高中数学第三章三角恒等变形2第2课时两角和与差的正切函数教学案北师大版

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高中数学第三章三角恒等变形3.2.13.2.2两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版

2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正弦、余弦函数阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.(2)×.如当α＝π6，β＝－π6时，则sin(α＋β)＝0.sin α＋sin β＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴当α＝π6，β＝－π6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.【精彩点拨】解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．[再练一题]1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；(2)cos 105°＋sin 195°的值．【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝2－62.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.求sin 2α的值．【精彩点拨】由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解．【自主解答】 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值.【导学号：66470067】【解】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.[探究共研型]探究1 【提示】给值求角即求该角的某种三角函数值．探究2 给值求角的关键是什么？【提示】关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．探究3 常用的角的变换技巧有哪些？【提示】互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 【精彩点拨】先计算sin α后再根据α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2确定角α大小．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.[再练一题]3．已知α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010.求α＋β的值．【解】因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，0<α＋β<π，又sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝31010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32D ．－12【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32. 【答案】 C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32. 【答案】323．cos 345°的值为________.【导学号：66470068】【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝2＋64. 【答案】2＋644．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 【解析】因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－710 2. 【答案】－71025．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，求cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.【解】 cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos α－sin αcos α＋sin α22cos α＋sin α＝2(cos α－sin α) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

高中数学第三章三角恒等变换第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在．点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。

(新)高中数学第三章三角恒等变形3_2两角和与差的三角函数课堂导学案北师大版必修41

3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】若sinα=55,sinβ=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cosα=552)55(12=-,cosβ=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22. 又∵sinα=55<21,sinβ=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23，或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°) =cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解.解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得①+②得cosαcosβ=154, ②-①得sinαsinβ=151-, ∴tanαtanβ=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sinα=53,则2cos(α+4π)等于（） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sinα=53,∴cosα=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cosα=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cosα=71,∴sinα=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=（1411-）·71+7341435•=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】已知α,β∈(-2π,2π)，tanα,tanβ是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tanα+tanβ、tanαtanβ，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,① ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α,β∈(-2π,2π)且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0),∴α+β∈(-π,0). ∴α+β=32π-.类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°) =tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。

高中数学第3章三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数(教师用书)教案北师大版必修4-北

2.3 两角和与差的正切函数学习目标核心素养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T (α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T (α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切 T (α＋β)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠1 两角差的正切T (α－β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠－1tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan 〔α＋β〕.(2)公式的特例 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ [提示]tan (α＋β)＝sin 〔α＋β〕cos 〔α＋β〕＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．1．假设tan α＝3，tan β＝43，那么tan (α－β)＝( )A ．13B ．12C ．－13 D ．－3A [因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，那么α－β等于( ) A ．π3B ．π4C ．3π4D ．－π4D [tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.]3.1＋tan 15°1－tan 15°的值为( )A ． 2B ．－ 2C ． 3D ．－3C [原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]4.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________．3[tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝ 3.]化简求值[例1] 求以下各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°. [解](1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan (60°＋15°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°， ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角〞的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. [解](1)∵tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1 ＝2－3－12－3＋1＝1－33〔3－1〕＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.给值求值(或求角)[例2](1)tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2 2.求： ①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4；②tan (α＋β). (2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解](1)①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan (α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－〔－2〕×1＝22－3.(2)由，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α＜0，tan β＜0，所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－23π.1．“给值求值〞即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向转化．解题过程中须多加注意角的X 围，必要时实行拆分角．2．某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中名称和X 围确定)；(2)根据角的X 围确定角，必要时可利用值缩小角的X 围．2．tan α＝13，tan β＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan (α－β)的值； (2)角α＋β的值．[解](1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用 [探究问题]1．假设α＋β＝π，那么tan α与tan β存在怎样关系？ [提示]tan α＝tan (π－β)＝－tan β.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 与tan A tan B tan C 有何关系？ [提示]∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan (A ＋B )＝－tan C ， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C ，∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 3．在△ABC 中，A ，B ，C 三个角有什么关系？[提示]A ＋B ＋C ＝π或A 2＋B 2＝π2－C2.[例3] 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究]可先求出tan (B ＋C )和tan (A ＋B )的值．再由诱导公式分别求tan A 和tan C 的值，从而可得A ，B ，C ，即可判断三角形形状．[解]tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C ) ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，又0°<A <180°，∴A ＝120°，而tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B3tan A ＋3tan B ＝33.又0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233〞，试求tan A ·tan B的值．[解] 因为A ＋B ＋C ＝180°，∠C ＝120°，所以tan (A ＋B )＝tan 60°＝ 3.又tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B，所以2331－tan A ·tan B ＝3，解得tan A ·tan B ＝13.1．等式中同时出现tan A ±tan B 与tan A ·tan B 时，一般是构造tan (A ±B )，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A ＋B ＋C ＝π这一隐含条件．1．公式T (α±β)的适用X 围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)tan αtan β，tan (α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个． ( )(2)tan ⎝⎛⎭⎫π2＋π3能用公式tan (α＋β)展开． ( )(3)存在α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (4)公式T (α±β)对任意α，β都成立．( ) [答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．A ＋B ＝45°，那么(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定B [(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan (A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.]3．A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，那么A ＋B ＝________．π4[∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.]4．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．[解]∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1.。

