概率习题答案

[1] 随机事件·样本空间·事件的关系与运算一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 C 】1. 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于)(A }{0)1(t T ≥． )(B }{0)2(t T ≥． )(C }{0)3(t T ≥． )(D }{0)4(t T ≥．【 D 】2. 设事件A 表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件A 表示)(A “甲种产品滞销而乙种产品畅销”． )(B “甲、乙两种产品均畅销”． )(C “甲种产品滞销”． )(D “甲种产品滞销或乙种产品畅销”． 【 B 】3. 设C B A ,,是某随机试验中的三个事件，D 表示“只有A 发生”，则)(A A D =． )(B C B A D =． )(C BC A D =． )(D )(C B A D =．【 D 】4. 对于任意二事件A 和B ，与关系式B B A = 不等价．．．的是 )(A B A ⊂． )(B A B ⊂． )(C ． )(D ．二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数．设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．(1) 写出试验的样本点及样本空间；(2) 把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；(3) 事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．【解】（1）设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则样本点为∅=B A ∅=B A654321,,,,,ωωωωωω，样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω（2）},,{642ωωωA =, },{63ωωB =;（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2和3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”.三、一盒中有5只外形完全相同的电子元件（分别标有号码5,4,3,2,1），一次从中任取3只，记录所取元件的号码．(1) 写出随机试验的样本点及样本空间；(2) 用样本空间的子集表示下列事件：=A “最小号码为1”；=B “号码之和为10”．【解】(1) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω(2)}.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =}.,{145235ωω=B四、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：(1) A 发生, B 与C 都不发生；【解】 C B A ；）（或)(C B A ⋃(2) C B A ,,都发生；【解】 ABC(3) C B A ,,中至少有两个发生；【解】ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) C B A ,,中至多有两个发生． 【解】BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃ 或C B A ⋃⋃或.ABC[2] 概率的古典定义·概率加法定理一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是9,,2,1,0 中的任一个数（但第一个数不能为0），则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为06048.0106196919=⋅⋅A A A ． 2. 把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为0667.015110108833==⋅A A A ． 3. 将20个球队任意分成两组（每组10个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为5263.01910102012918==⋅C C C ． 4. 一盒中有20张奖票（其中只有2张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票．第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为1.0101=． 5. 一批产品共有200件, 其中有6件次品．任取3件产品恰有1件是次品的概率为0856.03200162194=⋅C C C ;任取3件产品没有次品的概率为9122.032003194=C C ; 任取3件产品中次品不少于2件的概率为0022.01320031943200162194=-⋅-C C C C C ． 6. 在区间)1,0(内随机地取两个数，则所取两数之和不超过5.0概率为81．二、一批产品共有20件，其中一等品8件，二等品12件．现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率．【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】设取出的产品中恰有2件等级相同的概率为),(A P 则7579.0)(3202121811228=⋅+⋅=C C C C C A P 三、在1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被3或7整除的概率．【解】设这个数能被3或7整除的概率为),(A P 则43.0)(11001411001141100133=-+=C C C C C C A P四、 设41)( ,0)()( ,31)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求三事件C B A ,,中至少有一个发生的概率．【解】因为0==P(AC)P(AB),所以ΦAC ΦAB ==,，从而ΦC AB =)(,可推出0)(=ABC P ,所求为)(C B A P ⋃⋃)()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P +---++=75.04341313131==-++=. [3] 条件概率·概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设B A ,是随机事件，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，4.0)|(=A B P ， 则=)(AB P 48.0．2．设B A ,是随机事件，已知()0.6P A =，5.