精品课件-模式识别导论-第3章
模式识别(3-1)
§3.2 最大似然估计
最大似然估计量： －使似然函数达到最大值的参数向量。 －最符合已有的观测样本集的那一个参数向量。 ∵学习样本从总体样本集中独立抽取的
N ) p( X | ) p( X k | i ) k 1 N个学习样本出现概率的乘积
i
i
∴
p( X | i . i
i
§3.2 Bayes学习
假定： ①待估参数θ是随机的未知量 ②按类别把样本分成M类X1，X2，X3，… XM 其中第i类的样本共N个 Xi = {X1,X2,… XN} 并且是从总体中独立抽取的 ③ 类条件概率密度具有某种确定的函数形式，但其 参数向量未知。 ④ Xi 中的样本不包含待估计参数θj(i≠j)的信息，不 同类别的参数在函数上是独立的，所以可以对每一 类样本独立进行处理。
有时上式是多解的, 上图有5个解,只有一个解最大即 （对所有的可能解进行检查或计算二阶导数）
§3.2 最大似然估计
例：假设随机变量x服从均匀分布，但参数1， 2未知， 1 1 x 2 p ( x | ) 2 1 ， 0 其他 求1， 2的最大似然估计量。 解：设从总体中独立抽取N个样本x1 , x2 , , xN , 则其似然函数为： 1 p ( x1 , x2 , , xN | 1， 2 ) ( 2 1 ) N l ( ) p ( X | ) 0
§3.2 Bayes学习
p ~ N 0 , 0
2
其中 0和 0 是已知的
2
已知的信息还包括一组抽取出来的样本X i x1 , x2 ,, xN ，从而 可以得到关于 的后验概率密度：
模式识别(国家级精品课程讲义).ppt
为若干子集， m类就有m个子集，然后根据择近原 则分类。
29
1.1 概述－模式识别的基本方法
理论基础：模糊数学 主要方法：模糊统计法、二元对比排序法、推理法、
模糊集运算规则、模糊矩阵 主要优点：
由于隶属度函数作为样本与模板间相似程度的度量， 故往往能反映整体的与主体的特征，从而允许样本有 相当程度的干扰与畸变。 主要缺点： 准确合理的隶属度函数往往难以建立，故限制了它的 应用。
式中，p(xi )是 X 的第 i 个分量的 边缘
密度。随机矢量 X 的均值矢量 的各
分量是相应的各随机分量的均值。
47
1.3 随机矢量的描述
(二)随机矢量的数字特征：
⑵ 条件期望
在模式识别中，经常 以类别 i 作为条件，在这
种情况下随机矢量 X 的条件期望矢量定义为
i E[ X | i ] X n xp(x | i )dx
34
1.1 概述－模式识别的发展简史
1929年 G. Tauschek发明阅读机 ，能够阅 读0-9的数字。
30年代 Fisher提出统计分类理论，奠定了 统计模式识别的基础。
50年代 Noam Chemsky 提出形式语言理论— —傅京荪提出句法/结构模式识别。
60年代 L.A.Zadeh提出了模糊集理论，模糊 模式识别方法得以发展和应用。
模式(Pattern)：对客体（研究对象）特征的描 述（定量的或结构的描述），是取自客观世界 的某一样本的测量值的集合（或综合）。
概念
特征(Features)：能描述模式特性的量（测
量值）。在统计模式识别方法中，通常用一
个矢量
x
《模式识别课件》课件
医学诊断
要点一
总结词
医学诊断是利用医学知识和技术对疾病进行诊断的过程， 模式识别技术在医学诊断中发挥着重要作用。
要点二
详细描述
模式识别技术可以辅助医生进行影像学分析、病理学分析 等，提高诊断准确性和效率，为患者提供更好的医疗服务 和治疗效果。
05
模式识别的挑战与未来发 展
数据不平衡问题
《模式识别课件》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 模式识别概述 • 模式识别的基本原理 • 常见模式识别方法 • 模式识别的应用实例 • 模式识别的挑战与未来发展
目录
01
模式识别概述
定义与分类
定义
模式识别是对各种信息进行分类和辨 识的科学，通过模式识别技术，计算 机可以识别、分类和解释图像、声音 、文本等数据。
深度学习在模式识别中的应用
总结词
深度学习在模式识别中具有广泛的应用，能够自动提取特征并实现高效分类。
详细描述
深度学习通过构建多层神经网络来学习数据的内在特征。在模式识别中，卷积神经网络和循环神经网络等方法已 被广泛应用于图像识别、语音识别和自然语言处理等领域。
THANKS
感谢观看
人脸识别
总结词
人脸识别是一种基于人脸特征的生物识 别技术，通过采集和比对人脸图像信息 进行身份验证和识别。
VS
详细描述
人脸识别技术广泛应用于安全、门禁、考 勤、移动支付等领域，通过摄像头捕捉人 脸图像，并与数据库中存储的图像信息进 行比对，实现快速的身份验证和识别。
手写数字识别
总结词
手写数字识别是一种利用计算机技术自动识 别手写数字的技术，通过对手写数字图像进 行预处理、特征提取和分类实现识别。
模式识别讲义_(80pp)
第一章 绪论1．1模式和模式识别模式识别是一门很受人们重视的学科。
早在30年代就有人试图以当时的技术解决一些识别问题，在近代，随着计算机科学技术的发展和应用，模式识别才真正发展起来。
从60年代至今，在模式识别领域中已取得了不少成果。
它的迅速发展和广泛应用前景引起各方面的关注。
模式识别属于人工智能范畴，人工智能就是用机器去完成过去只有人类才能做的智能活动。
在这里，“智能”指的是人类在认识和改造自然的过程中表现出来的智力活动的能力。
例如：通过视觉、听觉、触觉等感官接受图象、文字、声音等各种自然信息去认识外界环境的能力；将感性知识加工成理性知识的能力，即经过分析、推理、判断等思维过程而形成概念、建立方法和作出决策的能力；经过教育、训练、学习不断提高认识与改造客观环境的能力‘对外界环境的变化和干扰作出适应性反应的能力等。
模式识别就是要用机器去完成人类智能中通过视觉、听觉、触觉等感官去识别外界环境的自然信息的那些工作。
虽然模式识别与人工智能关系很密切，但是发展到现在，它已经形成了独立的学科，有其自身的理论和方法。
在许多领域中，模式识别已有不少比较成功的实际应用。
模式的概念：模式这个概念的内涵是很丰富的。
“我们把凡是人类能用其感官直接或间接接受的外界信息都称为模式”。
比如：文字、图片、景物；声音、语言；心电图、脑电图、地震波等；社会经济现象、某个系统的状态等，都是模式。
模式识别：模式识别是一门研究对象描述和分类方法的科学。
如，我们要听某一门课，必须做以下识别：1)看课表—文字识别；2)找教室和座位—景物识别；3)听课—声音识别。
再比如，医生给病人看病：1)首先要了解病情；问2)再做一些必要的检验；查3)根据找到的能够诊断病情的主要特征，如体温、血压、血相等，做出分类决策，即诊断。
对于比较简单的问题，可以认为识别就是分类。
如，对于识别从“0”到“9”这十个阿拉伯数字的问题。
对于比较复杂的识别问题，就往往不能用简单的分类来解决，还需要对待识别模式的描述。
模式识别Chapter 3归纳.ppt
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11
Discriminant functions
yk (x)
1 2
(x
k
)
t
k
1
(
x
k )
d 2
