最新数学湘教版初中九年级下册综合滚动练习：圆的切线、弧长及扇形面积

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九年级数学下册第2章圆 2.6 弧长与扇形面积 2.6.2 扇形的面积公式练习 (新版)湘教版

2.6 弧长与扇形面积第2课时扇形的面积公式知|识|目|标1．经历探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的过程，推导出扇形面积公式，并应用公式解决相关问题．2．通过掌握扇形的面积公式，能求弓形等组合图形的面积.目标一理解扇形面积公式并能解决相关问题例 1 教材例3针对训练(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 2 cm ，则扇形的面积是________cm 2；(2)已知扇形的半径为2 cm ，面积是π cm 2，则扇形圆心角的度数为________度；(3)已知扇形的弧长是10π cm ，面积为20π cm 2，则扇形的半径为________．【归纳总结】扇形面积公式的选择：(1)当已知半径R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S ＝n πR 2360；(2)当已知半径R 和弧长l 求扇形的面积时，选用公式S ＝12lR .目标二能求弓形等组合图形的面积例2 教材补充例题如图2－6－3，已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则图中弓形的面积为( )图2－6－3A.4π－3 34B.π－34C.2π－3 34 D.π－3 32【归纳总结】两类弓形面积的求法：(1)小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图2－6－4①，用扇形的面积减去三角形的面积即为弓形面积；图2－6－4(2)大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图2－6－4②，用扇形的面积加上三角形的面积即为弓形面积．例3 教材补充例题如图2－6－5，半圆O 的直径AB ＝2，弦CD ∥AB ，∠CAD ＝30°，求阴影部分的面积(结果保留π)．图2－6－5【归纳总结】组合图形的面积的化归方法： (1)化归为弓形的面积与三角形面积的和与差；(2)利用对称性将图形转移位置，形成扇形、三角形、特殊四边形或弓形进行计算．知识点扇形面积公式1．圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形．在同一个圆中，圆心角越大，扇形的面积就越大．2．半径为r 的圆中，圆心角为n °的扇形的面积S ＝________．若扇形的弧长为l ，则S ＝________．[说明] 扇形面积公式要根据具体的情况来使用，当已知圆心角和半径时，通常使用S 扇形＝n πr 2360；当已知弧长和半径或弧长和圆心角时，通常使用S 扇形＝12lr . [注意] 1.公式中n 表示圆心角的度数，且代入计算时不带单位． 2．计算结果无精确度要求时，结果保留π.如图2－6－6，半圆O 的直径AB ＝2，弦CD ∥AB ，∠CAD ＝45°，求图中阴影部分的面积．图2－6－6解：∵半圆O 的直径AB ＝2，∴半径r ＝1，∴阴影部分的面积＝45×π×12360＝π8.上述解答过程有没有错误？若有错误，请给予改正．教师详解详析【目标突破】例1 (1)43π (2)90 (3)4 cm例2 C例3 解：连接OC ，OD ，如图．∵∠CAD ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵AB ∥CD ，∴S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S 弓形CD ＋S △COD ＝S 扇形OCD ＝60×π×12360＝16π.【总结反思】[小结] 知识点 n πr 2360 12lr[反思]上述解答有错误，∠CAD ＝45°是圆周角的度数，要转化为圆心角的度数．正确解答：连接OC ，OD.由CD ∥AB 可知，点A ，O 到直线CD 的距离相等，∴S △ACD ＝S △OCD ，而∠COD ＝2∠CAD ＝90°，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＝90360×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝π4.。

湘教版九年级下册数学2.6弧长与扇形面积同步练习题

、选择题2.6弧长与扇形面积1.已知半径为5的O O是△ABC的外接圆，若/ ABC=25°,则劣弧彳（丫的长为（C.誇A. B. D.2.如图，在△ABC中，/ ACB=90°, / A=30° AB=4,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D, 则的长为（）A. B. C.3.如图, D.AB是O O的直径，CD是弦，/ BCD=30°, 0A=2,则阴影部分的面积是（）A. B. C.4.如图, AB是O O的直径，点D为O O上一点，且/ ABD=30°, BO=4I」舫的长为（A. B. C. 2 nID.nD.85.如图，正方形ABCD的边长为2cm，以点B为圆心，AB的长为半径作弧AC,则图中阴影部分的面积为A. (4 — n )cn i 2C(2 丁4)cm6.如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则弧A. 3 nB. 6 nC. 9 n的展直长度为（）7.如图，AB为的直径，点C在上，若二」口一，…雳一4，则的长为（）A. B. C. D.8.圆心角为〕、（〕，弧长为的扇形半径为（）BA. B. C. D..-Z9.如图，O O 的直径AB=6,若/ BAC=50°,则劣弧 AC 的长为（）11. 已知圆 O 的半径是3, A , B , C 三点在圆 O 上，/ ACB=60°,则弧AB 的长是（）12. 如图，O O 的半径为1, A , B , C 是圆周上的三点，/ BAC=36°,则劣弧BC 的长是（）120 °它的半径是3cm ,则扇形的弧长为 ___________ cm .16. 如图是一把折扇，其平面图是一个扇形，扇面ABDC 的宽度AC 是骨柄长OA 的一半.已知 OA=30 cm ,/ AOB=120，则扇面ABDC 的周长为 __________ cm .17. ___________________________________________________________ 已知扇形的圆心角为 150 °半径长为3,则此扇形的面积为 ____________________________218. 一个扇形的面积为 12 n cm,圆心角为120 :则该扇形的半径是 ___________ . 19. 如图，O O 的半径为6,四边形ABCD 内接于O O ,连接OB , OD , 若/ BOD=Z BCD,则弧BD 的长为 __________ .20. 已知扇形的半径为 6cm ，面积为10 n c^ ,则该扇形的弧长等于 _______________ .221. 一个扇形的半径为 3cm ，面积为n cm ,则此扇形的圆心角为 _________________ 度为 ________ cm .A. 乙填空题B.C.2 ，圆心角为60 °则它的半径为14.已知扇形的弧长为O 的半径为3，厂?.?，则劣弧的长是（结果保留）22.如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形 2ABC 的面积为300 n cm/ BAC=120°, BD=2AD,贝U BD 的长度A. 2 nB.C. D.10.已知扇形的圆心角为 45半径长为12，则该扇形的弧长为（）EBn (2.n D.A. 2 nB. nC. nD. n13. 一个扇形的圆心角是、解答题23•如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所20cm, 10cm，/ AOB= 120 ° 则这个在圆的半径分别是广告标志的周长是多少？6的O O中，弦AB长为6.求弦AB与所围成的阴影部分的面积.。