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(A B P 5.0．3．设B A ,是随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则=)(B A P 62.0．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 D 】1．已知事件A 发生必导致事件B 的发生，且1)(0<<B P ，则=)|(B A P)(A 1．)(B 5.0． )(C 25.0． )(D 0． 【 B 】2．已知21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则=)(B A P )(A 21． )(B 31． )(C 41． )(D 51． 【 A 】3．已知事件A 与B 满足条件2.0)(=B A P ，且6.0)(=A P ，则=)|(A B P)(A 5.0．)(B 6.0． )(C 7.0． )(D 8.0．三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】设A =“拨通电话”，,2,1""）（次才拨通电话第==i i B i 则 211B B B A +=,，101)(1=B P ，10191109)()()(11221=⋅==B P B B P B B P 故2.0101101)()()(211=+=+=B B P B P A P ；四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为8.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率．（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率．【解】设A:{该考生选出此题正确答案},B:{该生会做此题}，则41)|(,1)|(,8.0)(===B A P B A P B P （1）85.0412.018.0)|()()|()()()(.)(=⋅+⋅=+=+=B A P B P B A P B P B A P AB P A P （2）9412.085.08.0)()()|()|()()(===⇒=A P AB P A B P A B P A P AB P 五、盒中放有10个乒乓球，其中有6个是新的．第一次比赛时从盒中任取2个来用，比赛结束后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取2个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率．【解】设A:{ 第二次比赛时取出的都是新球},i B :{第一次比赛时取出i 个新球}，)|()()|()()|()()()()(.)(221100210B A P B P B A P B P B A P B P AB P AB P AB P A P ++=++= 2074.021024210262102521016142102621024=⋅+⋅+⋅=C C C C C C C C C C C C C[4] 随机事件的独立性·独立试验序列一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为9.0和8.0，则目标被击中的概率为98.0．2. 设事件A 与B 独立，7.0)(,4.0)(==B A P A P ，则=)(B P 5.0．3. 一射手对同一目标独立地进行4次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中1次的概率为8180，则该射手的命中率=p 32．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(,0)(>>B P A P ，则下面命题不正确．．．的是 )()()(B P A B P A =． )()()(A P B A P B =．)(1)()(B P A P C -=． )()()()(B P A P AB P D =．【 D 】2．一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为)(A q p --1． )(B pq -1． )(C pq q p -+ )(D pq q p +--1．【 D 】3．某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为)10(<<p p ，则此人4次射击恰好命中2次的概率为)(A 2)1(3p p -．)(B 2)1(6p p -． )(C 22)1(3p p -． )(D 22)1(6p p -．三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于1.0，第二台等于2.0，第三台等于3.0．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．【解】设A:{ 一小时内第一台车床需要工人照管},B :{一小时内第二台车床需要工人照管}C :{一小时内第三台车床需要工人照管}，D :{一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管}，则,3.0)(,2.0)(,1.0)(===C P B P A P)()()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P D P +++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=7.08.09.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 902.0=四、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是2.0,2.0,3.0，求电路发生间断的概率．【解】设1A :{ 电池a 损坏}，2A :{ 电池b 损坏}，3A :{ 电池c 损坏}，B :{ 电路发生间断}，则)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+==)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是7.0．现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．【解】设A :{ 任何一人贡献正确意见}，则,7.0)(=A P 于是所求概率为 )9()8()7()6()5()5(99999P P P P P m P ++++=≥[5] 离散随机变量·三个重要的离散分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设离散随机变量X 的概率分布为,2,1,25)(===k a k X P k ， 则常数=a 51． 2．