杨辉三角 正式稿
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
“杨辉三角”说课稿
“杨辉三角”说课稿一、教材分析杨辉三角是人教B版选修2-3第一章的内容,是在学生学习过二项式定理后,进一步学习其性质的一个课例。
杨辉三角所蕴含的丰富的数学规律、数学思想、方法给学生提供了一个很好的数学探究的课题。
根据杨辉三角在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标:知识与技能:了解杨辉三角的简单历史,掌握杨辉三角的基本性质;过程与方法: 通过探究过程培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题、解决问题能力;情感态度与价值观:通过了解有关杨辉三角的简史,体会我国古代数学家的伟大成就,进行爱国主义教育,从而激发学生学习和探究杨辉三角的热情;通过小组讨论,培养学生发现问题、探究问题、建构知识的研究型学习习惯以及合作化学习的团队精神。
根据上述教学目标,确定本节课的教学重点是:杨辉三角中数字的规律的探究;本节课的学习难点是:杨辉三角中数字规律的发现和总结。
二、教学学法教法:为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:“观察、探究、发现、合作交流”的方法。
采用问题导引的方式,让学生通过对低阶杨辉三角的观察,再到n阶杨辉三角的猜想。
探究时采用先个人思考后小组合作交流,重点在于发现规律,不要求在课堂上证明。
学法:根据本节课的教学目标和教学方法,主张多给学生一点空间、时间,把角色还给学生,先由学生观察、探索,再发现与交流.引导学生逐步提高,发展学生有条理的思考与表达的能力,提高归纳猜想能力,使学生获得较全面的发展。
三、教学过程为了实现本节课的教学目标,突出教学重点,突破教学难点,在教学设计上采用了以下六个教学环节,分三个探究层次来完成本节课的教学任务。
教学环节(一):创设情境,提出问题(复习旧知)1:二项式定理及其特例:(1) ,(2) .2:二项展开式的通项公式: .(提出问题)3:提出问题:(a+b)n展开式的二项式系数有什么规律?课件演示:当n依此取1,2,3,…,时,二项式系数的列表,该列表叫做二项式系数表,因为它形如三角形,并且我国南宋的数学家杨辉对其有过深入的研究,所以又称它为杨辉三角。
杨辉三角 正式稿
合作交流 探索规律
【追问3】根据规律直接写出的多项式与系数对不对呢？
请你借助图形计算器验证一下.
结论：当n=7时，规律仍然成立.
合作交流 探索规律
【追问4】那么当n=8,9,…… 时，我们怎么来验证呢？ 我们用已有的知识能验证“所有”吗？
n可以取到无限大，用我们现在有限的知识 和经验是无法完成验证的. 高中阶段我们就会证明这些规律了.
杨辉三角
你能联想到什么知识呢？
a b2 a2 2ab b2
a bn n 0,1,2,3
合作交流 探索规律
【活动一】
【任务一】计算：a bnn 0,1,2,3,4,5，6 ，即：a b0 、a b1、
……、a b6 ，将结果记录在活动记录表中.
【任务二】将上述展开后的7个多项式中的系数，按顺序填写 在活动记录表中.
【任务要求】 1.每个多项式按照a的降幂顺序排列. 2.小组分工协作：计算、检查、记录、拍照
合作交流 探索规律 【活动二】
规律
探索就此结束了吗？ 我们还能探索些什么呢？我们一般研究多项式的哪些要素？
项数、次数、系数
合作交流 探索规律
【活动二】探索规律 【分组研讨】 【研讨问题1】观察得到的7个多项式，它们的项数有什 么规律？ 【研讨问题2】每个多项式中，各项的次数有什么规律？ 【研讨问题3】观察系数表，你能发现哪些规律？
【活动要求】用其他颜色笔在活动记录表上进行批注，研 讨后拍照上传.
