矩阵和行列式复习知识点

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矩阵与行列式知识点总结

矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。

一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。

其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。

矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。

矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。

2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。

3. 矩阵的转置将行和列对换。

4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。

5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。

二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。

行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。

行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。

2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。

3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。

4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。

5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。

三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。

1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。

数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。

2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。

将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。

3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。

转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。

总复习-1矩阵与行列式

I 矩阵、行列式一、矩阵的概念及其初等变换矩阵概念矩阵与行列式的区别：矩阵（数表）行列式（数）记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭m n A ⨯ ()ij m n a ⨯1111n m nn a a a a n Aij na 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪→⎝⎭1111nm nn a a a a =矩阵的初等变换理论定义：（看书）结论一对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行变（的行最简形矩阵）应用1 高斯消元法解线性方程组增广矩阵A −−−→行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫⎪⎪ ⎪−−−→=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭行变设则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。

应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B1(,)(,)A E E A -−−−→行变1(,)(,)A B E A B -−−−→行变结论二对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有000r m n E A A ⨯⎛⎫−−−−→ ⎪⎝⎭列行变和变（的相抵标准形）应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）应用2 标准形思路：,,000rEA P Q P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中是可逆矩阵. 结论三初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置关于矩阵乘法，注意：（1）矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律AB BA ≠222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠注意：,A B 设均为方阵，则错误！未找到引用源。

线性代数各章要点整理

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。

重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。

（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。

矩阵与行列式知识点

矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。

我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。

一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。

矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。

矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。

对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。

矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。

矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。

对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。

行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。

对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。

代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。

行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。

其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。

行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。

矩阵和行列式复习知识点汇总

矩阵和行列式复习知识点汇总一、矩阵的定义和运算：1.矩阵是一个按照矩形排列的数字集合。

一个m×n的矩阵有m行和n列。

2. 矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3.矩阵的加法：若A和B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，且相加的结果为对应位置的元素之和。

4.矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个标量，则kA是一个矩阵，且每个元素都乘以k。

5. 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p的矩阵，其中C_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

二、矩阵的特殊类型：1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2.对角矩阵：主对角线上元素以外的其他元素均为0的矩阵。

3.单位矩阵：主对角线上元素都为1，其他元素为0的对角矩阵。

4.转置矩阵：将矩阵A的行和列互换得到的矩阵，记作A^T。

5.逆矩阵：对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I （其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵。

三、行列式的定义和性质：1. 行列式是一个与方阵相关的标量值。

一个n阶方阵A的行列式通常用det(A)或，A，表示。

2. 二阶方阵A的行列式可表示为：det(A) = a11 * a22 - a12 *a213.计算三阶及以上行列式时，可利用代数余子式和拉普拉斯展开公式。

4.行列式的性质：a) 若A的其中一行（列）的元素全为0，则det(A) = 0。

b) 若A的两行（列）互换，则det(A)的符号会变化。

c) 若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，则det(kA) = k^n * det(A)。

d) 若A的两行（列）相等，则det(A) = 0。

e)若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，再加到另一行（列）上，对应行列式的值不变。

四、矩阵的行列式和逆矩阵：1. 对于一个n阶方阵A，若其行列式不为0（即det(A) ≠ 0），则A是一个非奇异矩阵，有逆矩阵A^(-1)。

矩阵与行列式的运算与特性总结

矩阵与行列式的运算与特性总结矩阵与行列式是线性代数中重要的概念，它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

本文将对矩阵与行列式的运算法则和特性进行总结。

一、矩阵的定义与运算矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，常用大写字母表示。

一个m×n 的矩阵 A 可以表示为：A = [a[ij]](m×n)，其中 a[ij] 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。

常见的矩阵运算有加法、减法和数乘运算。

1. 矩阵的加法：两个相同大小的矩阵相加，只需对应元素相加。

A +B = [a[ij] + b[ij]](m×n)2. 矩阵的减法：两个相同大小的矩阵相减，只需对应元素相减。

A -B = [a[ij] - b[ij]](m×n)3. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个实数 k。

kA = [ka[ij]](m×n)二、矩阵的乘法矩阵的乘法是一个重要的运算，不同于加法和减法，矩阵的乘法需要满足一定的条件。

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，则矩阵 A 与矩阵B 的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵，记作 C = AB。

