八年级数学下册1.1《等腰三角形》等腰三角形的判定与反证法(第3课时)课件(新版)北师大版
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北师大版数学八年级下册1.1第3课时 等腰三角形的判定与反证法-课件
知识点整合训练
解：①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC 是等腰三角形．
∠EOB＝∠DOC， 选①③为条件证明．证明：在△EBO 和△DCO 中，∵∠EBO＝∠DCO，
BE＝CD，
∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形
核心提要
3．(3分)在方格纸上等有腰一个△ABC，它的顶点位置如图所示， 则这个三角形是____三角形．
4．(3分)聪明的亮亮用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成 如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形， 请你帮他找出两个等腰三角形： _________________________．
△ABE，△DCE，△BCE
知识点整合训练
解：(1)△OBC 是等腰三角形(BC 为底)或∠BOC＝90°＋12∠A (2)等腰三角形有△ABC，△OBC，△BOE，△OCF，△AEF.EF＝EB＋FC
(3)等腰三角形有△BOE，△COF，仍有EF＝EB＋FC.理由：∵BO，CO分别 平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.又∵EF∥BC， ∴∠OBC＝∠BOE，∠OCB＝∠COF，∴∠BOE＝∠EBO，∠COF＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO.∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC
谢 谢！
知识点＝∠C， 求证：BD＝CD.
证明：连接BC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD
知识点整合训练
【综合运用】 15．(18分)如图所示，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB， BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. (1)想想看，你能得到什么结论？ (2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F， 则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的关系？ (3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图③中是否还有等腰三角形？ (2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
最新北师大八年级下册数学精品课件-1-第3课时 等腰三角形的判定与反证法
中（ • 第二）级 A．有一个• 第内•三角第级四大级 于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角•都第大五级于60° D．每一个内角都小于60°
【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是 “没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于 60°”.
2019/11/12
∴∠• 第A三D级B=∠ADC
在∠△AAD•BB第D=四•和∠级第△五A级DACCD中
∠B=∠C
AD=AD
B
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC
A DC
2019/11/12
3
新知归纳
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等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角
对等边• )单击此处编辑母版文本样式
13
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3.（日照·中考）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使
△•AB单C为击等腰此三角处形编，则辑这母样的版点文C最本多有样式 个．
• 第二级
• 第三级
【解析】当C点•的第坐四• 级标第五为级 （
，0）或（
，0）
时，AB=AC,当C点的坐标为（4,0)时，AB=BC；当C点的坐
∴△ABD、△BCE是等腰三角形.
∵∠CDE＝∠A＋∠ABD＝72°,∠DEC＝∠CBD＋∠BCE＝72°,
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ACB.
∴△CDE、△BCD是等腰三角形.
∴一共有5个等腰三角形.
2019/11/12
12
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2. （通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有
一•个单内击角此小处于编或辑等母于6版0°文”本时样，式首先应假设这个三角形
【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是 “没有一个内角小于或等于60°”，即“每一个内角都大于 60°”.
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∴∠• 第A三D级B=∠ADC
在∠△AAD•BB第D=四•和∠级第△五A级DACCD中
∠B=∠C
AD=AD
B
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC
A DC
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等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角
对等边• )单击此处编辑母版文本样式
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3.（日照·中考）一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使
△•AB单C为击等腰此三角处形编，则辑这母样的版点文C最本多有样式 个．
• 第二级
• 第三级
【解析】当C点•的第坐四• 级标第五为级 （
，0）或（
，0）
时，AB=AC,当C点的坐标为（4,0)时，AB=BC；当C点的坐
∴△ABD、△BCE是等腰三角形.
∵∠CDE＝∠A＋∠ABD＝72°,∠DEC＝∠CBD＋∠BCE＝72°,
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ACB.
∴△CDE、△BCD是等腰三角形.
∴一共有5个等腰三角形.
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2. （通化·中考）用反证法证明命题“三角形中必有
一•个单内击角此小处于编或辑等母于6版0°文”本时样，式首先应假设这个三角形
北师大版八年级数学下册 1.1等腰三角形的性质第3课时等腰三角形的判定与反证法课件(共24张PPT)
已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
再如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采 用这位同学的证法.
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于 或等于1/5.
用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的 和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和 a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题 成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°， DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝__2_5_°____， ∠(2D)当ECD＝C_＝__12_1时_5_°，__△；A点BDD从≌B△向DCC运E.理动由时：，∵∠∠BDCA逐＝渐40变°， _∴_小_∠__D_E__C(＋填∠“E大D”C＝或1“40小°.又”∵)；∠ADE＝40°， (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (∴3)∠在A点DDB的＋运∠动ED过C程＝中14，0°△，A∴DE∠的A形D状B＝可∠以D是E等C.腰三角形吗？ 若又可∵以A，B＝请D直C接＝写2，出∴∠△BADBA的D≌度△数D．CE若(A不AS可) 以，请说明理由．
练习1．用反证法证明：△ABC中至少有一个内角小 于或等于60°.
北师大版数学八年级下册第3课时 等腰三角形的判定及反证法课件
随堂演练
1. 下列两个图形是否是等腰三角形？
30°
40°
是
40°
是
75°
2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于 点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判 断△BDE 的形状，并说明理由.
解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形.
