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北师大版数学选修1-2练习(第3章)数学证明(含答案)

数学证明同步练习【选择题】1、下面几种推理过程是演绎推理的是（）A 、两条直线平行，同旁内角互补， AB A+B=180ºB 、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C 、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班人数都超过了50人D 、知道数列的首项和递推公式，由此归纳出数列的通项公式2、下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理.（2）演绎推理得到的结论一定是正确的.（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式.（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等。

”补充以上推理的大前提（）A 、正方形都是对角线相等的四边形B 、矩形都是对角线相等的四边形C 、等腰梯形都是对角线相等的四边形D 、矩形都是对边平行且相等的四边形4、三段论： “①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的.”中“小前提”是 ( )A 、①B 、②C 、①②D 、③【解答题】5、指出下面推理中的大前提和小前提。

5与22可以比较大小。

6、指出下面推理中的大前提和小前提。

直线a,b,c,若a//b,c//b,则a//c.7、判断下列推理是否正确。

（1）如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖。

（2）因为正方形的对角线互相平分且相等，所以一个四边形的对角线互相平分且相等，则此四边形是正方形.8、判断下列推理是否正确。

（3）因为a>b,a>c,所以a-b>a-c.（4）因为a>b,c>d,所以a-d>b-c9、已知空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，如图。

求证：EF//平面BCD（指出大前提和小前提）。

参考答案1、A2、C3、B4、B5、大前提：任意两个实数可以比较大小小前提：5与22都是实数6、大前提：平行于同一条直线的两直线平行小前提：直线a和c都与直线b平行7、（1）错（2）错8、（1）错（2）对9、证明：连结BD三角形中位线与第三边平行，……大前提点E、F分别是AB、AD中点，EF是ABD∆中位线，……小前提.//BDEF∴平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行,……大前提BDEFBCDBDBCDEF//,,平面平面⊆⊄，……小前提BCDEF平面//∴DBAC FE。

高二数学北师大版选修1-2同步精练3.3综合法与分析法 Word版含答案

．锐角三角形的内角、满足，则有()．
．－＝
．＋＝
．－＝
．＋＝
．若，，，则()．
．＜＜．＜＜
．＜＜．＜＜
．若，∈，且＋＝，则＋＋的最大值是()．
．．．．
．定义在(－∞，＋∞)上的函数＝()在(－∞，)上是增函数，且函数＝(＋)为偶函数，则(－)，()，的大小关系是．
．若α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，则(α－β)＝.
．已知＋＋＝，求证：＋＋≤.
．设＞，＞，＋＝，求证：.
．已知＞，＞，＞，求证：.
.已知对所有实数，不等式恒成立，求
的取值范围．
参考答案
．由已知得，
∴，∴，
即－＝，∴，
∴，∴，∴.
∵，∴＝，
∴－＝.
．，所以＜.
同理，可得＜，因而＜＜.
．由
得＝＋－＋
＝－＋＋
＝－(－)＋.
∵，
∴当＝时，有最大值.．由函数＝(＋)为偶函数，可知＝为函数对称轴，且＝()在(，＋∞)
为减函数．．观察已知条件中有三个角α，β，γ，而所求结论中只有两个角α，β，所以我们只
需将已知条件中的角γ消去即可，依据γ＋γ＝消去γ.
由已知，得γ＝－(α＋β)，
γ＝－(α＋β)，
∴(α＋β)＋(α＋β)＝γ＋γ＝，
整理得出(α－β)的值即可．
．证明：要证＋＋≤，
∵＋＋＝，
故只要证＋＋≤(＋＋)，
即证＋＋＋＋＋≥，
亦即证[(＋)＋(＋)＋(＋)]≥，
而这是显然的，∴原不等式成立．
．证明：∵，则.。

高二数学选修1-2模块综合检测题(北师大版附答案)

