新高二数学联赛班暑假第5讲平几中的定值与最值

合集下载

奥数-第5讲线束定理、相似-联赛班学生版

与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC ACA B B C A C ==''''''. 证明：因为AB A B ''∥，故AB OB OAA B OB OA ==''''．同理可证BC OB B C OB ='''，AC OAA C OA ='''．故AB BC ACA B B C A C ==''''''．特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．二、线段等式：111x y z+=. 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z+=. 证明：由题意可得z CEx CA=，z AE y AC =，则1z zx y +=，即111x y z+=.三、线段等式：111EF AB CD λλλ=+++. 第５讲北京市初二数学竞赛专项训练FE DCBA在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AFEC FDλ==,则有如下等式成立111EF AB CD λλλ=+++．证明：由面积关系有：ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+得到11111sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅(θ为底边和腰BC 的夹角)所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-可化简为CF BF EF AB CD BC BC =+，即111EF AB CD λλλ=+++．这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．【例 1】如图所示，在梯形ABCD 中，O 是底AB 的中点，OC 、OD 分别交对角线BD 、AC 于E 、F ，FE 交AD 、BC 于G 、H ，求证GF FE EH ==.GD FEHOC B A【例 2】如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.板块一：线束定理Q NMP D CBA【例 3】如图所示，在ABC∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB∆和CDA∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD=.PQONMFEDCBA【例 4】如图所示，H是ABC∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH∠=∠．FEHD CBA【例 5】如图所示，AD是ABC∆的外接圆O⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON=.NMPCBDOA【例 6】 (全国初中数学联合竞赛试题) 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ，过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以点O 为圆心、OM 为半径的圆上的一点，求证OPF OEP ∠=∠.F PO E MCBA D板块二：线段等式相关【例 7】 (前苏联数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，已知正七边形127A A A …，证明121314111A A A A A A =+．A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有BK DMKA MC=.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.QPK M DC BA【例 9】如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等于四边形EFHG 的面积的三倍．H DEG FCBA【例 10】（2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：23S m =．A1AF1FE1ED1DC1CB1B习题 1.如图所示，AB是O⊙的直径，PA、PC是O⊙的切线，C是切点，CD AB⊥于D，PB交CD 于E.求证EC ED=.习题 2.如图所示，以线段AB为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD，使2AB AD=，P为半圆上的任意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证222AF BE AB+=.FEPD CBA习题 3. (苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是ABC∆的边BC、AB上的点，AD、CE交于F，BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH NH=.NMHGF E D CB A习题 4. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .BA CD ENM习题 5. 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求证abcAL ab bc ca=++．lLNF DE GBA C两个简单的“悖论”你知道11111111-+-+-+-+等于多少？解：设23111x x x x=-+-++，则当1x =时，有111112=-+-+即1111111112-+-+-+-+=，另解1：11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+=-+-+-+=++++=，即111111110-+-+-+-+= 另解2：1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++=+++=即111111111-+-+-+-+=大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。

平面几何中的定值与最值

平面几何中的定值与最值江苏省泗阳县李口中学沈正中平面几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解平面几何中定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明。

平面几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求平面几何中最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等。

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑、推理与合情想象相结合等思想方法。

下面介绍几例。

【题例1】如图1所示，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关。

【解答】∵ ∠AMK ＝∠C ＝∠CAB ＝∠K ＋∠ABK ，∠AMK ＝∠MAB ＋∠ABK ，∴ ∠K ＝∠BAM ＝∠BAN ，同理，∠ABK ＝∠N ，则 △ABK ∽⌒△BNA，有, 故AK·BN＝AB2（常量），即AK和BN的乘积与M点的选择无关。

【题例2】已知等腰Rt△XYZ(∠Z=90°)的直角边长为1，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值。

【解答】本题分两种情况讨论：1. 如图2所示，若顶点Z在斜边AB上，取XY中点M，连CM、ZM、CZ，作AB边上的高CN，则CM＝MZ＝XY,∴CZ≤CM＋MZ＝XY＝，又∵CN≤CZ，∴CN≤，又∵AC＝CN，∴AC≤2。

2. 如图3所示，若顶点Z在斜边AC(或BC)上，设Z在AC上，令CX＝x，CZ＝y，过YH⊥AC于H，则Rt△YHZ≌Rt△ZCX(AAS)，由此得HZ＝CX＝x，HY＝CZ＝y，有△AHY为等腰直角三角形，∴AH＝HY＝y，设AC＝b，则2y＋x＝b，即x＝b－2y。

高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.3～2.4_平均值不等式(选学)_最大值与最小值问题优化的数学模型

• ···• 24
x 4n
• 4
a x3n
n个 x 相乘 n
n＋1 ＝(n＋1)
nan，
由推广结论知nan＝1，∴a＝nn.
答案：A
一分耕耘一分收获
二、填空题
5．设 x，y∈R，且 xy≠0，则x2＋y12·x12＋4y2的最小值为______．
解
析
：
x2＋y12
x12＋4y2
＝
1
＋
4
＋
4x2y2
一分耕耘一分收获
∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，即 x＝ 33时取“＝”号．
∴y≤2
9
3 .
∴y
的最大值为2 9
3 .
一分耕耘一分收获
(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
一分耕耘一分收获
利用基本不等式求最值 [例 1] 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． [思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值． [精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，
一分耕耘一分收获
[精解详析] 设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质可得
H－ H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)．根据平均不等式可得 V 圆柱＝4HπR2 2·H－2 h·H－2 h·h≤4HπR2 2H3 3＝247πR2H.

