1x f x a x -=-+，()π2sin ex f x a x -'=-+．由π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，得1a =，()π2sin e x f x x -'=-+，令()π2sin e x g x x -=-+，()π2cos ex g x x -'=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()π02f x f ⎛⎫' ⎝'>=⎪⎭，故()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）由（1）知：()π2cos e 1x f x x -=-+，令()0f x =得π2cos 1e x x -+=，显然当()2ππx k k =+∈N 时等式不成立，当π2π,2ππ2x k k ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭时，π2cos 1e 0x x -+=>，则()πln cos 12x x +=-，令()()πln cos 12h x x x =++-，()sin 1cos 1x h x x '=-+，因为()sin sin 0cos 1cos 1x x x x -=+--表示单位圆上的点()cos ,sin P x x 与定点()1,0Q -连线斜率，则当π2π,2ππ2k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭时，()sin 1,cos 1x x ∈+∞+，()sin 10cos 1x h x x '=-<+，所以()h x 在π2π,2ππ2k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭上单调递减，π2π2π02h k k ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭，当2ππx k →+，()h x →-∞，由零点存在性定理可知，存在唯一的一个零点0π2π,2ππ2x k k ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭使得()00h x =．故()f x 在区间()π2π,2ππ2k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦N 内只有一个零点．。