《两角和与差的三角函数公式》第2课时示范教学方案北师大新课标

第四章三角恒等变换4.2两角和与差的三角函数公式第2课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用1．能利用Cαβ±公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简，求值等．3．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．教学重点：两角和差的正弦、正切公式的推导及其应用．教学难点：两角和差的正弦、正切公式的灵活运用．PPT课件﹒一、导入新课问题1：变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？这就是本节要学习的内容．设计意图：借助情景引入新课—两角和差的正弦、正切公式及其应用（版书）．二、新知探究1．两角和差的正弦公式问题1：由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75︒的值吗？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：可以，因为sin 75cos15cos(4530)︒=︒=︒-︒﹒设计意图：通过正余弦之间的转化，为探究sin()αβ+的公式作铺垫．问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？师生活动：学生独立思考，推导公式．预设答案：可以，sin(α＋β)＝cos[π2−(α+β)]＝cos 错误!＝sin αcos β＋cos αsin β﹒追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？师生活动：学生独立思考，推导公式﹒预设答案：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．★资源名称：【知识点解析】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．★使用说明：本资源为《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．知识点1：两角和差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（S α＋β）， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（S α－β）．追问2：公式S α±β的适用条件是什么？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．追问3：公式S α－β，S α＋β，可记为什么？师生活动：学生独立思考，小组讨论﹒ 预设答案：“异名相乘，符号同”．设计意图：帮助学生熟记公式． 2．两角和差的正切公式问题3：前面学习的同角三角函数关系中，tan ,sin ,cos ααα的关系怎样？师生活动：学生回忆，举手回答﹒ 预设答案：sin tan cos ααα=﹒ 设计意图：为推导两角和差的正切公式作铺垫﹒追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？师生活动：学生思考、推导﹒ 预设答案：①tan(α＋β)＝++sin cos αβαβ()()＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β﹒②tan(α－β)＝()()sin cos αβαβ--＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β．知识点2：两角和差的正切公式（1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，记作T α＋β．（2）tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，记作T α－β．追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？师生活动：学生观察公式，得出结论．预设答案：不是的．①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2，(k ∈Z )；②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2，(k ∈Z )．追问3：如何计算1－tan15°1＋tan15°？师生活动：学生思考、计算，举手回答﹒预设答案：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33．设计意图：帮助学生熟记两角和差的正切公式．★资源名称：【例题讲解】利用两角和差的正余弦公式求角．★使用说明：本资源为《利用两角和差的正余弦公式求角》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．三、巩固练习例1已知3sin 5α=-，α为第三象限角，求sin(),cos()44παπα-+的值﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师找学生板书解题过程．预设答案：因为3sin 5α=-，α为第三象限角，所以4cos 5α==-，43sin()sincos sin cos()()44455ααπαππ-=-=⨯---=43cos()coscos sin sin ()()44455ααπαππ+=-=---=．追问：本题中sin()cos()44ααππ-=+，这是一种巧合吗？预设答案：不是，因为()()442ππαπα-++=，所以sin()cos()44ααππ-=+﹒方法总结：这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．设计意图：巩固两角差的正弦与两角和的余弦公式的应用．例2已知1tan 2,tan ,3αβ==-其中0<α<π2<β<π﹒求：（1）tan()αβ-的值；（2）α+β﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师补充．预设答案：（1）12()tan tan 3tan(===711tan tan 12()3αβαβαβ----++⨯-）；（2）因为0<α<π2<β<π，所以3+22παβπ<<，而12()tan tan 3tan(===111tan tan 12()3αβαβαβ+-++--⨯-），故5+4παβ=．方法总结：灵活选择适当求角的三角函数值方法．①如果角的取值范围是)20(π,，则选正弦函数、余弦函数均可；②如果角的取值范围是)22(ππ,-，则选正弦函数； ③如果角的取值范围是)0(π,，则选余弦函数．设计意图：巩固两角和差余弦公式的逆用．例3已知02πβαπ<<<<，且12cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭﹒求：（1）tan 2βα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）cos 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值．师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程﹒ 预设答案：（1）因为02πβ<<，所以042πβ-<-<，所以42πβαπ<-<，故5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5tan 212βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）cos cos 222αββααβ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒由2παπ<<得，422παπ<<，又2πβ-<-<0，则422παπβ-<-<，则3cos 25αβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故1235416cos213513565αβ+⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．方法总结：这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．设计意图：巩固角的变换以及两角和差正弦、余弦、正切公式的运用．【板书设计】四、归纳小结问题5：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．（1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？（2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设答案：（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．（2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生掌握利用两角和差公式解决求值问题的方法技巧．布置作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A 组第4，5，6题．五、目标检测设计1﹒已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( ) A ．2 B ．1 C ﹒12D ．4设计意图：检查学生对两角和的正切公式掌握情况． 2﹒已知α∈）（ππ,2，)4sin(πα+＝35，则sin α等于( )A ﹒210 B ﹒7210 C ﹒－210或7210 D ﹒－7210设计意图：检查学生对两角和差公式的综合应用的掌握情况． 3﹒设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则cos θ=______；sin()4πθ+=______﹒ 设计意图：检查学生对两角和的余弦及两角和的正切公式的掌握情况．4﹒如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255﹒ (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．设计意图：检查学生对两角和、差的公式的掌握情况．【参考答案】1．答案：C ﹒解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12﹒2．答案：B ﹒ 解析：由α∈）（ππ,2得，3π4<α＋π4<5π4，所以)4cos(πα+＝)4(12πα+--sin ＝54)53(12-=--﹒ 所以sin α＝]4)4([ππα-sin +＝)4sin(πα+4cosπ－4s πin )4cos(πα+＝22×)5453(+＝7210﹒ 3．答案：，解析：1tan()tan11442tan tan()4431tan()tan 1444ππθππθθπππθ+--=+-===-+++．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，结合θ为第二象限角，则cos 0θ<，可得cos 10θ=-，sin 10θ=﹒ 所以sin()sin )425πθθθ+=+=-﹒ 4．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12﹒(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3﹒(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(ɑ＋β)＋tanβ1－tan(ɑ＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，故可得α＋2β＝3π4．。

高中数学第三章两角和与差的正切函数参考教案北师大版必修4(1)

两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。

教学用具:电脑、投影机四、教学过程【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答）[展示投影] ∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。

高中数学第三章三角恒等变形 2.3 两角和与差的正切函数学案北师大版必修4

2.3 两角和与差的正切函数学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理两角和与差的正切公式知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan αtan β＝________________________.(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝________________________.类型一正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.类型二正切公式的逆用例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.类型三正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βα±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( ) A.π3 B.2π3C.π6D.π41．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．－17B ．－7 C.17D ．73．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定4．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.5．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到．思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βα＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βα－β－1题型探究例1 (1)3 (2)π4跟踪训练1 －43例2 (1) 3 (2)－1 跟踪训练2 (1)－33 (2)33例3 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°·tan 37°＝ 3. 方法二∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37° ＝tan 23°＋tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1．A 2.D 3.B 4.π4 5.43。

3.2.3【教学设计】《两角和与差的正切函数》(北师大)

