广东省深圳市高一下学期数学期末考试试卷
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题含解析
2024届深圳高级中学数学高一下期末检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4π B ．2π C ．34π D ．π2．已知等比数列{}n a ，若141,8a a =-=，则3a =( ) A ．22B ．22-C ．4D ．4-3．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 4．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．235．直线2320x y +-=的斜率为（ ） A ．23-B ．1-C ．32-D ．126．如图：样本A 和B 分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s ，则（ ）A ．,AB A B x x s s >> B ．,A B A B x x s sC ．,A B A B x x s s ><D ．,A B A B x x s s <<7．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6388．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则+a b 的值为（ ） A ．12B ．14-C ．12-D ．109．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB ==，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π10．在等差数列{}n a 中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值=（） A ．32-B ．12-C ．12D ．32二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
深圳市高一下学期期末考试数学试卷含答案
A D CB E 深圳市高一年级第二学期期末考试数学题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ（A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- 2．已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-= （A ）7210 （B ）7210- （C ）210 （D ）210- 3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出 的结果为56，则判断框中应填入的条件是 （A ）5i < （B ）6i < （C ）5i ≥ （D ）6i ≥ 4．已知3sin(),cos(2)25παπα-=-=则（A ）2425- （B ）2425（C ）725-（D ）7255．平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b（A ）3（B ）23（C ）4（D ）126．如图，在△ABC 中,DC BD 21=,ED AE 3=，若a AB =,b AC =，则=BE（A ）b a 3131+ （B ）b a 4121+-（C ）b a 4121+ （D ）b a 3131+-7．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示．则这28800人中属于醉酒驾车的人数约为 A ．8640 （B ）5760 （C ）4320 （D ）28808．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为 （A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）61 10．下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则,x y 的值分别为 （A ）4，5（B ）5，4 （C ）4，4 （D ）5，511．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （A ）14 （B ）π8 （C ）12（D ）π4（第7题图）12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （A ）关于点)0,6(π对称 （B ）关于6π=x 对称 （C ）关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （D ）关于12x π=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为__________. 14．若tan 13θ=，则cos 2θ=__________. 15．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=__________.16．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 18. （本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 19.（本题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？21.（本题满分12分）已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2π(,1)3M -． （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．某商场对A 商品近30 天的日销售量y （件）与时间t （天）的销售情况进行整理，得到如下数据：经统计分析，日销售量y （件）与时间t （天）之间具有线性相关关系.（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y 关于t 的线性回归方程ˆybt a =+； （2）已知A 商品近30 天内的销售价格Z （元）与时间t （天）的关系为：20,(020,N)100,(2030,N)t t t z t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，，根据（1）中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大.（参考公式： 121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y b t =-⋅）第二学期期末考试 高一年级数学试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．45. 15．6．16．58． 三、解答题：17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 解：（1）∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 解得55cos ,552sin ==θθ. …… 5分 （2）∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 7分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- ……9分=分18．（本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11()1sin 12222x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（1） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （2）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分） 2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-………（12分）19．（本小题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分 故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分20．（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人, ……… 6分第4组:206260⨯=人, ……… 7分第5组:106160⨯=人, ……… 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷
深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
）1. 设a不等于0，则关于x的一次方程ax+b=0（）。
A. 无解B. 有唯一解-x/bC. 有无数解D. 无法确定2. 如果root(5)x = root(20)，则x的值为（）A. 1/2B. 2C. 4D. 163. 下列关于集合的说法错误的是（）。
A. 空集也是集合B. 集合中元素的排列顺序可以更改C. 集合中不允许重复的元素D. 所有元素都是集合的子集4. 已知函数f(x)=log(1-x)，g(x)=x-1，则f[g(10)-g(3)]的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 在△ABC中，∠B=90度，∠C=30度，BC=2，则AC的长为（）。
A. 1B. 3C. 2sqrt(3)D. sqrt(3)6. 当a+b=2时，下列哪组值可以是（）。
A. a=1,b=1B. a=-1,b=3C. a=0,b=2D. a=-2,b=47. 在下列选项中，属于等比数列的是（）。
A. k-5，k-3，kB. k，2k，3kC. k，k+1，k+2D. k，k^2，k^38. 关于词组“及以下”，哪项说法是错误的（）。
A. 包括本身B. 不包括本身C. 只限于本身D. 这要视题意而定9. 甲，乙，丙三个数相乘为30，已知甲+乙+丙=13，丙=1，则甲的值为（）。
A. -1B. 2C. 3D. 510. 式子x/sqrt(x^2+1)+1/sqrt(x^2+1)的值为（）。
A. 1+sqrt(x^2+1)B. 1+x^2C. 1+1/sqrt(x^2+1)D. 1/x11. 把4800元按月存入，每月存入的金额相等，月利率为1.5%，存8个月后，本息和为（）。
A. 元B. 元C. 元D. 元12. 如果正五边形的周长为20，求它的面积（）。
A. 20sqrt(5)-25B. 5sqrt(5)C. 25sqrt(5)D. 2513. 设函数f(x)=3x+2，g(x)=x^2-9，四个实数a,b,c,d满足a<b，c<d，且f(a)=f(b)，g(c)=g(d)，则（）。
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题含解析
广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1B ．52-C ．25-D ．522．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是A ．)+∞ B ．[)2,+∞C ．(D ．(]0,2 3．已知函数()()32110,032f x ax bx x a b =+->>在1x =处取得极小值，则14a b+的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．9D ．104．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．B C ．12D ．235．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将其终边绕O 点逆时针旋转34π后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ）A ．5-B ．10-C ．10D ．10-6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V ＝112×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.37．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．两条平行直线250x y --=与42350x y -+=间的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．52D ．410．若圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距5r 的取值范围是（ ） A ．(0,25B ．5,35C ．5,25D ．(25,35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题