ln
2
1 2
ln
| k
| ln
p(ck )
Case 1 k 2I
yk
(x)
1
2
k t
x
kt k
ln
p(ck
)
yk (x) wkt x wk0
wk
1
2
k , wk 0
ktk
最新.课件
21
Introduction
we could design an optional classifier if we knew the priori probabilities and the class-conditional densities
Unfortunately, we rarely, if ever, have this kind of completely knowledge about the probabilistic structure
Feature space, feature point in space
Classification
-- Bayesian decision theory
-- Discriminant function
-- Decision region, Decision boundary
最新.课件
15
Example
Drawbacks -- the number of parameters grows with the size of the data -- slow
模式识别课件prch3part2_ding
11
Bayse incremental learning
D = {x ,...x }
n 1 n
p( D | θ ) = p( x | θ ) p( D | θ )
n n 1 n
p( D | θ ) p(θ ) p( x | θ ) p( D | θ ) p(θ ) = p(θ | D ) = ∫ p( D || θ ) p (θ )dθ ∫ p( x | θ ) p( D | θ ) p(θ )dθ
P(D | ).P( ) P( | D ) = ∫ P(D | ).P( )d = α ∏ P(x k | ).P( )
k =1 k =n
(1)
Reproducing density
2 P( | D ) ~ N( n , σ n ) Identifying (1) and (2) yields:
(Desired class-conditional density P(x | Dj, ωj)) classTherefore: P(x | Dj, ωj) together with P(ωj) P(ω And using Bayes formula, we obtain the Bayesian classification rule:
If there is known or assumed invariance, there will be constraints on the form of the prior. If we can find a prior that satisfies such constraints, the resulting prior is noninformative with respect to that invariance
《模式识别导论》课件
结构模式识别
01
结构模式识别是通过分析模式的结构特性来进行识别
的方法，主要应用于具有明显结构特征的模式。
02
结构模式识别方法主要包括基于规则和基于图的方法
，如决策树、有限状态机等。
03
结构模式识别方法在语法分析、文本分类、化学分子
结构解析等领域有广泛应用。
模糊模式识别
模糊模式识别是利用模糊逻辑 和模糊集合理论进行模式识别 的方法，能够处理不确定性和
详细描述
人脸识别技术广泛应用于安全、门禁 、考勤、移动支付等领域，通过与数 据库中存储的人脸图像进行比对，实 现快速、准确的身份验证。
手写数字识别
总结词
手写数字识别是指利用计算机技术自动识别手写数字的能力，是模式识别领域的 一个重要分支。
详细描述
手写数字识别技术广泛应用于邮政编码、支票、银行票据等领域的自动化处理， 提高数据录入效率和准确性。
03
大数据与模式识别的结合有助于推动各行业的智能化进程，如智能交通、智能 安防、智能医疗等领域。未来，随着大数据技术的不断发展，模式识别的应用 场景将更加广泛。
隐私与安全问题
随着模式识别技术的广泛应用，隐私和安全问题逐渐凸显出来。在人脸 识别、生物特征识别等领域，个人隐私容易被泄露和滥用。因此，需要 加强隐私保护和安全管理，确保个人信息安全。
大数据与模式识别
01
大数据为模式识别提供了丰富的数据资源，有助于提高识别的准确率和可靠性 。通过对大数据的分析和处理，可以挖掘出更多有价值的信息，推动模式识别 技术的发展。
02
大数据时代对模式识别提出了更高的要求，需要处理海量数据、提高计算效率 、降低存储成本等。因此，需要不断优化算法和计算架构，以满足大数据时代 的需求。
模式识别理论 ppt课件
• K均值聚类法—K-means Clustering Method
• 模糊聚类法—Fuzzy clustering method • PCA投影分类法等等
60
主成分分析的数学 与几何意义示意图
61
16个脑组织试样进行分析，在色谱图中
uxy yt x 12
判别阈值可取两个类心在u方向上轴的投影连线的
中点作为阈值，即:
yt
m~1 m~2 2
49
50
（7） 计算m~ i。
m ~iN 1i j y(ji)N 1i j u x(ji)u m i
（8）
计算yt 。 yt
m~1 m~2 2
（9） 对未知模式x判定模式类。
uxy yt x 12
11
模式识别常用术语
• 特征抽提（Feature Extraction） • 训练集（Training Set） • 识别率（Recognition Rate） • 预测能力（Predictive Ability）
12
注意事项
训练集的数据一定要可靠。 训练集的样本数目要足够多，样本数m与模
式空间维数n 的比值至少应满足m/n≥3，最好 m/n≥10。 模式空间特征的选择是成败的关键，要选取与 样本分类有关的特征，如果不能包括与分类有 关的主要特征，模式识别就不会有好的效果。
4
什么是模式识别
• 模式识别包括两个阶段，即学习阶段和实现阶段， 前者是对样本进行特征选择，寻找分类的规律， 后者是根据分类规律对未知样本集进行分类和识 别。
• 广义的模式识别属计算机科学中智能模拟的研究 范畴，内容非常广泛，包括声音和语言识别、文 字识别、指纹识别、声纳信号和地震信号分析、 照片图片分析、化学模式识别等等。计算机模式 识别实现了部分脑力劳动自动化。
模式识别 第3章
其中每一个判决函数都具有如下功能
0 d i (x) 0 x i x i i 1, 2, , c
• 存在的问题： 特征空间会出现同属于两个以上的类型区域 和不属于任何类型的区域，对这些区域的类别属 性不能作出最后的判断，我们称这样的区域为不 确定区，用IR标记，如图3-2所示。类型越多，IR 区也就越多。
x 1
•
如果 d ( x ) 0，则
x 2
（3-2）
函数 d ( x ) 称为判决函数，式（3-2）描述判决规则， 式（3-1）给出了区分界面。
3.2 线性判决函数的一般形式 当判决函数 d ( x ) 只是模式向量x的一次函数时，则称
