第一章 误差与精度的基本概念
数值分析中的名词解释
数值分析中的名词解释数值分析是一门研究如何利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程领域以及许多其他领域中都有广泛的应用。
本文将通过解释数值分析中的一些重要名词，来介绍这个领域的基本概念和方法。
一、误差与精度在数值分析中，误差是指数值计算和实际结果之间的差异。
由于计算过程中存在舍入误差、截断误差等，数值计算很难得到完全准确的结果。
为了度量误差的大小，我们需要引入精度的概念。
精度表示了计算结果的准确程度，通常使用绝对误差或相对误差来衡量。
绝对误差是计算结果与实际结果的差值，而相对误差则是绝对误差与实际结果的比值。
二、插值与外推插值是指根据已知数据点的数值，通过某种方法去估算出未知点的数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
而外推则是利用已知数据点的数值，通过推算来估计未知点的数值。
插值和外推在数值分析中常常用于构建函数的近似表达式或预测未来数据的趋势。
三、数值积分与数值微分数值积分是指通过数值方法来近似求解定积分。
由于很多函数的原函数无法用解析算式表示，或者求解困难，因此数值积分成为了一种常用的求解方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
而数值微分则是通过数值方法来近似求解微分。
数值微分的目的是通过逼近导数的定义来估算导数值，通常使用数值差商或有限差分来实现。
四、线性方程组的解法在科学计算中，线性方程组的求解是一个核心问题。
数值分析中有各种不同的算法和方法可以用来解决线性方程组，如高斯消元法、追赶法、迭代法等。
这些方法的基本思想是通过对系数矩阵进行操作或迭代运算来求解未知数的值。
线性方程组的求解在很多科学和工程问题中都非常重要，比如力学模拟、电路分析等。
五、常微分方程的数值解法常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
然而，绝大部分的常微分方程都无法用解析算式求解，因此需要使用数值方法来近似求解。
数值分析中有许多不同的方法可以用于求解常微分方程，如欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。
如何正确区分误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？
如何正确区分误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？在日常分析测试工作中，测量误差、测量不确定度、精密度、准确度、偏差、方差等是经常运用的术语，它直接关系到测量结果的可靠程度和量值的准确一致。
如何区分这些概念呢？一起来看看吧！传统的方法多是用精密度和准确度来衡量。
但是，通常说的准确度和误差只是一个定性的、理想化的概念，因为实际样品的真值是不知道的。
而精密度只是表示最终测定数据的重复性，不能真正衡量其测定的可靠程度。
作为一名分析测试人员，这些术语是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所云。
在此略作论述，希望能引起大家讨论。
测量误差测量误差表示测量结果偏离真值的程度。
真值是一个理想的概念，严格意义上的真值是通过实际测量是不能得到的，因此误差也就不能够准确得到。
在实际误差评定过程中，常常以约定真值作为真值来使用，约定真值本身有可能存在误差，因而得到的只能是误差的估计值。
此外，误差本身的概念在实际应用过程中容易出现混乱和错误理解。
按照误差的定义，误差应是一个差值。
当测量结果大于真值时，误差为正，反之亦然。
误差在数轴上应该是一个点，但实际上不少情况下对测量结果的误差都是以一个区间来表示（从一定程度上也反映了误差定义的不合理），这实际上更像不确定度的范围，不符合误差的定义。
在实际工作中，产生误差的原因很多，如方法、仪器、试剂产生的误差，恒定的个人误差，恒定的环境误差，过失误差，可控制或未加控制的因素变动等。
由于系统误差和随机误差是两个性质不同的量，前者用标准偏差或其倍数表示，后者用可能产生的最大误差表示。
数学上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题。
因此，长期以来误差的合成方法上一直无法统一。
这使得不同的测量结果之间缺乏可比性。
不确定度测量不确定度为“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果想联系的参数”。
定义中的参数可能是标准偏差或置信区间宽度。
不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念，它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是定量说明测量结果质量的重要参数。
一、测量误差有关术语及基本概念
a)理论真值： 往往在定义和公式表达中给出。如：平面三角形的内角和为180度； b)约定真值：对于给定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约 定采用的。约定真值有时称为指定值、最佳估计值或参考值。在实际的测量中通常 利用被测量的实际值、已修正过的算术平均值、计量标准器所复现的量值以及 计 量学约定值作为约定真值。