函数的最值-高二数学配套教学精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

新知探究
练习：已知函数 = − − ．求函数在 [, +∞) 上的最小值．
解： ′ = 3 2 − 2 − 2 = 3 + − ，

3
令 ′ = 0 ，解得 1 = − ， 2 = ．
①当 �� > 0 时，在 [0, ) 上单调递减，在 [, +∞) 上单调递增，所以
（2）求在区间[, ]上的最大值．
解：（1） ′ = 3 2 − 2 ，
因为 ′ 1 = 3 − 2 = 5 ，所以 = −1 ．
又当 = −1 时， 1 = 2 ， ′ 1 = 5 ，
所以曲线 = 在 1, 1
处的切线方程为 5 − − 3 = 0 ．
判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一般地，连续函数f x 在[a, b]上既有最大值，又有最小值．( √ )
（2）函数的极值可以有多个，但最大（小）值最多只能有一个．( √ )
（3）最大（小）值一定是函数的极大（小）值．( ×)
（4）极大（小）值一定是函数的最大（小）值．( ×)
是函数的极小值，(2 )，(4 )，(6 )是函数
= ()的极大值.
追问1：进一步地，你能找出函数 = ()在区间[，]上的最小值、最大值吗？
从上图中可以看出，函数 = ()在区间[，]上的最小值是(3 )，最大值是().
l
新知探究
思考2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、
练习：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得
最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

北师版数学高二北师大版必修5课件基本不等式与最大(小)值

因此要使 k≥－ ab 恒成立，应有 k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选C. 答案 C
明目标、知重点
2.已知
x≥52，则
x2－4x＋5
f(x)＝
有(
2x－4
A.最大值52
B.最小值54
1234
)
C.最大值 1
D.最小值 1
解析 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2≥1.
s2 积xy有最大值为 4 . (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当 x＝y 时，和x＋y有最小值为 2 p .
明目标、知重点
2.基本不等式求最值的条件 (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和 x ＋y的最小值时，应看积xy是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足.
探究点二利用基本不等式证明不等式例 2 已知 y＝x＋1x(x≠0)，证明：|y|≥2.
证明 (1)当x>0时，由基本不等式，
得 y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时，等号成立.
明目标、知重点
(2)当 x<0 时，－x>0，y＝x＋1x＝－[(－x)＋－1x]. 由(1)可知(－x)＋ 1 ≥2，
1234
解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，∴ab＝4， l＝a＋b＋ a2＋b2≥2 ab＋ 2ab＝4＋2 2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C
明目标、知重点
1234
4.(1)已知 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值；解 ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12，当且仅当 3x＝1x2，即 x＝2 时取等号. ∴f(x)的最小值为12.