为线性判决函数。
x 在d维特征空间中， ( x1 , x 2 , , x d ) T
这类判决函数的判决规则为：
若满足 则
di ( x) 0 d j ( x) 0 j 1, 2 , , c , ji
(3-10)
x i
例3-1 设有一个三类问题，分别建立了三个判决 函数，适合于（3-10）式的判决规则，它们分别 是 d 1 ( x) 10 x1 19 x 2 19
现讨论最简单的两类问题，c=2。 假设特征维数d=2，二维模式表示为
x ( x 1 , x 2 )T
并且已经得到样本在 特征空间的分布， 如图3-1所示。
图中的直线是采用统计方法确定的，它的一般表达式 为
d ( x) 0
（3-1）
该直线把特征空间划分成两个类型区域，并且有 • 如果 d ( x ) 0，则
d 2 ( x ) x1 x 2 5
d 3 (x) 2 x 2 1
第3章 概率密度函数的参数估计
E步： 步
Q ( θ θ i 1 ) = E Y l ( θ X, Y ) X , θ i 1
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
训练样本： 训练样本： 来自子类： 来自子类：
x y
1 1
x y
2 2
x y
n n
已知y的条件下，参数的估计： 已知 的条件下，参数的估计： 的条件下
1 n ai = ∑ I ( yt = i ) n t =1 i = ∑ I ( yt = i ) xt
t =1 n n
非参数估计方法。 非参数估计方法。
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
3.1 最大似然估计
独立同分布假设：样本集D中包含 个样本：x1， 独立同分布假设：样本集 中包含 个样本： 中包含n个样本 x2， …, xn，样本都是独立同分布的随机变量 (i.i.d，independent identically distributed)。 ， 。
模式识别 – 概率密度函数的参数估计
3.2 期望最大化算法 期望最大化算法(EM算法 算法) 算法
EM算法的应用可以分为两个方面： 算法的应用可以分为两个方面： 算法的应用可以分为两个方面
1. 训练样本中某些特征丢失情况下，分布参数 训练样本中某些特征丢失情况下， 特征丢失情况下 的最大似然估计； 的最大似然估计； 2. 对某些复杂分布模型假设，最大似然估计很 对某些复杂分布模型假设， 复杂分布模型假设 难得到解析解时的迭代算法。 难得到解析解时的迭代算法。
第三节 模式识别3-3
第三节模式识别在理解题意的过程中，我们获得了大量的信息，它们在我们的头脑里，一开始是孤立的、零散的、混乱的，经过初步的辨认筛选，可确定哪些是有用的，哪些是无用的．有用的要继续接收并进行短期的储存，至于与解本题无关的信息，则予以淘汰．与此同时，我们要努力追忆过去在什么地方、什么情况下曾经出现过类似的题目，从记忆储存中提取出与本问题有关的定义、定理、公式、法则与类题，索取有关的知识，调动潜在的技能，进行信息的对比、借鉴与再生．这里有一个解题的基本策略叫做模式识别．3-3-1模式识别的认识1．基本含义．在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型．当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是数学解题中的基本思考（也是解高考题的重要策略），我们叫做模式识别．2．怎样积累模式．使用模式识别首先要有模式，积累模式有两个基本的途径：（1）总结课本内容，归纳基本模式．学完一章节（或跨章节）后，总结一共有几个题目类型，每个题型各有哪些解决方法？（2）分析解题过程，提炼深层结构．就是做题的时候，不满足于例行差事式的获得答案，而是通过分析解题过程，去提炼问题的深层结构，揭示“形异而质同”的深层结构（参阅例0-13）．题目很多，可以重点分析课本综合题和最近三五年的高考题3．模式识别的层次．解题的模式识别通常有三个层次．（1）直接用．拿到一道题目，经过辨认，它已属于某个基本模式，于是提取该模式的相应方法来解决．（2）转化用．遇到稍新、稍难一点的题目，可能不直接属于某个基本模式，但将条件或结论作变形后就属于基本模式．（3）综合用．遇到更新、更难的题目，变形也不属于某个基本模式，那么，一方面可以将题目加以分解，使每一个子问题成为基本模式；另方面可以将基本模式加以深化或重组，用整合过的模式来解决新问题．4．模式识别解高考题的有效性．模式识别在求解高考题时可具体化为：●化归为课本已解决过的问题．●化归为往届高考题．为什么高考解题可以化归为课本已解决过的问题呢？（1）因为课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课本”这个根本．（2）课本是高考命题的基本依据．有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题．有的试题是课本概念、例题、习题的改编．有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓．少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的．可以说，抓住了“模式识别”就抓住了多数考题． （3）这是一种行之有效解题策略．这种做法体现了化归思想，是一种重要的解题策略，对50%～80%的高考题都是有效的．所以，拿到一道高考题，在理解题意后，应立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了．就是说，运用模式识别可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？就从辨认题型模式入手，就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进． 3-3-2 真分数不等式的案例真分数不等式有生动的现实情景，有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造法等10多种证明方法，可以作为一个不等式证明的基本模型．1．引例——从现实情景中提炼真分数不等式例3-16 请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明． （1）糖水加糖变甜了．（糖水未饱和）（2）某中学计划招收高一新生a 人，使学生总数达到b 人，这样高一新生所占比例为a b ，现准备高一扩招m 人，则高一新生所占的比例变大了．（3）盒中有白球和黑球共b 个，其中白球a 个，从中任取一个，取得白球的概率为a b，若再加入白球m 个，从中任取一个，取得白球的概率增大了．（４）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和地板面积之比应不小于10%，且这个比值越大，采光越好．现将窗户面积和地板面积等积增加，则采光条件变好．（５）某城市有一矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为5：12)，现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道．