解
x x0 =1.60-1.593=+0.007MPa
Hale Waihona Puke 3、特点：1、绝对误差有单位，其单位与测得结果相同； 2、绝对误差与大小（值）和符号（±），表
示测量结果偏离真值的程度； 3、绝对误差不是对某一被测量而言，而是对
该量的某一给出值来讲
如：砝码的误差为+0.002g（错误）；10g砝码的误差（或示值）为 +0.002g(正确）
这个差值就是我们所讲的测量误差。
二[测量]误差定义及表达
在测量领域，某给定特定量（确定的、特殊的、
规定的量）的误差，根据其表示方法不同，
可分为： 绝对误差 相对误差 引用误差
（一）绝对误差
绝对误差——所获得结果减去被测量的真值。 绝对误差：
x x0
式中：Δ ——绝对误差；； x ——测量结果； x0 ——真值（如，理论真值、约定真值）。
2、举例
举例1：标称值为10g的二等砝码，经检定其实际值为10.003g， 该砝码的标称值的绝对误差为多少？
解： x x0 =10-10.003=-0.003g=-3mg
误差理论第一章绪论
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
测量误差与精度控制的基本知识
测量误差与精度控制的基本知识测量是科学研究和工程实践中不可或缺的一环。
无论是实验室中的研究，还是生产线上的质量控制，准确的测量数据都是基础和前提。
然而，由于各种原因导致的测量误差不可避免，因此了解测量误差的产生原因及如何进行精度控制是十分重要的。
首先，我们需要了解什么是测量误差。
简单来说，测量误差就是测量结果与真实值之间的差异。
它可以由多个因素引起，如测量仪器的精度、环境条件、人为操作等。
误差通常可分为系统误差和随机误差两类。
系统误差是由于各种固定原因引起的，具有一定的可预测性和偏离真实值的趋势。
例如，一台称重仪器由于制造过程中的偏差而导致每次测量值都比真实值偏高，这就是系统误差。
系统误差可以通过校正仪器、调整测量条件等手段进行修正和控制。
随机误差则是不可预测的，其产生原因是多方面的，可能是仪器的测量精度本身有限，也可能是操作者的误差或环境因素的影响。
随机误差通常呈现正态分布的特点，即测量值围绕着真实值上下波动，且波动范围内的概率较高。
对于随机误差，我们可通过多次测量取平均值来减小其影响，并且可以利用统计学方法进行分析和估计。
控制误差的关键是提高测量精度。
测量精度是描述测量结果的可靠程度，常用的指标是标准差或置信区间。
标准差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。
那么如何提高测量精度呢？首先，选择合适的测量仪器是至关重要的。
不同的测量任务需要不同精度的仪器，过于精密的仪器可能带来昂贵的成本，而过于粗糙的仪器则无法满足要求。
因此，根据实际需求进行仪器选择，并确保其测量范围和精度与任务相匹配。
其次，环境条件的控制也非常重要。
温度、湿度、气压等环境因素都可能对测量结果产生影响，因此在测量过程中，要尽量保持环境的稳定性，并进行必要的修正。
例如，在高温环境下，可以采用温度补偿的方法进行修正，保证测量结果的准确性。
此外，合理的操作规范和技能也对测量精度的控制至关重要。
操作者应接受相关培训，熟悉测量仪器的使用方法，并按照标准程序进行操作。
1-3传感器的误差和精度
2.2 误差的分类—— 随机误差
对于随机误差不能用简单的修正值来修正，当测量次 数足够多时， 随机误差就整体而言，服从一定的统计规 律，通过对测量数据的统计处理可以计算随机误差出现的 可能性的大小。 思考：随机误 差处理方法？
误差的分类——
系统误差
2.系统误差：在同一测量条件下，多次测量被测量时， 绝对 值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律（如线性、 多项式、 周期性等函数规律）变化的误差称为系统误差。前者 为恒值系统误差， 后者为变值系统误差。
标称值（示值）：各种仪表读数。
测量误差的基本概念——
测量误差定义
测量误差：测得结果与被测量的量的真实值。 但在测
量过程中由于种种原因，例如，传感器本身性能不十分优良， 测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，造成被测量的测 得值与真实值不一致，因而测量中总是存在误差。
予以修正。
误差的分类——
粗大误差
3. 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误 差， 粗大误差又称疏忽误差。 这类误差的发生是由于测量者疏忽大意，测错、读错或环 境条件的突然变化等引起的。含有粗大误差的测量值明显地 歪曲了客观现象， 故含有粗大误差的测量值称为坏值或异常 值。 在数据处理时，要采用的测量值不应该包含有粗大误差， 即所有的坏值都应当剔除。
测量误差的基本概念——
相对误差的定义由下式给出：
误差表示方法
2. 相对误差：测量的绝对误差与被测量真实值之比。
100 % L
式中：δ——实际相对误差， 一般用百分数给出 Δ——绝对误差 L——真值。 由于被测量的真值 L无法知道，实际测量时用测量值 x代替 真值L进行计算，称为标称相对误差， 即
思考：系统误 差如何修正？
加工精度与加工误差基本知识.
