第9节 多项式插值
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
多项式插值典型算法及其应用
多项式插值典型算法及其应用一、任务简介 (2)1、1任务题目 (2)1、2任务目得 (2)1、3任务案例 (2)二、总体设计 (3)三、算法原理 (3)3、1分段线性插值 (3)3、2保形插值 (4)3、3三次样条插值 (4)3、4最邻近点插值 (7)3、5分片线性插值 (7)3、6双线性插值 (8)四、算法介绍 (8)4、1分段线性插值 (8)4、2保形插值 (9)4、3三次样条插值 (9)4、4最邻近点插值 (9)4、5分片线性插值 (9)4、6双线性插值 (9)五、软件功能 (10)六、运行结果 (10)6、1主界面 (10)6、2二级界面 (11)6、3程序结果 (11)七、个人总结 (16)八、参考资料 (17)附录 (17)一、任务简介1、1任务题目多项式插值典型算法及其应用1、2任务目得基于MATLAB图形界面对测试案例利用分段线性插值、保型插值、三次样条插值、最邻近点插值、分片线性插值、双线性插值实现。
1、3任务案例案例一、数控机床加工零件待加工零件得外形根据工艺要求由一组数据(x,y)给出(在平面情况下),用数控机床加工时刀具必须沿这些数据点前进,并且由于刀具每次只能沿x方向或y方向走非常小得一步,所以需要将已知数据加密,得到加工所要求得步长很小得(x,y)坐标。
图1就是待加工零件得轮廓线,表1给出了轮廓线上x每间隔0、2(长度单位)得加工坐标x,y(顺时针方向为序,由轮廓线得左右对称性,表中只给出右半部得数据),假设需要得到x或y坐标每改变0、05时得坐标,试完成加工所需得加密数据,画出曲线。
图1、零件得轮廓线(x间隔0、2)0 0、2 0、4 0、6 0、8 1 1、25 4、71 4、31 3、68 3、05 2、5 2、051、4 1、6 1、8 22、2 2、4 2、61、69 1、4 1、18 1 0、86 0、74 0、642、8 33、2 3、4 3、6 3、8 40、57 0、5 0、44 0、4 0、36 0、32 0、294、2 4、4 4、6 4、8 5 4、8 4、60、26 0、24 0、2 0、15 0 -1、4 -1、96二、总体设计3、1分段线性插值给定n+1 个结点a=x0<x1<…<xn =b上得函数值y0, y1,…,yn ,求一折线函数Ih(x)满足:则称Ih(x)为分段线性插值函数。
插值法及拉格朗日插值多项式
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
f
(
x2
)
(
(x
x2
− −
x0 x0
) )
( (
x − x1)
x2 − x1
)
以类似的方法教师可以推导三次多项式。为了学生的
兴趣，教师也可以引入「拉格朗日乘数函数」。
最后教师可帮助学生引出 pn (x) , n = 1, 2, 3 的次数是 n 及在 n + 1 个表列点到 xi 上， pn (xi ) = f (xi ) 的结论， 但不须要将其引伸至一般情况。
作为进一步的说明，一些常用函数如正弦及余弦函数 是值得作为课堂上示范的。教师可要求学生将利用拉格朗 日插值多项式估计的中间函数值与由计算器算得的数值 作一比较。教师亦可举出一些实际例子如经济走势图表及 人口数据表并要求学生估计其中缺掉的一些数据。
3.4 插值各项式的误差估计
3
在此阶段，教师应提醒学生拉格朗日插值多项式只是
学生应知道多项式逼近函数是数值法最常用的一种。 利用多项式 p(x) 替代函数 f(x) 是因为多项式容易计算， 它只涉及整数幂；而其导数及积分本身又为多项式，并不 难求得；况且多项式方程的根亦很容易确定。
3.2 拉格朗日播值多项式的 构造
3
作为引入，教师可展示拉格朗日插值多项式 pn(x) 在
n = 1 的情形。以下的图解可帮助学生了解插值法的实际
3.3 拉格朗日插值多项式的 2
教师应展示拉格朗日插值多项式的应用例子。
应用
例一
下表列出在 0, 1, 2, 4 点上的四个函数值。
xk
012源自4yk11
2
插值多项式
由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
第9节 多项式插值PPT课件
证 明 ： f(n＋ 1)()0
多项式插值误差
• 例：已 知 sin1,sin1,sin3
6 2 0.85
sin
42
32
分别利用 sin0.x8 的1次外 内推 插、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
数值逼近（Approximation）
• Approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby.