用心用情服务教育两角和与差的正切函数》教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。

【知识与能力目标】理解并掌握正切函数的定义。

【过程与方法目标】类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。

【情感态度价值观目标】通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

【教学重点】理解并掌握正切函数的定义。

【教学难点】理解并掌握正切函数的定义。

用心用情服务教育电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

和角与差角正切公式的应用和角与差角正切变形公式的应用二、例题解析。

例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）1221tan ,tan(),tan(2).25ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求()2αβααβ-=+-解：（1）()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-tantan()1tan tan()ααβααβ+-=-⋅- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60tan 45+=-⋅=2=-2tan 75（）tan(4530)2=+=3tan15（）tan(4530)2=-=。

高中数学第三章三角恒等变换3.2.2两角和与差的正余弦函数教案北师大版

1.2.2 两角和与差的正、余弦函数整体设计教学分析本节课是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式.以两角差的余弦为基础,推导后面其他公式的过程是一个逻辑推理的过程,也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变形特点的过程,我们不仅要重视对推出的公式的理解、应用,而且还应重视推导过程的教育功能.在这些公式的推导中,教科书把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点.例如:比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦,只是角的形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,如α+β=α-(-β)的关系.又如:比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式即可建立角的正弦与余弦的联系.通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导,揭示了两角和与差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,使学生加深了对数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容对培养学生的运算能力\,逻辑思维能力\,创新能力及发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节的公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领悟它们的这种联系,加深对公式的理解和记忆.本节教案设计的几个例子较课本例子要丰满广阔,主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对具体问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等,这些都是培养学生三角恒等变形能力所不能忽视的.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正、余弦公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,并通过公式的具体运用,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题\,解决问题的能力.2.通过本节公式的推导,不仅使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察\,分析问题的能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.而且要在推导公式的逻辑结构熏陶下,升华学生的理性思维,以数学自身的美去吸引学生,让学生更有效地抓住问题的本质,并从中获得研究方法的有益启示.重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并让一学生把公式默写在黑板上,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察思考:公式cos(α-β)中α、β既然是任意角,你能把它转化为cos(α+β)、sin(α-β)吗？由此展开一系列公式的推导及应用.思路2.(问题引入)教师提出问题,先让学生计算以下几个题目:若sin α=55,α∈(0,2π),cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.这样既复习回顾了上节所学公式,又为本节新课作铺垫.学生利用公式C α-β很容易求得cos(α-β),但是如果求cos(α+β)的值却有困难了,需要想法转化为公式C α-β的形式来求,怎样转化呢？从而引出新课题,并由此展开联想,推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①回忆两角差的余弦公式及推导过程,其他两角和与差的公式也用此法吗？你是否考虑过:在公式C α-β中,因为角β是任意角,所以将角α-β中β换成角-β后用诱导公式? ②观察C α+β的结构有何特征,并与公式C α-β进行比较,你有哪些发现?③你能否利用诱导公式从余弦的两角和公式推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?并观察思考公式的结构特征与和差的余弦公式有什么不同？活动:先让学生默写两角差的余弦公式,教师适时地打开课件,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法吗？并鼓励学生大胆猜想,引导他们比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕,这样就很自然地得到:cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 观察以上公式的结构特征可知:两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积,同时让学生对比公式C α-β进行记忆.由上面推得两角和与差的余弦公式的方法,教师引导学生思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们自然想到利用诱导公式可以实现正弦、余弦的互化(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生在课下试一试),因此有:sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β. 在上述公式中β用-β代之,则有:sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β. 根据以上探究,我们得到以下公式:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.上述结论我们分别称之为两角和的余弦公式、两角差的余弦公式、两角和的正弦公式、两角差的正弦公式.对以上公式教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征以便于整体记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式的变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美以及这种逻辑结构的内在魅力.这种逻辑结构的熏陶是我们中学数学的灵魂,是培养学生的理性思维的特有载体.因此要深刻理解它们之间的内在联系,并借以理解\,灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用,在例题及练习训练中要注意领悟.讨论结果:①—③略.应用示例思路1例1 已知sin α=54,α∈(2π,π),cos β=-135,β∈(π,23π), 求cos(α+β),cos(α-β)的值.活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,应先求出cos α的值,才能利用公式得解.本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立探究完成,必要时给以点拨.解:由已知sin α=54,α∈(2π,π),得cos α=α2sin 1--=-53. 又由已知cos β=-135,β∈(π,23π),得sin β=β2cos 1--=-1312. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-53)×(-135)+54×(-1312)=-6533; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(-53)×(-135)-54×(-1312)=6563. 点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.已知sin α=-53,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α)的值. 解:由sin α=-53,α是第四象限角,得 cos α=α2sin1--=2)53(1--=54 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α =22×54-22×(-53)=1027; cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=22×54-22×(-53)=1027. 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于( ). A.57 B.51 C.27 D.4 答案:A例2 在△ABC 中,sinA=53(0°＜A ＜45°),cosB=135(45°＜B ＜90°),求sinC 与cosC 的值.活动:本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的,同时也加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意三角形内角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°＜A ＜45°,∴cosA=54. 又∵cosB =135且45°＜B ＜90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评:本题是利用两角和差公式来解决三角形问题的基础性典型例子,培养了学生的应用意识,也使他们更加认识了公式的作用.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案:C思路21.若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=43π,且0＜α＜4π＜β＜43π,求cos(α+β)的值. 活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当地点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定角的范围,判断好准确的三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解:∵0＜α＜4π＜β＜43π, ∴43π＜43π+α＜π,-2π＜4π-β＜0. 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,∴cos(43π+α)=-1312,sin(4π-β)=-54 ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β)=135×53-(-1312)×(-54)=-6533. 变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312,求cos(α+4π)的值. 解:∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=-53,sin(β-4π)=1312, ∴23π＜α+β＜2π,2π＜β-4π＜43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=-135, ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π) =(-135)×54+(-53)×1312=-6556. 例2 化简αθαθθβθββαβαsin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(-+-+-. 活动:本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地做完,然后进行讲评反思,也可以把它改编为三角证明题.解:原式=αθαθαβθβθβθββαβαβαsin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin -+-+- =θβαθβαθβαθβαθβαθβαsin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin -+- αβθαβθαβθsin sin sin sin sin cos cos sin sin -+=αβθsin sin sin 0=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简:)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+. 解:原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+-+ βαβαβαβαcos cos sin sin cos sin sin cos +-=)cos()sin(αβαβ--==tan(β-α). 知能训练课本练习3、4、5.课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与三角等式的证明,本节公式推导的逻辑结构如何？2.教师提纲挈领:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式及其推导,明白怎样从已知推得未知,理解数学当中重要的数学思想——“转化与化归”以及由逻辑结构编织的公式体系,并正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系.一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变形思路,强化数学思想方法之目的.作业已知0＜β＜4π,4π＜α＜43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解:∵4π＜α＜43π, ∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin(4π-α)=2)53(1--=-54. 又0＜β＜4π, ∴43π＜43π+β＜π,cos(43π+β)=2)135(1--=-1312. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(-1312)×53-135×(-54)=6556. 设计感想1.本节课可以说是公式推理及其应用的理性特别强的课时,是培养学生理性精神的特有载体,因此教案设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”,这个过程的重点是转化推导,它充分展示了公式推导教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题.从而使学生领会了数学当中重要的数学思想——“转化与化归”,并培养他们主动利用“转化与化归思想”探索解决数学问题.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量很大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导证明方法,熟练会用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律,探索推导,获取新知的方法,让他们真正尝到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.备课资料一、备用习题1.计算8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值. 2.利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°.(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°.(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).3.化简cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.4.已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54,求cos2β的值. 5.求证:cos α+3sin α=2sin(6π+α). 参考答案: 1.解:原式=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(-++-=--+- =8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) =3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=+- . 2.解:(1)原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. (2)原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.3.解:原式=cos ［(α+β)-β］=cos α.4.解:∵2π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜23π. 又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-54, ∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=-53. ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-53×1312+(-54)×135=-6556. 5.证明:方法一:右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边. 方法二:左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边. 本题点评:本题题目虽小但意义重大,也可设计为本节例题.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S α+β展开,化简整理即可得到左边,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的地引导学生把等式左边转化为公式S α+β的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要是把两个三角函数化为了一个三角函数.本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法:将两个三角函数转化为一个三角函数,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的式子引入辅助变形为Asin(x+φ)的形式,其基本思想是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=Acos φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=2222sin ,b a b b a a+=+ϕ,从而得到tan φ=b a ,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式,化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变形思想很重要,即把两个三角函数化为了一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图像与性质来研究它的性质,因此在历年高考试题中出现的频率非常高,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.二、三角函数知识歌诀三角函数是函数,象限符号坐标注;函数图像单位圆,周期奇偶增减现.同角关系很重要,化简证明都需要;同角仅是正余切,平方商除有技巧.诱导公式就是好,负化正后大化小;变成锐角好查表,化简证明少不了.三角公式就是美,二的一半整数倍;千变万化有规律,奇数化余偶不变.将其后者视锐角,符号原来函数判;两角和的余弦值,化为单角好求值.计算证明角先行,注意结构函数名;保持基本量不变,繁难向着简易变.换角变形众公式,抓住角的相对性;公式虽多有主线,互余角度名称变.单位圆中有玄机,逻辑推理要严密;恒等变形不变质;向量有了用武地.三角公式变形多,联系过程巧记忆;总结规律常思考,数学原来真美丽.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数第2课时导学案北师大