几何8 教师版平几中的定值与最值

第五讲平几定值与最值本讲概述平面几何定值的求解思路：1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证 2．通过推导、计算平面几何最值的求解思路： 1．图形中的特殊点2．注意到图形中元素间相互特殊关系 3．引入变量，利用二次函数求极值4．引入三角函数，利用三角函数的极值性 5．利用不等式 6．运用有关结论：①周长一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的面积最大； ②面积一定的简单闭曲线的平面图形中，圆的周长最小； ③周长一定的平面n 边形中，正n 边形面积最大； ④面积一定的平面n 边形中，正n 边形周长最小．例题精讲板块一平面几何定值【例1】如图，ABC △为正三角形，动点D 在直线BC 上，过点D 作DE AC ⊥于E ．过点D 作BC 的垂线交过E 所作AB 的垂线于F ，CF 交AB 于P ．证明：APPB恒为定值．【解析】如图，作PS FE ∥，PQ FD ∥，连结QS ．显然，DEF △是正三角形．此时， PQ CP PSFD CF FE==．从而PQ PS =，易知60QPS DFE ∠=∠=︒．故PQS △也是正三角形．因为CQ CP CS CD CF CE ==，所以QS DE ∥．从而，PQ BC ,QS CA ,SP AB ⊥⊥⊥．于是，易知ASP BPQ CQS △∽△∽△．因此，AP BQ =．易知12BQ PB =，故12AP PB =（定值）．【例2】如图，AB 为半圆O ⊙的直径，动点C 在半圆O ⊙上，CD AB ⊥于点D ．1O ⊙与AC ,CD ,AD ︵都相切，2O ⊙与BC ,CD ,DB ︵都相切，切点E ,F 在A ,B 上．证明：不论点C 位置如何，ECF ∠恒为定值．S Q P FED C B A高二·联赛班·暑假第5讲·教师版32【解析】设2O ⊙与BC ︵相切于点M ，与CD 相切于点N ，如图．易知2O ,O ,M 三点共线．由OA OM =，得OAM OMA ∠=∠；类似，22O NM O MN ∠=∠；由2NO AO ∥，得2AOM NO M ∠=∠．故22OMA O MA O MN ∠=∠=∠，从而A ,N ,M 三点共线．于是，有2AF AN AM =⋅．又易知2AC AD AB AN AM =⋅=⋅，因此AC AF =．同理BC BE =．此时CEF CFE BEC AFC ∠+∠=∠+∠11909022ABC BAC ⎛⎫⎛⎫=︒-∠+︒-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111801809013522ABC BAC =︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故18013545ECF ∠=︒-︒=︒（定值）【例3】如图，在ABC △中，AB AC =，动直线l 通过点A （l 不通过BAC ∠内部），已知1O ⊙与直线l 、AB 及BC 都相切，2O ⊙与直线l 、AC 及BC 都相切．证明：不论直线l 的位置怎样变化，12O ,O ⊙⊙的半径之和为定值．【解析】设12O ,O ⊙⊙半径为12R ,R ，如图，作ABC △的高AD ．分两种情况：①当l BC ∥时，易知12O ,O ⊙⊙是两个等圆，且1212R R AD +=，所以， 12R R AD +=（定值）②当l 不平行于BC 时，设l 交BC 于点P ，易知12P ,O ,O 三点共线．记22APO CPO θ∠=∠=．设12E ,E 是两个切点，2PO 交AD 于S ，作AK l ⊥，点K 在2PO 上，易证AK AS =．注意到111tan tan ()2R PE PA PB AB θθ=⋅=⋅+-， 221tan tan ()2R PE PA PC AC θθ=⋅=⋅++，故121tan (2)2R R PA PB PC θ+=⋅++1tan (22)2PA PD θ=⋅+ tan tan PA PD θθ=⋅+⋅AK SD AS SD AD =+=+=（定值）【例4】如图，Q ⊙的直径A Bd =（定值）．O ,O '⊙⊙是两个动圆，它们既同时与⊙Q 内切，又同时与AB 相切．过点B 作Q ⊙的切线交射线AO ,AO '于点E ,F ；过点A 作Q ⊙的切线交射线BO ,BO '于点G ,H ．ABDFO E 1E 2S K P D O 2O 1l C B A证明：不论O ,O '⊙⊙的位置、大小怎样变化，AEF BGH S S +△△恒为定值．【解析】如图，设O ⊙切AB 于点D 、切Q ⊙于点M ．显然，Q ,O ,M 三点共线，OD AB ⊥．记()AD a ,BD b a b ==>，则 AB a b =+，1()2QM QA QB a b ===+，1()2QD a b =-．令OD x =，则1()2OQ a b x =+-．由222OQ OD QD =+，得22211()()22a b x x a b ⎡⎤⎡⎤+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得abx a b=+．易知AG ODAB BD=，即abAG a b a b b +=+．从而AG a AD ==．同理BE BD b ==．所以AG AE AD BD a b d +=+=+=．同理AH BF d +=．故[]2111()()()()222AEF BGH S S AB EF GH AB AG BE AH BF d d d d +=+=+++=+=△△（定值）板块二平面几何最值【例5】如图，已知圆O 内部有2n 个小圆，其中每个都与其相邻的两个小圆相切，并且都与圆O 内切，其切点顺次为122n A ,A ,,A ．在这2n 个切点中，若任意相邻两切点1i i A ,A +的距离为11211(122)i i i,i n A A a i ,,,n ,A A +++===，且234521,,n ,a a a λ⋅⋅= ．证明：1234212,,n ,n a ,a ,,a -【解析】设圆O 与2n 个小圆i O 的半径分别为(122)i R ,R i ,,,n = ，12AOA θ∠=．则221212122sin2(1cos )2,,A A a R ,a R θθ===- ．由余弦定理，212112()cos ()()R R R R R RR R R R θ-+-=--，所以221212124()(),R R R a R R R R =--．同理，221114(3521)()()i i i ,i i i R R R ai ,,,n R R R R +++==--- ，从而2212212342121224()()()()n n n,,n ,n n R R R R a a a R R R R R R -=--- ．同理，221222345211224()()()()n n n,,n,n R R R R a a a R R R R R R =--- ，故1234212234521,,n ,n ,,n,a a a a a a λ-== ．DMO 'OQHGF EBA2nA 1高二·联赛班·暑假第5讲·教师版34于是可得1234212,,n ,n a ,a ,,a -【例6】在Rt ABC △中，斜边2AC =，O 为AC 的中点，I 是ABC △的内心．求OI 的最小值．【解析】如图，以O 为圆心，OA 为半径作圆，连BI 延长交O ⊙于M ．则IAM OAM OAI CAM OAI ∠=∠+∠=∠+∠π142CBM OAI A =∠+∠=+∠ABI IAB AIM =∠+∠=∠．故M A M I =，知MAI △为等腰三角形，又MC MA =︵︵，则MC MA =． AMC △为等腰直角三角形．以M 为圆心，MA 为半径作圆，则点I 在M ⊙上，连MO 延长交M ⊙于I '．易知OI OM IM MI OM OI ''+==+≥．于是，OI OI MI OM '=-≥．因AMC △为等腰直角三角形，则2AC =，MA ,MI MA ===又1OM =，故1OI ．即OI1．注：用内切圆代换法可转换为代数问题求解【例7】设ABCD 是一个梯形（AB CD ∥），E 、F 分别是线段AB 、CD 上一点，线段CE 与BF 相交于H ，线段ED 与AF 相交于G ．求证：14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是一个任意的凸四边形，结论是否还成立．【解析】先证一个引理：梯形ABCD （AB CD ∥）中，AC ，BD 交于E ，则14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．显然ACD BCD S S =△△，都减去CDE S △，即有ADE BEC S S =△△，设为S ，则 CDEABE S S DE S BE S==△△，所以2ABE CDE S S S =△△．由均值不等式，224ABCD ABE CDE S S S S S S =++=△△≥，故14ADE BEC ABCD S S S =△△≤．回到原题，由引理，1144EGF AEDF EHF BECF S S ,S S △△≤≤，相加即得14EHFG ABCD S S ≤．如果ABCD 是任意的凸四边形，结论未必成立．当0DA ,E B ,F C →→→时，EFGH ABCD S S →，所以当AD BE CF ,,BC AB CD 足够小时，14EHFG ABCD S S >．【例8】（*选讲）给定a2a <，内接于单位圆Γ的凸四边形ABCD 适合以下条件：①圆心在这凸四边形内部；②最大边长是a过点A ,B ,C ,D 依次作圆Γ的四条切线A B C D L ,L ,L ,L ．已知A L 与B L 、B L 与C L 、C L 与D L 、D L 与A L 分别相交于A ,B ,C ,D ''''四点．OI'MICB AA求面积之比A B C D ABCDS S ''''的最大值与最小值．【解析】 01年CMO 试题．设圆Γ的圆心为O ，并记12342222AOB ,BOC ,COD ,DOA θθθθ∠=∠=∠=∠=．于是1234,,,θθθθ都是锐角，且1234πθθθθ+++=，不难求得 44111sin 2tan 2ABCDi A B C D i i i S ,S θθ''''====∑∑．由于上式关于1234,,,θθθθ对称，不妨设AB a ,AD ==1234θθθθ≥≥≥，则14sin sin 2a ,θθ==1423π2θθθθ+==+．∴141414111sin()12tan tan cos cos cos sin sin 2θθθθθθθθθ++===2322tan tan sin 2θθθ+=121222sin 2sin 2sin 2sin 2A B C D ABCDS T S θθθθ''''+==+，而1211πsin 224,θθθ=≤≤，∴21sin 212θ≤．由于T 是关于2sin 2θ的严格减函数，maxmin 22228(4)1122T ,T a a ===-⎛⎝．大显身手1．证明：定圆(R)上任意一点到内接正三角形三个顶点距离的平方和是一个定值. 【解析】如图，⊿ABC 是定圆O(R)的内接正三角形，若P 与正⊿ABC 一个顶点重合（如P 与B 重合），则 PA 2+PB 2+PC 2=BA 2+BC 2=2BA 2=6R 2，即定值是6R 2. 可以证明，PA=PB+PC ，∠BPA=∠BCA=600. 在⊿PAB 中，由正弦定理得，AB 2=PA 2+PB 2-2PA ·PB ·cos600=PA 2+PB 2-PA ·PB ，同理，AC 2=PA 2+PC 2-2PA ·PC ·cos600=PA 2+PC 2-PA ·PC ，相加，AB 2+AC 2=2PA 2+PB 2+PC 2-PA(PB+PC)=PA 2+PB 2+PC 2，即PA 2+PB 2+PC 2=AB 2+AC 2=2AB 2=6R 2(定值).高二·联赛班·暑假第5讲·教师版362．如图，由圆()O r 外的定直线l 上任意点A 引二切线AB ,AC ．试证：两切点之间弦BC 恒过定点．【解析】要证BC 恒过定点，则需要证明这一点在某一线段上与O 点距离为定值，为此作OH l ⊥于H ，设BC 与OH 交于P ，连Oa ，则OA BC ⊥，设交BC 于D ，则A ,D ,P ,H 四点共圆．故OP OH OD OA ⋅=⋅．又22ODOA OB r ==，从而2r OP OH=为定值．由此可知P 为定点，由BC 过P 点可知结论成立．3．设12C ,C 为同心圆，2C 的半径是1C 的半径的两倍，四边形1234A A A A 内接于圆1C ，设41A A 延长线交圆2C 于1B ，12A A 延长线交圆2C 于2B ，23A A 延长线交圆2C 于点3B ，34A A 延长线交圆2C 于点4B ．试证：四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．并确定等号成立的条件．【解析】设圆心为O ，连结144OB ,OB ,OA ，设1C 的半径为R ，则2C 的半径为2R ．在四边形441B A OB 中，由托勒密定理，414144441OA B B OB A B OB A B ⋅+⋅⋅≥．即14444122R B B R A B R A B ⋅+⋅⋅≥，14414422B B A B A B -≥．同理12121122B B A B A B -≥，23232222B B A B A B -≥，34343322B B A B A B -≥，相加得12233441122334412()B B B B B B B B A A A A A A A A ++++++≥，即四边形1234B B B B 的周长2(≥四边形1234A A A A 的周长)．等号成立时，1i i i OA B B +共圆，1111i i i i i i i iA AOB B O B B O A AO +++-∠=∠=∠=∠， ∴1234A A A A 为菱形，又为圆内接四边形，所以1234A A A A 为正方形．H P D O l C B A。