高二数学选修1-2模块综合检测题（北师大版附答案）模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝3－i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】z＝3－i在复平面内对应的点为(3，－1)，故选D.【答案】D2．对a，b∈R＋，a＋b≥2ab，大前提x＋1x≥2x•1x，小前提所以x＋1x≥2.结论以上推理过程中错误的为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误【解析】小前提错误，应满足x>0.【答案】B3．复数z＝－1＋2i，则z的虚部为()A．1B．－1C．2D．－2【解析】由z＝－1＋2i，得z＝－1－2i，故z的虚部是－2.【答案】D4．用火柴棒摆“金鱼”，如图1所示：图1按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2【解析】第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2. 【答案】C5．(2013•山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为()图2A．0.2,0.2B．0.2,0.8C．0.8,0.2D．0.8,0.8【解析】由程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a＜0，∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a＜0，a＝－0.2＋1＝0.8，a＞0.∵0.8＜1，输出a＝0.8.当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.∵0.2＜1，输出a＝0.2.【答案】C6．计算函数y＝－1，x>0，0，x＝0，1，x图3A．①y＝0②x＝0？③y＝1B．①y＝0②xC．①y＝－1②xD．①y＝－1②x＝0？③y＝0【解析】∵当x>0时，y＝－1，故①为y＝－1，∵当x当x＝0时，y＝0，故③为y＝0.【答案】C7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为()A.89B．0.8C．0.72D.98【解析】设A＝{种子发芽}，AB＝{种子发芽，又成活为幼苗}，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)•P(A)＝0.9×0.8＝0.72.【答案】C8．(2013•湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x ＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由正负相关性的定义知①④一定不正确．【答案】D9．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是()图4①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③【解析】由平面内两条直线位置关系的分类填写．【答案】C10．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B、A与B、A 与B、A与B中，满足相互独立的有()A．1对B．2对C．3对D．4对【解析】事件A，B为相互独立事件，同时A与B，A与B，A与B都是相互独立的．【答案】D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．(2013•湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.【解析】(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z2＝－2＋3i.【答案】－2＋3i12．在平面直角坐标系中，以点(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点(x0，y0，z0)为球心，半径为r的球面的方程为________．【答案】(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r213．(2013•商洛高二检测)已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为______________，…，推广到第n个等式为__________________．(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)【解析】根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果．【答案】1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋51－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1•n2＝(－1)n＋1•(1＋2＋3＋…＋n) 14．已知等式□3×6528＝3□×8256中“□”表示的是同一个一位数字．算法框图(如图5所示)表示的就是求等式中“□”表示的数字的算法，请将算法框图补充完整．其中①处应填______，②处应填______．图5【解析】①处应填“y＝x？”，因为y＝x成立时，则输出i，否则指向②，并转入循环，因此②应具有计数功能，故应填“i＝i＋1”．【答案】y＝x？i＝i＋115．给出下面的数表序列：图6其中表n(n＝1,2,3)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为an，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49.则(1)a5＝________；(2)数列{an}的通项an＝________.【解析】(1)a5＝129，(2)依题意，an＝1×1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n －1，利用错位相减法可得an＝(n－1)×2n＋1.【答案】(1)129(2)(n－1)×2n＋1三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2013•临汾检测)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数57883合计2390113利用2×2列联表的独立性检验估计患桑毛虫皮炎病与采桑是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？【解】a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，∴a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.∴χ2＝n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d＝113× 18×78－5×12 230×83×23×90≈39.6>6.635.∴有99%的把握认为患桑毛虫皮炎病与采桑有关系，认为两者有关系会犯错误的概率是1%.17．(本小题满分12分)某市居民2009～2013年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：年份20092010201120122013货币收入x4042444750购买商品支出Y3334363941图7(1)画出散点图，试判断x与Y是否具有相关关系；(2)已知b＝0.842，a＝－0.943，请写出Y对x的回归直线方程，并估计货币收入为52(亿元)时，购买商品支出大致为多少亿元？【解】(1)由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x，支出为因变量Y.作散点图，从图中可看出x与Y具有相关关系．(2)Y对x的回归直线方程为y＝0.842x－0.943，货币收入为52(亿元)时，即x＝52时，y＝42.841，所以购买商品支出大致为43亿元．18．(本小题满分12分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd≥1矛盾．所以a，b，c，d中至少有一个是负数．19．(本小题满分13分)已知方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实数根，求实数m的值．【解】设方程的实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，因为x0，m∈R，所以方程变形为(x20＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，由复数相等得x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0，解得x0＝－12，m＝112，故m＝112.20．(本小题满分13分)(2013•南昌检测)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在每一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．【解】记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3A4＋B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)设“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.21．(本小题满分13分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)求证：tan(x＋π4)＝1＋tanx1－tanx；(2)设x∈R，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x＋a)＝1＋f x 1－f x ，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．【解】(1)证明tan(x＋π4)＝tanπ4＋tanx1－tanπ4tanx＝1＋tanx1－tanx.(2)猜想：f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．∵f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝1＋f x＋a 1－f x＋a ＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f x ＝－1f x ，∴f(x＋4a)＝－1f x＋2a ＝－1－1f x ＝f(x)，∴f(x)是以T＝4a为周期的周期函数．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)

2019—2020年北师大版高中数学选修1-2综合学习与测试(三)及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2综合学习与测试(三)可能用到的公式或数据：1122211()()ˆ()ˆˆn ni i i i i i nn i ii i x x y y x y nx y b x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（） A 、预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B 、解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C 、可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D 、可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上2、工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ6090y x =+，下列判断正确的是（）A 、劳动生产率为1000元时，工资为50元()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22B 、劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C 、劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D 、劳动生产率为1000元时，工资为90元3、在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大，则两个变量有关系的可能性就( ) A 、越大B 、越小C 、无法判断D 、以上对不对 4、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为( )5、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A 、①②③B 、②③④C 、②④⑤D 、①③⑤6、设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1c a +的值( )A 、都大于2B 、至少有一个不大于2C 、都小于2D 、至少有一个不小于27、i 是虚数单位，若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i ，则x 、y 的值分别为（）.A 、7，1B 、1，7C 、1，-7D 、-1，78、复数25-i 的共轭复数是（） A 、2-iB 、-2-iC 、2+iD 、-2+i9、复数3)2321(i +的值是（） A 、iB 、-iC 、1D 、-110、根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（）A 、12B 、19C 、14.1D 、-3011、下面框图属于（） A 、流程图 B 、结构图 C 、程序框图 D 、工序流程图12、根据右边的结构图，总经理的直接下属是（） A 、总工程师和专家办公室B 、开发部C 、总工程师、专家办公室和开发部D 、总工程师、专家办公室和所有七个部第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)13、在研究身高和体重的关系时，求得相关指数≈2R _______，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

【创新设计】高中数学北师大版选修1-2练习：综合检测卷(含答案解析)

综合检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 A解析 ∵1－3i 1－i ＝(1－3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i 2＝2－i ，∴1－3i 1－i的共轭复数是2＋i. 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x －20＝12，x ＝32.3．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误答案 A解析对数函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)，当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数，故大前提错误．4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4答案 A解析因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76C ．123D ．199答案 C解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( ) A ．a ，b 都能被3整除 B ．a ，b 都不能被3整除 C ．a ，b 不都能被3整除 D ．a 不能被3整除答案 B解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．8．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a|2＝a 2类比得到复数z 的性质|z|2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个不同实数根的条件是b 2－4ac>0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C)有两个不同复数根的条件是b 2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 答案 C9．执行如图所示的算法框图，若输入n ＝10，则输出S 等于( )A.511B.1011C.3655D.7255 答案 A解析执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.10.已知x>0，由不等式x ＋1x≥2x·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于( )A ．2nB ．3nC ．n 2D ．n n 答案 D解析由两个不等的结构特点知， x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n ＝n ＋1.所以a ＝n n .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P<Q解析要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a(a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P<Q.12．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．答案一解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0－sin θ<0，所以θ为第一象限角．13．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______． ①0.504；②0.994；③0.496；④0.06. 答案 ②解析 A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知 P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 14．复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内的对应点位于第________象限．答案一解析由题意可得11－x 2>0，解得－1<x<1，故2－2x >0，所以复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内对应点位于第一象限．15．已知下列框图，若a ＝5，则输出b ＝________.答案 26解析因a ＝5，所以5>5不成立，判断框执行“否”，即b ＝52＋1＝26. 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1.∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．17．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)18．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：0.01的前提下认为态度与工作积极性有关？解利用公式得χ2＝278×(55×52－73×98)2153×125×128×150≈13.959>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．19．某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解 (1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：因此，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1y 2i ＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得：b ＝∑5i ＝1x i y i －5x ·y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为：y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．20．画出计算函数y ＝|2x －3|的函数值的框图．(x 由键盘输入) 解21．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33， f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 证明：f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3(3＋3x ) ＝3＋3x 3(3＋3x )＝33.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)