重庆市直属校(重庆市第八中学)2020届高三下学期3月月考数学(理)试题含解析

重庆市直属校（重庆市第八中学）2020届高三下学期3月月考理科数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A. {0，1，2}B. {﹣1，0，1，2}C. {﹣2，﹣1，0，1，2}D. {﹣2，﹣1，0}【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，由此求得两个集合的交集.【详解】∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}.故选：C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A. 2 7 C. 2210【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简已知条件，根据复数相等的知识求得,a b，由此求得3a bi+，进而求得3a bi+.【详解】由题意可知：211a bi ii+==-+，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|10=，故选：D.【点睛】本小题主要考查复数除法、复数相等、复数模的求法等知识，属于基础题.3.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C 【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得9a 以及29log a 的值. 【详解】∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2+16， ∴2q 2＝2×2q +16，且q ＞0，解得q ＝4，∴log 2a 98224log =⨯=17.故选：C .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x +y 的最小值为（）A. ﹣8B. ﹣6C. 1D. 3【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，结合图像判断出z x y =+经过()4,2A --时取得最小值. 【详解】由题意作平面区域如下，由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，A （﹣4，﹣2），z ＝x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值.故z ＝x +y 的最小值是﹣6，故选：B .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数最值，属于基础题.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（） A.35B.710C.45D.910【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法，结合组合数的计算，计算出所求概率.【详解】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n 25C ==10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m 211223C C C =+=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p 710m n ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题.6.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==，G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，则1CGCC =（）A.12B.13C.23D.14【答案】B 【解析】【分析】根据对应边成比例，两直线平行，证得1//EF BD ，根据面面平行的性质得到//AF BG ，由此求得1CGCC 的比值. 【详解】∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，DD 1上，且112DE DF EB FD ==， ∴EF ∥BD 1，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵G 在CC 1上且平面AEF ∥平面BD 1G ，∴AF ∥BG ，∴1113CG DE CC DD ==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查线线平行、面面平行有关概念的理解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的⊙C 在t ＝0时圆心C 与原点O 重合，⊙C 沿x 轴以1m /s 的速度匀速向右移动，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令y ＝cosx ，则y 关于时间t （0≤t ≤l ，单位：s ）的函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此确定正确选项. 【详解】根据题意，⊙C 的半径为1，则其周长l ＝2π，当t ＝0时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝π，此时y ＝cosπ＝﹣1；当t 12=时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x 43π=，此时y ＝cos4132π=-＜0；当t ＝1时，⊙C 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ＝2π，此时y ＝cos 2π＝1；据此排除BCD ；故选：A .【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8.()()nmx x n N +∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x 3的系数为（）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】D 【解析】【分析】根据二项式系数和求得n ，令1x =，以各项系数和列方程，解方程求得m 的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得3x 的系数.【详解】∵()nmx x+的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n ＝5.再令x ＝1，可得各项系数和为（m +1）5＝243＝35，∴m ＝2，则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m5﹣r•52rx -，令52r-=3，可得r ＝4，故展开式中x 3的系数为45C •2＝10，故选：D .【点睛】本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和，考查二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.9.设函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（）A. 3B. 12-3 D.12【答案】B 【解析】【分析】根据周期求得ω，根据012f π⎛⎫=⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 解析式.根据()()12f x f x =求得12x x +，由此求得()12f x x +的值.【详解】根据函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（x ∈R ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得12721212πππω⋅=-，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2•122ππϕ+=-，∴φ23π=-，∴f （x ）＝cos （2x 23π-）. 如果1271212x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，x 1≠x 2，则2x 123π-∈（2π-，2π），2x 223π-∈（2π-，2π），∵f （x 1）＝f （x 2），∴2x 123π-+（2x 223π-）＝0，∴x 1+x 223π=，则f （x 1+x 2）＝cos （4233ππ-）＝cos 23π=-cos 132π=-，故选：B .【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数值的计算，属于中档题.10.已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为123则PO 1＝（） A. 23 B. 25C. 26D. 27【答案】D 【解析】【分析】取得等边三角形ABC 的面积，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆的半径，根据三棱锥P ABC -的体积求得三棱锥的高，利用勾股定理求得1PO .【详解】由题意可得：S △ABC 236=⨯=93，O 1A ＝162sin 3π⨯=23，O 1O ＝2. 设点P 到平面BAC 的高为h ，由11233=⨯h ×93，解得h ＝4.∴点P 所在小圆⊙O 2（⊙O 1与⊙O 2所在平面平行）上运动，OO 2＝2. ∴O 2P ＝23.∴PO 122122O O O P =+=27.故选：D .【点睛】本小题主要考查球的内接三棱锥的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.11.设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左顶点为A ，右焦点为F （c ，0），若圆A ：（x +a ）2+y 2＝a 2与直线bx ﹣ay ＝0交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（） A.62B. 2C. 3D. 3【答案】B 【解析】【分析】联立直线的方程和圆A 的方程，求得E 点的坐标，根据以O 为圆心的圆与线段EF 相切，且切点为EF 的中点，得到OE OF =，由此利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】联立2220()bx ay x a y a -=⎧⎨++=⎩.⇒E （322a c-，222a b c -），∵依题意可知OE ＝OF ，∴32222222()()a a b c c c-+-=， ∴4a 4＝c 4. ∴2ce a==. 故选：B .