九年级数学下册第二章2-6弧长与扇形面积练习新版湘教版

2．6弧长与扇形面积第1课时弧长基础题nπ r知识点弧长公式 (l ＝180 ) 及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为 1，则扇形的弧长为 (D)πππA. 2 B．π C. 6 D. 32．已知一弧的半径为3，弧长为 2π，则此弧所对的圆心角为(C)A． 300°B． 240°C． 120°D． 60°3．圆心角为 120°，弧长为 12π的扇形半径为 (C)A． 6 B． 9 C． 18 D． 36︵4． (2018 ·黄石 ) 如图， AB是⊙ O的直径，点 D为⊙ O上一点，且∠ ABD＝ 30°， BO＝4，则 BD的长为(D)2 4 8A. 3πB. 3πC． 2π D. 3π5． ( 教材 P78 例 2 变式 ) 如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，∠ ABC＝ 30°， AB＝ 2. 将△ ABC绕直角极点C 逆时针旋转 60°获得△ A′B′ C，则点 B 转过的路径长为 (B)π3π 2A. 3B. 3C. 3πD．Π︵6．如下图，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为 2 米，秋千绕点O旋转了 60°，点 A 旋转到点 A′，则 AA′的2π长为 3 米．(结果保存π)7．如图，已知正方形的边长为 2 cm，以对角的两个极点为圆心， 2 cm长为半径画弧，则所获得的两条弧长度之和为 2π__cm.( 结果保存π )︵3 28．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则 AB的长l ＝ 2 π.︵9．如图，一根绳索与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD，绳索 AC和 BD所在的直线成30°角．请你测算一︵下接触部分 CMD的长． ( 结果保存π )解：连结OC， OD，则 OC⊥AC， BD⊥ OD.又∵ AC与 BD的夹角为30°，∴∠ COD＝150° .︵150π× 30∴ CMD的长为180＝ 25π (cm) ．易错点忽略题中条件10．如图，一扇形纸扇完整翻开后，外侧两竹条AB和 AC的夹角为120°， AB长为 25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm. 若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为2 350πcm.中档题︵11． (2017 ·烟台 ) 如图，在 ?ABCD中，∠ B＝ 70°， BC＝6，以 AD为直径的⊙ O交 CD于点 E，则 DE的长为 (B)π2π7π4πA. 3B. 3C. 6D. 312．如图，用一个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上涨，滑轮上一点P 旋转了 108°，假定绳索 ( 粗细不计 ) 与滑轮之间没有摩擦，则重物上涨了(B)A． 5π cm B． 3π cm C． 2π cm D．π cm13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝ 4，BC＝ 3，矩形在直线l 上绕其右下角的极点 B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的极点持续向右旋转90°至图②地点，，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，极点 A 在整个旋转过程中所经过的行程之和是(D)A． 2 018 πB． 3 024 πC． 3 025.5 πD． 3 028.5 π14．如图，圆心角∠AOB＝ 120°，弦 AB＝ 2 3 cm.(1)求⊙ O的半径 r ；︵(2)求劣弧 AB的长． ( 结果保存π )解： (1) 过点 O作 OC⊥ AB 于点 C，1则 AC＝2AB＝ 3 cm.∵∠ AOB＝120°， OA＝ OB，∴∠ A＝ 30° .∴在 Rt △AOC中，ACr ＝ OA＝cos30°＝ 2 cm.︵120× π × 2 4π(2) 劣弧 AB的长为180＝3cm.15．图 1， 2，， m分别是边长均大于 2 的三角形，四边形，，凸n 边形，分别以它们的各极点为圆心，以 1为半径画弧与两邻边订交，获得 3 条弧， 4 条弧，， n 条弧．(1) 图 1 中 3 条弧的弧长的和为π ，图2中4条弧的弧长的和为2π；(2)求图 m中 n 条弧的弧长的和． ( 用 n 表示 )解： (n －2) π .综合题16．某商场为了迎接“六一”小孩节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心( 即图中的 C 处) 固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装修，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完整倒下去．小灵画出剖面图，进行仔细研究：圆弧的圆心为点O，过点 O 的木杆 CD长为 260 cm， OA，OB 为圆弧的半︵径，长为 90 cm( 作为木杆的支架 ) ，且 OA， OB对于 CD对称， AB的长为 30π cm. 当木杆 CD向右摇动使点 B 落在地面上 ( 即圆弧与直线 l 相切于点 B)时，木杆的顶端点 D到直线 l 的距离 DF是多少厘米？︵30π cm， OA， OB为圆弧的半径，长为90 cm ，解：∵ AB的长为依据弧长公式 l ＝nπ r nπ× 90 ，得 30π＝，180 180解得 n＝60° .