一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（）A ．222222a b b c a c ++B ．222222122331s s s s s s ++ C ．222a b c ++D ．222123s s s ++ 2．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得152x +=，类似上述过程，则222+++=（）A ．2B ．1C ．2-D ．1-3．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++=（）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12754．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（） A ．62B ．63C ．64D ．655．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；6．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（） A ．2425B ．1725C ．1625D ．357．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（）A ．21B ．22C ．23D ．258．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．下列说法中正确的个数是（）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．410．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过2+2+2+...“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（）A 21B 21C 23D 3211．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．15．已知a ，b 是正整数，ab ，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a bx y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 16．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.17．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.18．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.19．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______.20．过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4∶5，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_______.三、解答题21．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 22．数列{}n a 中，()11n a n n =+，前n 项的和记为n S ．（1）求123,,S S S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想． 23．用综合法或分析法证明：（1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>． 24．观察以下3个等式：1113211=⨯⨯+, 1121335221+=⨯⨯⨯+，1113133557231++=⨯⨯⨯⨯+，（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N *）；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N *）． 25．（1）已知正数,a b 满足2a b ab +≤，求证：29a b +≥；（2）求证：1，3不可能是一个等差数列中的三项. 26．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明；（3）求证100a 能被15整除．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即ABC S =△ 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．A解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.3．D解析：D 【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解. 【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，1+2+ (50)(150)502+⨯=1275. 故选：D 【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，根据勾股定理得a 2+b 2＝c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E 的面积+正方形F 的面积＝正方形A 的面积，正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形B 的面积，正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， …以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1．故选A ．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．6．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论．【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--，故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+，即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．7．D解析：D 【分析】分析题意，求出数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，即可判断出结果. 【详解】由题意知，这个数表的前n 行的偶数的个数为()12n n +，所以，前n 行的最后一个偶数为()1n n +，当44n =时，44451980⨯=，当45n =时，45462070⨯=，所以20201980220ij a ==+⨯，即2020是第45行的第20个偶数，亦即2020这个数位于第45行第20个，所以452025i j -=-=，故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列与推理能力与计算能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ．【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。

新北师大版高中数学选修1-2第二章《框图》检测(含答案解析)(3)

一、选择题1．下图所示的算法流程图最后输出的结果是（）A ．1B ．4C ．7D ．112．《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输出的结果为( )A ．81B ．74C ．121D ．169 3．下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤ 4．按照程序框图(如图)执行，第4个输出的数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．执行如下程序框图，如果输入的[,]4x ππ∈-，则输出y 的取值范围是（）A ．[1,0]-B ．[1,2]-C ．[1,2]D ．[1,1]- 6．执行如下程序框图，如果输入的12x π=-，则输出y 的值是（）A ．312B ．312-C ．312D ．3127．一程序框图如图所示，如果输出的函数值在区间[]1,2上，那么输入的实数x 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．[]1,0-C ．[)1,+∞ D ．[]0,1 8．运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于A ．10-B ．3-C ．3D ．19．程序框图如下图所示，当1516A =时，输出的k 的值为（）A ．14B ．15C ．16D ．1710．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．511．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．512．下列程序框能表示赋值、计算功能的是（）A．B．C．D．二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的T的值为________________．14．按如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的的值为，若输出，则输入的值为，则的取值范围是________．15．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为________．16．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是________.17．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间（单位：毫秒）．信息由结点A传输到结点B所需的最短时间为_____毫秒．18．下列程序运行的结果为_____.i=1;S=0;while S<=30S=S+i;i=i+1;endprint(%io(2),i);19．按右面的程序框图运行后,输出的S 应为_______．20．如图是计算1111232010232010+++++⋅⋅⋅++的值的程序框图．（I ）图中空白的判断框应填，执行框应填；（II ）写出与程序框图相对应的程序．三、解答题21．明天小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，洗脸、刷牙7分钟，煮牛奶15分钟，吃早饭10分钟，查公交线路图9分钟，给出差在外的父亲发手机短信6分钟，走到公共汽车站10分钟，等公共汽车10分钟．小强粗略地算了一下，总共需要75分钟，为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，不幸的是他一下子睡到6：50，请你帮小强安排一下时间，画出一份郊游出行前时间安排流程图，使他还能来得及参加此次郊游．22．已知数列}{n a 的各项均为正数，观察程序框图，当31=a ，3=k 时，91=S .（1）求数列}{n a 的通项；（2）令n an b 2=，求m b b b +++ 21的值．23．（本小题满分8分）如图给出了一个程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 的值．（1）写出相应的程序；（2）如果输入的x 的值与输出的y 的值相等，试求出满足条件的所有x 的值． 24．执行如图所示的程序框图，当输入实数x 的值为1-时，输出的函数值为2；当输入实数x 的值为3时，输出的函数值为7.（1）求实数,a b 的值，并写出函数()f x 的解析式；f x 的x的取值范围.（2）求满足不等式()125．某地区移动公司推出10086电话服务，其中话费查询业务流程如下图所示：如果某人用手机查询该手机移动号码的话费余额，请画出操作的流程图．26．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下面的程序框图所示，求甲胜的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】S＝1，i＝1第一次执行循环体后，S ＝2，i ＝2，不满足条件；第二次执行循环体后，S ＝4，i ＝3，不满足条件；第三次执行循环体后，S ＝7，i ＝4，满足退出循环的条件；故输出的S 值为7，故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2．C解析：C【解析】【分析】运用流程图来求出结果，执行循环语句当判定不符合条件时退出循环，求出结果【详解】模拟程序的运行，可得1,0,1,a S n ===满足条件a 40≤，执行循环体，1,2,8,S n a ===满足条件a 40≤，执行循环体，9,3,16,S n a ===满足条件a 40≤，执行循环体，25,4,24,S n a ===满足条件a 40≤，执行循环体，49,5,32S n a ===满足条件a 40≤，执行循环体，81,6,16,S n a ===满足条件a 40≤，执行循环体，1217,48,S n a ===，不足条件a 40≤，退出循环，输出的121S =故选C【点睛】本题主要考查了程序框图，只要执行循环语句即可求出结果，属于基础题。