新高一暑假数学衔接课程第五讲(二次函数的最值问题)

●新高一暑假数学衔接课程第5讲：二次函数的最值问题1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．例1、求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．例2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4、求函数y=x 4-3x 2+2的最小值．例5、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．例6、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【课后作业】1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________． 3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4.已知函数y ＝2x 2+4x －3，当x ≤0时，求y 的取值范围．5．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．6．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。

高二数学人教B版选修4-5第二章2.3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题优化的数学模型含

平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型［读教材填要点］1. 平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a i , a 2,…，a n 为n 个正数，则 a i + a 2+…+ a *、 n ---------------a i a 2…a n , 等号成立 ? 岂=a 2=・・・=a n .① 推论1：设a i , a 2，…，a n 为n 个正数，且 a i a 2…a n = 1,贝U a i + a 2 + ^+ a n >n. 且等号成立? a ^= a ? = •••= a n = 1.② 推论2:设C 为常数，且a 1, a 2,…，a n 为n 个正数；则当a 1 + a 2+^+ a n = nC 时, a 1a 2 …a n < C ，且等号成立？ a 】=a ? = •••= a 』. ⑵定理2：设a 1, a ：,…，a n 为n 个正数，则 n ----------- n ______________a1a2…an > 1丄1丄丄1，a 1 a 2 a n 等号成立 ? a 1= a ?=•••= a n . ⑶定理3：设a 1, a ：,…，a n 为正数，则等号成立 ? a 1= a 2=・・・=a n . 推论：设a 1, a 2,…，a n 为n 个正数，则2. 最值问题设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 X o € D ，使得 f(x)W fU o )(f(x) >f(x o )), x € D ,拍象问题情境牝，新知无师自通［对应学生用书P33］2. 3〜2.4a 1 + a 2 +•+ a nn丄'a n(a 1+ a ：+…+ a n )d +右+…+右)》沁.则称f(x o)为f(x)在D上的最大(小)值，x o称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最x()()[]1a_2f b Vab(1)(2)⑶[1]6 10 16.y 9x 1 9 1x y x yx 4 y 12x 4 y 12 (x y)min 16・f(x) 3-(x 0)f(x) 1 P34](x 9y)(x y)高频考点题组化.名师一点就通x2x 3x 2.62xi)f(x) 12xf(x)max2]x22x (1(1y22 ,6y x(1 x2)x呢y x(ix2)2X2)2x22x2(1(1 x2)x2 131 x2 1(1)x2)2x)(1x2427.x2(1 x)2解：y = x (1 — x) = x x(1 — x) 1=x x (2 — 2x)x 2v 1 孜+ x + 2 — 2x1 x 8 - 土、2 3 _2 27_27'当且仅当x = 2 — 2x ，即x = 3时取等号.34此时，y max =.□目 1利用平均值不等式解应用题［例3］已知圆锥的底面半径为 R ,高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积.［思路点拨］本题考查算术一几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系, 等式求最大值.［精解详析］设圆柱体的底面半径为 r ,如图，由相似三角形的性质可得 H — h _ 匚 H = R ，R …r = H (H — h).2n R 2--V 圆柱=n h = -^2(H — h) h(0v h v H).根据平均不等式可得=27的.（1）在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值.⑵在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的.3. 如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图（2）所示，求这个正六棱柱容器容积的最大然后利用算术一几何平均不24T R H — h H —4 n R H 3 "HF 3H _ h i当且仅当一厂=h ,即h =尹时,V 圆柱最大=27n 2H.2如图可知2h + 3x = 3,即 h = 23(1 - x),所以V = S 底人=6X —^3%2 h41 3.当且仅当2= i —x 即x = 2时，等号成立.2 32 1所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3燦［:训舊超芙蛙、兰在锹娈走泓［对应学生用书P35］一、选择题121.函数y = 3x + _2(x>0)的最小值是( 入 A . 6 C . 9c 12 3x 3x 12 3/3x 3x 12y = 3x + x 2= 2+7+=》3 込三 7 =9，答案：C2.已知x + 2y + 3z = 6，则2x + 4y + 8z 的最小值为(值.解：设正六棱柱容器底面边长为穿x2#(1— x) = 23 X 穿X ,二+；+1—x 2 2 _______ < 3 .) B . 6.6 D . 12解析: 当且仅当 3x2 -2，即x = 2时取等号.xx(x>0)，高为 h ,A122x>0,4y>0,8z>0 2x 4y 8z2y—3Zx 2y 40 ig(n2x3z2212^5 2x22y4 12.23z222‘z x 22yx 4y4ig yio. xy loo.lg xy2nx+o_1)n+1 x Jn nn(n 1) igloo 2.ax ~nx4y 40 lg x ig y104xy1 2x1x -xn 1(n N )二、填空题5. _______________________________________________________ 设x, y€ R，且xy 丰0,则x2+ y・步+ 4y2的最小值为__________________________________ .解析：x2+ 1 X2+ 4y2= 1 + 4+ 4x2y2+ x2y2> 1 + 4 + 2 - 4x2y2-^= 9，当且仅当4x2y2 =x2^时等号成立，即IxyU#时等号成立.答案：96. ____________________________________________________ 若x, y € R且xy= 1，则£+ y £+ x/勺最小值是_____________________________________________ .解析：•/ x>0, y>0,xy= 1,••• x+y -+ x = 1 + 2 x2卜乞+ xyy x y x> 1 + 3^x2y2= 4,2 2当且仅当—=y = xy,y x即x = y= 1时取等号.答案：47. 对于x€ [0,扌，，不等式壬 +—— > 16恒成立，则正数p的取值范围为、一'2丿sin x cos x解析：令t= sin2x,则cos2x= 1 —t. 又x € 0, t € (0,1).不等式一―+— > 16可化为sin x cos xP> 16—1 (1 —t), 而y = 16—十(1 —t)=17—；+ 16t W 17 —2 '1 16t= 9,当；=16t，即t =1时取等号，t 4因此原不等式恒成立，只需p> 9.答案：[9 ,+^ )&设三角形三边长为3,4,5, P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是_________ .解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x, y,乙三角形的面积为S.36S 1(3x 4y 5z)32 42 52 1S 23 46.3x 4y 5z 2 6 12.3习3x 4y 5z 3x 4y 5z 12.b- ya - X o24V2(.aabbx1-Vb -ya - X240V2o24Vo24VV2oQo 480V4V2Q00V 201615.4.3 (xX (.aab(xyz)maxbx.m m4801-V0013V 2 240100VV36答：轮船航行速度为 20千米/小时时，每千米航行费用总和最小. 11•如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯•大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的•由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角B 的正弦成正比，而和这里k 是一个和灯光强度有关的常数•那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮?解:「r = cos 0.E 2= * sin 2 0 cos 4 016k 2 2 2 =32 （2sin 0 cos 0 cos 0 22222k 2sin 0+ cos 0+ cos 0 3 _ _108’当且仅当 2sin 2 e= cos 2 0 即卩 tan 2 0=1, tan0=h = 2tan 0= 2，即 h = \/2米时，E 最大.这一点到光源的距离r 的平方成反比•即E =譽02...E = k sin民os 0_ _ n ^^（o<毕口等号,。