矩阵乘法的计算方法是，C 中第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应位置的元素乘积之和。

即 C 的元素 c[ij] 等于 a[i1]×b[1j] + a[i2]×b[2j] + ... + a[in]×b[nj]。

三、行列式的定义、特性与运算行列式是一个与矩阵对应的数，它在线性代数中有广泛的应用，常用竖线括起来表示。

一个 n 阶行列式的定义如下：D = |a[ij]|(n×n)，其中 a[ij] 表示行列式 D 的第 i 行第 j 列的元素。

行列式具有以下的特性与运算法则：1. 行列式的性质：(1) 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。

三轮复习--矩阵行列式_6496

三轮复习 --- 矩阵、行列式1．矩阵：由m n个数a ij（i 1 , 2 , 3 ,, m ； j1,2,3,, n ）按顺序排成的a11a12a13a1 nm行、 n 列矩形数表叫做矩阵，记为：a21a22a23a2 n，简记为：A aijam1am 2am 3amnA aij，读做：矩阵 A .m n2．元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为 a ij。

3．单位矩阵：主对角线上元素均为1，其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵，记为I。

例如： 2 阶单位矩阵：10100； 3阶单位矩阵： 010。

010014．负矩阵：将矩阵 A a ijm n中每一个元素a ij 变为其相反数a ij ，所得的矩阵称为矩阵 A 的负矩阵，记为：A aij。

m n5．零矩阵：所有的元素都为0 的矩阵，称为零矩阵。

6．相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即A a ijm n ， Bbij，当且仅当它们m n对应位置的元素都相等，即a ij b ij时，则称这两个矩阵相等，记做： A B。

7．矩阵的和（差）：两个同类型矩阵A a ijm、 Bbijm对应位置上的元素n n相加（减），设c ij a ij b ij，所得到的矩阵C c ijm n称为矩阵 A 、 B 的和，记做：C A B。

注：矩阵相等、矩阵加减运算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。

矩阵加法运算律：①交换律： A BB A② 结合律：；(AB) CA(B C)8．数与矩阵相乘：设k为任意实数，将矩阵A aij m n的所有元素都与相乘得k a1 1k a 1 2k a 到的矩阵k a 2 1k a 2 2k a 1 3k a 1n2 3k a2 n叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵，记作：k a ijk a m 1k a m 2k a m 3k a m nA aij m n。

注：实数与矩阵的乘法运算律：如果 A 、B 是两个同类矩阵， m 、n 是任意实数，那么：① 实数关于矩阵加法的分配律：m ( A B ) m A m B ；② 矩阵关于实数加法的分配律：( m n ) A m A n A ；③ 实数关于实数与矩阵乘法的结合律：( m n ) A m ( n A ) ；9．矩阵的乘积：当且仅当矩阵A a ijm的列数 n与矩阵 Bb ij的行数 p 相n p q等时，定义矩阵 C c ijm的任意一个元素qc ij ai 1b1 jai 2b2jai 3b3 jainbpj，则称矩阵 C 是矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记作： C AB。

矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。

一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。

2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。

3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。

(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。

(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。

4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。

5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。

一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。

2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。

(2)行列式对换两行（列）变号。

(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。

(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。

3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。

(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。

4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。

三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。

3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。

矩阵与行列式基础知识

4. 矩阵的转置
1. 定义（转置）
a11
设
A
a21
am1
a11
称
AT
a12
a1n
a21 a22
a2 n
a12 a22
am 2
a1n
a2 n
，
amn
am1
am 2
为A的转置.
amn
Amn , ( AT )nm
例
A
1
3
4 5
2 0
,
B 18 6 9,
2. 运算律 ① ( AT)T = A
7
1 6 0 8
x1
X
x2
x3 x4
1
b
0
3
AX b
类比
ax b
xb
a
怎样求解矩阵方程？
AX b ？
因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念
相等矩阵
A (aij )与B (bij )同型，且
aij bij , i 1,..., m; j 1,..., n
矩阵的线性运算律：加法、数乘.
① AB B A ③ AO A
② (A B) C A (B C) ④ A ( A) O
⑤ 1A A
4. 矩阵的乘法
我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 C AB．
1. 乘法的定义：A (aij )ms 和 B (bij )sn ，如果 AB C
A2 2
5 4 23 14 4
x1
A1 A
5,
x2
A2 A
14
矩阵与行列式基础知识介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：