北师大版数学选修1-2练习(第3章)综合法(含答案)

综合法同步练习【选择题】1、已知函数,11lg)(xx x f +-=若,)(b a f =则)(a f -等于（） A 、b B 、b - C 、b 1 D 、b 1- 2、已知函数122)12()(+-+=x x a x f 是奇函数，那么实数a 的值等于（） A 、1 B 、-1 C 、0 D13、︒+︒15cot 15tan 等于 ( ) A 、2 B 、32+ C 、4 D 、334 4、综合法是（）A 、执果索因的逆推法B 、执因导果的顺推法C 、因果分别互推的两头凑法D 、原5、a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是（）A 、221≥++ab b aB 、4)11)((≥++ba b a C 、b a ab b a +≥+22D 、ab ba ab ≥+2【填空题】6、若0<a<1,0<b<1,且b a ≠,则a+b,ab 2,22b a +,2ab 中最大的是_____________.7、若a>0,b>0,且满足b a ab ++≥1,则a+b 的最小值为_____________.8、设,12,0,022=+≥≥b a b a 则21b a +的最大值为______________. 【解答题】9、若),0,,,(1b a y x b a yb x a ≠>=+且求证：2)(b a y x +≥+10、已知a,b 是正数，且a+b=1,求证：411≥+ba11、设a>0,b>0,a+b=1,求证：（1）8111≥++abb a （2）225)1()1(22≥+++b b a a参考答案1、B2、A3、C4、B5、D6、a+b7、222+8、423 9、,0,,,>b a y x 且1=+yb x a 。

2)(2))((b a ab b a y xb x ya b a y b x ay x y x +=++≥+++=++=+∴ ∴原不等式成立。

最新北师大版高中数学选修1-2测试题全套及答案

最新北师大版高中数学选修1-2测试题全套及答案章末综合测评(一) 统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A．0.75 B．0.60C．0.48 D．0.20【解析】记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝P ABP A＝0.600.80＝0.75.【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C ．【答案】 C5．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518 C ．16D ．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种， ∴P (B |A )＝P AB P A＝13. 【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )p (χ2>k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 p (χ2>k )0.050.0250.0100.0050.001A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P ＝1－14＝34.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( ) A ．p ＋q －2pq B ．p ＋q －pq C ．p ＋qD ．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p (1－q )，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q (1－p )，故恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2qp .【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A ：“三个点数都不相同”，B ：“至少有一个6点”，则P (B |A )为( )A ．12B ．6091C ．518D ．91216 【解析】 P (A )＝6×5×46×6×6＝120216，P (AB )＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P ABP A＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C 点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×700×32－60×2002760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y 的取值如下表：x 2 3 5 6 y2.74.36.16.9从散点图分析y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ＝1.02x ＋a ，则a ＝________. 【解析】由题意得x ＝4，y ＝5，又(x ，y )在直线y ＝1.02x ＋a 上，所以a ＝5－4×1.02＝0.92.【答案】 0.9214．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________.【解析】由P (B |A )＝P AB P A得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310.【答案】310 15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男 13 10 女720已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖气温(℃) 18 13 10 －1 杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ＝y －b x 【解析】根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12. 因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸【解】 χ2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，把相关数据代入公式，得 χ2＝85×5×28－40×12217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”． 19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女总计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，P (χ2≥k ) 0.05 0.01 k3.8416.635【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷体育迷总计男 30 15 45 女451055合计 7525 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×30×10－45×15275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵ P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127. 21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】(1)散点图如下图所示：利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x 2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：月收入[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数51015105 5赞成人数48852 1 将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计(2)购令的概率．【解】(1)非高收入族高收入族总计赞成25328不赞成15722 总计401050χ2＝50×25×7－15×3240×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所求事件数，因此所求概率P＝7 10 .章末综合测评(二) 框图(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )A．程序框图B．工艺流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】这是设计生产过程，应为工艺流程图，选B．【答案】 B2．在下面的图示中，是结构图的是( )A．Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件C．D．【解析】A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．【答案】 B3．如图1是一结构图，在处应填入( )A．图像变换B．奇偶性C．对称性D．解析式【解析】函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B．【答案】 B4．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图2所示：图2从图中可知在审查过程中可能不被通过审查的环节的处数有( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】该题是一个实际问题，由审查流程图可知有3个判断框，即3处可能不被审查通过，故选C．【答案】 C5．(2015·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )图3A ．67B ．37C ．89D ．49【解析】第一次循环：S ＝11×3，i ＝2；第二次循环：S ＝11×3＋13×5，i ＝3；第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，故选B ．【答案】 B6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )【解析】由学校教职工组织结构易知选A ．【答案】 A7．(2015·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )图4A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？【解析】由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112？.【答案】 C8．(2016·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )图5A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位【解析】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．【答案】 A9．(2014·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S 属于( ) 【导学号：67720010】图6A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]【解析】由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于[－3,6]．【答案】 D10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工艺是( )图7A．设备安装B．土建设计C．厂房土建D．工程设计【解析】结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．【答案】 A11．(2016·太原高二检测)某流程图如图8所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )图8A．f(x)＝|x|x B．f(x)＝ln(x2＋1－x)C．f(x)＝e x＋e－xe x－e－xD．f(x)＝sin2x1＋cos2x【解析】由框图知，f(x)为有零点的奇函数，A，C中函数f(x)无零点；D中函数f(x)为偶函数；B中函数f(x)＝ln(x2＋1－x)满足f(0)＝0且f(－x)＝ln(x2＋1＋x)＝ln1x2＋1－x＝－ln(x2＋1－x)＝－f(x)，故选B．【答案】 B12．设十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1,2，…，10)个人的水桶需时T i分钟，假设这些T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他们接水次序，使他们总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少( ) A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B．从T i中最小的开始，按由小到大的顺序排队C．从靠近诸T i平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队D．任意顺序排队接水的总时间都不变【解析】从T i中最小的开始，由小到大的顺序排队接水可使总时间最少，如只有T1，T2两人接水，T1需10分钟，T2需5分钟，若T1先接是需要10＋(10＋5)＝25分钟，若T2先接则只需要5＋5＋10＝20分钟．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．实数系的结构图如图9所示，其中1,2,3三个方格中的内容依次是________，________，________.图9【答案】有理数整数零14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________.图10【解析】基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．【答案】指数函数、对数函数、幂函数15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________.【解析】由题意可画出工序流程图如图所示：A C D B∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.【答案】 316．(2014·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n 的值为________.图11【解析】由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．若有得票多者，则被选为班长；若票数相同，则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．【解】18．(本小题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．【解】程序框图如图所示：19．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．【解】知识结构图如图所示：20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：图12试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．【解】先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．21．(本小题满分12分)国内知名网站搜狐设有房地产频道，其栏目结构图如图13所示：图13(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？(2)某人在建材装修方面有法律咨询方面需求应如何操作？【解】(1)搜索租房信息：打开搜狐网站→房地产频道→租房搜索即可．(2)建材装修方面法律咨询：打开搜狐网站→房地产频道→建材装修→律师楼．22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．根据以上信息，绘制出其组织结构图．【解】该公司组织结构图如下：章末综合测评(三) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( )A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是( )A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有( ) A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝( )图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n－5＝n－1n＋62，∴a2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011.【答案】 D11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝( )图2A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝12×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x2 a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.【答案】经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1 14．观察下列等式：13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，…照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×1×1＋12,13＋23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×2×2＋12＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×3×3＋12＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12n n ＋12. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12n n ＋1215．(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n n －32＝n n ＋12.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n n －32·(n －2)＝n n －1n －22.【答案】n n ＋1212n n －1n －22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34. 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos α－12sin α。