高二数学专题讲座最大值与最小值人教版

高二数学专题讲座最大值与最小值人教版一. 本周教学内容：专题讲座：《最大值与最小值》从历年的高考题看，每年都有最值的试题，最值问题在代数、三角、解析几何中都可以命题。

既可以出一些基础题又可以出一些小综合题，甚至还可以出一些中等偏难的题。

但是，不管是什么样的最值题，最终都可以归纳为以下几种常用方法求解： 1. 利用二次函数求最值； 2. 利用判别式法求最值；3. 利用函数的单调性求最值；4. 利用均值不等式求最值；（现在只限两个数）5. 数形结合求最值；6. 利用三角代换法求最值。

结合本学期教学内容，重点介绍用“均值不等式”求最值和利用“数形结合法”求最值。

一. 利用“均值定理求最值” 12.均值定理：若，，则（当且仅当时取等号）a b R a bab a b ∈+≥=+2. 规律：若积ab 为定值，则当a=b 时，a+b 有最小值；若和a+b 为定值，则当a=b 时，ab 有最大值；3. 注意：使用定理时应具备的条件：（1）正（2）定（3）相等。

例1. 求函数，（）的最小值。

y x x x =++≥110 分析：要用均值不等式求最小值，关键是结构调整。

要求和的最小值，则需它们的积为定值。

解：y x x x =++≥110（） x x x ≥∴+>+>010110，∴=+++-≥+⋅+-=-=y x x x x 111121111211 即y ≥1当且仅当即时，等号成立。

x x x +=+=1110 ∴==++当时，有最小值。

x y x x 0111例2. 求函数，的最小值。

y x x x x =+++>-()()()5211分析：此题的关键是根据函数的特点，通过适当的恒等变形把问题转化为定积条件下的两个变量和的最小值问题。

解：y x x x x x x x x =+++=+++++=++++≥+=227101155411415459()().当且仅当即时等号成立x x x +=+=1411 ∴==+++>-当时，，（）有最小值x y x x x x 152119()().例3. 求函数的最大值，y x x x =-<<()()12012解：y x x x x x x =-=⋅-≤+-=()()()1212212122122182当且仅当即时，等号成立。

高中数学必修五：3.3基本不等式与最值

3.3《基本不等式与最值》教学设计一、教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了基本不等式的基础上展开的。

最值问题能有效地考察学生思维品质和学习潜能，最值问题与函数联系密切，内容丰富，遍及代数、几何及三角之中，贯穿于高中数学的各个知识模块。

求最值问题，需要学生具有全面的分析问题及灵活的解决问题的能力，是高考数学中的热点和难点内容。

所以要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

就知识的应用价值上来看，本节课利用基本不等式求函数最值能够让学生充分的理解基本不等式，体会基本不等式的数学应用价值，掌握用基本不等式求最值得基本思想方法。

就内容的人文价值上来看，基本不等式使用的条件构造需要学生观察、分析、思考、转化，有助于培养学生探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二、学情分析在前面两节的学习中，学生已经学习了基本不等式及使用条件，并能应用基本不等式求简单的最值，而本节课是在前面学习的基础上，系统的探究利用基本不等式求函数最值。