即∠ AOB＝60°，进而∠ BOE＝∠ COA＝30° . ∵ OB＝ 90 cm，∴ OE＝ 60 3 cm.∴ DE＝ (170 ＋ 60 3)cm.∴ DF＝ (90 ＋ 85 3 )cm.第 2 课时扇形的面积基础题知识点 1 扇形的面积1．已知扇形的半径为 6 cm，圆心角为 120°，则这个扇形的面积是 (B)A． 36π cm2 B． 12π cm 2C． 9π cm2 D． 6π cm22．假如扇形的圆心角为150°，它的面积为 240π cm 2，那么扇形的半径为 (B)A． 48 cm B． 24 cmC． 12 cm D． 6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是 4π，则它的半径是 (D)A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为23π． ( 结果保存π )5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是24cm，面积是240π cm2.( 结果保存π )6．如下图，在3× 3 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点O， A，B 均为格点，则扇形OAB的面积大小是5π．47． (2018 ·巴中 ) 如下图，以六边形的每个极点为圆心， 1 为半径画圆，则图中暗影部分的面积为2π ．知识点 2 与扇形相关的暗影部分的面积8．如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O的三均分点， AC＝2，则图中暗影部分的面积是(A) 4π4π2π2π3A.3－3B.3－2 3C.3－3D.3－29． (2017 ·湘潭 ) 如图，在半径为 4 的⊙ O中， CD是直径， AB是弦，且CD⊥ AB，垂足为E，∠ AOB＝ 90°，则阴影部分的面积是(D)A． 4π －4B． 2π －4C． 4πD． 2π10． (2018 ·重庆 A 卷 ) 如图，在矩形ABCD中， AB＝3， AD＝2，以点 A 为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中暗影部分的面积是6－π ． ( 结果保存π )11．如图， PA， PB分别与⊙ O相切于点A， B，∠ APB＝ 60°，连结AO， BO.︵(1)AB 所对的圆心角∠AOB＝120°；(2)若 OA＝ 3，求暗影部分的面积．解：连结OP，1则∠ OPA＝∠ OPB＝2∠ APB＝30° .在 Rt △ OAP中， OA＝ 3，∴ AP＝ 3 3.1 9 3△OPA3＝2.∴S ＝2×3×39 3 120π× 32∴S 暗影＝2×2 －360 ＝ 9 3－ 3π .中档题12． (2018 ·德州) 如图，从一块直径为 2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)A. π2 2m B.3π2m 2 C．π2m D． 2π2m13．如图， CD是半圆 O的直径，弦AB∥ CD，且 CD＝ 6，∠ ADB＝ 30°，则暗影部分的面积是(B)A．π3B.C． 3πD． 6π2π14．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标 ( － 2， 0) ，△ ABO是直角三角形，∠AOB＝ 60° . 现将 Rt △ ABO绕原1点 O按顺时针方向旋转到Rt △ A′ B′O的地点，则此时边OB扫过的面积为4π ．15． (2017 ·郴州 ) 如图， AB是⊙ O的弦， BC切⊙ O于点 B， AD⊥ BC，垂足为D， OA是⊙ O的半径，且OA＝ 3.(1)求证： AB 均分∠ OAD；︵(2)若点 E 是优弧 AEB上一点，且∠ AEB＝ 60°，求扇形 OAB的面积． ( 计算结果保存π )解： (1) 证明：连结OB，∵BC切⊙ O于点 B，∴ OB⊥ BC.∵AD⊥ BC，∴AD∥ OB.∴∠ DAB＝∠ OBA.∵OA＝ OB，∴∠ OAB＝∠ OBA.∴∠ DAB＝∠ OAB.∴AB 均分∠ OAD.︵(2)∵点 E 是优弧 AEB上一点，且∠ AEB＝60°，∴∠ AOB＝2∠ AEB＝120°，∴扇形 OAB的面积为120π ×32＝ 3π.36016．如图，线段AB与⊙ O相切于点C，连结 OA， OB， OB交⊙ O于点 D，已知 OA＝ OB＝6， AB＝6 3.(1)求⊙ O的半径；(2)求图中暗影部分的面积．解： (1) 连结 OC，则 OC⊥ AB.∵ OA＝ OB，1 1∴AC＝ BC＝2AB＝2× 6 3 ＝3 3.在 Rt △ AOC中， OC＝ OA2－ AC2＝ 3，∴⊙ O的半径为 3.1(2) ∵ OC＝2OB，∴∠ B＝ 30°，∠ COD＝ 60° .60π × 32 3∴ S 扇形OCD＝＝360 2π .1 39 3 3π∴S 暗影＝ S Rt△OBC－ S 扇形OCD＝2OC· CB－2π＝2－2 .综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形 OCD叠放在一同，连结AC， BD.(1) 求证： AC＝ BD；(2) 若图中暗影部分的面积是 3 2，OA＝ 2 cm，求 OC的长．4π cm解： (1) 证明：∵∠ AOB＝∠ COD＝ 90°，∴∠ AOC＋∠ AOD＝∠ BOD＋∠ AOD.∴∠ AOC＝∠ BOD.∵AO＝ BO， CO＝ DO，∴△ AOC≌△ BOD(SAS)．∴AC＝ BD.(2)依据题意，得90π · OA2 90π ·OC290π（ OA2－OC2）S暗影＝－＝，3603603603 90π（22－OC2）∴ 4π＝360 ，解得OC＝1.∴OC＝ 1cm.。