高中数学期末综合测试(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题

单元综合测试五(期末综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C.2 D ．2 【答案】B【解析】本题考查复数的运算和复数的模． ∵z ＝1i －1＝－12－12i ，∴|z |＝(－12)2＋(－12)2＝22.故选B. 2．已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】A【解析】 ∵z ＝2－i ，∴z ＝2＋i ，∴z ·z ＝(2＋i)(2－i)＝4－(－1)＝5.3．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b ∈R )”，其反设正确的是( ) A ．a 、b 至少有一个不为0 B ．a 、b 至少有一个为0 C ．a 、b 全不为0 D ．a 、b 中只有一个为0 【答案】A【解析】对“全为0”的否定是“不全为0”，故选A.4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca ＝1 D ．ax ＋by ＋zc ＝1 【答案】A【解析】由类比推理可知，方程为x a ＋y b ＋zc＝1.5．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S <8B ．S <9C ．S <10D ．S <11 【答案】B【解析】本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i ＝1，S ＝0；i ＝2，S ＝2×2＋1＝5；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S <9.6．对a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误【答案】B【解析】小前提错误，应满足x >0.7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．7 【答案】C【解析】本题考查程序框图中的循环结构．i ＝1，s ＝1→s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝2→s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝3→s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝4→输出s .8．甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91 【答案】B【解析】两人都击中概率P 1＝0.49，都击不中的概率P 2＝0.09，∴恰有一人击中的概率P ＝1－0.49－0.09＝0.42.9．将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )1 3 5 7 17 15 13 11 9 19 21 23 25 27 29 31A ．1 915B ．1 917C ．1 919D ．1 921 【答案】B【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，归纳可得第31行有61个奇数，且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．又因为前31行共有1＋3＋…＋61＝961个奇数，则第31行第1个数是第961个奇数即是1 921，则第3个数为1 917.10．已知x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2－2m 恒成立，则实数m 的取值X 围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 【答案】C【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋4＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号．∴m 2－2m <8，即m 2－2m －8<0，解得－2<m <4. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R )．【答案】4－4i【解析】 i ＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋5i 5＋6i 6＋7i 7＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝______.【答案】4【解析】本题考查程序框图的循环结构． i ＝1，A ＝2，B ＝1； i ＝2，A ＝4，B ＝2； i ＝3，A ＝8，B ＝6； i ＝4，A ＝16，B ＝18；此时A <B ，则输出i ＝4.13．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，若f (1)＝2＋3，则f (2 009)＝________.【答案】2＋ 3【解析】 ∵f (x )＝1＋f (x －2)1－f (x －2)，∴f (x －2)＝1＋f (x －4)1－f (x －4).代入得f (x )＝1＋1＋f (x －4)1－f (x －4)1－1＋f (x －4)1－f (x －4)＝2－2f (x －4)＝－1f (x －4).∴f (x )＝f (x －8)，即f (x )的周期为8. ∴f (2 009)＝f (251×8＋1)＝f (1)＝2＋ 3.14．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为________．【答案】59【解析】设数1,3,6,10,15,21，…各项为a 1，a 2，a 3，…，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，即数列{a n ＋1－a n }构成首项为2，公差为1的等差数列．利用累加法得a 28＝a 1＋(2＋3＋…＋28)， a 30＝a 1＋(2＋3＋…＋28＋29＋30)， ∴a 30－a 28＝29＋30＝59.15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中，如图，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．实数m 为何值时，复数z ＝m 2(1m ＋5＋i)＋(8m ＋15)i ＋m －6m ＋5.(1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应点在第二象限？【解析】 z ＝m 2＋m －6m ＋5＋(m 2＋8m ＋15)i ，(1)z 为实数⇔m 2＋8m ＋15＝0且m ＋5≠0，解得m ＝－3.(2)z 为虚数⇔m 2＋8m ＋15≠0且m ＋5≠0，解得m ≠－3且m ≠－5. (3)z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5＝0m 2＋8m ＋15≠0，解得m ＝2.(4)z 对应的点在第二象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＋5<0m 2＋8m ＋15>0，解得m <－5或－3<m <2.17．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论．【解析】 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.18．已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．【证明】(1)∵f′(x)＝－3x2－1＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，∴y＝f(x)是定义域上的减函数．(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，f(x1)＝f(x2)＝0.∵y＝f(x)在R上单调递减，∴当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．19．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？【解析】 (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．20．已知数学、英语的成绩分别有1,2,3,4,5五个档次，某班共有60人，在每个档次的人数如下表：(1)求m ＝4，n ＝3(2)求在m ≥3的条件下，n ＝3的概率；(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值．【解析】本题为条件概率和相互独立事件的概率． (1)m ＝4，n ＝3时，共7人，故概率为P ＝760.(2)m ≥3时，总人数为35.当m ≥3，n ＝3时，总人数为8，故概率为P ＝835.(3)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，则P (m ＝2)·P (n ＝4)＝P (m ＝2，n ＝4)． ∴1＋b ＋6＋0＋a 60×3＋0＋1＋b ＋060＝b 60.故总人数为60，知a ＋b ＝13. ∴13×(4＋b )＝b .∴a ＝11，b ＝2.21．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解析】 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结构共有7种，它们是：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)2 60×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-2全册基础知识测试题2及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A．0.56 B．0.48C．0.75 D．0.6【解析】设甲击中为事件A，乙击中为事件B．因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.【答案】 A2．下列说法正确的是( )A．