同步练习 第21节矩形菱形正方形
苏科版 八下 9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练(word版含答案)
9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练一、单选题1．如图，已知矩形纸片ABCD 中，9cm,3cm AD AB ==，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．4cm 、D ．5cm 、 2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AE 是∠BAC 的外角平分线，ED ∥AB 交AC 于点G ．下列结论：①AD ⊥BC ；②AE ∥BC ；③AE ＝AG ；④AD 2＋AE 2＝4AG 2，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24 4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH ，若EH ＝5，EF ＝12，则CD 长为（ ）A．13 B．12013C．12 D．175．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC ＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30 B．50或40 C．50 D．50或30或20 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE 8．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且18AC=，点P在正方形的边上，则满足PE PF+，则的点P的个数是（）A ．0B ．4C ．6D ．810．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC ＋BC ＝6，空白部分面积为10.5，则AB 的长为（ ）A ．B C ．D二、填空题 11．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点E 在AB 上，且1AE =，点P Q 、分别是直线CD AD 、上的两个动点，将AEQ ∆沿EQ 翻折，使点A 落在矩形中的点F 处，连接PF PB 、，则PB PF +的最小值是__________．13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点P 是直线BC 一动点，若将△ABP 沿AP 折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP ＝_________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．三、解答题17．如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD 相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝12，BC＝13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t＝秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t＝秒时，四边形EPCQ是菱形．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA至点D，连结DC，过点B作BE⊥DC于点E，F为BC上一点，FC＝FE．连结AF，AE．（1）求证：F A ＝FE ．（2）若∠D ＝60°，BC ＝10，求△AEF 的周长．19．如图，四边形ABCD 中，∠B=60°，AC=BC ，点E 在AB 上，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得CF ，且点F 在AD 上．（1）求证：AF=BE ；（2）若AE=DF ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若BC=AFCE 的面积．20．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系（不要求证明）；（2）如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动过程中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．参考答案1．B2．C3．C4．B5．C6．A7．B8．A9．D10．B1112．-1．13．414．或7﹣15．16．617．（1）BF ＝AE ，证明见解析；（2）①8，②13【详解】解：（1）BF ＝AE ．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠AEB ，在△BCF 和△EBA ，BFC A CBF AEB BC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△EBA ，∴BF ＝EA ；（2）EP＝t，CQ＝t，在Rt△ABE中，AE5，∵EP＝CQ，EP∥CQ，∴四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD时，∠CPE＝90°，则平行四边形EPCQ为矩形，此时AP＝BC＝13，即5+t＝13，解得t＝8，即当t＝8时，四边形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如图，当CP＝CQ＝EP＝t，平行四边形EPCQ为菱形，而PH＝t+5﹣13＝t﹣8，在Rt△PCH中，122+（t﹣8）2＝t2，解得t＝13，即当t＝13，四边形EPCQ是菱形．故答案为：8，13．18．（1）见解析；（2）15【详解】（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴F A＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝12BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴△AEF的周长＝3AF＝3×5＝15．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AFCE的面积=．【详解】(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,,,,BC ACECB ACF EC FC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BCE≌△ACF(SAS),∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°, ∴AF∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD 是菱形.(3)∵△BCE ≌△ACF,∴四边形AFCE 的面积=△AFC 的面积+△ACE 的面积 =△BEC 的面积+△ACE 的面积=△ABC 的面积,∵△ABC 是一个等边三角形且,∴四边形AFCE 的面积=12×20．（1） OA OB OC ==；（2）等腰直角三角形，见解析 【详解】解：（1）点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系是B OA O OC ==． （2）OMN 的形状是等腰直角三角形．证明如下：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点， OA OB OC ∴==，AO 平分BAC ∠，AO BC ⊥， 90AOB ∠=︒∴，45B C ∠=∠=︒，45BAO CAO ∠=∠=︒， CAO B ∠=∠．在BOM 和AON 中，AN BM =，CAO B ∠=∠，OA OB =，()BOM AON SAS ∴△≌△，OM ON ∴=，AON BOM ∠=∠．90AOB BOM AOM ∠=∠+∠=︒，90AON AOM ∴∠+∠=︒，即90MON ∠=︒，OMN ∴是等腰直角三形．。
八年级数学上册16.2 矩形-菱形与正方形的性质同步练习
矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1．如图；矩形ABCD 的两条对角线相交于O ；∠AOD=120°；AB=4cm ；求对角线AC 的长．DAC B O2．如图；菱形ABCD 中；∠A=60°；对角线BD=5；求菱形的周长．DA CB 3．如图1；已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ；E 是AC 上一点；连接EB ；过点A 作AM ⊥BE ；垂足为M ；AM 交BD 于点F ． （1）求证：OE=OF ；（2）如图2；若点E 在AC 的延长线上；AM 与EB 的延长线交于点M ；交DB 的延长线于点F ；其他条件不变；则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立；请给出证明；如果不成立；请说明理由．(1) (2)4．如图；以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE；连接BE；交正方形的对角线AC于点F；连接DF；求∠AFD的度数．5．（1）如图；把一矩形ABCD的纸片；沿EF折叠后；点D、C分别落在D′、C′的位置上；ED′与BC的交点为G；若∠EFG=55°；求∠1、∠2的度数．（2）如图；把一矩形纸片ABCD；沿EF折叠后；点D和点B重合；点C落在C•′位置；若AB=4cm；AD=12cm；求BE的长度．6．已知△ABC；∠A：∠B：∠C=1：2：3；AB=6cm；D为AB边上的中点；求CD的长．7．•已知菱形的边长为10cm；•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm．8．如图所示；在矩形ABCD中；对角线AC分∠BAD为∠1；∠2；且∠1：∠2=1：2；AB=3cm；求AC的长．9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm；12cm；则菱形ABCD的面积为多少？10．对于左栏的案例4；采用“补短法”还可以怎样作辅助线；证明出BE=BG+FC？11．如图；E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上；且∠FBC=∠EBF；• 求证：BE=AE+CF．二、课外演练1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm；则这个菱形的面积为（）A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm23．如图；EF为矩形ABCD对角线的交点O；•且分别交AB、CD于E、F；那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310（第3题）（第6题）（第8题）4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°；则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°5．菱形的一条对角线与一条边长相等；则这菱形锐角的度数为_______．6．如图；已知矩形ABCD的对角线相交于点O；△AOD的周长比△AOB的周长大8cm；矩形周长是80cm；求矩形ABCD的面积．7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°；那么（）A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定8．如图；矩形ABCD中；AD=30；AB=20；E、F三等分对角线AC；则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．2009．能够在图形内找到一点；使该点到四边形的各边距离都相等；则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形10．如图16-2-21；在矩形ABCD中；AE⊥BD于E；∠DAE=3∠BAE；则∠EAC为（）A．30° B．45° C．60° D．75°（第10题）（第14题）（第15题）11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm；此矩形周长为_____cm．12．菱形的面积为24cm2；一条对角线的长为8cm；则另一条对角线的长是_____cm．13．菱形的周长是20cm；那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm．14．如图；若点P是正方形ABCD内任意一点；且正方形的边长为1；若S△ABP=0.4；则S△DCP =______．15．如图；正方形ABCD的对角线相交于O点；点O是正方形A′B′C′O的一个顶点；如果两个正方形的边长都为1；那么正方形绕点O旋转；•两个正方形重叠部分的面积（）A ．14B．13C．15D．随着旋转而变化16．如图；在矩形ABCD中；E、F分别在AB、CD上；BF∥DE；若AD=12cm；•AB=7cm；AE：EB=5：2；则阴影部分的面积是_______cm2．17．如图所示；它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH•拼成的一个大正方形ABCD；若S正方形ABCD=13；S正方形EFGH=1；直角三角形较短直角边为a；较长的直角边为b；求（a+b）2的值．18．有块如图；形状的钢板；如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）19．在如图所示的图形中；所有的四边形都是正方形；所有的三角形都是直角三角形；其中最大的正方形的边长为7cm；则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20．阅读以下短文；然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合；且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上；•则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”；如图①所示；矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．