9、高三一轮复习：矩阵、行列式初步

矩阵初步【知识要点】一、矩阵的概念：1、矩阵的定义：由m n ⨯个数排成的m 行、n 列的矩形数表叫做矩阵，即111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，矩阵中的每个数ij a （1i m ≤≤，1j n ≤≤，i 、j ∈N *）叫做矩阵的元素，ij a 表示第i 行第j 列上的元素。

矩阵通常用大写字母表示：()m n ij A a ⨯=（表示m n ⨯阶矩阵），在不混淆的情况下，可简记为A ； 2、矩阵的意义：矩形数表； 3、相关概念：（1）行向量、列向量；（2）方矩阵（方阵）、方矩阵的阶；（3）单位矩阵、零矩阵。

二、矩阵的运算：1、矩阵的相等：若()ij A a =、()ij B b =是两个行数与行数相等、列数与列数相等的矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，即ij ij a b =（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），称两矩阵相等，记作A B =；2、矩阵的加减：当两个矩阵A 、B 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加ij ij ij c a b =+（相减ij ij ij c a b =-），i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ，所得到的矩阵()ij c 称为矩阵A 、B 的和（差），记作A B +（A B -）；3、矩阵的数乘：设α为任意实数，我们把矩阵()ij A a =的所有元素都与α相乘所得到的矩阵()ij a α叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作A α；4、矩阵的乘法：设矩阵A 是n 行、k 列的矩阵，矩阵B 是k 行、m 列的矩阵，矩阵C 是n 行、m 列的矩阵，如果矩阵C 中第i 行、第j 列的元素ij c 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个列向量的数量积（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ），即1122ij i j i j ik kj c a b a b a b =+++L ，那么矩阵C 叫做矩阵A 和B 的乘积。

矩阵与行列式

二、行列式(Determinant)
determinant:
n.[数]行列式；决定因素
adj.决定因素的、限定性的
m rows and n
columns, written
m×n矩阵
当m=n时，也叫作
2×2方阵、3×3方阵
行列式是一个数！
计算方阵的行列式
(只要求掌握2×2
方阵)
二、行列式(Determinant)
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
两个矩阵相乘
要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
两个矩阵相乘 Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
要求：左矩阵取行，右矩阵取列，对
应相乘再相加。
两个矩阵相乘
2
3 2 0
× 1
0 1 2
3
−3
1
2
=
×+×+×
×+×+×
=

Find determinant

Find determinant −
−
二、行列式(Determinant)

Find determinant: ①

−
②
−

线性代数矩阵行列式向量知识点总结

线性代数第一章：行列式1.排列：任意两数字先大后小为一个逆序；一组无序数组逆序个数为奇数就是奇排列；反之为偶排列。

且一个数组任意两个数字调换，则奇偶调换。

排列决定行列式某一项的正负，若行标按标准次序，则列标的逆序数是奇数此项为负。

n n np p p p p p r a a a D ....)1(21)2121...(-∑=，每一项是n 个元素的乘积，每个元素取自不同的行不同的列。

行列式展开共有n!项，一半正，一半负。

注意：λλλλnD ....21=为矩阵的特征值2.nnnnnna a a a a a a a a ...... (221122211211)= 11,212)1(11,22111211..)1(................n n n n n n n na a a a a a a a a ----=3.行列式的性质：（1）行列式与其转置行列式值相等；（所以行的性质也是列的性质）（2）交换两行对应元素，行列式值变号。

（3）任意两行对应元素相等，成比例行列式值为0。

（4）例：nx yx nc ya dm bx dc b a nm c yx a dm c bx a nd m c yb x a +++=+++++=++++（5）把某行的k 倍加到另一行对应元素，行列式值不变。