0.2
0
-0.2
5
-0.4-5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
5
-5
0
4阶
0
10阶
注意：
上述插值 结果是正 确的多项 式插值结 果，而且 5 是唯一的 多项式插 值结果。 Rung现象 是多项式 插值本身 的缺陷而 非误差。
5
埃尔米特（Hermite）插值
在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求 它的导数值也相等。
det xx10nn xnn
... ...
...
x0 x1
xn
1
1
i j
(xi
xj )
0
1
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
计算方法-插值方法
这里
li(x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
ai,bi ,ci,di为待定系数,分别由Li(xi)=1 和Li′(xi)=0
及hi′(xi)= 1 (i=0,1,2……,n)确定.
21
Li
x
1
2x
xi
n
k 0 k i
xi
1
xk
li2
x
hi x x xi li2 x
,
x
( 6
, ) 3
= 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
x1
4
,
x2
3
sin 50 0.76008,
0.00538
R~1
5
18
0.00660
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
12
n= 2
L2 ( x)
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P( x) Ln ( x) p( x) ( x xi ) 也是一个插值 i0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
7
拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an xn 使得
0.00607001
15
Hermite插值简介
前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取
相同值,
Lagrange型插值条件
P
(
n
x
i
)
f (xi)
(i 0,1, ,n)
多项式插值的数学原理
多项式插值的数学原理在数学中，插值是指通过一些已知的数据点来构造一个函数，该函数可以从给定的输入(常常是一个有限数列)来预测输出的值。
插值的应用十分广泛，例如在图像编辑、信号处理、逼近函数、函数求值等方面都有所应用。
其中，多项式插值是最为常见的一种。
多项式插值的基本思想是，通过已知的数据点作为插值多项式的系数，来唯一确定一个函数。
具体来说，假设有 $n+1$ 个互不相同的数据点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \cdots, (x_n, y_n)$，我们要找到一个 $n$ 次多项式 $p(x)$，满足 $p(x_i) = y_i$，其中 $i=0, 1, \cdots, n$。
次数为 $n$ 的多项式可以表示成如下形式：$$p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$$因此，我们需要求解 $n+1$ 个未知量 $a_0, a_1, \cdots, a_n$，利用已知数据点的条件，可以列出 $n+1$ 个线性方程：$$\begin{cases} p(x_0) = a_0 + a_1 x_0 + a_2 x_0^2 + \cdots +a_n x_0^n = y_0 \\ p(x_1) = a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_1^2 + \cdots + a_nx_1^n = y_1 \\ \vdots \\ p(x_n) = a_0 + a_1 x_n + a_2 x_n^2 + \cdots + a_n x_n^n = y_n \end{cases}$$将以上 $n+1$ 个方程联立，得到一个 $(n+1) \times (n+1)$ 的线性方程组。
如果这个方程组的系数矩阵满秩，则方程组有唯一解，由此得到的多项式$p(x)$ 就是所求的插值函数。
在实际的计算中，常常利用矩阵消元或 LU 分解等算法来求解这个线性方程组。
多项式插值计算方法
多项式插值计算方法引言：在数学和计算机科学中，插值是一种常见的数值计算方法，用于通过已知的数据点来估计未知的数据点。
多项式插值是插值方法中的一种，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，从而实现插值的目的。
本文将介绍多项式插值的基本概念、计算方法和应用领域。
一、多项式插值的基本概念多项式插值是指通过已知的n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，构造一个n次多项式函数P(x)来逼近这些数据点。
通过将P(x)代入已知的数据点，可以满足P(xi) = yi，即多项式函数经过已知数据点。