显然；当△ABC•是钝角三角形时；其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述；说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②；若△ABC为直角三角形；且∠C=90°；在图16-2-28•②中画出△ABC的所有“友好矩形”；并比较这些矩形面积的大小．（3）若△ABC是锐角三角形；且BC>AC>AB．在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的矩形并加以证明．答案:一、课内训练：1．解：∵四边形ABCD是矩形；∴AC=BD；AO=CO=12AC；OB=OD=12BD（矩形对角线相等且互相平分）．∴AO=CO=OB=OD．又∵∠AOD=120°；∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．即AO=BO=AB=4（cm）．∴AC=2×4=8（cm）．点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征；矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形；若矩形的两条对角线的夹角中；如果有60°或120°的角；则必有等边三角形．2．解：∵四边形ABCD为菱形；∴AB=AD．又∵∠A=60°；∴△ABD为等边三角形．∴AB=AD=BD=5．∴菱形的周长为4AB=5×4=20．点拨：根据菱形的特征；四条边都相等；所以AB=AD；结合∠A=60°；可得△ABD•为等边三角形；从而求得菱形的边长；进而求得菱形的周长．3．解：（1）因为四边形ABCD是正方形．所以∠BOE=∠AOF=90°；OA=OB．又因为AM⊥EB；所以∠MAE+∠MEA=90°=∠OBE+∠MEA．所以∠MAE=∠OBE．所以△AOF绕O点逆时针方向旋转90°可与△BOE重合．所以OE=OF．（2）OE=OF仍成立；说明如下：因为四边形ABCD是正方形；所以∠BOE=∠AOF=90°；BO=AO．因为AM⊥EB；所以∠OEB+∠OAM=90°=∠OFA+∠OAM．所以∠OEB=∠OFA．所以△AOF绕O点逆时针旋转90°后可与△BOE重合．所以OE=OF．点拨：要使OE=OF；只需证明△AOF和△BOE重合；根据已知条件和正方形的特征易得到；“问题”的基本思路是先假设结论成立；然后用分析法探求其成立条件；•若题设所给条件满足要求；则成立；反之则不成立．4．解：∵四边形ABCD是正方形．∴AB=AD；∠BAF=∠DAF．∴△ABF与△ADF全等．∴∠AFD=∠AFB．∵CB=CE；∴∠CBE=∠CEB．∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°；∴∠CBE=15°．∵∠ACB=45°；∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．∴∠AFD=60°．点拨：易得△ABF与△ADF全等；∠AFD=∠AFB；因此只要求出∠AFB的度数即可．由∠AFB=∠ACB+∠EBC；∠ACB=45°；转化为求∠EBC的度数；在等腰△BCE中可求得．5．（1）解：在矩形ABCD中；AD∥BC；∴∠DEF=∠EFB；∠1+∠2=180°．又∵∠EFG=55°；由对称性可知∠GEF=∠DEF=55°．∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=70°．∴∠2=180°-∠1=110°．（2）解：设DE=xcm；则有DE=BE=x．∵AD=10cm；∴AE=（10-x）cm．在Rt△ABE中；BE2=AB2+AE2；即x2=42+（10-x）2；解得x=259；∴BE的长为259cm．点拨：（1）由矩形对边平行；知道∠DEF=∠EFG=55°；而∠DEF与∠FEG是对应角；•故∠FEG=∠DEF=55°；进而由平角定义；求出∠1=180°-∠DEF-∠FEG；而∠1与∠2互补；从而求出∠2．（2）可设DE长度为xcm；由折叠可知DE=BE；从而AE=10-x；在Rt△ABE中；应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2；即x2=42-（10-x）2；从而求出x．6．3cm 提示：△ABC为Rt△；AB为斜边；CD为斜边上的中线．7．20cm8．6cm 提示：在Rt△ABC中；∠C=30°．9．30cm2提示：菱形对角线互相垂直；其面积为12×5×12．10．如图；过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H；则得矩形BGHC．∴GH=BC=AB；BG=CH；∵∠HGF+∠AGE=90°；∠BAE+∠AGE=90°；∴∠BAE=∠HGF．∵∠ABE=∠CHG=90°；AB=GH；∴△ABE≌△GHF．∴BE=FH=FC+CH=FC+BG．11．解：延长DC至N；使CN=AE；连接BN；则△ABE与△CBN全等．∴∠ABE=∠CBN；BE=BN；∵四边形ABCD为正方形；∴CD∥AB．∴∠NFB=∠ABF；∵∠ABF=∠ABE+∠EBF；∠NBF=∠NBC+∠CBF；∠EBF=∠FBC；∴∠NBF=∠NFB；∴BN=NF=CN+CF；∴BE=AE+CF．二、课外演练1．D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分；但不一定相等．2．B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半．3．B 点拨：由矩形是中心对称图形；对称中心为O；则S△EOB=S△FOD．4．C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分．5．60°点拨：菱形的一条对角线与两边组成一个等边三角形．6．解：在矩形ABCD中；OA=OB=OD；∵△AOD的周长比△AOB的周长大8；则AD-AB=8 ①；又∵2（AD+AB）=80 ②；解①②得 AD=24；AB=16．∴S矩形ABCD=24×16=384（cm2）．点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分．7．B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60°时；一定有等边三角形．8．B 点拨：S矩形=20×30=600；S△ABC =12×600=300．9．D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角；•而角平分线上的点到角两边的距离相等；因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点．10．B 点拨：由∠DAE=3∠BAE；得∠°；∴∠°．∵OA=OB；∴∠OAB=∠°；∴∠EAC=∠OAB-∠°°=45°．11．36或42 点拨：矩形的宽可能是5cm或8cm．12．6cm 点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．13．52点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得．14．0．1 点拨：S△ABP +S△DCP =S△ADP +S△BCP =12S正方形ABCD．15．A 点拨：由正方形可得△AOF和△BOE是旋转对称图形；所以S阴=S△AOB =14S正方形ABCD．16．24 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积；解法二：阴影部分为平行四边形；S BEDF =BE·AD=2×12=24（cm）2．17．解：根据勾股定理；由图易得a2+b2=13；①正方形EFGH的边长为b-a；∴（b-a）2=1．即b2+a2-2ab=1．②把①代入②得 2ab=12而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25．18．如图19．解：由勾股定理得S A+S B+S C+S D=S最大正方形=49．20．解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合；三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上；则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．（2）此时共有2个友好矩形；如图的BCAD、ABEF；易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍；∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．（2）题 (3)题（3）此时共有3个友好矩形；如图的BCDE、CAFG及ABHK；其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知；这三个矩形的面积相等；令其为S；设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3．△ABC的边长BC=a；CA=b；AB=c；则L1=2Sa+2a；L2=2Sb+2b；L3=2Sc+2c；∴L1-L2=（2Sa+2a）-（2Sb+2b）=2（a-b）·ab Sab；而ab>S；a>b．∴L1-L2>0；即L1>L2；同理可得L2>L3．∴L3最小；即矩形ABHK的周长最小．点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决．。
【沪科版】八年级数学下册19.3矩形菱形正方形课后拓展练习同步作业(含答案)
19.3矩形、菱形、正方形1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是 .2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 3．（08贵阳市）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ °9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分）11．如图4在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E＋∠F ＝( )A ．110°B ．30° C．50°D ．70°12．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等13．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， 点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm14．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8B ．6C ．4D ．315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( ) A ．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D ．①③④⑤16．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是 直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长 是 ( ) A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm（6） E A F D CBHG17、（08甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°18、（08哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。
矩形、菱形、正方形精讲精练(含答案)-
矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。
一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。
（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。
解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。
例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。
证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。
八年级数学下册 第9章 9.4 矩形、菱形、正方形同步练习(含解析)苏科版(2021-2022学年)