能否设计恰当的步行道的宽度，使矩形草坪仍为黄金矩形？讲解 （以“糖水加糖变甜了”为例）这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸所表达的是大小关系，记为21p p <．这里用到了字母表示数的知识．其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设b 克糖水里有a 克糖（0>>a b ），则,1bap =而2p ？ 这还没有把加糖反映出来，2p 有待表示．再设加入m 克糖（0>m ），得,2mb ma p ++=最后，“糖水加糖变甜了”就是a a mb b m+<+．于是得到一个真分数不等式：若0>>a b ，0>m ，则mb ma b a ++<． “糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间．比如（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理：321321332211b b b a a a b a b a b a ++++===． （2）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式，对011>>a b ，022>>a b ，有222121112211b a b b a a b a b a b a <++<⇒<． （3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221121b a b a 与2121b b a a ++ 的大小．2．证明——形成优化的认知结构．可以有分析法、综合法、反证法、放缩法构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系．证明1 （分析法）a mb m ++ab> ()()b a m a b m ⇔+>+ab bm ab am ⇔+>+bm am ⇔> b a ⇔>，（恒成立）得a m ab m b+>+． 证明2 （综合法）由0>>a b ，0>m ，有bm am >，两边加上ab ，有ab bm ab am +>+， 整理 ()()b a m a b m +>+， 得 a m a b m b+>+．证明3 （作差比较法）由已知有()()0b a ma m ab m b b b m -+-=>++， 得mb m a b a ++<． 证明4 （反证法）假设存在0>>a b ，0>m ，使a m ab m b+≤+， 则由0,0b b m >+>，有()()b a m a b m +≤+， 两边减去ab ，有bm am >，两边除以0>m ，有b a ≤，与已知b a >矛盾，故得a m ab m b+>+． 证明5 （作商法）由已知有1a mab bm b m a ab am b+++=>+， 得 mb ma b a ++<．证明6 （放缩法，用了差异分析的策略）()()a ab m b b b m +=+ （乘以b m +消除两边有m 无m 的差异）a a mb b m+=+ （除以b ，消除分母上的差异） a mb m+<+ （用a b <，消除分子上的差异） 同理，还可以有更多的写法()()a a a m a m a mb b b a m b mb m a +++==<+++． ()()a m a a m a a m aa b m a b m b ba m b+++==⋅>+++． ()()b b ma mb a m a a a b m b b m b b m b+++==>+++． 证明7 （增量法）设,0b a t t =+>，有11a m a m t t ab m a t m a t m a t b++==->-=++++++．说明 增量就是t b a =-，是可以代替的，改写为()11b m b a a m b a b a ab m b m b m b b+--+--==->-=+++． 证明8 （构造函数）视m 为变量，作函数(),(0)x af x b a x b+=>>+ 有 ()1x a x b a b b af x x b x b x b+++--===-+++， 其在[0,)+∞上为增函数，有()(0)f m f >，即00a m a a b m b b++>=++．说明 这是用函数单调性代替证明7的放缩． 证明9 （定比分点）变形11a m a m b b m b m b+⋅+=++， 这表明a mb m ++分a b 与1为定比0m b λ=>，故a m b m ++在ab与1之间，得1a a mb b m+<<+． 证明10 （斜率）在直角坐标系中，)()(m b m a m b m a ----=++表示经过),(a b A 和),(m m B --两点所在直线的斜率，设其倾斜角为α，而--=b a b a 表示点),(a b A 与原点所在直线的斜率，设其倾斜角为β，如图3-9所示． 图3-9 由b a <知，,,A B O 三点不共线，且A 点在直线OB 的下方，故有 <0βα<<4π⇒OA AB k k <⇒m b ma b a ++<． 证明11 （斜率）在直角坐标系中，设),(a b A ，),(m m B ，则AB 中点为C )2,2(ma mb ++，如图3-10所示，有 O B O C oA k k k <<得1a a m b b m+<<+． 图3-10 证明12 （复数）设12,z m mi z b ai =+=+，有()()12z z z b m a m i =+=+++，由 OA OC OB k k k <<， 得1a a m b b m+<<+． 证明13 （平面几何） 如图3-11所示，在Rt ABC 中，090B ∠=，BC a =，AB b =，延长BC 和BA ，使CD =AE =m ，设DE CA ,交于F ，则有a tan CABb ∠=，a m tan DEB b m+∠=+， 而由 090CAB EAF DEB ∠=∠<∠<， 有 tan CAB tan DEB ∠<∠， 得a a mb b m+<+． 图3-11 还可以构造很多图形来求解，不赘述． 3．应用——历年高考题为例很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课本已解决过的问题，或化归为往届高考题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．例3-17 如果0,m b a <<<那么（ ）．()coscos cos b m b b mA a m a a m +-<<+- ()cos cos cos b b m b mB a a m a m -+<<-+()cos cos cos b m b b mC a m a a m -+<<-+()cos cos cos b m b m bD a m a m a +-<<+-[1989年高考数学广东题]例3-18 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和．