江苏省南通中学～度第一学期高一数学期中考试试卷 苏教版必修1
江苏省南通一中高一(上)期中数学试卷含答案
∴ 푚2−푚−1 = 1，解得：푚
=
2或푚
=
是幂函数， −1，
푚 = 2时，푓(푥) = 푥，有交点不合题意， 푚 = −1时，푓(푥) = 푥14，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故푚 = −1，
故选 A．
5.【答案】D
【解析】解：当0 < 푎 < 1时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越平缓， 푔(푥) = −log푎푥的图象为增函数， 当1 < 푎时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越快， 푔(푥) = −log푎푥的 图象为减函数， 综上：只有 D 符合 故选：D． 结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0 < 푎 < 1时和当푎 > 1时两种情况，讨论函 数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0) ，푔(푥) = log푎푥的图象，比照后可得答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的 关键．
C. (−∞,−141)
D. (−∞,−145]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 函数푓(푥) = 푙표푔12(−푥2 +3푥−2)的单调递增区间是______．
14.
已知푦
=
4푥−3
⋅
2푥
+3 ，当
푥
∈
[0,2]时，其值域是______．
15. 已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(−푥) = 푓(푥)，且函数푓(푥)在(−∞,0)上是减函数，
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22. 已知定义在区间(0, + ∞)上的函数푓(푥) = |푥 + 4푥−5|， (1)判定函数푔(푥) = 푥 + 4푥在[2, + ∞)的单调性，并用定义证明； (2)设方程푓(푥) = 푚有四个不相等的实根푥1푥2푥3푥4． ①证明：푥1푥2푥3푥4 = 16； ②在[1,4]是否存在实数 a，b，使得函数푓(푥)在区间[푎,푏]单调，且푓(푥)的取值范围 为[푚푎,푚푏]，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
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高一(上)期中试题数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部 分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1．A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则A ∪B ＝ ______________． 2．函数f (x )＝13－2x的定义域为______________．3．下图所示的对应中，是从A 到B 的映射有______________(填序号)．4．已知a ＝20.3，b ＝20.4，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 按由大到小．．．．排列的结果是______________． 5．幂函数y ＝f (x )的图像过点(9，3)，则f (2)＝ ______________．6．不等式log0.2 ( x －1) ≤log 0.2 2的解集是______________．7．方程ln (2x +1)＝ln( x 2－2)的解是______________． 8．函数y ＝(x －2)－10+1图象的对称中心是______________．9．函数y ＝(12)2x +2×(12)x(x ≤－1)的值域是______________．10．已知f (x )＝ax 3－bx +2，a ，b ∈R ，若f (－3)＝ －1，则f (3)＝______________． 11．函数y ＝log 2x + x －2在(k ，k +1)上有零点，则整数k ＝______________． 12．函数y ＝f (x )为奇函数，且x ∈[0，+∞)时，f (x )＝x 2－3x ，则不等式f (x ) －f (－x )x>0的解集为______________．13．函数f (x )＝ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，2)上是减函数，则a 的取值范围是______________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x|，0<x ≤2，－3x +7， x >2，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分8分)已知集合A ＝{x |3≤x <10}，集合B ＝{x |2x －8≥0}．(1)求A ∪B ； (2)求∁R (A ∩B )．16．(本题满分8分)已知m ＝39 ×3，n ＝log 316×log 89，(1)分别计算m ，n 的值； (2)比较m ，n 的大小．17．(本题满分10分)已知y ＝f (x )(x ∈R )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )≥mx 在1≤x ≤2时都成立，求m 的取值范围．18．(本题满分10分)已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P (单位：万元)和Q (单位：万元)，它们与进货资金t (单位：万元)的关系有经验公式P ＝116t 和Q ＝12 t ．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y (单位：万元)最大？最大利润是多少万元？19．(本题满分11分)已知函数f(x)＝2x－a2x+ 1为奇函数．(1)求a的值；(2)证明：f(x)是R上的增函数；(3)解不等式：f(log2x)≤35．20．(本题满分11分)已知函数f(x)＝ax2+(a－1)x+b的最小值为－1，且f(0)＝－1．(1)求f(x)的解析式；(2)在给出的坐标系中画出y＝|f(x)|的简图；(3)若关于x的方程|f(x)|2 + m |f(x)| + 2m + 3＝0在[0，+∞)上有三个不同的解，求实数m的取值范围．高一(上)期中试题 数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分) 1．{1，2，3} 2．(－∞，32)3．(1)，(3) 4．b ，a ，c 5． 2 6．{x | x ≥3} 7．x ＝38．(2，1) 9．[8，+∞) 10．5 11．112．(－∞，－3)∪(3，+∞) 13．[0，32]14．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，73 二、解答题(本大题共6小题，共计58分)15．(1)易得B ＝{x |x ≥4}． ………………………………………………………………2分∵A ＝{x |3≤x <10}，∴A ∪B ＝{x |x ≥3}； ……………………………………………4分 (2)∵A ∩B ＝{x |4≤x <10}，∴∁R (A ∩B )＝{x | x <4或x ≥10}．……………………………8分16．(1)m ＝37600． (2)分n ＝log 316×log 89＝4 lg2 lg3×2 lg33lg2＝83．……………………………………………………4分(2)m > 3．………………………………………………………………………………6分 而n ＜3．所以n > m ．………………………………………………………………………………8分 17．(1)当x ＜0时，有－x ＞0，…………………………………………………………1分∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ．……………………………4分∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0.………………………………………………………………5分(2)由题意得x 2－2x ≥mx 在1≤x ≤2时都成立，即x －2≥m 在1≤x ≤2时都成立，……………………………………………………6分即m ≤x －2在1≤x ≤2时都成立，在1≤x ≤2时，(x －2)min ＝－1，…………………………………………………………8分∴m ≤－1．………………………………………………………………………………10分18．设用于台式电脑的进货资金为m 万元，则用于笔记本电脑的进货资金为(50－m )万元，…………………………………………2分所以，销售电脑获得的利润为y ＝P +Q ＝116 (50－m )＋12 m (0≤m ≤50)．…………4分令u ＝m ，则u ∈[0，52]， (不写u 的取值范围，则扣1分)则y ＝－116 u 2＋12 u ＋258 ＝－116 (u －4)2＋338 ． (8)分当u ＝4，即m ＝16时，y 取得最大值为338．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为338 万元．…………………………………………10分19．(1)显然f (x )的定义域为R ．∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0．∴a ＝1．…………………………………………………3分(2)易得f (x )＝1－22x +1．设x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝12212212+-+x x ＝)12)(12()22(21221++-x x x x ．………………………………5分 ∵2x 100＜2x 200，∴f (x 1)－f (x 2)＜0．……………………………………………………6分∴f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )为R 上的增函数． ………………………………………………7分 (3)令f (x )＝35 ，解得x ＝2．…………………………………………………………9分∴f (log 2x )≤35 即f (log 2x )≤f (2)．∵f (x )为R 上的增函数，∴log 2x ≤2． (10)分∴0＜x ≤4．………………………………………………………………………………11分 20．(1)∵f (0)＝－1，∴b ＝－1．由题意得a >0．∵f (x )＝ax 2+(a －1)x －1的最小值为－1， ∴－4a －(a －1)24a＝－1，∴a ＝1．∴f (x )＝x 2－1． …………………………………………3分(2)如图．(图略)………………………………………………………………6分 (3)令|f (x ) |＝t ，t ∈[0，+∞)，由题意可知，方程t 2+mt +2m +3＝0在(0，1]和(1，+∞)上各有一解．………………7分令h (t )＝t 2+mt +2m +3．①当方程t 2+m t +2m +3＝0有一个根为1时，令h (1)＝0，m ＝－43 ．而当m ＝－43 时，t＝13或t ＝1，不符题意，舍去．………9分②当方程t 2+m t +2m +3＝0没有根为1时，由⎩⎨⎧ h (0)>0， h (1)<0，解得－32 ＜m ＜－43 ． ………………………………………………11分∴实数m 的取值范围为(－32 ，－43)．。
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2016—2017第一学期期中考试数学试题本试卷共22题，满分为150分，时间120分钟，命题人：李素娥一、选择题：本大题共12小题，每个小题目只有一个正确选择项，每小题5分，满分60分．1．已知全集}5,4,3,2,1{=I ，集合{}4,5A =，则I C A =（ ）A. }5,4{B. }4,3,2,1{C. }3,2,1{D. }5{2.函数y = ）A )43,21(-B ]43,21[-C ),43[]21,(+∞⋃-∞D ),0()0,21(+∞⋃-3．函数()33x f x =-的值域为（ ）A. (],3-∞ B. ()0,+∞ C. (),0-∞D. (),3-∞4.下列函数中，与函数x y =相等的是（ ）A ．2x y = B.2)x (y = C.xx y 2= D.33x y =5．对任意的()()0,11,a ∈+∞U ，则函数()log 2a f x x =+必过定点为（ ）A ．()2,0B. ()1,0C. ()1,2D.()0,3 6.下列函数中，既是偶函数，又在(),0∞-上单调递减的是（ ）A.x1y = B.x e y -= C.2x 1y -= D.y=x 27.若函数2ax x f(x)2+-=（a 为常数）在[)+∞,1上单调递增，则∈a （ ）A ．[)+∞1,B.(],1∞-C.(],2∞-D.[)+∞2, 8．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<9．幂函数()y f x =的图象经过点12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()27f x =的x 的值是（ ）A ．13B ．13-C ．3D ．﹣310.“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点….用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，S 为路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )11．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是（ ）A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2 12．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ）A ．x=60tB ．x=60t+50tC ．x=⎩⎨⎧>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t tD ．x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）13. 设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则[(1)]f f -= 。
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷(含答案)1
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
联立③④⑤解得 a 1 ， b c 1 .
8
2
6
所以 f x 1 x2 1 x 1 .
8 22
（3）由 x 0, ，使得 f x m x 1 成立可得：
24 mx 1 x2 1 x 1 在 x 0 上有解 28 2 4 （i） x 0 时， 0 1 不满足，∴ x 0 ；
∴ g x 在1, 上单调增
① a 0 ， g x 2x 1，显然不成立
②
a
0
，
a
0 2 2a
1
，解得
a
1
，故答案为
1,
.
四、17.（1）
CR B
,
5 2
1,
A
B
5 2
,
3
（2）3,
18.（1）
f
x
x 1 x2
（2）用定义法按步骤证明即可
19.（1） P 7 ， Q 2 3
①对任意实数 x，都有 f x x ；
②当 x 1,3 时，有 f x 1 x 22 成立．
8
（1）求证： f 2 2 ；
（2）若 f 2 0 ，求函数 f x 的解析式；
（3）在（2）的条件下，若 x 0, ， f x m x 1 成立，求实数 m 的取值范围．
24
22．（本题满分
f x 是单调递增函数。
f kx x2 f x 1 0 ， f kx x2 f x 1 f 1 x
7
kx x2 1 x 恒成立，即 x2 k 1 x 1 0 恒成立
k 12 4 0 ， 3 k 1 （3） f 1 a 1 3 ， a 0 ，解得 a 2
,
22.（1）因为是奇函数，所以 f 0 0 ，1 t 1 0 ，解得 t 2 .