P(B|A)＜P(AB) B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0【解析】由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B) P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B．【答案】 B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A．110B．210C．810D．910【解析】某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A．【答案】 A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是( ) A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件【解析】由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．【答案】 A2．如图121，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图121A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.06【解析】系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】 B二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】设掷两枚骰子点数不同记为事件A，有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝2×530＝13.【答案】1 37．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P(A)＝1－P(A)＝1－(1－0.80)×(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】0.988．如图122，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”．则：【导学号：67720004】图122(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.【解析】正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P(A)＝2π.(2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，∴P(AB)＝12π，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.【答案】(1)2π(2) 1 4三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．【解】画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P(A)＝1836＝12，P(AB)＝636＝16， ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1612＝13. 则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝915＝35. [能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( ) A ．2个球都是白球的概率 B ．2个球都不是白球的概率 C ．2个球不都是白球的概率 D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．【答案】 C2．如图123，已知电路中4个开关闭合的概率都是12且互相独立，灯亮的概率为( )图123A．316B．34C．1316D．14【解析】因为灯不亮的概率为12×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12×12＝316，所以灯亮的概率为1－316＝1316.【答案】 C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率为________.【解析】设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN 表示两次都抽到A，P(M)＝452＝113，P(MN)＝4×352×51＝113×17，P(N|M)＝P(MN)P(M)＝117.【答案】1 174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－45×56×23＝19， ∴恰有两个项目成功的概率为 29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝190， ∴至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.。

高中数学北师大版选修1-2学案3.3.1 综合法 Word版含解析

§综合法与分析法．综合法．了解综合法的思考过程、特点．(重点)．会用综合法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理综合法阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．．综合法的定义、公理、条件从命题的出发，利用定义演绎推理定理，通过，运算法则及一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．．综合法证明的思维过程用表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图--表示为：→→→…→图--判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()综合法是由因导果的顺推证法．( )()综合法证明的依据是三段论．( )()综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )【解析】()正确．由综合法的定义可知该说法正确．()正确．综合法的逻辑依据是三段论．()正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【答案】()√()√()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]用综合法证明三角问题在△中，，，分别为内角，，的对边，且＝(－) ＋(－) .()求证：的大小为°；()若＋＝.证明：△为等边三角形．【精彩点拨】()利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求. ()结合()中的大小利用三角恒等变形证明＝＝＝°.【自主解答】()由＝(－) ＋(－)·，得＝(－)·＋(－)，即＝＋－，所以＝＝，所以＝°.()由＋＋＝°，得＋＝°，由＋＝，得＋(°－)＝，＋( °－° )＝，＋＝，即(＋°)＝.因为°<<°，所以°<＋°<°，所以＋°＝°，即＝°，所以＝＝＝°，。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)

一、选择题1．观察下列各式：177=，2749=，37343=，，则20207的末位数字为（）A ．7B ．9C ．3D ．12．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（） A ．380B ．382C ．384D ．3863．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（） A ．5或32 B ．10C ．64D ．10或644．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（）A ．381B ．361C ．362D ．4005．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,4,55338815152424====8888n n=具有“穿墙术”，则n =（） A ．35B ．48C ．63D ．807．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)8．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20189．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩10．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（） A ．7B ．6C ．5D ．411．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定二、填空题13．设()f x ax b =+（其中a ，b 为实数），()()1f x f x =，()()()1n nf x ff x +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，若22a b +=-，且()243244k f x x =-+，则k =__________.14．若数列{}n a 是等差数列，则数列()*1n n mn a a b m N m++++=∈也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列. 15．若()()()12f k k k k =+++++()2k k N *∈，则()()1f k f k +-=________.16．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 17．某班级A,B,C,D 四位学生A B C D 、、、参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是A 或B ；历史老师预测得冠军的是C ；政治老师预测得冠军的不可能是A 或D ；语文老师预测得冠军的是B ，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是_____。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测卷(答案解析)