3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时两角和与差的正弦函数问题导学 1．给角求值活动与探究1 化简下列各式：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin π12－3cos π12．迁移与应用求值或化简：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α； (2)sin 80°·cos 35°－sin 10°·cos 55°；(3)sin π12＋cos π12；(4)sin 37°－sin 45°cos 8°sin 8°．运用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题的方法：(1)从整体出发，先找出函数式中角与角之间的内在联系，将原三角函数式化简． (2)将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值． (3)注意公式的结构特征和符号规律，并灵活运用公式． 2．给值(式)求值活动与探究2(1)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，求cos α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R ．(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．如：已知角π4－α的相关三角函数值，那么要求角π4＋α的三角函数值，就可以利用π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α变换得到． (3)角的拆分方法不唯一，要注意根据题目合理选择．3．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为零)研究三角函数的性质活动与探究3若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2．(1)把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)判断f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的单调性，并求f (x )的最大值．迁移与应用1．(1)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最小正周期是__________； (2)函数f (x )＝sin x －cos x 的最小值是__________．2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b ． (1)求f (x )的表达式；(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．辅助角公式化简的步骤及应用 (1)“提”常数即提取a 2＋b 2，使a sin x ＋b cos x 变成a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ．(2)“定”θ值令cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b 2确定辅助角θ的值．(3)用处多利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题．当堂检测1．对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的认识正确的是( )． A ．对任意的角α，β都成立B ．只对α，β取几个特殊值时成立C ．对于任何角α，β都不成立D ．有无限个α，β的值使等式成立2．计算sin 59°·cos 29°－cos 59°sin 29°的结果等于( )．A ．33B ．32C ．12D ．223．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形4．要使sin α－3cos α＝4m －6有意义，则m 的范围是__________．5．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2xsin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若f (x )＝43，求sin x ·cos x 的值．答案：课前预习导学【预习导引】sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β预习交流1 提示：对比公式C α±β的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S α±β的记忆规律：“正余余正，和差相同”．2．－cos α －cos α 预习交流2 A3．a 2＋b 2a a 2＋b2b a 2＋b 2预习交流3 13 解析：∵a ＝2，b ＝－3，∴A ＝a 2＋b 2＝13.∴2 sin x －3cos x ＝13sin(x ＋φ)(其中φ在第四象限，且tan φ＝－32)，∴函数的最大值为13.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3·co s π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 迁移与应用解：(1)原式＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α. (2)原式＝sin 80°·cos 35°－cos 80°·sin 35°＝sin(80°－35°)＝sin 45°＝22. (3)原式＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22sin π12＋22cos π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4 ＝2sin π3＝2×32＝62.(4)原式＝sin 45°－8°－sin 45°·cos 8°sin 8°＝sin 45°·cos 8°－cos 45°·sin 8°－sin 45°·cos 8°sin 8°＝－cos 45°＝－22. 活动与探究2 解：(1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴3π2＜α＋β＜2π，π2＜β－π4＜3π4. 故cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝sin(α＋β)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－cos(α＋β)·sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×1213 ＝1565－4865＝－3365. (2)由已知，得sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝－435，∴32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 迁移与应用解：(1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1； (2)∵1013＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α， 65＝f (3β＋2π) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×3β＋2π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. 活动与探究3 解：(1)f (x )＝(1＋3tan x )·cos x＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x ·cos x ＝cos x ＋3sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)∵0≤x ＜π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上是减少的．∴当x ＝π3时，f (x )有最大值2.迁移与应用 1．(1)2π(2)－ 2 解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期是2π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，最小值是－ 2.2．解：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R )． (2)f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∴T ＝2πω＝2π，值域为[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .【当堂检测】1．D 2．C 3．C 4．[1,2] 5．解：(1)由题意， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠0，∴x ＋π4≠k π(k ∈Z )．∴x ≠k π－π4(k ∈Z )．函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)f (x )＝cos 2x －sin 2xsin x ·co s π4＋cos x ·si nπ4＝2cos x ＋sin x cos x －sin xsin x ＋cos x＝2(cos x －sin x )，∵f (x )＝43，∴cos x －sin x ＝223.∴1－2sin x ·cos x ＝89.∴sin x ·cos x ＝118.。