江苏省南通中学第一学期高一数学期终考试试卷
江苏省南通中学－第一学期期终考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1. 求值sin300= ▲ ． 2. 函数tan(2)3y x π=-的周期为 ▲ ．3. 在正方形ABCD 中，E 是DC 边的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE = ▲ ．4. 已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 ▲ 象限角.5. 函数()sin cos f x x x =的最小值为 ▲ ．6. 已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==则AC BC 与的夹角的大小为 ▲ ．7. 已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若| a ＋b |＝a ·b ，则n = ▲ ．8. 已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足(5)7f =，则)5(-f = ▲ ．9. 下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. ③把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 2y x =的图象. ④函数sin()2y x π=-在[]0,π上是减函数.其中，正确的是 ▲ ．（填序号） 10. 将函数sin y x =的图象向右平移4π个单位长度得到图象1C ，再将图象1C 上的所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象2C ，则2C 的函数解析式为 ▲ ．11．已知8,2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，(),1x =b ，其中0x >，若（a -2b ）∥（2a +b ），则x 的值 ▲ ．12．函数3sin(2)6y x π=--的单调递减区间为 ▲ ．13．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B C 、不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ ．14．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）.函数4sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧<⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2022-2023学年江苏省南通中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}3,4,5N =，则N 的真子集的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是n 个，则其真子集个数是21n -个.【详解】{}3,4,5N =，则N 的真子集为：{}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅ 故选：C2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x ，都有唯一确定的y 和它对应，由图象可看出， 对于A ，当0x =时，y 有两个值与其对应，不符合； 对于B ，当0x =时，y 有两个值与其对应，不符合；对于C ，符合定义域内任意x ，都有唯一确定的y 和它对应，可表示函数关系； 对于D ，当1x =时，y 有无数个值与其对应，不符合. 故选：C .3．已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 单调递减，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．2【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵()()2231mm f x m m x+-=-- 是幂函数，∴211m m --=，即()()210m m -+=，解得2m =，或1m =-， 又当()0,x ∈+∞ 时，()f x 单调递减，∴230m m +-<， 当2m =时，2330m m +-=>，不合题意，舍去； 当1m =-，2330m m +-=-<，符合题意， 故1m =-． 故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学 D ．丙同学和甲同学【答案】C.【详解】102525==，105232==．∵2532<．又∵6339==，6328==，>∴<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C.5．已知a 为实数，使“[]3,4x ∀∈，0x a -<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a > B ．5a >C ．3a >D ．4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件. 【详解】解：依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-<为真命题， 所以，a x >在区间[]3,4上恒成立，所以4a >，所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-<”为真命题的一个充分不必要条件是“5a >”.故选：B6．已知函数()f x 由下表给出，若()()()()()0134f f x f f f =+⋅，则0x =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得()()()134f f f +⋅的值,进而可求得()0f x 的值,即可求得0x . 【详解】由题可得,()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=,则()02f x =,故04x =. 故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题. 7．已知函数()f x 的定义域为[]22-,，则函数()()3g x f x = ） A ．(]0,1 B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使()g x 有意义，则23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩，即()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩，解得203x <，所以函数()g x 的定义域为20,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知3064311010a ≤<，两边取对数，然后计算出a 的取值范围，查表即可得出答案. 【详解】解：由题意得： 3064311010a ≤<， 6430lg 31101010a ∴≤<，6430lg 31a ∴≤<，即3064lg 31a ≤<， 故此3031lg 6464a ≤<，即0.46875lg 0.484375a ≤<， 又因为a 为整数，故根据上表可知：3a =， 故选：B二、多选题9．若不等式20ax bx c ++>的解集是1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列对于系数a ，b ，c 的结论中，正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >C ．0a b c ++>D ．0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知：0013222122a ab b a ac a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项：a<0 ，即：A 项正确；B 项：0c a =-> ，即：B 项正确；C 项：33022a b c a a a a ++=--=-> ，即：C 项正确；D 项：33022a b c a a a a -+=+-=<，即：D 项错误.故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合{}1,2A =和(){}1,2B =表示同一个集合 B ．函数()f x ()1,1- C ．若2log 3a =，2log 7b =，则用a ，b 表示423log 561b a b +=++D ．已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()211f x x x=+-，则当0x <时，()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合{}1,2A =中元素为数，集合(){}1,2B =为点，可知表示的不是同一个集合，所以A 选项错误；对于B ，根据2320x x +-≥解得函数()f x []1,3-， 令232t x x =+-则y =232t x x =+-为二次函数，开口向下，对称轴为1x =，所以函数232t x x =+-在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,3上单调递减，函数y =()f x =()1,1-，所以B 选项正确；对于C ，因为2log 3a =，2log 7b =，根据对数的换底公式可得()()3222222422222222log 78log 56log 7log 8log 7log 23log 56log 42log 76log 7log 6log 7log 3log 21b a b ⨯+++=====⨯+++++，所以C 选项正确；对于D ，因为当0x >时，()211f x x x=+-，可令0x <，则0x ->，所以()()()221111f x x x x x -=-+-=---，又因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()211f f x x x x-=-+-+=，与题干结果不符，所以D 选项错误. 故选：BC.11．已知0a >，0b >，且281a b +=，则（ ） A ．281a b ->- B1 C ．164ab ≤D ．221168a b +≥【答案】ACD【分析】对于A ，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B 、C 、D 三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A ，因为281a b +=，所以218a b =-，又因为0a >，0b >， 所以2180a b =->，即108b <<，所以28188116a b b b b -=--=-，又因为108b <<，所以1281a b -<-<，可知A 选项正确；对于B，因为22812841222a b a ba b ++=+++=， 当且仅当28a b =，即14a =，116b =时等号成立，1≤，可知B 选项错误；对于C，因为281a b +=≥=164ab ≤，当且仅当28a b =，即14a =，116b =时等号成立，可知C 选项正确；对于D ，因为281a b +=，所以142a b +=， 所以()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==，当且仅当4a b =，即14a =，116b =时等号成立，可知D 选项正确. 故选：ACD.12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，当10x -<<时，()0f x <，则以下结论正确的是（ ） A ．()00f =B ．()f x 为奇函数C ．()f x 为单调减函数D ．()f x 为单调增函数【答案】ABD【分析】A.令0x y ==求解判断；B.令y x =-求解判断；CD.令1x x =，2y x =-，且12x x <，由()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭判断其符号即可.【详解】解：令0x y ==得()()()000f f f +=，即得()00f =，A 正确；在定义域范围内令y x =-得()()()00f x f x f +-==，即得()f x 是奇函数，B 正确； 令1x x =，2y x =-，且12x x <，所以()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，又120x x -<且111x -<<，211x -<<，所以()()()()1221121110x x x x x x ---=+->，即1212101x x x x --<<-，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在()1,1-上是单调增函数，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．三、填空题13．计算：2log 312-⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：3.14．已知函数()2231f x x =+，则()f x =________.【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令2t x =,得2tx =,代入2(2)31f x x =+,即可得到()f x 的解析式 【详解】解：令2t x =,得2t x =,代入2(2)31f x x =+得223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即()f x 的解析式为23()14f x x =+ 故答案为：2314x +15．已知,x y 为正实数，则162yxx x y++的最小值为__________．【答案】6【分析】将原式变形为162y y x x ++，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得162y x x x y +=+162y y x x++，设(0)yt t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++.当且仅当2t =时取等.所以162yxx x y ++的最小值为6.故答案为：6四、双空题16．已知函数()22,25,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >，（1）若函数()f x 在()0,∞+单调，则实数m 的范围是__________；（2）若存在互不相等的三个实数1x ，2x ，3x ，使得()()()123f x f x f x ==，则函数y m =的值域为__________.【答案】 (]0,3 (),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理. （2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当x m ≤时，()2f x x =，在(0,)m 单调递增，当x >m 时，()225f x x mx m =-+，其对称轴为x m =，所以()f x 在(,)m +∞上单调递增，若函数()f x 在()0,∞+单调，则22252||2m m m m m -+≥=， 解得03m <≤.（2）若()f x 存在互不相等的三个实数1x ，2x ，3x ，使得()()()123f x f x f x ==， 则()f x 的图象如图所示：则222||225m m m m m =>-+，即230m m ->，解得3m >或0m <(舍去). 对于函数1y m m =+，令1t m =+2t >，所以22(1)1y t t t t =--=-++， 其对称轴为12t =，所以21y t t =-++在()2,+∞上单调递减，所以22211y <-++=-，则函数1y m m =+的值域为(),1-∞-.故答案为：(]0,3，(),1-∞-.五、解答题 17．（1）求11348815327⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （2）已知114x x -+=，求1122224200x x x x --+++-的值.【答案】（1）83；（2）43-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把1122x x -+平方，结合114x x -+=即可求得1122x x -+，利用()22212x x x x --+=+-可得22x x -+的值，代入所求的式子即可得答案．【详解】（1）()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+= ⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝； （2）211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭=，11220x x ->+，11224x x -∴+=，()22212194x xx x--+=+-=，11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++．18．已知命题p ：对任意实数x ，不等式21202mx x -+>都成立，命题q ：关于x 的方程()244210x m x +-+=无实数根.若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出p 真、q 真时m 的取值范围，根据题设条件可得p 真q 假或p 假q 真，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】若p 真，对任意实数x ，不等式21202mx x -+>都成立. ∴当0m =时，显然对于任意实数x ，不等式1202x -+>不都成立当0m ≠时，4200m m -<⎧⎨>⎩，解得m>2∴p 真时，m>2；若q 真，则方程()244210x m x +-+=无实数根，∴()2162160m --<， ∴q 真时，13m <<.∵命题p 、q 中有且仅有一个真命题， ∴当p 真q 假时，m>2且(][),13,m ∈-∞+∞，故实数m 的取值范围是：3m ≥；当p 假q 真时，2m ≤且13m <<，故实数m 的取值范围是：12m <≤； 综上，实数m 的取值范围为(][)1,23,⋃+∞ 19．已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数. （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数； （3）解不等式()()10f t f t -+<.【答案】（1）()21x f x x =-；（2）证明见解析；（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用奇函数的定义()()f x f x -=-，经过化简计算可求得实数b ，进而可得出函数()y f x =的解析式；（2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，作差()()12f x f x -，化简变形后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为()()1f t f t -<-，再利用函数()y f x =的定义域和单调性可得出关于t 的不等式组，即可解得实数t 的取值范围.