广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题一、单选题1．已知集合 {}{}11,3,0,1,3A B =-=,，则 A B ⋃=（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,1,3-C ．{}0,1,3D ．{}1,0,1,3-2．函数 ()ln 2f x x x =+- 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量 ()()20,12a b ==r r，，，若 ()a b a λ+⊥r r r ，则 λ=（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．25．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若//,//m ααβ ，则//m βC ．若,m m n α⊥⊥，则//?n αD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥6．已知 ABC V 中， 22AE AB BM MC ==u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，，若 AF xAC =u u u r u u u r，且 E M F ，， 三点共线， 则x =（ ）A ．23B ．34C ．45D ．567．已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（ ） A ．4B ．9C ．10D ．208．已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =-===-，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>二、多选题9．若复数z 满足i 1i z =-，下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为i -B ．1i z =-+C ．z =D ．2z z z ⋅=10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件A 发生的概率 ()12P A =B ．事件A 与事件B 相互独立C ．事件 C 发生的概率 ()13P C =D ．事件AB 与事件C 对立11．已知正方体 1111ABCD A B C D - 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）A ．EFB ．不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30oC ．二面角E AF B --正切值的取值范围为⎡⎣D ．当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE -的外接球表面积为25π4三、填空题12．已知 1sin ,3α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭13．若 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式 210x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为.14．已知圆O 为ABC V 的外接圆，π,3A BC ==()AO AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最大值为.四、解答题15．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. (1)求C ;(2)若4a ABC =V ，b 和c .16．已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的解析式:(2)求使()210f x -≥成立的x 的取值范围.17．如图， AB 是 O e 的直径， 2AB =，点 C 是 O e 上的动点， PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作 AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .(1)求证：BC AE ⊥ ；(2)求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；(3)当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45o ，求四棱锥A EFBC - 的体积.18．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:(3)现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.19．已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =.(1)当1122x -≤≤时，求函数()2f x y =的值域: (2)若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =-∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x -≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m -的最大值.。
广东省深圳市2024届数学高一下期末考试模拟试题含解析
广东省深圳市2024届数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．0.4.7ˆ1y x =+B ．2 1.2ˆ-yx = C ．-37.5ˆy x =+ D ．-2 6.5ˆyx =+ 2．运行如图程序，若输入的是2-，则输出的结果是（ ）A ．3B ．9C ．0D ．3-3．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为（ ）A ．0B ．eC ．0或eD ．0或14．己知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所在的圆的半径为（ ） A ．1B ．2C ．πD ．2π5．函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于点（－6π，0）对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 6．已知a ，b 为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥ B ．若a α⊥，b α⊥，则//a b C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥D ．若a b ⊥，a α⊥，则b α⊥7．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4B ．5C ．6D ．710．从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 为（ ） A ．120B ．200C ．100D ．150二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省深圳市2020-2021学年高一数学下学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。
2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B.y=|x| C. y=sinx D. y=【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。
故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。
4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B. 2πC. 3πD. 4π【答案(dá àn)】 C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。
2020-2021学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知A={3,4，5，6}，B={x|2≤x<6}，则A∩B=()A. {2,3，4}B. {3,4，5}C. {2,3，4，5}D. {3,4，5，6}2.复数z的共轭复数是1+√3i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是()A. √3iB. √3C. −√3iD. −√33.已知向量a⃗=(−3,1)，b⃗ =(1,−2)，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°4.已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为()A. 12.4B. 12.3C. 12.2D. 12.15.已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)，则tanα的值为()A. −√3B. −1C. −√33D. −26.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的()A. 18倍B. 24倍C. 36倍D. 48倍7.已知函数f(x)=sinx+√3cosx，则“x0=π6”是“f(x)在x=x0处取得最大值”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知实数a，b，c满足a>b>0>c，则下列不等式中成立的是()A. a+1b <b+1aB. 2a+ba+2b<abC. ba−c>ab−cD. √ca3<√cb3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策.如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则下列说法正确的是()A. 年均增长率逐次减小B. 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C. 这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D. 第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大10.把函数f(x)=cosx的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列说法正确的是()A. 函数g(x)的最小正周期为πB. 直线x=π是函数g(x)图象的对称轴C. 函数g(x)在区间[−12,32]上的最小值为−1D. 点(π4−12,0)为函数g(x)的图象的一个对称中心11.已知实数x，y，z满足2x=log2y=1z，则下列关系式中可能成立的是()A. y=z>xB. z=x>yC. y>z>xD. z>y>x12.如图，在四面体ABCD中，AB=CD=√2，AC=AD=BC=BD=√5，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是()A. 异面直线AB与CD所成的角为90°B. 平面α截四面体ABCD所得截面周长不变C. 平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形D. 该四面体的外接球表面积为6π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.求值：(49)−12+log48+e ln2=______ ．14.甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为______ ．15.如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为______ ．16.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m−1)sin(2x+π6)−m2，若∀x1∈[−1,3]，∀x2∈[0,π2]，f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3,4)，z2对应的向量坐标为(0,1)，且zz1=−1+7i(其中i为虚数单位)．(1)求z；(2)求|(z+i)z2|.18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC．(1)求B；(2)若b=1，△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．19. 某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间(单位：小时)数据分成6组：[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，(时间均在[0,6]内)，已知上述时间数据的第70百分位数为3.5． (1)求m ，n 的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．20. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ，设CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)如果∠ACB =60°，AC =2，且CD ⊥EF ，求|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.21.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6√2，点E为线段AB上一点，AE=1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B′位置，使得点B′在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B′−AECD．(1)在图2中，线段B′C上是否存在点F，使得EF//平面B′AD？若存在，求B′F的值，若不存在，请说B′C明理由；(2)在图2中求二面角B′−EC−D的大小．22.已知函数f(x)=|e x−1|．(1)试判断函数f(x)的单调性，并画出函数f(x)图象的草图；(2)若关于x的方程2f2(x)−4mf(x)+5m−2=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={3,4，5，6}，集合B ={x|2≤x <6}， ∴A ∩B ={3,4，5}． 故选：B ．根据已知条件，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z 的共轭复数是1+√3i(其中i 为虚数单位)， ∴z =1−√3i ， 则z 的虚部−√3， 故选：D ．利用共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，设向量a⃗ 与b ⃗ 夹角为θ， 向量a ⃗ =(−3,1)，b ⃗ =(1,−2)，则|a ⃗ |=√10，|b ⃗ |=√5，a ⃗ ⋅b ⃗ =−5， 故cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√10×√5=−√22， 又由0°≤θ≤180°，则θ=135°， 故选：D ．根据题意，设向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为θ，求出|a ⃗ |、|b ⃗ |、a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，计算可得cosθ的值，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，一组数据如下：1，2，5，6，11，其平均数x −=1+2+5+6+115=5，则其方差S 2=15[(1−5)2+(2−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(11−5)2]=12.4， 故选：A ．根据题意，先求出数据的平均数，进而计算其方差即可得答案． 