17.3一元二次方程根的判别式

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17.3 一元二次方程根的判别式

⑴ 有两个不相等的实数根?
⑵ 有两个相等的实数根?
⑶ 没有实数根?
古饶初级中学八年级数学教研组 10
1.已知关于x的一元二次方程ax2 －3x＋k =0，
问k 取何值时，这个方程有实数根?
2.若关于x的一元二次方程 kx 2 2 x 1 0
有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ B ）
相等的实数根
古饶初级中学八年级数学教研组
14
直击中考：
1.关于x的一元二次方程：
x (m 2) x m 1 0
2
有两个相等的实数根，则m的值是（ D ）
A. 0
B. 8
C. 4 2
2
D. 0 或8
2. 从－2、－1、0、1、2这5个数中任取一个，作为关于 x 的方程 x x k 0 的 k 值，则所得方程中有两个不相等的实 -2、-1、0 数根的k的值是___________.
议一议:
设 △ABC 的三边为 a,b,c ,方程
2 x+
1 a x+ 4
(2b-c)=0有两个相等的实数根
，且a,b,c ，满足 b=3a-数学教研组
13
例3、求证：方程
(m2＋1)x2＋2mx＋(m2＋4)＝0 没有实数根．
练习：
证明:方程 (x－1)(x－2) = k2 有两个不
1
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c =0 （a≠0）二次项系数 a，一次项系数 b，常数项 c .
解一元二次方程的方法：
直接开平方法公式法
配方法
因式分解法
古饶初级中学八年级数学教研组 2
一元二次方程：
2 ax ＋bx＋c

17.3一元二次方程根的判别式

即m 1
所以m 0且m 1
4、关于x的一元二次方程（m 1)x2 2mx m 0
有实数根，求m的取值范围。
解：当方程为一元二次方程时，方程有实数根，则
（ - 2m)2 4m(m 1) 0, m 1 0, 即m 0且m 1时，方程有实数根。当方程为一元一次方程时，m 1 0，即m 1时方程有实数根。综上，m 0时，方程有实数根。
（2）当b2 4ac 0时，b2 4ac 0，此时，
x

b 2a
0 ，即x1

x2

b 2a
方程有两个相等的实数根；
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
（2）当b2 4ac 0时，b2 4ac在实数范围内无意义，方程没有实数根。
2.已知关于x的方程x2 3x k 0,问k取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
解：（- 3）2 -4k 9 - 4k (3)9 - 4k 0,
解得k 9 4
当k 9 时，方程没有实数根。 4
3.求证：关于x的方程x2 (2k 1)x k 1 0 有两个不相等的实数根。
2.已知关于x的方程x2 3x k 0,问k取何值时，这个方程：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
解：（- 3）2 -4k 9 - 4k (1)9 - 4k 0,
解得k 9 4
当k 9 时，方程有两个不相等的实数根。 4
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a 如果你不解出方程，能否判断

一元二次方程根的判别式

17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。

对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。

即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。

若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。

17.3一元二次方程根的判别式

例1.不解方程,判别方程 5x 1 x 0
2
的根的情况______________
解 : 5x x 5 0
2 2
方程要先化为一般形式再求判别式
1 4 5 5 101 0 原方程有两个不相等的实数根
让我们一起学习例题
b b 2 4ac x 2a 4k 16 k 4 x 2
2(2k (4k 1) ) x 2
x1 2k 4k 1, x2 2k 4k 1
4k 4(4k 1) x 2
4k 2 (4k 1) x 2
(根的情况已有，写因为）

a0 0
m0 4 m 1 0
∴m的取值范围是且m≠0．
1 m 4
4m＋1≥0，
m0 1 m 4
1 m 4
a≠0是使用根的判别式的前提条件
例3：不解方程，判别关于的方程
x
x 2 2kx k 0
2 2
的根的情况.
解： 2 2k 4 1 k
（2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个实数若方程有两个相等的实数根，则△=0 根，则若方程没有实数根，则△＜0 △≥0
注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。 a≠0是使用根的判别式的前提条件
2
∵a≠0 ∴4a2>0 反过来，对于一元二次方程：
ax2 bx c 0(a 0)
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0 ；