北师版新课标高中数学必修二教案《两角和与差的正切函数》

《两角和与差的正切函数》教学设计教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，包括倍角公式，半角公式等．它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．导入新课思路1．（问题导入）通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2．（直接导入）在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan （α±β）与tan α、tan β间的关系？是否与sin （α±β）公式相似?如何推导呢?由此展开新课，揭示课题．新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式，对比分析公式C α-β、C α+β、S α-β、S α+β，能否推导出tan （α-β）=?tan （α+β）=?③分析观察公式T α-β、T α+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\，余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β，可以完全让学生自己进行探究tan （α-β），tan （α+β）究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cos αcos β即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cos αcos β等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cos αcos β讨论如下：当cos （α+β）≠0时，tan （α+β）=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++．若cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+．根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan （α-β）=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+．由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T α-β、T α+β”．tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+；（T α+β）tan （α-β）=βαβαtan tan 1tan tan +-．（T α-β）我们把公式T α+β，T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β\，α±β有一定的取值范围，即α≠2π+kπ（k ∈Z ），β≠2π+kπ（k ∈Z ），α±β≠2π+kπ（k ∈Z ），这样才能保证tan （α±β）与tan α，tan β都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味\，反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan （α+β）→sin （α+β），cos （α+β）→sin α、sin β、cos α、cos β→tan α、tan β．我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么?（提示学生从公式的形式和推导过程看）tan α、tan β、tan （α±β）都有意义，且1±tan αtan β≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减（或加）单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．（基本关系式用于三角函数的变形）可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫作三角函数的和差公式．一般地，我们把公式S α+β，C α+β，T α+β都叫作和角公式，而把公式S α-β，C α-β，T α-β都叫作差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），tan α-tan β=tan （α-β）（1+tan αtan β），在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T α±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan （2π-β），因为tan 2π的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan （2π-β）=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理．讨论结果：①—④略．应用示例例1 已知tan α=2，tan β=-31，其中0＜α＜2π，2π＜β＜π．（1）求tan （α-β）；（2）求α+β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于（2）教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：（1）因为已知tan α=2，tan β=-31，所以tan （α-β）=321312tan tan 1tan tan -+=•+-βαβα=7．（2）因为tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan •-+=321312+-=1，又因为0＜α＜2π，2π＜β＜π，所以2π＜α+β＜43π．在2π与43π之间，只有45π的正切值等于1，所以α+β=45π．例2 计算οο15tan 115tan 1+-的值．活动：教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用，难度不大，可由学生自己完成．对部分思路受阻的学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现与T α-β右边形式相近，但需要进行一定的变形，又因tan45°=1，原式化为οοοο15tan 45tan 115tan 45tan +-，再逆用公式T α-β即可解得．解：因为tan45°=1，所以οο15tan 115tan 1+-=οοοο15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan （45°-15°）=tan30°=33．点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识．变式训练1．不查表求tan105°的值．解：tan105°=tan （60°+45°） =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+οοοο． 2．不查表，计算：（1）tan22°+tan23°+tan22°tan23°；（2）tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°tan30°．解：（1）原式=tan （22°+23°）·（1-tan22°tan23°）+tan22°tan23°=tan45°·（1-tan22°tan23°）+tan22°tan23°=1．（2）原式=tan17°tan43°+tan30°（tan17°+tan43°）=tan17°tan43°+tan30°tan （17°+43°）（1-tan17°tan43°）=tan17°tan43°+tan30°tan60°（1-tan17°tan43°）=1．例3 若tan （α+β）=52，tan （β-4π）=41，求tan （α+4π）的值．活动：本例是教材和与差角公式的最后一个例题，需要用到拆角技巧，对此学生是熟悉的．教学时可让学生自己探究解决，但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系，通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动，以实现解题的突破．解：因为α+4π=（α+β）-（β-4π），所以tan （α+4π）=tan ［（α+β）-（β-4π）］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα．点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力．变式训练已知sin α=32，α∈（2π，π），cos β=-43，β∈（π，23π）．求tan （α+β）．解：由cos β=-43，β∈（π，23π），sin α=32，α∈（2π，π）， ∴sin β=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47， cos α=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tan β=37，tan α=-552． ∴tan （α+β）=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα． 4．（1）已知α+β=45°，求（1+tan α）（1+tan β）的值．（2）已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求βαtan tan ．活动：对于问题（1），教师可与学生一起观察分析已知条件．通过分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α，tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路．在问题（2）中，我们欲求βαtan tan ，若利用已知条件直接求tan α，tan β的值有一定的困难，但细心观察公式S α+β、S α-β发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路．教学中尽可能地让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答．解：（1）∵α+β=45°，∴tan （α+β）=tan45°=1．又∵tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan --， ∴tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），即tan α+tan β=1-tan αtan β．∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+（1-tan αtan β）+tan αtan β=2．（2）∵sin （α+β）=21，sin （α-β）=31， ∴sin αcos β+cos αsin β=21．① sin αcos β-cos αsin β=31．② ①+②，得sin αcos β=125， ①-②，得cos αsin β=121， ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5．点评：本题都是公式的变形应用，像（1）中当出现α+β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tan α+tan β=tan （α+β）（1-tan αtan β），这个变形式子对我们解题很有用处．而（2）中化切为弦的求法更是巧妙，解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，熟练掌握其变化的思想方法．变式训练1．求（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）…（1+tan44°）（1+tan45°）的值．解：原式=［（1+tan1°）（1+tan44°）］［（1+tan2°）（1+tan43°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］（1+tan45°）=2×2×2×…×2=223．2．计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°．解：原式=tan45°（1-tan15°tan30°）+tan15°tan30°=1．课堂小结本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，掌握探究公式的方法，学会应用公式的三种基本方式；通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．作业1．已知一元二次方程ax 2+bx +c =0（ac ≠0）的两个根为tan α，tan β，求tan （α+β）的值．解：由韦达定理，得tan α+tan β=-a b ，tan αtan β=ac ，∴tan （α+β）=a c b c a b a c a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ．1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．总之，本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体．。