【详解】（1）由于函数()21x b f x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-， 即()2211x bx b x x -++=-+-+，化简得0b =，因此，()21x f x x =-； （2）任取1x 、()21,1x ∈-，且12x x <，即1211x x -<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--， 1211x x -<<<，210x x ∴->，1210x x +>，110x -<，110x +>，210x -<，210x +>.()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此，函数()y f x =在区间()1,1-上是减函数；（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义域为()1,1-的减函数，且为奇函数，由()()10f t f t -+<得()()()1f t f t f t -<-=-，所以111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得112t <<. 因此，不等式()()10f t f t -+<的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中()()0,025E t t <≤，AF x ⊥轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线()2500y ax a =-+>的一部分；CD OD ⊥，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高50OB =（单位：米，下同）.(1)试将DF 用a 和t 表示；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围.【答案】(1)50t DF t a=-()025t <≤ (2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B ，从而可得半径，即50CD t =-，进而求解出C 点坐标后，可知50t DF t a=-()025t <≤； （2）根据题意，5075t DF t a =-恒成立，即162550a t t≥++恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：()0,50B 50BE t ∴=-，∵BE ，CD 均为圆的半径，50CD t ∴=-，圆E 的半径为：50t -，∴(),50C C x t -，入抛物线方程可得25050C t ax -=-+，解得C t x a= ∵曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中()0,E t ，AF x ⊥轴，垂足为F ，∴50OF AE t ==-， ∴50t DF OF OD t a=+=-()025t <≤. （2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，5075t DF t a ∴=-，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++， (]0,25t ∈，625262550t t∴+≥（当且仅当25t =时取等号），1162510050t t∴≤++ ， 1100a ∴≥. ∴a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合{A x y ==，集合{}220B x x x a a =-+-<. (1)若A B A ⋃=，求a 的取值范围；(2)在A B ⋂中有且仅有两个整数，求a 的取值范围.【答案】(1)[0,1]；(2)(1,2][1,0)-.【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由22002x x x -≥⇒≤≤，所以[0,2]A =.由220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当1a a 时，即12a =时，不等式为21()02x -<，显然该不等式解集为空集， 即B =∅，显然B A ⊆成立；当1a a 时，即12a >时，(1,)B a a =-， 要想B A ⊆，只需0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩，而12a >，所以112a <≤； 当1a a <-时，即12a <时，(,1)B a a =-， 要想B A ⊆，只需0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩，而12a <，所以102a ≤<， 综上所述：a 的取值范围为[0,1]；（2）由（1）可知：当12a =时，B =∅，此时A B ⋂=∅不符合题意； 由（1）可知：当12a >时，(1,)B a a =-，要想A B ⋂中有且仅有两个整数，只需1012a a -<⎧⎨<≤⎩，或0112a a ≤-<⎧⎨>⎩， 由101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩，显然12a >，所以12a <≤， 由0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩， 所以12a <≤；由（1）可知：12a <时，(,1)B a a =-， 要想A B ⋂中有且仅有两个整数，只需0112a a <⎧⎨<-≤⎩，或0112a a ≤<⎧⎨->⎩， 由010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩，而12a <，即10a -≤<， 由0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩， 所以10a -≤<，综上所述：a 的取值范围为(1,2][1,0)-.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“优美区间”．(1)写出函数()212f x x =的一个“优美区间”； (2)求证：函数()64g x x=+不存在“优美区间”； (3)已知函数()()()221R,0a a x y h x a a a x +-==∈≠有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数()212f x x =的一个“优美区间”； （2）若函数存在“优美区间”，可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减，从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩，联立可推出矛盾，即可证明结论；（3）函数()h x 有“优美区间”，结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，说明,m n 是方程222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得,m n 的关系，进而可求得n m -的最大值．【详解】（1）[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”，证明如下： 212y x =在区间[0,2]上单调递增， 又(0)0f =，(2)2f =，∴212y x =的值域为[0,2]， ∴[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”． （2）设[,]m n 是函数()g x 的定义域的子集．由0x ≠，可得[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减． 若[,]m n 是函数()g x 的“优美区间”，则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得，66n m m n-=-，则6()n m n m mn -=-， 6,6,n m mn n m >∴=∴=， 则664m m+=，显然等式不成立， ∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”． （3）()h x 的定义域为{|0}x x ≠，[,]m n 是函数()h x 的定义域的子集，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，而函数()()222111a a x y xh x a a x a a +-==+=-在[,]m n 上单调递增， 若[,]m n 是函数()h x 的“优美区间”，则()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根． 210mn a=>，∴,m n 同号， 只需2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->，解得1a >或3a <-， 211,a m n mn a a++==，n m >，n m ∴-===∴当3a =时，n m -。
江苏省南通市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
江苏省南通市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.若集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<，则M N ⋃=（）A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合M ，N ，再计算M N ⋃.【详解】集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<∵[1,3)M =，(2,4)N =， ∴[1,4)MN =.故答案选C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型. 2.扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A. 1或5 B. 1或2C. 2或4D. 1或4【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩，故选：D.【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r 是扇形的半径.3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. (],1-∞-D.()()1,00,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数()ln ||f x x∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 4.已知函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m = )A. 1-B. 2C. 3D. 2或1-【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出m 的值，代入判断即可．【详解】函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意， 1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故1m =-，【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题． 5.在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =-的的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】就01a <<和1a >分类讨论可得正确的选项. 【详解】解：当01a <<时，函数()()0af x xx =≥为增函数，且图象变化越来越平缓，()log a g x x =-的图象为增函数，当1a >时，函数()()0af x x x =≥为增函数，且图象变化越来越快，()log a g x x =-的图象为减函数， 综上：只有D 符合 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.6.已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ）A. 4m <B. 142m -<< C.742m << D.1722m -<< 【答案】D【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D.【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.7.设集合{}4590,M k k Z αα==+⋅∈，{}9045,N k k Z αα==+⋅∈，则集合M 与N 的关系是（ ） A. M N ⋂=∅ B. MNC. NMD. M N【答案】C 【解析】 【分析】将集合M 和集合N 整理后可知集合M 表示45的奇数倍的角，集合N 表示45的整数倍的角，从而得到集合之间的包含关系.【详解】{}(){}45245,2145,M k k Z k k Z αααα==+⋅∈==+⋅∈{}(){}24545,245,N k k Z k k Z αααα==⨯+⋅∈==+⋅∈21k +表示所有奇数；2k +表示所有整数 NM ∴本题正确选项：C【点睛】本题考查集合间的包含关系，关键是能够将两个集合所表示的角的大小确定，从而得到包含关系.8.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3-B. 13-C.13D. 3【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=， 因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bxx b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R因此12log log 83b a ==-，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 9.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201926f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2019f =（ ）A. －4034B. 2021C. 2021D. 4036【答案】A 【解析】 【分析】 将x 换成2019x 再构造一个等式，然后消去f （2019x），得到f （x ）的解析式，最后可求得f （2021）．【详解】∵f （x ）+2f （2019x）＝6x ① ∴f （2019x ）+2f （x ）62019x⨯=②∴①﹣②×2得﹣3f （x ）＝6x 622019x⨯⨯-∴f （x ）＝﹣2x 42019x⨯+，∴f （2021）＝﹣4038+4＝﹣4034. 故选：A ．【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．10.已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=2222sin sin cos βββ=-（ ） A. 12±B. 211-D. 2±【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义列方程，解方程求得y 的值，进而求得tan β的值，将所求表达式转化为只含tan β的形式，由此求得表达式的值.【详解】因为r =，故由正弦函数的定义可得=，解得12y =或12y(舍去),所以1tan β==，所以222222222sin 2tan 2sin cos tan 1111βββββ⎛⨯ ⎝⎭===---⎛- ⎝⎭，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为（） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞上的单调函数，[]2()log 3f f x x -=，所以2()log f x x -为一定值，设为t ，即22()log ()log f x x t f x x t -=⇒=+，而()3f t =，解得2t =，因此2()log 2f x x =+，所以2()log 7g x x x =+-，22(1)60,(2)40,(3)log 340,(4)10,(5)log 520g g g g g =-<=-<=-<=-<=->，故函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为(4,5)，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键. 12.已知函数()1lg 43xx f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 11,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. 8,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为对任意的[]1,1x ∈-使得1143x x m +≤-恒成立，令()143xxh x =-，[]1,1x ∈-，根据函数的单调性求出()h x 的最小值，从而可得结果． 【详解】对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，即对任意的[]1,1x ∈-使得1143xxm +≤-恒成立， 令()143xx h x =-，[]1,1x ∈-， 显然()h x 在[]1,1-递增， 故()143xx h x =-的最小值为()1h -=-114， 故1114m +≤-，15m 4≤-，实数m 的取值范围为15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦,故选D ． 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.函数()()20.5log 32f x x x =-+-的单调递增区间为______.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间. 【详解】由对数函数真数大于0,可得2320x x -+->,解得()1,2x ∈函数()()20.5log 32f x x x =-+-是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.14.已知4323x xy =-⋅+，当[]0,2x ∈时，其值域________【答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈，得到函数()223333()24f t t t t =-+=-+，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由题意，令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈， 则函数()223333()24f t t t t =-+=-+， 所以当32t =时，函数()f t 取得最小值，最小值为33()24f =， 当4t =时，函数()f t 取得最大值，最小值为(4)7f =，所以函数4323x xy =-⋅+的值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若22cos ,3a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.812log 4.1,2b f c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为__________．【答案】a c b << 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析得到0.8122log 4.122cos 03π<-<<，由函数单调性得到()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得解.【详解】()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，()()0.80.822f f ∴-=，22cos 13π=-，1122log 4.1log 42<=-，00.810.8222,122<<<<，0.8221-<-<-，0.8122log 4.122cos 03π∴<-<<，又因为()f x 在(),0-∞上递减，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以b c a >>，即a c b <<， 故填：a c b <<【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于较易题目。
