圆的标准方程导学案
导学案-圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程学习目标：1.认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2.掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3.能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.学习重点难点：圆的标准方程是重点；推导圆的方程的思想方法是难点。
课前探究：1.已知一个圆的圆心在点A(1,2)处，半径是2,请你判断下列各点是在圆上、圆内还是圆外？请写出你的判断方法。
E(-1，0.5) , F(1，4) , G(2，3)2.如果一个点P(x,y)在圆A 上，那么P 应满足什么条件？P 的坐标x,y 应满足什么条件？3.如图：设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的任意一点， P 应满足什么条件？你能写出该圆的方程吗？课堂展示：试试身手：1. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程2. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为： ；3. 单位圆：圆心在原点且半径为1的圆；其方程为：4.写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点1(5,7)M -,2(1)M -是否在这个圆上.5.写出圆心在C （8,-3），且经过点M （5,1）的圆的方程。
问题：给出圆上两个点A （5,1），B （7,-3），你能写出圆的方程吗？为什么？你再补条件： 后，试试看能不能写出满足上述条件的圆的方程。
课堂小测试：1）分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：1.22(5)(4)18x y +++=2.22(1)3x y ++=3.22144x y += 2）根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程.1.圆心是(2,3)C ，且经过原点.2.已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，以线段PQ 为直径.小结与反思：课后练习：1.求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；2.圆心在原点且与直线0124=-+y x 相切的圆方程3.圆过点（0,1）（0,3）半径等于1的圆方程4 过点C （-1，1）和D （1，3） ,,圆心在x 轴上的圆的方程为5.圆心在y x =-上且过两点()()2,0,0,4-.6.圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点()2,1-.7.圆心在直线5380x y --=上，且与两坐标轴都相切.8.一圆在x,y 轴上分别截得弦长为14和4，且圆心在直线2x+3y=0上，求此圆的方程.9.求经过三点(1,1),(1,4),(4,2)A B C 的圆的方程。
2.2.1圆的标准方程-导学案
圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。
【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
高一年级数学 圆的标准方程导学案
圆的标准方程导学案 一、学习目标 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程； 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和 半径；由不同的已知条件求得圆的方程. 3.掌握点和圆的位置关系. 二、温故知新回顾直线方程的知识完成下列问题：（1）直角坐标系中任意两点),(11y x A ，),(22y x B 的距离=||AB ；特殊的，),(y x P 与原点的距离为 ；AB 的中点M 的坐标为 ．（2）已知两点)2,2(),1,1(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ．三、合作探究任务一 推导圆的标准方程．（类比直线的方程）任务二 认识圆的标准方程．写出下列圆的圆心坐标和半径.圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x4)4()1(22=++-y x9)2(22=++y x8)3(22=-+y x2223)(-=+y x222)(a y a x =+-任务三 圆的标准方程的应用模块一 判断点和圆的位置关系例1 写出圆心为)1,0(O ，半径为25的圆的方程，并判断点)8,1(A ，)2,2(B ，)5,6(C 是否在圆上．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系判定方法：模块二 求圆的标准方程例2 ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)82(),37(),15(--，，，C B A ，求它的外接圆的方程．例3 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程．练习题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）A ．在圆外 B.在圆上 C. 在圆内 D.在圆上或在圆外3．圆x 2＋y 2＝1上的点到点M(3，4)的距离的最小值是( )A ．1B ．4C ．5D ．64．若点)12,15(a a P +在圆1)1(22=+-y x 的外部，则a 的取值范围为________．5. 一圆经过点P(－4，3)，圆心在直线2x －y ＋1＝0上，且半径长为5，求该圆的方程．6．平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？。
圆的标准方程学案
圆的标准方程导学案学习目标1、理解圆的定义，能正确推导圆的标准方程2、会求圆的标准方程，了解圆的标准方程的简单应用课题引入已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？复习圆的定义：其中定点叫，定长叫。
在平面直角坐标系中，两点确定一直线，一点和倾斜角也能确定一直线，类比此性质，您知道确定一个圆的最基本要素是什么？①圆心在（a,b），半径为r的圆的标准方程为②圆心在原点，半径为r的圆的标准方程为随堂练习1：1.写出下列圆的标准方程①圆心为（-3，4②圆心在C(8，-3),且经过点M（5,1）2.求下列圆的圆心坐标与半径①（x-3）2+(y+2)2 =16 ②(x+1)2+(y+2)2=2 ③x2+y2=1④x2+y2-2x=0 ⑤x2+y2-2x+4y+1=0例1.写出圆心为A（2，-3）半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-1），M2（-1，-3）是否在这个圆上？探究1：如何判断一个点是否在圆上？①若点M2不在圆上，那它在圆内还是圆外？②点与圆的具体位置关系是什么？探究2：如何判断一个点P（x0,y0）是在圆（x-a）2+(y-b)2=r2的内部还是外部？结论：（x0-a）2+(y0-b)2=r2⇔在圆上⇔在圆内⇔在圆外随堂练习2：3.已知圆的方程是（x-3）2+(y+2)2=16，利用计算器，判断下列各点在圆上、在圆外、还是在圆内？（4.30, -5.72）（5.70，1.08）（3，-6）例2、ΔABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程。