湘教版数学九年级下册第2章圆 2.6 弧长和扇形的面积同步练习

第2章圆 2.6 弧长与扇形的面积1. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠ABC ＝120°，OC ＝3，则的长为( )A.πB.2πC.3πD.5π2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则S 阴影＝( ) A.π B.2π C.23 3 D.23π3. 圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为( ) A.6 B.9 C.18 D.364.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为3，∠A ＝45°，则的长是( )A.34πB.32πC.452πD.94π 5. 钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是( )A.12πB.14πC.18π D.π 6.如图，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的上，若OA ＝3，∠1＝∠2，则扇形ODE 的面积为( )A.32πB.2πC.52π D.3π 7. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB 的面积为( )A.6B.7C.8D.98. 在半径为5cm 的⊙O 中，45°的圆心角所对的弧长为 cm. 9. 如图，点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上，的长为2π，则∠ACB 的大小是 .10. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 .11.如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O 、A 、B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是 .12. 已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于.13.如图，半圆O的直径AE＝4，点B、C、D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB、OD，则图中阴影部分的面积为.14. 如图，OA、OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度(结果保留π).15. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E.(1)求∠OCA的度数；(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝23，求图中阴影部分面积(结果保留π和根号)16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.(结果保留根号和π)答案：1---7 BDCBA DD 8. 54π9. 20° 10. 27π 11. 5π412. 10π3cm13. π14. 解：(1)证明：∵OC 平分∠AOD，∴∠COA＝∠COD，又AO ＝OD ，OC ＝OC ，∴△ACO≌△DCO，∴∠CDO＝∠CAO.又AC 是⊙O 的切线，∴∠CDO＝∠CAO＝90°， ∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)∵D 为BC 中点，∴CD＝12CB ，又CA ＝CD ，∴AC＝12CB.又∠CAO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOE＝60°，∴＝2πr 360×60＝2π×3360×60＝π(cm). 15. 解：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°， ∵∠ABC＝2∠D，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∵OA＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA＝30°；(2)∵∠COB＝3∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＋3∠AOB＝120°，∴∠AOB＝30°， ∴∠COB＝∠AOC－∠AOB＝90°，在Rt△OCE 中，OC ＝23， ∴OE＝OC·tan∠OCE＝23·tan30°＝23×33＝2，∴S △OEC ＝12OE·OC＝12×2×23＝23，∴S 扇形OBC ＝90π×232360＝3π，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC＝3π－2 3.16. 解：(1)相切.理由如下：如图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；(2)①在Rt△ACB和Rt△ODB中，∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OB.又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半径是2.②由①，得OD＝2，则OB＝4，BD＝23，S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝12×23×2－60π×22360＝23－2π3.。

九年级数学下册第2章圆2.6弧长与扇形面积2.6.1弧长公式同步练习新版湘教版

2.6第1课时弧长公式一、选择题1．一个扇形的半径为9 cm ，弧长为3π cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°2．若120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )A ．3B ．4C ．9D ．183．xx·黄石如图K －21－1，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则弧BD 的长为( )图K －21－1A.23π B.43π C ．2π D.83π 4．如图K －21－2，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，若OA ＝2，∠P ＝60°，则AB ︵的长为( )图K －21－2A.23π B ．π C.43π D.53π 5．如图K －21－3，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，则点A 运动的路径AA ︵′的长为( )图K －21－3A ．πB ．2πC ．4πD ．8π二、填空题6．如图K－21－4，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧的长度之和为________ cm(结果保留π)．图K －21－47．xx·凉州区如图K －21－5所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于________(结果保留π)．图K －21－58．如图K －21－6，⊙P 与x 轴相切于点O ，点P 的坐标为(0，32)，点A 在⊙P 上，且位于第一象限，∠APO ＝120°，⊙P 沿x 轴负半轴方向滚动，当点A 第一次落在x 轴上时，点A 的横坐标为________．