合作交流 探索规律
注意：a bnn 0,1,2,3,4,5,6
【追问1】我们一起研究了6次及6次以内的a bn的展开
式的规律，那同学们又能提出什么问题呢？
n=7,8,9…… 还满足这些规律吗？
(展示)杨辉三角ppt_高三数学
C = C +C …… …… 2 r n−2 r −1 1 … Cn−1 Cn−1 … Cn−1 第n-1行 1 Cn−1 Cn−1 行 r n−1 2 1 … … Cn Cn 第n行 1 Cn Cn 行 …… … …
r n−1
一.简介:杨辉三角的基本性质 简介: 表中每个数都是组合数， 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n ! r r+1个数是 r+1个数是 C =
3.杨辉三角与“纵横路线图” 3.杨辉三角与“纵横路线图” 杨辉三角与 “纵横路线图”是数学中的一类有趣 纵横路线图” 纵横路线图 的问题：如图是某城市的部分街道图， 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到 处走到B处 纵横各有五条路，如果从 处走到 处 (只能由北到南，由西向东 ，那么有多 只能由北到南， 只能由北到南 由西向东)， 少种不同的走法？ 少种不同的走法？
（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？
列斜线上的前Q个数之和等于第 列斜线上的第Q个数 第P列斜线上的前 个数之和等于第 列斜线上的前 个数之和等于第(P+1)列斜线上的第 个数。 列斜线上的第 个数。
（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
= (C a + C a b +⋯+ C a b +⋯+ C )(a + b) 0 k+1 1 k r +1 k−r b+1 k k = Ck a + Cka b +⋯+ Ck a b +⋯+ Ck ab +
0 k k 1 k −1 1 k r k k −r r k k
初中数学杨辉三角
初中数学杨辉三角哎呀，今天咱们聊聊一个很有意思的东西——杨辉三角！听起来高大上，其实它就是一个简单的数字排列。
别看名字复杂，其实就像一个小山丘，层层叠叠，挺好看的。
你想想，一开始就是个小小的“1”，然后它就开始长大，慢慢变得越来越庞大，真是像个小宝宝一天一天长大的感觉。
第一层就是个“1”，第二层有两个“1”，就像小朋友在玩，两个小伙伴手牵手，满满的都是童趣。
接着往下走，第三层是“1 2 1”，四层变成“1 3 3 1”。
嘿，瞧瞧，这里面藏着什么秘密！你有没有发现，每个数字其实都是它上面两个数字的和。
就像我们在生活中，朋友的力量，合起来就能成就更大的事情。
这个小小的三角形，可真是蕴藏了不少人生哲理呢！不得不提一提它的用途。
你知道吗？这玩意儿在组合数学里可是个大明星。
无论是选择、排列还是组合，杨辉三角都能帮上忙。
就好比说，你有三种水果，想选出两种来吃，杨辉三角告诉你，有多少种搭配方式。
嘿，真是个万能小助手！记得我小时候，常常为了选水果发愁，现在想想，简直是小儿科了。
而且呀，杨辉三角还有个特别的地方，就是它跟二项式定理有密切关系。
你可以把它想象成一个魔法师，召唤出各种不同的组合。
比如说，(a + b)的平方展开，结果就是1、2、1，这不是刚好对应着杨辉三角的第二层吗？魔法般的连接，真是让人惊叹不已。
数学有时候就像是一场奇妙的旅行，每一步都充满了惊喜。
除了这些，杨辉三角在概率和统计中也扮演着重要角色。
比如说，掷骰子，抽奖，甚至做一些小小的游戏时，你都能用到它。
它就像是生活中的调味品，给你带来意想不到的精彩。
在学校里学到这些，简直就像发现了新大陆，眼前一亮，感觉生活更丰富多彩了。
咱们再说说视觉效果。
杨辉三角的形状实在是太美了，特别是当你用彩笔画出来的时候。
每一层都是一个不同的颜色，形成一个炫彩的阶梯，简直像是一幅艺术品！你有没有试过在纸上画它？越画越有成就感，越看越开心。
就像小时候做手工，做出一个漂亮的东西，总是特别自豪。
“杨辉三角”简介
“杨辉三角”简介
上述三角形数表称为“杨辉三角”，它呈现了二项式展开式各项系数的规律．如表中第三行为二项式(a+b)2的展开式(a+b)2＝a2＋2ab＋b2的各项的系数：1，2，1．
又如表中第四行为二项式(a+b)2的展开式(a+b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3的各项的系数：1，3，3，1．
“杨辉三角”中数的排列规律是：每一行两端都是1，其余各数都是上一行中与比数最相邻的两数之和，如
这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的．据他的著作里记载，这个数表早在11世纪由北宋数学家贾宪所发现．因此，后人把“杨辉三角”又称为“贾宪三角”．
在西方，称这个数表为“帕斯卡三角形”．帕斯卡在1653年开始应用这个三角形数表,发表则在1665年．这就是说，就发现和应用这个三角形而言，贾宪比帕斯卡早600年左右，杨辉比帕斯卡早400多年．。