例3、已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线ι：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
思考：比较例2和例3，你能归纳出求任意三角形ABC外接圆方程的两种方法吗？随堂练习3：4.已知两点P1（4，9），P2（6，3），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）在圆上、在圆内、还是在圆外（可利用计算器）？5.已知ΔAOB的顶点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求ΔAOB外接圆的方程。
圆的标准方程导学案
圆的标准方程导学案部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑圆的标准方程学习目标：<1）掌握确定圆的几何要素；<2）掌握圆的标准方程的推导步骤；<3）掌握圆的标准方程，能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径；<4）会判断点与圆的位置关系；<5）会根据不同条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求解方法。
一、导入与探究数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法———____________来研究几何问题。
b5E2RGbCAP在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和____________也可确定一条直线.p1EanqFDPw圆的定义：____________________________________________________________________ ____。
由此知，DXDiTa9E3d在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.在平面直角坐标系中，圆心坐标为，半径为，设为这个圆上任意一点，则由圆的定义知___________________________________RTCrpUDGiT代数式为___________________________________化简得 ___________________________________若点在圆上，显然点的坐标适合上述方程；反之，点的坐标适合上述方程，则说明点到圆心的距离等于____，即点在以为圆心的圆上。
5PCzVD7HxA4.圆心为点，半径为的圆的标准方程：_________________________________jLBHrnAILg5.圆心为坐标原点、半径为r的圆的标准方程是：圆心在坐标原点、半径为1的圆的标准方程是：二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在C(-3，4>，半径等于；（2）圆心在点C(8，-5>，且经过点M(5,1>；（3）已知A(2,5>，B(0，-1>，线段AB为圆的直径。
2.2.1(1)圆的标准方程导学案
课题：2.2.1圆的方程（第1课时）一、【学习目标】1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
二、【学习重难点】重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、【自主学习】（一）阅读课本P107-108，回答下列问题：问题一：1、作出以O为圆心，2cm为半径的圆2、以定点O为原点建立平面直角坐标系，设P（x,y）是圆上任意一点，由圆的定义可知OP= ，由两点间距离公式代入。
3、化简得，即圆心在（0，0），半径为2的圆方程。
问题二：你能用上述方法推导出以O（0，0）为圆心，r为定长的圆的方程吗？问题三：你能同理推导出以C（a,b）为圆心，r为半径的圆的方程吗？结论：方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为；特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为．（三） 问题4：已知圆的方程22(5)(4)9x y -++=，试判断点123(5,7),(2,1),(4,3)M M M ---是否这个圆上。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+- 2r ，点在圆（2）2200()()x a y b -+- 2r ，点在圆（3）2200()()x a y b -+- 2r ，点在圆五、【典型例题】已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.六、课堂小结：1、圆的标准方程2、点与圆的位置关系的判断方法：3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。
四、【交流展示】根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程．(1)圆心是(2,3)C ，且经过原点． (2)以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的(3)以点(1,2)A -为圆心，并且和y 轴相切的(4)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，以线段PQ 为直径．(5)圆心在直线280x y --=上，且与两坐标轴都相切．当堂检测（1）以（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 。
圆的标准方程学案
圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。
2、教学手段：PPT、板书、实物展示。
七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。
2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。
3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。
八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。
高中数学圆的标准方程精品导学案
圆的标准方程
一、课前导学
1、自学课本P118-P120.