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®lg 25 + lg21g50 +21+^IOg25高一数学(必修1)期中模拟试卷11一、填空题：(共14小题，每题5分，共70分)1. _____________________________________________________________________ 设非空集合A Q {1,2,3,4,567}且当aeA 吋，必有8-aeA 则这样的A 共有 _______________________ 个2. 已知集合M = {(x,y)|x+y = 2} , N = {(x,y)|x_y = 4},那么集合M cN = __________________3. A , 是两个非空集合，定义集合A - B x e AUx t. ,若M = {^|-3<x<l},^ = {y|y = ^2,-1<X <1},则M _N = ____________________________4. 若/ (x) = a/ + 2(a -l)x + 2在(-3,3)为单调函数，则a 的取值范围是 ___________________5. 函数/⑴屮d + l)'(xS0)，则于(_2)= _____________________|^log 2.¥,(.¥>0)6. L !>知 a,b 为常数，若 / (x) = x 2 + 4.V + 3,/ (ax + b) = x 2 + 10x + 24 ,则 5a-b = _______7. 若关于x 的方程/ +(2-莎卜+ 2皿=0的两根一个比1大一个比1小,则也的范围是 ______ &设 lg 2 = a , lg 3 = b ,则 log 512 等于 _______________________9. 函数y = J2/-3X + 1的单调递减区间为 __________________10. 函数 y = 4乂_ 3,2] ,则它的值域为 _____________________11. 若己知 /(x) = x 2 +l,x e (-1,1)则函数 y = /(2"-1)的值域是____________________________12. 若函数y = J (2一a)/+2(2_a)x + 4的定义域为R ,则a 的取值范围是 _________________13. P = {3,4,5},0 = {4,5,6,7},定义 P*Q = {(a,b)\a wP,bwQ 、则 P*Q 中元素的个数为_14. 阅读下列一段材料，然后解答问题:对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x]就是x,当x 不是整数时，卜]是点x 左侧的第一个 整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数.如[-2] = -2, [-1.5] = -2, [2.5] = 2则[log 2^-] + [log 2 £] + [log 2 当 + [log 21] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4]的值为 ____________二、解答题：(共6道题，共90分)15. 计算卜•列各题：丄 _4① 0.0081' +(4=)2 +(昴)飞 一 16^75参考答案：一、填空题：(共14小题，每题5分，共70分)1. 152. |(3,-1)}3. [-3,0) 2?4 5.0 7. m > 32a+b 1 —Q 9.(-韵 6.2 11. [1,2)4x — 15.解:①原式=(0.3)416.已矢口集合 A = (x G 7?|x 2 -(«- 2)x-2« + 4 = 0), Be 7?|x 2 +(2Q -3)x + -a-3 = 0若A U 〃 H 0 ,求实数Q 的取值范围. 17. 已知奇函数y = /(x)为定义在(-1,1) ±的减函数，且/(1 +。
苏教版高中数学必修一第一学期高一期中(试题).docx
南外仙林分校中学部2015—2016学年度第一学期高一年级期中测试数 学 学 科 试 题命题人：时新生 审题人：徐敏标（第一部分 满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1．已知集合M = {- 1,0,1}， N = {0,1,2}，则 M ∩N = ．2．已知U = [0，1]，A = (0，1]，则U A = ．3．已知0m >，化简21334(2)m m -÷的结果为 ． 4．函数1()lg(1)f x x x=+-的定义域为 ． 5．若函数2()2f x x ax =-在(],5-∞上递减，在[)5,+∞上递增，则实数a = ． 6．函数()1()20,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点 .7．已知函数22*()m m y x m N --=∈的图象与坐标轴无交点，则m 的值是________．8.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g _______．二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9. （本大题满分14分）设集合{}|11A x a x a =-≤≤+，集合{}|15B x x =-≤≤，(1)若5a =，求A B I ； (2)若A B B =U ，求实数a 的取值范围.10．（本大题满分14分）计算：(1)01231)87(3)71(027.0-+------； (2)51lg 5lg 316lg 32log 3-++． 11．（本大题满分16分）已知函数ba x f x x+⋅+=221)(是奇函数，并且函数)(x f 的图像经过点)3,1(． (1)求实数b a ,的值；(2)证明：函数)(x f 在(0,+)∞上单调递减．12．(本题满分16分)已知y ＝f (x )(x ∈R )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )≥mx 在1≤x ≤2时都成立，求m 的取值范围． （第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．已知{|2},{|}A x x B x x m =≤-=<,若B A ⊆，则实数m 的取值范围是_______.14．已知函数y=lg(x 2-x +k )的定义域为R ，则k 的取值范围是 ．15．已知函数20,()3, 0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，.若3()()02f m f +=,则实数m 的值等于_ _ _. 16．已知定义域为R 的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是单调减函数，若(1)(ln )f f x <，则x 的取值范围 是 ．17．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[],21a a +上的最大值为1，则a 的取值范围为 ． 18．已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则t 的取值范围是__．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. （本题满分14分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为)(x G （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入⎩⎨⎧>≤≤+-=)5(11)50(2.44.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数)(x f y =的解析式（利润=销售收入—总成本）；(2)甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？20．（本题满分16分）已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x ax =-+．(1)当2=-a 时，求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 为单调递减函数；①直接写出a 的范围（不必证明）；②若对任意实数m ，2(1)()0f m f m t -++<恒成立，求实数t 的取值范围．。
2022-2023学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合N ＝{3，4，5}，则N 的真子集的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．（多选）下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的有（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣14．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥46．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g（x）＝f（3x）+√x的定义域为（）A．（0，1]B．[0，23]C．[−23，1]D．(0，23]8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（）A．2B．3C．4D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（−1，2），则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是（）2A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．a﹣b+c＞010．下列说法中，正确的是（）A．集合A＝{1，2}和B＝{（1，2）}表示同一个集合B．函数f（x）=√3+2x−x2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x −1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x+111．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥1812．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy)，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ ．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f(x)={2|x|，x ≤m x 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 ． 16．已知x ，y 为正实数，则yx +16x 2x+y的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）=x+bx 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，1）（0＜t≤25），AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF用a和t表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”．（3）已知函数y=ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8解：∵集合N＝{3，4，5}有3个元素，∴N的真子集的个数为23﹣1＝7，故选：C．2．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A．B．C．D．解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合；对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；故选：BC．3．已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为（）A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣1解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，∴{m 2−m −1=1m 2+m −3＜0，解得m ＝﹣1， 故选：D ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学解：因为(√55)10=52=25，(√2)10=25=32， 又25＜32，所以√55＜√2，又(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，所以√33＞√2， 故√55＜√2＜√33，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C ．5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥4解：∵∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题， ∴a ＞x max ，∴a ＞4， ∵（5，+∞）⫋（4，+∞），∴使∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题的一个充分不必要条件是a ＞5， 故选：B ．6．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意可得，f （1）＝1，f （3）＝1，f （4）＝2， ∴f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4）＝3， ∴f （x 0）＝2，∴x 0＝4， 故选：D ．7．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为（ ） A ．（0，1]B ．[0，23]C ．[−23，1]D ．(0，23]解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，∴由{−2≤3x ≤2x ≥0，得0≤x ≤23．∴函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为[0，23]．故选：B ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：设此数为x ，则30≤lgx ＜31，而0.4688＜lgx 64＜0.4844，观察已知数据，x 164=3．故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（−12，2），则下列对于系数a ，b ，c 的结论中，正确的是（ ） A ．a ＜0B ．c ＞0C ．a +b +c ＞0D ．a ﹣b +c ＞0解：由已知可得−12，2是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＜0，故A 正确， 则由韦达定理可得：{−12+2=−ba −12×2=ca，解得b =−32a ＞0，c ＝﹣a ＞0，故B 正确， 则a +b +c ＝a −32a −a =−32a ＞0，故C 正确， a ﹣b +c ＝a ﹣（−32a ）﹣a =32a ＜0，故D 错误， 故选：ABC ．10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合A ＝{1，2}和B ＝{（1，2）}表示同一个集合B ．函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x +1解：集合A ＝{1，2}中有两个元素，B ＝{（1，2）}中只有一个元素，不表示同一集合，故A 错误； 函数f （x ）=√3+2x −x 2，由3+2x ﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤3，而t ＝3+2x ﹣x 2在x ∈[﹣1，1]上递增，y =√t 在t ∈[0，+∞）递增，所以函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1），故B 正确； 若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=log 256log 242=log 27+log 28log 22+log 23+log 27=3+b1+a+b，故C 正确；f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2−1x−1）＝﹣x 2+1x+1，故D 错误． 故选：BC ．11．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥18解：因为a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，故8b ＝1﹣2a ＞0，得0＜a ＜12，a +4b =12， 所以2a ﹣8b ＝4a ﹣1＞﹣1，故A 正确； （√a +2√b ）2＝a +4b +4√ab =12+2√a ⋅4b ≤12+a +4b =1，即√a +2√b ≤1，当且仅当a =14，b =116时取等号，故B 错误； 因为1＝2a +8b ≥2√16ab =8√ab ，√ab ≤18，故ab ≤164，当且仅当a =14，b =116时取等号，故C 正确； 由a +4b =12得a 2+16b 2+2a •4b =14，而2a •4b ≤a 2+16b 2，代入上式得2（a 2+16b 2）≥14，即a 2+16b 2≥18，当且仅当a =14，b =116时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy )，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数解：因为f （x ）定义在（﹣1，1）上，且满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y 1+xy )恒成立，﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，令x ＝y ＝0，解得f （0）＝0，故A 正确；再令y ＝﹣x ，则f （﹣x ）+f （x ）＝f （0）＝0，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，故B 正确； 任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则﹣2＜x 1﹣x 2＜0，0＜1﹣x 1x 2＜2，且x 1x 2﹣1﹣（x 1﹣x 2）＝（x 2﹣1）（1+x 1）＜0，所以﹣2＜x 1x 2﹣1＜x 1﹣x 2＜0，所以﹣1＜x 1−x21−x 1x 2＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1−x 21−x 1x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ 3 ．