黎曼猜想DF

f (n) fˆ (n)
b b
Байду номын сангаас
下一步我们需要计算
ˆ ( x) f b



f b (t ) e
2ixt

dt


f (bt )e 2ixt dt
将 u=bt代入，我们有
ˆ ( x) 1 f (u )e 2ixu / b du 1 f ˆ( x) f b b b b
Riemann Zeta函数零点猜想与证明 fashengliu@ 摘要：介绍Riemann猜想（RH）；探讨利用Jacobi函数方程关系 和Schwarz 反射原理，给出黎曼泽塔函数（Riemann zeta function）零点满足的方程，进而推得零点均落在实部为1/2的 临界线上。如此，黎曼猜想/假设可以称作黎曼定理，所有与之 等价的命题和以黎曼假设作为前提条件而成立的结论都成立。 关键词：黎曼猜想，Jacobi函数方程，反射原理。 1. 引言 Riemann 猜想（RH）源于 Dirichlet 级数函数，
8
，特别，由于牙可比函数方程的作用，给黎曼Zeta函数研究带 来莫大方便。 至此，我们可以说，解析延拓后的黎曼Zeta函数是整个复平 面上除了简单极点1（其留数为1）以外所有点上的解析函数。 现在，我们可以在复平面上考虑A(s)的零点了。人们对其零点 感兴趣，是因为它们包含着素数的信息。然而，人们并非对A(s ) 的所有零点都感兴趣，所有实部在区间
1
“对无穷级数的若干观察”
猜想：Riemann 函数的所有非平凡有零点都在临界线Res=1/2上。
ζ
由 Euler 乘积公式（1-2）可以得到Riemann ζ 函数在 Re(s)>1 的区域内没有零点。1896年，Hadamard 和Poussion ζ 分别独立证明了素数定理。素数定理等价于Riemann 函数在Re(s)=1 上没有零点。 1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道证明了包含临界 线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平 凡零点。同一年，英国数学家哈代证明了黎曼ζ函数有无穷多个 非平凡零点位于临界线上。 1942年，挪威数学家赛尔伯格证明了有正百分比的非平凡零 点在临界线上。列文森在1974年证明了至少有34%的零点位于临 界线上。直到1989年，美国数学家康瑞(Brian Conrey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。 RH猜想之所以重要，是因为RH 有诸多重要等价命题和以其作为假设而成立的重要结论，文献[ 7]中给出了32个重要等价命题；李修贤2012年在学位论文“黎 曼猜想与素数分布”中专门罗列了34个与黎曼猜想等价结论【8 】。黎曼猜想的各种等价结论和基于黎曼假设下而成立的结论 使人们有理由相信黎曼猜想的正确性，人们更愿意称Riemann猜 想为Riemann假设。 关于数值计算验证或曰试图举出反例的工作，极大促进了RH 的相关研究。1932年，数学家西格尔从黎曼的手稿中获得了重 大发现——计算黎曼ζ函数非平凡零点的方法称为黎曼西格尔公式。至1969年，350万个零点得到验证，全部位于临界 线上，无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。到2004年 ，Gourdon用计算机验证，黎曼ζ函数的前10的13次方个零点都
Riemann 猜想（RH）是说Riemann ( s ) 函数的所有零点都落在Re(s)=1/2 的直线上。 RH：
( s ) 0 Re s 1 / 2
由于所有的黎曼Zeta函数的非平凡零点关于直线,
A( s )
s/2
s 1 s 1 dx ( )( ( x )( x 2 x 2 ) s ( s 1) 1 x
1

s 2
）
（2-3）
满足
A( s ) ( s )
Res>1
其中，
( x) exp n 2x
1

x>0
(s)
1

1 ns
( s ) (1 s )
记
(s)
（2-5）
1 s s s ( s 1) 2 ( ) ( s ) 2 2 s 1 s 1 1 dx ( s 1) s ( x)( x 2 x 2 ) 2 2 x 1
（2-6）
( s ) (1 s )
1