第9章9.4矩形、菱形、正方形一、单选题(共12题；共２4分）1、下面说法中,正确的是( )A、有一个角是直角的四边形是矩形B、两条对角线相等的四边形是矩形ﻫC、两条对角线互相垂直的四边形是矩形ﻫD、四个角都是直角的四边形是矩形２、在▱ABCD中增加下列条件中的一个,这个四边形就是矩形,则增加的条件是（ )A、对角线互相平分ﻫB、AB＝ＢCＣ、∠A+∠Ｃ＝18０°ﻫD、AＢ= AC3、检查一个门框是矩形的方法是( ）A、测量两条对角线是否相等ﻫB、测量有三个角是直角ﻫＣ、测量两条对角线是否互相平分ﻫＤ、测量两条对角线是否互相垂直４、在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是( ）A、长方形ﻫＢ、平行四边形C、菱形ﻫＤ、直角梯形5、如图，矩形ABCＤ对角线相交于点O，∠AOB＝6０°,AB=４，则AC的为（）ﻫＡ、４ﻫB、8ﻫＣ、4 ﻫD、106、如图,菱形ABCD中，∠BAD＝12０°．若△ABC的周长是15,则菱形ABＣＤ的周长是( ）A、2５ﻫB、20C、１5D、1０7、如图,以正方形AＢＣD的一边向形外作等边△ABE，BＤ与EC交于点F,则∠ＡFD等于（)A、60°ﻫB、50°Ｃ、45°Ｄ、4０°8、如图,将矩形ABCD分成１5个大小相等的正方形，Ｅ、Ｆ、G、Ｈ分别在ＡD、AB、BC、ＣD边上，且都是某个小正方形的顶点,若四边形EＦＧH的面积为1,则矩形ＡBCＤ的面积为（)A、２B、３ﻫＣ、ﻫＤ、9、如图，在矩形ABＣD中，若AC＝2ＡB,则∠ＡOB的大小是（）A、３０°ﻫB、4５°ﻬC、6０°D、90°１0、如图,四边形ＡBCD的四边相等,且面积为120cm2，对角线ＡＣ＝２４cm,则四边形AＢCD的周长为( )A、52cmﻫＢ、40cmＣ、３9cｍﻫD、２6cｍ11、在直线L上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、２、3，正放置的四个正方形的面积依次是Ｓ1、S2、Ｓ３、S4，则S１+2S２＋2Ｓ3+S4＝( ）A、５B、4C、6D、1012、八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为( ）A、ﻫB、y= x+C、ﻫD、二、填空题(共６题;共7分）ﻬ１３、如图,平行四边形ABCＤ的对角线AC，ＢD交于点Ｏ,△AＯＤ是正三角形,AD=4,则平行四边形ABCＤ的面积为＿_＿_＿___．1４、如图,两条宽度为1的带子，相交成∠α,那么重叠部分（阴影部分)的面积是_＿__＿_＿_. 15、如图，ＢF平行于正方形ABCD的对角线AC,点E在BF上,且AE＝AC,CF∥AE，则∠BCF的度数为________．16、在四边形AＢCD中,∠Ａ＝∠B＝∠C=∠D,则四边形ＡBＣD是___＿____.17、一组邻边相等的＿_____＿＿是正方形，有一个角是___＿_＿__角的菱形是正方形.1８、如图,在菱形ＡBCD中，对角线AＣ与ＢD相交于点O，OE⊥AB,垂足为Ｅ点,若∠ＡDC=130°,ﻫ则∠AOE=＿____＿__．三、解答题(共5题；共25分)19、如图,△ＡＢC中,∠C=９０°,∠BAＣ、∠AＢＣ的平分线相交于点D,DE⊥BC，ＤＦ⊥AC,垂足分别为E、F．问四边形ＣFDE是正方形吗?请说明理由．2０、如图所示,在Rt△AＢＣ中,CＦ为直角的平分线,ＦＤ⊥CA于Ｄ,FE⊥BＣ于E，则四边形ＣDFE是怎样的四边形,为什么？21、如图所示,四边形EFＧＨ是由矩形ABCD的外角平分线围成的. 求证：四边形EFＧH是正方形．2２、如图,在△ABC中,AＢ=ＡＣ，Ｄ为边BＣ上一点，以AB、BＤ为邻边作平行四边形ＡＢDE ,连接AD、EC. 若BＤ＝ＣＤ , 求证:四边形ADCE是矩形.ﻫ２3、正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．答案解析部分一、单选题１、【答案】D【考点】矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形,故错误； B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误;C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，故选D.【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．２、【答案】C【考点】矩形的判定【解析】【解答】解:根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°故∠B＝∠C＝９0°ﻫ增加的条件是∠A+∠Ｃ＝1８0°．故选C.ﻫ【分析】根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形）.3、【答案】B ﻫ【考点】矩形的判定ﻫ【解析】【解答】解:∵有三个角是直角的四边形是矩形, ∴检查一个门框是矩形的方法是:测量有三个角是直角．∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴检查一个门框是矩形的另一个方法是:先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其对角线的是否相等.故选B.【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形,可求得答案．4、【答案】Ｃﻫ【考点】平行四边形的性质，菱形的性质,矩形的性质,直角梯形ﻫ【解析】【解答】解:菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直. 故选:C.ﻫ【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．5、【答案】B ﻫ【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质【解析】【解答】∵矩形ABCＤ,ﻫ∴AC=BD,AC=2OA＝2ＯＢﻫ∵∠AOB=60度，ﻫ∴△AOB是等边三角形，∴OA=ＡB＝4,则AC＝2OA=８.故选B。
百色市中考《第20课时：矩形、菱形、正方形》同步练习含答案
第20课时 矩形、菱形、正方形(时间：45分钟)1．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6 cm ，则AB 的长是( A )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm,第2题图) ,第3题图)3．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为( D )A ．5B ．4C .342D .34 4．(2012·百色中考)如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是( D )A ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是矩形B ．当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形C ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形D ．当∠DAB ＝90°时，四边形ABCD 是正方形,第4题图),第5题图) 5．(2015·桂林中考)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠ABD ＝30°，则菱形ABCD 的面积是( B )A ．18B ．18 3C ．36D ．36 3 6．(2018·贵阳中考)如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF ＝3，那么菱形ABCD 的周长为( A )A ．24B ．18C ．12D ．9,第6题图),第7题图) 7．(2018·大连中考)如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB ＝5，AC ＝6，则BD 的长是( A )A ．8B ．7C ．4D ．3 8．(2016·河池中考)如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是( B )A ．AB ＝BC B ．AC ＝BCC ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°,第8题图) ,第9题图)9．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( A )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°10．(2018·湖州中考)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是__2__．,第10题图) ,第11题图)11．(2018·葫芦岛中考)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的标为(2，3)，则点C 的坐标为__(2，－3)__．12．(2018·徐州中考)若菱形两条对角线的长分别是6 cm 和8 cm ，则其面积为__24__cm 2__.13．如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在边BC 和CD 上，则∠AEB ＝__75__度．14．(2016·贺州中考)如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若AB ＝3，∠DCF ＝30°，求四边形AECF 的面积．(结果保留根号)(1)证明：∵O 是AC 的中点，且EF ⊥AC ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC.∵四边形ABCD 是矩形，∴A D ∥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO.在△AOF 和△COE 中，∵⎩⎨⎧∠AFO ＝∠CEO ，∠AOF ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOF ≌△COE(AAS)， ∴AF ＝CE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝ 3.在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD CF，∠DCF ＝30°， ∴CF ＝CD cos 30°＝2. ∵四边形AECF 是菱形，∴CE ＝CF ＝2，∴四边形AECF 是的面积为EC·AB ＝2 3.15．(2017·河池中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，E 是BC 的中点，AE ⊥BD 于点F ，则CF 的长是．,第15题图) ,第16题图)16．(2018·贺州中考)如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE ＝8，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD ，CD 于G ，F 两点，若点P ，Q 分别为DG ，CE 的中点，则PQ 的长为．17．(2018·玉林中考)如图，在▱ABCD 中，DC ＞AD ，四个角的平分线AE ，DE ，BF ，CF 的交点分别是E ，F ，过点E ，F 分别作DC 与AB 间的垂线MM′与NN′，在DC 与AB 上的垂足分别是M ，N 与M′，N ′，连接EF.(1)求证：四边形EFNM 是矩形；(2)已知：AE ＝4，DE ＝3，DC ＝9，求EF 的长．(1)证明：过点E ，F 分别作AD ，BC 边上的垂线，垂足分别是G ，H.∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB ，∴EG ＝EM ，EG ＝EM′，∴EG ＝ME ＝EM′＝12MM′. 同理，FH ＝FN ＝FN′＝12NN′. ∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ，∴MM ′＝NN′，∴ME ＝FN ＝EG ＝FH.又∵MM′∥NN′，MM ′⊥CD ，∴四边形EFNM 是矩形；(2)解：∵DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°.∵∠3＝12∠CDA ，∠2＝12∠DAB ， ∴∠3＋∠2＝90°，∴∠AED ＝90°.在Rt △DEA ，∵AE ＝4，DE ＝3，∴AD ＝32＋42＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＝∠DCB.又∵∠2＝12∠DAB ，∠5＝12∠DCB ，∴∠2＝∠5. 由(1)知EG ＝FN ，又∵∠EGA ＝∠FNC ＝90°，∴△EGA ≌△FNC(AAS)，∴AG ＝CN. 在Rt △DME 和Rt △DGE 中， ∵DE ＝DE ，EM ＝EG ，∴Rt △DME ≌Rt △DGE(HL)， ∴DG ＝DM ，∴DM ＋CN ＝DG ＋AG ＝AD ＝5， ∴MN ＝DC －DM －CN ＝9－5＝4. ∵四边形EFNM 是矩形，∴EF ＝MN ＝4.。
八下 平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形练习含答案 含答案
一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．B．C．﹣D．2﹣8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD 上，则AP+PQ的最小值为（）A．2B．C．2D．310．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9二、填空题17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．19．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF 沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．21．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．三．解答题：1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD 沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA 的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．一．选择题1．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．4．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°， ∵a ∥b ， ∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5， ∴∠2=90°﹣30°=60°． 故选C ．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2016•宜宾）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF 求得答案． 【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB•BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10， ∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24， ∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×5×PE +×5×PF=（PE +PF ）=12，解得：PE +PF=4.8． 