(结果保留π)图K －21－69．xx·盐城如图K －21－7，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分．图②中，半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°.则图②的周长为________cm(结果保留π)．图K －21－7三、解答题10．如图K－21－8，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.(1)作⊙O ，使它过点A ，B ，C (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC ︵的长.11．如图K －21－9，P ，C 是以AB 为直径的半圆O 上的两点，AB ＝10，PC ︵的长为52π，连接PB 交AC 于点M .求证：MC ＝BC .图K －21－912．如图K －21－10，菱形ABCD 的边长为6，∠BAD ＝60°，AC 为对角线．将△ACD 绕点A 逆时针旋转60°得到△AC ′D ′，连接DC ′. (1)求证：△ADC ≌△ADC ′；(2)求在旋转过程中点C 扫过的路径的长(结果保留π)．图K －21－1013．图K －21－11中的曲线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC ，BD 是线段，且AC，BD分别与圆弧AmB相切于点A，B，线段AB＝180 m，∠ABD＝150°.(1)画出圆弧AmB的圆心O；(2)求从A到B这段弧形公路的长(结果保留π).图K－21－11素养提升思维拓展能力提升探究题某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图K－21－12①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是10 m，则这条传送带的长为________．(2)改变图形的数量：如图②，将传送轮增加到3个，每个传送轮的直径是3 m，每两个传送轮中心的距离是10 m，则这条传送带的长为________．(3)改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为1 cm的⊙P沿边长为2πcm的等边三角形ABC的外沿作无滑动滚动一周，求圆心P经过的路径长．⊙P自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为1 cm的⊙P沿半径为3 cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周，则⊙P自转了多少周？1．A 2.C3．D [解析] 连接OD ，∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴弧BD 的长为120π×4180＝8π3.故选D.4．[解析] C ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°.在四边形APBO 中，∠P＝60°，∴∠AOB ＝120°.∵OA ＝2，∴AB ︵的长为120π×2180＝43π.5．[解析] B ∵每个小正方形的边长都为1，∴OA ＝4.∵将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，∴∠AOA ′＝90°，∴点A 运动的路径AA ︵′的长为90×π×4180 ＝2π.6．2π 7．[答案] π3[解析] ∵∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，∴∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°.又∵AC ＝1，∴CD ︵的长为60×π×1180＝π3.8．[答案] －2π[解析] 优弧OA 的长度＝240π×32180＝2π，∵⊙P 沿x 轴负半轴方向滚动，∴可得点A 第一次落在x 轴上时的横坐标为－2π.故答案为－2π. 9. 8π3[解析] ∵OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，∴lAB ︵＝120×π×2180＝4π3(cm)，lAO ︵＋l BO ︵＝4π3(cm)，∴图②的周长为4π3＋4π3＝8π3(cm)．10．解：(1)如图，⊙O为所作图形．(2)∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∴AB＝2AC＝ 2.∵线段AB的垂直平分线交AB于点O，∴∠BOC ＝90°，OB ＝OA ＝12AB ＝22，∴劣弧BC ︵的长＝90π×22180＝24π.10. 证明：连接OP ，OC ，设∠POC ＝n °.由已知得n π×5180＝52π，解得∠POC ＝90°，则∠PBC ＝12∠POC ＝45°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，可得∠PBC ＝∠CMB ＝45°， ∴MC ＝BC .12．解：(1)证明：在菱形ABCD 中，∵∠BAD ＝60°，∴∠CAD ＝30°. ∵旋转角为60°， ∴∠DAD ′＝60°.又∵∠D ′AC ′＝∠CAD ＝30°， ∴∠C ′AD ＝30°.在△ACD 和△AC ′D 中，∵AC ＝AC ′， ∠CAD ＝∠C ′AD ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADC ′.(2)连接BD 交AC 于点O .在△ABO 中， ∵∠BAO ＝30°，AB ＝6，∴AO ＝AB ·cos30°＝3 3，∴AC ＝63.又∵∠CAC ′＝60°， ∴lCC ′︵＝60π×6 3180＝23π. 13．[解析] (1)AmB ︵的半径OB ，OA 应分别与BD ，AC 垂直，并且点O 在线段AB 的垂直平分线上；(2)因为∠ABD ＝150°，且OB ⊥BD ，所以∠OBA ＝60°，所以∠OAB ＝60°，所以△OAB 是等边三角形，则∠O ＝60°，OA ＝OB ＝AB ＝180 m ，由弧长公式可以求出从A 到B 这段弧形公路的长．解：(1)如图，过点A作AO⊥AC，过点B作BO⊥BD，AO与BO相交于点O，点O即为圆心．(2)因为AO，BO都是圆弧AmB的半径，点O是其圆心，所以∠OBA＝∠OAB＝150°－90°＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以AO ＝BO ＝AB ＝180 m ，所以lAB ︵＝60×π×180180＝60π(m)．即从A 到B 这段弧形公路的长为60π m.[素养提升]解：(1)这条传送带的长为20＋2π×1.5＝(20＋3π)m.(2)10＋10＋10＋120180π×1.5×3＝(30＋3π)m.(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为6π＋2π＝8π.⊙P 自转的周数＝圆心P 经过的路径长÷⊙P 的周长，∴⊙P 自转的周数＝8π÷2π＝4.(4)⊙P 的圆心P 沿半径为3 cm ⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为(3＋1)×2π＝8π， ∴⊙P 自转的周数为8π÷2π＝4.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