17.3(1)一元二次方程根的判别式

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中即看两端凑中间
开平方法 1.一元二次方程的解法
因式分解法
配方法
公式法
2.利用公式法解下列方程：
(1)x2 5x 6 0 (2)x2 4x 4 0
(3)x2 2x 3 0
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)
当 b2 4ac 0时，方程的根是x1
• 十字相乘法能把某些二次三项式ax²+bx+c(a≠0)分解因式。 • 这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 • 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2， • 并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结 • 果：ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式 • 时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆 • 过程。当二次项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注 • 意各项系数的符号。
例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y
3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解：（ 3）2 45（ 2） 49 ＞0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25 y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解：（ 3）2 4 21 5＜0 原方程没有实数根。
练一练：
• 不解方程，判别下列方程的根的情况。
• （1）2x²－5x－4＝0; • (2）7t²－5t＋2＝0; • (3)x﹙x＋1﹚＝3; • (4)3y²＋25＝10√3y

17.3 一元二次方程根的判别式

第十七章第3讲一元二次方程根的判别式知识概要1.根的判别式在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们得到 22244)2(a ac b a b x -=+. 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于ac b 42-.因此，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，用符号“∆”表示，读作“/'/'∂delt ”(1)当042>-=∆ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，a ac b b x 2421-+-=， aac b b x 2422---=； (2)当042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立.2.根的判别式的应用判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.经典题型精析(一)根的判别式例1.不解方程，判断下列关于x (或y )的方程的根的情况：(1)03452=--x x ； (2)01232=++x x ； (3)01442=++x x ；(4)0)1(422=-+-m my y ； (5)0)52(2422=+-++n n mx x ； (6)02=+c ax .试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)03542=--x x ； (2)03422=++x x ； (3)x x 62322=+.例2.在关于x 的一元二次方程1)2(42=++-k x k x 中，k 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.试一试：当m 取何值时，关于x 的方程041)2(22=+-+m x m x (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根?例3.当m 为何值时，关于x 的方程m x mx mx -=-+2122有实数根?试一试：关于x 的方程01)1(2=+++x m mx (其中0≠m )一定有实数根吗?为什么?例4.当k 为何值时，关于x 的方程0)12(422=-+-k kx x 有实数根?并求出这时方程的根(用含k 的代数式表示).例5.若关于x 的一元二次方程0122=+-+k x x 无实数根.求证：一元二次方程1122=++k kx x 一定有两个不相等的实数根.例6.若c b a 、、为实数，关于x 的一元二次方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两个相等的实数根，求证：b c a 2=+.试一试：求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

17.3一元二次方程的根的判别式(第1课时)

2 3 2 x 3x 1 0
2 解：（ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。Fra bibliotek练一练
1、不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
当△ ＜0时，没有实数根。反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；当方程有两个相等的实数根时， △ = 0；当方程没有实数根时， △ ＜0。
例1、不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 5x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
3.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
课堂小结：可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根 2 2 的情况由b -4ac来确定。我们把 b 4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△” 来表示，即△ =b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0), 当△ ＞0时，有两个不相等的实数根；当△ = 0时，有两个相等的实数根；
b b 2 4ac , x2 2a
（2）当b2-4ac=0时
2 b 4ac 0 ，
，因此，方
程有两个相等的实数根：
b x1 x2 ; 2a
2
（3）b2-4ac＜0时，
b 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。

17.3一元二次方程的根的判别式(第2课时))

当△ ＜0时，没有实数根。反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；当方程有两个相等的实数根时， △ = 0；当方程没有实数根时， △ ＜0。
作业设置：
1、巩固复习：课本P34－P35 2、预习新课：课本P37－P39 3、当堂作业：课本P35－P36练习1、2 4、课堂作业：课本P36习题17.3第3、5 两题 5、课下作业：基础训练等完成到17.3
7、
2 2 已知关于的方程k x +(2k-
1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求k的取值；如果不存在，请说明理由
8、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（Ａ）k<１Ｂ）k≤１） D Ｃ）k<１且k≠0
一元二次方程根的判别式
3:学习难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定方程中待定系数的取值范围。
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是（ D ） A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
2、不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ） A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
当△ ＜0时，没有实数根。反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0；当方程有两个相等的实数根时， △ = 0；当方程没有实数根时， △ ＜0。
本节课我们将学到……
1:学习目标
1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。