故选：A ．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．（2016•资阳）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．2﹣【分析】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ，则△GCP 为直角三角形，证明四边形OGCM 为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP 的值，再由梯形的中位线定理CM +DN=2GP ，即可得出答案．【解答】解：延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示： 则CP=DP=CD=，△GCP 为直角三角形，∵四边形EFGH 是菱形，∠EHG=120°， ∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG ⊥FH ， ∴OG=GH•sin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM ，∠MOG=∠MCG ，∴PG==，∵OG ∥CM ，∴∠MOG +∠OMC=180°，∴∠MCG +∠OMC=180°，∴OM ∥CG ，∴四边形OGCM 为平行四边形，∵OM=CM ，∴四边形OGCM 为菱形，∴CM=OG=，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN +CM=2PG=，∴DN=﹣； 故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．8．（2016•眉山）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等；③可证明∠CDE=∠DFE；④可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO≠BM，故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△AOE ：S△BCM=2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9．（2016•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD 的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故选D．【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．10．（2016•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．17．（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．18．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．19．（2016•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．（2016•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根=BC•FG即可解决问题．据2•S△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，=BC•FG，∴2•S△ABC∴2××（6）2=6•FG，∴FG=3．故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．21．（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．22．（2016•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．23．（2016•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 2a．【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案为：2a．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．1．（2016•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2016•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2016•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．。
第二节 矩形、菱形、正方形(含答案)...八年级数学 学而思
第二节矩形、菱形、正方形1. 矩形(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)性质：①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称‘图形．(3)判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形．2.菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；⑤菱形的面积等于底乘以高，或者等于对角线乘积的一半．(3)菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形．3．正方形(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．(2)性质：①边：对边平行，四条边都相等；②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角：④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 4. 直角三角形斜边中线线等于斜边一半 5. 对角线互相垂直的四边形的性质 ①面积是对角线乘积的一半：,21S BD AC ABCD ⋅=四边形如图8-2-1所示， ②对边平方和相等：,2222AD BC CD AB +=+如图8-2-1所示．1. 平行四边形和特殊平行四边形的区别与联系(1)矩形的特殊性：①对角线相等②四个角均为ο90(2)菱形的特殊性：①对角线互相垂直且平分对角②四条边相等2．对称性矩形、菱形、正方形除了有平行四边形中心对称的性质，还有特殊的 轴对称性3．矩形中会得到两个直角三角形的性质 (1)直角三角形斜边中线等于斜边一半 (2)直角三角形中ο30所对边为斜边一半．4．区别菱形和筝形均为轴对称图形，但筝形四条边两两相等，菱形四条边都相等． 5．正方形具有中心对称性和 轴对称性例1．（山东菏泽中考）在OABCD 中，,4,3==BC AB 当口ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( );5=AC ①;180ο=∠+∠C A ②;BD AC ⊥③.BD AC =④①②③.A ①②④.B ②③④.C ①③④.D128--检测1.如图8-2-2所示，平行四边形ABCD 中，DQ CN BN AQ ,,,分别是,DAB ∠CDA BCD ABC ∠∠∠,,的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．例2.(新疆中考)如图8-2-3所示．口ABCD 中．,60,1,2ο=∠==ADC AD AB 将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D 处，折痕交CD 边于点E.(1)求证：四边形BCED 是菱形；(2)若点P 是直线L 上的一个动点，请计算PB PD +的最小值，228-- 328-- 428--检测2.（哈尔滨中考）如图8-2-4所示，在菱形ABCD 中．,120ο=∠BAD 点E ，F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ．且点G 在边AD 上，若,26,=⊥AB AC EG 则FG 的长为 例3．（四川雅安中考）如图8-2-5所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：,DF BE =①,15ο=∠DAF ②③AC 垂直平分EF ．+BE ④,FF DF =⋅=∆∆ABE CEF S 2S ⑤其中正确结论有( )A.2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个528-- 628--检测3.（云南昆明中考）如图8-2-6所示，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作,//AD EF与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接.,,,FH DH FH DE 下列结论：;DF EG =①;180ο=∠+∠ADH AEH ②;DHC EHF ∆≅∆③④若,32=AB AE 则,S 13S 3DHC EDH ∆∆=其中结论正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二节 矩形、菱形、正方形（建议用时：30分钟）实战演练1．如图8-2-1所示，在一个3×3方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )A ．13个B ．14个C ．18个D ．20个2．如图8-2-2所示，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若,33ο+∠=∠NBC MCB 那么∠MPA 的大小是( )ο33.A ο66.B ο45.C ο78.D128-- 228-- 328--3．（广东深圳中考）如图8-2-3所示，,90,ο=∠=ACB CA CB 点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作,CA FG ⊥交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：;FG AC =①;2:1S :S .C =∆BFG FAB 四边形②.ABF ABC ∠=∠③其中正确的个数是( )0.A 1.B 2.C 3.D4．如图8-2-4所示，过正方形ABCD 的顶点B 作,//CA BE 且作AC AE =又,//AE CF 则下列等式成立的是( )AEB BCF A ∠=∠21. AEB BCF B ∠=∠31..51.CAE BCF C ∠=∠ BFC BCF D ∠=∠. 5．如图8-2-5所示，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，如果,5=DE 那么四边形ABED 的面积是428-- 528-- 628--6．如图8-2-6所示，四边形ABCD 为正方形，AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则=∠AFD 度． 7．如图8-2-7所示，点P 在正方形ABCD 外，APB PB ∆=,10的面积为BPC ∆,60的面积为30．则正方形ABCD 的面积为 8．（广东广州中考）如图8-2-8所示，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转ο45得到△DGH ，HG 交AB 于点E ．连接DE 交AC 于点F ．连接FG ．则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；;GED AED ∆≅∆②;5.112ο=∠DFG ③.5.1=+FG BC ④其中正确的结论是（ ）728-- 828--9．（江苏南通中考）如图8-2-9所示，将DABCD 的边AB 延长到点E ，使,AB BE =连接DE ，交边BC 于点F. (1)求证：;CDF BEF ∆≅∆ (2)连接BD ，CE ，若.2A BFD ∠=∠ 求证：四边形BECD 是矩形．928--10.如图8-2 - 10所示，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD 与CE 交于点F. AF 与BE 交于点G.请你根据图形判断AF 与BE 的位置具有什么关系？并给予证明．1028--11．如图8 -2 - 11所示，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0，延长BA 到E ，使=AE ,21AB 连接OE ，延长DE交CA 的延长线于F.求证：DF OE 21=1128--12．（北京通州二模）如图8 -2 -12所示，在菱形ABCD 中，,60ο=∠ADC 点F 为CD 上任意一点（不与C ，D 重合），过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE. (1)①依题意补全图8 -2 -12；②线段EF ，CF ，AE 之间的等量关系是(2)在图8-2 - 12中将△DEF 绕点D 逆时针旋转，当点C E F ,,在一条直线上时（如图8-2 -13所示），线段EF ，CE ．AE 之间的等量关系是写出判断线段EF ，CE ，AE 之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）1228-- 1328--拓展创新13.（四川内江中考）如图8-2 -14所示，菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M ，N 分别是边BC ．CD 的中点，P是对角线BD 上一点，则PM+ PN 的最小值为 ．14218-- 1528--拓展1．如图8 -2 -15所示，在菱形ABCD 中，E a AB ,4=在BC 上，=∠=BAD a BE ,2P ,120ο点在BD 上，则PC PE +的最小值为拓展2．在边长为12的正方形ABCD 中，点P O N M ,,,分别在边DA CD BC AB ,,,上，如果,3,AP DP BM AM ==则OP NO MN ++的最小值是极限挑战14.（江苏竞赛）如图8-2 -16所示，正方形ABCD 中，E ．F 分别是BC ．CD 边上的点，AE ，AF BF DE ,,把正方形分成8小块，各小块的面积分别为,S ,,S ,S 821Λ试比较3S 与872S S S ++的大小，并说明理由．1628--答案。