九年级数学下册第二章2.6弧长与扇形面积练习湘教版

2．6 弧长与扇形面积第1课时弧长基础题知识点弧长公式(l ＝n πr180)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2B ．πC.π6D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A ．300°B ．240°C ．120°D ．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C) A ．6B ．9C ．18D ．364．(2018·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为(D) A.23πB.43πC ．2πD.83π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，则点B 转过的路径长为(B) A.π3B.3π3C.23πD ．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A ′，则AA ′︵的长为2π3米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则AB ︵的长l 2π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm 的滑轮的接触部分是CMD ︵，绳子AC 和BD 所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分CMD ︵的长．(结果保留π)解：连接OC ，OD ，则OC ⊥AC ，BD ⊥OD. 又∵AC 与BD 的夹角为30°， ∴∠COD ＝150°.∴CMD ︵的长为150π×30180＝25π(cm)．易错点忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为(B)A.π3B.2π3C.7π6D.4π312．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)A ．5π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm13．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转 2 018次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)A ．2 018πB ．3 024πC ．3 025.5πD ．3 028.5π14．如图，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝2 3 cm. (1)求⊙O 的半径r ；(2)求劣弧AB ︵的长．(结果保留π)解：(1)过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12AB ＝ 3 cm.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠A ＝30°. ∴在Rt △AOC 中， r ＝OA ＝ACcos30°＝2 cm.(2)劣弧AB ︵的长为120×π×2180＝4π3 cm.15．图1，2，…，m 分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和．(用n 表示) 解：(n －2)π. 综合题16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C 处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O ，过点O 的木杆CD 长为260 cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA ，OB 关于CD 对称，AB ︵的长为30π cm.当木杆CD 向右摆动使点B 落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D 到直线l 的距离DF 是多少厘米？中小学教案、试题、试卷精品资料解：∵AB ︵的长为30π cm ，OA ，OB 为圆弧的半径，长为90 cm ，根据弧长公式l ＝n πr 180，得30π＝n π×90180，解得n ＝60°.即∠AOB ＝60°，从而∠BOE ＝∠COA ＝30°. ∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝60 3 cm. ∴DE ＝(170＋603)cm. ∴DF ＝(90＋85 3 )cm.第2课时扇形的面积基础题知识点1 扇形的面积1．已知扇形的半径为6 cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B) A ．36π cm 2B ．12π cm 2C ．9π cm 2D ．6π cm 22．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm 2，那么扇形的半径为(B) A ．48 cm B ．24 cm C ．12 cmD ．6 cm3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D) A ．3B ．4C ．5D ．64．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为23π．(结果保留π)5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm ，则此扇形的半径是24cm ，面积是240πcm 2.(结果保留π)6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是5π4．7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积8．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，AC ＝2，则图中阴影部分的面积是(A) A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.2π3－ 3D.2π3－329．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是(D) A ．4π－4B ．2π－4C ．4πD ．2π10．(2018·重庆A 卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)11．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO. (1)AB ︵所对的圆心角∠AOB ＝120°； (2)若OA ＝3，求阴影部分的面积．解：连接OP ，则∠OPA ＝∠OPB ＝12∠APB ＝30°.在Rt △OAP 中，OA ＝3，∴AP ＝3 3. ∴S △OPA ＝12×3×33＝932.∴S 阴影＝2×932－120π×32360＝93－3π.中档题12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A) A.π2m 2B.32π m 2C ．π m 2D ．2π m 213．如图，CD 是半圆O 的直径，弦AB ∥CD ，且CD ＝6，∠ADB ＝30°，则阴影部分的面积是(B) A ．πB.32πC ．3πD ．6π14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标(－2，0)，△ABO 是直角三角形，∠AOB ＝60°.现将Rt △ABO 绕原点O 按顺时针方向旋转到Rt △A ′B ′O 的位置，则此时边OB 扫过的面积为14π．15．(2017·郴州)如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA ＝3.(1)求证：AB 平分∠OAD ；(2)若点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°，求扇形OAB 的面积．(计算结果保留π)解：(1)证明：连接OB ， ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC.∵AD ⊥BC ， ∴AD ∥OB. ∴∠DAB ＝∠OBA. ∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠DAB ＝∠OAB. ∴AB 平分∠OAD.(2)∵点E 是优弧AEB ︵上一点，且∠AEB ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴扇形OAB 的面积为120π×32360＝3π.16．如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连接OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA ＝OB ＝6，AB ＝6 3. (1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC ，则OC ⊥AB.∵OA ＝OB ， ∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×63＝3 3.在Rt △AOC 中，OC ＝OA 2－AC 2＝3， ∴⊙O 的半径为3.(2)∵OC ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∠COD ＝60°.∴S 扇形OCD ＝60π×32360＝32π.∴S 阴影＝S Rt △OBC －S 扇形OCD ＝12OC ·CB －32π＝932－3π2.综合题17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC ，BD. (1)求证：AC ＝BD ；(2)若图中阴影部分的面积是34π cm 2，OA ＝2 cm ，求OC 的长．解：(1)证明：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°， ∴∠AOC ＋∠AOD ＝∠BOD ＋∠AOD. ∴∠AOC ＝∠BOD. ∵AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴△AOC ≌△BOD(SAS)． ∴AC ＝BD. (2)根据题意，得S 阴影＝90π·OA 2360－90π·OC 2360＝90π（OA 2－OC 2）360，∴34π＝90π（22－OC 2）360，解得OC ＝1. ∴OC ＝1cm.。

【新】2019-2020学年度九年级数学下册第二章 2-6 弧长与扇形面积练习 (新版)湘教版

教学资料参考范本【新】2019-2020学年度九年级数学下册第二章 2-6 弧长与扇形面积练习（新版）湘教版撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第1课时弧长基础题知识点弧长公式(l＝)及其应用1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)A. B．π C.D.π32．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C) A．300°B．240°C．120°D．60°3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C)A．6 B．9 C．18 D．364．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)A.πB.πC．2πD.π5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(B)A. B. C.πD．Π6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点O 旋转了60°，点A旋转到点A′，则的长为米．(结果保留π)7．如图，已知正方形的边长为 2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则的长l＝π.9．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分的长．(结果保留π)解：连接OC，OD，则OC⊥AC，BD⊥OD.又∵AC与BD的夹角为30°，∴∠COD＝150°.∴的长为＝25π(cm)．易错点忽视题中条件10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.中档题11．(2017·烟台)如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B)A. B. C. D.4π312．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)。