本题考查方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵sin2α=cos(π2+α)，α∈(π2,π)， ∴2sinαcosα=−sinα， ∴cosα=−12． ∵α∈(π2,π)， ∴α=2π3．∴tanα=tan 2π3=−tan π3=−√3．故选：A ．利用二倍角公式和诱导公式对已知等式进行变换，然后结合特殊角的三角函数值得到答案． 本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长， 经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为a ，则a(1+6.25%)30=6a ，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y =a(1+6.25)60=a[(1+6.25%)30]2=36a ． ∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍． 故选：C ．利用等比数列的性质直接求解．本题考查等比数列的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，所以当x +π3=π2+2kπ,k ∈z ，x =π6+2kπ,k ∈Z 时，f(x)有最大值2； 所以“ x 0=π6”是“f(x)在x =x 0处取得最大值”的充分不必要条件． 故选：A ．首先通过辅助角公式化简函数解析式，再求出取得最大值时对应的x ，再从集合的包含关系角度判断充分必要性本题结合三角函数的知识，从集合包含关系的角度考查充分必要性的判断；8.【答案】B【解析】解：A 、∵a >b >0，∴1a <1b ，∴a +1b >b +1a ，∴A 错误， B 、∵a >b >0，∴2a+ba+2b −ab =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，∴B 正确，C 、当a =2，b =1，c =−1时，∵ba−c =13，ab−c =1，∴ba−c <ab−c ，∴C 错误， D 、当a =8，b =1，c =−1时，√c a 3=−12，√cb 3=−1，∴√ca 3>√cb 3，∴D 错误，故选：B ．根据不等式的性质判断A ，根据举实例判断CD ，根据作差法判断B ． 本题考查不等式的性质，运用举实例，作差法是关键．9.【答案】BD【解析】解：由图可知，第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故选项A 错误； 第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是2.09%−0.53%=1.56%，故选项B 正确； 由图可知，这七次普查的人口数逐次增加，且第七次增幅最小，故选项C 错误； 由图可知，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故选项D 正确． 故选：BD ．利用题中条形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知，g(x)=cos(2x +1)， 对于A ，最小正周期T =2π2=π，即选项A 正确；对于B ，令2x +1=kπ，k ∈Z ，则g(x)图象的对称轴为x =kπ2+12，k ∈Z ，显然x =π不符合，即选项B错误；对于C ，∵[−12,32]，∴2x +1∈[0,4]， 当2x +1=π，即x =π−12时，f(x)min =f(π−12)=−1，即选项C 正确；对于D ，令2x +1=π2+kπ，k ∈Z ，则x =π4−12+kπ2，k ∈Z ，∴g(x)图象的对称中心为(π4−12+kπ2,0)k ∈Z ，当k =0时，g(x)图象的对称中心为(π4−12,0)，即选项D 正确． 故选：ACD ．由题意知，g(x)=cos(2x +1)，再结合余弦函数的周期性、对称轴、对称中心和值域逐一判断选项的正误，即可．本题考查三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的变换法则，以及余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：如图，x，y，z的关系有下列三种情况：y>z>x，y=z>x，z>y>x，由图象可看出，z与x不可能相等，∴B 错误，ACD都正确．故选：ACD．的图象，并画出y=c的图象，根据图象即可判断出x，y，在同一坐标系下画出y=2x，y=log2x和y=1xz可能的大小关系．本题考查了指数函数、对数函数和反比例函数的图象的画法，数形结合解题的方法，考查了作图能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图，取CD得中点E，连接BE和AE，∵BC=BD，AC=AD，∴BE⊥CD，AE⊥CD，又∵BE∩AE=E，且BE，AE⊂平面ABE，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成的角为90°，故A正确；对于B，如图，平面α与四面体的交点分别为F，G，H，P，∵AB//α，AB⊂平面ABC，且平面ABC∩α=FG，⋅AB，∴AB//FG，则FG=CGAC同理得GH=AGAC ⋅CD，PH=DPBD⋅AB，FP=BPBD⋅CD，∵AB=CD=√2，AC=AB=BC=BD=√5，∴FG+GH+PH+FP=ABAC(CG+AG+DP+BP)=2AB=2√2，即平面α截四面体ABCD所得截面周长不变，为2√2，故B正确；对于C，当CG=AG=DP=BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH//CD，∴GH⊥AB，∵FG//AB且FG、AB共面，∴FG⊥GH，所以四边形FGHP为正方形，故C错误；对于D，作AB的中点Q，连接EQ，取EQ中点T，易得TA=TB=TC=TD，则T为四面体ABCD外接球的球心，AE=BE=√5−14=3√22，∴EQ=√92−12=2，则半径R=TA=√1+12=√62，∴S=4πR²=4π×64=6π，故D正确．故选：ABD．对于A，作图，取CD得中点E，连接BE和AE，由条件可得CD⊥平面ABE，则CD⊥AB，故A正确；对于B，作图，利用平行线成比例性质得到FG=CGAC ⋅AB，GH=AGAC⋅CD，PH=DPBD⋅AB，FP=BPBD⋅CD，进而可得FG+GH+PH+FP=ABAC(CG+AG+DP+BP)=2AB，故B正确；对于C，举出反例当CG=AG=DP=BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH//CD，推出四边形为正方形；对于D，作图，找到球心即可．本题考查异面直线夹角的求发法，考查四面体外接球表面积，截面形状的判断及面积的求解，综合性强，属于中档偏难题．13.【答案】5【解析】解：原式=32+log4432+2=32+32+2=5．故答案为：5．进行分数指数幂和对数的运算即可．本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】0.994【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，则三人都没有中靶的概率P′=(1−0.8)(1−0.9)(1−0.7)=0.006，则三人中至少有一人中靶的概率P=1−P′=0.994；故答案为：0.994．根据题意，求出三人都没有中靶的概率P′，由对立事件的性质分析可得答案．本题考查互斥事件的概率的计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．15.【答案】π6【解析】解：如图，取D1C中点O，连接DO、OB，则DO⊥D1C，，∵{BC⊥面DD1C1CDO⊂ 面DD1C1C，∴DO⊥BC，∴DO⊥面D1BC，∵EF//DB，∴∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角，∵DB=2DO，∴∠DBO=π6．故答案为：π6．如图，取D1C中点O，连接DO、OB，利用EF//DB，即可得∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角，解△DOB即可．本题考查直线与平面所成的角，考查了空间线面位置关系，考查了计算能力，属于中档题．，16.【答案】(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)【解析】解：记f(x)在区间[−1,3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0,π2]的最大值为[g(x)]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]max，由x12+1∈[1,10]，可得[f(x)]min=0，由2x2+π6∈[π6,7π6]，可得sin(2x2+π6)∈[−12,1]，由g max(x)≤0，得{−12×4(m−1)−m2≤0, 4(m−1)−m2≤0,解之，得x≤−1−√3或x≥−1+√3，所以，m的取值范围是(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)，故答案为：(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)．记f(x)在区间[−1,3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0,π2]的最大值为[g(x)]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]max，进而可得答案．本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意知z1=3+4i，解方程zz1=−1+7i，得z=−1+7i3+4i，化简得z=(−1+7i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=25+25i25=1+i．(2)由题意知z2=i，则(z+i)z2=(1+2i)i=−2+i，所以|(z+i)z2|=|−2+i|=√(−2)2+12=√5．【解析】(1)由题意写出z1，再解关于z的方程zz1=−1+7i即可；(2)由题意写出z2，化简(z+i)z2，求模长即可．本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，以及复数的模长等知识点，也考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象的数学素养．18.【答案】解：(1)将(sinA−sinC)2=sin2B−sinAsinC，展开得sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC，由正弦定理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，因为0<B<π，所以B=π3．(2)根据余弦定理，b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−3ac，因为△ABC的面积为12acsinB=√34，所以ac=1，因为b=1，所以1=(a+c)2−3，解之，得a+c=2，所以△ABC 的周长为a +c +b =3．【解析】(1)由已知利用正弦定理得a 2+c 2−b 2=ac ，由余弦定理得cos B 的值，结合范围0<B <π，可得B 的值．(2)由已知利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求a +c 的值，即可求解△ABC 的周长． 本题主要考查了正余弦定理等知识点在解三角形中的应用，考查转化与划归得方法与方程思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养，属于基础题．19.【答案】解：(1)由于0.05+0.15+m +n +0.11+0.04=1，则m +n =0.65，且0.05+0.15+m +(3.5−3)×n =0.7，则m +0.5n =0.5，于是{m =0.35n =0.3， 那么平均值为0.05×12+0.15×32+0.35×52+0.3×72+0.11×92+0.04×112=2.89，(2)由于第二组和第四组的频率之比为：0.150.3=12，则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，设两个人来自于不同组为事件A ，∵基本事件总数为C 62=15，，事件A 包含的基本事件数为C 21⋅C 41=8， ∴p(A)=815．【解析】(1)利用频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的定义即可求解．(2)求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可．本题主要考查了频率分布直方图的基本性质，百分位数，平均数的基本概念和求法，以及分层抽样的性质，古典概型的概率问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由图可得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ −12b ⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =b ⃗ +25(a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ +35b ⃗ ；(2)由(1)可知，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25a ⃗ +35b ⃗ )(13a ⃗ −12b ⃗ )=0， 所以215a ⃗ 2−310b ⃗ 2=0， 由|b⃗ |=2，可得|a ⃗ |=3， 则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√425a ⃗ 2+925b ⃗ 2=√425×9+925×4=6√25． 【解析】(1)数形结合，利用平面向量加减法则表示即可；(2)利用(1)中表达式，结合条件先求得|a ⃗ |，再利用模的定义代入求解即可．本题考查了平面向量基本定理，向量共线，向量模的求法等知识点，重在培养学生数学运算，逻辑推理，直观想象的数学素养，属基础题．21.