（1）证明212n n n lgS lgS lgS +++<；（解法见例3-41）（2）是否存在常数0c >，使得21()()()2n n n lg S c lg S c lg S c ++-+-=-． （1995年数学高考理科第（25）题）例3-19 已知数列{}n a 为等比数列，256162a a ==，， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S ++≤． （2004年数学高考文科第（18）题）例3-20 对一切大于1的自然数，求证：11121(1)(1)(1)3521n n ++++>-．（1985年数学高考上海题）例3-21 已知数列{}n b 是等差数列，112101,145b b b b =+++=，（1）求数列{}n b 的通项n b ； （2）设数列{}n a 的通项11n a n a log b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，（其中0,a >且1a ≠），记{}n n S a 是数列前n 项和．试比较n S 与113a n logb +的大小，并证明你的结论． （1998年数学高考题理科第（25）题）例3-22 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <≤<，（1）证明i i i im nn A m A <； （2）证明(1＋m ) n ＞(1＋n ) m ．（2001年数学高考全国卷理科第（20）题）这几道题目课本都没有出现过，但例3-17可以认为是真分数不等式的直接用（加上余弦函数的单调性）；例3-18与例3-19可以认为是真分数不等式的变形用，如果我们没有“化归为课本已经解决的问题”的思想准备，可能就想不到用真分数不等式，或在变形式221n n n S S S ++<与112n n n n S SS S +++< ① 之间犹豫，而一旦想到用真分数不等式，则①已接近完成，因为{}n a 为递增的正项数列，有1121111n n n n n n n n S a qS qS SS a qS qS S ++++++=>=+． （数形结合的解法见例3-41）对例3-20，例3-21，例3-22可以认为是真分数不等式的整合用（多次连续或多个组合）．比如例3-20，由真分数不等式，有3456212, , ,,4567221n nn n -<<<+ 得 23572321468222n n n n --⎛⎫⎪-⎝⎭34562124567221n nn n -<+342121n n =<++,得46822221,35723212n n n n n -+>--即 11121(1)(1)(1)3521n n ++++>-． 至于例3-22，请参见例3-10．3-3-3 “化归为课本已经解决的问题”的案例2006年全国高考数学陕西省理科第21题（12分），是一道以平面向量为载体的解析几何综合题，我们对这道题目的分析，重在揭示其深刻的数学背景、直接的现实背景和明显的教材背景，并希望由此获得两点启示：（1）不管问题的原始来源如何，对教学来说，选择课本背景引导高考解题是明智和可行的．（2）在解题实践中学会积累解题模式．比如，在本例中既积累定比分点公式的等式应用模式、又积累定比分点公式的不等式应用模式．例3-23 如图3-12，三定点()()()2,1,0,1,2,1A B C --；三动点,,D E M 满足,,,AD t AB BE tBC DM tDE ===]1,0[∈t ．（1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程．本题设计了3个定点、3个动点的3个比例关系：AD BE DMt AB BC DE===， 其中，3个动点带动3个比值的、一层又一层的关系，体现 图3-12 了解析几何中的运动变化、数形结合等学科思想，而求轨迹方程又正是解析几何的两大基本问题之一，因而，这是在学科基本思想与基本问题上命题，同时又是在知识交汇处命题．1．参数方程背景题目条件中的3个定点、3个动点、3个等式AD BE DMt AB BC DE===，]1,0[∈t ． 可以看成是3个定比分点：（1）D 分AB 为定比t t-=1λ； （2）E 分BC 为定比t t-=1λ；（3）M 分DE 为定比tt-=1λ；而在课本中已推导了线段的定比分点公式：1212,1,1x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩取线段为AB 时可求得D 点的坐标，取线段为BC 时可求得E 点的坐标，取线段为DE 时可求得M 点的坐标，这实际上已经得出了M 点的参数方程，消去参数t 即得M 点的一般方程．从这一意义上说，高考题就是三次用课本的定比分点公式，在命题技术上正是“教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓”．解法1 设D ),(D D y x ，),,(E E y x E (,)M x y ，当0,1t =时，M 为,A C ；当(0,1)t ∈时，由,AB t AD =得AB t DB )1(-=，从而D 分AB 所成的比为tt-=1λ，0λ>．由课本的定比分点公式，有2,111,11A B D A B Dx x x y y y λλλλλλλ+⎧==⎪⎪++⎨+-⎪==⎪++⎩0λ>, 同理，由,,BE tBC DM tDE == 有2,111.11B C E B C Ex x x y y y λλλλλλλλ+-⎧==⎪⎪++⎨+-⎪==⎪++⎩0λ> , 图3-13()()2122,2,0,111()0,1,0,11D E M D E M x x x y y y λλλλλλλλλλ+-⎧==⨯∈->⎪⎪++⎨+-⎪==∈>⎪++⎩消去参数λ，得24x y =（或y x 42=），(2,2)x ∈-．添上端点，得所求轨迹方程为24x y =，[]2,2-∈x ．说明：（1）这个解法的特点是把向量式转化为定比分点公式，然后消参、化为一般方程，其主体是解析几何的坐标运算．值得注意的是tt-=1λ要求分母不为零，要讨论、说清楚轨迹的端点（或说定义域x 的端点）．（2）容易验证DE 是抛物线[]2,2,24x y x =∈-的切线． 2．课本的向量例题背景．这与上述的参数方程背景没有本质的区别，但在形式上最接近题目的外表，因为题目中最核心的部分——三个动点及其关系，都是用向量形式来陈述的．在课本（人教版高中课本《数学》第一册下）中有这样一个例子：例3-24 OA ，OB 不共线，(),AP t AB t R =∈用OA ，OB 表示OP ．如图4，运用向量的加减运算可得：()OP OA AP OA t AB OA t OB OA=+=+=+-()1t OA tOB =-+ ． 图3-14这表示了连结AB 的直线，也表示了定比分点公式．将高考题中的条件表示成起点为原点的向量，并限制(0,1)t ∈，便有(1),OD t OA tOB =-+ (1),OE t OB tOC =-+(1)OM t OD tOE =-+，再把OD ，OE 代入OM ，也就是三次利用课本例题即可求得动点M 的向量形式． 