某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为3=λ的泊松分布，则该段高速公路每周发生4次交通事故的概率为168075.0．（取0498.0e 3≈-）3．自动生产线在调整以后出现废品的概率为)10(<<p p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．则在两次调整之间生产的合格品数X 的概率分布为：二、已知一批产品共20个，其中有4个次品．X 012 n )(x p p pq 2pq n pq（１）不放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布．（２）放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布．【解】（1）设随机变量X 为取出的样本中的次品数，则)20,4,6(~H X ，即X 的概率函数为)4,3,2,1,0()(6206164===-x C C C x X P x x从而X 的概率分布为（2）设随机变量Y 为取出的样本中的次品数,则)2.0,6(~B Y ,Y 的概率函数为)6,5,4,3,2,1,0()2.01()2.0()(66=-==-y C y Y P y y y从而Y 的概率分布为三、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，设X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，求X 的概率分布．【解】设随机变量X 为在取得合格品以前已取出的废品数，则X 可能取值为0,1,2,3，，43129)0(===X P ，449119123)1(=⋅==X P ，2209109112123)2(=⋅⋅==XP ，220199101112123)3(=⋅⋅⋅==X P 即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于01.0，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）．【解】（1）设随机变量X 为一小时内使用电话的用户数，则)01.0,300(~B X ,168877.0)01.01()01.0()4(29644300≈-==C X P（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168075.0!43)4(34≈≈=-e X P 相对误差为.5168877.0168075.0168877.0000≈-=δ[6] 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 C 】1. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧∉∈+=I x I x x x F ,1;,11)(2是某个连续随机变量X 的分布函数，则=I)(A )1 ,(--∞． )(B ) ,1(∞+． )(C )0,(-∞． )(D ) ,0(∞+．【 B 】2. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=I x I x x x f ,0;,sin 21)(是某个连续随机变量X 的概率密度，则=I)(A ]2,0[π． )(B ],0[π． )(C ]23,0[π． )(D ]2,0[π． 【 A 】3. 设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，若函数)()()(21x bF x aF x F -=是某随机变量的分布函数，则必有)(A 52,53-==b a ． )(B 52,53=-=b a ．)(C 23,21=-=b a ． )(D 23,21-==b a ．【 B 】4. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=.,0,10,3)(2其它x x x f 已知)()(a X P a X P >=≤，则=a)(A 21． )(B 321． )(C 31． )(D 331．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X 的分布函数)(x F ，并作出分布函数)(x F y =的图形．【解】设随机变量X 为在取得合格品以前已取出的废品数，则X 可能取值为0,1,2,3，，43129)0(===X P ，449119123)1(=⋅==X P ，2209109112123)2(=⋅⋅==X P ，220199101112123)3(=⋅⋅⋅==X P 即故X ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F 其图形见下：三、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ．（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率．（３）求X 的概率密度．【解】(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=+∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即.arctan 121)(x πx F +=．(2) -+=--=<<-)1arctan 2121()1()1()11(F F X P .21)]1arctan(2121[=-+(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π，),(∞+-∞∈x ．四、设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．（1）求系数A ．（2）求X 落在区间)1,0(内的概率．（3）求随机变量X 的分布函数． 【解】(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Aex x，解得21=A ，即有x).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰ (3) ⎰∞-=≤=x dx x f x X P x F )()()(，⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-0,210,21)(x e x e x f xx，时，0<x ;212121)()(xx x x x x e dx e dx e dx x f x F ====⎰⎰⎰∞-∞--∞- 时，0≥x .211)(2121)()(00x x x x x x x e dx e dx e dx e dx x f x F --∞-∞--∞--=+===⎰⎰⎰⎰[7] 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．