部编版八年级数学上册《阅读与思考杨辉三角》说课稿
部编版八年级数学上册《阅读与思考杨辉三角》说课稿一、引入大家好，今天我给大家说一说部编版八年级数学上册的《阅读与思考杨辉三角》这一部分内容。
杨辉三角是数学中的一个经典问题，通过阅读和思考，我们可以深入了解杨辉三角的性质和相关应用。
在这里，我将在引入部分对该节内容进行概述，并介绍教学目标和教学重点。
首先，我们先来了解一下什么是杨辉三角。
杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一个由数字排列成的三角形。
它的特点是，每个数等于它上方两数之和。
杨辉三角是一个非常有趣的数学现象，在数学的发展史上有着重要的地位。
二、教学目标通过学习《阅读与思考杨辉三角》这一部分内容，我们的教学目标主要包括：1.了解杨辉三角的定义和构造过程；2.掌握杨辉三角的性质和特点；3.熟练运用杨辉三角解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
三、教学重点在教学过程中，我们重点讲解以下几个方面的内容：1.杨辉三角的构造方法和性质；2.杨辉三角的应用，如组合数和二项式展开；3.运用杨辉三角解决实际问题。
四、教学内容4.1 杨辉三角的构造方法杨辉三角的构造方法非常简单，每一行的数字是根据上一行的数字相加得到的。
具体来说，第一行只有一个数字1，第二行有两个数字1，第三行有三个数字，分别是1、2、1，以此类推。
可以用递推的方法求出任意一行的数字。
4.2 杨辉三角的性质杨辉三角有很多有趣的性质，我们来看几个典型的例子。
4.2.1 每行数字的和是2的幂每一行数字的和恰好是 2 的幂次方。
这可以用数学归纳法进行证明。
4.2.2 对称性杨辉三角是关于中垂线对称的，即三角形的左右两侧的数字是对称的。
4.2.3 组合数杨辉三角中的数字可以表示为组合数，即在排列组合问题中，杨辉三角中的数字可以表示为选取元素的不同方式的个数。
4.3 杨辉三角的应用杨辉三角在实际问题中有着广泛的应用，其中一个典型的应用是二项式展开。
二项式展开是把一个二次方或高次方完全展开的方法，其中杨辉三角提供了展开系数。
杨辉三角ppt
又因为p>k且p为素数, 所以 c p 中一定含有因数p，故p整除 第p行中除数1外的所有数。
k
小结
1、第2k-1行（k是正整数）的各个数字均为奇数
2、如果p是素数，那么在第p行中，除去两端的 数字1外，行数p整除其余的所有的数。 3、各行数字的和均为2n（n是行数）。 4、第2k-1行的所有数Байду номын сангаас为奇数，第2k行的所有 数都是偶数（除两端的1外）k是正整数。
杨 辉
杨辉三角
题引
杨辉，字谦光，南宋末钱塘人。作过地方官员， 曾被赞为“以廉饬己，以儒铈吏；吐胸中之灵气，继前 贤之奥旨”。他是宋代甚至也是中国古代最杰出的数学 教育家，十分重视数学教育和普及工作。1261年他所著 的《详解九章算法》里，记载着类似下面的表：此表称 为杨辉三角。 杨辉三角是我国古代数学 一 的研究成果之一，它的发 现比法国数学家帕斯卡早 一 一 500年左右。它和勾股定理、 一 二 一 圆周率的计算等其他中国 古代数学成就，一并显示 一 三 三 一 了我国古代劳动人民的卓 一 四 六 四 一 越智慧和才能。
一 五 十 十 五 一
杨 辉 三 角 ——
一
六
十五
二十 十五 六
一
杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是组合数， r Cn 第n行的第r+1个数是 第n行是二项式展开式的系数 列
2、对称性：
r n
尝 ，即 表中的数字左右对称 C 试 C 对称轴是杨辉三角底 探 边上的高。 索
n r n
3、结构特征：
Cnr Cnr11 Cnr1 除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，即
探索
试证明：杨辉三角中，若行数p是素数，则p 整除第p行中除1以外的所有数。 证明：在第p行中除去数1外的所有数 k 可用 c p 表示(0<k<p且k为整数)
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
《杨辉三角的性质与应用》 学历案
《杨辉三角的性质与应用》学历案一、杨辉三角的简介杨辉三角，又称贾宪三角，是一个在中国数学史上具有重要地位的数学成果。
它最早出现在北宋数学家贾宪的著作中，后来南宋数学家杨辉在其《详解九章算法》中记载并予以推广。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数阵，其形式简洁而规律明显。
它的特点是每行数字左右对称，由 1 开始逐渐增大，并且每个数字都是其上方两数字之和。
二、杨辉三角的性质1、对称性杨辉三角具有明显的对称性，即左右对称。
这意味着每行数字从左到右和从右到左看是相同的。
