2015届宁夏银川一中,高三上学期第四次,数学

银川一中2015届高三年级第四次月考数 学 试 卷（理）命题人：蔡伟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iiz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 A ．21-B ．i 21C ．21 D ．i 21-2. 已知：1:1.:||12p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A ．(2,3] B ．[2,3] C ．(2,3) D ．(,3]-∞3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知342332,32S a S a =-=-,则公比q = A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．45．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，其中a b B ===，则角A 的取值一定 属于范围A ．)2,4(ππB ．)43,2(ππC ．),43()4,0(πππ⋃D ．)43,2()2,4(ππππ⋃6．为得到函数)32sin(π+=x y 的导函数．．．图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有点的 A ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移6πB ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移3πC ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移125πD ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标向左平移65π 7．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面 ABC8．已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是A ．1(0,]2 B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞9．在ABC ∆中，若6·-=AC AB ，则ABC ∆面积的最大值为 A ．24 B ．16 C ．12 D．10．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为A ．12B ．22C ．33D ．6611．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则23a b+的最小值为 A ．625 B ．38 C ． 311 D ． 412．已知函数()xf x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为AB ．2eC ．eD ．2e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________. 14．已知1(2)x a e x dx =+⎰(e 为自然对数的底数),函数ln ,0()2,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,则21()(log )6f a f +=__________.15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点， 则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．16．定义方程()()f x f x '=的实数根o x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数())cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．18. （本小题满分12分）如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°， PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC . (1)求证：平面MOE ∥平面PAC ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，13a =，前项和1(1)(1)12n n S n a =++-． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的前项和为n T ，是否存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数都成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =（e 为无理数， 2.718e ≈） （1）求函数()f x 在点(),()e f e 处的切线方程； （2）设实数12a e>，求函数()f x 在[],2a a 上的最小值； （3）若k 为正整数，且()()1f x k x k >--对任意1x >恒成立，求k 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上， 且AD=13AC ， AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径． 23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222 （t为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值; (2)解不等式m x x ≤-+-|2||1|.宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(理科)试卷参考答案13. 22+ 14. 7 15. 33a 16. γ>α>β 三、解答题：17.（1）()a x x a x x x f ++=++⎪⎭⎫⎝⎛+=2sin 2cos 32sin 22sin 3π132sin 2≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x π12=+∴a ，1-=∴a（2）由πππππk x k 223222+≤+≤+-，解得ππππk x k +≤≤+-12125，所以函数的单调递增区间Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,12,125ππππ （3） 将()x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数()x g 的图象，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴322sin 2362sin 26ππππx x x f x g⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,32322,2,0ππππx x∴当32322ππ=+x 时，23322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，()x g 取最大值13- 当23322ππ=+x 时，1322sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，()x g 取最小值-3.18. [解析] (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥PA .因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ， 所以OE ∥平面PAC . 因为OM ∥AC ，又AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ， 所以OM ∥平面PAC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面PAC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BC .因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz .因为∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32，CD ＝12CB ＝32.所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M (32，32，0)．所以CP →＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)． 设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.所以⎩⎨⎧ x ，y ，z ，0，＝0，x ，y ，z ，3，＝0.即⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－15.所以cos θ＝15.19. 解：（1）（解法一）∵1(1)(1)12n n S n a =++- ∴111(2)(1)12n n S n a ++=++- ∴11n n n a S S ++=-11[(2)(1)(1)(1)]2n n n a n a +=++-++整理得1(1)1n n na n a +=+-∴1)2()1(12-+=+++n n a n a n两式相减得211(1)(2)(1)n n n n n a na n a n a ++++-=+-+ 即 21(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +++-+++= ∴2120n n n a a a ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-∴ 数列{}n a 是等差数列且13a =，得25a =，则公差2d =∴ 21n a n =+（解法二） ∵1(1)(1)12n n S n a =++- ∴111(2)(1)12n n S n a ++=++-∴11n n n a S S ++=-11[(2)(1)(1)(1)]2n n n a n a +=++-++整理得1(1)1n n na n a +=+-等式两边同时除以(1)n n +得 111(1)n n a a n n n n +=-++，即11111(1)1n n a a n n n n n n+-=-=-+++ 累加得112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----12n=+得21n a n =+（2） 由（1）知21n a n =+∴111(21)(23)n n a a n n +=++111()22123n n =-++ ∴ 111111111()2355721212123n T n n n n =-+-++-+--+++111()2323n =-+ 16<则要使得n T M ≤对一切正整数都成立，只要max ()n T M ≤，所以只要16M ≥ ∴ 存在实数M ，使得n T M ≤对一切正整数都成立，且M 的最小值为1620. [解析] 如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23. 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m 、AA 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样的，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝27·7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N⎝⎛⎭⎫22，322，52.设M (a ，b,0)，则MN →＝⎝⎛⎭⎫22－a ，322－b ，52， 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫22－a －22＝0，⎝⎛⎭⎫22－a －2＋⎝⎛⎭⎫322－b －2＋52·5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝24.故M⎝⎛⎭⎫22，24，0，因此BM →＝⎝⎛⎭⎫22，24，0，所以线段BM 的长|BM →|＝104.21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分（2）∵()ln 1f x x '=+()0f x '=令1x e =得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时,()0F x '<，()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0F x '>，()f x 单调递增.当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e ≥==时在单调递增min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得 (3) ()(1)f x k x k >--对任意1x >恒成立，即ln x x x +(1)k x >-对任意1x >恒成立， 即ln 1x x xk x +>-对任意1x >恒成立令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在(1,)+∞上单调递增。