2016-2017学年江苏省无锡市市北高中高二(下)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年江苏省无锡市市北高中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）=（n∈N*）．3．（5分）用1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的三位数共有个．（用数字作答）4．（5分）若复数z满足iz=﹣1+i，则|z|=．5．（5分）若A=6C，则n的值为．6．（5分）设a、b、c均为正实数，则下列关于三个数a+、b+、c+的结论，正确的序号是．①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2．7．（5分）用数学归纳法证“1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）”的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为．8．（5分）已知：（3x﹣1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a7+a6+…+a1=．9．（5分）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是．（用数字作答）10．（5分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f（），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为11．（5分）S=C+C+…+C除以9的余数为．12．（5分）4张卡片的正、反两面分别写有数字0，1；2，3；4，5；6，7，将这4张卡片排成一排，可构成个不同的四位偶数．13．（5分）观察下列等式：（x2+x+1）0=1；（x2+x+1）1=x2+x+1；（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；由此可以推测：（x2+x+1）5的展开式中，系数最大的项是．14．（5分）对于集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2﹣1）=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=．二、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知i是虚数单位，复数z满足（z﹣2）i=﹣3﹣i．（1）求z；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．16．（12分）（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证a，b，c中至少有一个大于0．17．（14分）已知在（﹣）n的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3．（1）求展开式的常数项；（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）10展开式中x2项的系数．18．（14分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？19．（14分）设f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx），（其中n∈N*，且n≥2）其展开后含x r项的系数记为a r（r=0，1，2，…，n）．（1）求a1（用含n的式子表示）；（2）证明：a2=C．20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，（1+）m（m∈N*）展开式的前三项的系数分别为a1，a2，a3．（1）求（1+）m（m∈N*）的展开式中二项式系数最大的项；（2）当n≥2（n∈N*）时，试猜测+++…+与的大小并证明．2016-2017学年江苏省无锡市市北高中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）=3+2i（i是虚数单位），∴z=+4=+4=6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）=（n∈N*）．【解答】解：∵，，，…照此规律，1×2+2×3+…+n（n+1）=故答案为：3．（5分）用1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的三位数共有60个．（用数字作答）【解答】解：数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数，选3个再全排列，故有A53=60个，故答案为：60．4．（5分）若复数z满足iz=﹣1+i，则|z|=2．【解答】解：复数z满足iz=﹣1+i，可得|iz|=|﹣1+i|，即|z|==2．故答案为：2．5．（5分）若A=6C，则n的值为7．【解答】解：由若A=6C，得，整理得，n（n﹣1）（n﹣2）=，解得n=7．故答案为7．6．（5分）设a、b、c均为正实数，则下列关于三个数a+、b+、c+的结论，正确的序号是④．①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2．【解答】解：因为a++b++c+=（）+（）≥6假设三个数都小于2则a++b++c+＜6所以假设错误所以至少有一个不小于2故正确的序号为④，故答案为：④7．（5分）用数学归纳法证“1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）”的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为．【解答】解：当n=k到n=k+1时，左边增加了两项，减少了一项，左边所增加的项为．故答案为．8．（5分）已知：（3x﹣1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，则a7+a6+…+a1=129．【解答】解：令x=0，可得a0=（﹣1）7=﹣1．令x=1，可得：a7+a6+…+a1+a0=27=128．∴a7+a6+…+a1=128+1=129．故答案为：129．9．（5分）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是20．（用数字作答）【解答】解：依题意，乙必须在甲后，丙必须在乙后，丙丁必相邻，且丁在丙后，只需将剩余两个工程依次插在由甲、乙、丙丁四个工程之间即可，第一个插入时有4种，第二个插入时共5个空，有5种方法；可得有5×4=20种不同排法．故答案为：2010．