【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.函数f（x）()()()1xln x xxe x-⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A.415⎛⎤⎥⎝⎦， B. （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪{1}D. （﹣1，0）∪{1}【答案】D【解析】【分析】利用()f x的导函数()'f x判断出()f x的单调区间，由此画出()f x的大致图像，令()t f x=，对t的取值进行分类讨论，结合()f x的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】当x≥0时，()()'11xf x e x-=-，所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t 1＝0，t 2＝1时，a ＝1，当t 1∈（0，1），t 2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a ×0+a ﹣a 2）（12﹣a ×1+a ﹣a 2）＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a ∈（﹣1，0）∪{1}. 故选：D .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，则a b ⋅=_____. 【答案】﹣5 【解析】【分析】利用向量模的坐标运算、向量数量积的运算公式，计算出a b ⋅.【详解】因为向量a 与b 的夹角为120°，且()1310a b =-=，，，所以：|a |==则10a b ⋅=⨯cos 120°＝10×（12-）＝5-；故答案为：5-.【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量数量积的计算，属于基础题. 14.已知函数f （x ）＝3|x ﹣a |（a ∈R ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则实数a 的值为_____. 【答案】2 【解析】【分析】根据()()4f x f x =-判断出()f x 的对称轴，由此求得a 的值. 【详解】∵f （x ）＝f （4﹣x ）， ∴函数关于x ＝2对称，即f （a ）＝f （4﹣a ），即3|a ﹣a |＝3|4﹣a ﹣a |，即30＝3|4﹣2a |即|4﹣2a |＝0，得2a ﹣4＝0，得a ＝2，故答案为：2【点睛】本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n ∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =__________.【答案】5052021【解析】【分析】因为()()222220n n S n n S n n -+--+=，当1n =时，可得12a =.由()()222220n n S n n S n n -+--+=,可得()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，求得2n S n n =+，即可求得2n a n =，结合已知，即可求得答案. 【详解】()()222220n n S n n S n n -+--+=当1n =时，2140a -=解得：12a =或12a =- 数列{}n a 为正数，∴12a =由()()222220n n S n n S n n -+--+=即()()220n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，20n S +≠ ∴2n S n n =+当2n ≥时，21(1)(1)n S n n -=-+-两式相减得：2n a n =当1n =，满足2n a n =∴2n a n =()()141111114n n n n a a n n +=++= 11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11111111111231423411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦可得：11141n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+ 当2020n =，2020150542021120211T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 故答案为：5052021. 【点睛】本题主要考查了求数列前n 和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点F ，M 分别作AB 的垂线交l 于点P ，Q ，若|AF |＝3|BF |，则|FP |•|MQ |＝_____. 【答案】169【解析】【分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识，求得FP 和MQ 的长，由此求得FP MQ ⋅.【详解】如图，作BF ⊥l 于F ，作AE ⊥l 于E ，令准线与x 轴交点为S ，AB 交准线于K . 设BH ＝m ，则AF ＝3m ，∵13HB KB AE AK ==，∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==，∴∠HKB ＝30°.∵23HB m SF m =，∴213m =，∴23m =， ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为：169.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：（共70分）17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos 3)c b A A =．（1）求角B 的大小；（2）若4a =，且BC 3ABC 的周长．【答案】（1）6B π=；（2）623+．【解析】【分析】（1）因为(cos 3)c b A A =+，由正弦定理可得：sin sin (cos 3)C B A A =结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6AD B π==，则23sin ADc AB B===，结合余弦定理，即可求得答案. 【详解】（1）(cos 3sin )c b A A =+∴由正弦定理可得：sin sin (cos 3sin )C B A A =+sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+(0,),sin 0A A π∈>cos 3sin B B ∴= ∴3tan B =，又(0,)B π∈故6B π=．（2）画出图象，如图：3,6AD B π==则23sin ADc AB B===又4a =在ABC 中，由余弦定理2222cos 4b a c ac B =+-= 可得2b =可得ABC 的周长为623a b c ++=+【点睛】本题主要考查了由正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，AE ＝2EB ＝2，且DE ⊥AB.以DE 为折痕把△ADE 折起，使点A 到达点F 的位置，且∠FEB ＝60°.（1）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（2）若直线DF 与平面BCDE 15E ﹣DF ﹣C 的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）首先通过证明DE ⊥平面BEF 证得DE BF ⊥.结合余弦定理和勾股定理证得FB EB ⊥，由此证得BF ⊥平面BCDE ，进而证得平面BFC ⊥平面BCDE .（2）建立空间直角坐标系，由直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值求得正弦值，结合直线DF 的方向向量和平面BCDE 的法向量列方程，解方程求得DE 的长.由此通过平面EDF 和平面DFC 的法向量，计算出二面角E DF C --的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB ，∴DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥BF ， ∵AE ＝2EB ＝2，∴EF ＝2，EB ＝1， ∵∠FEB ＝60°，∴由余弦定理得BF 2223EF EB EF EB cos FEB ∠+-⨯⨯=∴EF 2＝EB 2+BF 2，∴FB ⊥EB ，由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴平面BFC ⊥平面BCDE.（2）解：以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，设DE ＝a ，则D （1，a ，0），F （0，03，DF =（﹣1，﹣a 3）， ∵直线DF 与平面BCDE 15，∴直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为6，平面BCDE 的法向量n =（0，0，1）， ∴|cos n DF ＜，＞|2364n DF n DFa ⋅===⋅+，解得a ＝2， ∴D （1，2，0），C （﹣2，2，0），∴ED =（0，2，0），DF =（﹣1，﹣2，3），设平面EDF 的法向量m =（x ，y ，z ），则20230ED m y DF m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取z ＝1，得m =（301，，），同理得平面DFC 的一个法向量p =（0，3，2）， ∴cos 727m p m p m p ⋅===⋅＜，＞，∴二面角E ﹣DF ﹣C 的正弦值为sin 14217m p =-=＜，＞.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查根据线面角求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N （μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查. （1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.2210.13 9.91 9.9510.09 9.96 9.8810.01 9.98 9.9510.05 10.05 9.96 10.12经计算得201120i x ==∑x i ＝9.96，s ==≈0.19；其中x i为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，i ＝1，2，…，20.