本节内容变换灵活，条件有限制，考查了学生换元、转化和化归等数学思想，对学生能灵活应用数学知识解决实际问题的要求较高。

教法设计在本节课的教学中，采用启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以教师为主导，以基本不等式求最值为主线，放手让学生探究思索。

四、教学目标知识与技能：掌握应用基本不等式求最值得方法，会灵活的创造基本不等式成立的条件求最值。

过程与方法：通过问题设置，模型转化，对定理应用过程的研究，渗透转化和化归的数学思想方法，（把未知问题转化成已知问题），培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在学习和解决问题的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察和勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

五、教学重难点重点：利用基本不等式求最值。

难点：利用化归思想创造基本不等式使用的条件。

教学工具的应用教学中有效利用多媒体课件，使课堂教学环节的衔接更加流畅，利用形象、直观的展示方式增强学生对知识的理解。

新高二数学联赛班暑假第6讲平几证明方法

平几证明最常用的方法是综合法与分析法．事实上，除了极少数很显然的问题之外，我们都需要先透彻理解题意，从题目中发掘出一些初步的结果；然后，对照要证明的结论，思考“只需证明XXX 就好了”，然后再设法在条件与结论之间建立联系．也就是说，综合法与分析法相结合是平几证题的主流方法.下面是平几证明中的常用方法：1．解析法；2．几何变换；3．同一法；4．面积法；5．复数法；6．向量法；7．三角法解析法需要慎用，因为大部分平几问题用解析法求解其步骤十分繁杂；对解析法进行深刻分析，研究其中的定点、定直线等因素往往可诱导出优美的纯平几方法；几何变换一般只用来分析与启发思路，大部分情况下需要与其它方法相结合；同一法则是用来解决一些用常规方法难以下手或难以叙述的“非主流问题”；面积法是一种强大的传递数量关系的利器，妙用无穷，但是易学难精；复数法和向量法主要用来处理一些适合用复数和向量关系来表达的问题，例如题目中有明显的旋转、平移关系等等；三角法则是另一种强大的方法，利用三角关系对题目中的各种关系加以量化，并利用正余弦定理以及积化和差公式（乃至合角公式）等对题目条件加以化简，最后得到简洁的式子并导出结论；三角法的好处在于不需要想太多，但需要强大的算功.上面的每一种方法事实上都需要我们花费不少时间才能登堂入室，前面的学习中我们对几何变换、向量法、三角法都做了专门的研究，本讲我们通过一些问题来探讨平几如何获得解题思路以及如何选择某一种方法来解决问题. 平面几何定值的求解思路：1．取特殊或极端位置猜测，在一般位置论证；2．通过推导、计算知识点睛经典精讲6.1证明方法第【例1】四边形ABCD 内接于半径为R 的圆，对角线AC ,BD 交于E ．AC BD ⊥．求证：222224EA EB EC ED R +++=【例2】如图，设H 是锐角ABC △的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP AQ ，，切点分别为P Q ，．求证：P H Q ，，三点共线．B【例3】已知A 为平面上两半径不等的1O ⊙和2O ⊙的一个交点，外公切线12P P 的切点1P，2P ，另一条外公切线的切点为1Q ，2Q ，1M ，2M 分别为12PQ ，22P Q 的中点．求证：1212O AO M AM ∠=∠．【例4】是否任意一个正2n 边形都可以分解为若干菱形？1【例5】设P为ABC△内一点，APB ACB APC ABC∠-∠=∠-∠，又设D E，分别是APB△及APC△的内心，证明：AP BD CE，，交于一点．【例6】如图，已知PA PB，是⊙O的两条切线，PCD是⊙O的一条割线，E是AB与PD的交点．证明：PC CEPD DE=．B【例7】在一个平面中，C为一个圆周，直线L是圆周的一条切线，M为L上一点，试求出具有如下性质的所有点P的集合：在直线L上存在两个点Q和R，使得M是线段QR的中点，且C是PQR∆的内切圆．Array【例8】 (*选讲)如图，在ABC△的三边上向外作BPC CQA ARB△△△，，，使得4530°°，15，∠=∠=∠=∠=PBC CAQ BCP QCA∠=∠=°，ABR RAB求证：90°．∠==，PRQ QR PRB【演练1】如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，I 是它的内心，过I 作一圆与边AB 切于B ，与直线AC 交于D 、E ，求证：IC 平分∠DIE .【演练2】ABC △的外接圆为O ⊙，60C ∠=°，N 是弧AB 的中点，H 是垂心．求证：CN OH ⊥．实战演练【演练3】如图，设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同点，分别以AC和BD为直径的圆相交于X Y，．直线XY交BC于Z．若P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N，试证：AM、DN、XY三线共点．【演练4】（*选做）D是锐角ABC∆内部一点，90ADB ACB∠=∠+︒．且AC BD AD BC⋅=⋅，求AB CDAC BD⋅⋅的值．DB。

新高二数学联赛班暑假第1讲平几变换(一)