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）. ∴∠ADB = ∠DAC， ∴AE = ED（等角对等边）. ∴△ AED 是等腰三角形.
练习
练习 1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°， ∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？
A 3个
D
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
北师大版八年级数学下册《等腰三角形》三角形的证明PPT(第3课时)
.
3
第十九页，共二十三页。
5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD平分∠ABC和ACB的角平分线.
求证△DBC是等腰三角形. 证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB 等边对等角 ∵BD、CD是角平分线
∴∠DBC=½∠ABC=½∠ACB=∠BCD
∴ΔDBC是等腰三角形
第二十页，共二十三页。
6.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°
北师大版八年级数学下册《等腰三角形》三角形的证明PPT(第3课时)
科 目：数学 适用版本：北师大版 适用范围：【教师教学】
1.1 等腰三角形
第3课时
八年级下册
第一页，共二十三页。
学习目标
1 探究等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
2 理解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
第二页，共二十三页。
证法一:作AD⊥BC于点D.(如图所示)
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
第五页，共二十三页。
活动探究
证法二：作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示) 在△ABD和△ACD中,
∠B=90°，
于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°， 这与三角形内角和 定理相矛盾， 因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立. 所以，一个这与三角形内角和 定理相矛盾三角形中不能有两个角是直角.
第十六页，共二十三页。
课堂总结
1.判定等腰三角形的的方法
（1）在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) （2）在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等 边）
《等腰三角形》三角形的证明PPT课件(第3课时)
课堂检测，巩固新知
1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假
设这个三角形中( D )
A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45° 2．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB ，AC分别相交于点M，N.若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35° ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝35° ∴∠DBC＝∠ACB＝35° ∴DB＝DC ∴△BCD为等腰三角形
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC 的平分线BD交边ຫໍສະໝຸດ C于点D.求证：△BCD为等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB＝∠DAC ∴EA＝ED ∴△AED是等腰三角形
开放训练，体现应用
例2 (教材第9页例3)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
论坛 ：
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
www. 1ppt.
此AB≠AC.
cn
反证法概念：P先PT假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果课，件从而证明命题的结论一定成立．我们把这种方法叫做反证法．
即“等角对等边”．
北师版八年级数学下册《等腰三角形的判定与反证法》市优质课一等奖课件
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边 有什么关系？
O
A
B
首页
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”) A
几何语言:
如何证明 这个判定 方法呢？
在△ABC中 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
B
C
构造全等三角形来证明
北师版八年级数学下册
1.1等腰三角形3
复习回顾
我们在上一节学习了 等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些
问题吗？
首页
复习回顾
1、等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
2、我们是如何证明的呢？
构造两个全等的三角形来证明
合作探究
如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的 报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时 出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
因此，假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
学以致用
用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，
则
∠B＝∠C＝90° ，从而 ∠A＋∠B＋∠C ＞180°，
转化问题 这与 三角形内角和为180° 矛盾．
为等价的 其他问题
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，
已知：△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC A
证明： 作∠BAC的平分线AD
12
在△ BAD和△ CAD中，
∠B =∠C， ∠1 =∠2， AD =AD
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
O
A
B
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等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”) A
几何语言:
如何证明 这个判定 方法呢？
在△ABC中 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边）
B
C
构造全等三角形来证明
北师版八年级数学下册
1.1等腰三角形3
复习回顾
我们在上一节学习了 等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些
问题吗？
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复习回顾
1、等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
2、我们是如何证明的呢？
构造两个全等的三角形来证明
合作探究
如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的 报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时 出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
因此，假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
学以致用
用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，
则
∠B＝∠C＝90° ，从而 ∠A＋∠B＋∠C ＞180°，
转化问题 这与 三角形内角和为180° 矛盾．
为等价的 其他问题
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，
已知：△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC A
证明： 作∠BAC的平分线AD
12
在△ BAD和△ CAD中，
∠B =∠C， ∠1 =∠2， AD =AD
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形的判定与反证法课件
三、反思提炼 加深认识
适用反证法的题型：
1、直接证明困难 2、需分成很多类进行讨论类命题 3、结论为“至少”、“至多”、“无穷多个”类命题 4、唯一性、存在性命题 5、否定性命题
三、反思提炼 加深认识
常用互为否定的表述情势：
正 面 词
＝
＞
＜
是
都 是
至少 一个
至多 n个
反 面 词
≠
≤
≥
不 不 一个也 至少 是 都 没有 (n+1)个
四、举一反三 学以致用☞
诸葛亮与反证法☞
三国故事知多少？
（五）矢志不渝——情系反证法
罗巴切夫斯基 俄国数学家，非欧几何的早期发现人之一。
（五）矢志不渝——情系反证法
反证法是数学家最精当的武器之一。 ——牛顿
制止数学家使用反证法，就像制止拳击家 使用拳头。
——希尔伯特
反证法是数学家最有力的一件武器，比起象 棋开局时以牺牲一子以取得优势的让棋法， 他还要高明，象棋对弈者不外是牺牲一棋一 子，数学家索性把全局拱手让给对方。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于6，0°
则
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
这与 三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少一个的反面是没有！
三、反思提炼 加深认识
例3: 若a1、a2、a3、a4、a5都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1试说明这五个数 中至少有一个大于或等于1/5。
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