【解】设随机变量X 表示乘客的候车时间，则)5,0(~U X ，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(30===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X （单位：h ）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,8001)(800x x e x f x任取3个这种电子元件，求至少有1个能使用1000h 以上的概率．【解】设=A “至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示甲、乙、丙元件能使用1000h 以上．则,8001)1000()()()(4510008001000800321-∞+-∞+-=-==>===⎰ee dx e X P A P A P A P xx由加法公式及321,,A A A 的独立性有)()(321A A A P A P ⋃⋃=)()()()()()()(321313221321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P +---++=638.0334152545≈+-=---eee【另解】设=A “3个电子元件中至少有１个能使用1000h 以上”，=A “3个电子元件中每个都不能使用1000h 以上”， 任一元件不能使用1000以上的概率为，45100008001000080018001)1000(----=-==≤⎰e e dx e X P xx故 .638.0)1(1)]1000([1)(3453≈--=≤-=-eX P A P三.设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=； （2）2)3(2X X Y -= ． 【解】)4.0,3(~B X ,其概率函数为)3,2,1,0()4.01()4.0()(33=-==-x C x X P xx xX 的概率分布为（1）X Y 211-=的概率分布为即（2）)3(2X X Y -=的概率分布为即四、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,e )(x x x f x X 求随机变量X Y e =的概率密度)(y f Y ． 【解】对任意实数y ，Y 的分布函数)(ln )ln ()()()(y F y X P y e P y Y P y F X x Y =≤=≤=≤=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为yy f y F dy d y f X X Y 1)(ln ))(ln ()(⋅==， 即 )( 1)(2+∞<<-∞=y y y f Y .[8] 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率发布．【解】X 的可能取值，6,,2,1i =Y 的可能取值，6,,2,1 =jj i >时，0),(),(====j Y i X P j i p ；1=x 时，)6,,2,1(,3616161),1(),1( ==⋅====j j Y X P j p ； 2=x 时，,3626261)2,2()2,2(=⋅====Y X P p)6,5,4,3(,3616161),2(),2(==⋅====j j Y X P j p ；3=x 时，,3636361)3,3()3,3(=⋅====Y X P p)6,5,4(,3616161),3(),3(==⋅====j j Y X P j p ；6=x 时，；3666661)6,6()6,6(=⋅====Y X P p 二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．（1）求系数C B A ,,．（2）求),(Y X 的联合概率密度．（3）求Y X ,的边缘分布函数及边缘概率密度．【解】（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞++∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA = （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222y x πy x F y x f xy ++==（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为⎰⎰∞+∞-∞-=+∞=dy y x f dx x F x F x X ),(),()(⎰∞-+=xdx x π)4(22xx π∞-=2arctan 12a r c t a n121xπ+=， ))22(2arctan 21),()(2ππx ππx F x F X ++=+∞=）（（或 y x y Y yπdy y πdx y x f dy y F y F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==+∞=⎰⎰⎰3arctan1)9(3),(),()(23a r c t a n 121yπ+=，=+∞=),()((y F y F Y 或)3arctan 2)(2212）（yππππ++X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x πy x π+=+⋅=∞+ （或))(()(x F dxdx f X X =）⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan21()9(122022y xy +=+=∞+ππ（或))(()(x F dydx f Y Y =）三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-. , 00;0, ,e ),()32(其它y x A y x f y x （1）求系数A ．（2）求),(Y X 的联合分布函数．（3）求Y X ,的边缘概率密度． 【解】（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰+∞+∞--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dye dx e dy y xf dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x（3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰，，，，，，，，00020006),()(2032x x e x x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰，，，，，，，，00030006),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y 四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．（1）求),(Y X 的联合概率密度．