2、思考问题：具有什么性质的点的轨迹称为圆
3、圆的标准方程为
4、P120 练习1（1）（2）（填入答案）
5、说出下列圆的圆心和半径：
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心半径
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；圆心半径
(3)(x+2)2+ y2=4 圆心半径
二、课堂导学
1、推导圆的标准方程（重点：轨迹方程的求法）
2、例题
例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
例2 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
例3课本P120例3
三、课堂小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的标准方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
四、课堂练习
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)经过点P(-2，1)，圆心在点C(3，-3)；
(2)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(3)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．。
2.4.1 圆的标准方程 导学案正文
2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程【学习目标】1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.◆知识点一圆的标准方程1.圆的标准方程圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是.和分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.2.几种常见的特殊的圆的方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r>0)过原点(x-a)2+(y-b)2= a2+b2(a2+b2≠0)圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圆与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.( )(4)已知A为定点,点M满足集合P={M||MA|=r(r>0)},则点M的轨迹为圆.( )◆知识点二点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法位置关系判断方法几何法代数法点M在圆上|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆外|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆内|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2◆探究点一求圆的标准方程例1根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);(2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;(3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点;(4)圆心在直线l:2x+3y-8=0上,且经过点P(1,0)和点Q(3,2).例2已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=9C.x2+(y+1)2=9D.x2+y2=9变式1圆心在直线y=x+3上,且过点A(2,4),B(1,-3)的圆的标准方程为.变式2已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.[素养小结]求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.拓展已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,求圆M的标准方程.◆探究点二判断点与圆的位置关系例3 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.(3)已知点M(5√a+1,√a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围.。
人教版高中数学必修二第4章第1节圆的标准方程导学案
第四章第一节圆的标准方程三维目标1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.初步体会求点的轨迹方程的思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.在平面直角坐标系中，圆的定义是什么？确定它的要素有哪些？问题2.如果一个圆以点P（a,b）为圆心，r为半径，你能否求出表示圆的方程？如果圆心在原点，方程又该如何？确定圆的标准方程的要素有哪些？.【学做思2】1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（2，-1），P(5，2)是否在这个圆上。
【思考】点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？*2.已知圆的方程过点A(-4,0),B(0,2)和原点，求圆的标准方程。
【思考】从几何角度思考，该题还可以怎样解？3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
【思考】比较两个例题，你能总结出求圆的标准方程的两种方法吗？达标检测*1.方程x+1=1-y2表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．半个圆2.圆心在C(8，-3),且经过点M(5，1)的圆标准方程是_____________；3.若A(4,9),B(6,3)，则以A、B两点为直径的圆的标准方程是_____________；4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则求圆C2的标准方程。
5.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程。
必修二圆的标准方程导学案
(3)已知两点R(4,9), P 2(6, 3),求以RP 2为直径的圆的方程，并判断M (6,9) , N (5,3) 和K(7,2)分别是在圆上、圆外，还是在圆内如何判断 点在圆上？圆 内？圆外？ 新课探究课题圆的标准方程 课型 新授课 课时 1课时 学习 目标 1、 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、 会用待定系数法和几何法求圆的标准方程。
教学过程与内容复习回顾1. 直线x - 2y _1 =0与3x _4y _13 =0的交点坐标为2.点A( 21)与点B(6, -3)的距离为3.已知点A(_2,1)点B(6, -3)，则线段AB 垂直平分线的方程是新课预习1、推导圆的标准方程：阅读课本P118 设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为r 。
(其中a 、b 、r 都是常数，r>0)设M(x,y)为这 个圆上任意一点，你能推导出圆的方程吗？ 思考：1.如何求圆的 方程？(要点是 什么)2、预习检测： 根据下列条件，求圆的方程，并画出图形:随堂手记圆的标准方程：—圆心： (1)圆心在 C(-3,4)，半径长是 5 ； (2)圆心在点C ( — 2, 1)，并过点 A 2,— 2);【例题】已知圆的标准方程为(x-3a)2 (y-2a)2=25，圆上有两点A,B关于直线x-3y-3=0对称，求圆的方程。
【变式1】已知圆的方程为(x - a)2 (y - b)^ 25，圆心在直线x+y+5=0上，且圆上有两点A,B关于直线x-3y-3=0对称，求圆的方程。
【变式2】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2, -2)，且圆心在直线丨：x - y • 1 =0 上，求圆心为C的圆的标准方程。
2.圆心在点A(—1,2)，并过点B(3,2)的圆的方程 ______________________________________3.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0的圆的方程为( )课后反思: (A)(x-3)2 (y 1)2 =4 (B)(x+3)2 (y-1)2=42 2 2 2(C)(x-1) (y-1) =4 (D)(x+1) (y+1) =44.求经过两点A( -1,4), B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程.小结:作业:课本P121-4，P124-2、3、4、6。
圆的方程(优秀导学案)