这种对称性反映了数学中的一种美学和规律。
2、每行数字和每行数字之和是一个以 2 为底数，行数减 1 为指数的幂。
例如，第n 行数字之和为 2^（n 1)。
3、与二项式系数的关系杨辉三角中的数字与二项式展开的系数是完全对应的。
例如，（a＋ b)＾n 的展开式中各项的系数可以直接从杨辉三角的第 n 行得到。
4、组合数性质杨辉三角中的数字也是组合数的体现。
第 n 行第 m 个数（从 0 开始计数）等于从 n 个元素中选取 m 个元素的组合数 C(n, m)。
三、杨辉三角的应用1、数学计算在计算组合数时，通过杨辉三角可以快速得到结果，避免复杂的计算过程。
例如，要计算 C(5, 2)，直接查看杨辉三角的第 5 行第 2 个数即可。
2、概率问题在概率统计中，杨辉三角可以帮助解决一些与排列组合相关的概率问题。
例如，在抛硬币多次的情况下，计算出现特定正面或反面次数的概率。
3、计算机算法杨辉三角在计算机算法中有广泛的应用。
例如，生成组合数的算法、计算二项式展开的算法等都可以基于杨辉三角的性质进行优化。
4、数论研究杨辉三角中的数字规律在数论研究中也能提供一些线索和启发。
通过对其数字特征的分析，可以发现一些数的性质和关系。
四、通过实例理解杨辉三角的应用1、计算组合数假设要从 7 个不同的元素中选取 3 个元素的组合数 C(7, 3)。
我们可以找到杨辉三角的第 7 行，然后找到第 3 个数（从 0 开始计数），即为 35，所以 C(7, 3) ＝ 35。
(完整word版)杨辉三角形
有趣的杨辉三角形【教学目的】1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律;2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力,重点培养创新能力；3．了解我国古今数学的伟大成就,增强爱国情感．【教学手段】课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。
【教学思路】→学生自学教材，然后思考几个问题。
→分组探讨杨辉三角的性质。
→展示学生探究成果→教学小结【自学教材】;1．什么是杨辉三角?二项式(a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2,3．．．时，列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）例如,它的兩項的係數是1和1；,它的三項係數依次是1、2、1；，它的四項係數依次1、3、3、1。
2．杨辉--古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多,他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版,流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的(BlaisePascal, 1623年～1662年)，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．3．观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）4．杨辉三角基本性质▲教学意图 介绍杨辉三角蕴含的基本规律(1)表中每个数都是组合数，第n 行的第r+1个数是)!(!!r n r n C r n-=．（2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是r n r n r n C C C 111---+=．（3）杨辉三角具有对称性（对称美),即rn nr n C C -=． （4）杨辉三角的第n 行是二项式(a+b ）n展开式的二项式系数，即nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 1110)(【自学引导】杨辉三角有趣的数字排列规律注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多种角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）（1）杨辉三角的第1，3，7，15,．．．行,即第2K —1（k 是正整数）行的各个数字有什么特点?第2K行呢？第2K-1(k 是正整数）行的各个数字均为奇数．第2K 行除两端的1之外都是偶数（2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？如2，3，7,11等行．行数Ｐ是质数（素数）(3)计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第n 行n nn n n r n n n n C C C C C C 21210=+++++++-（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发， 向右(左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．