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P （X ＝1）及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P （X ＝1）≈0.0494；E （X ）≈0.052 【解析】【分析】（1）根据题目所给数据得到,μσ，由此求得()3,3μσμσ-+，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出()1P X =，以及求得X 的数学期望. 【详解】（1）由x =9.96，s ＝0.19. 可得：μ=9.96，σ=0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在()3,3μσμσ-+＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X ～B （20，0.0026），∴P （X ＝1）120=0.997419×0.0026≈0.0494.X 的数学期望E （X ）＝20×0.0026≈0.052.【点睛】本小题主要考查3σ原理的运用，考查二项分布及其期望的计算，属于基础题.20.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点.△ABF 2的周长为（1）求椭圆C 的标准方程：（2）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线PA ，PB 与y ＝2分别交于点M ，N ，当|MN |最小时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）x ﹣y +1＝0【解析】【分析】（1）根据三角形2ABF 的周长求得a ，结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ，通过直线PB 的方程求得N x ，由此求得MN 的表达式并进行化简，对m 进行分类讨论，由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【详解】（1）由题意可得：4a＝2c a =， ∴a =c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）点P （0，﹣1），F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），显然直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为：x ＝my ﹣1，则可知m ≠﹣1，联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， ∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+，直线PA 的方程为：（y 1+1）x ﹣x 1y ﹣x 1＝0，可得1131M x x y =+，同理2231N x x y =+，|MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++，当m ＝0时，|MN |＝，当m ≠0时，|MN |＝= 由于m 1m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则()11112211m m∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，，此时|MN |的最小值为6＜m ＝1处取得，综上所述，当|MN |最小时，直线AB 的方程为：x ＝y ﹣1，即x ﹣y +1＝0.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中线段长度的最值的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21.已知函数f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1，且f （x ）≥0. （1）求a ；（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立？若存在，求出x 0的值（用x 1，x 2表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）a ＝1（2）存在；21021x x e e x ln x x -=-【解析】【分析】（1）当0a ≤时，判断出()0f x ≥不恒成立.当0a >时，利用导数求得()f x 的最小值，根据这个最小值为非负数，构造函数并结合导数，求得a 的值. （2）首先求得k 的表达式，构造函数()()'t x fx k =-，由()()120,0t x t x <>，结合零点存在性定理，判断出0x 存在，并求得0x 的值.【详解】（1）若a ≤0，则对一切x ＞0，f （x ）＝e ax ﹣x ﹣1＜0，不符合题意，若a ＞0，f ′（x ）＝ae ax﹣1，令f ′（x ）＝ae ax﹣1＝0可得x lnaa-=，当x lna a -＜时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x lna a-＞时，f ′（x ）＞0，函数f（x ）单调递增，故当x lna a =-时，函数取得最小值f （lna a -）11lnaa a=+-，由题意可得，有11lnaa a+-≥0①，令g （t ）＝t ﹣tlnt ﹣1，则g ′（t ）＝﹣lnt ，当0＜t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增，当t ＞1时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减，故当t ＝1时，g （t ）取得最大值g （1）＝0，当且仅当1a=1即a ＝1时①成立，综上a ＝1；（2）由题意可知，k ()()21212121x x f x f x e e x x x x --==---1，令t （x ）＝f ′（x ）﹣k ＝e x2121x x e e x x ---，则可知y ＝t （x ）在[x 1，x 2]上单调递增，且t （x 1）121x e x x =--[21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1]，t （x 2）221x e x x =-[e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1]，由（1）可知f （x ）＝e x ﹣x ﹣1≥0，x ＝0时取等号， ∴21x x e --（x 2﹣x 1）﹣1≥0，e 12x x --（x 1﹣x 2）﹣1≥0， ∴t （x 1）＜0，t （x 2）＞0，由零点判定定理可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使得t （x 0）＝0且由21210x x xe e e x x -=--解得21021x x e e x ln x x -=-，综上可得，存在x 0∈（x 1，x 2），使f '（x 0）＝k 成立【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查零点存在性定理的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，直线l 的参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4（2）16【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为直角坐标的公式，求得曲线C 的直角坐标方程.求得P 的直角坐标，由此判断P 在直线l 上，求得直线l 的标准参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，结合直线参数的几何意义，求得PM PN ⋅的值.（2）求得椭圆C 内接矩形周长的表达式，结合三角函数最值的求法，求得周长的最大值.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2（cos 2θ+3sin 2θ）＝12，转换为直角坐标方程为221124x y +=. 点P 的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P （﹣2，0）在直线l 上，所以直线l 参数方程为2x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以代入曲线的方程为22(2)()1222t t -++=，整理得240t --=，所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4.（2）不妨设Q（2sin θθ，），（02πθ≤≤），所以该矩形的周长为4（2sin θθ+）＝16sin （3πθ+）. 当6πθ=时，矩形的周长的最大值为16.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的几何意义，考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23.已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |，a ∈R .（1）当f （2）+f （﹣2）＞4时，求a 的取值范围；（2）若a ＞0，∀x ，y ∈（﹣∞，a ]，不等式f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）（﹣∞，﹣1）（2）0＜a ≤6【解析】【分析】（1）化简不等式()()224f f +->得到222a a --+>，利用零点分段法求得不等式的解集，也即求得a 的取值范围.（2）将不等式()3f x y y a ≤++-恒成立，转化为()()max min 3f x y y a ≤++-.求得()f x 的最大值以及3y y a ++-的最小值，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）f （2）+f （﹣2）＞4，可得2|2﹣a |﹣2|2+a |＞4，即|a ﹣2|﹣|a +2|＞2，则2222a a a ≤-⎧⎨-++⎩＞或22222a a a -⎧⎨---⎩＜＜＞或2222a a a ≥⎧⎨---⎩＞，解得a ≤﹣2或﹣2＜a ＜﹣1或a ∈∅，则a 范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f （x ）≤|y +3|+|y ﹣a |恒成立，等价为f （x ）max ≤（|y +3|+|y ﹣a |）min ，其中当x ，y ∈（﹣∞，a ]，|y +3|+|y ﹣a |≥|y +3+a ﹣y |＝|a +3|＝a +3，当且仅当﹣3≤y ≤a 取得等号，而f （x ）＝﹣x （x ﹣a ）＝﹣（x 2a -）22244a a +≤，当且仅当x 12=a 时取得等号. 所以24a ≤a +3，解得0＜a ≤6. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