加工精度与加工误差基本知识1 概述1.1 加工精度与加工误差加工精度是指零件加工后的实际几何参数(尺寸、形状和位置)与理想几何参数的符合程度。
实际加工不可能做得与理想零件完全一致，总会有大小不同的偏差，零件加工后的实际几何参数对理想几何参数的偏离程度，称为加工误差。
1.2 原始误差由机床、夹具、刀具和工件组成的机械加工工艺系统(简称工艺系统)会有各种各样的误差产生，这些误差在各种不同的具体工作条件下都会以各种不同的方式(或扩大、或缩小)反映为工件的加工误差。
工艺系统的原始误差主要有工艺系统的几何误差、定位误差、工艺系统的受力变形引起的加工误差、工艺系统的受热变形引起的加工误差、工件内应力重新分布引起的变形以及原理误差、调整误差、测量误差等。
1.3 研究机械加工精度的方法研究机械加工精度的方法分析计算法和统计分析法。
2 工艺系统集合误差2.1 机床的几何误差加工中刀具相对于工件的成形运动一般都是通过机床完成的，因此，工件的加工精度在很大程度上取决于机床的精度。
机床制造误差对工件加工精度影响较大的有：主轴回转误差、导轨误差和传动链误差。
机床的磨损将使机床工作精度下降。
2.1.1 主轴回转误差机床主轴是装夹工件或刀具的基准，并将运动和动力传给工件或刀具，主轴回转误差将直接影响被加工工件的精度。
主轴回转误差是指主轴各瞬间的实际回转轴线相对其平均回转轴线的变动量。
它可分解为径向圆跳动、轴向窜动和角度摆动三种基本形式。
产生主轴径向回转误差的主要原因有：主轴几段轴颈的同轴度误差、轴承本身的各种误差、轴承之间的同轴度误差、主轴绕度等。
但它们对主轴径向回转精度的影响大小随加工方式的不同而不同。
产生轴向窜动的主要原因是主轴轴肩端面和轴承承载端面对主轴回转轴线有垂直度误差。
不同的加工方法，主轴回转误差所引起的的加工误差也不同。
在车床上加工外圆和内孔时，主轴径向回转误差可以引起工件的圆度和圆柱度误差，但对加工工件端面则无直接影响。
测绘技术中常见的精度评定与评估方法
测绘技术中常见的精度评定与评估方法一、引言测绘技术在现代社会的应用日益广泛，它在地图制作、工程测量、导航系统等方面扮演着重要的角色。
然而，在测绘过程中，精度评定与评估是确保测绘成果质量的关键环节。
本文将介绍测绘技术中常见的精度评定与评估方法。
二、误差与精度在进行精度评定之前，我们需要明确两个基本概念：误差和精度。
误差是指测量值与真实值之间的差异，而精度则是指测量结果的可靠程度。
通过对于误差的评定和精度的确定，可以确保测绘成果的准确性和可信度。
三、测量数据处理在进行精度评估前，我们需要进行测量数据的处理。
常见的数据处理方法有以下几种：1. 简单平均法：将多次测量的结果进行平均，以减小随机误差的影响。
2. 权重平均法：对于不同测量数据赋予不同权重，以考虑到其相对可靠性的差异。
3. 加权拟合法：对数据进行拟合，根据拟合曲线的结果来确定最终的测量结果。
4. 差值法：通过测量数据之间的差值计算得到具体的测量结果。
四、相对精度评定方法相对精度评定方法是测绘技术中最为常见的一种。
其主要通过对不同对象之间或同一对象不同部分之间的相对位置关系进行分析，来评估测量的准确程度。
常见的相对精度评定方法有以下几种：1. 直接相对精度评定法：通过比较不同对象或同一对象的不同测量结果，来评估测量的相对准确度。
2. 间接相对精度评定法：通过间接比较不同对象或同一对象的不同属性进行测量，来评估测量的相对准确度。
五、绝对精度评估方法绝对精度评估方法是对测量数据进行绝对化的评估方法，常用于测绘成果与地面真实情况之间的对比分析。
常见的绝对精度评估方法有以下几种：1. 数字化对比法：通过将测绘结果与现实情况进行对比，评估测绘的准确程度。
2. 空间变换法：通过对测绘结果进行空间变换，将其与地面真实情况进行比较，来评估测绘的准确程度。
3. 形状匹配法：通过对测绘结果和真实情况进行形状匹配，评估测绘的准确程度。
六、精度评定与评估的案例应用为了更好地理解精度评定与评估方法的应用，以下是一个测绘技术在道路规划中的案例。
第一章误差
数的相对误差。
r* 0 , 使 如果 存在
er ( x)
* r
r* 为近似数 成立，则称正数
x 的相对误
*
差限，常用百分数表示。
例如 比较两个近似数：
x1 100 2
（4）舍入误差：由于计算机计算字长限制，自动
进行四舍五入而产生的误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
、
避免两接近的近似数相减！
e xy x y max e x , e y , er xy er x er y ;
x y e x x e y e , 2 y y
k sk ak x0 , k 0,1, , n 解、算法一： n P k 0 sk
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2, , 2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法 例2：计算积分