例如：10＝1＋2＋3＋4, 20＝1＋3＋6＋10，．．． 于是有一般性结论:一般地，在第m 条斜线上(从右上到左下）前n 个数字的和,等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数．根据这一性质，猜想下列数列的前n 项和：1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ 1n C （第1条斜线） 1＋2＋3＋ ．．．＋11-n C ＝ 2n C （第2条斜线） 1＋3＋6＋ ．．．＋21-n C ＝ 3n C （第3条斜线) 1＋4＋10＋ ．．．＋31-n C ＝ 4n C （第4条斜线)．．．1121+-++=++++r n r n r r r r r r C C C C C （第r+1条斜线）（5)如图,写出斜线上各行数字的和，有什么规律?1，1，2，3，5，8，13,21，34，．．． 此数列{a n ｝满足, a 1=1,a 2=1, 且a n =a n —1+a n-2 (n ≥3)这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作《算术之法》）． 结论：斜线上各行数字的和,正好组成斐波那契数列．（6)杨辉三角与“纵横路线图"“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路,如果从A 处走到B 处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？=48C 70我们把图顺时针转45度，使A 在正上方,B 在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有什么有趣的结论 一般地，每个交点上的杨辉三角数，就是从A 到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．（7）计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有 什么有趣的联系？（8）杨辉三角与“堆垛术”(三角垛，正方垛，．．．）我国古代数学的伟大成就—-堆垛术，学生自行探究将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹,求总数．【课堂小结】。
1.3.2杨辉三角课件人教新课标B版(2)
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从 左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3.
解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3， 则 3C1n3＝2C1n4， 即13！3nn－！13！＝14！2nn－！14！. 解得 n＝34. 答案：34
1.3.2杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第n-1行 1
…… ……
第n行 1
… … C C 1 2 n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
C
1 n
Cn2
…
C
r n
[一点通] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根 据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要 使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项的和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次 项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数的和为
2
10＋4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，， ，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
[一点通] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时， 中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同 的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式 组、解不等式的方法求得．
杨辉三角数学小故事