重庆市第八中学2020-2021学年高三下学期第3次月考数学(理)试题

附：；
；
.
21．已知函数 .
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若（为给定的常数，且），记在区间上的最小值为，求证： .
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设曲线与曲线的公共弦所在直线为l.
（1）在直角坐标系下，求曲线与曲线的普通方程；
（2）若以坐标原点为中心，直线l顺时针方向旋转后与曲线、曲线分别在第一象限交于A、B两点，求 .
23．已知函数，且对任意的， .
（1）求的取值范围；
（2）若，证明： .
参考答案
1．B
【分析】
先求得集合中函数的值域，然后求两个集合的交集.A．57B．64C．12 NhomakorabeaD．120
9．抛物线C：的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，且，若线段的中点E在抛物线C上，则的面积为（）
A． B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为，若，，则用“三斜求积公式”求得的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，，且，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
4．若，且，则（）
A． B． C． D．
5．2021年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )

2020届重庆市八中2017级高三下学期强化模拟考试理科数学试卷(三)及答案

2020届重庆市八中2017级高三下学期强化模拟考试理科数学试卷（三）★祝考试顺利★考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟．1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚．3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{})2lg(|-==x y x A ,{}045|2<+-=x x x B ,则=B A C R I )(A ．{}21|<<x xB ．{}21|≤<x xC ．{}41|<<x xD ．{}41|≤<x x2．若复数z 满足(2)z i i -=,其中i 是虚数单位,则=||zA ．13B ．15D 3．已知直线01:1=-+y mx l ,2:(23)10l m x my ++-=,R m ∈,则“2-=m ”是“21l l ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若c b a ,,为实数,且b a >,则下列结论正确的是A ．ba 11< B ．22b a > C ．b b a a > D ．22bc ac > 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,201231062=-=+S a a ，,则n S 取最小值时,n 的值为A ．2B ．3C ．4D ．56．函数],[,sin ln 2ln 222e e x x x x y -∈+-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()()()21f a f a f -+≤,则a 的取值范围是 A ．[)1,0- B ．[]0,1 C ．[]1,1- D ．[]2,2-8．已知直线:1(0)l y kx k =->与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点,且满足2AF BF =,则k 的值为A 22B ．2232 D 39．2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国,作为主要战场的武汉,仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院,再次体现了中国速度．随着疫情发展,某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m 的等腰三角形组成的图形（如图所示）,为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π 10．给出下列命题,其中正确命题的个数为 ①若样本数据1021,,,x x x Λ的方差为2,则数据121031,31,,31x x x ---L 的方差为6；②回归方程为x y45.06.0ˆ-=时,变量x 与y 具有负的线性相关关系； ③随机变量X 服从正态分布2(3,)(4)0.64N P X σ≤=，,则(23)0.07P X ≤≤=；④甲同学所在的某校高三共有5003人,先剔除3人,再按系统抽样的方法抽取容量为200的一个样本,则甲被抽到的概率为251．。