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
练习:
若 x 3.14159265 ，分别判断下列近似
数有几位有效数值 。
1、x1 3.1382673
三位有效数值
三位有效数值
2、x2 3.1410673
误差基本概念
R1 R2
R
（2）R不变，将可调标准电阻箱Rn
替换成Rx接入电桥，调Rn使电桥平衡
则
Rn
R1 R2
R
（3）∴Rx=Rn，消除了桥臂参数的
系统误差。
2 正负误差补偿法：（用于消除恒定系统误差）
在不同的试验条件下进行两次测量，使其读数一 次为正，一次为负，则两次读数的平均值将与恒 定系统误差无关。 例如：为了消除恒定直流外磁场对仪表读数的影响。
相对误差
￡1-2 误差的来源与分类
一、 误差的来源
1 装备误差：
①标准器误差：如标准电阻，标准砝码的标称值误差。 ②仪表误差：测量所用工具的误差。 ③装备、附件误差：如谐波，不对称，非工频，引线、安装、
布置不合理等。
2 方法误差：（理论误差）
①测量方法理论根据不完善。 ②采用了近似公式等。
3 人员误差：测量人员的感觉器官或运动器官不完善
相对误差=绝对真误差/真值×100% ≈绝对真误差/给出值×100%
r x x x0 x
r越小，准确度越高。
3、引用误差
引用误差=绝对误差/满刻度值×100%
即：
rn
x xN
ห้องสมุดไป่ตู้
100 %
例如：电流表，满刻度为5A，测量值4A，实际值为4.02A
4 4.02 则： rn 5 100% 0.4%
可将仪表转过180度进行两次测量，然后取平 均值。 3 对称观测法 用测量数据的对称关系消除系统误差的方法。
例：谐振频率的测量
❖ 若通过测量U0来确定f0 会产生较大误差（∵峰 值处电压变化平坦）
❖ 若在某—U1 下，测试
f1 和f2
f1
1 2
误差第一章
误差理论与数据处理开课学院：主讲教师：联系电话：E-mail:关于任课教师秦岚, 1983年9月-1994年6月在重庆大学获精密仪器及机械专业学士、硕士和博士学位，长期从事精密仪器及机械学科的科研和教学工作。
2001年12月晋升教授，2004年7月任博导，2011年晋三级教授。
现为重庆市“322重点人才”工程人选、重庆市学术技术带头人。
先后担任重庆大学光电工程学院副院长（1996-1999）、党委书记（1999-2010）、重庆市发改委副主任（2001-2003，挂职）、重庆大学数学与统计学院党委书记（2010—）、大连理工大学校长助理（201204-201207，挂职）。
先后兼任全国高等学校机电类专业教学指导委员会委员，中国仪器仪表学会机械量测试仪器分会第四届理事会副理事长，全国测量误差与不确定度研究会副理事长，中国计量测试学会第五届理事会理事，全国互换性与测量技术研究会常务理事、副秘书长等。
1994年至今担任本课程主讲教师。
本课程的意义20042006我和费先生的特殊友谊20132009费业泰: 误差理论是仪器科学特有的基础理论1、误差理论贯穿仪器及测试系统的始末。
在仪器设计、制造、使用及测试结果处理与评定等五大环节，误差理论均起着指导与保证作用。
2、误差理论在仪器科学人才培养中是必不可少重要内容。
过去的教学计划中测试技术课程为主要课程，而有关误差理论内容则占全课程约1/3 学时。
根据国外高校相关专业很早巳开设有关误差理论课程，我国高校1978年首次设置该课程. 30年来讲授误差课程高校专业已很普遍，但仪器学科专业该课程体系、内容最为全面系统。
3、误差理论在科学技术与工程实践中具有重要作用。
任何科学与工程对可靠性、准确度具有要求，这是普遍性问题.不仅其实验和实践过程需要测试，而本身在系统设计、建造和运行控制也需要一定的误差理论作指导。
结论：误差理论是仪器科学的重要基础理论，也是科学与工程技术具有遍普意义的必不可少基础理论之一，而仪器科学领域学术研究所建立误差理论的严谨学术体系与全面系统内容，则是其他科学与工程技术应用误差理论的依据，充分表明误差理论是仪器科学特有的基础理论。
误差、仪表精度等级的概念
误差、仪表精度等级的概念测量误差：测量值与真实值之间存在的差别。
真值：一个变量本身所具有的真实值,它是一个理想的概念,一般是无法得到的。
在计算误差时,一般用约定真值或相对真值来代替。
约定真值：一个接近真值的值,它与真值之差可忽略不计。
实际测量中以在没有系统误差的情况下,足够多次的测量值之平均值作为约定真值。
相对真值：指当高一级标准器的误差仅为低一级的1/3以下时,可认为高一级的标准器或仪表示值为低一级的相对真值。
绝对误差的实质,是仪表读数与被测参数真实值之差。
仪表的绝对误差只能是读数与约定真值或相对真值之差。
相对误差：仪表的绝对误差与真值的百分比。
引用误差：绝对误差与仪表量程的百分比。
仪表精度等级又称准确度级,是按国家统一规定的允许误差大小划分成的等级。
引用误差的百分数分子作为等级标志。