一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（）A BC D2．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值2a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A ．aB ．2a C ．3a D ．3a 3．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，则20205的末四位数字为（） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81254．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48966．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证<”索的因应是（）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --8．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了9．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅10．下面使用类比推理正确的是（）A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a cB ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4bD ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 2 11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2D ．至少有一个不小于212．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值2a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（）A B C a D 二、填空题13．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.14．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.第1列第2列第3列第4列第5列第1行2 46 8 第2行 16141210第3行 18 202224 第4行 3232 28 26 ……15．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________． 16．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.17．有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）18．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．19．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为__________20．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.三、解答题21．23522．若0<<3a ，03b <<，03c <<，求证：()3a b -，()3b c -，()3c a -不可能同时大于94. 23．观察以下等式： 13＝12 13+23＝（1+2）2 13+23+33＝（1+2+3）2 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）请用含n 的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n 3+n ，求S 10． 24．（1）设a b 0≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+；（267225 25．（18653< .（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； ②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式． 26．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即222123ABC S s s s =++△. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．D解析：D 【解析】试题分析：类比在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a , 在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a 可以得到,23BF a BO AO a OE ===-, 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到222BO BE OE =+，把数据代入得到12OE a =∴棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4123a a ⨯=，故选D.考点：类比推理．【方法点晴】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．3．C解析：C 【分析】根据5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，观察可知415k +的末四位数字3125，425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中，猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中，由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，分析可得n 1n 2n a a a ++=-，进而变形可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，据此可得()()()222212101232134231011910a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+⋯⋯+-，计算可得答案．【详解】解：根据题意，数列{}n a 满足n n 2n 1a a a ++=-，即n 1n 2n a a a ++=-，两边同乘以n 1a +，可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，则()()22221210123213423a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+()1011910211011a a a a 1a a a a 1155894895⋯⋯+-=-+=-+⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形，属中档题．6．C解析：C 【分析】由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n 组中，则有()211010n -<，21010n ≥，解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解．【详解】由已知有第n 组有2n -1个连续的奇数，则前n 组共有()2121=2n n n +-个连续的奇数，又2019为第1010个正奇数，设2019在第n 组中，则有()211010n -<，21010n ≥，解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，即2019=（32，49），故选：C ．【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.7．C解析：C 【分析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.< 只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.8．B解析：B 【分析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.9．A解析：A 【分析】由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案．【详解】由已知在平面几何中，若ABC ∆中，,,AB AC AE BC E ⊥⊥是垂足，则2AB BD BC =⋅，类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面,ABC AO ⊥面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅．故选A ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．10．D解析：D 【分析】类比推理中，对于不成立的选项通过举反例的形式说明即可. 【详解】A ：当b 为零向量时，不一定有a c ，故错误；B ：正方体的某一顶点处的三条棱互相垂直，其中没有两条棱是平行的，故错误；C ：取,1a i b i ==--，则方程有实根1x =，此时24a b ≥不成立，故错误；D ：设球上任意一点(,,)P x y z ，则有222||(0)(0)(0)OP x y z =-+-+-2222x y z r ++=，故正确.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明中的类比推理，难度一般.对于一些无法直接证明出真假的命题，可以考虑通过举例的方法尝试推翻结论.11．D解析：D 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案. 【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==正四面体的高为：3a体积为：2313V == 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()12343V a a h h h h h h h h ==⨯+++⇒+++= 故答案选B 【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.二、填空题13．【分析】由已知可归纳推测出的对称中心为再由函数平移可得的对称中心【详解】由题意题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为即由此推测的对称中心为又所以其对称中心为故答案为：【点睛】本题考查归纳与推理涉及解析：2019,20202⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知可归纳推测出1111y x x x n =+++++的对称中心为(,0)2n -，再由函数平移可得12202011120201201912019x x x y x x x x x x +++=+++=++++++++的对称中心. 【详解】由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为10,,1,2--，即120,,,22-- 由此推测1111y x x x n =+++++的对称中心为(,0)2n -.又12202011120201201912019x x x y x x x x x x +++=+++=++++++++ 所以其对称中心为2019,20202⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：2019,20202⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题.14．行列【分析】设位于第行第列观察表格中数据的规律可得出由此可求出的值再观察奇数行和偶数行最小数的排列可得出的值由此可得出结果【详解】设位于第行第列由表格中的数据可知第行最大的数为则解得由于第行最大的数解析：253行2列【分析】设2018位于第m 行第n 列，观察表格中数据的规律，可得出()8120188m m -<≤，由此可求出m 的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出n 的值，由此可得出结果.【详解】设2018位于第m 行第n 列(),,15m n N n *∈≤≤，由表格中的数据可知，第()k k N *∈行最大的数为8k ，则()8120188m m -<≤，解得253m =，由于第252行最大的数为25282016⨯=，所以，2018是表格中第253行最小的数，由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第2列，那么2n =.因此，2018位于表格中第253行第2列.故答案为：253行2列.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.15．1＋＋＋…＋＜【分析】根据规律得到不等式左边为1＋＋＋…＋右边为得到答案【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和即1＋＋＋…＋不等式的右边为所以第n 个不等式应该为1＋＋＋…＋＜故答案为：1＋＋解析：1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 【分析】根据规律得到不等式左边为1＋212＋213＋…＋21(1)n +，右边为211n n ++，得到答案. 【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋212＋213＋…＋21(1)n + 不等式的右边为211n n ++，所以第n 个不等式应该为1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 故答案为：1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.16．2816【分析】观察数表可知每一行的首尾两项数字的和成等比数列由于最后一行的数字等于倒数第二行两项的和所以只要根据规律求出第9行的首尾两项之和即可【详解】由题意可知最后一行为第10行第一行首尾两项的解析：2816【分析】观察数表可知，每一行的首尾两项数字的和成等比数列，由于最后一行的数字等于倒数第二行两项的和，所以只要根据规律求出第9行的首尾两项之和即可.【详解】由题意可知最后一行为第10行，第一行首尾两项的和为11，第二行首尾两项的和为22，第三行首尾两项的和为44，，则第9行首尾两项的和为81122816⨯=，所以第十行的数字是2816，故答案是：2816.【点睛】该题考查的是有关归纳推理的问题，涉及到的知识点有根据题中所给的条件，归纳出对应的结论，属于简单题目.17．丁【解析】【分析】分四种情况讨论即四位老师只有一个老师猜对进行逻辑推理得出答案【详解】若甲老师猜对则其他三位老师全部猜错乙老师猜错则号获得第一名这与甲老师的猜测矛盾这种情况不可能；若乙老师猜对则其他解析：丁【解析】【分析】分四种情况讨论，即四位老师只有一个老师猜对，进行逻辑推理得出答案。