湘教版九年级数学下册综合滚动练习圆的切线、弧长及扇形面积

综合滚动练习：圆的切线、弧长及扇形面积时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．一个扇形的半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π2．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B ＝20°，则∠C 的大小等于( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°第2题图第3题图第4题图3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是( )A ．AE 的垂直平分线与AC 的垂直平分线的交点B ．AB 的垂直平分线与AC 的垂直平分线的交点C ．AE 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点D ．AB 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点4．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( ) A ．4 B.23 C ．8 D.435．(2016·荆州中考)如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是上不与点A ，C 重合的一个动点，连接AD ，CD .若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°第5题图第6题图 6．(2016·玉林中考)如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S 2，则S 1S 2的值为( ) A.34 B.35 C.23D ．1 7．如图，已知等腰△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是( )A ．3B ．4 C.256 D.258第7题图第8题图 8．★如图，直线AB ，AD 分别与⊙O 相切于点B ，D ，C 为⊙O 上一点，且∠BCD ＝140°，则∠A 的度数是( )A ．70°B ．105°C ．100°D ．110°二、填空题(每小题4分，共24分)9．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是________．10．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO ＝2，则⊙O的半径等于________．第10题图第11题图第13题图第14题图11．(2016·常德中考)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．12．已知扇形的半径为4cm，面积为203πcm2，则该扇形的弧长等于________．13．如图，⊙O是边长为1的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．14．如图，P是⊙O直径BC延长线上的一点，PA与⊙O相切于A，CD⊥PB，且PC＝CD＝3，则PB＝__________．三、解答题(共44分)15．(8分)如图，AB是⊙O的直径，过B点作⊙O的切线，交弦AE的延长线于点C，作OD⊥AC，垂足为D.若∠ACB＝60°，BC＝2，求DE的长．16．(10分)(2016·郴州中考)如图，OA，OD是⊙O的半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)如果点D是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度(结果保留π)．17．(12分)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．(1)求∠AED的度数；(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．18．(14分)★如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于N .(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM ·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．参考答案与解析1．B 2.D 3.C 4.C5．C 解析：连接OA .∵∠APB ＝80°，PA ，PB 是切线，∴∠APO ＝40°，∠OAP ＝90°，∴∠AOP ＝50°，∴∠ADC ＝12∠AOP ＝25°.故选C. 6．B 解析：∵正八边形的内角和为(8－2)×180°＝1080°，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为360°×8－1080°＝1800°，∴S 1S 2＝1080°1800°＝35.故选B. 7．D 解析：连接OD ，DB .易证OD ∥BC ，∵DE ⊥OD ，∴DE ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠BDC ＝∠DEC ＝90°，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CBD ，∴CD CB ＝CE CD ，∴CB ＝CD 2CE ＝254，∴AB ＝BC ＝254，∴⊙O 的半径为258.故选D.8．C 解析：如图，过点B 作直径BE ，连接OD ，DE .∵∠BCD ＝140°，∴∠E ＝180°－140°＝40°，∴∠BOD ＝80°.∵AB ，AD 分别与⊙O 相切于点B ，D ，∴∠OBA ＝∠ODA ＝90°.∴∠A ＝360°－90°－90°－80°＝100°.故选C.9．5 10.111．3π 解析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C ＝120°，∴阴影部分的面积是120π·32360＝3π. 12.103πcm 13.3614．9＋6 2 解析：连接OA ，由题可知DC ⊥PB ，OA ⊥PA ，DA ＝DC ＝3.∵PC ＝CD ＝3，∴∠P ＝45°，PD ＝32，∴PA ＝PD ＋DA ＝32＋3，△OAP 为等腰直角三角形，∴OA ＝AP ＝32＋3，∴PB ＝PC ＋CO ＋OB ＝3＋2(3＋32)＝9＋6 2.15．解：∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC .在Rt △ABC 中，AB ＝BC ×tan60°＝23，∴AO ＝12AB ＝ 3.(4分)在Rt △AOD 中，∠A ＝90°－∠ACB ＝30°，∴AD ＝AO ×cos30°＝3×32＝32.∵OD ⊥AC ，∴DE ＝AD ＝32.(8分) 16．(1)证明：∵OC 平分∠AOD ，∴∠COA ＝∠COD .又∵AO ＝OD ，OC ＝OC ，∴△ACO ≌△DCO ，∴∠CDO ＝∠CAO .(3分)∵AC 是⊙O 的切线，∴∠CDO ＝∠CAO ＝90°，∴直线CD 是⊙O 的切线；(5分)(2)解：∵D 为BC 的中点，∴CD ＝12CB .∵CA ＝CD ，∴AC ＝12CB .∵∠CAO ＝90°，∴∠B ＝30°，∴∠DOE ＝60°，(8分)∴lDE ︵＝60·π·3180＝π(cm)．(10分) 17．解：(1)连接BD .∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAD ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＝60°.∵AB ＝AD .∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°.(3分)∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠AED ＋∠ABD ＝180°，∴∠AED ＝120°；(5分)(2)连接OA ，OD .∵∠AOD ＝2∠ABD ＝120°，∴lAD ︵＝120×π×2180＝4π3；(9分) (3)∵∠AOD ＝120°，∠DOE ＝90°，∴∠AOE ＝∠AOD －∠DOE ＝30°，∴n ＝360°30°＝12.(12分)18．(1)证明：连接OD .∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ADC ＋∠ADO ＝90°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°，∴∠ADC ＝∠ODB .(2分)又∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ，∴∠ADC ＝∠ABD ；(4分)(2)证明：由(1)可得∠ADC ＝∠ABD ，∠ADB ＝90°.又∵AM ⊥MN ，∴∠AMN＝∠ADB ＝90°，(6分)∴△ADM ∽△ABD ，∴AD AB ＝AM AD，得AD 2＝AM ·AB ；(8分) (3)解：∵∠ADC ＝∠ABD ，∴sin ∠ADC ＝sin ∠ABD ＝35，∴AM AD ＝35.又∵AM ＝185，∴AD ＝6.∴AB ＝AD sin ∠ABD＝10.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝8.(11分)由(2)同理可得△DBN ∽△ABD ，∴BN BD ＝DB AB ，∴BN ＝BD 2AB ＝325.(14分) 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．13D ．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是． .◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k≥1。

2024九年级数学下册第2章圆2.6弧长与扇形面积习题课件新版湘教版

【点方法】
对于此类求不规则图形面积的问题，一般采用作差法，即将不规则图形的面积转化为已学过的规则图形面积的差计算．
12 [2022·南通]如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 为⊙ O 的直径，AC 平分∠BAD，CD＝2 2，点 E 在 BC 的延长线上，连接 DE.
(1)求直径BD的长；
若 OA＝1，则阴影部分周长的最小值为( )
A． 2＋π6 C．2 2＋π6
B． 2＋π3 D．2 2＋π3
【点拨】如图，作点 D 关于直线 OB 的对称点 E，连接
AE，与 OB 的交点为点 C，连接 OE，此时 AC＋CD＝AE，阴影部分周长最小．
在扇形 AOB 中，∠AOB＝60°，OD 平分∠AOB 交A︵B于点 D，∴∠AOD＝ ∠BOD＝30°.
22，AE＝
3 2.
∵OA＝1， ∴ OD＝
2 2
，
OE
＝
1 2
.
∴
AD
＝
OD. ∴
∠
AOD
＝
∠OAD＝45°. 取 OA 的中点 F，连接 EF，∴EF＝AF＝
OF
＝
1 2
＝
OE.
∴
△
EFO
为等边三角形， ∴ ∠ AOE ＝ 60°.
∴ ∠ OAC ＝ 30°. ∴ ∠ BAC ＝ ∠ OAD ＋ ∠ OAC ＝ 45°＋ 30°＝
由轴对称的性质知，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD， ∴∠AOE＝90°. ∵OD＝OA，∴OA＝OE. ∵OA＝1，∴AE＝ 2.∵A︵D的长为3018π0×1＝π6， ∴阴影部分周长的最小值为 2＋π6. 【答案】A
5 [2022·仙桃]一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是