1暑假班·第1讲·学生版高中数学联赛课程平几变换（一）几何变换事实上已经属于高等几何的范畴，涉及到现代的数学工具和思想．用变换的思想来考察平几问题，可以让以前显得神秘莫测的“添加辅助线”变得理所当然，而且会得到很多更深刻的结论，这当然对我们证明问题帮助极大．本讲和下一讲我们将一起来研究一些常用的几何变换，除了上述的三种变换，还有位似变换，反演变换（*），配极变换（**）以及上述常用变换复合而成的复合变换，例如位似旋转变换等等.后面两种变换中，反演变换只会在冬令营及其以上赛事中用到，而配极变换一般来说只有国家队级别才会涉及到.所以，暑期班中我们不会涉及到后两者.有兴趣的同学可以自行阅读相关参考书.学习几何变换之后，我们会从一个崭新的角度来分析问题，例如两个同向相似三角形，在变换的角度下我们认为是其中一个三角形绕平面某点作位似旋转变换而得到另一三角形.同时，某种特定的几何变换可能还会有不少优良的性质，例如保角性，特定线保持平行等等.这些性质对我们证题的帮助很大.对于添加辅助线，大家学完后会发现，基本上绝大部分辅助线的添加从本质而言就是构造某种特定的几何变换，从而实现条件的聚集.第1讲【例1】设P 是平行四边形ABCD 内部一点，且180APB CPD ∠+∠=︒，求证：CBP PDC ∠=∠．【例2】设P 是平行四边形ABCD 的内部一点，若2ABP ADP ∠=∠，2DCP DAP ∠=∠，求证：AB BP CP ==．【例3】设D 、E 是ABC ∆的边BC 上两点，且BD EC =，BAD EAC ∠=∠，求证：ABC ∆是一个等腰三角形．【例4】在ABC ∆中，B ∠内的旁切圆与CA 相切于D ，C ∠内的旁切圆与AB 相切于E ，M 和N 分别为BC 和DE 的中点，求证：直线MN 平分ABC ∆的周长，且与A ∠的平分线平行．1.1平移经典精讲PP A B3暑假班·第1讲·学生版高中数学联赛课程1.2对称【例5】设N 为BAC ∠的平分线上的一点，点P 和点O 分别在直线AB 和AN 上，其中90ANP APO ∠=∠=︒，点Q 在线段NP 上，过点Q 任作一直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，求证：90OQE ∠=︒当且仅当QE QF =．【例6】在ABC ∆中，AD 为A ∠的平分线，CE 为AB 边上的高，已知45CDA ∠=︒，求BED ∠的度数．【例7】设四边形ABCD 内接于圆，另一圆的圆心在AB 上，且与四边形的其余三边相切．求证：AD BC AB +=．【例8】证明蝴蝶定理：设一圆的圆心O 在已知直线l 上的射影为M ，过M 任作圆的两条割线AB 、CD 交圆于A 、B 、C 、D ，再设直线AD 、C 分别与直线l 交于P 、Q ，则PM MQ =．经典精讲F E N P A B C O Q D Ol Q P DBM O C5暑假班·第1讲·学生版高中数学联赛课程【例9】（IM042-1）ABC ∆为锐角三角形，外心为O ，P 在BC 上，AP 是高，若30BCA ABC ∠≥∠+o，证明：90CAB COP ∠+∠<o．【例10】 (选讲)在ABC ∆中，AB AC =，20A ∠=︒，点D 、E 分别在腰AB 、AC 上，且60CBE ∠=︒，50DCB ∠=︒，求DEB ∠．D B O A C PO A D E【例11】 ABC ∆是一个正三角形，与BC 平行的一条直线分别交边AB 、AC 于D 和E ，M 是线段BE的中点，O 是ADE ∆的外心，求CMO ∆的各角．【例12】设E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 交于P 、Q两点，且BE DF EF +=，求证：五边形PECFQ 内接于圆．（第29届IMO 加拿大国家队培训）1.3旋转经典精讲M O E B C D Q P F AB C E7暑假班·第1讲·学生版高中数学联赛课程【例13】在ABC ∆中，AB AC =，P 是ABC ∆的内部一点，求证：APB CPA ∠>∠的充分必要条件是PB PC <．【演练1】在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、F 是底边BC 上两点，且BE FC =，BAE FDC ∠=∠，求证：AB CD =．实战演练C P AD A【演练2】设线段AB 与CD 相等，且其交角为60︒，求证：AC BD AB +≥．【演练3】在ABC ∆中，2C B ∠=∠，D 是三角形内一点，且DB DC =，AD AC =，求证：3BAC BAD ∠=∠．【演练4】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧»BA 的中点，AC 上的点X 使得 MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．B。

平面几何地定值与最值问题

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS =2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.∠AOB·x+(OP2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.故x1为方程x2-2OP·cos12因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(1∠AOB)是定值.2点评当x1=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.例2如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,⊙O与外切,且⊙O与AB、BC•相切.⊙O′与AD、CD相切,设⊙O的半径为x,⊙O与⊙O′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值.解析设⊙O′的半径为y,过O与O′分别作CD与BC的垂线OH,O′F,•垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E,则有:O′E=8-(x+y),OE=9-(x+y)由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254],故当x=52时,S min=252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例(南京市中考题)如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,又⊙O1切⊙O2•的直径BE于点C,连结PC并延长交⊙O2于点A,设⊙O1,⊙O2的半径分别为r、R,且R≥2r.•求证:PC·AC是定值.解析若放大⊙O1,使⊙O1切⊙O2的直径于点O2(如图),显然此时有PC·AC=PO2·AO2=2r·R(定值).再证明如图的情况:连结CO 1,PO 2,•则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值.点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.解析 ∵S △DPC = S △APC =12AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC=12AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2AP . 又1≤AP ≤2,故2≤BB ′+CC ′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图(1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AE=,即AD·AE=AB·AC为定值.AD AC如图(2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE=AD AC即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC 上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN•∥BC,•且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.C ABM NB 级1.如图1,已知正方形ABCD 的边长为3,点E 在BC 上,且BE=2,点P 在BD 上,则PE+PC 的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E DC A B P S QA B P0M(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O 2,A 、B 两点在⊙O 上,切线AQ 和BQ 相交于Q,P 是AB•延长线上任一点,QS ⊥OP 于S,则OP ·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C和D,设此两圆的半径为R1,R2.求证:AC:AD=R1:R2.A级(答案)1.定长为圆的直径;(R,r是两圆的半径).2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)RR r3.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B、C为垂足,设OB=x,OC=y,0≤x≤a,(0≤y≤a),且x2+y2=a2.所以PQ=2PB=2所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a . 此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS)最小值=2（）.5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r.∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2r h ),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ah p p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2a a p p ⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p , 当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p .B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P ,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8;(2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ.∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P ,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ.又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线,当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线,当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B.5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD.∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ,∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,①AB ·AD=AN ·2R 2 .②①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:AD=R 1:R 2.。