高中数学第三章三角恒等变形2.3两角和与差的正切函数学案北师大必修420190108284

2.3 两角和与差的正切函数内容要求能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题(重、难点)．知识点两角和与差的正切公式【预习评价】 1．tan 105°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C.－3－33D ．－2＋ 3答案 A2.tan 49°＋tan 11°1－tan 49°tan 11°＝________. 答案3题型一化简求值【例1】求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．【训练1】 (1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 解 (1)∵tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30° ＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°·tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－ta n 10°·tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.【探究1】若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________．解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.答案 75【探究2】已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．解 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.【探究3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求： (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2·22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3. 【探究4】已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，且tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，求tan C .解因为tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，所以tan A ＋tan B ＝－83，tan A tan B ＝－13，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－831－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π.所以tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.规律方法 “给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．题型三给值求角【例2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝α－β＋tan α1－α－βα＝12＋131－13×12＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，故2α－β＝－3π4.规律方法在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．【训练2】已知tan α，tan β是x 2＋33x ＋4＝0的两根，－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，求α＋β的值．解 ∵tan α＋tan β＝－33＜0，tan α·tan β＝4＞0， ∴tan α＜0，tan β＜0， ∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，∴－π2＜α＜0，－π2＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.课堂达标1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 A2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2. 答案 B3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝____.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.答案π44．在△ABC 中，tan A ＝34，tan B ＝513，那么tan C 的值等于________．解析 tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34＋5131－34×513＝－5937.答案－59375．若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.课堂小结1．公式T α±β的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路.基础过关1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A. 答案 A2.1＋tan 75°1－tan 75°＝( ) A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3解析原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. 答案 D3．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(2α－β)的值为( )A ．－34B.98 C ．－98D.112解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－251－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝112.答案 D4．已知tan(α＋β)＝13，tan α＝－2，则tan β＝________.解析 ∵β＝(α＋β)－α，∴tan β＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝7.答案 75．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7，则sin α＝________.解析由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－7， ∴tan α＝－34＜0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.答案 356．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 (1)原式＝－＋cos 15°sin 8°－－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求2sin αcos α－cos 2α2cos 2α的值．解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，∴1＋tan α1－tan α＝12.∴tan α＝－13. (2)原式＝2tan α－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－12＝－56.能力提升8．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1)D.3(a ＋1)解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )．答案 B9．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan 10°D.3tan 20°解析原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 答案 A10．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.解析sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－＝－32.答案－3211．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.答案 112.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为2 10，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 13．(选做题)是否存在锐角α和β，使①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β＝2－3，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解解法一：由①得α2＋β＝π3. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾． ∴tan β＝1，tan α2＝2－3， ∴β＝π4，代入①得α＝π6，满足tan α2＝2－ 3. 解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－β·tan β＝2－3⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－3⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0，tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6. 若tan β＝2－3，代入②得tan α2＝1.不合题意．故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案北师大版