解：（12）﹣log23＝2log 23=3．故答案为：3．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝34x 2+1 ．解：令2x ＝t ，则x =t2，代入f （2x ）＝3x 2+1可得 f （t ）=3(t 2)2+1=34t 2+1 ∴f （x ）=34x 2+1 故答案为：34x 2+115．已知函数f(x)={2|x|，x ≤mx 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 （0，3] ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 （﹣∞，﹣1） ．解：（1）当x ≤m 时，f （x ）＝2|x |，在（0，m ）单调递增，当x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +5m ，其对称轴为x ＝m ，所以f （x ）在（m ，+∞）上单调递增，若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则m 2﹣2m 2+5m ≥2|m |＝2m ， 解得0＜m ≤3．（2）若f （x ）存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）， 则f （x ）的图象如图所示：则2|m |＝2m ＞m 2﹣2m 2+5m ，即m 2﹣3m ＞0，解得m ＞3或m ＜0（舍去），对于函数y =√1+m −m ，令t =√1+m ，t ＞2，所以y ＝t ﹣（t 2﹣1）＝﹣t 2+t +1，其对称轴为t =12，所以y ＝﹣t 2+t +1在（2，+∞）上单调递减，所以y ＜﹣22+2+1＝﹣1，则函数y =√1+m −m 的值域为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（0，3]，（﹣∞，﹣1）．16．已知x ，y 为正实数，则y x +16x 2x+y 的最小值为 6 ． 解：由x ＞0，y ＞0，得y x +16x 2x+y =y x +162+y x ，令y x=t （t ＞0）， 则f （t ）＝t +16t+2=t +2+16t+2−2≥2√(t +2)(16t+2)−2＝8﹣2＝6， 当且仅当t +2=16t+2，即t ＝2时等号成立， 所以y x +16x 2x+y 的最小值为6．故答案为：6．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．解：（1）原式=34×14−1+(23)3×(−13)=3﹣1+32=72； （2）∵x +x ﹣1＝14，∴（x +x ﹣1）2＝x 2+x ﹣2+2＝196， ∴x 2+x ﹣2＝194， ∴（x 12+x −12）2＝x +x ﹣1+2＝16， ∵x 12+x −12＞0， ∴x 12+x −12=4，∴原式=4+4194−200=−43．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，若p 是真命题，则当m ＝0时，﹣2x +12＞0不都成立，当m ≠0时，{4−2m ＜0m ＞0，解得m ＞2， ∴p 真时，m ＞2；若q 真，则方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根，∴16（m ﹣2）2﹣16＜0，∴q 真时，1＜m ＜3．∵命题p ，q 有且只有一个是真命题，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真q 假时，m ＞2且m ∈（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴实数m 的取值范围是[3，+∞）；当p 假q 真时，m ≤2且1＜m ＜3．∴实数m 的取值范围是（1，2]．综上，实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．19．（12分）已知函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， （1）确定f （x ）的解析式；（2）用定义证明：f （x ）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）=b −1=0，则b ＝0； 此时f （x ）=x x 2−1，为奇函数，符合题意， 故f （x ）=x x 2−1， （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，f （x 1）﹣f （x 2）=x 1x 12−1−x 2x 22−1=−(x 1x 2+1)(x 1−x 2)(x 12−1)(x 22−1)又由﹣1＜x 1＜x 2＜1，则（x 1﹣x 2）＜0，x 1x 2+1＞0，（x 12﹣1）＜0，（x 22﹣1）＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （t ﹣1）＜﹣f （t ）⇒f （t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{−1＜t −1＜1−1＜t ＜1t −1＞−t，解可得：12＜t ＜1，即不等式的解集为（12，1）． 20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中E （0，1）（0＜t ≤25），AF ⊥x 轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线y ＝﹣ax 2+50（a ＞0）的一部分；CD ⊥OD ，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高OB ＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF 用a 和t 表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．解：（1）由抛物线方程得：B（0，50）∴BE＝50﹣t，∵BE，CD均为圆的半径，∴CD＝50﹣t，圆E的半径为：50﹣t，∴C（x C，50﹣t），代入抛物线方程可得50﹣t＝﹣a x C2+50，解得x C=√t a，∵曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，t），AF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝AE＝50﹣t，∴DF＝OF+OD＝50﹣t+√ta，（0＜t≤25）．（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，∴DF=50−t+√ta≤75，整理可得：a≥1t+625t+50，∵t∈（0，25]，∴t+625t≥2√625=50（当且仅当t＝25时取等号），∴1t+625t +50≤1100，a≥1 100，∴a的取值范围为：[1100．+∞）．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．解：由题意得，2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，则A＝{x|0≤x≤2}，（1）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵x2﹣x+a﹣a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，①当a＝1﹣a，即a=12时，B＝∅，满足题意，②当a＜1﹣a，即a＜12时，B＝{x|a＜x＜1﹣a}，则{a ≥01−a ≤2，∴0≤a ＜12， ③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，则{1−a ≥0a ≤2，∴12＜a ≤1， 综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}．（2）集合A 中有3个整数0，1，2，①当a ＝1﹣a ，即a =12时，B ＝∅，不满足题意，②当a ＜1﹣a ，即a ＜12时，B ＝{x |a ＜x ＜1﹣a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤a ＜0，1＜1﹣a ≤2，∴﹣1≤a ＜0，若B 中仅有整数1，2，则0≤a ＜1，2＜1﹣a ≤3，无解，则﹣1≤a ＜0，③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤1﹣a ＜0，1＜a ≤2，解得1＜a ≤2，若B 中仅有整数1，2，则0≤1﹣a ＜1，2＜a ≤3，无解，则1＜a ≤2，∴a 的取值范围为[﹣1，0）∪（1，2]．22．（12分）对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足；①f （x ）在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x 2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x 不存在“优美区间”．（3）已知函数y =ℎ(x)=(a 2+a)x−1a 2x （a ∈R ，a ≠0）有“优美区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．解：（1）∵y =12x 2在区间[0，2]上单调增．又∵f （0）＝0，f （2）＝2，∴值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f （x ）＝x 2的一个“优美区间”．（2）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞），∴函数g(x)=4+6x 在[m ，n ]上单调递减．若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{4+6m =n(1)4+6n =m(2)， 由（1）﹣（2）得：6m −6n =n −m ，∴6(n−m)mn =n −m ， ∵n ＞m ，∴mn ＝6，∴n =6m ．代入（1）等式不成立，∴函数g(x)=4+6x不存在优美区间．（3）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， ∴函数y =(a 2+a)x−1a 2x =a+1a −1a 2x 在[m ，n ]上单调递增． 若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{ℎ(m)=m ℎ(n)=n ， ∴m 、n 是方程a+1a −1a 2x =x ，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x +1＝0的两个同号且不等的实数根． ∵mn =1a 2＞0， ∴m ，n 同号，只须Δ＝a 2（a +3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3，∵n −m =√(n +m)2−4mn =√(a 2+a a 2)2−4a 2 =√−3(1a −13)2+43， ∴当a ＝3时，n ﹣m 取最大值2√33．。
南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)
江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。
江苏省南通中学高一数学上学期期中试题
江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则A B=U ▲ ． 2．下列四个图像中，是函数图像的是 ▲ ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 ▲ ．5．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．8． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． 11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是▲ ．12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取 值范围是 ▲ ．13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ；(2)求A B U ，A B R I ð． 16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单 位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .高一数学期中考试参考答案（考试时间120分钟，满分160分）3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ．(){}2,2--4．函数()110,1x y a a a -=+>≠过定点 ▲ ．()1,25．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．4-6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．2()1f x x =-7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．2-或168． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．3()2x f x x =--9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．{}2-10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． [1,0]-11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．44,55-⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ． []0,213．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等 式()()f x f x x -->的解 集为 ▲ ．[2,1)(0,1)--U 14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．{}012x x x ≤≤=或二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A ＝{}2|x y x x =-，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ；(2)求A B U ，A B R I ð．解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞U ．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.……………………………7分(2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞U ，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()12()g x h x h x =-在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．解 (1) 0m = ……………………………………………………………6分(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………14分17．（本题满分14分）函数lg,(10)()(4)1,(10)2x xg x ax x>⎧⎪=⎨--≤⎪⎩(1)若(10000)(1)g g=，求a的值；(2)若()g x是R上的增函数，求实数a的取值范围．解 (1)2a=-……………………………………………………………6分(2) a的取值范围为38,85⎡⎫⎪⎢⎣⎭………………………………………………14分18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x的边际函数()Mf x定义为()(1)()Mf x f x f x=+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（*x∈N）台的收入函数为2()300020R x x x=-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x=+（单位：元），利润是收入与成本之差．(1)求利润函数()P x及边际利润函数()MP x；(2)利润函数()P x与边际利润函数()MP x是否具有相同的最大值？说明理由．……8分……16分19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .解: （Ⅰ）)(x f Θ为偶函数（Ⅲ）22()()11h x x ax b x ax b =++=++--若存在x ，使()h x x ≤，则由2() 1 (,)h x x ax b a b =++-∈R 开口向上，因此存在x ，使()h x x >，于是()f x x =有实根∵A =∅ ∴()h x x >∴()()h h x h x x >>⎡⎤⎣⎦，于是()h h x x =⎡⎤⎣⎦无实数根即B =∅．………………………………………………………………16分 20．（本题满分16分）函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．……………………3分又任取12112x x <<<，∵()()21122112122()11()1()0n n n nf x x x x x x f x x x x x =+--+-=⎡⎤⎛⎫⎢⎥--+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．………………………………………………8分 (2)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. ………………………10分 据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. ……………………………………………………………16分注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题:p x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是( ) A ．x R ∀∈，2210x + B ．x R ∃∈，2210x +> C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +2．