【答案】解：(1)在B′C 上取点F ，使得B′F B′C =14， 过F 作CD 的平行线交B′D 于M 点，连接EF ，AM ，因为MF//CD 且MF CD =B′F B′C =14，又AE//CD 且AE CD =14，所以AE//MF 且AE =MF ，故四边形AEFM 为平行四边形，故EF //AM ，又EF ⊄平面B′AD ，AM ⊂平面B′AD ，所以EF//平面B′AD ；(2)如图，记点B′在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B′N ，因为CE ⊥ON ，CE ⊥B′O ，ON ∩B′O =O ，ON ，B′O ⊂平面B′ON ，所以CE ⊥平面B′ON ，又B′N ⊂平面B′ON ，所以CE ⊥B′N ，则∠B′NO 为二面角B′−CE −D 的平面角，在矩形ABCD 中，BE =3，BC =6√2，则CE =9，BN =2√3，EN =1，又△EBN∽△OBA ，所以BN BE =BA BO ，可得BO =3√2，故ON =√2，则cos∠B′NO =ON B′N =12，所以二面角B′−EC −D 的大小为60°．【解析】(1)在B′C 上取点F ，使得B′F B′C =14，过F 作CD 的平行线交B′D 于M 点，连接EF ，AM ，利用平行线的性质可证明四边形AEFM 为平行四边形，即可得到EF//AM ，再利用线面平行的判定定理证明即可．(2)记点B′在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B′N ，利用线面垂直的判定定理和性质定理可得CE ⊥B′N ，从而得到∠B′NO 为二面角B′−CE −D 的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题考查立体几何中线线垂直、线面垂直的判定、性质定理及二面角的平面角的证明求法，重在培养学生运算、空间想象等能力，该题充分体现了数形结合的思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=|e x −1|={1−e x ,x <0,e x −1,x ≥0,当x ∈(−∞,0)时，函数f(x)为单调减函数，值域为(0,1)；当x ∈[0,+∞)时，函数f(x)为单调增函数，值域为[0,+∞)．画出函数f(x)的草图，如图所示：(没有画渐近线的扣1分)(2)∵关于的方程2f 2(x)−4mf(x)+5m −2=0有两个不等实数根．设t =f(x)∈[0,+∞)，结合图象可知，一元二次方程2t 2−4mt +5m −2=0有两个不相等的实数根t 1，t 2，满足下列情况时符合题意：①当0<t 1<1，t 2<0时，则有{5m −2<0,m >0,解之，得0<m <25； ②当t 1=0，t 2≥1时，则由t 1=0得m =25，代入方程得t 2=45<1不合题意；③当t 1=t 2∈(0,1)时，则△=16m 2−8(5m −2)=0，解之，得m =2或m =12，当m =2时，t 1=t 2=2(舍去)，m =12时，t 1=t 2=12符合题意；④当t 1≠t 2且都在[1,+∞)内时，则有{2×12−4m +5m −2≥0,(4m)2−4×2×(5m −2)>0,m >1,得m >2．综上所述，m 的范围是(0,25)∪{12}∪(2,+∞)．【解析】(1)分段去绝对值，分段考虑单调性，作出图像即可．(2)设t =f(x)∈[0,+∞)，结合图象讨论t 1，t 2 的范围，从而求解m 的取值范围．本题考查了绝对值、指数函数图象与性质、二次函数、一元二次不等式、复合函数性质、函数的零点等知识点，考查了转化与化归、数形结合、分类讨论等数学方法，考查了学生数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养．。
广东省深圳市高一下学期数学期末考试试卷
广东省深圳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列各式中，正确的是（）A . sin（﹣）＞sin（﹣）B . cos（﹣）＞cos（﹣）C . cos250°＞cos260°D . tan144°＜tan148°2. （2分） (2016高二上·宣化期中) 要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A . 5、10、15、20、25、30B . 3、13、23、33、43、53C . 1、2、3、4、5、6D . 2、4、8、16、32、483. （2分）有下列四个命题：①若事件A,B是互斥事件，则A,B是对立事件；②若事件A,B是对立事件，则A,B是互斥事件；③若事件A是必然事件，则P(A)=1；④若事件A,B是互斥事件，则；其中正确的命题序号是：（）A . ①③B . ②③C . ①③④D . ②③④4. （2分）已知向量且// ，则=（）A .B .C .D .5. （2分） 10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12；设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（）A . y=bx+a+e是一次函数B . 因变量y是由自变量x唯一确定的C . 因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D . 随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生．7. （2分） (2018高一上·佛山期末) 将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·新疆模拟) 已知、、三点不共线，且点满足，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·南市期中) ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A .B . 1﹣C .D . 1-10. （2分） (2017高一上·孝感期末) 已知函数f（x）=3sin（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f（2）=0，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）的单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）设F1 ， F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·唐山模拟) 在中，，点满足，则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·黄浦模拟) 已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为________．14. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则 ________15. （1分）(2018·虹口模拟) 从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 ________．16. （1分） (2019高三上·瓦房店月考) 已知函数（）为奇函数，是其图像上两点，若的最小值是，则 ________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·长春期中) 已知向量 =3 1﹣2 2 ， =4 1+ 2 ，其中 1=（1，0）， 2=（0，1），求：（1）• 和| + |的值；（2）与夹角θ的余弦值．18. （10分） (2019高三上·安顺月考) 某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生（其中男、女生人数之比为2：1）进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间（单位：分钟）分为 5组，得到如图所示的频率分布直方图（所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟）.（1）求出女生组频率分布直方图中的值；（2）求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数.19. （10分） (2016高二下·沈阳开学考) 已知向量 =（1，sinθ）， =（3，1）．（1）当θ= 时，求向量2 + 的坐标；（2）若∥ ，且θ∈（0，），求sin（2θ+ ）的值．20. （10分） (2018高三上·酉阳期末) 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=8，且．（1）求B；（2）若，求的面积S．21. （5分）某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．22. （5分）如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、答案：略。
广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题(解析版)
2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试数学2024. 7本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1.答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”.2.作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}11,3,0,1,3A B =−=,，则 A B ∪=（ ）A.{}1,3B.{}1,1,3− C.{}0,1,3 D.{}1,0,1,3−【答案】D 【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集含义知{}1,0,1,3A B =− ，故选：D.2.函数 ()ln 2f x x x =+− 的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】B 【解析】的【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数()ln 2f x x x =+−的定义域为()0,+∞， 函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1ln11210f =+−=−< ，()2ln 222ln 20f =+−=>， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2． 故选：B .3. 已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“ 0α> ”时，根据幂函数性质知()f x x α=在()0,∞+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f x x α=在()0,∞+上单调递增”则“0α>”，必要性也成立，故“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件， 故选：C .4. 已知向量 ()()20,12ab =，，，若 ()a b a λ+⊥，则 λ=（ ） A. 1− B. 12−C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()201221,2a bλλλ+=+=+，，,因为()a b a λ+⊥ ，则()0a b a λ+⋅=，即()2210λ+=，于是 12λ=−. 故选：B.5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若//,//m ααβ ，则//m βC. 若,m m n α⊥⊥，则//?n αD. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A ，B ，C 的正误；对于选项D ，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D 的正误.【详解】对于选项A ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 直线BC 为直线n ，显然有//,m n αα⊂，但m 不平行n ，所以选项A 错误， 对于选项B ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ， 面1111D C B A 为平面β，有//,//m ααβ，但m β⊂，所以选项B 错误， 对于选项C ，取面ABCD 为平面α，直线1A A 为直线m ，直线BC 为直线n ， 因为n ⊂α，显然有,m m n α⊥⊥，但n ⊂α，所以选项C 错误，对于选项D ，因为//m β，在β内任取一点P ，过直线m 与点P 确定平面γ， 则l βγ= ，由线面平行的性质知//m l ，又m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂， 所以αβ⊥，所以选项D 正确，故选：D.6. 已知 ABC 中， 22AE AB BM MC == ，，若 AF xAC =，且 E M F ，， 三点共线， 则 x =（ ） A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.【详解】因为2,BM MC =所以1233AM AB AC =+ ， 2,AE AB AF x AC == ,因为,,E M F 三点共线，所以,1AM AE AF λµλµ=++=,12233AB AC AB x AC λµ+=+, 所以112,,36λλ== 524,,635x µµµ===. 故选：C.7. 已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（ ） A. 4 B. 9C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=，利用“1代换”即可求解. 【详解】,a b 为正实数，方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=， ()1444159a b b a bb a a b a ∴++++++ ≥ + =，当且仅当14b a =即82a b == 时等号成立， 故a b + 的最小值为9. 故选：B .8. 已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =−===−，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】 A的【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调性，即可得解.【详解】由R x ∈，()()()sin sin f x x x x x f x −=−−−=−+=−，故()f x 为奇函数，则(c f f =−=，π2π2<<<， 函数sin y x =在π,π2 上单调递减，故()sin f x x x =−在π,π2上单调递增，则()()2πff f <<，即a b c >>.故选：A.二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.9. 