1.2.3 两角和与差的正切函数整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决.在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用.教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?③分析观察公式Tα-β、Tα+β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？④前面两角和与差的正\,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α-β、C α+β、S α+β、S α-β,可以完全让学生自己进行探究tan(α-β),tan(α+β)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切,通过除以cos αcos β即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论cos αcos β等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对cos αcos β讨论如下:当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++. 若cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子分母同除以cos αcos β,得tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 根据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan +-=---+. 由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T α-β、T α+β”.tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+;(T α+β) tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.(T α-β) 我们把公式T α+β,T α-β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道α、β\,α±β有一定的取值范围,即α≠2π+k π(k∈Z ),β≠2π+k π(k∈Z ),α±β≠2π+k π(k∈Z ),这样才能保证tan(α±β)与tan α,tan β都有意义.教师应留出一定的时间让学生回味\,反思探究过程,点明推导过程的关键是:tan(α+β)→sin(α+β),cos(α+β)→sin α、sin β、cos α、cos β→tan α、tan β.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:①公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan α、tan β、tan(α±β)都有意义,且1±tan αtan β≠0;②注意公式的形式:公式右边分子是单角α、β正切的和与差,分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;③公式的作用:将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S α+β,C α+β,T α+β都叫作和角公式,而把公式S α-β,C α-β,T α-β都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tan α,tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理.讨论结果:①—④略.应用示例例1 已知tan α=2,tan β=-31,其中0＜α＜2π,2π＜β＜π. (1)求tan(α-β);(2)求α+β的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tan α=2,tan β=-31, 所以tan(α-β)=321312tan tan 1tan tan -+=∙+-βαβα=7. (2)因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=321312+-=1, 又因为0＜α＜2π,2π＜β＜π,所以2π＜α+β＜43π. 在2π与43π之间,只有45π的正切值等于1,所以α+β=45π. 例2 计算15tan 115tan 1+-的值. 活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T α-β右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan +-,再逆用公式T α-β即可解得. 解:因为tan45°=1,所以 15tan 115tan 1+-=15tan 45tan 115tan 45tan +-=tan(45°-15°)=tan30°=33. 点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1.不查表求tan105°的值.解:tan105°=tan(60°+45°) =32311345tan 60tan 145tan 60tan --=-+=-+ . 2.不查表,计算:(1)tan22°+tan23°+tan22°tan23°;(2)tan17°tan43°+tan17°tan30°+tan43°ta n30°.解:(1)原式=tan(22°+23°)·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=tan45°·(1-tan22°tan23°)+tan22°tan23°=1.(2)原式=tan17°tan43°+tan30°(tan17°+tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan(17°+43°)(1-tan17°tan43°)=tan17°tan43°+tan30°tan60°(1-tan17°tan43°)=1.例3 若tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41,求tan(α+4π)的值. 活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破.解:因为α+4π=(α+β)-(β-4π), 所以tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］ =223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=⨯+-=-++--+πββαπββα. 点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=-43,β∈(π,23π). 求tan(α+β). 解:由cos β=-43,β∈(π,23π),sin α=32,α∈(2π,π),∴sin β=-β2cos 1-=-2)43(1--=-47, cos α=-35)32(1sin 122-=--=-a ∴tan β=37,tan α=-552. ∴tan(α+β)=1772753235215755637)552(137552tan tan 1tan tan +-=++-=⨯--+-=-+βαβα. 4．(1)已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值.(2)已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求βαtan tan . 活动:对于问题(1),教师可与学生一起观察分析已知条件.通过分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在问题(2)中,我们欲求βαtan tan ,若利用已知条件直接求tan α,tan β的值有一定的困难,但细心观察公式S α+β、S α-β发现,它们都含有sin αcos β和cos αsin β,而βαtan tan 化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能地让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --, ∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21.① sin αcos β-cos αsin β=31.②①+②,得sin αcos β=125, ①-②,得cos αsin β=121, ∴121125sin cos cos sin tan tan ==βαβαβα=5. 点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),这个变形式子对我们解题很有用处.而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,解完后留出一定的时间让学生认真总结反思,熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能训练课本练习1、2、3、4.课堂小结本节课主要学习的是:推导了两角和与差的正切公式;研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用;学习了公式的应用,通过公式的推导,加强了对“转化”数学思想方法的理解,掌握探究公式的方法,学会应用公式的三种基本方式;通过例题我们对公式不仅要会正用,还要会逆用,有时还需要适当变形后再用,这样才能全面地掌握公式.作业1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tan α,tan β,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理,得tan α+tan β=-a b ,tan αtan β=a c , ∴tan(α+β)=a c b c a b ac a ba a -=--=--=-+1tan tan 1tan tan ββ. 2.课本习题3—1 A 组6,7.设计感想1.因为本节内容是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续,也注意了复习巩固两角和差公式.设计意图在于深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.2.对于本节课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计例习题上,也是先让学生审题、独立思考、探究解法,然后教师再进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本节教案的设计思想是把本节操作过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.备课资料备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tan α与tan β,求tan(α+β)的取值范围. 3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值.4.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm -+11tan α. 5.化简A B A sin )2sin(+-2cos(A+B). 6.已知5sin β=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tan α.参考答案:1.解:(1)∵A、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴BA B A tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. (2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tan C B A B A =-+.去分母,移项,整理可得 tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0.①由①解得m∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=∙,2112tan tan ,1tan tan m m m m m m βαβα则tan(α+β)=mm m m1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1. ∵m∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m -1≤2×81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70° =-3.∴原式的值为-3.4.证明:由sin β=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=ｍ［sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α］⇒(1-ｍ)·sin(α+β)cos α=(1+ｍ)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm -+11tan α. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明.5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］, 即5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α.∴2tan(α+β)=3tan α.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.。

2022年高中数学新北师大版精品教案《辅助角公式专》

第三章三角恒等变形第2节两角和与差的三角函数之辅助角〔又称合一〕公式专题教学设计梧州高级中学数学组周勇辅助角公式是三角变换中最重要的公式，在解决三角函数问题过程中具有广泛地应用，由于公式的推导理解和灵活运用有一定的难度，所以需要进行专题的讲解。

根据内容特点，我做出如下的教学设计。

一、学习目标1、知识与技能1掌握辅助角公式的推导过程，认识辅助角公式的作用和意义。

2利用辅助角公式进行简单的三角函数变形和求值，能解决某些简单的三角函数问题。

2、过程与方法以问题链为导学方式来帮助学生完本钱节内容的学习，着重抓住学生的思维开展过程，先引导学生复习两角和差的正余弦公式并通过具体实例训练逆向使用，从中启发学生认真观察、类比、思考，深入挖掘得出辅助角公式并进行理论推导和证明，体会公式的作用和意义，并学会模仿使用公式和灵活运用。

3、情感目标与价值观通过让学生历练数学问题解决的思维开展过程，让学生体会辅助角公式的产生是自然的，方法是多样的，结果是简洁的，感受到思维的快乐和数学的美感。

【学习重点】辅助角公式的推导。

【学习难点】辅助角公式的应用。

【学法指导】通过个人自主探究和小组互相讨论，激发学生学习兴趣。

二、学习内容与过程：情景设置：〔一〕复习引入，公式稳固请分析上述公式形式特点，得出其记忆口诀〔左复右单，正同名异，余异名同〕。

设计意图：通过复习回忆公式，一方面归纳出公式形式上的特点来稳固和帮助学生记忆公式，另一方面为后续逆向使用公式提供必要铺垫。

情景设置：〔二〕问题探究，观察思考1.请利用正余弦和差公式进行展开：2请将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：设计意图：通过以上两个具体实例帮助学生从正向和逆向使用公式，增强思维的互逆性，另外特别训练学生的观察能力。

情景设置：〔三〕变式训练，提炼技巧3请继续将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：设计意图：继续通过两个具体变式实例，训练和提高学生逆向使用公式的能力，以及思维的变通能力。