（2）求概率)2(≥+Y X P ． 【解】(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由⎰⎰⎰⎰⎰-+--+==212221)2(2dx x x C dy dx C Cdxdy x xR129)322(2132==-+=-C x x x C解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx 2713)322(92922132102=-++=x x x x ．[9] 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、已知二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=--., 0;0,0 ,e 3),(3其它y x y x f y x 试问随机变量X 和Y 是否独立？请说明理由． 【解】⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰，，，，，，，，0000003),()(03x x e x x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰，，，，，，，，00030003),()(303y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=,故随机变量X 和Y 独立.二、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0. ,0,0 ,e 21)(2y y y f y Y (1) 求),(Y X 的联合概率密度．（2）求概率)(X Y P ≥．【解】(1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xyxy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e e x三、设随机变量X 与Y 独立，且Y X ,的概率密度分别为，⎩⎨⎧≤>=-.0 , 0;0 ,e )(x x x f x X ⎩⎨⎧≤>=-.0 , 0;0 ,2e )(2y y y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度．【解】X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f X ，由Y X ,独立，故Y X Z +=的概率密度⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎰-=1)(dx x z f Y ， 令t x z =-，则⎰-=z z Y Z dt t f z f 1)()((1)0<z 时, 0)(=z f Z ；(2)10<≤z 时，)0110(<-<≤z z 且即+=⎰-01)()(z Y Z dt t f z f ⎰zY dt t f 0)(+=⎰-010z dt ⎰ztdt 0221z =； (3) 21<≤z 时，)11021(<-<<≤z z 且即+=⎰-11)()(z Y Z dt t f z f ⎰zY dt t f 1)(+=⎰-11z tdt ⎰-zdt t 0)2(2332-+-=z z ； (4) 32<≤z 时，)2112(<-<≤z z 且即+=⎰-21)()(z Y Z dt t f z f ⎰zY dt t f 2)(+-=⎰-21)2(z dt t ⎰zdt 00293212+-=z z ； (5) 3≥z 时，)21(≥-z 即,0)(=z f Z .综上有Z 的密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤-+-<≤=其它,032,2932121,233,10,21)(222z z z z z z z z z f Z .四、假设一电路装有三个相同的电子元件，各元件工作状态相互独立且它们无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布．已知三个元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求该电路正常工作时间T 的概率分布．【解】由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x λX ij 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max (21==i X X Y i i i从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y λX X Y ii i 设随机变量Z 表示仪器使用寿命，因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z λY Y Y Z故Z 的概率密度为.0,00,)2)(1(6)(23⎩⎨⎧≤>--=---z z e e e λz f z λz λz λZ[10] 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．【解】设随机变量X 为取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为3,2,1,0，，43129)0(===X P ，449119123)1(=⋅==X P ，2209109112123)2(=⋅⋅==X P ，220199101112123)3(=⋅⋅⋅==X P 即有故3.022013220924491430)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 2X 的分布为故,4091.022922019220944491430)(2≈=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 从而有,3191.03.0229)()()(222≈-=-=）（X E X E X D .565.03191.0)()(≈≈=X D X σ二、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年为单位）服从参数为25.0=λ的指数分布．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利1000元，调换一台设备厂方需花费3000元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．【解】由题设，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x则⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 .)1(1)1(41-=<-=≥e X P X P设Y 表示厂方出售一台设备获得的净赢利，则Y 的概率分布为从而有4.336200030001000)1(2000)(414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee Y E厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为4.336元．