高中数学必修二《圆的标准方程》课件资料

OD
x
C
B(2,-2)
A、B在圆上
解：因为 A(1,1) ，B(2， 2) ，所以线段AB的中点D坐标为(3 , 1) ，
22
直线AB的斜率
k AB

21 2 1

3
因此线段AB的垂直平分线 l '的方程是
y 1 1 (x 3) 23 2
即 x 3y 3 0
弦AB的垂

r2,
(2 a)2 (8 b)2 r 2 .
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x 2)2 ( y 3)2 25.
把点 M1(5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点 M1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程，
y
左右两边不相等，点 M2 的坐标 不适合圆的方程， 所以点 M2 不在这个圆上.
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和 B(1，3)，求圆C的方程.
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和B(1，3)， 求圆C的方程.
解：依题可设圆心C（a,0），由|CA|=|CB|，得
(a 1)2 (0 1)2 (a 1)2 (0 3)2
解得，a=2 所以圆心C（2,0）
O
x
M2
A
那么 M2 到底在圆内还是圆外呢？
AM2 r
M1
点 M 0 (x0 , y0 )在圆 (x a)2 ( y b)2 r 2外的条件是什么？
在圆上呢？在圆内呢？
设点 M 0 (x0 , y0 )到圆心 C(a,b) 的距离为d，
d>r 点M0在圆外 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
d=r 点M0在圆上 (x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
d<r 点M0在圆内
(x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
. . y
M0
M0
O ..Cr x
M0
请判断A(2,3)、B(3,1)、C(1,0)与圆(x-1)2+(y-1)2=4 的位置关系。
答案：A在圆外 B在圆上 C在圆内
y
例1 （1） x2 y2 3
O
3x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M 2 ( 5,1) 是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x 2)2 ( y 3)2 25.
把点 M1(5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
二、探索研究：
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
y
解：设M( c, y )是圆上任意一点，
根据圆的定义|MC|=r
M
．r C
由两点间距离公式，得
O
x
x a2 y b2 r ①
把①式两边平方，得
(x - a)2 ( y - b)2 r2 ②
(x a)2 (y b)2 r2(r 0) ②
圆心C的坐标是方程组
x 3y 3 0, x y 1 0
的解 直平分线 yl
解此方程组，得
x 3,

y

2.
A(1,1) l '
所以圆心C的坐标是(3,2)
OD
x
圆心为C的圆的半径长
C
B(2,-2)
r CB (3 2)2 (2 2)2 5 所以，圆心为C的圆的标准方程是
半径长 r (2 1)2 (0 1)2 10
所以，所求方程为 (x 2)2 y2 10.
(1)牢记: 圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2
(2)明确：点与圆的位置关系。
(3)方法：①根据题设条件列出关于a,b, r 的方程组，解方程组得圆的标准方程。 ②根据题设条件直接求出圆心坐 标和半径长，然后再写出圆的标准方程。
解法3：因为圆心C在直线l上,所以可设C(a,a+1),则 由|CA|=|CB| 得
(a 1)2 (a 11)2 (a 2)2 (a 1 2)2
解得 a=-3,所以C(-3,-2) 所以 r=|CB|=5
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x 3)2 ( y 2)2 25
括号内是差的形式，点 (a, b)分, 别r 表示圆
心的坐标和圆的半径.
当圆心在坐标原点即C（0,0），半径长为r
时圆的方程为：x2 y2 r 2
答智
力
抢
求下列圆的圆心及半径:
(1) x2 y2 4
C(0, 0), r 2
(2) (x 1)2 y2 32 C(1,0), r 3
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？ 平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定
长的点的集合称为圆.
M(x,y)
O
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
变式： (x 2)2 (y 5)2 a2(a 0) C(2,5), r a
三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为 3的圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1(5,7) ，M2( 5,1) 是否在这个圆上。
点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点 M1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程，
Hale Waihona Puke y左右两边不相等，点 M2 的坐标
不适合圆的方程，
O
x
所以点 M2 不在这个圆上.
A
M1
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M 2 ( 5,1) 是否在这个圆上。
数形结合
(x 3)2 ( y 2)2 25
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l : x y 1 0 上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法2：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r 2，则
由A、B在圆上和圆心C在直线l上，得
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l : x y 1 0 上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。
圆心
半径
C到B的距离
圆心在直线 l上
圆心在弦AB的 垂直平分线上
圆心到A、B 的距离相等
yl
A(1,1) l '
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
(x a)2 (y b)2 r2(r 0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
圆的方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 具有什么特点？ 当圆心在坐标原点、半径长为r时，圆的方程是什么？ 结论：左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，
(1 a)2 (1 b)2 r2
a 3
(2 a)2 (2 b)2 r2 解得 b 2
a b1 0
r 5
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x 3)2 ( y 2)2 25
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l : x y 1 0 上，求圆心为C的圆的标准方程。
P124 A组 2, 3
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r 2 ① 因为 A(5,1) ，B(7,3) ，C(2,8) 都在圆上，所以它们的
坐标都满足方程①，于是
(5 a)2 (1 b)2 r 2 ,
(7

a)2

(3 b)2