八年级数学苏科版下册课时练第9单元 《9.4矩形、菱形、正方形 》(含答案解析)(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练9.4矩形菱形正方形一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为()A.115°B.120°C.130°D.140°3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有()A.2对B.3对C.4对D.5对4.如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对5.如图，从边长为(a＋4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)的正方形(a＞0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为()A.2a＋5B.2a＋8C.2a＋3D.2a＋26.下列三个命题中，是真命题的有()①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形.A.3个B.2个C.1个D.0个7.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是()A.OM＝12AC B.MB＝MO C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND8.下列关于矩形的说法中正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分9.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()A.23B.33C.4D.4310.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是()A.2B.4C.2D.22二、填空题11.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．12.如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有(填写序号)．13.将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF＝70°，则∠AED ＝．14.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．15.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．16.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为.三、解答题17.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．(1)求证：四边形DEFC是矩形；(2)请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹，不写作法)．19.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1＝∠2．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BOC＝120°，AB＝4cm，求四边形ABCD的面积．20.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB＝32cm，BC＝40cm，求CE的长.21.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．答案1.B2.A.3.C4.C5.A.6.B.7.A.8.B.9.A.10.D11.EB＝DC．12.①④.13.55°．14.3．15. 2.5．16.10.17.证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．18.证明：(1)∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴DE∥FC，EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∵∠DCF＝90°，∴四边形DEFC是矩形．(2)连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．19.证明：(1)∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，即2BO＝2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝OD，∴AC＝2CO，BD＝2BO，∴AC＝BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：在△BOC中，∵∠BOC＝120°，∴∠1＝∠2＝(180°﹣120°)÷2＝30°，∴在Rt△ABC中，AC＝2AB＝2×4＝8(cm)，∴BC＝43(cm)．∴四边形ABCD的面积＝163cm2．20.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝40cm，DC＝AB＝32cm；∠B＝90°，由题意得：AF＝AD＝40cm；DE＝EF(设为x)，EC＝40﹣x；由勾股定理得：BF2＝402﹣322＝576，∴BF＝24，CF＝40﹣24＝16；由勾股定理得：x2＝162＋(40﹣x)2，解得：x＝23.2，∴EC＝32﹣23.2＝8.8.21.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，由折叠的性质得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠GAF，又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，在△ABE和△AGF中，∠BEA＝∠GFA，∠BAE＝∠GAF，AB＝AG，∴△ABE≌△AGF(AAS)；(2)根据折叠的性质可得AE＝EC，设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得62＋x2＝(8﹣x)2，解得：x＝74，则S△ABE ＝12AB•BE＝12×6×74＝214．。
2020-2021学年八年级数学苏科版下册9.4矩形、菱形、正方形同步提升训练(附答案)
2020-2021年度苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形同步提升训练（附答案）1．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．42．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（）A．10B．15C．20D．254．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12B．10C．8D．65．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD ＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．66．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（）A．①②④B．①②C．②③④D．①③④7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°8．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣，2）D．（﹣1，）11．已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为．12．如图所示，在边长为6的正方形ABCD外以CD为边作等腰直角△CDE，连接BE，交CD于点F，则CF＝．13．菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是．14．如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝°．15．如图，E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，CE与DF交于N，连接AM，AN，MN对于下列四个结论：①AM∥CE；②DF⊥CE；③AN＝BC；④∠AND＝∠CMN．其中正确的是.（填序号）16．已知矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一边于点E，若BD＝6，∠EBD＝15°，则线段AB的长为．17．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF＝1，AE，BF交于点P，连接PD，则△APD的面积为．18．已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，点E为BC边上一点，若△ADE为等腰三角形，则△ADE顶角的度数为．19．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且CH＝4，则EG的长是．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为．21．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为．22．如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．24．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．25．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE＝BF．求证：∠ACF＝∠DBE．26．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）若AC＝6，求AB的长．27．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．28．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD AD＝AD2＝4，∴AD＝2（负值舍去），则菱形的边长为2．故选：A．2．解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠CBF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，故选：C．3．解：如图所示：由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，∴四边形ABCD平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝AB＝AD，设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CD＝，∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；故选：D．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，∴CE＝CF，故①正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，故②正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，故③错误；∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，∴AC⊥EF，EG＝FG，∴AG＝AE•sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，∴AC＝AG+CG＝+1；故④正确．所以其中正确的序号是：①②④．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4cm，故选：B．9．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．10．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，∵B（1，3），∴DE＝3，BF＝1，设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，∵四边形ABCO为正方形，∴∠BCO＝90°，CB＝CO，∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠OCD＝∠CBE，在△OCD和△CBE中，∴△OCD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，OD＝CE，即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，∴m＝﹣1，n＝2，∴C点坐标为（﹣1，2）．故选：A．11．解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴DF＝CE，在△DCE与△ADF中，，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′＝2AB＝4，此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝2，故AE+AF的最小值为2．故答案为：2．12．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45°，CE＝CD，∴∠ECG＝45°，∴sin∠ECG＝＝，∴EG＝CD，∴CG＝EG＝CD，∴BG＝BC+CG＝CD，∴CF＝CD，又∵CD＝6，∴CF＝2，故答案为2．13．