高中数学竞赛第18讲平几中的几个重要定理(一)教案

第18讲平几中的几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用．定理1 (Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2 (Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BXXC·CYYA=1．定理3 (Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是AZ ZB ·BXXC·CYYA=1．定理4 设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB 2PQ⊥AB．A类例题例1 证明Ptolemy定理．已知：如图，圆内接ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E ，使ADE=BDC ，由DAE=DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ADB =EDC ，ABD=ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．例2 证明Ceva定理．分析此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明．证明：设S⊿APB=S1，S⊿BPC=S2，S⊿CPA=S3．则AZZB=S3S2，BXXC=S1S3，CYYA=S2S1，ZYXCBAAB CPXYZA BCDEAB CPXYZ三式相乘，即得证．说明用同一法可证其逆正确．证明：作CN ∥BA ，交XY 于N ，则AZ CN =CY YA ，CN ZB =XCBX．于是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =AZ CN ·CN ZB ·BX XC ·CYYA=1．本定理也可用面积来证明：如图，连AX ，BY ，记S AYB =S 1，S BYC =S 2，S CYX =S 3，S XYA =S 4．则AZ ZB =S 4S 2+S 3；BX XC =S 2+S 3S 3；CY YA =S 3S 4，三式相乘即得证．说明用同一法可证其逆正确．Ceva 定理与Menelaus 定理是一对“对偶定理”．例4 证明定理4 设P 、Q 、A 、B 为任意四点，则PA 2-PB 2=QA 2-QB2PQ ⊥AB ．证明先证PA 2-PB 2=QA 2-QB 2PQ ⊥AB ．作PH ⊥AB 于H ，则 PA 2-PB 2=( PH 2+AH 2)-(PH 2+BH 2)=AH 2－BH 2=(AH +BH )(AH -BH ) =AB (AB -2BH )．同理，作QH ’⊥AB 于H ’，则 QA 2-QB 2=AB (AB -2AH’) ∴H =H ’，即点H 与点H ’重合．PQ ⊥AB PA 2-PB 2=QA 2-QB 2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．ZY XCBAS 1S 2 S 3S 4 ZYXCBANABPQH H '情景再现1.如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧︵BC 上任一点 (不与B 、C 重合)，求证：PA =PB ＋PC ．2.设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于E ．求证：AE ED =2AFFB．3．线交于一点证明：三角形的角平分． B 类例题例5 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：1A 1A 2=1A 1A 3+1A 1A 4．(1987年第二十一届全苏)分析注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理．证明连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ．本题即证1a =1b +1c．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1c，故证．说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛．例6 (南斯拉夫，1983)在矩形ABCD 的外接圆弧AB 上取一个不同于顶点A 、B 的点M ，点P 、Q 、R 、S 是M 分别在直线AD 、AB 、BC 与CD 上的投影．证明，直线PQ 和RS 是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点．证明：设PR 与圆的另一交点为L ．则→PQ ·→RS =(→PM +→PA )·(→RM +→MS )=→PM ·→RM +→PM ·→MS +→PA ·→RM+→PA ·→MS=－→PM ·→PL +→PA ·→PD =0．故PQ ⊥RS ．设PQ 交对角线BD 于T ，则由Menelaus 定理，(PQ 交ABD )得DP PA ·AQ QB ·BT TD =1；即BT TD =PA DP ·QB AQ；设RS 交对角线BD 于N ，由Menelaus 定理，(RS 交BCD )得16T,NSRQPM A BCDLCBN ND ·DS SC ·CR RB =1；即BN ND =SC DS ·RB CR；显然，PA DP =RB CR ，QB AQ =SC DS ．于是BT TD =BNND，故T 与N 重合．得证．说明本题反复运用了Menelaus 定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形．情景再现4．在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ．求证：GAC =EAC ．（1999年全国高中数学联赛）5．ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点．AF 交ED 于G ，EC 交FB 于H ．连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M ．求证：DL =BM .6．在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l ．求证：EF 平分∠CFD ．C 类例题例7以O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两个顶点A 、C ，且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N 两点，⊿ABC 和⊿KBN 的两外接圆交于B 、M 两点．证明：∠OMB 为直角．(1985年第26届国际数学竞赛）分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到BM 上一点，使该点与点Ｂ对于圆O 等幂即可．证明：由BM 、KN 、AC 三线共点P ，知PM ·PB =PN ·PK =PO 2-r 2． ⑴ 由PMN =BKN =CAN ，得P 、M 、N 、C 共圆，故 BM ·BP =BN ·BC =BO 2-r 2． ⑵ ⑴－⑵得， PM ·PB -BM ·BP = PO 2 - BO 2，即 (PM -BM )(PM +BM )= PO 2 - BO 2，就是PM 2 -BM 2= PO 2 - BO 2，于是OM ⊥PB ．例8 (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．分析圆是关于直径对称的，当作出点F 关于OM 的对称点F'后，只要设法证明⊿FMP≌⊿F'MQ 即可．证明：作点F 关于OM 的对称点F ’，连FF ’，F’M ，F’Q ，F’D ．则 MF =MF ’，4=FMP =6．圆内接四边形F ’FED 中，5+6=180，从而4+5=180，于是M 、F ’、D 、Q 四点共圆，∴ 2=3，但3=1，从而1=2，于是⊿MFP ≌⊿MF ’Q ．∴ MP =MQ ．说明本定理有很多种证明方法，而且有多种推广．例9 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T .求证：R ，T ，S 三点共线．分析对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形，我们先来证明两个引ABC D E FMF'123456OP Q理．引理1:A 1B 1C 1D 1E 1F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知△ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， OF OD A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A ，引理2：圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足1111111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点．该引理的证明，留给读者思考．例9之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FDFPDS PA =. 两式相乘，得FDEP FPEB DS BR ⋅⋅=. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知EP EC PD CR =，FAFPAS PD =. 两式相乘，得 FAEP FPEC AS CR ⋅⋅= ② 由①，②得FDEC FAEB CR DS AS BR ⋅⋅=⋅⋅. 故=⋅⋅AB SA DS CD RC BR CEDCFD AF BA EB ⋅⋅. ③ 对△EAD 应用Menelaus 定理，有1=⋅⋅CEDC FD AF BA EB ④ 由③，④得1=⋅⋅ABSADS CD RC BR . EBRC TAPSDFB A E 1OC D 11111由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线．情景再现7．(评委会，土耳其，1995)设ABC 的内切圆分别切三边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，X 是ABC 内的一点，XBC 的内切圆也在点D 处与BC 相切，并与CX 、XB 分别切于点Y 、Z ，证明，EFZY 是圆内接四边形．。