4.余子式ij M ：去掉第i 行第j 列剩下的元素构成行列式的值。

代数余子式ij j i ij M A +-=)1(5.定理，行列式某行的代数余子式×另一行的对应元素值为0。

6.范德蒙德行列式)....)...()()()...()((.........................1. (1112242311312113121)12232221321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n nn n n nn ------==---- 例：240)32)(12)(13)(12)(13)(11(842149112311111184212793111111111=--+-+-----=----=----7.,00,0()0)in n i n n D A X b x D DA X D R n D n ⨯⨯==≠=≠==<。

大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式

大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式大学数学易考知识点：线性代数中的矩阵与行列式在大学数学中，线性代数是一门重要的基础课程，其中矩阵与行列式是其核心内容之一。

掌握了矩阵与行列式的基本概念和操作方法，对于理解和应用线性代数具有极大的帮助。

本文将介绍线性代数中矩阵与行列式的相关知识点，帮助理清概念、加深理解，并为后续的学习奠定基础。

一、矩阵的基本概念与运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数字按一定顺序排成的一个矩形阵列。

其常用表示形式为：A = [aij]m×n = |a11 a12 .. a1n||a21 a22 .. a2n||... ... .. ... ||am1 am2 .. amn|其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2. 矩阵的运算（1）矩阵的加法：若A = [aij]m×n，B = [bij]m×n为两个m×n矩阵，则矩阵A与B的和为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

（2）矩阵的数乘：若A = [aij]m×n为一个m×n矩阵，k为任意实数，则kA = [kaij]m×n。

（3）矩阵的乘法：若A = [aij]m×p为一个m×p矩阵，B = [bij]p×n为一个p×n矩阵，则矩阵A与B的乘积为C = [cij]m×n，其中cij =∑(k=1→p) aikbkj。

二、行列式的基本概念与性质1. 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数。

对于一个n阶方阵A = [aij]n×n，其行列式记为|A|或det(A)，定义为：|A| = ∑(s∈Sn) (sgn(s)·a1s(1)·a2s(2)·...·ans(n))其中，Sn为全排列的集合，sgn(s)为排列s的逆序数的(-1)^k次方。

矩阵和行列式复习知识点.doc

矩阵和行列式复习知识梳理9.1 矩阵的概念：矩阵：像，，的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵 .通常用大写字母 A 、B 、C 表示三个矩阵分别是 2 × 1 矩阵， 2× 2 矩阵（二阶矩阵）， 2× 3 矩阵； ① 矩阵行的个数在前。

② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

行向量、列向量单位矩阵的定义：主对角线元素为 1，其余元素均为 0 的矩阵增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。

通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。

9.2 矩阵的运算【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；A 11 A 12B11B 12A BA 11B 11 A 12 B 12 记A， BB21 ，那么 A 21 B 21A 22 ，A21A22B22B 22【矩阵乘法】，=A 1B 1 A 1B 2 ；A 2B 1 A 2B 2A 11B11A 12 B21A 11B12ABA 22B21A 21B12A 21B11【矩阵的数乘】 kA Ak (ka ij ).【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点： k等轴对称变换的变换矩阵：、旋转变换的变换矩阵：等A 12B22A 22B22、等9.3 二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式；行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。

行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。

a d二阶行列式的值 D ac bdb c展开式 ac - bd【二元线性方程组】对于二元一次方程组a1 x b1 y c1D x D x ，通过加减消元法转化为方程组a2 x b2 y c2 D y D y其中 D a1 b1 , D x c1 b1 , D y a1 c1a2 b2 c2 b2 a2 c2方程的解为用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。

矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式知识要点一、矩阵的定义与基本运算：1.矩阵的定义：矩阵是一个按照矩阵元素排列形成的矩形阵列。