§8.3圆的方程考试要求 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b )半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)教材改编题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(2,3)，3 B ．(－2,3)， 3 C ．(－2，－3)，13 D ．(2，－3)，13答案 D解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13. 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－2，2)解析 ∵原点(0,0)在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部， ∴(0－m )2＋(0＋m )2<4， 解得－2<m < 2.题型一 圆的方程例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 C解析 到两直线3x －4y ＝0,3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M 的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.(2)已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________． 答案 x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0解析 方法一 设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10， 即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.方法二 线段AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得交点坐标O (－1，－2)， 又点O 到点A 的距离d ＝10， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10， 即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 教师备选1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254答案 C解析 方法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 方法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．由题意知圆E 的圆心在x 轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为 |EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 2．在平面直角坐标系Oxy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8 D ．x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1,2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1 (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4答案 A解析 根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)(2022·长春模拟)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1答案 B解析 设圆心坐标为(a ，b )(a >0，b >0)，由圆与直线4x －3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d ＝|4a －3b |5＝r ＝1，化简得|4a －3b |＝5，①又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝－1(舍去)， 把b ＝1代入①得4a －3＝5或4a －3＝－5， 解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 题型二 与圆有关的轨迹问题例2 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)． 教师备选已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知点P 坐标为(2x －2,2y )． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON (图略)， 则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2 ＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为 x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2 (1)当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，连接它与定点Q (3,0)，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1答案 C解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，因为PQ 的中点为M ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1，所以M 的轨迹方程即为(2x －3)2＋4y 2＝1.(2)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( ) A ．8x －6y －21＝0 B ．8x ＋6y －21＝0 C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0答案 D解析 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，连接PC ，CQ (图略)， 因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ， 所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2， 即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0. 题型三 与圆有关的最值问题 命题点1 利用几何性质求最值例3 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值；(3)求y －x 的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k .设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. ∵直线MQ 与圆C 有交点， ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值，∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9，最小值为1. 命题点2 利用函数求最值例4 (2022·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则P A →·PB →的最大值为________． 答案 12解析 由题意，得P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )， 所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1， 故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4 ＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究 若将本题改为“设点P (x ，y )是圆(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0， －2)”，则|P A →＋PB →|的最大值为________． 答案 10解析 由题意，知P A →＝(－x ，2－y )， PB →＝(－x ，－2－y )， 所以P A →＋PB →＝(－2x ，－2y )， 由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4， 故y 2＝－(x －3)2＋4， 所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5， 所以当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.教师备选1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 ∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点， |AB |＝2m (m >0)，∴|OC |－r ≤m ＝|OP |≤|OC |＋r ， 又C (3,4)，r ＝1，∴4≤|OP |≤6，即4≤m ≤6.2．若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．2 2C ．4 2D ．4 答案 B解析 由已知得线段AB 为圆的直径． 所以|P A |2＋|PB |2＝4， 由基本不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |＋|PB |22≤|P A |2＋|PB |22＝2， 所以|P A |＋|PB |≤22，当且仅当|P A |＝|PB |＝2时，等号成立． 思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y －b x －a，t ＝ax ＋by ，(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3 (1)已知A (－2,0)，B (2,0)，点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －7)2＝1上的动点，则|AP |2＋|BP |2的最小值为( )A ．9B ．14C ．16D ．26答案 D解析 设O 为坐标原点，P (x ，y )，则|AP |2＋|BP |2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8＝2|PO |2＋8.圆C 的圆心为C (3，7)，半径为r ＝1，OC ＝4，所以|PO |2的最小值为(OC －r )2＝(4－1)2＝9，所以|AP |2＋|BP |2的最小值为26.(2)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为( ) A ．2 B.174 C.295 D.13134答案 B解析 由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0得(x －2)2＋(y －1)2＝9.2x ＋3y ＋3x ＋3＝2＋3×y －1x ＋3＝2＋3k P A ， 其中A (－3,1)为定点，点P (x ，y )为圆上一点．设过定点A 的直线l ：y －1＝k (x ＋3)与圆相切，则|5k |1＋k 2＝3，解得k ＝±34， 所以－34≤k P A ≤34， 所以2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为2＋3×34＝174. 课时精练1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A ．(4，－6)，16B ．(2，－3)，4C ．(－2,3)，4D ．