三、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1 , 0;1,11)(2x x x x f π 求X 的数学期望)(X E 与方差)(X D ． 【解】011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x πx dx x xf X Edx x πx πdx xπx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(.21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π 四、设随机变量X 的概率密度为,21)(+∞<<∞-=-x e x f x，求X 的数学期望)(X E 与方差)(X D ．【解】021)()(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf X E x2!2)3(21)()(0222======⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-Γdx e x dx e x dx x f x X D x x（亦可分部积分计算）[11] 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望与方差． 【解】X 的概率分布为Y即2Y 的分布为72.072.0128.00)(=⨯+⨯=Y E 72.072.0128.00)(2=⨯+⨯=Y E2016.0)72.0(72.0)()()(222=-=-=Y E Y E Y D二、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,21)(2x x e x f x求随机变量X Y =的数学期望与方差． 【解】22)()()(22π-=-=Y E Y E Y D22)21(212)23(2221)()(022π=Γ⋅=Γ=⋅=⋅==⎰⎰⎰∞+-=∞+-∞+∞-du e u dx e x dx x f x Y E u xu x 2)2(2221)()(0222=Γ=⋅=⋅==⎰⎰⎰∞+-=∞+-∞+∞-du e u dx e x dx x xf Y E u x u x三、游客乘电梯从电视塔底层到电视塔顶层观光．电梯于每个整点的第20分钟从底层起行．假设一游客在上午八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在]60,0[上均匀分布，记Y 为该游客的等候时间．（1）写出Y 与X 的函数关系．（2）不求Y 的概率分布，直接利用（1）的结果求游客的等候时间的期望． 【解】（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0600,601)(x x f ，⎩⎨⎧≤<-≤≤-=6020,80200,20Y x X x X （2）dx x dx x dx x f x g Y E ⎰⎰⎰⋅-+⋅-==+∞∞-6020200601)80(601)20()()()(dx x dx dx ⎰⎰⎰⋅-⋅+⋅=60060206006016016060120=30四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．【解】因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμn X E n X E n X n E X E ni n i i ni i n i i =====∑∑∑∑====11111)(1)(1)1()(，n σσn X D n X D n X n D X D ni ni ini i n i i 2122121211)(1)(1)1()(=====∑∑∑∑====.[12] 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【解】（1）Y X , 的边缘分布分别为,)(=X E ,)(2=X E ,163)43()(2=-=X D,2)(=Y E ,2)(2=Y E ,41)21(2)(2=-=Y D （2） ),c o v (Y X ,81214321)()()(=⋅-=-=Y E X E XY E),(Y X R 33)()(),cov(=⋅=Y D X D Y X .二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=. , 0;0,10 , 2),(其它x y x y x f（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ． 【解】（1）=)(X E ⎰∞+∞-dxdy y x xf ⎰∞+∞-),(⎰=10dx dy x x⎰⋅⋅0232=, =)(2X E ⎰∞+∞-dxdy y x f x ⎰∞+∞-),(2⎰=1dx dy x x⎰⋅⋅02221=, =)(Y E ⎰∞+∞-dxdy y x yf ⎰∞+∞-),(⎰=1dx dy y x⎰⋅⋅0231=, =)(2Y E ⎰∞+∞-dxdy y x f y ⎰∞+∞-),(2⎰=1dx dy y x⎰⋅⋅02261=, 故 )()()(22X E X E X D -=181=,181)()()(22=-=Y E Y E Y D . （2）=)(XY E ⎰∞+∞-dxdy y x xyf ⎰∞+∞-),(⎰=10dx dy xy x ⎰⋅⋅0241=, ),cov(Y X =-=)()()(Y E X E XY E 361313241=⨯-,),(Y X R .21)()(),cov(=⋅=Y D X D Y X三、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率．【解】)(3X σε=,则91)(9)())(3)((2=≤≥-X σX D x σX E X P .四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于01.0的概率．【解】设随机变量X 表示事件A 在10000=n 次独立重复试验中发生的次数，则),(~p n B X ，且)1()(,)(p np X D np X E -==，=<-)01.0)((p A f P n =≤-)01.0(p nXP )01.0(n np X P ≤- =--≥2)01.0()1(1n p np np p 0001.0)1(1--， 10000=n ，25.0)1(≤-p p ，故有)01.0)((<-p A f P n 75.0)1(1≥--≥p p .[13] 正态分布的概率分布与数字特征一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设随机变量)16,3(~N X ，则=<≤-}104{X P 1)47(2-Φ．