惠州市2017届高三第一次调研考试数学 理科 答案

惠州市2017届高三第一次调研考试数 学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CAAABACCDACD1.C 【解析】由已知可得22222{log 1,log 2,log 4,log 8,log 16}{0,1,2,3,4}B ==，所以{1,2,4}A B = ，所以选C.2.【解析】由(1)|1|2z i i i i -=-+=+，得2(2)(1)21211(1)(1)22i i i z i i i i +++-+===+--+，则z 的实部为212-，故选A ． 考点：复数的代数运算3．【解析】若2a <，则由()1f a =得，231a -=，∴2a =．此时不成立．若2a ≥，则由()1f a =得，23log (1)1a -=，∴2a =，故选A ．考点：函数的零点；函数的值． 4．【解析】将函数2(sin cos )sin()24y x x x π=+=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数1sin()24y x π=+的图象；再向左平移2π个单位，所得函数图象的解析式为11sin()cos 222y x x π=+=，故选：A ．考点：三角函数的图象变换．5．【解析】圆22(2)(2)x y a ++-=，圆心()2,2-，半径a ．故弦心距22222d -++==．再由弦长公式可得2911a =+=；故选B ． 考点：直线与圆的位置关系．6．【解析】111,3;2,;3,;4,2,23k s k s k s k s ==-==-====以4作为一个周期，所以2016,2k s ==，故选A7．【解析】因为422a b +=，所以21a b +=，()21212529b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b a a b =即12a b ==时“=”成立，故选C 考点：基本不等式；等比数列的性质．8．【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，其底面积为：122242⨯⨯⨯=，侧面积为：32232626⨯+⨯=+；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：1212ππ⨯⨯⨯=，侧面积为：33ππ⨯=； ∴组合体的表面积是 π+62+4+6+3π=4π+10+62 故选C ． 9．【解析】1245102635493,3044x y ++++++==== ，中心点为()3,30，代入回归方程得 30273a a =+∴= 936y x x ∴=+∴=时 57y =考点：回归方程10．【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到,,A B C 的距离相等．3SH = ，1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．2SC = ，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，233,33SO OH ∴==，即为O 到平面ABC 的距离，故选A ． 考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．11.【解析】设2222(,),(,),1x y P m n Q x y M a b-=双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)A a B a -(,),(,)QA x a y PA m a n =---=---∵QA ⊥PA ，∴()()0x a m a ny ----+=，可得,nym a x a+=-+ 同理根据QB ⊥PB ，可得ny m a x a -=--两式相乘可得222222n y m a x a-=- ∵点(,)P m n 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，22221m n a b∴-=，整理得22222()b n m a a =- 222221x b y a a-= 故选：C ．12. 【解析】设10x -≤≤，则 01x ≤-≤，()22()()f x x x f x -=-==， 综上，2()f x x =，[]1,1x ∈-，()2()2f x x k =-，[]21,21x k k ∈-+，由于直线y x a =+的斜率为1，在y 轴上的截距等于a ，在一个周期[]1,1-上，0a =时 满足条件，14a =-时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，也满足条件．由于()f x 的周期为2，故在定义域内，满足条件的a 应是 12024k k +-或，k ∈Z ．故选 D ． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 12 14. 6- 15.12+ 16.2017201813．【解析】4,2a b == ，且a 与b夹角为120︒，2216,4a b ∴== ，cos120a b a b ⋅=⋅⋅︒14242⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，()()222212a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，故答案为12．考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积．14.【解析】515()()r rr r a T C x x-+=-，53,122r r -=∴=，15()30,6C a a -==-15．【解析】作出可行域如图所示，当直线z x my =+经过点B 时，z 有最大值，此时点B 的坐标为1(,)11m m m ++，1211m z m m m =+⋅=++，解之得12m =+或12m =-（舍去），所以12m =+. 考点：线性规划.16．【解析】∵1n n a b +=，112a =，∴112b =，∵121n n n b b a +=-，∴112n n b b +=-，∴111111n nb b +-=---，1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.410.50.511.522.5z=x+myx+y=1y=mx y=x BAOxy又∵112b =，∴1121b =--．∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列， ∴111n n b =---，∴1n n b n =+．则201720172018b =．故答案为：20172018． 考点：数列递推式．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由3cos()16cos cos B C B C --=，得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-，...............2分即1cos()3B C +=-， .......................................3分在ABC ∆内,1cos cos()3A B C =-+=．.....................................5分 （Ⅱ）∵0A π<<，1cos 3A =，∴22sin 3A =， 由22ABC S ∆=，得1sin 222bc A =，即6bc =．.........................6分 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，.............................7分 ∴229()2(1cos )()16b c bc A b c =+-+=+-， ∴5b c +=．.................................................................9分 由56b c bc +=⎧⎨=⎩，得23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩．............................................12分考点：1、三角恒等变换；2余弦定理、；3、正弦定理的应用． 18．