二、多项式插值的计算方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用拉格朗日插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = L1(x)y1 + L2(x)y2 + ... + Ln(x)yn，其中Li(x)为拉格朗日基函数。
- 拉格朗日基函数的计算公式为Li(x) = Π(j=1 to n, j ≠ i)(x-xj)/(xi-xj)，即除了第i个数据点外，其他数据点的插值基函数的乘积。
- 将已知数据点代入插值多项式，可以得到相应的系数，进而得到插值多项式P(x)。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的多项式插值计算方法。
通过构造一个满足已知数据点的n次多项式函数P(x)，可以使用牛顿插值公式来计算多项式的系数。
具体步骤如下：- 构造插值多项式P(x) = c0 + c1(x-x0) + c2(x-x0)(x-x1) + ... + cn(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)，其中ci为差商。
- 差商的计算公式为ci = f[x0, x1, ..., xi]/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xi-1)，即已知数据点的函数值的差商。
- 使用差商递推公式可以计算出所有的差商，进而得到插值多项式P(x)。
多项式插值
三次样条插值 (spline,csape)
interp1，interp2, griddata
Lagrange插值
• 方法介绍 对给定的n个插值点 x1 , x2 ,, xn 及对应的函 数值 y1 , y2 ,, yn ，利用n-1次Lagrange插值多项 式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过 下式求的：
• 算例： >> years=1950:10:1990; >> service=10:10:30; >> wage = [150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; >> w = interp2(service,years,wage,15,1975) w= 190.6288
>> x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x); >> plot(x,y) >> y2=sin(x); hold on >> plot(x,y2,'--r')
Runge现象和分段插值
• 问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的 次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并 非如此。 1 f ( x) • 反例： 1 x2 在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此 区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项 式在全区间内并非都收敛。 • 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
1_多项式插值基本理论
yfnie@
10
二、插值多项式的构造方法
由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种 方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而 截断误差也都相同。 内容提要
Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题
August 6, 2012
August 6, 2012
yfnie@
13
1.2 Lagrange型插值公式
L n ( x ) f ( x i )li ( x )
i0
n
n
f ( xi )
n 1 ( x )
( x x i ) n 1 ( x i )
'
i0
不超过n次的多项式，满足所有的插值条件，因而是需 构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。
( x 1 )( x 0 ) ( 0 . 5 1 )( 0 . 5 0 )
2 3
x ( x 0 .5 )
2 ( x 1 )( x 0 . 5 )
4 3
x ( x 1)
二次插值多项式为
L 2 ( x ) f ( x 0 ) l 0 ( x ) f ( x 1 ) l1 ( x ) f ( x 2 ) l 2 ( x ) l 0 ( x ) 2 l1 ( x ) 3 l 2 ( x )
第二章 函数插值
问题提出
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数 值
2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 ……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计 算的近似表达式.