(2，－3)，16答案 C解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 答案 A解析 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 设圆心为(a ，0)(a >0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，故选D.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(多选)已知△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)，则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是( )A ．圆M 的圆心坐标为(1,3)B ．圆M 的半径为 5C ．圆M 关于直线x ＋y ＝0对称D ．点(2,3)在圆M 内答案 ABD解析 设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4－D ＋2E ＋F ＝0，4＋1＋2D ＋E ＋F ＝0，9＋16＋3D ＋4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－6，F ＝5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －6y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝5.故圆M 的圆心坐标为(1,3)，圆M 的半径为5，因为直线x ＋y ＝0不经过圆M 的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．6．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m 的取值范围为________．答案(0,4)解析设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2<10，解得0<m<4.8．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ＝－2， 故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.9．已知圆心为C 的圆经过点A (－1,1)和B (－2，－2)，且圆心在直线l ：x ＋y －1＝0上．(1)求圆心为C 的圆的标准方程；(2)设点P 在圆C 上，点Q 在直线x －y ＋5＝0上，求|PQ |的最小值．解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵圆经过点A ()－1，1和B ()－2，－2，且圆心在直线l ：x ＋y －1＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－a )2＋()1－b 2＝r 2，(－2－a )2＋()－2－b 2＝r 2，a ＋b －1＝0，解得a ＝3，b ＝－2，r ＝5，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>5，∴直线与圆C相离，∴|PQ|的最小值为d－r＝52－5.10．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝|5＋3|2＝42，则|QM|的最小值为32－16＝4.11．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，|P A|＝1，则点P的轨迹方程是() A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x答案 B解析∵|P A|＝1，∴点P和圆心的距离恒为2，又圆心坐标为(1,0)，设P(x，y)，∴由两点间的距离公式，得(x －1)2＋y 2＝2.12．等边△ABC 的面积为93，且△ABC 的内心为M ，若平面内的点N 满足|MN |＝1，则NA →·NB→的最小值为( )A ．－5－2 3B ．－5－4 3C ．－6－2 3D ．－6－4 3答案 A解析 设等边△ABC 的边长为a ，则面积S ＝34a 2＝93，解得a ＝6.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由M 为△ABC 的内心，则M 在OC 上，且OM ＝13OC ，则A (－3,0)，B (3,0)，C (0,33)，M (0，3)，由|MN |＝1，则点N 在以M 为圆心，1为半径的圆上．设N (x ，y )，则x 2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2－23y ＋2＝0，且3－1≤y ≤1＋3，又NA →＝(－3－x ，－y )，NB →＝(3－x ，－y )，所以NA →·NB →＝(x ＋3)(x －3)＋y 2＝x 2＋y 2－9＝23y －11≥23×(3－1)－11＝－5－2 3.13．(多选)已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是() A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 2答案ACD解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D正确．14．已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为________．答案x2＋y2＝a2解析如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB 斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.15．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．答案2[]－16，4解析圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝2，若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝|6＋m| 5.所以r d ＝2|6＋m |5≥22，解得－16≤m ≤4. 16．在平面直角坐标系Oxy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1，0)，B (x 2，0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12. 此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明 设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫25，45.。
圆的标准方程 学案 导学案 课件
圆的标准方程学习目标1、能理解圆的标准方程的特点以及求出过程；2、会判定平面内点和圆的位置关系；3、会根据条件求圆的标准方程.重点难点重点是判断平面内点和圆的位置关系以及求圆的标准方程。
难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
学习方法数形结合情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
学习过程一、知识链接初中关于圆的知识：1.圆的概念：平面内到的距离等于的点的轨迹称为圆，定点是，定长是。
2. 确定了圆的位置，确定了圆的大小.所以，要确定一个圆，只需要确定圆的和即可。
二、自主学习我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线.并且在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？这就是我们这节课所要学习的内容.（1）探究圆的标准方程：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都是常数，r>0）.设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是： ,由两点间的距离公式，点M适合的条件可以表示为，化简得： (1)若点M（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适合方程(1)；反之，若点M（x，y）的坐标适合方程（1），这说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A的圆上.所以我们把方程（1）称为圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程.思考：圆的方程具有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上？温馨提示：可以从计算点到圆心的距离入手。
（2）探究点和圆的位置关系：判断点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：设圆心为A(a,b)，则d MA =，（1）点在圆外时，d r , 则2200()()x a y b -+->2r ；（2）点在圆上时，d r , 则 2200()()x a y b -+- =2r ；（3）点在圆内时，d r , 则2200()()x a y b -+-<2r 。
高中数学《圆的标准方程》导学案