我国仪表精度等级有：0.005、0.02、0.05、0.1、0.2、0.35、0.4、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0等。
级数越小,精度（准确度）就越高。
『等级』－对功能相同但质量要求不同的产品、过程或体系所作的分类或分类。
『准确度等级』－符合一定的计量要求，使误差保持在规定极限内的测量仪器的等级、级别。
『测量准确度』－测量结果与被测量真值之间的一致程度。
『量的约定真值』－对于给定目的具有适当不确定的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。
仪表的相对误差＝（测量结果－被测量真值/仪表量程）*100%实际上你说的仪表精度是仪表的相对误差，他和仪表的精度等级还有一些区别，比如说标准仪器有些是按照“等”来划分的（如：一等、二等），有些采用的是绝对误差（如：砝码）。
按百分比划分的有：0.01级、0.02级、0. 05级、0.1级、0.2级、0.5级、1.0级等。
按等划分的有：一等、二等、三等、四等、....。
一般在检定规程中有规定。
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。
3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。
这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
误差与精度
作为计量人员，误差、精度与不确定度是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所芸。
在此略作论述，希望能引起大家讨论。
一、误差的基本概念：1.误差的定义：误差＝测得值－真值；因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负号的一个数值。
2.误差的表示方法：2.1 绝对误差：绝对误差＝测量值－真值（约定真值）在检定工作中，常用高一等级准确度的标准作为真值而获得绝对误差。
如：用一等活塞压力计校准二等活塞压力计，一等活塞压力计示值为100.5N/cm2，二等活塞压力计示值为100.2N/cm2，则二等活塞压力计的测量误差为-0.3N/cm2。
2.2 相对误差：相对误差＝绝对误差/真值X100％相对误差没有单位，但有正负。
如：用一等标准水银温度计校准二等标准水银温度计，一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%。
2.3 引用误差：引用误差＝示值误差/测量范围上限（或指定值）X100％引用误差是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差。
如测量范围上限为3000N的工作测力计，在校准示值2400N处的示值为2392.8N，则其引用误差为-0.3%。
3.误差的分类：3.1 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
3.2 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
3.3 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
二、精度：1.精度细分为：准确度：系统误差对测量结果的影响。
精密度：随机误差对测量结果的影响。
精确度：系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。
精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念，在误差理论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。
对测量而言，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。
精度的基本概念是什么
精度的基本概念是什么精度是指测量结果与真实值之间的接近程度或一致性程度。
在科学、工程和统计学领域中，精度是一个重要的指标，用于描述测量或计算的准确程度。
精度可以通过以下两个方面来进行衡量和评估：1. 绝对误差：绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异。
绝对误差可以表示为测量结果与真实值之间的差值，也可以表示为测量结果与真实值之间的差异的绝对值。
绝对误差可以通过公式来计算：绝对误差= 测量结果- 真实值。
绝对误差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之间的比例关系。
相对误差可以表示为绝对误差与真实值之间的比值，也可以表示为绝对误差与真实值之间的比值的绝对值。
相对误差可以通过公式来计算：相对误差= 绝对误差/ 真实值。
相对误差越小，说明测量结果越接近真实值，精度越高。