内容提要
多项式插值
k i
为 f ( x) 关于 xi , x k 的一阶均差（差商）。称
xk xi 为 f ( x) 关于 xi , x j , xk 的二阶均差（差商）。称
f [ xi , x j , xk ]
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ]
i jk
f [ x0 , x1 ,, xk ]
0 ( x) 1,
j ( x) ( x x0 )(x x1 )( x x j 1 ) ( x xi ), j 1, 2, , n
i 0
j 1
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn ( x)
a ( x)
j 0 j j
n
a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
多项式插值
问题描述：
设 x0 , x1 ,
, xn 是 a, b 上的 n 1 个互异点，构造 n 次多
p( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1, ,n
项式 p ( x) 满足：
多项式函数的基底为 0 ( x) 1, 1 ( x) x, , n ( x) xn ，由于
4.2.2 Newton插值公式
为了克服Lagrange插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节 点，使其具有“承袭性”，即可以充分利用已有的信息，我们 引进Newton插值公式。
设已知函数 f ( x)在 [a, b]上的 n 1个互异插值节点 x0 , x1 , , xn 上的函数值 f 0 , f1 , , f n ，将基函数取作：
x0 x1 xk
f [ x0 , x1 ,, xn ] ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
多项式插值基本定理
多项式插值基本定理多项式插值基本定理是数值分析中非常重要的概念，它在诸多领域有着广泛的应用。
本文将对多项式插值基本定理进行详细介绍，包括其数学原理、应用范围以及相关的数值计算方法。
希望通过此文，读者能够更深入地理解多项式插值基本定理的内涵和实际应用。
第一部分：多项式插值基本概念多项式插值是指在给定一组离散点的情况下，找到一个满足通过这些点的插值多项式。
例如给定离散点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)，找到一个 n 次多项式 P(x) 满足P(xi) = yi。
这个问题通常可以通过拉格朗日插值法或牛顿插值法来解决，其中牛顿插值法是通过差商的形式来表示插值多项式。
多项式插值基本定理则是关于这个问题的一个重要定理，它告诉我们在给定条件下，满足插值多项式存在且唯一。
第二部分：多项式插值基本定理的数学原理多项式插值基本定理可以通过数学和线性代数的知识来进行证明。
首先我们要定义插值多项式的存在和唯一性。
对于给定的离散点集合{(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)}，存在且唯一一个 n 次多项式 P(x) 满足 P(xi) = yi。
要证明这个定理，我们可以使用拉格朗日插值公式和线性代数的方法。
首先我们假设存在两个 n 次多项式 P(x) 和 Q(x) 都满足通过这组点，即 P(xi) = yi，Q(xi) = yi。
然后我们构造一个差多项式 D(x) = P(x) - Q(x)，它满足 D(xi) = 0。
接下来我们证明 D(x) 一定有 n 个零点。
由代数基本定理可知，一个 n 次多项式最多有 n 个零点。
所以由零点定理可得，D(x) 一定是一个 n 次多项式，并且至多有 n 个零点。
由于 D(xi) = 0，所以 D(x) 通过这组点。
又因为 D(x) 是一个 n 次多项式，并且有至多 n 个零点，根据唯一性定理可知 D(x) 必然是零多项式，即 P(x) = Q(x)。
插值多项式简介
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。
此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。
当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。
多项式插值这是最常见的一种函数插值。
在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。
从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。
插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。
这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。
多项式插值法和拉格朗日插值
多项式插值法和拉格朗日插值教案一多项式插值法和拉格朗日插值基本内容提要1 多项式插值法的基本概念2 插值多项式的存在性与唯一性分析3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求1 熟练掌握多项式插值法的基本概念2 理解插值多项式的存在性与唯一性3 掌握拉格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程教学重点1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析2 插值误差的分析与估计3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。
基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。
§2.1 多项式插值2.1.1 基本概念假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。