（5分）凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f（），已知函数y=sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为【解答】解：∵f（x）=sinx在区间（0，π）上是凸函数，且A、B、C∈（0，π），∴≤f（）=f（），即sinA+sinB+sinC≤3sin=，所以sinA+sinB+sinC的最大值为．11．（5分）S=C+C+…+C除以9的余数为7．【解答】解：S=C+C+…+C=（1+1）27﹣1=（9﹣1）9﹣1=+…+×9﹣1﹣1=9M+7，其中M=为正整数，∴S=C+C+…+C除以9的余数为7．故答案为：7．12．（5分）4张卡片的正、反两面分别写有数字0，1；2，3；4，5；6，7，将这4张卡片排成一排，可构成168个不同的四位偶数．【解答】解：分两种情况：个位是0时，则组成前三位数时没有限制，排列，确定每一张哪一面朝上各有2种，有23=48个，个位是不是0时，当1在千位上时，个位只能从2，4，6中选一个，百位和十位再剩下的两张排列，确定每一张哪一面朝上各有2种，有=24个，个位是不是0时，当千上不是1时，个位只能从2，4，6中选一个有3种，再确定千位，有=4种，再排百位和十位，有=8种，则偶数的个数为3×4×8=96个，根据分类计数原理得，48+24+96=168．故答案为：168．13．（5分）观察下列等式：（x2+x+1）0=1；（x2+x+1）1=x2+x+1；（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1；（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1；由此可以推测：（x2+x+1）5的展开式中，系数最大的项是51x5．【解答】解：观察所给的等式当n=0时，展开式有1项，当n=1时，展开式有3项，当n=2时，展开式有5项，当n=3时，展开式有7项，由此得到规律为，当n=n时，展开式有2n+1项，且展开式中间一项的系数最大，因此当n=5时，按x的降次排列，展开式有11项，且展开式第6项的系数最大，展开式的第6项的系数为C52C31+C51C43+1=51；由此可以推测：（x2+x+1）5的展开式中，系数最大的项是：51x5，故答案为：51x5，14．（5分）对于集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2﹣1）=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1．【解答】解：S1=1 S2=4当n=3时S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n•2n﹣1故答案为：n•2n﹣1二、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）已知i是虚数单位，复数z满足（z﹣2）i=﹣3﹣i．（1）求z；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由（z﹣2）i=﹣3﹣i，得zi=﹣3+i，…（2分）所以z==1+3i．…（6分）（2）因为z=1+3i．所以==[（x+3）+（1﹣3x）i]，…（10分）因为对应的点在第一象限，所以解得﹣3＜x＜．所以，实数x的取值范围是（﹣3，）．…（14分）16．（12分）（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证a，b，c中至少有一个大于0．【解答】证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a+b+c≤0，而a+b+c=（x2﹣2y+）+（y2﹣2z+）+（z2﹣2x+）=（x2﹣2x）+（y2﹣2y）+（z2﹣2z）+π=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3，∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾，故假设是错误的，故a、b、c中至少有一个大于0．17．（14分）已知在（﹣）n的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3．（1）求展开式的常数项；（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）10展开式中x2项的系数．【解答】解：（1）由题意知，即，化简得n2﹣5n﹣50=0，解得n=10，或n=﹣5（舍）．二项展开式中的通项公式为，令，解得r=2，故常数项为第三项为．（2）（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）10展开式中x2项的系数为=．18．（14分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【解答】解：首先选定两个不同的球，看作一个球，选法有C52=10种，再把“空”当作一个球，共计5个“球”，投入5个盒子中，有A55=120种投放法．∴共计10×120=1200种方法（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有A55种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有A55﹣1=119种．（3）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：∴满足条件的放法数为：A55﹣45﹣44=31（种）．19．（14分）设f（x）=（1+x）（1+2x）…（1+nx），（其中n∈N*，且n≥2）其展开后含x r项的系数记为a r（r=0，1，2，…，n）．（1）求a1（用含n的式子表示）；（2）证明：a2=C．【解答】解：（1）由题意从函数的解析式的n个括号中，选一个x，余下的选常数，∴a1=1+2+…+n=．（2）由题意从函数的解析式的n个括号中，选两个含有x的项，余下的选常数，即可得到a2，∴a2=1×2+1×3+…+1•n+2×3+2×4+…+2•n+…+（n﹣1）•n==[]2﹣=•=．∴a2=C．20．（14分）已知数列{a n}是等差数列，（1+）m（m∈N*）展开式的前三项的系数分别为a1，a2，a3．（1）求（1+）m（m∈N*）的展开式中二项式系数最大的项；（2）当n≥2（n∈N*）时，试猜测+++…+与的大小并证明．【解答】解：（1）由二项式定理可得（1+）m=1+（）+（）2+…+（）m，由题意可得a1=1，a2=，a3=，由数列{a n}是等差数列可得2a2=a1+a3，解得m=8，或m=1（舍去）∴展开式中第五项的二项式系数最大，∴二项式系数最大的项为T5=（）4=x4；（2）由（1）知a n=3n﹣2，当n=2时，+++…+=++=++=＞当n=3时，+++…+=++…+=++…+＞猜测当n≥2时，+++…+＞，下面由数学归纳法证明，①由上述过程可知当n=2或3时，结论成立，②假设n=k时，结论成立，即++…+＞，则当n=k+1时，++…+=（++…+）+（++…+﹣）＞+（++…+﹣）＞+﹣=+，由k≥3可得3k2﹣7k﹣3＞0，[3（k+1）2﹣2][3k﹣2]＞0，∴++…+＞综合①②可得，当n≥2时，+++…+＞。