在实际应用中，精度的概念通常与精确度的概念一起使用，但它们在定义和衡量方法上是有区别的。
精度强调的是测量结果与真实值之间的差异，即测量的准确程度。
而精确度则强调的是测量结果的稳定性和一致性，即测量的可重复性和可信度。
精确度可以通过重复测量同一样本多次，并比较测量结果之间的差异来进行评估。
在实际测量和计算中，提高精度需要考虑以下几个因素：1. 仪器和设备的精度：使用具有更高精度的仪器和设备可以提高测量结果的精度。
仪器和设备的精度通常由制造商提供，可以通过技术规格和精度指标来评估。
2. 校准和校验：及时进行仪器的校准和校验可以使测量结果更准确。
仪器的校准是通过与标准值进行比较来确定误差，并进行调整以消除误差。
校验是通过对相同样本进行多次测量来检验仪器的准确性和一致性。
3. 测量方法和技术：选择合适的测量方法和技术可以提高测量结果的精度。
不同的测量方法和技术具有不同的精度要求，应根据具体情况选择适合的方法和技术。
4. 数据处理和分析：正确的数据处理和分析方法可以减小误差，并提高测量结果的准确性。
对数据进行平均、插值、曲线拟合等处理可以消除一些随机误差，并提高测量结果的精度。
第一部分误差的基本概念
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
测量结果
·测量结果x的值是由测量所得到的赋予
被测量的值。
·广义上我们可以把测得值、测量值、
检测值、实验值、示值、名义值、标称 值、预置值、给出值等均看作是测量结 果。测量结果是我们要研究的对象。
真值
真值定义为与给定 的特定量的定一致 的值。 理论真值 一般只存在于纯理 论之中。
被测对象变化误差
被测对象在整个测量过程中处在不断地变化 中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差 称为测量对象变化误差。
例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温 度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在 测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变 化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说 明了这一点。
测量的分类
测量
直 接 测 量
间 接 测 量
静动 态态 测测 量量
等 权 测 量
非 等 权 测 量
电 量 测 量
非 电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
第五节 近似数的修约与运算
近似数的基本修约规则
1．若舍去部分的数值大于保留末位的0.5，则 末位加1，（大于5进）；
2．若舍去部分的数值小于保留末位的0.5，则 末位不变，（小于5舍）；
3．若舍去部分的数值恰等于保留末位的0.5， 此时，①若末位是偶数；则末位不变，②若末位 是奇数，则末位加1，（等于5奇进偶不进）。
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误差的来源
条件误差
•环境温度、湿度的变化，气流及振动的影响；
•对野外作业的经纬仪和测距仪，受到大气扰动及阳光照射后角 度的变化等；
•对于电子测量，电源电压和电磁干扰对其测量误差有影响。 •激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等 会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高 精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响
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误差的表示方法
2. 相对误差
定义
x r x0
绝对误差 被测量的真值，常用约 定真值代替，也可以近 似用测量值 x 来代替 x0 相对误差
特点
①相对误差只有大小 和符号，而无量纲， 一般用百分数来表示。
② 相对误差常用 来衡量测量的相 对准确程度。
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误差理论的发展历程 3. 现代误差理论的形成与发展期（二十世纪末）
1993年，国际标准化组织（ISO）等颁布了《测量不确定度表示指 南》，建立了在测量中评定和表达不确定度的一般规则，适用 于不同准确度要求的测量领域。 现代误差理论的特点： ① 由静态测量问题发展到动态测量、全过程的测量控制； ② 由简单的误差修正发展到实时的、在线的复杂误差修正、补偿 、自校准；
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研究误差的重要意义