1 ( x)( x s /21 x s /21/2 )dx s ( s 1) 1

（2-4） 定理得证。 由于
( x) exp n 2 x o(e x )
1

as
x
对于任意K，作为复变量s的函数的上述广义积分在Res>K 内绝对一致收敛。关系是在Res>1的假设下证得的，但是等式右 端对所有s有定义, 级数函数（11）在整个复平面上（奇点1除外）的解析延拓显表达式。我们 记之为
2
落在黎曼猜想的直线上。现在十多万亿个零点的计算大关已经 突破，并且与日俱增。 Riemann 猜想的提出已经过去一个半世纪多， RH不愧是一只下金蛋的天鹅。然而，猜想是否成立，一直未得 到肯定。RH被公认为是“外行不懂，专家证明不了的世界难题 ”[7]。 黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文“论小于给定数的素数 分布”【1】中已经意识到猜想是成立的，特别，他还指出了Ri emann ξ 函数关于Re(s)=1/2是偶函数的结论。令人惋惜的是黎曼提出RH 七年后，就撒手人寰。考察黎曼猜想提出的原始论文【1】发现 ，黎曼通过Jacobi函数方程变形，给出了Riemann ξ 函数的解析延拓表达（【1】，【4】P21）。Edwards [2], A. A. Karatsuba [4] 都提及theta函数和Jacobi 函数方程在处理黎曼泽塔函数方面较Cauchy 积分公式更为便利。Jacobi 函数方程与黎曼泽塔函数关系密切，前者自变量的倒数与后者 的共轭变量对应。黎曼本人原意就是要去证明黎曼猜想，只是 未能如愿，才以猜想的形式给出了著名的RH。倘若，黎曼当时 就沿着此路给出RH之证明，或者后来人及时补上其证明，RH或 许不会如此出名。后来，RH的诸多重要等价问题和基于黎曼猜 想的重要结果说明了该黎曼猜想的重要性，而等价问题的难以 证明，则说明，除了黎曼当初猜想的基于雅克比变换的思路外 ，还没有发现有更能有效的证明RH的特别思路和其他好方法。 现在可以说，RH的极限情形和具体零点计算，是黎曼猜想RH 的依据，Jacobi函数方程变形才是证明RH的有效方法。 2．以Theta 级数表达的黎曼Zeta 函数解析延拓
s 1 s s 1 dx A( s ) ( )[ ( x)( x 2 x 2 ) ] 2 s ( s 1) 1 x s 2
亦即（i.e.），该公式给出了Dirichlet
1

对Dirichlet 级数函数，尽管有多种解析延拓方法和形式，由于唯一性定理 ，它们本质上是等价的。不同的解析延拓方式会有不同的方便 之处。上述方法属于参变积分，加之牙可比函数的指数衰减性

先假设Re（s）>1 并对所有 n作和. 得
2 s ( ) ( s ) e n x x s /21dx 2 n 1 0
s 2

改变作和（ ）与积分（ ）之顺序（绝对收敛可以改变顺序 ），我们有
s ( ) ( s ) ( x)x s /21dx 2 0
(x 1 ) x ( x) ;
1
(2-1)
2 ( x) 1 x 2 [2 ( x 1 ) 1] (2-2)
其中
(x)
n
exp(n x)
2
1

,
( x) exp n 2x
x0
证明：（本证明出自[6]，也可参考[4]P5-8给出的另一证明） 该关系看上去确实不显然，级数于 x 0 上一致收敛，
(s)
1
1 ns
Res>1 （1-1）
文献【3】和[7]都列出了有关Riemann猜想的重大历史事件 。1737年，Euler 即对所有的大于1的实数s，
(s)
1
给出了著名的乘积公式，
1 (1 p s ) 1 s n p
（1-2），
其中，公式中的 n 为自然数， p 为素数。这一公式是 Euler 在一篇题为 的论文中提出并加以证明的。 1792年，高斯提出了后来被称为素数定理的结论。1859年，R iemann在他那篇著名的论文中【1】，将（11）解析延拓到除s=1外的整个复平面上，提出了 Riemann
s dx 2 s ( ) e u u s /21du n s e n x s /2 x 2 2 0 x 0


2 (这里我们作了 u n x 的变量替换). 结果有,
s dx 2 s ( ) n s e n x x 2 2 x 0 s 2
[0，1]外的平凡零点被列为黎曼猜想陈述之外。 在讨论其零点之前，我们先给出一个黎曼Zeta函数的方程。 注意到在A(s) 中的1/s(s−1) 和广义积分项里，把s 与 1 −
s作替换，等式成立。因此，有函数方程:
( s ) s ( s 1) ( ) ( s )
1 2
s 2
s 2
s 2

利用牙可比方程（2-2）（Jacobi functional equation）
2 ( x) 1 x 2 [2 ( x 1 ) 1]
7
1
并做积分变量 x x
s 2
1
于下述第二个积分中，我们有
1
s ( ) ( s ) ( x)x s /21dx ( x) x s /21 ( x) x s /21dx 2 0 0 1 ( ( x 1 ) x s /21 ( x) x s /21 )dx