杨辉三角数学小故事《奇妙的杨辉三角》嘿，大家知道杨辉三角不？那可真是个神奇又好玩的东西！有一天我在图书馆闲逛，偶然间翻到一本数学书，看到了杨辉三角。
哎呀呀，刚开始我还不以为意呢，心想不就是一些数字排列嘛，能有多厉害。
但当我仔细一瞧，哟呵，有点意思！你看这些数字一层一层地排列着，就好像是个数字金字塔。
我就琢磨着，这些数字咋就这么有规律呢，就跟约好了似的乖乖地站在那儿。
越研究越觉得好玩，就像是发现了一个隐藏的宝藏。
我突然就想到，如果这些数字能说话，那它们肯定会有一堆有趣的故事。
比如说最上面的那个数字1，它肯定觉得自己老威风了，统领着下面这一大帮子数字。
下面的数字呢，也都各有各的位置，谁也不能乱插队。
然后我又试着找一些规律。
嘿，还真让我找到了！比如每行两端的数字都是1，就跟坚守岗位的哨兵似的。
中间的数字呢，都是上面那行相邻两个数字之和。
这可真是太有意思了，感觉就像是数字们在玩接力游戏。
我还发现这杨辉三角在生活中也有不少应用呢。
比如说计算组合数啥的，就特别好用。
以前觉得很难的问题，现在有了它，好像一下子就变得简单起来了。
这杨辉三角就像是一个隐藏在数学世界里的小魔法，等着我们去发现和探索。
每次看到它，我就忍不住想要去挖掘更多的秘密。
我还跟我的小伙伴们分享了这个有趣的发现，他们一开始也是将信将疑，等我给他们一讲解，都纷纷被杨辉三角的魅力所吸引。
我们一起在那研究、探讨，一个个都像着了魔似的。
总之呢，这杨辉三角真是个奇妙的东西。
它让我看到了数学不只是枯燥的公式和计算，还有这么多有趣好玩的地方。
现在我每次看到数字，都感觉它们好像在向我眨眼睛，说不定它们也是杨辉三角中的一部分呢！大家也快去感受一下杨辉三角的神奇魅力吧，相信你们一定会被它吸引住的！。
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1 7 21 35 35 21 7 1 a b a b 7
7 7a6b 21a5b2 35a4b3 35a3b4 21a2b5 7a b6 7
(a b)0 (a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6 (a b)7 (a b)n
a2年十大杰出艺术家——世界第一位“雪艺家”的创作.
创设情境 设置悬念
2001年APEC上海峰会中 的一张照片.照片中的 一面背景墙是由“一些 特殊数字”组成的“三 角形”设计而成.
数学史上伟大的发现——
“杨辉三角”
2 33 46 4
创设情境 设置悬念 对杨辉三角你想了解些什么呢？
56
7
0
1
23 4 5
6
杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数
合作交流 探索规律
注意：a bnn 0,1,2,3,4,5,6
【追问1】我们一起研究了6次及6次以内的a bn的展开
式的规律，那同学们又能提出什么问题呢？
n=7,8,9…… 还满足这些规律吗？
合作交流 探索规律
【追问2】你能利用规律直接写出 a b7 的展开式及系数吗？
合作交流 探索规律 【活动二】
规律 我们一般研究多项式的哪些要素？
项数、次数、系数
合作交流 探索规律
【追问2】你能利用规律直接写出 a b7 的展开式及系数吗？
项数 次数 系数
(a b)0 (a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
1
2
34
项数 1 2 3 4 5 6 7 8 n 1
次数 0 1 2 3 4 5 6 7 n
系数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数 杨辉数
合作交流 探索规律
【追问3】根据规律直接写出的多项式与系数对不对呢？
请你借助图形计算器验证一下.
结论：当n=7时，规律仍然成立.
合作交流 探索规律
杨辉三角
你能联想到什么知识呢？
a b2 a2 2ab b2
a bn n 0,1,2,3
合作交流 探索规律 【活动一】
【任务一】计算：a bnn 0,1,2,3,4,5，6 ，即：a b0 、a b1、
……、a b6 ，将结果记录在活动记录表中.
【任务要求】 1.每个多项式按照a的降幂顺序排列.
11
121
1 3 31
1 46 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 25 20 25 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
总结提升 1. 谈谈你在本节课中有哪些收获？ 2. 我们是怎样探索规律的？
【一般思路】 动手试验 观察 归纳猜想 验证
3. 数学思想方法： 由特殊到一般，归纳.
【追问4】那么当n=8,9,…… 时，我们怎么来验证呢？ 我们用已有的知识能验证“所有”吗？
n可以取到无限大，用我们现在有限的知识 和经验是无法完成验证的. 高中阶段我们就会证明这些规律了.
资源拓展 杨辉三角中还有哪些我们不知道的秘密呢？
请同学们观看视频资料.
杨辉三角—— 一个美丽的分形
1 ——谢尔宾斯基三角