解法2 设()()1,0,0,1i j ==，由已知有2, ,2OA i j OB j OC i j =+=-=-+，又设(,)M x y ，由人教版高中课本《数学》第一册（下）第109页例5有(1)(1)(2)(22)(12),OD t OA tOB t i j t j t i t j =-+=-+-=-+-同理 (1)OE t OB tOC =-+()()()12(2)(12)t j t i j t i t j =--+-+=---，2(1)(1)(22)(12)(2)(12)2(12)(12),OM t OD tOEt t i t j t t i t j t i t j =-+⎡⎤⎡⎤=--+-+---⎣⎦⎣⎦=-+- 得 [][][][]22(12)2,2,0,1:(12)0,1,0,1x t t M y t t ⎧=-∈-∈⎪⎨=-∈∈⎪⎩ 消去参数t ，得[]2,2,24x y x =∈-． 说明 这个解法把一道高考题化归为课本例题的连用三次，其主体是向量运算．与评分标准相比，由于引进了单位向量()()1,0,0,1i j ==，使得书写更为连贯,并且不用讨论端点（分母为0）．3．高等数学的伯恩斯坦多项式背景． 在函数逼近论中有一个很基本的问题，就是能不能用结构最简单的函数——多项式，去B逼近任意的连续函数，答案是肯定的，前苏联数学家伯恩斯坦证明了一个很漂亮的定理：若()f x 在闭区间[]0,1上连续，则对于x 一致有()()()lim ;n n B f x x f x →∞=．其中多项式()()();1nn kk k n nk k B f x x f Cx x n -=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑称为函数()f x 的伯恩斯坦多项式．以这一知识为背景，中国的数学竞赛已经考过两回（1986年高中联赛，1987年冬令营）．当2n =时，上述伯恩斯坦多项式为()()()()()()2221;012112B f x x f x f x x f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭．这构成了高考题的知识背景．下面用贝齐尔曲线作出更具体的说明．在汽车制造业中，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法．设012,,,,n p p p p 为1n +个给定的控制点，称参数曲线()()[]0,0,1nn i ii p t p B t t ==∈∑为以{},0,1,2,,i p i n =为控制点的n 次贝齐尔曲线，其中多项式()n i B t =()1n ii inC t t -- 叫做伯恩斯坦基函数，{},0,1,2,,i p i n =叫做贝齐尔点，顺次以直线段连接012,,,,n p p p p 的折线，不管是否闭合，都叫做贝齐尔多边形．当2n =时，二次贝齐尔曲线是一段抛物线，其矩阵方程为()()0212 2 1 ,,1 2 2 0 0 0p p t t t p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11，01t ≤≤．当3n =时，三次贝齐尔曲线的矩阵方程为()()0132231 3 3 1 3 6 3 0,,,1,013 3 3 0 1 0 0 0p p p t t t t t p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪=≤≤ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 回到高考题，取2n =，取0p 为点()2,1,A 取1p 为点()0,1B -，取点2p 为()2,1C -，则矩阵方程便展开为（见解法3）OM 22(1)2(1)t OA t t OB t OC =-+-+．因此，高考题可以理解为来源于生产实际．据说工人在制造飞机机翼时，正是在M 点的地方打上铆钉，使得机翼的横截面为抛物线．解法3 设(,)M x y ，由人教版高中课本《数学》第一册（下）第109页例5有(1),OD t OA tOB =-+ (1),OE t OB tOC =-+得 (1)OM t OD tOE =-+(1)(1)(1)t t OA tOB t t OB tOC ⎡⎤⎡⎤=--++-+⎣⎦⎣⎦22(1)2(1)t OA t t OB t OC =-+-+，把()()2,1,0,1OA OB ==-，()2,1OC =-代入，得[][][][]22(12)2,2,0,1,(12)0,1,0,1.x t t y t t ⎧=-∈-∈⎪⎨=-∈∈⎪⎩ 消去参数t ，得[]2,2,24x y x =∈-． 说明 虽然这个解法有伯恩斯坦多项式的背景，也得出了2n =的贝齐尔曲线，但从头到尾都只是课本例题的应用，因此，不管问题的原始来源如何，对教学来说，选择课本背景引导高考解题是明智和可行的．4．高考题两问的定比分点背景．本题的第（1）问通常是按照斜率的定义，求出,D E 的坐标()()22,21,2,21D t t E t t -+-+--然后，由[]12, 0,1,E DDE E Dy y k t t x x -==-∈-得[]1,1DE k ∈-．然而，第（1）问有一个很明显的直观：由DE 夹在,AB BC 之间知11BC DE BA k k k -=≤≤=，据知，有20%的考生都看到了这个直观，却没有几个能严格表达出来． （1）数形结合视角下的第（1）问． 怎样将明显的直观、表达为严格的数学运算，是一个由形到数的转换，从定义出发，“DE 夹在,AB BC 之间”就是把BC DE BA k k k ≤≤表示为坐标之间的联系．下面是一个把斜率公式变形为定比分点公式的思路．当0E B x x ==时，1DE k =；当0D B x x ==时，1DE k =-；当E B D x x x <<时，有()()()()E D E B B D DE E D E B B D y y y y y y k x x x x x x --+-==--+-1E B B D B DEB E B B D BD E By y x x y y x x x x x x x x x x ---+⋅---=-+-1.1D BBC BAB E DB B EBC BAx x k k x x x x x x k k λλ-+-=-+-+=+ 其中(),D B D B E Ex x xo x x x λ-==-∈+∞-，得BC DE BA k k k <<；加上端点，得BC DE BA k k k ≤≤．这就严格地实现了直观所看到的，其书写可以简化，得第（1）问的定比分点解法．解法1 当0E B x x ==时，1DE k =；当0D B x x ==时，1DE k =-；当E B D x x x <<时，由点(),D D D x y 在:1BA y x =-上，(),E E E x y 在:1BC y x =--上，有()11,D D AB y x k =-⇔= ()11E E BC y x k =--⇔=-．