(2.1)把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0数）， f(x)称为被插函数。
[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。
如果P(x)为m次多项式Pm(x)=a0xm+a1xm−1+Lam−1x+am,则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。
多项式函数插值：全域多项式插值（一）单项式基插值、拉格朗日插值、牛顿插值[MATLAB]
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多项式函数插值：全域多项式插值（⼀）单项式基插值、拉格朗⽇插值、⽜顿插值[MATLAB] 全域多项式插值指的是在整个插值区域内形成⼀个多项式函数作为插值函数。
关于多项式插值的基本知识，见。
在单项式基插值和⽜顿插值形成的表达式中，求该表达式在某⼀点处的值使⽤的Horner嵌套算法啊，见""。
1. 单项式(Monomial)基插值1）插值函数基 单项式基插值采⽤的函数基是最简单的单项式：\phi_j(t)=t^{j-1}, j=1,2,...n;\quad f(t)=p_{n-1}(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...x_nt^{n-1}=\sum\limits_{j=1}^nx_jt^{j-1} 所要求解的系数即为单项式系数x_1,x_2,...x_n，在这⾥仍然采⽤1,2,...n的下标记号⽽不采⽤和单项式指数对应的0,1,2,...,n-1的下标仅仅是出于和前后讨论⼀致的需要。
2）叠加系数 单项式基插值采⽤单项式函数基，若有m个离散数据点需要插值，设使⽤n项单项式基底：x_1+t_1x_2+t_1^2x_3+...+t_1^{n-1}x_n=y_1\\ x_1+t_2x_2+t_2^2x_3+...+t_2^{n-1}x_n=y_2\\ ...... ...... ...... ...... ...... ......\\ x_1+t_mx_2+t_m^2x_3+...+t_m^{n-1}x_n=y_m 系数矩阵为⼀m\times n的矩阵(m\leq n)，范德蒙(Vandermonde)矩阵：\begin{bmatrix}1&t_1&t_1^2&...&t_1^{n-1}\\1&t_2&t_2^2&...&t_2^{n-1}\\...&...&...&...&...\\1&t_n&t_n^2&...&t_n^{n-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\...\\y_n\end{bmatrix} 根据计算基本理论中的讨论，多项式插值的函数基⼀定线性⽆关，且只要离散数据点两两不同，所构成的矩阵⾏也⼀定线性⽆关，这保证了矩阵⼀定⾏满秩。
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( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
• 性质1：拉格朗日多项式在本插值点值为1，其它插值点值为0。
1
1 0.8
1 k j lk ( x j ) 0 k j
0.8
0.6 0.4 0.2
0.6
0.4
0 -0.2
0.2
巴尔默谱系
• 实验总结： 1885年，瑞士一位中学数学教师J.J.Balmar(巴 尔默)指出，上述谱线的频率符合下列公式：
1 1 v 3.289 10 ( 2 2 ) Hz 2 n • 由此公式可算出： – 当n＝3时，是Hα的频率 – 当n＝4时，是Hβ的频率 – 当n＝5时，是Hγ的频率 – 当n＝6时，是Hδ的频率
l ( x) 1
k 0 k
n -1
拉格朗日多项式
• 例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多 项式插值计算 lg12的近似值。
一阶插值，选择 x 10和 20则插值基函数为： x 20 1 x 10 1 l0 ( x) ( x 20) l1 ( x) ( x 10) 10 20 10 20 10 10 1 1.3010 P ( x ) y l ( x ) y l ( x ) ( x 20) ( x 10) 1 0 0 11 10 10
• 差异：
y y
插值函数必 须经过插值点。
x xBiblioteka 拟合函数不必 经过拟合点。
插值
• 在已知 < xi, yi > 的前提下，有多少函数满足yi = f (xi) ？
y
x
• 给定任意一组< xi, yi >，存在无穷多函数满足yi = f (xi) ，因 此，在解决插值问题前，必须首先明确所采用的插值函数。 • 常用插值函数：
15
数值逼近
• 插值（interpolate）
– 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： yi = f (xi)
– 其中， f (x)为插值函数， xi处为插值节点，插值节点的区间称为 插值区间， yi = f (xi)为插值条件。
• 拟合（fit）
– 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： e =‖yi - f (xi) ‖ 在给定的准则下最小。
f ( n＋1) ( x)在（a, b）存在，节点a x0 x1 ... xn b, Pn ( x)是n次拉格朗日插值多项式，则对任意的x [a, b], 必存一点 (a, b), 使插值余项： Rn ( x)
n 1 时 n 2时 f ''' ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 6
Pn ( x) yk
k 0 n
n 1 ( x) ( x xk ) 'n 1 ( xk )
拉格朗日多项式性质
x x1 一阶插值公式：l0 ( x) x0 x1 二阶插值公式：l0 ( x) x x0 l1 ( x) x1 x0 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l1 ( x) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
