弹性力学-02-1

—— 面力分布集度（矢量）
z
—— 面力矢量在坐标轴上投影 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
O x y
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的; (3)
的正负号由坐标方向确定。
2. 应力 (1) 一点应力的概念
xy 2u 2 v + z zy zx yz 2v 2 w + x xz xy zx 2 w 2u + y yx yz
yz zx xy 2 u x + y + z 2 yz x x
连续性方程

连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条 件。 如应变分量满足连续性方程，可保证位移分量存 在。

内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互 作用力; (不考虑) (2) 由于外力作用引起的相互作用力.
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 (2) 应力矢量. Q的极限方向 由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度

P ΔA
ΔQ

n
(法线)
应力分量 单位:
应力的法向分量 应力的切向分量
—— 正应力 —— 剪应力
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： y面的应力： z面的应力：
用矩阵表示：
z
其中，只有6个量独立。 剪应力互等定理 应力符号的意义：
x O y
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
y
zy zy + dz zx yz zx + z dz x yz + dy z y yx xy e y y+ dy dz xz y yx e' yx + B dy yz P dy y zx
dx
C
z + z dz
z
zy
A
o
z
x x + dx x
xz xz + dx x x
xy +
xy x
y
dx
首先，以连接六面体前后两面中心的直线
为矩轴，列出
力矩的平衡方程
z
z + z dz z C zy zy + dz zx z + yz zx + dz dy z yz
y yz P
yx
dz
e
e'
dx
o A
zy
dy
zx
y y y+ dy y yx yx + dy B y
z
y
x
整理，并略去微量后，得
同样可以得出
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方
程。化简，除以dxdydz，得
第二章
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
弹性力学的基本方程和一般定理
弹性力学中的几个基本概念 平衡（运动）微分方程 几何方程和连续性方程 广义Hooke定律 斜面应力公式与应力边界条件 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。 1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。） (1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
与材力中剪应力τ正负 号规定的区别： 规定使得单元体顺时 转的剪应力τ为正， 反之为负。
z
O x
y y
在用应力莫尔圆时必 须用此规定求解问题
2 y
将第4式代入得：
2 2 2 x y xy + 2 2 y x xy

同理：
2 z 2 x 2 zx + 2 2 x z zx
2 y
2 2 z yz + 2 2 z y yz
后三式分别对z、y 、x求偏导得：
v
dy B y
xy +
v + v dx v x v tan dx x

xy
u + u dy u y tan u dy y

v u + x y
整理得：
——几何方程
O x
u
P
dx
v
dy B
A
y

同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可 得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也 称柯西(Cauchy)方程
v
dy y

A
P
u
v

B
A
A
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
B
B
PA的正应变： u + u dx u u x x x dx PB的正应变： v + v dy v y v y dy y P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
O
x
u
P
dx A
几何方程
说明：
（1） 几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6 个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 （2） 位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完 全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移 分量。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运 （3） 动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力 学问题都适用。

2 x 3u 第1式对y求两阶偏导 2 y xy 2
3u 第2式对x求两阶偏导 2 x yx 2
两式相加：
2 2 x y 3u 3u + 2 + 2 2 y x xy xy 2 2 u v + xy y x
yz zx xy 2 v x y + z 2 zx y y yz zx xy 2 w x + y z 2 xy z z
—— 体力分布集度 （矢量） X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： N/m3 kN/m3
O y z
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力
描述位移与应变之间关系的方程称为几何方
程
一.几何方程
PA=dx PB=dy PC=dz C C’
P
P’ A
B
研究在oxy平面 内投影的变形，
B’
A’
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
x P
u
P
B
dx A
PA dx
变形前 P
PB dy
变形后
A
O P B y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
xAΒιβλιοθήκη PBOz
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S
P
P v
u
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。
x
3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变γ度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
z
C
三个平面内的剪应变： 应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
2 2 2 x y xy + 2 2 y x xy 2 z 2 x 2 zx + 2 2 x z zx 2 y 2 z 2 yz + 2 2 z y yz yz zx xy 2 u x + y + z 2 yz x x
需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与外力(体力、面力)间的关系； （2）几何学关系： 形变与位移间的关系；
（3）物理学关系：(本构关系) 形变与应力间的关系。
§2-2 平衡(运动)微分方程
在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱 边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。

同理：
yz zx xy 2 v x y + z 2 zx y y yz zx xy 2 w x + y z 2 xy z z
二.连续性方程
应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量； 这是唯一确定的。 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。 -------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则 6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才 有可能得到唯一的位移解。 -------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应 变间必须满足一定关系。称为相容性。 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续 性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。