得 (1)(1)E D E D DE E D E Dy y x x k x x x x -----==-- 1()1.1()DE D E D E DEx x x x x x x x -+-⋅--==-+-有(),DEx o x λ=-∈+∞，得()1,1DE k ∈-；加上端点，得 []1,1DE k ∈- 说明：为了避免分母为零（0E B x x ==时）的讨论，根据1212(0)()()01x x x x x x x λλλ+=>⇔--<+，上述运算又可改写为解法2 由点(),D D D x y 在:1BA y x =-上，(),E E E x y 在:1BC y x =--上，有()11,D D AB y x k =-⇔= ()11.E E BC y x k =--⇔=-得 (1)(1)11D E D E ED ED D E D E y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-=+-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭222110.()D E D E D ED E D E D E x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+-=≤⎪⎪---⎝⎭⎝⎭ 故[]1,1DE k ∈-．当E B x x ==0时，1DE k =；当0D B x x ==时，1DE k =-． 说明 上述解法表明，只要D 在AB 上，E 在BC 上就有11BC DE BA k k k -=≤≤=，与条件M ,,t t t ===]1,0[∈t 无关．（２）定比分点结构的提炼．这道高考题的第（1）问有定比分点求法，说明了题目两问有相同的定比分点结构，但是，两问的应用模式又是有差异的．求解第（2）问想到定比分点比较自然，它体现的是定比分点公式在等式问题上的应用；其实定比分点公式本身就包含有大小关系．记()()()111222,,,,,P x y P x y P x y 满足1212,1.1x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（1）当12,P P 为定点时，若λ为常数，则P 为定点，0,λ>点P 在12,P P 之间；0λ<，点P 在12,P P 之外．这就提供了等式与不等式沟通的桥梁，比如1212120()()0,0()()0.1x x x x x x x x x x x λλλλ>⇔--<⎧+=⎨<⇔-->+⎩ （2）当12,P P 为定点时，若λ为变数，则P 为动点，定比分点公式表示直线12PP 的参数方程；当1,P 2,P λ中至少有一个为变量时，定比分点公式表示动点P 的参数方程：()12121,01x x x F x y y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇒=⎨+⎪=⎪+⎩． 可见，本高考题的两问可以看成“定比分点模式”分别在等式与不等式上的应用，这样，我们就通过这道高考题的求解，初步积累起了“定比分点”解题模式．上面的几个例子我们都讲了模式，而又突破了模式，实质上是进行了两次提高． （1）在没有模式时要注意积累模式，并自觉使用模式．由于数学是一门演绎推理的学科，所以任何一个已被证实的结论都可以成为推断其他结论的依据，而不必事事都回到原始概念上去．因此化归为基本模式、化归为课本的基本问题，是解数学题的普遍可行的思考，解题就是归结为已经解过的题．（2）在有了模式时要努力突破模式，做到“没有模式就是最好的模式”．染色问题例3-1 (2003 高考题)如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用相同颜色，现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？例3-2（1995 高中联赛）如图2，将一个棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？例3-3（2003，江苏高考）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种.例3-4 （2001高中联赛) 在一个正六边形区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同植物，要有四种不同植物可供选择，则有____种栽种方案.例3-5（传球问题）甲，乙，丙，丁四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过四次传球后，球仍回到甲2 1 534的手中，问有多少种不同的传球方法？例：（08高考全国卷I理）如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48分析：给图中四个区域摆放鲜花，有4类摆法：①四个区域鲜花颜色全不相同，依A B C D、、、的顺序依次摆放，共有432124⨯⨯⨯=种；②A C、同色，B D、不同色，共有43224⨯⨯=种；③B D、同色，A C、不同色，共有43224⨯⨯=种；④A C、同色，B D、同色，共有4312⨯=种．根据分类计数原理，共有不同的摆花方案种数为：2424241284+++=（种）故选B．。
2-模式识别原理课件-第3章--判别函数及几何分类法
0
0
23
13
12
ï
þ
ï
ý
ü
<
>
<
d
d
d
5
5
3
0
分类时：每分离出一类，需要与I 有关的M-1个判决函数；要分开M类模式，共需M(M-1)/2个判决函数。对三类问题需要3(3-1)/2=3个判决函数。即：每次从M类中取出两类的组合：
例3.4 已知dij(X)的位 置和正负侧，分析三 类模式的分布区域 。
此法将 M 个多类问题分成M个两类问题，识别每一类均 需M个判别函数。识别出所有的M类仍是这M个函数。
例3.1 设有一个三类问题，其判别式为：
现有一模式，X=[7,5]T，试判定应属于哪类？并画出三类模式的分布区域。
解：将X=[7,5]T代入上三式，有：
三个判别界面分别为：
图示如下：
当ωi /ωj两分法中的判别函数dij(X) ，可以分解为
时，那么di(X) >dj(X)就相当于多类情况2中的dij(X) >0。
两分法特例
(3)多类情况3：
因此对具有判别函数
的M类情况，判别函数性质为：
或：
识别分类时：
判别界面需 要做差值。对ωi 类，应满足： di>其他所有d
例3.3 一个三类问题，三个判决函数为：
问模式
属于哪类？
解：计算得
可写成：
(4,3)
x2
x1
d23(X)=0
d12(X)=0
d13(X)=0
5
5
3
0
1
w
2
w
2
x
1
x
-
《模式识别导论》课件
集成学习通过组合多个模型或算法的预测结果，提高模式识别系统的泛化能力和鲁棒性，取 得了不错的效果。
结论和要点
1 模式识别是一门研究如何发现和理解数据中特定模式的学科。
它在计算机视觉、生物医学、金融风险管理等领域有广泛应用。
2 特征提取、分类方法和聚类分析是模式识别的基本原理和算法。
评价方法包括准确率、ROC曲线和混淆矩阵。
金融风险管理
模式识别技术在金融领域的 信用评估、欺诈检测、市场 预测等方面有广泛应用，帮 助金融机构降低风险。
模式识别的基本原理和算法
1