二阶插值，选择 x 10和 20则插值基函数为： ( x 15) ( x 20) 1 l0 ( x) ( x 15)( x 20) (10 15) (10 20) 50 ( x 10) ( x 20) 1 l1 ( x) ( x 10)( x 20) (15 10) (15 20) 25 ( x 10) ( x 15) 1 l2 ( x) ( x 10)( x 15) (20 10) (20 15) 50
n 1 n an x0 x0 ... a1 x0 a0 y0 ... x0 1 an y0 n n 1 x1 ... x1 1 ... y1 an x1 ... a1 x1 a0 y1 a1 ... ... n n 1 xn ... xn 1 a0 yn an xn ... a1 xn a0 yn
拉格朗日多项式
P2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
1.3 log10 P1(x) P2(X) X
1 1.25 ( x 20)( x 15) 50 1.2 1.1761 1.15 ( x 10)( x 20) 25 1.1 1.3010 1.05 ( x 10)( x 15) 50 1 10 最后得到 : P 1 (12) 1.0602 （三位有效数字） P2 (12) 1.0766 （四位有效数字） log(12) 1.0792
n
令： n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn )
'n 1 ( xi ) ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn ) n 1 ( x) 则： li ( x) ( x xi ) 'n 1 ( xi )
多项式插值的另一表示-拉格朗日多项式
• 多项式插值的拉格朗日多项式表示：
– 给定插值点< xi, yi >，其插值多项式可表示为：
Pn ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) ... ynln ( x) yk lk ( x)
k 0
n (x x ) ( x x0 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn ) j 其中，li ( x) = ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn ) j 0 ( xk x j ) j k
A = vander(x) display(strcat('cond(A) = ' , num2str(cond(A)))) display(' ') display('P = A \ y.' ) P = A \ y.' ; P = P.' plot(x, y, 'o') hold on xx = 0 : 0.01 : 1; yy = P(1) * xx.^5 + P(2) * xx.^4 + P(3) * xx.^3 + P(4) * xx.^2 + P(5) * xx.^1 + P(6); plot(xx, yy)
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
多项式插值
• 例：已知 x = 0 , 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0，y = 1.0, 1.17, 1.70, 2.59, 3.93, 6.00，求5阶多项式差值。
– 问题1：已知美国1900年~2000年人口数，分析美国人口变化规律， 预测美国未来人口数目； – 问题2：已知某元件在电压为v1…vn时，其电流为i1…in，求该元件 的伏安特性曲线。
巴尔默谱系
• 当极少量的高纯氢气在高真空玻璃管中，加入高电压使之 放电，管中发出光束，使这种光经过分光作用，在可见光 区得到四条颜色不同的谱线。
7 6 5 4 3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
多项式插值
clear all close all clc x = 0 : 0.2 : 1 % display('y = 3 * x.^5 - 4 * x.^4 + 2 * x.^3 + 4 * x.^2 + 1') y = 3 * x.^5 - 4 * x.^4 + 2 * x.^3 + 4 * x.^2 + 1
f ( n＋1) ( ) f ( n＋1) ( ) n f ( x) Pn ( x) n 1 ( x) (x x j ) (n 1)! (n 1)! j 0
-0.4 -0.6 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
0 -0.1
-0.05
0
0.05
0.1
二阶拉格朗日差值函数
四阶拉格朗日差值函数
拉格朗日多项式性质
y 1 x 0 1 2 3 4 5
性质：对于任意x都有： lk ( x ) 1
k 0
n 1
证明： 根据拉格朗日插值的定义，则插值函数经过插值节点： {( x0 ,1), ( x1 ,1),..., ( xn-1 ,1)}, 所以函数f ( x) 1是经过上述插值节点的多项式函数。 又由于多项式插值的唯一性，所以有：
• • • • • •
figure hold on plot(xx, log10(xx), 'r'); plot(xx, yy1, 'g'); plot(xx, yy2, 'black'); plot(x, y, 'b')
多项式插值误差
• 定理： 设函数y f ( x)的n 阶导数f ( n ) ( x)在[a, b]上连续，
求解该线性方程组即可得到多项式的系数
插值多项式的存在唯一性
• 该线性方程组有解吗，解唯一吗？ • 唯一性定理：通过n+1个节点的n阶插值多项式存在且唯一。 证明：
n x0 ... x0 1 n x ... x 1 1 det 1 ( xi x j ) 0 i j n xn ... xn 1