4．1.1圆的标准方程课前自主预习知识点一圆的标准方程1．圆的基本要素圆的基本要素是□1圆心和□2半径．2．圆的标准方程圆的标准方程是□3(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r.知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P120，T1)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为3，则此圆的标准方程为____________________．(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标和半径分别为____________．(3)(教材改编，P121，T2)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________．答案(1)(x＋1)2＋(y－3)2＝3(2)(－2,2)，5(3)点A在圆上3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A ．(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x －5)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝4答案 A课堂互动探究探究1 点与圆的位置关系例1 已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 ∵点A 在圆的内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2且a ≠0，∴2a ＋5<0，∴a <－52且a ≠0，∴a 的取值范围是a <－52.[条件探究] 将例1改为：已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 解法一：由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 解法二：由例1知点A 在圆C 的内部时，a <－52，所以点A 不在圆C 的内部时，a ≥－52，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．拓展提升1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．2．求解参数范围若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练1】 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，求实数a 的取值范围．解 ∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a ，－a )的距离大于半径2，∴ (a －1)2＋(－a －1)2>2，解得a >1或a <－1.探究2 求圆的标准方程例2 求过点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.[解法探究] 例2还有其他解法吗？解 因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理，得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎨⎧ x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1)． 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.拓展提升求圆的方程的两种方法(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．【跟踪训练2】 已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解 解法一：如图所示，由题设知|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2 ＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.探究3 与圆有关的最值问题例3 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．解 (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1， 即最大值为22－1，最小值为－22－1.[变式探究] 在本例条件不变的情况下，如何求x 2＋y 2－2x 的最值？解 令t ＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C (－1,0)，故t 的最大值为214，最小值为54.拓展提升与圆有关的最值问题，常见的几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b 截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【跟踪训练3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足(x －2)2＋y 2＝3的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x 是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值，此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan60°＝3，∴y x 的最大值是 3.同理知直线y ＝kx 和圆M 在第四象限相切时，k 取最小值，y x 的最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距． 由图知当直线y ＝x ＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值．此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.同理，y －x 的最大值是6－2.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1.确定圆的标准方程需具备的条件圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．注意：在具体问题的求解过程中，应灵活应用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)确定圆心的位置和半径大小，可使问题简单化.2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．3.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．课堂达标自测1．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定答案 C 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝14＋34＝1>12， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆外，故选C. 2．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案B解析由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y ＋3)2＝13.3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为__________________．答案(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解(1)由题意，结合图①可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图②所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116答案 B解析 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.2．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意，得⎩⎨⎧ (|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 解法一：(直接法)设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二：(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法三：(验证法)将点(1,2)代入四个选择项，排除B 、D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ，选A.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．2B ．1 C. 3 D.2答案 B解析 方程(x ＋5)2＋(y －12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x 2＋y 2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴x2＋y2的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为y＝ax＋b过一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，选D.二、填空题6．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．答案[0,1)解析由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.8．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －4)2＝25解析 ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |<|MA |<|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.三、解答题9．已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，求圆C 的标准方程．解 解法一：由圆心在直线2x －y －7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a －7)，由题意得a 2＋(2a －3)2＝a 2＋(2a －5)2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法二：圆C 的圆心在弦AB 的垂直平分线y ＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0，y ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－3为所求圆的圆心坐标，半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法三：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(－4－b )2＝r 2，(0－a )2＋(－2－b )2＝r 2，2a －b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.B 级：能力提升练10．已知圆C 的圆心坐标为(x 0，x 0)，且过点P (4,2)．(1)求圆C 的标准方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程．解 (1)由题意，设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r >0)． ∵圆C 过点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2，∴r 2＝2x 20－12x 0＋20，∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20 ＝2(x 0－3)2＋2，∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。