湘教版九年级数学下册综合滚动练习圆的基本性质

综合滚动练习：圆的基本性质时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为( )A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定2．(2017·张家界中考)如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是( )A．30°B．45°C．55°D．60°第2题图第3题图第4题图3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AB＝26，CD＝24，则OE 的长度为( )A．12 B．8 C．7 D．54．(2017·福建中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD5．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BOC＝100°，则∠BDC的度数是( ) A．100°B．110°C．120°D．130°第5题图第6题图第7题图6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE ＝3，ED＝4，则AB的长为( )A．3 B．2 3 C.21 D．3 57．如图，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝57°，那么∠ABC的度数为( )A．33°B．22°C．58°D．26°8．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆的直径是( )A．8 B．10 C．5或4 D．10或8二、填空题(每小题4分，共24分)9．(2017·湘潭中考)如图，在⊙O中，已知∠AOB＝120°，则∠ACB＝________．第9题图第11题图第12题图10．在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90°，则弧所对的弦长是________．11．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，＝2，则∠ABC＝________°.12．(2017·淮安中考)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________．13．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________cm.第13题图第14题图14．★(2017·泰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为____________．三、解答题(共44分)15．(8分)如图，在⊙O中，AB，CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC所对的圆心角的度数是40°，求∠BOD的度数．16．(10分)如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．17．(12分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以4m/h的速度上升，则经过多长时间桥洞会被灌满？18．(14分)(2017·临沂中考)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．参考答案与解析1．B 2.D 3.D 4.D 5.D6．C 解析：∵AE ＝3，ED ＝4，∴AD ＝7.∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC .∵∠ACB ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D .∵∠BAD ＝∠BAE ，∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE＝AD AB，∴AB 2＝3×7＝21，∴AB ＝21.故选C. 7．B 解析：如图，连接EC ，ED .设∠B ＝x ，∵EA ＝EC ，∴∠A ＝∠ACE ，∴∠4＝180°－2∠A ＝180°－2×57°＝66°.∵DB ＝DE ，∴∠1＝∠B ＝x ，∴∠2＝∠1＋∠B ＝2x ，而EC ＝ED ，∴∠3＝∠2＝2x ，∴∠4＝∠3＋∠B ＝3x ，∴3x ＝66°，∴x ＝22°，即∠ABC ＝22°.故选B.8．D 解析：应分为两种情况：①当8是直角边时，斜边是10，这个直角三角形外接圆的直径是10；②当8是斜边时，这个直角三角形外接圆的直径是8.故选D.方法点拨：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，斜边长是圆的直径．9．60° 10.5 2 11.30 12.120°13．25 解析：设圆的圆心为O ，连接OA ，OC ，OC 与AB 交于点D .设⊙O 的半径为R cm.∵OC ⊥AB ，∴∠ADO ＝90°，AD ＝DB ＝12AB ＝20cm.在Rt △AOD 中，OD ＝(R －10)cm ，OA 2＝OD 2＋AD 2，即R 2＝(R －10)2＋202，解得R ＝25.14．(7，4)或(6，5)或(1，4) 解析：∵点A 、B 、P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．∴PA ＝PB ＝32＋22＝13.∵点C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，∴PC ＝PA ＝PB ＝13，则点C 的坐标为 (7，4)或(6，5)或(1，4)．15．解：连接DE .(1分)∵DC 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°.∵弧EC 所对的圆心角的度数是40°，∴∠EDC ＝20°，∴∠ECD ＝70°.(4分)∵CE ∥AB ，∴∠AOD ＝∠ECD ＝70°，∴∠BOD ＝110°.(8分)16．(1)证明：连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.(3分)∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC .(5分)(2)解：∵∠BAC ＝60°，由(1)知AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°.(7分)∵AB ＝2×4＝8，∴DC ＝12BC ＝12AB ＝4.又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin60°＝2 3.(10分)17．解：(1)∵AB ＝26m ，∴OD ＝12AB ＝13m.(1分)∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12CD .∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶ED ＝5∶12.设OE ＝5x m ，则ED ＝12x m.(3分)在Rt △ODE 中，OE 2＋ED 2＝OD 2，即(5x )2＋(12x )2＝132，解得x 1＝1，x 2＝－1(不符合题意，舍去)．∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m)．(6分)(2)由(1)可知OE ＝5m ，延长OE 交⊙O 于点F ，∴EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m)，(9分)∴84＝2(h)，即经过2h 桥洞会被灌满．(12分) 18．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠BAE ＝∠CAD ，∠ABE＝∠CBE ，∴BD ︵＝CD ︵.∵∠DBC ＝∠CAD ，∴∠DBC ＝∠BAE .(3分)∵∠DBE ＝∠CBE ＋∠DBC ，∠DEB ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB .(7分)(2)解：连接CD ，如图所示．(8分)由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴CD ＝BD ＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝42，∴△ABC 外接圆的半径为12×42＝2 2.(14分)考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．13D ．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A ．16B ．12C ．16或12D ．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是． .◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。