2．设随机变量)2,1(~2N X ，则=≥}56.4{X P )78.2()78.1(2Φ-Φ-． 3．设随机变量)2,3(~2N X ，若则}{}{c X P c X P <=≥，则=c 3．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 A 】1．设)4,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，}4{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，)(A 对任意实数μ，都有21p p =． )(B 对任意实数μ，都有21p p <．)(C 对任意实数μ，都有21p p >． )(D 对任意实数μ，都有21p p ≠．【 C 】2．设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，若}1{}1{21<-><-μμY P X P ，则必有)(A 21μμ<． )(B 21μμ>． )(C 21σσ<． )(D 21σσ>．【 C 】3．设),(~2σμN X ，则随σ的增大，概率若}{σμ<-X P)(A 单调增大． )(B 单调减少． )(C 保持不变． )(D 增减不定．三、已知一批机械零件的直径X (单位：)mm 服从正态分布)6.0,100(2N ，规定直径在范围2.101~8.98(单位：)mm 之间为合格品，求这批机械零件的不合格率． 【解】设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．四、假设某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩（百分制）近似服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的人数占考生总数的%3.2.试估计成绩在60分至84分之间的考生人数占考生总数的比例.【解】设X 某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩，则),72(~2σN X ．1)12(2)1272()1272(-Φ=≤-=≤-=σσσX P X P p已知023.0)24(1)7296(1)96(1)96(=Φ-=-Φ-=≤-=>σσX P X P12,977.0)24(==Φ⇒σσ%26.6818413.021)1(21)12(2)1272()1272(=-⨯=-=-=≤-=≤-=∴ΦσΦσσX P X P p五、设随机变量X 与Y 独立，且),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ；(1)求随机变量函数bY aX Z +=1数学期望与方差，其中b a ,为常数． (2)求随机变量函数XY Z =2数学期望与方差．【解】由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=；222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=．(2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．[14] 二维正态分布·正态随机变量的线性性质·中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，25)(,16)(==Y D X D ，12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．【解】已知0==y x μμ，416==x σ， 53),cov(),(===y x σσY X Y X R r ．从而2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ．按公式])y ()y )(x (r )x ([)r (y x yy y x y x xx er)y ,x (f 22222σμσσμμ2σμ12121σπσ21-+-------=可得),(Y X 的联合概率密度为)y xy x ((e)y ,x (f 2550316322522π321+--=．二、设随机变量X 与Y 独立,且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ，求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度．【解】由题设，有 0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．且有 2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ,8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ,且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16282222π418π21)z ()z (Z e e )z (f --⨯--==)(+∞<<-∞z ．三、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．【解】由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=, 则有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．由题意, 当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．故所求概率为)5.0235.025.021()31(-≤-≤-=≤≤Z P Z P1)2(2)2()2()25.022(-=--=≤-≤-=ΦΦΦZ P9544.019772.02=-⨯=．四、已知100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的%80，求：（1） 任一时刻有86~7070台车床在工作的概率． （2） 任一时刻有80台以上车床在工作的概率．【解】设随机变量X 表示任一时刻正在工作的车床数，则)8.0,100(~B X ,808.0100)(=⨯=X E , 16)8.01(8.0100)(=-⨯⨯=X D ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(--=---≈<<ΦΦΦΦX P927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(=-+=--=ΦΦ （2）)16800()168080([1)800(1)80(----≈<<-=≥ΦΦX P X P)20()0(2)20()0(1ΦΦΦΦ--=-+-=5.015.02=--=．