（5分）函数1()3f x x =-的定义域是( ) A ．[2，3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞3．（5分）已知命题:12p x -<<，:|1|1q x -<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数()f x kx α=过点(4,2)，则(k α+= ) A ．32B ．3C ．12D ．25．（5分）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．18D ．1166．（5分）若关于x 的不等式0ax b +<的解集为(2,)+∞，则0bx a +<的解集是( ) A ．1(,)2-∞B ．1(,)2+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞7．（5分）函数y =( )A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[2，)+∞D ．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分） 9．（5分）下列命题是真命题的是( ) A ．(10)0lg lg = B ．ln e ππ=C ．若e lnx =，则2x e =D ．(1)0ln lg =10．（5分）若a ，b ，c R ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab b >C ．||||a c b c >D ．22(1)(1)a c b c +<+11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．若0x <，111[()]2()2x x x x x x +=--+--=---，故0x <时，1x x+的最大值是2-B ．当1x >时，22211x x x x +--，当且仅当21x x =-取等，解得1x =-或2．又由1x >，所以取2x =，故1x >时，原式的最小值为22421+=- C ．由于222222999442(4)42444x x x x x x +=++-+-=+++，故2294x x ++的最小值为2D ．当x ，0y >，且42x y +=时，由于24244x y x y xy =+=12xy ，又1111222412x y x y xy+==，故当x ，0y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为412．（5分）已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是( )A ．函数()y sgn x =是奇函数B ．对任意的x R ∈，()1x sgn e =C ．函数()x y e sgn x =-的值域为(,1)-∞D ．对任意的x R ∈，||()x x sgn x = 三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈，则()f x 的值域是 ．14．（5分）设m =，n，p ，则m ，n ，p 的大小顺序为 ． 15．（5分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．16．（5分）已知二次函数2()1f x ax x =-+，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合{|13}A x x =-<<，集合2{|2(52)50}B x x k x k =+--<，k R ∈． （1）若1k =时，求R B ，AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围． 18．已知定义在(1,1)-的函数2()1ax b f x x +=+满足：(0)0f =，且12()25f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在(1,1)-上是增函数． 19．已知10.2503278()(2020)64P -=--，333322log 2log log 89Q =-+．（1）分别求P 和Q ； （2）若25a b m ==，且11Q a b+=，求m ． 20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？（2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数2()(f x ax bx c a =++，b ，)c R ∈满足： ①对任意实数x ，都有()f x x ； ②当(1,3)x ∈时，有21()(2)8f x x +成立． （1）求证：f （2）2=；（2）若(2)0f -=，求函数()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数[0x ∈，)+∞，有1()24m f x x ->恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）设函数2(1)()(0x xa t f x a a--=>且1)a ≠是定义域为R 的奇函数． （1）求t 的值；（2）若f （1）0>，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象过点3(1,)2，是否存在正数m ，(1)m ≠使函数22[()]()x x a a mf x g x m -+-=在[1，2log 3]上的最大值为m ，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题:p x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是( ) A ．x R ∀∈，2210x + B ．x R ∃∈，2210x +> C ．x R ∃∈，2210x +<D ．x R ∃∈，2210x +【考点】命题的否定；全称量词和全称命题【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题 【解答】解：由题意x R ∀∈，2210x +>， 的否定是x R ∃∈，2210x + 故选：D ．【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．2．（5分）函数1()3f x x =-的定义域是( ) A ．[2，3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【考点】函数的定义域及其求法【分析】由函数解析式列出关于不等式组2030x x -⎧⎨-≠⎩，求出它的解集就是所求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2030x x -⎧⎨-≠⎩，解得2x 且3x ≠，∴函数的定义域是[2，3)(3⋃，)+∞．故选：C ．【点评】本题的考点是求函数的定义域，即根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，对数的真数大于零等等，列出不等式求出它们的解集的交集即可． 3．（5分）已知命题:12p x -<<，:|1|1q x -<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由|1|1x -<，解得：02x <<， 则p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 4．（5分）幂函数()f x kx α=过点(4,2)，则(k α+= ) A ．32B ．3C ．12D ．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义求出1k =，由函数图象过点(4,2)求出α，再计算k α+． 【解答】解：幂函数()f x kx α=中，1k =， 由函数图象过点(4,2)，所以24α=，解得12α=； 所以13122k α+=+=． 故选：A ．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 5．（5分）若实数x ，y 满足21x y +=，则x y 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．18D ．116【考点】7F ：基本不等式及其应用【分析】根据2111(12)2()488xy x x x =-=--+，即可求出最大值．【解答】解：实数x ，y 满足21x y +=， 12y x ∴=-，22111(12)22()488xy x x x x x ∴=-=-+=--+， 当14x =，12y =时取等号， 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题． 6．（5分）若关于x 的不等式0ax b +<的解集为(2,)+∞，则0bx a +<的解集是( )A ．1(,)2-∞B ．1(,)2+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞【考点】7E ：其他不等式的解法【分析】由题意知，2x =是方程0ax b +=的根，且0a <，推出2b a =-，再代入0bx a +<，解之即可．【解答】解：由题意知，2x =是方程0ax b +=的根，且0a <， 所以2b a =-，所以不等式0bx a +<可化为20ax a -+<， 解得12x <， 故选：A ．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）函数y =( )A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[2，)+∞D ．[2，3]【考点】复合函数的单调性【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数243t x x =-+-的减区间，可得函数y =【解答】解：由2430x x -+-，得2430x x -+，解得13x ，∴函数y =[1，3]，令243t x x =-+-，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为2x =， 则函数243t x x =-+-在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又2t y =是增函数，∴函数y =[2，3]．故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．8．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A B C →→的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF ∆的面积y 与运动时间x （秒)之间的函数图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】点E 在线段AB 上时，2AE x =，(01)x <，12222y x x =⨯=．点E 在线段BC 上时，2(1)BE x =-，(12)x ，237()24y x =-+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：点E 在线段AB 上时，2AE x =，(01)x ，12222y x x =⨯=．点E 在线段BC 上时，2(1)BE x =-，(12)x <，22211137222(1)[22(1)]2(2)34()22224y x x x x x x x =-⨯⨯----⨯-⨯⨯-=-+=-+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A 正确． 故选：A ．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分） 9．（5分）下列命题是真命题的是( ) A ．(10)0lg lg = B ．ln e ππ=C ．若e lnx =，则2x e =D ．(1)0ln lg =【考点】命题的真假判断与应用；对数的运算性质 【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．【解答】解：(10)10lg lg lg ==，所以A 正确； ln e ππ=，满足对数的运算法则，所以B 正确；若e lnx =，则e x e =，所以C 不正确； (1)0ln lg ln =，无意义，所以D 不正确；故选：AB ．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题． 10．（5分）若a ，b ，c R ∈，0a b <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b< B ．2ab b >C ．||||a c b c >D ．22(1)(1)a c b c +<+【考点】3R ：不等式的基本性质【分析】取特殊值判断A ，C ，根据不等式的基本性质判断B ，D 即可． 【解答】解：取2a =-，1b =-，0c =，显然A ，C 错误； 对于:0BD a b <<，故2ab b <，22(1)(1)a c b c +<+，BD 正确， 故选：BD ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道常规题． 11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．若0x <，111[()]2()2x x x x x x +=--+--=---，故0x <时，1x x+的最大值是2-B ．当1x >时，22211x x x x +--，当且仅当21x x =-取等，解得1x =-或2．又由1x >，所以取2x =，故1x >时，原式的最小值为22421+=- C ．由于222222999442(4)42444x x x x x x +=++-+-=+++，故2294x x ++的最小值为2D ．当x ，0y >，且42x y +=时，由于24244x y x y xy =+=12xy ，又1111222412x y x y xy+==，故当x ，0y >，且42x y +=时，11x y +的最小值为4 【考点】1F ：归纳推理；7F ：基本不等式及其应用；2K ：命题的真假判断与应用 【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．【解答】解：对于A ，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A 的运算方法正确； 对于B ，当1x >时，222112(1)11111x x x x x x +=-++-+=---， 当且仅当211x x -=-，即1x =时，等号成立，即B 的运算方法错误； 对于C ，取等的条件是22944x x +=+，即243x +=±，显然均不成立，即C 的运算方法错误； 对于D ，第一次使用基本不等式的取等条件为4x y =，而第二次使用基本不等式的取等条件为x y =，两者不能同时成立，即D 的运算方法错误． 故选：BCD ．【点评】本题考查利用基本不等式处理最值问题，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12．（5分）已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，下列说法正确的是( )A ．函数()y sgn x =是奇函数B ．对任意的x R ∈，()1x sgn e =C ．函数()x y e sgn x =-的值域为(,1)-∞D ．对任意的x R ∈，||()x x sgn x = 【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．【解答】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，显然函数是奇函数，所以A 正确；因为：0x e >，所以，对任意的x R ∈，()1x sgn e =，所以B 正确； 函数()x y e sgn x =-的值域为(,)-∞+∞，所以C 不正确； 对任意的x R ∈，,0||()0,0,0x x x x sgn x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，所以D 正确；故选：ABD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的简单性质的应用，是基础题．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈，则()f x 的值域是 {1-，0，3} ． 【考点】34：函数的值域【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可． 【解答】解：函数2()2f x x x =+，21x -且x Z ∈所以2x =-，1-，0，1；对应的函数值分别为：0，1-，0，3； 所以函数的值域为：{1-，0，3} 故答案为：{1-，0，3}．【点评】本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，注意定义域是易错点．14．（5分）设m =，n ，p =，则m ，n ，p 的大小顺序为p n m << ．【考点】不等式比较大小【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．【解答】解：m ，n ，p =，则1m 1n，1p =∴111m n p<<， p n m ∴<<，故答案为：p n m <<．【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了运算能力，属于基础题． 15．（5分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ．【考点】函数的值【分析】根据题意，用特殊值法分析：令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，联立两个式子分析可得答案．【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，①令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =；故答案为：3【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值的应用，属于基础题．16．（5分）已知二次函数2()1f x ax x =-+，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是 [1，)+∞ ．【考点】二次函数的性质与图象【分析】不妨设12x x >，由条件可得1122()()f x x f x x ->-，构造新函数2()()21g x f x x ax x =-=-+，显然()g x 在[1，)+∞上单调递增，再对a 分情况讨论，利用()g x 的单调性即可求出a 的取值范围．【解答】解：不妨设12x x >，1212()()1f x f x x x ->-，1212()()f x f x x x ∴->-，即1122()()f x x f x x ->-，令2()()21g x f x x ax x =-=-+， ()g x ∴在[1，)+∞上单调递增，①当0a =时，()21g x x =-+，显然不成立，②当0a ≠时，则0212a a >⎧⎪-⎨-⎪⎩，解得1a ，综上所述，实数a 的取值范围是：[1，)+∞， 故答案为[1，)+∞．【点评】本题主要考查了二次函数的单调性，构造新函数是本题的解题关键，属于中档题． 四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合{|13}A x x =-<<，集合2{|2(52)50}B x x k x k =+--<，k R ∈． （1）若1k =时，求R B ，AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围． 