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝AC＝5，OB＝BD，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AB＝13，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB＝＝＝12，∴BD＝2OB＝24．故答案为：24．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+52°＝142°，∴∠DAE＝19°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF＝19°，故答案为：19．15．解：∵E，F，M分别是正方形ABCD三边的中点，∴AE＝BE＝BF＝CF＝DM＝CM，CD∥AB，∴四边形AMCE是平行四边形，∴AM∥CE，故①正确；在△DCF和△CBE中，，∴△DCF≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠CDF，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠CDF+∠DCN＝90°，∴∠CND＝90°，∴DF⊥CE，故②正确；∵DF⊥CE，DM＝CM，∴DM＝MN＝CM，∵AM∥CE，∴AM⊥DN，∴AM垂直平分DN，∴AD＝AN，∴AN＝BC，故③正确；∵AN＝BC，∴∠ADN＝∠AND，∵DM＝MN＝CM，∴∠DNM＝∠NDM，∠MCN＝∠MNC，∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠CDN+∠DCN＝90°，∴∠ADN＝∠DCN＝∠AND＝∠CNM，故④错误，故答案为：①②③．16．解：有两种情况：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，①当E在AD上时，如图1，∵∠EBD＝15°，∴∠DBC＝45°﹣15°＝30°，∴CD＝BD＝3，即AB＝CD＝3；②当E在CD上时，如图2，∵∠EBD＝15°，∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴AD＝BD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝3．故答案为：3或．17．解：如图，过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABP＝90°，∴∠BAE+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BF，∴∠APB＝∠FP A＝90°，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝CF＝1，∴AE＝＝＝，∴cos∠BAP＝＝，即＝，∴AP＝，∵PH⊥AD，∴PH＝，∴△APD的面积为：AD•PH＝3×＝．故答案为：．18．解：分三种情况：①如图所示，当AE＝DE时，∵AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE≌△DCE（HL），∴BE＝CE＝BC＝AD＝AB＝CD，∴△ABE，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°；②如图所示，当AE＝AD时，∵AD＝2AB，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°；③当AD＝ED时，同理可得∠ADE＝30°；综上所述，△ADE顶角的度数为30°或90°．故答案为：30°或90°．19．解：连接CE、CG，如图所示：∵四边形ACDE与四边形BCFG均是菱形，∴∠DCE＝∠ACD，∠FCG＝∠BCF，∵∠ACD+∠BCF＝180°，∴∠DCE+∠FCG＝（∠ACD+∠BCF）＝×180°＝90°，即∠ECG＝90°，∵H是EG的中点，CH＝4，∴EG＝2CH＝8故答案为：8．20．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，∵在Rt△ACF中，∠CF A＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，解得：CF＝12．故答案是：12．21．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE＝BA＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故答案为：22.5°．22．证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．23．1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°，∵CD＝AD＝6，∴CF＝CD＝3，∵四边形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3．24．1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．25．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF，∴∠ABE＝∠BCF，∴∠ACF＝∠DBE．26．1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）解：连接OB，如图所示：∵BF＝BE，OE＝OF，∴BO⊥EF，由（1）知，△AOE≌△COF，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴BO＝AC＝OA，∴∠BAC＝∠OBA，又∠BEF＝2∠BAC，∴∠BEF＝2∠OBE，而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝3，∴AB＝＝9．27．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．28．1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，则EF＝5．。
2020-2021学年苏科版八年级下册数学9.4矩形、菱形、正方形 同步练习 (含解析)
9.4矩形、菱形、正方形同步练习一．选择题1．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的面积等于对角线乘积的一半D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE长（）A．B．2﹣2C．2﹣D．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2B．C．3D．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°7．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD ＝100°时，则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．9．如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（）A．100°B．70°C．50°D．20°10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD 的面积是．12．如图，正方形ABCD边长为2，点P在BC边上，DP交AC于点E，∠ADE＝∠AED，则BP的长度是．13．如图，点E为正方形ABCD外一点，ED＝CD，AE与BD相交于点F．若∠CDE＝52°，则∠DCF＝°．14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝．15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．18．已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．（1）如图1，求证：AB＝AF；（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．参考答案一．选择题1．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意；C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，正确；故不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项错误，故符合题意．故选：D．2．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，∵∠DCE＝45°，∴DE＝DC＝2，∴EC＝2，∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝45°，∵EB平分∠AEC，∴∠BEC＝∠AEB＝∠AEC＝，∴∠EBC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠BEC＝∠EBC，∴BC＝CE＝2，∴AD＝BC＝2，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．5．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG＝，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故选：C．6．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，∵△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE，或AB＝BE，当AE＝BE时，∴∠ABE＝∠BAE＝40°，∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，故选：C．7．解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，在△BCF和△DCF中，∵，∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：B．8．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝55°，∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，∴55°≤∠BEC≤90°，故选：B．10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴AB＝2，BC＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积是：2×2＝4，故答案为：4．12．解：∵正方形ABCD，边长为2，∴AD∥BC，AC＝2，∴∠ADE＝∠DPC，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝2，∠DPC＝∠AED＝∠CEP，∴CP＝CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∴BP＝BC﹣CP＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2．故答案为：4﹣2．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+52°＝142°，∴∠DAE＝19°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF＝19°，故答案为：19．14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM⊥CF 于M，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠G，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，∴∠G＝∠ECF，∴EC＝EG，∴∠ECG是等腰三角形，∴CM＝MG，∵CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形，∵EM⊥CF，FH⊥CE，∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，∴EM＝FH＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），∴CM＝CD＝，∴CG＝5，Rt△CBG中，BG＝＝＝3，设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，解得：x＝，∴BE＝．故答案为：．15．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，∵点G为HD的中点，∴HG＝DG，∵∠MGD＝∠CGH，∴△MGD≌△CGH（ASA），∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，∵F，G分别为CE和CM的中点，∴FG是△CEM的中位线，∴FG＝EM，∴EM＝2FG＝4，∵E，M分别为AB和AD的中点，∴AE＝AM，∵∠A＝120°，∴EM＝AE＝4，∴AE＝4，∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE＝BC，∴AD＝DE，在△ADF和△DEC中，，∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝AB；（2）AD，BC，DE的长度等于AB，理由如下：∵△ADF≌△DEC，∴CE＝DF，∴BE＝EF，∵BE＝DF，∴BE＝EC＝DF＝EF，∴DE＝2EC，∵DE2＝EC2+CD2，∴DE＝AB，∴AD＝BC＝DE＝AB．。
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练