圆的标准方程导学案
〖学习目标〗1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程；3.掌握点与圆位置关系的判定；教学重点：圆的标准方程；教学难点：会根据不同条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
一、导入与探究数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法来研究几何问题。
1.在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和_________也可确定一条直线.2.圆的定义：_________________________________________________________________;由此知，在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.3.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x M 为这个圆上任意一点，则由圆的定义知 ___________________________________代数式为 ___________________________________化简得 ___________________________________若点),(y x M 在圆上，显然点),(y x M 的坐标适合上述方程；反之，点),(y x M 的坐标适合上述方程，则说明点),(y x M 到圆心(,)C a b 的距离等于____，即点M 在以C 为圆心的圆上。
结论：以圆心A(a,b), 半径长r 的圆的标准方程为：【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1） 圆心在C(-3，4)，半径等于5；（2） 圆心在点C(8，-5)，且经过点M(5,1)；（3） 已知A(2,5)，B(0，-1)，线段AB 为圆的直径。
241圆的标准方程(导学案)(原卷版)
班级：姓名：日期：圆的标准方程导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程自主预习：1.本节所处教材的第页.2.复习——①圆的定义：3.预习——圆的标准方程：点与圆的位置关系：新课导学学习探究（一）新知导入《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的标准方程知识点1 圆的标准方程【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．(2)圆的标准方程：①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)知识点2 点与圆的位置关系【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2什么关系？2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？◆点与圆的位置关系圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|P A|.【做一做1】点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都不对【做一做2】(教材P83例1改编) 已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．（三）典型例题1.求圆的标准方程例1.求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；(2)经过A (3,1)，B (－1,3)且圆心在直线3x －y －2＝0上．【类题通法】圆的标准方程的两种求法(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(xa )2+(yb )2=r 2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．2.点与圆的位置关系的应用例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5,1)，D(6，－3)，E(－5,1)与圆的位置关系．【变式探究】在本例的条件下，若点A(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是_________．【类题通法】点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r 2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1<a<1B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±13.最值问题例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值.（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【类题通法】与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．【巩固练习3】已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么x2＋y2的最小值为()A．5 B．8 C．13 D．18（四）操作演练素养提升1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，22.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．在圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外3.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2 B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝24.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4课堂小结1.通过这节课，你学到了什么知识？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你对本节导学案的建议：课后作业完成教材：第85页练习第1，2，3,4题第88页习题2.4 第1,2,3,4,6题。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。
情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
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§4.1.1 圆的标准方程 使用日期：2014.12.18
一．学习目标：
1.掌握圆的标准方程及其推导过程；
2. 能准确判断点与圆的位置关系；
3. 会根据已知条件求圆的标准方程。
二．知识链接：:
（1）、初中我们是怎样给圆下定义的？
（2）、111(,)P x y 222(,)P x y 两点间的距离公式
三、学习新知
1、【圆的标准方程推导】
在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，
圆上的任意一点),(y x M
【学以致用】
(1)写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________
x
9)2(22=++y x __________ ___________ 8)3(22=-+y x _________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222()m (0)x a y m -+=≠ ___________ ___________
(2)根据下列条件，写出圆的标准方程。
(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________
(2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________
(3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ 2【典例讲解】
例 1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点
12(57),(1)M M --是否在这个圆上。
分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上。
解：
变式练习1写出圆心为（-2，3），半径为2的圆的方程，并判断点A(-4,3)，B （-2,2），C （1,1）与圆的位置关系
尝试总结1：
22200(,)()()M x y x a y b r -+-=点与圆C ：的位置关系及判断方法
例2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
AOB AOB ∆∆变式练习2：已知的顶点坐标分别是A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)
求的外接圆的标准方程。
尝试总结2:用待定系数法求圆的标准方程的大致步骤:
四、当堂检测：
222222221(1)8,--22553)(4)25
3x y x y x y x y x ++=+=+=+++=-、某圆的标准方程为则此圆的圆心与半径分别为（ ）
A 、（1,0）,4
B 、（1,0）
C 、（0,1）,4
D 、（0，1）、以（3,4）为圆心，且过点（0,0）的圆的方程为：（ ）
A 、
B 、
C 、(
D 、(222222)(4)25--4m 25y P x y P x y +-=+=+=3、点（2，2）和圆的位置关系是（ ）
A 、在圆上
B 、在圆外
C 、在圆内
D 、以上都不对
4、点（,5）与圆的位置关系是（ ）
A 、在圆上
B 、在圆外
C 、在圆内
D 、在圆外或在圆上
五、课堂小结:
知识方面：
方法与技巧：
数学思想：
六、作业布置:
P124习题4.1 A 组 第2,3题。