17.3一元二次方程的根的判别式PPT课件

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中即看两端凑中间
张集中学魏俊廷
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
解：（ 3） 4 1 k 9 4k
2
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 4k 0 解得 k 9 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞时，原方程没有实数根 4
时，原方程有两个不相等的实数根
2 2 mx 8m( x 1) x ，当例4:一元二次方程
m 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根。
2 2 mx (8m 1) x 8m 0 ，提示：先把方程变形：
再看△。 2 = b 4ac 16m 1 ，所以解：因为
• 十字相乘法能把某些二次三项式 ax²+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数 c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果： ax² +bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当二次项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

17.3一元二次方程的根的判别式PPT课件.

原方程有两个不相等的实数根。 2 2 25 y 4 20 y
（ 20） 4 25 4 （ 3） 4 5 （ 2） 49 ＞0
2
解：原方程可变形为 25 y 2 20 y 4 0
3 2x
2
ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
b 4ac 2 b 4ac 0
2
D.根的情况无法确定
问题二:已知方程及其根的情况,
求字母的取值范围。
例3：已知关于x 的方程 x 3x k 0 ，
• 十字相乘法能把某些二次三项式 ax²+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数 c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果： ax² +bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当二次项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
原方程有两个相等的实数根。
3x 1 0
2 解：（ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
b2 4ac 0 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2 b 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时，

17.3一元二次方程的根的判别式

X2b X c 0 aa
X 2 b X ( b )2 ( b )2 c a 2a 2a a
(X

b )2 2a

b2 4ac 4a
b b2 4ac X
2a 2a
X b b2 4ac 2a
归纳：当＞0时，有两个不相等的实数根；当＝0时，有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根。
一元二次方程根的判别式
岑溪市第一中学覃华凤
[学习目标]： 1、了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况。
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。
3、在对求根公式讨论时，注意培养学生的分类思想。
[学习重点]：掌握一元二次方程根的判别式。
2、不解方程，判别下列方程根的情况。（1）5X2 －3X－2＝0 （2)25y2 ＋4＝20y
（3）2X 2 3X 1 0
三、巩固练习 P35第1题和P36第2题。
四、课堂总结。五、布置作业。
[学习难点]：熟练地运用根的判别式判断一元二次方程有无实数根，有实数根的，两根相等或不相等。
一、复习导课。
1、用适当方法解下列方程。（1）X－3X－4＝0 （2）(X-3)＋X＝9 （3)(2Y＋1)＋3(2Y＋1)＋2＝0 2、归纳解一元二次方程的方法和步骤。
二、新课。 1、用配方法解 aX2＋bX＋c＝0(a≠0)

专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举

专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。

17.3一元二次方程根的判别式

（3）若方程有两个不相等的实数根，求k的最大整数值.
作业：在今天学习的基础上请自编一题并解答.
(k 1)x2 2kx k 3 0
1 m 1 0 2
有实数根？
分类讨论
一元一次方程？一元二次方程？
变P4式1题组例三题3
当关m于取x 的何二值次时三，关项于式x 的方程
x2

m

2
x

1 4
m2
1

0
（(11）) 有当两m个不相1 等时的，实它数在根实？数范围内能不能
（因2）式有分两解个？相若等能的分实解数，根请？求出此时的分解结（果3）；没若有不实能数分根解？，请说明理由.
（2）若它是一个完全平方式，求 m 的值.
（3）若它的分解结果为 x(x 4)，求 m 的值.
学习了今天这节课，你有哪些收获？
…………
练习：
1.已知关于x 的方程(k 1)x2 2kx k 3 0 .
（1）若方程只有一个实数根，求k的值，并求此时方程的根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根；
变式题组二
当 m 取何值时，关于 x 的方程
x2 m 2 x 1 m2 1 0
4
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
(1 m 1)(1 m 1)
2
2
变式题组二

1 2
m
1
x2

m

2
x

1 2
m
1

0
1. 当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程

1 2