2020-2021年度苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练（附答案）1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（）A．B．C．D．4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE＝45°，则AE 长（）A．B．2﹣2C．2﹣D．25．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线垂直C．邻边垂直D．邻角互补6．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）A．20B．22C．24D．267．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．2或8B．或18C．或2D．2或188．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD 于点E，则BE：ED等于（）A．1：3B．1：4C．2：3D．2：59．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.510．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．211．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥CA，交BD的延长线于点E，若AB＝2，BC＝4，则DE的长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则∠AEC＝．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为．14．在长方形ABCD中，AB＝，BC＝4，CE＝CF，延长AB至点E，连接CE，CF平分∠ECD，则BE＝．15．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．16．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．17．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．20．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO 的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．22．在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝6，点M是边BC上的一点．（1）如图1，在边CD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，使点C落在边AD上，记为点P．若DP＝1，求CN的长；（2）如图2，在边AD上取一点N，将纸片沿直线MN折叠，当点C′与点A重合时，求DN的长．23．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．25．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．26．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．27．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．28．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．故选：B．2．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，∴BO＝DO，EF⊥BD，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴EO＝FO，∵BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，∴BD＝13，设DE＝x，则AE＝12﹣x，在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，即52+（12﹣x）2＝x2，∴x＝，∴BE＝DE＝，在Rt△BEO中，OE＝，∴EF＝2EO＝，∴菱形BEDF的面积＝，故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠D＝∠DCB＝90°，∵∠DCE＝45°，∴DE＝DC＝2，∴EC＝2，∵∠DCE＝45°，∴∠DEC＝45°，∵EB平分∠AEC，∴∠AEC＝∠AEC＝，∴∠BEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AEB＝∠BEC，∴BC＝CE＝2，∴AD＝BC＝2，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣2，故选：B．5．解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝＝＝4，则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．故选：B．7．解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°，∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线，∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AE⊥BD，∴BE＝OE＝OB，∴ED＝3BE，∴＝，故选：A．9．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．10．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，∵正方形ABCD的边长为2，∴OA＝AC＝＝．故选：C．11．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴OD＝OC＝，∵S△ADC＝×AD×DC＝×AC×DH，∴2×4＝2×DH，∴DH＝，∴OH＝＝＝，∴HC＝﹣＝，∵CE⊥CA，DH⊥CA，∴CE∥DH，∴DE＝．12．解：如图1，当正方形ABDE在AB的右侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝50°，∴∠AEC＝65°；如图2，当正方形ABDE在AB的左侧时，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴AC＝AE，∠CAE＝130°，∴∠AEC＝25°，综上所述：∠AEC＝25°或65°，故答案为：25°或65°．13．解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴AD∥BC，∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，∵点G为HD的中点，∴HG＝DG，∵∠MGD＝∠CGH，∴△MGD≌△CGH（ASA），∴MG＝CG，MD＝CH＝BC＝AD，∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，∵F，G分别为CE和CM的中点，∴FG是△CEM的中位线，∴FG＝EM，∴EM＝2FG＝4，∵E，M分别为AB和AD的中点，∴AE＝AM，∵∠A＝120°，∴EM＝AE＝4，∴AE＝4，∴AB＝2AE＝8．故答案为：8．14．解：如图，延长CF，BA交于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于H，过点E作EM ⊥CF于M，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝，BC＝4，∴AB∥CD，AB＝CD＝，∠D＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠G，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE，FH＝DF，∴∠G＝∠ECF，∴EC＝EG，∴∠ECG是等腰三角形，∴CM＝MG，∵CE＝CF，∴△ECF是等腰三角形，∵EM⊥CF，FH⊥CE，∴EM和FH是等腰三角形腰上的高，∴EM＝FH＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△CME（HL），∴CM＝CD＝，∴CG＝5，Rt△CBG中，BG＝＝＝3，设BE＝x，则EC＝EG＝3+x，Rt△CBE中，（3+x）2＝x2+42，解得：x＝，∴BE＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．16．解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．17．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故答案为：139．18．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，故答案为2﹣2．19．解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，∴AB＝2CD＝2×2＝4，故答案为：4．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DE⊥DO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，OA＝DE，OD＝AE，∵四边形AODE的面积为12，∴OA•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2+OD2＝AD2＝25，∴（OA+OD）2＝OA2+2OA•OD+OD2＝25+24＝49，∴OA+OD＝7，∴四边形AODE的周长为2（OA+OD）＝14．22．解：（1）矩形ABCD中，AB＝DC＝2，AD＝BC＝6，∠BAC＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ＝90°，设CN＝x，则DN＝CD﹣CN＝2﹣x，由折叠可得，PN＝CN＝x，在Rt△PDN中，DP2+DN2＝PN2，即12+（2﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CN＝；（2）当点C'与点A重合时，设DN＝y，则AN＝AD﹣DN＝6﹣y，由折叠可得，D'N＝DN＝y，AD'＝CD＝2，∠AD'N＝∠CDA＝90°，在Rt△AD'N中，AD'2+D'N2＝AN2，即22+y2＝（6﹣y）2，解得：y＝，∴DN＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF＝90°，∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形．24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．25．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．26．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．27．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．28．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。
《9.4矩形、菱形、正方形》同步优生提高训练 苏科版八年级数学下册
2021学年苏科版八年级数学下册《9.4矩形、菱形、正方形》同步优生提高训练（附答案）1．如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为（）A．600cm2B．600cm2C．450cm2D．900cm22．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（）A．24B．12C．4D．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE 垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）A．3B．5C．2.4D．2.54．如图，菱形中，对角线、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA ＝3，则OE的长等于（）A．B．C．5D．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个10．下列说法中，正确的是（）A．当x≠﹣1时，有意义B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6B．3C．8D．612．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF＝4，则BD的长为（）A．16B．8C．4D．813．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．1.2B．1.25C．2.4D．2.514．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．1215．如图，四边形ABCD是正方形，它的四个顶点都在坐标轴上，且正方形边长为8，则点A的坐标为（）A．（8，0）B．（4，0）C．（4，0）D．（8，0）16．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．9C．9D．17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1B．2C．3D．418．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH ＝3，那么CE的长是（）A．3B．4C．D．19．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE+DF＝AF+DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④21．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．22．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）23．