高中数学第三章三角恒等变形两角差的余弦函数两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版必修

2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点)．知识点1 两角和与差的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(3.3) C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(3.4) 【预习评价】1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 B2．cos 75°＝________. 答案6－24知识点2 两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(3.5) S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3.6) 【预习评价】1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22D.32答案 A2．已知sin α＝35，0＜α＜π2，则cos α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 45 7210题型一给角求值【例1】求值：(1)sin 15°＋cos 15°； (2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°. 解 (1)方法一 sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 方法二 sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.规律方法解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．【训练1】求下列式子的值： (1)cos(－15°)； (2)sin 795°；(3)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°. 解 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (3)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77° ∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－12.题型二给值求值【例2】已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解 ∵π4＜α＜3π4，∴－π2＜π4－α＜0.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.又∵0＜β＜π4，∴3π4＜3π4＋β＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213，sin(α＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665.规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．【训练2】已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解 ∵π2＜β＜α＜3π4，∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.【探究1】已知A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．解 ∵A ，B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22.又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.【探究2】已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．解 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.【探究3】已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值．解由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513，由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.∴2β＝π，则β＝π2.规律方法 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数.课堂达标1．sin 75°等于( ) A.6－24 B.6＋24 C.6－22D.6－22解析 sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 答案 B2．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12.答案 B3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________.解析原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案324．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝________.解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010，∴cos α＝55，sin β＝31010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.答案3π45．已知锐角α、β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β.解 ∵α为锐角，且cos α＝45，∴sin α＝35.又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝91050.课堂小结1．两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差的三角函数公式的特例，例如：sin(π＋α)＝sin πcos α＋cos πsin α＝－sin α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.基础过关1．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.答案 A2．化简sin(x ＋y )sin(x －y )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2x B ．cos 2x C ．－cos 2xD ．－sin 2x解析原式＝－cos[(x ＋y )＋(x －y )]＝－cos 2x ，故选C.答案 C3．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( )A.1725 B.35 C.725D.15解析 ∵cos α＝45，cos(α＋β)＝35，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝45×45－35×35＝725. 答案 C4．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝83.答案 835．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析由tan α＝2得sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝55×22＋255×22＝31010. 答案310106．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 解 ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255.∵－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010，∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4.7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．解由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.①由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.能力提升8．在△ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C9．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 答案 B10．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝________. 解析因sin αcos β＝1且－1≤si n α≤1，－1≤cos β≤1，故有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1.所以cos α＝sin β＝0，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0. 答案 011．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin(α＋π4)＝_____.解析 ∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3) ＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α) ＝1－32(22sin α＋22cos α) ＝1－32sin(α＋π4)＝－1，∴sin(α＋π4)＝23.答案2312．(1)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．解 (1)∵sin α＝13，cos β＝－23，α、β为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－223， sin β＝1－cos 2β＝53， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×(－23)＋(－223)×53＝－2－2109， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×(－23)－(－223)×53＝－2＋2109. (2)∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＋β ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β ＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．解 (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1. (2)由f (3α＋π2)＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65，从而cos β＝35. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365.。

高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的三角函数3.2.3两角和与差的正切函数导学案北师大版必修

3.2.3 两角和与差的正切函数问题导学1．公式的直接应用活动与探究1已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．迁移与应用已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．求tan(α－β)，tan(α＋β)的值．用两角和与差的正切求值的基本思路：(1)利用同角三角函数的基本关系式，求出所给角的正切值． (2)分析所求值的角与已知角的关系． (3)利用两角和与差的正切公式求值． 2．公式的逆用与变形用活动与探究2求值：(1)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°；(2)3－tan 15°1＋3tan 15°．迁移与应用求值：(1)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°·tan 37°； (2)tan 105°－1tan 105°＋1．应用两角和与差的公式化简的注意要点：(1)公式的逆运用，首先要熟悉公式的结构特征，其次要注意常值的代换，如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．(2)公式的变形应用，只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T α±β的意识．3．利用公式求角活动与探究3已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．迁移与应用如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255．(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值．求角问题中应特别关注的问题： (1)角的变换前面学习S α±β，C α±β的过程中运用的角的变换技巧仍然适用于公式T α±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步掌握这些角的变换方法．(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，具体要根据题设条件去选择恰当的函数． (3)角的范围的界定根据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会直接影响解的个数，因此，角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．4．公式的综合应用活动与探究4在△ABC 中，已知tan A 与tan B 是方程2x 2＋9x －13＝0的两个根，求tan C 的值．迁移与应用已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．公式T α＋β与一元二次方程的联系：在两角和的正切公式T α＋β中，有tan α＋tan β和tan αtan β这两项，对比一元二次方程中的根与系数的关系，为我们利用韦达定理解决问题找到了很好的结合点．因此tan α、tan β可以看作一元二次方程的根，这样tan α＋tan β、tan αtan β、tan α－tan β就可以互相表示，进而可以利用它们求tan(α±β)．当堂检测1．tan(－165°)的值是( )． A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C ．－2＋ 3 D ．－2－ 32．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )． A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7 3．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝( )．A ． 3B ．33C ．－33D ．－ 34．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．35．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，求tan(α＋β)的值．答案：课前预习导学【预习导引】(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β预习交流1 提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )，例如tan 3π4，tan π4都有意义，但tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4无意义．预习交流2 提示：两角和与差的正切公式的常见变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β；(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tan α±tan β和tan αtan β时，就要有灵活运用公式T α±β的变形形式的意识．预习交流3 (1)D (2)B(3) 3 (4)－33课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝－2.迁移与应用解：∵β∈(0，π)，cos β＝55， ∴sin β＝1－cos 2β＝255.∴tan β＝sin βcos β＝2.∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝－7.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1.活动与探究2 解：(1)∵tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°＝3，∴tan 10°＋tan 50°＝3－3tan 10°tan 50°. ∴tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.(2)3－tan 15°1＋3tan 15° ＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1. 迁移与应用解：(1) ∵tan(23°＋37°) ＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3， ∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°. ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.(2)原式＝tan 105°－tan 45°1＋tan 105°tan 45°＝tan(105°－45°) ＝tan 60°＝ 3.活动与探究3 解：因为tan β＝－17，tan(α－β)＝12，所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α ＝12＋131－12×13＝1.因为tan α＝13＞0，tan β＝－17＜0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α－β∈(－π，0)．又tan(α－β)＝12＞0，所以α－β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－3π4.迁移与应用解：(1)由题可知：cos α＝31010，cos β＝255.由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55.故tan α＝13，tan β＝12.则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)∵tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010＜22，sin β＝55＜22，即α＋β＜π2，故α＋β＝π4.活动与探究4 解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝－92，tan A ·tan B ＝－132，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B＝－－921＋132＝915＝35.迁移与应用解：∵tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，∴⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.①②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－33－3＝ 3.又由①②可知tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.从而α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.【当堂检测】1．B 2．A 3．D 4． A5．解：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.。