【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交、并、补集的混合运算【分析】（1）1k =时，可得B ，利用补集交集运算可得． （2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，可得A B ，进而即可得出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）1k =时，22350x x +-<，解得512x -<<，即5(2B =-，1)，则(R B =-∞，5][12-，)+∞，5(2AB =-，3)，（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，A B ∴，由22(52)50x k x k +--<可得5()()02x k x -+<，当52k >-时，解得52x k -<<，即5(2B =-，)k ，A B3k ∴，当52k =-时，解集为∅，即B =∅，此时不满足AB当52k >-时，解得52k x <<-，即5(,)2B k =-，此时不满足AB ，∴实数k 的取值范围是[3，)+∞．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．已知定义在(1,1)-的函数2()1ax b f x x +=+满足：(0)0f =，且12()25f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在(1,1)-上是增函数．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3E ：函数单调性的性质与判断【分析】（1）根据题意，由(0)0f =可得b 的值，进而由12()25f =计算可得a 的值，即可得函数的解析式；（2）任取1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，用作差法证明即可得结论． 【解答】解：（1）根据题意，对于函数()f x ， 由(0)0f =，即(0)01b f ==，即0b =；则2()1axf x x=+， 又12()25f =，所以1a =；则2()1xf x x=+． （2）证明：任取1x ，2(1,1)x ∈-，且12x x <，则22121122121222221212()()()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ 121221121222221212()()()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+---==++++； 又1211x x -<<<，∴221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <； 故()f x 在(1,1)-上是增函数．【点评】本题考查函数解析式的求法与函数单调性的证明，关键是求出函数的解析式． 19．已知10.2503278()(2020)64P -=--，333322log 2log log 89Q =-+．（1）分别求P 和Q ； （2）若25a b m ==，且11Q a b+=，求m ． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解． （2）先把指数式化为对数式得到2log a m =，5log b m =，代入11Q a b+=，即可求出m 的值． 【解答】解：（1）111110.25031334442733478()(2020)82[()]1(82)()121644433P ---=--=⨯+-=⨯+-=+-=，333333333232482log 2log log 84log 8()log 9232999Q log log log ⨯=-+=-+===．即73P =，2Q =． （2）25a b m ==，2log a m ∴=，5log b m =， ∴251111log 2log 5log 10m m m a b log m log m+=+=+=， log 102m ∴=，∴m【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3AB =米，4AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长应在什么范围？ （2）当DN 的长为多少米时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．【考点】5C ：根据实际问题选择函数类型 【分析】（1）设DN 的长为(0)x x >米，23(4)AMPN x S AN AM x+==，表达(4)AN x =+米和3(4)x AM x+=，要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，解不等式即可得DN 的长的范围； （2）利用基本不等式可得当且仅当：483x x=，即：4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48．【解答】解：（1）设DN 的长为(0)x x >米，则(4)AN x =+米．DN DCAN AM =，3(4)x AM x +∴=，23(4)AMPN x S AN AM x+==， 由矩形AMPN 的面积大于50，得：23(4)50x x+>，又0x >，得：2326480x x -+>，解得：803x <<或6x >，即：DN 长的取值范围是：(0，8)(63⋃，)+∞．（2）矩形花坛AMPN 的面积为，223(4)324484848324232448x x x y x x x x x x+++===+++=，当且仅当：483x x=，即：4x =时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值48． 故DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN 的面积大于50平方米，则DN 的长的范围：(0，8)(63⋃，)+∞；（2）当DN 的长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为48平方米． 【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础 21．（12分）已知二次函数2()(f x ax bx c a =++，b ，)c R ∈满足： ①对任意实数x ，都有()f x x ； ②当(1,3)x ∈时，有21()(2)8f x x +成立． （1）求证：f （2）2=；（2）若(2)0f -=，求函数()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数[0x ∈，)+∞，有1()24m f x x ->恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】6P ：不等式恒成立的问题【分析】（1）根据题意可知：2f （2）2，由此确定f （2）2=；（2）根据()f x x 恒成立，利用判别式0恒成立、结合f （2）2=可求出a 的值，最后结合(2)0f -=，即可求出系数b ，c 的值；（3）根据0x ，分离参数m ，再利用基本不等式即可求出m 的范围． 【解答】解：（1）由题意得2f （2）21(22)28+=，所以f （2）2=． （2）结合（1）知f （2）422a b c =++=， 由()f x x 恒成立得2(1)0ax b x c +-+恒成立，故20(1)40422a b ac a b c >⋯⋯⎧⎪--⋯⋯⎨⎪++=⋯⋯⎩①②③，将③代入②得21(2)02a c -，故4c a =⋯④．又(2)420f a b c -=-+=⋯⑤， 联立③④⑤解得11,82a b c ===．所以2111()822f x x x =++．（3）由[0x ∈，)+∞，且1()24m f x x ->恒成立可得： 2111,02824mx x x x <++， ()0i x =时，104<恒成立，此时m R ∈；()0ii x >时，原式化为：11142m x x<++恒成立，因为111112114242x x x x +++=x =故此时1m <综合()()i ii 可知m 的取值范围为(,1-∞． 【点评】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题的解题思路．属于中档题．22．（12分）设函数2(1)()(0x xa t f x a a--=>且1)a ≠是定义域为R 的奇函数． （1）求t 的值；（2）若f （1）0>，求使不等式2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象过点3(1,)2，是否存在正数m ，(1)m ≠使函数22[()]()x x a a mf x g x m -+-=在[1，2log 3]上的最大值为m ，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据()f x 为R 上的奇函数，可得(0)0f =，然后求出t 的值，再检验得到的t 值是否符合题意；（2）先根据f （1）0>，求出a 的范围，然后利用定义法判断()f x 的单调性，再根据2()(1)0f kx x f x -+-<对一切x R ∈恒成立，得到关于k 的不等式，进一步求出k 的范围；（3）根据函数()f x 的图象过点3(1,)2，求出a ，令()x x t f x a a -==-，根据()f x 是单调递增函数，得到t 的范围，然后得到22()()tmt g x h t m -+==，再求出m 的值即可．【解答】解：（1）是奇函数，(0)0f ∴=，1(1)0t --=，解得2t =．当2t =时，21()x x x xa f x a a a--==-，()()x x f x a a f x -∴-=-=-， ()f x ∴是奇函数，满足题意，2t ∴=．（2）2(1)()x xa t f x a --=，f （1）0>，∴10a a ->，又0a >，1a ∴>，设1x ∀，2x R ∈，12x x <，则21122111()()x x x x f x f x a a a a -=-+-，∴212121121221()1()()()()(1)x x x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a ++--=-+=-+，12x x <，1a >，∴210x x a a ->，又121110x x a++>>．21()()0f x f x ∴->，21()()()f x f x f x >是单调递增函数．2()(1)0f kx x f x -+-<，22()(1)(1)1f kx x f x f x kx x x -<--=--<-恒成立，即2(1)10x k x -++>恒成立，∴△2(1)40k =+-<，31k ∴-<<，k ∴的取值范围为(3,1)-．（3）函数()f x 的图象过点3(1,)2，∴13(1)(0)2f a a a =-=>，解得22[()]2x x a a mf x a m -+-=， 设()x x t f x a a -==-，由（2）知()f x 是单调递增函数， ∴当[1x ∈，2log 3]时，38[,]23t ∈，2222x x t a a -=+-，∴22()()tmt g x h t m -+==，38[,]23t ∈，其最大值为m ，也即22t mt -+有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①233()2122m -+=，解得136m =，此时对称轴为1312t =，左端点处取的是二次函数最小值，而1m >，也即()h t 最小值，不合题意舍去．②288()2133m -+=，解得7324m =，此时对称轴为7348t =，右端点离对称轴更远，取的最大值，而1m >，也即()h t 最大值，符合．③22142m m m -+=，解得2m =±，此时对称轴为1t =±，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，7324m =． 【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义判断函数的单调性，不等式恒成立问题和函数最值得求法，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
【名校名卷】南通中学2022学年度普通班第一学期期中考试高一数学试卷
江苏省南通中学2022-2022学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，集合{1,3,4}B =，则=U A B （）▲．2．函数2()log (1)f x x =+的定义域为▲．3．已知实数1{1,,3}2α∈-，若幂函数y x α=是定义在R 上的奇函数，则α=▲．4．124-=▲． 5．计算：2(lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+=▲．6．设()f x 是单调递减的一次函数，且(())43f f x x =+，则()f x =▲．7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则(3)f -=▲．8．函数1()2239x x f x +=+⨯-，[1,2]x ∈-的值域为▲．9．函数()f x =的单调递增区间为▲． 10．若函数1()2x f x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是▲．11．已知函数2,0()lg ,0x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤，若()1f a =，则实数a =▲．12．函数2()23f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则不等式24t m +≥恒成立，则t 的取值范围为▲．13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上的单调递增，若实数b 满足2122(log )(log )3(1)f b f b f +≤，则实数b 的取值范围为▲．14．已知点11(())A x f x ，、22(())B x f x ，是函数2()f x ax x =-，112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，图象上任意两点，若2121()()142f x f x x x --≤≤恒成立，则实数a 取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分） 已知集合{}37A x x =<≤，{}210B x x =<<，{}5C x a x a =-<<（1）求A B ，U A B （）； （2）若()C AB ⊆，求实数a 的取值范围16．（本小题满分8分）已知函数()22x x f x -=-（1）用定义法证明函数()f x 是R 上单调递增函数；（2）解不等式3()2f x ≥17．（本小题满分9分）已知函数2()log (1)a f x ax x =-+，其中0a >且1a ≠（1）若12a =，求()f x 的值域； （2）若()f x 在1342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数时，求a 的取值范围18．（本小题满分9分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）满足关系式22136=84769ax x P x x x-+<⎧⎪⎨+<⎪⎩，≤，，≤，（其中a 为常数），已知销售价格4万元/吨时，每天可售出该产品9吨．（1）求a 的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大并求出最大值．19．（本小题满分12分）已知函数()f x 对任意的实数x ，y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）求函数()f x 在区间[33]-，上的最大值；（3）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+20．（本小题满分12分） 定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界已知函数11()124x x f x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；12()12x xm g x m -⋅=+⋅ （1）当1a =时，求函数()f x 在(0)-∞，上的值域，并判断函数()f x 在(0)-∞，上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0)+∞，上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）若0>m ，函数()g x 在[01]，上的上界是()T m ，求()T m 的取值范围命题、审题：张勤钱勇。
江苏省南通中学05—06学年度上学期高一数学期中试卷-新课标