若复数z 满足i 1i z =−，下列说法正确的是（） A. z 的虚部为i − B. 1i z =−+C.z =D. 2z z z ⋅=【答案】BC 【解析】. 【详解】()2i 1i 1i 1i i iz −−−===−−−，则其虚部为1−，故A 错误；||z =1i z =−+，故BC 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=−−−+=，而()221i 2i z =−−=，则两者不等，故D 错误.故选：BC.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ）A. 事件A 发生的概率 ()12P A = B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件 C 发生的概率 ()13P C =D. 事件AB 与事件C 对立【答案】ABC 【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A ，C ，由相互独立事件的定义即可求解选项B ，由对立事件的定义分析选项D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n Ω=，对于A ，事件A 包含的样本点有18种，故()181()()362n A P An ===Ω，故A 正确； 对于B ，事件B 包含的样本点有18种，故()181()()362n B P Bn ===Ω， 事件AB 包含的样本点有9种，故()91()()364n AB P ABn ===Ω， 因为()()()P A P B P AB =，所以事件,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件C 包含的样本点有12种，故()121()()363n C P Cn ===Ω，故C 正确； 对于D ，事件C 与事件AB 有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)， 故事件AB 与事件C 不对立，故D 错误. 故选：ABC.11. 已知正方体 1111ABCD A B C D − 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）A. EFB. 不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30C. 二面角E AF B −−正切值的取值范围为1D. 当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE −的外接球表面积为25π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接找出最近距离为F 为CD 中点，计算即可；对于B ，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C ，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D ，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可．【详解】对于A ， EF 最小值时，F 为CD 中点.作个草图，取AB 中点M ，连接FM ．此时EF A 正确．设EF 与11A D 所成的角为θ，当F 与C 重合时，()maxtan BE BC θ==， 当F CD 中点时，()min1tan 2EM FM θ==．则存在点 F，使tan θ=. 即存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于 30 .故B 错误．如图，过AB 中点M 作MH AF ⊥于H ，则EHM ∠为二面角E AF B −−的平面角，因此1tan EM EHM HM HM∠==∈ ，故C 正确．在设三棱锥F ABE −的外接球的球心为O ，显然FM ⊥平面ABE ，ABE 为等腰直角三角形，外心为M ， 则O 可以由M 沿着MF 方向移动即可,O 一定在MF 上．F 为CD 中点时，半径OFOA R ==，于是2OM R =−． 在OMA 中有()22221R R −+=，解得54R =， 于是球O 表面积为2254ππ4S R =.故D 正确． 故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.12. 已知 1sin ,3α=则cos 2πα+=___________【答案】13−【解析】【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：1cos sin 23παα+=−=−， 故答案为：13−.13. 若 1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则a 的取值范围为______________.【答案】5[,)2+∞ 【解析】【分析】分离参数得1a x x ≥+，令1()f x x x =+，求出函数在1,22上的最大值即可求解. 【详解】1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则21x ax +≤，即1,22x∀∈，1a x x ≥+恒成立，令1()f x x x =+，由图知()f x 在1,12上单调递减，在[]1,2上单调递增， 又115()(2)2222f f ==+=，故max 5()2f x =，则52a ≥. 故答案为： 5[,)2+∞.14. 已知圆O 为ABC的外接圆，π,3A BC==，则()AO AB AC ⋅+的最大值为______________.【答案】3 【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC 的中点D ，连接OD ，则12OD =，变形得到()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+ ，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅取得最大值，求出答案.【详解】设圆O 的半径为R，则22sin BC RA ==，解得1R =，因为π,3A BC ==2π3BOC ∠=，取BC 的中点D ，连接OD ，则3BOD COD π∠=∠=， 故12OD =， ()()()2AO AB AC AO OB OA OC OA AO OB OC OA ⋅+=⋅−+−=⋅+−()2222AO OB OC OA AO OD =⋅++=⋅+，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅ 取得最大值，最大值为11122×=，故()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+的最大值为123+=.故答案为：3四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. （1）求C ;（2）若4a ABC = ，，求b 和c . 【答案】（1）2π3（2）1b =，c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan C =，则2π3C =； （2）根据三角形面积公式即可得b 值，再利用余弦定理即可得到c 值.【小问1详解】由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，那么sin sin cos 0C A A C =，由于sin 0A >，则sin 0C C +=，则tan C =(0,π)C ∈，故2π3C =. 【小问2详解】由于11sin 422ABC S ab C b ==×= ，则1b =，根据余弦定理：2222212cos 41241212c a b ab C=+−=+−×××−=，那么c =.16. 已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ=+><，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f=（1）求函数()f x 的解析式:（2）求使()210f x −≥成立的x 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x=−（2）π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得；（2）借助正弦函数图象性质计算即可得.【小问1详解】 由2ππT ω==，0ω>，则2=ω， 又π06f= ，即π2π,Z 6k k ϕ×+=∈，即ππ,Z 3k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，则π3ϕ=−，即()πsin 23f x x=− ；【小问2详解】若()210f x −≥，即π1sin 232x −≥ ， 即有ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤−≤+∈， 即π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈，故x 的取值范围为π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈.17. 如图， AB 是 O 直径， 2AB =，点 C 是 O 上的动点，PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .的（1）求证：BC AE ⊥ ；（2）求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45 ，求四棱锥 A EFBC − 的体积.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问1详解】由于AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA AC A ∩=PA AC ⊂，平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥;【小问2详解】 由（1）得，BC AE ⊥，PC AE ⊥，且,PC BC C ∩=PC BC ⊂，平面PBC ， 所以⊥AE 平面PBC ，又由于PB ⊂平面PBC ，那么AE PB ⊥，又因为EF PB ⊥，AE EF E ∩=，AE EF ⊂，平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，又由于PB ⊂平面PAB ，那么平面PAB ⊥平面AEF ；【小问3详解】由（2）可知：⊥AE 平面PBC ，而直线PA 与平面PBC 所成角为45°，那么45APE °∠=，且90CAP AEP °∠=∠=，所以45PCA PAE CAE °∠=∠=∠=且AC BC ==那么1,PA AC AE PE EC PB ======在PAB 中，1122AF PB PA AB ⋅⋅=⋅⋅，得AF = 为所以PF EF ====那么1111332P AEF A PEF PEF V V AE S −−==⋅⋅=××= ，1132P ABC V −=，则A EFBC V −==18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t =，85（2）35（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1求出0.03t =，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问1详解】由题意得:10(0.010.0150.0200.025)1t ×++++=，解得0.03t =， 设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ×+×+×+×−=， 解得85x =，第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220×=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320×=人，设为a 、b 、c . 则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()10A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c n ΩΩ=. 设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()6M A a A b A c B a B b B c n M =， 因此()63()()105n M P M n ===Ω， 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35. 【小问3详解】由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028××=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312××=个.记在区间[70,80)的数据分别为128,,,x x x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1212,,,y y y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s . 由题意，2275,85, 6.25,0.5x yx y s s ====，且8121111,812i j i j x x y y ===∑∑，则8128751285812020x y z +×+×==. 根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ==== =−+−=−+−+−+− ∑∑∑∑ ()()()()88812121222221111111()2()()2()20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ====== −+−+−−+−+−+−−∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ===−=−=−=−=∑∑∑∑， 可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ==== =−+−+−+−∑∑∑∑ 2222188()1212()20x y s x z s y z +−++−222223()()55x y s x z s y z =+−++− 22236.25(7581)0.5(8581)26.855+−++−= 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =. （1）当1122x −≤≤时，求函数()2f x y =的值域: （2）若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =−∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x −≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m −的最大值. 