•英国物理学家瑞利（Rayleigh）在测定氮的密度时，发现 大气中分离的氮的密度为1.2572g/L，而化学方法提取的氮 的密度1.2508g/L,两者相差0.0064g/L。分析结果证明，空 气中分离的氮含有其他成分，由此导致了后来雷塞姆（化 学家雷莱）发现了空气中的惰性气体。 •发射人造卫星的控制和遥测系统，如果测量不够准确，最 后一级运载火箭的速度若有2/1000的相对误差，则卫星就 会偏离预定轨道100km，真可谓“失之毫厘，差之千里”。 •在日常生活中，也是如此。如使用γ射线治疗疾病时，若 对剂量测量不准，过少则达不到治病的目的，延误治疗； 过多则会对人体造成损害。
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第一节 研究误差理论的意义
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研究误差的重要意义
探索和揭示客观世界的规律性的方法，有两种： ① 理论分析 ② 实验测量 对于实验测量的方法，常常需要极其精确的实验测定，以希 望得到没有误差的测量结果，因为误差会在一定的程度上歪曲客 观事物的规律性。 研究误差的来源及其规律性，减小和尽可能地消除误差，以 得到精确的实验结果，对于科学技术的产生及进展是非常重要的。 例如：
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误差理论的发展历程 1. 经典误差理论的萌芽期（十八世纪）
1794年，德国数学家高斯首次提出了最小二乘法原
理，并于1809年在其著作《天体沿圆锥截面围绕太
阳运动的理论》中发表，被称为高斯最小二乘法。 同一时期法国数学家勒让德尔也于1805年在其著作 《决定彗星轨道的新方法》中应用最小二乘法处理 观察结果，为测量数据处理奠定了理论基础。
① 不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被 测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量程）上限 合理进行选择。 ② 选择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程上限 的三分之二，即
测量的最大相对误差不超过
2 x xm 3
xm rx s% 1.5s% 2 xm 3
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【例1-1】
测得值
用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该 表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为 5V ，被测电压的修正值为－5V ，则修正后的测量 结果为226+(－5V )=221V。 绝对误差 真值
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误差的定义
3.真值：是指一个特定的物理量在一定条件下所具有的客观量值 ，又称理论值或定义值。
1）理论真值：亦称绝对真值，一般只存在于纯理论之中。 如三角形内角之和恒为180º，一个整圆周角为360º。
2）约定真值：世界各国公认的一些几何量和物理量的最高基 准的量值。 如米基准的长度定义为：1米=1650763.73λ，λ为（2P 10 5d5 ）氪跃迁在真空中的辐射波长。
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误差的表示方法
3. 引用误差
定义
xm rm xm
仪器某标称范围（或量 程）内的最大绝对误差 该标称范围（或量程）上 限 引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值， 即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对 误差、满度误差。
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第二节 误 差
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误差的定义
1. 测量误差：是指测得值与被测量真值之差。
i xi x0
i 1, 2,3 n
测量误差值＝测得值－真值
2. 真误差：其大小表示每一次测得值对真值的不符 合的程度。 1）误差的必然性——真误差恒不等于零。 2）误差的不确定性——真误差之间一般是不相等 的，或者说，测得值之间是不相等的。 3）误差的未知性——真误差一般是未知的。
仪器误差
以固定形式复现标准量值的 器具，如标准电阻、标准量 块、标准砝码等等，他们本 身体现的量值，不可避免地 存在误差。一般要求标准器 件的误差占总误差的1/3～ 1/10 。 测量装臵在制造过程中由于 设计、制造、装配、检定等 的不完善，以及在使用过程 中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而 使设备所产生的误差。