江苏省南通中学2022—2022学年度第一学期期中测试高一数学试卷〔时间120分钟,总分值100分〕第I 卷一、 选择题：〔每题3分,共12小题,合计36分〕 1、 以下几个关系中正确的选项是〔 〕A 、0{0}∈B 、 0{0}=C 、0{0}⊆D 、{0}∅=2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射,以下说法正确的选项是〔 〕 A 、 M 中每一个元素在N 中必有输出值. B 、 N 中每一个元素在M 中必有输入值.C 、 N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的.D 、 N 是M 中所有元素的输出值的集合.3、以下函数与y x =有相同图象的一个是〔 〕A 、y =B 、2x y x=C 、log (0,a xy aa =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠4、集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈,那么〔 〕 A 、M N = B 、M N ⊆ C 、N M ⊆ D 、M N =∅5、53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=,那么(5)f 的值为〔 〕 A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -13 6、假设0a <,那么函数(1)1xy a =--的图象必过点〔 〕 A 、(0,1) B 、〔0,0〕 C 、〔0,-1〕 D 、〔1,-1〕7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象,只需将函数()y f x =的图象〔 〕 A 、 向右平移2个单位,向下平移1个单位. B 、 向左平移2个单位,向下平移1个单位. C 、 向右平移2个单位,向上平移1个单位. D 、 向左平移2个单位,向上平移1个单位.8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中,假设班级___________ 学号 ___________ 姓名 ___________装订线内请勿做题{1,2,3}A =,{1,2}B =,那么A B *中的所有元素数字之和为〔 〕A ．9 B. 14 C.18 D.219、函数()312f x ax a =+-在区间〔-1,1〕上存在0x ,使得0()0f x =,那么〔 〕A 、115a -<<B 、15a >C 、1a <-或15a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取14,1,(5)2x x x -+-三个值中的最小值,那么函数y 〔 〕A 、有最大值2,最小值1,B 、有最大值2,无最小值,C 、有最大值1,无最小值,D 、无最大值,无最小值. 11、如下图的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系:ty a =,有以下表达: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;⑤ 假设浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ,那么123t t t +=.其中正确的选项是 ( ) A. ①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤12、函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数,那么实数a 的取值范围是〔 〕1.12A a <<或1a > . 1B a > 1. 14C a << 1. 08D a <<第II 卷二、 填空题：〔每题4分,共4小题,合计16分〕t/月13、函数(3)xy f =的定义域为[1,1]-,那么函数()y f x =的定义域为_________. 14、将1113222.1,2.2,0.3这三个数从小到大排列为__________________. 15、{2,1,0,1,2,3}n ∈--,假设11()()25nn->-,那么______n =.16、以下几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根,一个负实根,那么0a <.②函数y =是偶函数,但不是奇函数.③函数()f x 的值域是[2,2]-,那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-.④ 设函数()y f x =定义域为R,那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称.⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ,那么m 的值不可能是1. 其中正确的有___________________.三、 解做题：〔17、18每题6分,19、20每题8分,21、22每题10分,合计48分〕 17、2{2,3},{|0},{2},A B x x ax b A B A B A ==++===,求a b +的值.18、计算：〔1〕11,a a --=求22443a a a a--+--的值. 〔2〕33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+的值.19、函数21()log 1xf x x+=-,求函数()f x 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.20、函数11()()142xxy =-+的定义域为[3,2]-,（1） 求函数的单调区间； （2） 求函数的值域.21、定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数.（1） 求：(1),(1)f f -的值； （2） 求证：()()f x f x -=； 〔3〕解不等式1(2)()02f f x +-≤.22、()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数,当,[1,1]a b ∈-,且0a b +≠时有()()0f a f b a b+>+.（1） 判断函数()f x 的单调性,并给予证实；（2） 假设2(1)1,()21f f x m bm =≤-+对所有[1,1],[1,1]x b ∈-∈-恒成立,求实数m 的取值范围.答案13、]3,31[ 14、2121212.21.23.0<< 15、－1或2 16、①⑤三、解做题： 17、解：B={2}∴方程x 2+ax+b=0有两个相等实根为2 ∴a=－4,b=4 ∴a+b=018、解：(1) a+a -2=(a －a -1)2=3∴原式=0(2)原式=(lg2+lg5)[(lg2)2－lg2lg5+(lg5)2]+3lg2lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2 =(lg2+lg5)2 =119、解：(1)定义域为(－1,1)(2)f(-x)=1211log -⎪⎭⎫⎝⎛-+x x =-f(x) ∴函数是奇函数(3) 在x ∈(－1,1)时y=1－x 是减函数x y -=12是增函数 112--=xy 是增函数x xx f -+=11log )(2是增函数20、解：(1)令t=x )21(,那么y=t 2－t+1=(t －21)2+43当时x ∈[1,2],t=x )21(是减函数,此时t ]21,41[∈,y=t 2－t+1是减函数当时x ∈[－3,1],t=x )21(是减函数,此时t ]8,21[∈,y=t 2－t+1是增函数∴函数的单调增区间为[1,2],单调减区间为[－3,1] (2)∵x ∈[－3,2],∴t ]8,41[∈ ∴值域为]57,43[ 21、解：(1)令x=y=1,那么f(1)=f(1)+ f(1) ∴f(1)=0令x=y=－1,那么f(1)=f(－1)+ f(－1) ∴f(－1)=0 (2)令y=－1,那么f(－x)=f(x)+f(－1)=f(x) ∴f(－x)=f(x) (3)据题意可知,函数图象大致如下：121,2101120,01210)12()21()2(≤<<≤∴≤-<<-≤-∴≤-=-+x x x x x f x f f 或或22、(1)证实：令－1≤x 1<x 2≤1,且a= x 1,b=－x 2 那么0)()(2121>--+x x x f x f∵x 1－ x 2<0,f(x)是奇函数 ∴f(x 1)－f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)∵x 1<x 2 ∴f(x)是增函数(2)解：∵f(x)是增函数,且f(x)≤m 2－2bm+1对所有x ∈[－1,2]恒成立 ∴[f(x)]max ≤m 2－2bm+1 [f(x)]max =f(1)=1∴m 2－2bm+1≥1即m 2－2bm ≥0在b ∈[－1,1]恒成立 ∴y= －2mb+m 2在b ∈[－1,1]恒大于等于0∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+⨯-≥+-⨯-0120)1(222m m m m∴⎩⎨⎧≥≤-≤≥2020m m m m 或或∴m 的取值范围是)2[}0{]2-(∞+-∞，，。
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江苏省南通中学2007～2008年度第一学期高一期中考试数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 1．若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()U MN ð= ▲▲▲ ．2．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a } 满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是 ▲▲▲ ． 3．已知函数()f x 的图象经过（0，1），则函数()1f x +的图象必经过点 ▲▲▲ ． 4 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是 ▲▲▲ ．5．直线x =a (a >0) 与函数y =(31)x ，y =(21)x ，y =2x ，y =10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 ▲▲▲ ． 6．（1）若13,a a -+= 则3322a a--= ▲▲▲ ；（2）2(lg5)lg2lg50+⨯= ▲▲▲ ．7．已知函数2(3)23(02),f x x x x +=-+<< 则()f x = ▲▲▲ ．8．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ▲▲▲ ；若00()8,f x x ==则 ▲▲▲ ．9．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时，()f x10．函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲▲▲ ． 11．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”，下面五个点M(1，1)，Ｎ(1，2)，Q(2，１)，G(2，2)，H(2，12) 中，“好点”为 ▲▲▲ 12 下列四个命题：(1)函数()f x 在0x ≥时是增函数，0x ≤也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数；(2)若二次函数2()2f x ax bx =++没有零点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) ()()22,f f -=若则定义在R 上的函数()f x 不是奇函数． 其中正确的命题是 ▲▲▲二、选择题：本大题共４小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的．13. 若集合21{|}M y y x ==，{|P y y =，那么M P =（ ）A ．),0(+∞B ．),0[+∞C ．),1(+∞D ． ),1[+∞14. 若函数唯一的零点同时在区间（0，16），(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是（ ）A ．函数在区间（0，1）内有零点 Ｂ．函数在区间(0，1)或(1，2)内有零点 Ｃ．函数在区间[)2,16内无零点 Ｄ．函数在区间（1，16）内无零点15 函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）A (,())a f a --B (,())a f a -C (,())a f a -D (,())a f a ---16．函数()22()log 1a f x x x +=-+的定义域为(-∞，＋∞)，则实数a 的范围是( )A ．(-∞，＋∞)B ．(0，34) C ．(34，＋∞) D ．3[0,)4三、解答题：本大题共６小题，共计80分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．求下列函数的定义域（要求用区间表示）：（1）()()3log 123xf x x =++-； （2）y =. 18．设集合()2{|44,}A x xa a x a R =+=+∈，2{|45}B x x x =+=.（1）若A B A =，求实数a 的值； （2）求A B ，A B19．（1）若函数2()23x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，求()f x 的解析式 （2）已知函数f (x )是定义在(-5，5)上的奇函数又是减函数，试解关于x 的不等式 (32)(21)0f x f x -++>20．求函数1221log (21)log (2)2x x y -=+⋅+的值域并分析其单调性．21．已知二次函数()2f x ax bx c =++，(1) 若a b c >>且()10f =，证明：()x f 的图像与x 轴有两个相异交点； (2) 若x 1， x 2， 且x 1<x 2，()()12f x f x ≠，证明：方程()()()122f x f x f x +=必有一实根在区间 (x 1， x 2) 内；(3) 在(1)的条件下，设两交点为A 、B ，求线段AB 长的取值范围．22．已知函数11,1,()11,0 1.x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（I ）当0< a < b ，且f (a ) = f (b )时，求11a b+的值； （II ）是否存在实数a ，b （a <b ），使得函数y =f (x )的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由；（III ）若存在实数a ，b （a <b ），使得函数y =f (x )的定义域为 [a ，b ]时，值域为 [ma ，mb ](m ≠0)．求m 的取值范围．江苏省南通中学2007～2008年度第一学期高一期中考试数学试卷答卷一、填空题（每题5分，共60分）： 1．{4}；2．[)2,+∞；3．（－1，1）；4．(][),4064,-∞+∞；5．ＤＣＢＡ；6．,4±1；7．)53(1882<<+-x x x ； 8．0， 4； 9．(1x ；10．()1,+∞； 11．ＧＨ；12．（1）（2）．二、选择题（每题5分，共20分）：三、解答题（第17~20每题12分，第21、22每题16分，共80分）：17、（1）解：由()(]401014323031334x x x x -≥≤⎧⎧⎪⎪+>-<≤≠⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩-2222x 4得x>-1所以且x log x log 所以原函数的定义域为，log log ， （2）解：由()()221log 450log 451474x x x --≥-≤⎧<≤⎨≤⎩得x-5>05所以解得 4x-524所以原函数的定义域为57,44⎛⎤⎥⎝⎦18、解：{}{}4,1A x x B x x ====或x=a 或x=4 （1）因为A B =A 所以 A B ⊆，由此得 a=1 或 a=4(2) 若a=1，则A=B={}1,4 所以A B ={}1,4, A B ={}1,4 若a=4，则A ={}4 所以A B ={}1,4, A B ={}4 若1,4a ≠则A ={}4,a 所以A B ={}1,4,a , A B ={}4()[]()()()()()()()()222219(1)1,100,110,23232323f x f f f xa b f x x x xf x f x x x xf x x -∴=-=-==∴=+--==-=-+-+∴=+、在上为奇函数解得即为所求.（2）由(32)(21)0f x f x -++>得，(32)(21)f x f x ->-+因为f(x)是定义在(-5,5)上的奇函数又是减函数，所以(32)(21)f x f x ->--所以-5<3x-2<-2x-1<5 解得115x -<<20、解：122221log (21)log (2)log (21)log (21)12xx x x y -⎡⎤=+⋅+=+⋅+-⎣⎦ ()2111log (21)102441,4x t y t t t ⎛⎫+==-≥> ⎪⎝⎭⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2令 则=t--- ,所以原函数值域为-()))))(211,211log (21)21122(21)1,,,1x x x y t t ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭≥+≥+≥≥+⎡+∞⎣⎤∞⎦2222在上是增函数由 t 即得x log 又t=log 为增函数所以原函数在log 上为增函数同理可得原函数在-log 上为减函数()()()()()22221100440a b c b ac a c ac a c f x x =++=∆=-=+-=->∴、证明：由a>b>c 可得 a>0,c<0 由f 1可得的图像与轴有两个相异交点()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()121212111212222121212222222140x ,x 2f x f xg x f x f x f x f x f x g x f x f x f x f x f x g x f x f x f x g x f x f x f x g x +=-+-=-=+-=-=-∴=--<⎡⎤⎣⎦+∴==12令则g x g x 又的图像是连续的方程即必有一实根在区间内。
()121230,1011221333322f x x x a b c b a cc c a a c c a a a cAB x x aAB AB =>>=--∴>-->>∴<--<∴-<<-=====-⎛⎫∴<<∴ ⎪⎝⎭（）设两根为、 c 又 a 又 - 长的取值范围为，22、解：（I ） ∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-= 1.x 0,1x1,1x ,x11)x (f∴f(x)在（0，1）上为减函数，在(1,)+∞上是增函数． 由0<a<b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 且b 1-11a 1=-．所以2b1a 1=+． （II ）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ， 则0<a<b① 当)1,0(b ,a ∈时，1x1)x (f -=在（0，1）上为减函数． 故⎩⎨⎧==.a )b (f ,b )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- a.1b1,b 1a1解得 a=b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ② 当),1[b ,a +∞∈时，1f (x)1x=-在(1,)+∞上是增函数．故⎩⎨⎧==.b )b (f ,a )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- b.b11,a a11 此时a ，b 是方程01x x 2=+-的根，此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．当)1,0(a ∈，),1[b +∞∈时，由于]b ,a [1∈，而]b ,a [0)1(f ∉=，故此时不存在适合条件的实数a ，b ．综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．（III ）若存在实数a ，b （a<b ），使得函数y=f(x)的定义域为[a ，b]时，值域为[ma ，mb]． 则a>0，m>0．① 当)1,0(b ,a ∈时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故11mb,a11ma.b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．此时得a,b异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．② 当)1,0(a ∈ ),1[b +∞∈时，易知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb]，所以a ，b 不存在． 故只有),1[b ,a +∞∈． ∵f (x)在),1[+∞上是增函数，∴⎩⎨⎧==.mb )b (f ,ma )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-mb.b11,ma a11a ，b 是方程01x mx 2=+-的两个根．即关于x 的方程01x mx 2=+-有两个大于1的实根．设这两个根为1x ，2x ． 则1x +2x =m 1，1x ·2x =m1． ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->∆.0)1x )(1x (,01)x (1)(x ,02121 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>->-.02m 1,04m 1解得 41m 0<<． 故m 的取值范围是41m 0<<．。