【答案】（1）1,22（2【解析】【分析】（1）代入(0)0f =，(1)1f =，得到2()23,01f x x x x =−+≤≤，再二次性质求出当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，最后根据复合函数单调性得1,22； （2）①运算得(2)()2f x f x +−=，则可证明(2)()g x g x +=；②求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，然后转化为求n 最大，m 最小即可. 【小问1详解】由于函数()f x 为R 上奇函数，那么(0)0f =，且(1)1f =，则(0)0(1)31f c f a c == =++= ，则02c a = =− ，则2()23,01f x x x x =−+≤≤； 那么239()248f x x =−−+，由10,2x ∈ ，则()[0,1]f x ∈， 而函数()f x 为奇函数，那么1,02x ∈−时，()[1,0)f x ∈−， 综上所述:当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−， 由复合函数单调性可知:则()12,22f x y =∈. 【小问2详解】 ①由于()()f x f x −=−，且()(2)2f x f x −=−++， 由于()(2)2f x f x −=−++，则(2)()2f x f x +−=， 那么(2)(2)(2)()2(2)()()g x f x x f x x f x x g x +=+−+=+−+=−=，则()g x 为R 上周期为2的函数.②由（1）可知，当[0,1]x ∈时，22111()2220,222g x x x x =−+=−−+∈ ，[1,0)x ∈−时，1(),02g x ∈−， 那么[21,2),x k k k ∈−∈Z 时，1(),02f x x −∈−； [2,21],x k k k ∈+∈Z 时，1()0,2f x x −∈； 那么11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ； 若n m −要最大，仅需n 最大，m 最小， 从而考虑如下临界：由于941()88f x −≤≤，令1928x +=−， 则138x =−，此时(2,1)x ∈−−； 14145,,(5,6)288x x x −==∈；当(2,1)x ∈−−时，2(0,1)x +∈，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g x f x x x x x g x f x x +=+−+=−+++−+==−， 那么2()254,(2,1)f x x x x =−−−∈−−，令29254,8x x x −−−=−x =；同理，(5,6)x ∈时，6(1,0)x −∈−，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g x f x x x x x g x f x x −−−−−+−−−−， 那么2()22160,(5,6)f x x x x =−+∈，令24122160,8x x x −+==x =舍去）；从而n m ≤≥那么n m −=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，再求出,m n 的临界值即可.。
高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。
广东省深圳市高一下学期期末数学试题(解析版)
高一年级调研考试数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，，则（ ）{}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}0,2{}1,2{}2,3【答案】A 【解析】【分析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，， {}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =所以. A B = {}0,1故选：A.2. 设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） ()i 12i z =+i z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案. z 【详解】解：，()i i 12i 2z =+=-+所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.z ()2,1-故选：B .3. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥λ=A. B. C.D. 22-12-12【答案】D 【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得； 0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥所以，解得；()1120a b λ⋅=⨯+⨯-=2λ=故选：D 4. 已知，，则的值为（ ） 3cos 5α=π02α<<()sin πα+A. B. C.D.45-35-3545【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；sin α【详解】解：因为，，所以， 3cos 5α=π02α<<4sin 5α==所以；()4sin πsin 5αα+=-=-故选：A5. 已知直线与平面，则能使的充分条件是（ ） ,m n ,,αβγαβ⊥A. ， B. ，， αγ⊥βγ⊥m n ⊥m αβ= n β⊂C. ， D. ，//m α//m β//m αm β⊥【答案】D 【解析】【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A 错误； αγ∴⊥βγαβ⊥⊥¿对于B ，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B m n ⊥m αβ= n β⊂,m n βαβ⊥错误；对于C ，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C 错误； //m α∴//m βαβ⊥¿对于D ，，存在直线，满足，又，，//m α ∴l ⊂α//m l m β⊥l β∴⊥，，D 正确.l α⊂ αβ∴⊥故选：D.6. 下列不等式恒成立的是（ ）A.B.2b aa b+≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C. D.a b +≥222a b ab +≥-【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值判断A 、C ，利用重要不等式判断B ，作差可判断D ； 【详解】解：对于A ：若、时，故A 错误； 1a =1b =-2b aa b+=-对于B ：因为，所以，所以，即，当且仅()20a b -≥222a b ab +≥2224a b ab ab ++≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭当时取等号，故B 错误；a b =对于C ：若、时，，故C 错误；1a =-1b =-22a b +=-<对于D ：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故()20a b +≥2220a b ab ++≥222a b ab +≥-a b =D 正确； 故选：D7. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）ABCD M AB AC DM O OM =A.B.1163OM AB AD =-1233OM AB AD =-C.D.1122OM AB AD =-1143OM AB AD =-【答案】A【解析】【分析】设，则，再根据三点共线可AO x AC =()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ ,,O D M 求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案. x 【详解】解：设，AO x AC =则，()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ 因为三点共线， ,,O D M 所以，解得， 21x x +=13x =则1133AO xAC AB AD ==+ 所以.1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-故选：A.8. 已知函数，则方程的解的个数是（ ）()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()30xf x -=A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个||3x y =()30xf x -=()f x ||3x y =数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数． ()f x ||3x y =【详解】解：令，得，()30xf x -=||()3x f x =则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．()30xf x -=()f x ||3x y =作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， ()f x ||3x y =故方程的解的个数为2个．()30xf x -=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（）A. 近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势B. 历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高C. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人D. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人【答案】AC【解析】【分析】根据统计图提供的数据判断.【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B 不正确； 根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，x ，则估计男性人口为72334万人，故C 正确，D 不正确.105.0772********xx =⇒≈故选：AC .10. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到()sin f x x =3π12函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ） ()g x ()g xA. 最小正周期为B. 在区间 π,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 图像的一个对称中心为 D. 图像的一条对称轴为直线,03π⎛-⎫⎪⎝⎭12x π=【答案】AD 【解析】【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. ()g x 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， ()sin f x x =3πsin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 12()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其最小正周期为，A 选项正确； 22T ππ==由，得，则当，即时，取最大值为，B 选,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦232x ππ+=12x π=()g x 1项错误； 令，，得，，所以函数的对称中心为，23x k ππ+=Z k ∈+62k x ππ=-Z k ∈()g x +,062k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以不成立，C 选项错误； Z k ∈,03π⎛-⎫⎪⎝⎭令，，解得，，所以函数的对称轴为，232x k πππ+=+Z k ∈122k x ππ=+Z k ∈()g x 122kx ππ=+，当时，，D 选项正确；Z k ∈0k =12x π=故选：AD.11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）()f x R 0x ≥()22f x x x =-A. 的最小值为 B. 在上单调递减()f x 1-()f x ()2,0-C. 的解集为 D. 存在实数满足()0f x ≤[]22-,x ()()20f x f x ++-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x …22()2(1)1f x x x x =-=--设，则，所以，因为是偶函数，所以， 0x <0x ->2()2-=+f x x x ()f x ()()f x f x -=所以，2()2f x x x =+所以，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨+<⎩…函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小0x >()f x 1x =1-y ()f x R 值，故A 正确；1-在上单调递减，在上单调递增，故B 错误；()f x (,1)-∞-(1,0)-由或，解得或，综上可得的解集为，故2020x x x ≥⎧⎨-≤⎩2020x x x <⎧⎨+≤⎩02x ≤≤20x -≤<()0f x ≤[]22-,C 正确；由，，即存在实数满足，故D 正确； (0)0f =()()220f f -==x (2)()0f x f x ++-=故选：ACD ．12. 如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在ABCD 2AB =π3BAD ∠=ABD △BD A A 'A '底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）BCD M A C 'ABD △A. 