特征提取
通过数学模型和统计方法，从原始数据
分类方法
2
中提取出表征模式特征的信息，并对其 进行进一步处理。
常用的分类方法包括朴素贝叶斯、支持
向量机、决策树等，通过学习和训练，
将特征模式映射到不同的类别中。
3
聚类分析
聚类分析通过发现数据中的内在结构， 将相似的模式聚集到一起，帮助发现隐 藏的模式和关联规律。
模式识别的评价方法
准确率
评估模式识别系统在预测时的准 确性和正确率，可以通过统计指 标如精确度、召回率和F1值来度 量。
ROC曲线
ROC曲线是衡量模式识别系统分 类性能的重要工具，通过绘制真 正例率和假正例率来分析分类器 的效果。
关键技术
模式识别借鉴了机器学习、统计模型和人工智能等 技术，通过分类、聚类、回归等方法来识别和推断 数据中的模式。
模式识别的应用场景
计算机视觉
模式识别在图像识别、人脸 识别、目标检测等计算机视 觉任务中发挥着重要作用， 为智能系统实现图像理解提 供技术支持。
生物医学
模式识别应用于医学影像分 析、疾病诊断和预测，帮助 医生更准确地判断病情和制 定治疗方案。
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(3-2)
若
g j (x)
max i
gi
(
x)，则x∈ωj
(3-3)
第3章 非线性判别函数
对于任一个样本x，必有一个子类判别函数值 gri(x)(r∈{1，2，…，m})大于其他的子类判别函数值，于是 把x归于子类ωri所在的类别ωi，这样所得到的决策面是分段 线性决策面，如图3.2所示。若ωi类的第p个子类和ωj类的第 q个子类相邻，则这两个子类之间的决策面是超平面段，决策 面方程为
对于来自ω1和ω2的两类样本，分别用线性判别函数、分 段线性判别函数和二次判别函数(其定义将在3.5节给出)所得 到的决策面如图3.1所示。不难看出，分段线性判别函数比线 性判别函数的分类错误率要低，又比二次判别函数简单。
第3章 非线性判别函数 图3.1 分段线性判别函数示意图
第3章 非线性判别函数
||x－m1||2=||x－m2||2
(3-11)
2(m1－m2)Tx+(m2Tm2－m1Tm1)=0 (3-12)
第3章 非线性判别函数 显然分界面方程是x的线性方程，它确定了一个超平面。由式 (3-11)可知，上述超平面是两类均值点连线m1m2的垂直平分面，
下面分析图3.3所示的两类模式的分类问题，这里假设两 个模式类ω1和ω2都是多峰分布。取各类均值(几何中心)mi作 为代表元，按照上述规则设计最小距离分类器得分界面Ⅰ，这 种分界面的分类错误率显然很大。将每类划分为多个子类，每 一子类分别取一个代表元，按照最小距离分类器定义判别函数， 可得到多段超平面，它们一起构成分段线性分界面Ⅱ，其中每
函数
其中ali为gil 子( x类) ω(aliil的)T增x,广权l 向1,量2,,定,义li ,ωi i类1,的2,线性, m判别函数为
gi
(
x)
max
i1,2, ,l1
gil
其中p∈{1，2，…，glipi(}x，) q∈g{qj 1(，x)2，…，lj}，(3l-i4和)lj分别表
示第i类和第j类的子类数目。
第3章 非线性判别函数 图3.2 分段线性超平面示意图
第3章 非线性判别函数 分段线性分类器的性能较好，可以表达类结构比较复杂时 的分界面，比一般的超曲面要简单，因为其设计的本质仍然是
第3章 非线性判别函数
3.1.2
分段线性判别函数可以用点与点之间的欧氏距离函数表示。
设样本容量分别为n1和n2的两个模式类ω1和ω2的均值向量分 别为m1和m2，表示各类样本向量的均值，即
1 n1
m1 n1 i1 xi
(3-5)
1 n2
m2 n2 i1 xi
(3-6)
第3章 非线性判别函数
第3章 非线性判别函数 图3.3 基于距离的分段线性分类面
第3章 非线性判别函数
一般地，设有m个模式类，其中第ωi类划分为li个类，用 mli表示ωi类的第l个子类的均值向量(中心)，定义如下的判 别函数；
gi
(
x)
min
l 1,2, ,li
x mil
(3-13)
若
g
j
(
x)
min
i1,2, ,m
用多类线性判别函数方法把各个子类分开，自然就把各类分开
第3章 非线性判别函数
(1)基于距离的分段线性判别函数；把每一类分成若干个 子类，并在每个子类中选择样本的均值向量作为代表元，利用 3.1.2节多类线性分类器的设计方法，求出分段线性分类决策
(2)分段线性判别函数；把每一类分成若干个子类，
令 表元设i 计{最i1小,距i2 ,离分,类ili }器，，而如是果不对每是选个择子各类子定类义的一均个值线作性为判代别
每个子类定义一个线性判别函数
gil ( x) (wil )T x, l 1, 2, , li , i 1, 2, , m (3-1)
第3章 非线性判别函数 其中 wil 为增广权向量。定义ωi类的判别函数
gi
(x)
max
l 1,2, ,li
gil
( x),
i 1, 2,
,m
则对于m类问题，可以得到m个判别函数gi(x)，并
gi
(
x)
，则x∈ωj
(3-14)
第3章 非线性判别函数 3.2 通过样本集学习分段线性判别函数，就是学习每个子类的 线性判别函数的权向量(增广权向量)。首先根据样本集确定子 类数目及各子类的划分，然后利用样本集计算各子类判别函数 的权向量和阈值权。根据已知条件的不同，可以产生不同的设
3.2.1 如果已知子类的划分情况，将每一子类看成独立的类，利
用分段线性判别函数进行分类的原则为：把属于ωi类的 样本区域Ri分为li个两两不相交的子区域，每个子区域称为该 类的一个子类。对某个模式x，用子类的判别函数将其分配到
某一子类中，以子类中最大值判别函数所对应的子类判别函数
作为该类的判别函数，然后对x
设 i {i1,i2 ,
,
li i
}
被分成li个线性可分的子类，对
本章主要讨论分段线性判别函数的基本概念和学习方法，
第3章 非线性判别函数 3.1 3.1.1 分段线性判别函数是一种特殊的非线性判别函数，其决策 面是由若干个超平面段构成的。由于它的基本组成仍是超平面， 因此与一般超曲面相比仍然是简单的。其决策面是由超平面段 组成的这一特点使得它能逼近各种形状的超曲面，适应能力很
第3章 非线性判别函数 第3章 非线性判别函数
3.1 分段线性判别函数 3.2 分段线性判别函数的学习方法 3.3 势函数法 3.4 广义线性判别函数 3.5 二次判别函数
第3章 非线性判别函数 线性判别函数的突出优点是形式简单，容易学习。但是它 只能对判别区域是单连通的线性可分的模式类正确分类，而对 于判决界面比较复杂的线性不可分的模式类不能取得满意的分 类效果，如著名的“异或”问题。在模式类线性不可分的情况 下，需要采用非线性判别函数进行分类判决。与一般超曲面相 比，分段线性判别函数是最为简单的形式，也是非线性判别函
在欧氏空间中，m1和m2分别为模式类ω1和ω2的类中心。任一
个样本x到m1和m2的欧氏距离的平方可表示为；
d1(x)=||x－m1||2
(3-7)
d2(x)=||x－m2||2 (3-8)
决策规则为
若||x－m1||2<||x－m2||2，则x∈ω1 (3-9) 若||x－m1||2>||x－m2||2，则x∈ω2 (3-10)