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）2×2列联表如下： 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100易知2K 的观测值2100(40251520)8.24960405545k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯....................4分因为8.249>6.635，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．..............5分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为25,..............6分 由题意可知2(3,)5X B ,X 的所有可能取值为0,1,2,3,......................7分033327(0)(),5125P X C === 1232354(1)()()55125P X C ===, 2232336(2)()55125P X C ===, 33328(3)()5125P X C ===...........9分X 的分布列为X 0123P27125 54125 36125 8125..................................................................10分26()355E X =⨯=................................................11分 2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=......................................12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，.......................1分2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴...........................................2分又C PC BC = ，PC ⊂面PBC ，BC ⊂面PBC ...................3分⊥∴AC 平面PBC ，.................................................................4分∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ...........................5分 （Ⅱ）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0） 设P （0，0，a ）（0a >），则E （21，21-，2a）， ABCDEPxy z)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2,21,21(a CE -=，.......6分取m =（1，－1，0）则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅CE n CA n ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，.............. 8分 依题意，362,cos 2=+=⋅=><a a nm n m n m ，则2=a ...............9分 于是)2,2,2(--=n .........................................10分设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则32,cos sin =⋅=><=nPA n PA n PA θ， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32 ............................12分20．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设(),M x y ，则(),111MA MB y y k k x x x ==≠±+-， 所以211y y x x ⨯=-+-所以()22112y x x +=≠± （未写出范围扣一分）............4分 （Ⅱ）由已知当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是1y kx =+，........5分联立22121y kx y x ⎧⎪⎨⎪=+=⎩+，消去y 得()222210k x kx ++-=，.....................6分 因为()()()222442810k k k ∆=++=+>，所以k R ∈，...............7分设()()1122,,,P x y Q x y ， 12122221,22k x x x x k k +=-=-++ ......................8分 ()22121212211142222OPQk S OF x x x x x x k ∆+=⨯⨯-=+-⋅=⨯+........10分221111222≤+++⨯=k k 当且仅当0k =时取等号，OPQ ∆面积的最大值为22． .......................................12分考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值． 21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，/2()x af x x-=....................3分 ①若/0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增 ...................4分 ②若0a >，当(0,)x a ∈时，/()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减．当(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增．.................6分（Ⅱ）1111 2 ln 12x x x <<∴-<- 等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->………………7分 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则/(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x+=+-=+-………………9分 由（Ⅰ）知，当1a =时min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即1ln 10x x+-≥................10分 所以/()0F x ≥，则()F x 在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F x F >= 即1111 2 ln 12x x x <<-<-有时………………………………………………………12分 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想22.（本小题满分10分）【解析】证明 （Ⅰ）连接BN ，则AN BN ⊥，……………2分 又,CD AB ⊥则90BEF BNF ∠=∠= ，.......4分A BC DMNE F O即180BEF BNF ∠+∠= ，则,,,B E F N 四点共圆．..............5分（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知2,AC AE AB =⋅ .................6分相似可知：BF BEBA BM=， ()BF BM BA BE BA BA EA ==-, 2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅.........................………………………8分 2222BF BM AB AC AC BF BM AB ∴⋅=-+⋅=,即.............................10分23.（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）将C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标为22650x y x +-+=,.........1分直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数）………………...................2分 将直线的参数方程代入曲线C 的方程整理得28cos 120t t α-+=.......………3分 直线与曲线有公共点，264cos 480α∴∆=-≥ 得33cos cos 22αα≥≤-或 [0,),απα∈∴ 的取值范围为5[0,],66πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.............……………………5分（Ⅱ）曲线C 的方程2222650(3)4x y x x y +-+=-+=化为，其参数方程为32cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）................………………………7分(,)M x y 为曲线C 上任意一点，32cos 2sin 322sin 4x y πθθθ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭ ..........9分x y +的取值范围是[322,322]-+...........................………………………10分24.（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）显然0a ≠，…………………………………………………………1分当0a >时，解集为13[,]a a -， 136,2a a -=-=，无解；…………3分 当0a <时，解集为31[,]aa-，令132,6a a-==-，12a =-，综上所述，12a =-.……………………………………………………5分 （Ⅱ）当2a =时，令()(21)(1)4123h x f x f x x x =+--=+--124,41362,42324,2x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩…………7分由此可知，()h x 在1(,)4-∞-单调减，在13(,)42-和3(,)2+∞单调增， 则当14x =-时，()h x 取到最小值72-，………………………………8分 由题意知，7732m -≤-，则实数m 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦……………10分。