四面体的体积的最大值为1 A BCD -'B. 存在某一位置，使得 BM CD ⊥C. 异面直线，所成的角为定值 BM A D 'D. 当二面角的余弦值为时，四面体A BD C '--13A BCD -'【答案】ABD 【解析】【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，当平面平面AC BD O OA 'CD N ,MN BN A BD '⊥时，四面体的体积最大，从而可判断A ；易得，说明成立，再根BCD A BCD -'BN CD ⊥MN CD ⊥据线面垂直的判定定理及性质即可判断B ；证明异面直线，所成的角即为或其补角，再BM A D 'BMN ∠根据不为定值，即可判断C ；说明即为二面角的平面角，再根据二面角BM A OC '∠A BD C '--的余弦值可得，补全为正方体，从而可判断D .A BD C '--2A C '=【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接， AC BD O OA 'CD N ,MN BN 对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大， A BD '⊥BCD A BCD -'点到平面的距离最大，此时 A 'BCD 在菱形中，，， ABCD 2AB =π3BAD ∠=则都是等边三角形， ,ABD BCD A A则OA OA OC '===此时四面体的体积为， A BCD -'112132⨯⨯=所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确； A BCD -'对于B ，因为分别为的中点， ,M N ,A C CD '所以，BN CD ⊥且， MN A D '∥112MN A D '==由题意，则， 20,3A DC π⎛⎫'∠∈ ⎪⎝⎭20,3MNC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭当时，，2MNC π∠=MN CD ⊥因为， MN BN N ⋂=所以时，平面，2MNC π∠=CD ⊥BMN 又平面， BM ⊂BMN 所以，CD BM ⊥所以存在某一位置，使得，故B 正确； BM CD ⊥对于C ，因为，MN A D '∥所以异面直线，所成的角即为或其补角，BM A D 'BMN ∠， 2131cos 22BM BM BMN BM BM+-∠==-因为不为定值，所以不为定值， BM cos BMN ∠即异面直线，所成的角不为定值，故C 错误； BM A D '对于D ，因为，,OC BD OA BD '⊥⊥所以即为二面角的平面角，A OC '∠A BD C '--则，所以， 261cos 63A C A OC '-'∠===2A C '=所以四面体为正四面体， A BCD -'如图，补全正四面体为正方体， A BCD -'，， =即四面体D 正确. A BCD -'故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算的结果为______.1327ln 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 2【解析】【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：； 11313322733131ln e ln e 2822222⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：214. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】13【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、()2,3()2,4()2,5()3,4、共个结果；()3,5()4,56满足两个数相差为2的有、共个结果；()2,4()3,52所以两个数相差为2的概率； 2163P ==故答案为：1315. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______． 1【答案】 2π【解析】【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：， 1212ππ⨯⨯=故答案为：.2π16. 已知若存在，使得，的取值范围是()2,01,2, 1.x x x f x x ⎧<<=⎨≥⎩210x x >>()()212f x f x =()12x f x ⋅______.【答案】[)4,⎛⋃+∞ ⎝【解析】【分析】分，，三种情况讨论，由题意，1201x x <<<1201x x <<≤121x x ≤<()()12112x f x x f x ⋅=⋅分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得出答案. 1x 【详解】解：当时， 1201x x <<<则， ()()()2120,1f x f x =∈所以，即，()110,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，1x ⎛∈ ⎝则，()()31211122x f x x f x x ⋅=⋅=因为函数在上递增，3y x =()0,1所以；()31212x f x x ⎛⋅=∈ ⎝当时，1201x x <<≤，()()()[)21120,1,22,x f x x f x =∈=∈+∞所以，()()212f x f x >所以不存在，使得； 1201x x <<≤()()212f x f x =当时，121x x ≤<则，()()12122,2xxf x f x ==因为， ()()212f x f x =所以， 21112222x x x +=⨯=所以，211x x =+则，()()112111222xx f x x f x x ⋅=⋅=⋅令，()[)22,1,xg x x x =⋅∈+∞则，()()112211122222222x x x x g x x x g x x x -⋅==⋅⋅因为，121x x ≤<所以， 11221,0x x x x <-<所以，所以， 1221x x -<121221x x x x -⋅<即，()()12g x g x <所以函数在上递增，()22xg x x =⋅[)1,+∞所以，即，()()14g x g ≥=()[)124,x f x ⋅∈+∞综上所述，的取值范围是.()12x f x ⋅[)4,⎛⋃+∞⎝故答案为：.[)4,⎛⋃+∞ ⎝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（）的最小正周期为. ()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>π（1）求的值； π6f ⎛⎫⎪⎝⎭（2）求函数的单调递减区间. ()f x【答案】（1（2）π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可； 2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）整体法求解函数单调递减区间. 【小问1详解】 由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】 令， ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈解得：， π7πππ,1212k x k k Z +≤≤+∈故函数的单调递减区间.是()f x π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18. 已知的内角，，的对边分别为，，，. ABC A A B C a b c 2sin 3sin cos 0a C c A B -=（1）求的值；cos B （2）若，，求的值. 2BA BC ⋅=u u r u u u r1c =b 【答案】（1）23（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出；cos B （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； ac a 【小问1详解】解：因为，2sin 3sin cos 0a C c A B -=由正弦定理可得，因为，所以 23cos 0ac ac B -=0ac ≠2cos 3B =【小问2详解】解：因为，所以，所以，2BA BC ⋅=u u r u u u rcos 2ac B =3ac =因为，所以，1c =3a =由余弦定理， 22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=所以.b =19. 已知函数是定义在上的奇函数. ()22xx af x =-R （1）若，求的值； ()32f x =x （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.[]0,3x ∈()()220f t x f x -+≤t 【答案】（1）1x =（2） (],3-∞-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即()00f =a ()f x 可；（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可22t x x -≤-[]0,3x ∈得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 22t x x ≤-+[]0,3x ∈22x x -+【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数， ()22xxaf x =-R 所以，即，解得，所以， ()00f =00202a -=1a =()122xxf x =-即，则，符合题意，()22xx f x -=-()()22xx f x f x --=-=-又，即，即，即， ()32f x =13222xx -=243220x x ⋅-⋅-=()()221220x x ⋅+-=即，解得 220x -=1x =【小问2详解】解：因为， ()122xxf x =-所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数， ()f x ()f x R 所以在恒成立，()()220f t x f x-+≤[]0,3x ∈等价于在上恒成立，()()()222f t x f xf x -≤-=-[]0,3x ∈即在上恒成立，即，恒成立， 22t x x -≤-[]0,3x ∈22t x x ≤-+[]0,3x ∈令，，()()22211g x x x x =-+=---[]0,3x ∈所以在上单调递增，在上单调递减，、， ()g x []0,1(]1,3()00g =()33g =-所以，所以，即；()min 3g x =-3t £-(],3t ∈-∞-20. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公BMI 式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；()()2kg BMI m2=体重单位:身高单位:BMI BMI 18.5<为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情18.5BMI 24≤<24BMI 28≤<28BMI ≤况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一BMI 组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.分组频数 频率 [)14,18150.15[)18,2240 0.40[)22,2630 0.30[)26,3010 0.10[)30,34 5 0.05 合计1001.00（1）根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；BMI （2）已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学BMI 122.8μ=生的平均数. BMI 2μ【答案】（1）10%（2） 220.8μ=【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比； 28BMI<30≤（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，BMI BMI 123255μμ+即可得解. 【小问1详解】解：由频率分布直方图可知的频率为， 28BMI<30≤10.02540.052⨯⨯=所以的频率为， 28BMI ≤0.050.050.1+=所以估计该校学生为肥胖的百分比为； 10%【小问2详解】解：样本的的平均数为， BMI 160.15200.4240.3280.1320.0522⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则， 2604022.822100100μ⨯+=解得，220.8μ=所以估计样本中40名女学生的平均数. BMI 220.8μ=21. 如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD 在的平面垂直于底面，.ABCD BC PD ⊥（1）求证：平面；BC ⊥PCD（2）若直线与平面，求二面角的余弦值. PB ABCD P AB D --【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；（2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值. D P AB 【小问1详解】如图所示，取中点，连接，CD O PO 是正三角形，PCD QV PO CD ∴⊥又平面平面，且平面平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =平面，平面,， PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥，且， BC PD ⊥ PO PD P = 平面；BC ∴⊥PCD 【小问2详解】如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N 作，交于点，连接，M //MQ NP AP Q DQ 设，，则，22AD BC ==20CD a a =>，OP =由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD 平面，，BC ⊥PCD BC CP ∴⊥则PB =sin OPOBP BP ∠===解得：， 1a=故，，解BD=AB ===得，BM=AM=DM =又，所以平面，，//BC ADAD ⊥PCD AD PD ⊥，解得，PA ===BN =，，AN=PN =所以点为线段的中点，故点也为线段中点，M AN Q AP 所以，，12QM PN ==DQ =所以即为二面角的平面角，DMQ ∠PAB D --222222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-+-∠===⋅22. 