高一教科版物理必修二讲义及练习：第三章 第3节 万有引力定律的应用3 巧用万有引力定律估测天体质量和密度

（答题时间：30分钟）
1. 已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是（）
A. 地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B. 人造地球卫星在地面附近运行的周期和轨道半径
C. 月球绕地球运行的周期及月球的半径
D. 若不考虑地球自转，已知地球的半径及地球表面的重力加速度
2. 已知引力常数为G，月球中心到地球中心的距离为R和月球绕地球运行的周期为T。

仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）
A. 月球的质量
B. 地球的质量
C. 月球绕地球运行速度的大小
D. 地球的半径
3. 我国2013年6月发射的“神州十号”飞船绕地球飞行的周期约为90分钟，取地球半径为6400km，地表重力加速度为g。

设飞船绕地球做匀速圆周运动，则由以上数据无法估测（）
A. 飞船线速度的大小
B. 飞船的质量
C. 飞船轨道离地面的高度
D. 飞船的向心加速度大小
4. 已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是（）
A. 地球绕太阳运行的周期T及地球离太阳的距离r
B. 月球绕地球运行的周期T及月球离地球的距离r
C. 人造地球卫星在地面附近绕行的速度v及运行周期T
D. 已知地球表面重力加速度g（不考虑地球自转）
5. 如图所示，如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星和太阳在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可求得（ ）
A. 水星和金星的质量之比
B. 水星和金星的运动轨道半径之比
C. 水星和金星受到太阳的引力之比
D. 水星和金星的向心加速度大小之比
6. 把水星和金星绕太阳的运动视为圆周运动。

从水星与金星和太阳在一条直线上开始计时，若测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2（均为锐角），则由此条件可求得水星和金星
A. 质量之比
B. 到太阳的距离之比
C. 绕太阳的动能之比
D. 受到的太阳引力之比
7. 一行星绕恒星做圆周运动。

由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则（
）
A. 恒星的质量为
G T
v π23B. 行星的质量为
23
24GT v πC. 行星运动的轨道半径为
π2vT D. 行星运动的加速度为
T
v
π28. 我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入。

（1）若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h 的某处以速度v 0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x 。

已知月球半径为R 月，引力常量为G ，试求出月球的质量M 月。

9. 2013年12月2日，我国成功发射探月卫星“嫦娥三号”，该卫星在环月圆轨道绕行n 圈所用的时间为t ，月球半径为，月球表面处重力加速度为。

0R 0g （1）请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式；
（2）地球和月球的半径之比为，表面重力加速度之比为，试求地球和
04R R =0
6g
g =月球的密度之比。

1. BD 解析：地球绕太阳运动的周期和地球与太阳的距离，根据万有引力提供向心力，其中地球质量在等式中消去，只能求出太阳的质量M ，也就是说只能求出中心体的质量，故A 错误；人造地球卫星在地面附近运行的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力，
，解得，可以求出地球质量M ，故B 正确；月r T m r m r
Mm G 22
2)2(πω==2
324GT r M π=球绕地球运行的周期及月球的半径，但不知月球绕地球的运动周期，不能不求出地球的质量，故C 错误；若不考虑地球自转，地球表面的物体受到的地球的重力等于万有引力，即
，因此，可求出地球的质量，故D 正确。

2R
Mm
G mg =G gR M 2=2. BC 解析：万有引力提供环绕天体的向心力，此式只能计算中心天体的质量，根据题给定的数据可以计算中心天体地球的质量，而不能计算环绕天体月球的质量，故A 错误，B 正确；月球绕地球运行速度的大小，可以求出，故C 正确；月球与地球表面间T
R
v π2=
的距离不知道，故地球半径也求不出，故D 错误。

3.
B
解析：卫星围绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，
，而由于，联立可求出卫星距离地面的高度222
4()()GMm m R h R h T
π=++2
GM gR =，C 可求；飞船线速度，因此，A 可求。

飞船的向心加速222
4gR T h R π=-2()R h v T π+=度D 可求，而在中，飞船的质量消去，因此无224()a R h T π=+2
2
24()()GMm m R h R h T
π=++法求出飞船的质量，因此选B 。

4. BC 解析：设地球质量为m ，太阳质量为M ，若已知引力常量G 、地球绕太阳运行的
周期T 及地球离太阳的距离r ，则根据万有引力提供向心力：，由此可2
2
24GMm m r r T
π=以看出，地球质量在等式中消去，只能求出太阳的质量，即只能求出中心天体的质量，故A 错误；若已知引力常量G 、月球绕地球运行的周期T 及月球离地球的距离r ，则由
知，月球质量在等式中消去，能求出地球质量，故B 正确；若已知人2
224Gmm m r r T
π=月月造地球卫星在地面附近绕行的速度v 及运行周期T ，则根据万有引力提供向心力得：
，又，解得：，故C 正确；若不考虑地球自转，地22
Gmm v m r r =卫卫2v r T
π
=32Tv m G π=球表面的物体受到的地球的重力等于万有引力，即，解得：，其2
Gmm m g R =物物2
gR m G =
中R 为地球的半径，是未知，故D 错误。

所以选BC 。

5. BD
解析：根据角速度的定义可求得水星和金星的角速度之比，水星和金星
t
θ
ω=
绕太阳的运动做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，设太阳的质量为M ，水星和金星的运动轨道半径为r ，向心加速度为a ，于是，解得：22Mm
F G
ma m r r
ω===
，，，所以由题中条件只能求得水星和金星的运动轨道半32
GM
r ω=
2GM a r =
2Mm
F G r
=径之比和水星与金星的向心加速度大小之比，故选BD 。

6. B
解析：已知相同时间内水星和金星转过的角度比，可求得角速度之比，根据
可求得它们到太阳的距离之比；因为水星和金星的质量关系未知，所以不22Mm
G
m r r
ω=能能求得它们绕太阳的动能之比和受太阳的引力之比。

选项B 正确。

7. ACD 解析：行星绕恒星做圆周运动，则由线速度v 和周期T 可以求得做圆周运动的
半径，由得，C 项正确；由，得，T r v π2=π2vT r =2r
Mm G 2
)2(T mr π=G Tv GT r M ππ2432
32==A 项正确；行星运动的向心力为，得，D 项正
ma T mr r
Mm G ==2
22(πT v T r a ππ2422==确。

8. 解：（1）设地球质量为M ，月球质量为M 月，根据万有引力定律及向心力公式得：
r T
M r M M G
2
2
)2(
π月月= 2R
Mm
G
mg =解得： 32
224πT
gR r =（2）设月球表面处的重力加速度为g 月，小球飞行时间为t ，根据题意
t v x 0=22
1
t g h 月=
2
月月月R m
M G mg =解得：2
2
202Gx R h M 月月=
9. 解：（1）由题意知，“嫦娥三号”卫星的周期为 t T n
=
设卫星离月球表面的高度为h ，由万有引力提供向心力得：
2
202()()()Mm G m R h T R h π=++又： 020
'
'Mm G
m g R =联立解得：
0h R =-（2）设星球的密度为，由得 ρ2'
'Mm G
m g R
=2GM gR = 343
M M V R ρπ=
=
联立解得： 34g
G R
ρπ=
设地球、月球的密度分别为、，则： 0ρ1ρ00
10g R g R
ρρ⋅=
⋅将
，代入上式，解得：04R R =0
6g
g =0132ρρ=。