即测量误差不会 超过测量仪表等 级的1.5倍。
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【例1-2】
某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0级、 量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？
【解】 当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有
xm1 300 r1 s1 % 0.5% 1.5% x 100
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误差理论的基本任务
•研究误差的来源和特性，对误差做出科学的分类；
•研究误差的评定和估计的合理方法，研究误差的传递、转 化和相互作用的规律性，以及误差的合成和分配的原则； •研究在各种测量方式及测量条件下，降低误差、提高精度 的途径，以最经济简便的方法得到最优的测量结果。
第一章 误差和精度的基本概念
【院 系】 光电工程学院
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本章教学目标与重点难点 教学目标 重点与难点
通过学习，应该掌握：
§误差的定义和表示方法
§误差的定义、分类和误 差的表示方法
§精度的一般含义和具体 意义 §测量及测量的要素
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§ 误差的分类
§ 精度的含义
§ 测量与测量过程
§ 测量的要素
起的测量误差。
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条件误差
人员误差 由于测量者造成的误差， 如瞄准误差，读数误差， 以及测量者生理感官与精 神状态所引起的测量误差。
误差和精度的基本概念 16
由于测量过程中 测量条件的变动 所引起的测量误 差。
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误差的来源
误差理论与数据处理
误差和精度的基本概念
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误差的表示方法
电工仪表、压力表的准确度等级
我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy class）就 是按照引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所 产生的最大绝对误差为 （公式1） 最大相对误差为
xm xm s%
标准器件误差
装置误差
附件误差
测量仪器所带附件和附属 工具所带来的误差。
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误差的来源
装臵误差
设计测量 装臵时， 由于采用 近似原理 所带来的 工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差 设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差 读数分 辨力有 限而造 成的读 数误差 数字式 仪器所 特有的 量化误 差 元器件老化、 磨损、疲劳 所造成的误 差
绝对误差的最大值 与该仪表的标称范 围（或量程）上限 xm成正比
xm xm s% （公式2） rx x x
选定仪表后，被测量的值越接近于 标称范围（或量程）上限，测量的 相对误差越小，测量越准确
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误差的表示方法
仪表准确度等级选择原则
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误差理论与数据处理
误差和精度的基本概念
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误差理论的实际应用
1. 对测量结果进行判断和统计处理，如对测量数据的合理 性、可靠性、相关性及其分布规律的判断和估计，通过 一系列的计算和处理，得到测量结果的数学表示及其精 度评定； 2. 综合评定某实验方法或测量仪器的精确性和可靠性； 3. 产品设计时，进行误差的分析和分配，预估产品的精度； 4. 确定最有利的实验条件； 5. 根据被测参数或被检仪器的精度，合理选择测量仪器或 检定仪器的精度； 6. 根据测量精度，合理选择测量方法、测量方程式及必要 的测量次数。 7. 判断旧产品的精度是否蜕化降低，或技术革新和改进后 的效果。