已知二次函数的图象经过原点，且是偶函数，方程有两相等实()y f x =()1y f x =-()10f x +=根.（1）求的解析式； ()y f x =（2）讨论函数与的图象的公共点个数.()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+【答案】（1）()22f x x x =+（2）见解析 【解析】【分析】（1）设，易得，根据是偶函数，可得的一个()()20f x ax bx c a =++≠0c =()1y f x =-,a b 关系式，再根据方程有两相等实根，可得根的判别式，从而可求得，即可得解； ()10f x +=Δ0=,a b （2）函数与的图象的公共点个数，即方程()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+的实数根的个数，即方程的实数根的个()22e 2e 12e 2e x x xxm m ++=-+()()2221ee 10xx m m ---=数，令，故所求转化为方程在实根的个数，再分()e ,0,xt t =∈+∞()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞，，三种情况讨论，从而可得出结论.2210m -=2210m ->2210m -<【小问1详解】解：设，()()20f x ax bx c a =++≠因为二次函数的图象经过原点， ()y f x =所以，0c =，()()()()221112y f x a x b x ax b a x a b =-=-+-=+-+-因为是偶函数， ()1y f x =-所以，()()11f x f x -=--即，()()2222ax b a x a b ax b a x a b +-+-=--+-所以，20b a -=又方程有两个相等的实数根，210ax bx ++=所以， 224440b a a a ∆=-=-=解得（舍去）， 1a =0a =所以；()22f x x x =+【小问2详解】 解：由（1）得，()()()2e 1e 2e 1eexx x xxf g x +++==令，()()g x h x =则，()22e 2e 12e 2ex x x xm m ++=-+即，()()222e 2e 12e e 2e xx x x x m m ++=-+即，()()2221ee 10x x m m ---=令，()e ,0,xt t =∈+∞则，()222110m t mt ---=故所求转化为方程在实根的个数，()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞令，，()()222110t m t mt ϕ=---=()0,t ∈+∞①当，即2210m -=m =若，则，故，m=10-=0t =<所以时，方程无实根；m =若，故，m =10-=t =所以时，方程有1个实根；m =②当，即或时， 2210m ->m >m <因为，且，， 22284940m m m ∆=+-=->()01m =-21021m -<-所以当或时，方程有1个实根；m>m <③当，即时， 2210m -<m <<若时，方程有两个不相等的实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m <<-若时，方程无实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m <<若时，方程有1个实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m =-若时，方程无实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m =若时，方程无实根， 2Δ940m m ⎧=-<⎪⎨<<⎪⎩2233m -<<综上所述，当时，函数的图象没有公共点；23m ⎛∈- ⎝()(),g x h x当时，函数的图象有1个公共点； 2,3m ⎫⎛⎧⎫∈+∞⋃-∞⋃-⎪ ⎨⎬⎪ ⎩⎭⎭⎝()(),g x h x当时，函数的图象有2个公共点.23m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭()(),g x h x 【点睛】本题考查了根据待定系数法球二次函数的解析式，考查了偶函数的性质及一元二次方程的根的问题，考查了一元二次方程在某个区间上的实根的个数问题，考查了分类讨论思想，对数据分析的能力要求较高.。
广东省深圳市高一下学期期末数学试卷
广东省深圳市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A . 1,2,3,4,5B . 5,15,25,35,45C . 2,4,6,8,10D . 4,13,22,31,402. （2分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A . 45，56B . 46，45C . 47，45D . 45，473. （2分） (2018高一下·安徽期末) 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A . 甲和乙B . 甲和丙C . 乙和丙D . 乙和丁4. （2分） (2017高二下·南昌期末) 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·池州模拟) 已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A .B . 1C .D . 46. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（）A . 60°B . 90°C . 150°D . 120°7. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·南充期中) 已知 a＞ b，则下列不等式成立的是（）A . ln（a﹣b）＞0B .C . 3a﹣b＜1D . loga2＜logb29. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知数列，满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）将379化成四进位制数的末位是________．12. （2分）已知函数y＝|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．13. （1分） (2017高一下·宜昌期中) 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需________日相逢．14. （1分） (2016高一下·新乡期末) 已知集合M={x|0＜x≤6}，从集合M中任取一个数x，使得函数y=log2x 的值大于1的概率为________．15. （1分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）= 的定义域为A，不等式（x﹣1）2＜logax 在x∈A时恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，等级评定标准如下表所示：评估得分[60，70][70，80][80，90][90，100]评定等级D C B A（Ⅰ）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．17. （5分） (2018高一下·北京期中) 已知在锐角△ABC中，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.18. （10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如表：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）在空气污染指数分别为50﹣100和150﹣200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．20. （15分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知函数．（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若对于恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
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广东省深圳市高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2019·全国Ⅰ卷文) tan255°=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·眉山期末) 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）
A . 18人
B . 16人
C . 14人
D . 12人
3. （2分）掷两颗骰子，所得点数之和为，那么=4表示的随机试验结果是（）
A . 一颗是3点，一颗是1点
B . 两颗都是2点
C . 两颗都是4点
D . 一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
4. （2分） (2019高一上·长春期中) 若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4,则扇形的面积为（）
A .
D .
5. （2分） (2016高一下·华亭期中) 函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，下列结论中正确的是（）
A . 图象C关于直线x= 对称
B . 图象C关于点（﹣，0）对称
C . 函数f（x）在区间（﹣，）内是增函数
D . 由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
6. （2分） (2017高三上·高台期末) 已知，且，则向量与向量的夹角是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）
C . 14
D . 19
8. （2分） (2016高一下·西安期中) 给出下面的三个命题：①函数的最小正周期是；
②函数在区间上单调递增；③ 是函数的图象的一条对称轴．其中正确的命题个数（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
9. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）
A . 甲＜乙，甲比乙成绩稳定
B . 甲＞乙，甲比乙成绩稳定
C . 甲＜乙，乙比甲成绩稳定
D . 甲＞乙，乙比甲成绩稳定
10. （2分）在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为,已知P(－1, 3, 2)，则P到平面OAB的距离等于（）
A . 4
D . 1
11. （2分） (2018高二下·遵化期中) 已知且，则的最大值（）
A .
B . 2
C . 1
D .
12. （2分） (2019高一下·中山月考) 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，并且，则该函数图象的一条对称轴为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·苏州期末) 设向量，，，若，则实数的值是________.
14. （1分）如图的程序运行后输出的结果是________．
15. （1分） (2017高一上·泰州期末) 若函数y=sin（πx+φ）过点，则f（0）=________．
16. （1分）如图，已知 = ， = ，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量 =________（用，表示向量）
三、解答题 (共5题；共50分)
17. （10分） (2017高二上·静海期末) 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证
明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. （10分） (2017高一上·厦门期末) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．
方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；
方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）
（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；
（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．
19. （10分） (2018高二下·台州期中) 已知函数，其中 .
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值.
20. （10分） (2018高二上·遂宁期末) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
昼夜温差
1011131286
x (℃)
就诊人数
222529261612
y(个)
该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.
（参考公式: ，）
参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16= 1092，112+132+122+82=498.
（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
21. （10分） (2018高一上·嘉兴期中) 已知函数
（1）若且是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当，且对任意，关于的方程总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共50分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、21-2、
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