通常用大写字母表示，如A。

2.矩阵的元素：矩阵中的每个数称为矩阵的元素，用小写字母表示，如a。

3.矩阵的维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。

若一个矩阵有m 行n列，称为m×n阶矩阵。

4.矩阵的运算：a.矩阵的加法：如果两个矩阵A和B的维数相同，则它们可以相加，A+B的结果是一个与A和B维数相同的矩阵，即对应元素相加。

b.矩阵的数乘：如果一个矩阵A乘以一个数k，那么结果是一个与A 维数相同的矩阵，即将A的每个元素乘以k。

c.矩阵的乘法：如果两个矩阵A和B可以相乘，那么它们的乘积AB 的结果是一个新的矩阵，其行数等于A的行数，列数等于B的列数。

矩阵乘法不满足交换律。

二、行列式的定义与性质：1.行列式的定义：对于一个n×n的矩阵，将它的元素按照一定的规则排列成一个方阵，方阵元素的排列称为一个排列，用行列式表示。

行列式实际上是对矩阵的一种性质的一种数学描述。

2.行列式的计算：a.二阶行列式：二阶行列式即2×2阶矩阵的行列式。

b. 三阶行列式：三阶行列式即3×3阶矩阵的行列式。

可以利用“Sarrus法则”进行计算。

c. n阶行列式：n阶行列式可以利用定义展开、代数余子式、Laplace定理等方法进行计算。

3.行列式的性质：a.行列式的性质1：行列式与它的转置行列式相等。

b.行列式的性质2：互换行列式的两行（两列），行列式变号。

c.行列式的性质3：若行（列）中有零元素，则行列式的值为0。

d.行列式的性质4：若行（列）的其中一元素可被另一行（列）的元素表示，则行列式的值为0。

e.行列式的性质5：行列式中有两行（两列）完全相同，则行列式的值为0。

三、逆矩阵与可逆矩阵：1.逆矩阵的定义：对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，且B=A^(-1)。

矩阵与行列式的基本知识

矩阵与行列式的基本知识矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、计算机科学等各个领域。

本文将介绍矩阵与行列式的基本知识，包括定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义和性质矩阵是由m行n列元素排列成的一个矩形数表。

常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，例如A, B, C等。

一个矩阵可以用一个m×n的数表表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。

矩阵中的元素可以用小写字母表示，例如a11, a12等。

矩阵中的元素按照行和列的顺序排列，例如矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]矩阵的运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及数乘等。

矩阵加法的定义是对应元素相加，即若A和B是同型矩阵，则它们的和A + B的定义是一个矩阵，其中的每个元素是A和B中对应元素的和。

矩阵乘法的定义是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素相乘并求和。

若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB的定义是一个m×p的矩阵，其中的每个元素由矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的对应元素相乘并求和。

矩阵具有一些重要的性质，例如矩阵的转置、逆矩阵和对称矩阵等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

对于方阵（行数等于列数的矩阵），若存在逆矩阵，则称该矩阵是可逆的。

二、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵，它的行列式可以用|A|表示。

行列式的定义是一个关于矩阵元素的表达式。

|a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|一个2阶方阵A的行列式可以表示为：|A| = a11 * a22 - a12 * a21行列式可以用于判断矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性和线性方程组的解的情况。

线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算

线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算线性代数是数学的一个重要分支，对于理解和解决现实世界中的问题具有重要意义。

在学习线性代数的过程中，行列式与矩阵运算是其中的重要组成部分。

本文将对行列式与矩阵运算的相关知识点进行梳理，帮助读者深入理解这一内容。

行列式的概念与性质行列式是一个数学工具，用于描述线性方程组的解的性质。

在代数学中，一个n阶方阵的行列式是一个确定的值，它是通过方阵中元素的线性组合而得到的。

行列式的计算方法有很多，比如拉普拉斯定理，莱布尼茨展开式等。

行列式的符号通常用竖线“| |”表示，如|A|表示矩阵A的行列式。

行列式具有一些重要的性质，例如：1.互换行（列）：如果行（列）互换，行列式取相反数。

2.行（列）成比例：如果矩阵的某一行（列）是另一行（列）的k倍，行列式的值也将乘以k。

3.行（列）相加：如果把矩阵的某一行（列）乘以k后加到另一行（列）上，行列式的值不变。

4.三角矩阵：上（下）三角矩阵行列式等于主对角线元素的乘积。

通过这些性质，我们可以简化行列式的计算，并在求解线性方程组等问题中应用行列式的性质。

矩阵运算与特殊矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是数字或符号排成若干行和若干列的矩形阵列。

矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，这些运算有着重要的数学性质。

矩阵的加法和数乘运算是比较简单的，矩阵之间的加法就是对应元素相加，数乘就是矩阵中的每个元素都乘以相同的数。

矩阵的乘法是比较复杂的，矩阵乘法遵循结合律并不满足交换律。

特殊的矩阵包括对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。

对称矩阵是转置矩阵等于自身的矩阵，反对称矩阵是转置矩阵的相反数，单位矩阵是对角元素为1，其他元素为0的矩阵。

这些特殊矩阵在数学和物理领域中有着重要的应用。

行列式与矩阵之间的关系行列式与矩阵之间有着密切的联系。

通过矩阵的初等变换，我们可以改变行列式的取值，从而简化行列式的求解。

矩阵的逆也与行列式有关，方阵可逆当且仅当其行列式不等于0。

矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结

矩阵与行列式的基本概念及应用知识点总结矩阵(Matrix)是现代数学的重要概念之一，它是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

行列式(Determinant)是矩阵的一个重要性质，用于线性代数中求解方程组、矩阵求逆以及计算特征值等问题。

一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数（或变量）按一定规律排列成的矩形阵列。

一般用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法。

矩阵的加法和减法要求矩阵的行数和列数相等，对应位置上的元素进行相加或相减。

数乘指的是矩阵中的每个元素都乘以一个常数。

矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，乘法结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

1.3 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵记作A^T，即A的转置。

转置后，原矩阵的行向量变成了新矩阵的列向量，原矩阵的列向量变成了新矩阵的行向量。

二、行列式的基本概念2.1 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数学运算。

对于一个n阶方阵A，其行列式定义为一个数D，记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有代数余子式法、行列式按行（列）展开法等。

2.2 行列式的性质行列式具有很多重要的性质。

其中包括行列式的可加性、行列式的数乘性、行列式的转置性质等。

这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。

三、矩阵与行列式的应用3.1 解线性方程组矩阵与行列式在解线性方程组中有着广泛的应用。

通过行列式的性质和高斯消元法，可以快速求解线性方程组的解。

3.2 求矩阵的逆行列式的概念在求矩阵的逆中起到了关键的作用。

如果一个n阶矩阵A的行列式不等于零，那么A是可逆的，可以通过行列式的计算求解矩阵的逆。

矩阵的逆在许多应用中都有着重要的地位。

3.3 计算特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的一个重要概念。

矩阵与行列式的应用知识点总结

矩阵与行列式的应用知识点总结矩阵与行列式作为线性代数中的两个重要概念，在数学以及实际应用中有着广泛的应用。

本文将对矩阵与行列式的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的基本概念和运算法则1.1 矩阵的定义与表示方法矩阵是由 m 行 n 列的数按一定顺序排列成的矩形阵列。

在数学中，常用大写字母表示矩阵，例如A、B、C，其中A 是一个m×n 的矩阵，即包含 m 行 n 列。

矩阵可以用方括号表示，如 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中第 i行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的运算法则矩阵的加法：矩阵 A 和矩阵 B 的和记作 A + B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其和的计算是按照对应元素相加的规则进行的。

矩阵的减法：矩阵 A 和矩阵 B 的差记作 A - B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其差的计算是按照对应元素相减的规则进行的。

矩阵的数乘：矩阵 A 与一个标量 k 的乘积记作 kA，其计算是将 A的每个元素乘以 k。

矩阵的乘法：矩阵 A 和矩阵 B 的乘积记作 AB，要求 A 的列数等于B 的行数，其计算是按照矩阵乘法的规则进行的。

即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素分别相乘，并求和。

二、行列式的基本概念和性质2.1 行列式的定义与表示方法行列式是由 n×n 的矩阵所构成的特殊数，一般用竖线或两条竖线扩起来表示，如 |A| 或 det(A)，其中 A 表示一个 n×n 的矩阵。

2.2 行列式的计算方法二阶行列式：对于二阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为 |A| =a_11a_22 - a_12a_21。

三阶行列式：对于三阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为|A| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - a_13a_22a_31 - a_11a_23a_32 - a_12a_21a_33。

工程数学线性代数复习资料

工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。

二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。

三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。

四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。

附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为（ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为（ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。