2018-2019学年(新课标)北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评3及解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.0676，差值较大．【答案】 C3．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A．0 B．95% C．99% D．都不正确【解析】计算出χ2与两个临界值比较，χ2＝1 000×(39×494－6×461)245×955×500×500≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( ) A．99.9% B．99.5%C．99% D．97.5%【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表：糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史16 93 109阴性家族史17 240 257总计33 333 366 根据列联表中的数据，得到χ2＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】 D5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y 1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d . 选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D ．【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表：喜欢文科喜欢理科总计男生 8 28 36 女生 20 16 36 总计284472中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 【解析】通过计算χ2＝72×(16×8－28×20)236×36×44×28≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．【答案】有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：【导学号：67720006】专业性别非统计专业统计专业男13 10女7 20为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.【解析】∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________.(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？【解】由题意列出2×2列联表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏10 2 12 不喜欢玩电脑游戏 3 7 10 总计13 9 22 (2)由公式得：χ2＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵6.418＞3.841，∴有95%的把握认为玩电脑游戏与认为作业多少有关系．10．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客24 31 55女乘客8 26 34总计32 57 89由公式可得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689＞2.706，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．[能力提升]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．【答案】 C2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大总计男生18 9 27女生8 15 23总计26 24 50 若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重总计偏高 4 1 5不偏高 3 12 15总计7 13 20【解析】根据公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得，χ2＝20×(4×12－1×3)25×15×7×13≈5.934，因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙0 9 0 1 5 6 87 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 0 7 1 3 59 8 7 7 6 6 5 7 8 98 8 7 7 5图12 4(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班总计优秀不优秀总计下面临界表仅供参考： P(χ2≥k)0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )【解】 (1)记成绩为87分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，共7个，所以P ＝710.(2)甲班乙班总计优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 总计202040χ2＝40×(6×6－14×14)220×20×20×20＝6.4＞5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。

高二数学北师大版选修1-2章末综合测评(三) 推理与证明 Word版含答案

章末综合测评(三)推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，项属于类比推理，项和项属于归纳推理，而项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】．用反证法证明命题“若直线，是异面直线，则直线，也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则，，，四点共面，所以，共面，这与，是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线，也是异面直线；③假设直线，是共面直线．则正确的序号顺序为( )．③①②．①②③．②③①．①③②【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】．下列推理是归纳推理的是( )．，为定点，动点满足＋＝>，得的轨迹为椭圆．由＝，＝－，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式．由圆＋＝的面积π，猜出椭圆＋＝的面积＝π．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选.【答案】．用反证法证明“，，中至少有一个大于”，下列假设正确的是( )．假设，，都小于．假设，，都大于．假设，，中都不大于．假设，，中至多有一个大于【解析】用反证法证明“，，中至少有一个大于”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设，，中都不大于”，故选.【答案】．下面给出了四个类比推理．①，为实数，若＋＝则＝＝；类比推出：，为复数，若＋＝，则＝＝；②若数列{}是等差数列，＝(＋＋＋…＋)，则数列{}也是等差数列；类比推出：若数列{}是各项都为正数的等比数列，＝，则数列{}也是等比数列；③若，，∈，则()＝()；类比推出：若，，为三个向量，则(·)·＝·(·)；④若圆的半径为，则圆的面积为π；类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为π.上述四个推理中，结论正确的是( )．②③．①②．①④．②④【解析】①在复数集中，若，∈，＋＝，则可能＝且＝，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为，则圆的面积为π；类比推出，若椭圆长半轴长为，短半轴长为，则椭圆面积为π，正确．【答案】．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝.以上通过类比得到的结论正确的个数为( )。

(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(3)

一、选择题1．已知ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c ，类比这一结论可知：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，则R =（）A ．1234+++VS S S SB ．12342+++VS S S SC ．12343+++VS S S SD ．12344+++VS S S S2．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（） A ．己申年 B ．己酉年C ．庚酉年D ．庚申年3．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（）A ．381B ．361C ．362D ．4004．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）5．利用反证法证明：若0x y +=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为06．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π7．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。

2024_2025学年高中数学课时跟踪检测一回归分析含解析北师大版选修1_2

课时跟踪检测（一）回来分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．依据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0 得到的回来方程为y＝bx＋a，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某高校的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回来方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回来直线过样本点的中心(x，y)C．若该高校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该高校某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回来直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回来直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；依据回来直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回来分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8 依据上表可得回来直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若全部样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：依据样本相关系数的定义可知，当全部样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了比照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)(2)求回来方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值．解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线旁边，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15x i －x－y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回来方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回来直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预料在今后的销售中，销量与单价仍旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应探讨中，得到如下数据表：碳含量x (%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20 ℃时电阻(Ω)1518192122.623.626解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回来方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．。