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．24．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在线段AB，AD上，EG∥BC，FH∥DC，点G，H分别在线段CD，BC上，EG和FH相交于点P，BE＝DF．（1）求证：四边形HCGP是菱形．（2）若四边形BHPE是菱形，求证：点E是线段AB的中点．26．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AF＝CF，说明四边形AFCE为菱形．28．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GE＝AO．29．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC＝60°，AB＝2，求AF的长．30．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．（1）求证：EF＝AE+CF；（2）当AE＝1时，求EF的长．参考答案1．解：连接AE，如图所示：∵AE间的距离调节到60cm，木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，∴AC＝AE＝20（cm），∵菱形ABCD的边长为20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴这个活动衣帽架所围成的面积为：3S菱形ABCD＝3×2S△ABC＝3×2×AC2＝×202＝600（cm2），故选：B．2．解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝12，∴AO＝CO＝BO＝DO，∵BE＝DF＝8，∴BF＝DE＝BD﹣BE＝4，∴OE＝OF，EF＝DF﹣DE＝4，∴四边形AECF是菱形，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×12×4＝24，故选：A．3．解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的长为3．故选：A．4．解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3，∴AC＝2AO＝6，∵菱形ABCD的面积为24，∴＝24，∴BD＝8，DO＝4，又∵AC⊥BD，∴AD＝＝＝5，又∵E为AD边中点，∴OE＝AD＝，故选：A．5．解：∵ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB，故①、②正确；当点E，F分别是AB，AD中点时，由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE＝∠DBG＝30°，∴DG＝BG，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG＝∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故③错误；∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：B．6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴四边形AMCN是菱形．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故选：A．8．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，∴BO＝＝＝2，∴BD＝4，∴四边形ABCD的面积＝＝4，故选：A．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．10．解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴选项C符合题意；D、∵0＜a＜b，若m＝0时，则m2a＝m2b，∴选项D不符合题意；故选：C．11．解：∵BE＝BC，∴点B为CE的中点，∵点F为DE的中点，∴BF为△CDE的中位线，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD为中线，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC＝＝＝6．故选：A．12．解：∵E是OC的中点，BE⊥AC，∴直线BE是线段OC的垂直平分线，∴BO＝BC，∵四边形ABCD为矩形，∴BO＝CO，∴BO＝BC＝CO，∴△OBC为等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO，∠ABC＝∠DAB＝90°，∵OF⊥AB，∴AF＝BF，∴OF为△BAD的中位线，∴AD＝2OF＝8，在Rt△BAD中，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2AD＝16．故选：A．13．解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．14．解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故选：C．15．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝8，设OA＝OB＝x，Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，∴x2+x2＝82，解得x＝4，∴OA＝4，即A（4，0），故选：C．16．解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM的最大值为9，∴AD的最大值为．故选：D．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°，∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，故①正确；∵∠BAE+∠DAF＝30°，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°，故②正确；∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝FG，故③正确；∵∠ECF＝90°，EG＝FG，∴CG＝EF，设EC＝FC＝x，由勾股定理，得EF＝＝x，∴CG＝EF＝x＝CE，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共4个．故选：D．18．解：连接AC，CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．∴∠ACF＝45°×2＝90°．∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝．在Rt△ACF中，CF＝＝．在Rt△ECF中，∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，∴CE＝CF＝＝．故选：D．19．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．20．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠F AD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，∴③正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴④正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：B．21．解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∵四边形ABCD为菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝8﹣m，在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，∴D（5，4）；当AB为菱形的边时，如图2，AB＝＝4，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D（4，4），综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．故答案为（5，4）或（4，4）．22．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故②错误；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；故答案为：①③．23．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．24．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．25．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EG∥BC，FH∥DC，∴四边形HCGP、四边形BCGE、四边形CDFH都是平行四边形，∴BE＝CG，CH＝DF，∵BE＝DF，∴CG＝CH，∴平行四边形HCGP是菱形；（2）由（1）可知，BE＝CG＝CH，∵四边形BHPE是菱形，∴BE＝BH，∴BE＝BH＝CH＝BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴BE＝AB，∴点E是线段AB的中点．26．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．27．（1）证明：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE；（2）说明如下：由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，又∵AF＝CF，∴平行四边形AFCE为菱形．28．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OEA，∵AD2＝OD2+AO2，∴（1+OA）2＝25+AO2，∴AO＝12，∴AC＝24，∴菱形ABCD的面积＝＝120；（2）如图，过点G作GH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，AD＝CD，∠DAC＝∠DCA，∵OE＝OD，∴∠DEO＝∠EDO＝45°，∵GH⊥AC，∴∠HED＝∠HGE＝45°，∴GH＝HE，GE＝GH，设∠DAC＝∠DCA＝x，∴∠EDC＝45°﹣x＝∠GDF，∵AF⊥CF，∴∠FGD＝90°﹣∠GDF＝45°+x，∵∠DAF＝90°﹣2x，∴∠ADC＝180°﹣∠GAD﹣∠AGD＝45°+x，∴∠ADC＝∠AGD，∴AG＝AD，在△AHG和△DOA中，，∴△AHG≌△DOA（AAS），∴GH＝AO，∴GE＝GH＝AO．29．（1）证明：∵BE∥AC，EC∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四边形BOCE是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，∵四边形BOCE是矩形，∴BF＝CF＝BC＝1，∴AF⊥BC，∠BAF＝∠BAC＝30°，∴∠AFB＝90°，∴AF＝BF＝．30．解：（1）证明：延长BC至H，使CH＝AE，连接DH，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．∴△DAE≌△DCH（SAS）．∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°．∴∠FDC+∠CDH＝45°．即∠FDH＝45°．∴∠EDF＝∠FDH＝45°．在△EDF和△HDF中，．∴△EDF≌△HDF（SAS）．∴EF＝FH．∵FH＝FC+CH＝FC+AE，∴EF＝AE+FC．（2）设EF＝x，则FH＝x．∵正方形ABCD的边长为3，∴AB＝BC＝3．∵AE＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x＝．∴EF＝。
人教版数学九年级上册同步练习 第21节矩形菱形正方形
苏科版八年级数学下册9.4 矩形、菱形、正方形(5)能力训练
初二数学9.4 矩形、菱形、正方形（5）能力训练知识点菱形的判定方法（如图）1．从“四边形”的角度考虑∵AB＝_______＝_______＝_______，∴四边形ABCD为菱形( )．2．从“平行四边形”的角度考虑(1)∵在□ABCD中，AB＝_______，∴□ABCD为菱形( )；(2)∵在□ABCD中，_______⊥_______，∴□ABCD为菱形( )．例题精讲例1．如图，在□ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE＝PF，□ABCD是菱形吗？为什么？例2．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．求证：四边形BEDF是菱形．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，那么四边形DEBF是菱形吗？请证明你的结论．例4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H，连接FH．求证：四边形CFHE是菱形．巩固提高1．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误2．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个3．在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（）A．CD=CB B．OB=OD C．OA=OC D．AC⊥BD4．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE 的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．5．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．。