重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期高考考前强化训练(三)(三模)理综化学试题(解析版)

绝密★启用前重庆市第八中学2020届高三毕业班下学期高考考前强化训练(三)(三模)理综-化学试题(解析版)可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 S32 Cl35.5 Fe56 Ni59 Ga70 Ba137第I 卷1.化学与人类生产、生活、社会可持续发展密切相关。

下列说法正确的是A. 蛋白质在人体内水解为氨基酸和甘油等小分子物质后才能被吸收B. 丝绸的主要成分是天然纤维素，属于高分子化合物C. 高铁车用大部分材料是铝合金，铝合金材料具有质量轻、抗腐蚀能力强等优点D. 中秋节吃月饼，为防止月饼富脂易变质，常在包装袋中加入生石灰【答案】C【解析】【详解】A ．蛋白质在人体内水解为氨基酸,不能水解为甘油,A 错误；B ．丝绸的主要成分是蛋白质,属于高分子化合物,B 错误；C ．高铁车用大部分材料是铝合金,铝合金材料具有质量轻、抗腐蚀能力强等优点,C 正确；D ．中秋节吃月饼,为防止月饼富脂易变质,常在包装袋中加入还原铁粉,D 错误；答案选C 。

2.桥环化合物是指化合物中的任意两个环共用两个不直接相连的碳原子的环烃,二环[1,1,0]丁烷()是最简单的一种桥环有机物。

下列关于该化合物的说法正确的是A. 其同分异构体中呈环状的只有环丁烯()B. 构成该化合物的所有原子处于同一个平面C. 二环[1,1,0]丁烷和甲烷互为同系物D. 二环[1,1,0]丁烷的二溴代物为4种【答案】D【解析】【详解】A．二环[1,1,0]丁烷( ) 与环丁烯()和甲基环丙烯()等互为同分异构体,A错误；B．二环[1,1,0]丁烷分子中含有饱和碳原子,所有原子不可能在同一平面上,B错误；C．二环[1,1,0]丁烷与甲烷的结构不相似,分子通式不同,故二环[1,1,0]丁烷和甲烷不互为同系物,C错误；D．二环[1,1,0]丁烷的一溴代物有两种,形成的二溴代物有三种(),形成的二溴代物有一种(),共四种,D正确；答案选D。

2024届重庆市八中科学城中学校高三下学期3月月考数学试卷

2024届重庆市八中科学城中学校高三下学期3月月考数学试卷一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 已知，则（）A．B．2C．1D．3. 已知，则（）A．B．C．D．4. 已知为奇函数，则（）A．B．C．2D．-25. 抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（）A．B．C．或D．或6. 过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（）A．B．C．4D．7. 记数列的前项和为，则“为等差数列”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8. 若，且，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题9. 某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（）A．平均数>中位数B．中位数>平均数C．中位数>众数D．众数>平均数10. 吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：0.6设材料1 ､材料2 ､材料3的吸光度分别为，则（）A．B．C．D．11. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线（部分）.已知以为顶点的圆锥，底面半径为1，高为，点为底面圆周上一定点，圆锥侧面上有一动点满足，则下列结论正确的是（）A．点的轨迹为椭圆B．点可能在以为球心，1为半径的球外部C．可能与垂直D．三棱锥的体积最大值为三、填空题12. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为 __________ .13. 已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，则圆台的侧面积为 __________ .14. 如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为 __________ .四、解答题15. 锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若边上的中线长为，求的面积.16. 如图甲，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图乙所示的三棱锥.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.17. 已知函数.(1)求曲线点处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围.18. 某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销路差.历史数据表明：如果本月销路好，那么下个月继续保持这种状态的概率为；如果本月销路差，那么下个月变好的概率为.用分别表示第个月销路好和销路差的概率.(1)若，求，，并证明是等比数列；(2)证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.19. 从圆上任取一点向轴作垂线段为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）.(1)求的方程，并说明曲线的类型；(2)若与轴和轴的交点分别为（在左侧；在下侧），点在线段上，过点且平行于的直线交于点（异于），交轴于点，直线交于点（异于点，直线交轴于点.从下列两个问题中选择一个进行作答：①证明：；②与的面积是否相等？请说明理由.。