[15] 总体与样本·统计量·统计学中的几个常用分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设总体)1,0(~N X ，1021,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，则统计量~)(2)(3210252421X X X X F ++++=)6,4(F ．2．设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，已知统计量25242321)2(X X X X X k T +++=服从自由度为3的t 分布，则=k 515． 3．设抽样得到总体X 的100个观测值如下：则样本均值=x 14.3；样本方差=2s 12.2．二、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组简单随机样本，X 与2S 分别是这组样本的样本均值与样本方差，证明X 与2S 的如下关系式：)(112122X n X n S ni i --=∑=．【解】由样本方差公式有∑=--=ni i X X n S 122)(11 ∑=+--=n i ii X X X X n 122)2(11 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑∑==2112211X n X X X n ni i n i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=21211X n X n n i i 三、设总体X 的均值与方差分别为μ与2σ，n X X X ,,,21 是来自该总体的简单随机样本，X 与2S 分别是这组样本的样本均值与样本方差，求)(,)(,)(2S E X D X E ．【解】μμn X E n X n E X E ni n i i n i i ====∑∑∑===1111)(1)1()(,=)(X D )1(1∑=n i i X n D )(112∑==ni iX D n∑==ni σn 1221n σ2=, ∑∑==--=--=ni i n i i X nE X E n X n X n E S E 1222122)]()([11)](11[)(})]()([)]()([{11122∑=+-+-=n i i i X E X D n X E X D n.}][][{11212222σμnσn μσn ni =+-+-=∑= 四、设总体X 与Y 相互独立且均服从正态分布)3 ,0(2N ，921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别为来自X 与Y 的简单随机样本，求统计量292221921Y Y Y X X X U ++++++=的分布．【解】因为)3 0(~2，N X ，)3 0(~2，N Y , 所以 )9 , 2 , 1( )3 0(~ , )3 0(~22，，， =i N Y N X i i .于是有9) 2 1( 93)( ,0)( ,0)(222，，， =======i S X D S Y E X E Y X i i推得292221921Y Y Y X X X U ++++++=9)(9191919191291291291YY i i i ii i S X E X S X Y X Y X -==⋅==∑∑∑===)8()19(~9)(t t S X E X X=--=, 即(8)~t U 分布．．[16] 正态总体统计量的分布一、设总体X ~)5 ,40(2N ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【解】)1,0(~8/540/,64),5 40(~2N X nX u n N X -=-==σμ，，于是 )588/5|40|()8/518/5|40|()1|40(|<-=<-=<-X P X P X P 8904.019452.021)58(2)58|(|=-⨯≈-Φ=<=u P二、设总体X ~)4 ,25(N ，样本容量n 至少为多大时，才能保证95.0)5.0|25(|≥<-X P ？【解】)1,0(~/224/),4 24(~N nX n X u N X -=-=σμ，，95.01)4(2)4/2|25|()/25.0/2|25|()5.0|25(|≥-Φ=<-=<-=<-nn nX P nnX P X P 得,975.0)4(≥Φn 查表得,96.14≥n由此得,62≥n 三、从正态总体)5.0,(2μN 中抽取容量为10的样本X X X 1210,,, ，求概率}85.2)({1012∑=≥-i i X X P ．【解】),9(~)(5.012101222χχ∑=-=i iX X}4.11{}5.085.25.0)({}85.2)({22210121012≥=≥-=≥-∑∑==χP X XP X X P i ii i 查表得4.11)9(225.0=χ，于是25.0}85.2)({1012=≥-∑=i i X X P四、设总体X ~)6 ,50(2N ，Y ~)4 ,46(2N ，从总体X 中抽取容量为10的样本，从总体Y 中抽取容量为8的样本，求概率)28.8(2221<S S P ．【解】,8,10,4,62121====n n σσ于是)18,110(~944/6/2221222221--⋅==F S S S S F从而)68.3(1)68.3()28.89494()28.8(22212221≥-=<=⋅<⋅=<F P F P S S P S S P查表得68.3)7,9(05.0=F ，于是95.005.01)28.8(2221=-==<S S P[17] 参数的点估计一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【 A 】1．设总体),(~2σμN X ，321,,X X X 为来自该总体的一组简单随机样本，假设3216131ˆX X X ++=αμ是未知参数μ的无偏估计，则=α )(A 21． )(B 31 ． )(C 41． )(D 51．【 C 】2．设总体),0(~2σN X ，)2(,,,21≥n X X X n 是来自该总体的简单随机样本，则2σ的一个无偏估计量是)(A ∑=n i i X n 11． )(B ∑=-n i i X n 111． )(C ∑=n i i X n 121． )(D ∑=-n i i X n 1211． 【 A 】3．设321,,X X X 是来自于总体X 的简单随机样本，且μ=)(X E ，则未知参数μ的下列无偏估计中最有效的是)(A )(31321X X X ++． )(B )2(41321X X X ++． )(C )22(51321X X X ++． )(D)32(61321X X X ++．二、设总体X 服从“10-”分布：）或10( ,)1()(1=-==-x p p x X P x x ．如果取得样本观测值)10( ,,,21或=i n x x x x ，求参数p 的矩估计值与最大似然估计值．【解】（１）总体X 的一阶原点矩为p p p X E X =⋅+-⋅==1)1(0)()(1υ；样本均值为∑==n i i X n X 11令∑==ni i X n X 111)(υ，得p 的矩估计量为X X n pni i ==∑=11ˆ，。