第四章 土中应力

无限长,b=0:线荷载；b>0且沿长度方向不变：条形荷载
p
x
p0
x
y z
y
z
特点：平面问题（二维问题），与y轴垂直的任何平面上的应力状态 完全相同。 （一）线荷载：
dy p
x y
x
R1
z
2p 3 z cos R1
y

M z
x、 y、 见教材。
pБайду номын сангаас单位长度上的荷载(kN/m)
(二)、均布条形荷载 用直角坐标表示的解：
p0 p sz F G 0d BL
F d 1 2 0 d 0 d G p p0
显然，若埋深d=0，则基底 附加应力等于基底应力， 即 p0=p
基坑（槽）
式中
p— 基底应力，kPa;
sz — 土中自重应力，基底处sz =0d, kPa; 0 — 基础底面标高以上天然土的加权平均容重，
二、矩形荷载和圆形荷载作用下地基附加应力计算 （一）、矩形均布荷载 1. 角点下应力
集中荷载 dP=dxdyp0, 在M点处产生的附加应力d z为
3dP z 3 3 p0dxdy z3 d z 5 2 2 R 2 ( x y 2 z 2 )5/ 2
p0
l z b
y
z
M
Wy = LB2/6
整理后得
pmax,min 6ex 6e y F G (1 ) BL L B
条基：在长度方向取1米即可。 三、水平荷载作用 矩形： ph=Ph/BL
条基： ph=Ph/BL
四、基底附加应力(p0) 基底处的地基由于建筑物建造后而增加的应力。只有基底 附加应力才能引起地基的附加应力和变形。 基底附加应力p0:
实际工程中，集中荷载是不存在的，但它在土的应力计算 中又是一个非常重要的基本公式，为什么？ P
z
（一）Boussinesq 解，1885
zy
zx xz yx xy x
P
位 移

yz y
x
r
R
x
y
u v w
应 力
y
z
x
xy
y
xz
z
yz
z
M
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
t 2 可根据l/b和z/b从表4-8中查得。
2.任意点下的附加应力计算： 迭加法。 3.思考：荷载为梯形分布时如何计算任意点下的附加应力？ （三）均布的圆形荷载中心点下附加应力的计算 p r O
0
z t 2 p0
z r p0
r 可根据z/r 从表4-9中查得
0
0
z
M z
三、线荷载和条形荷载作用下的地基附加应力 线荷载和条形荷载的概念：
p
0
x b
z
z sz p0 x sx p0 xz zx sxz p0 由z / b和x / b查表4 10
z
x
M
用极坐标表示的解（ 1、2 ）
b
p0
x
3
0
1
z
1 p0 ( 0 sin 0 ) 3
例题：4-4 p110 见黑板
z E p0
应力扩散随上层厚度的增加而更加显著，它还与双层地基的变 形模量E、泊松比有关，即随下列参数f的增加而显著：
2 E1 1 2 f E2 1 12
式中 E1，1——上层的变形模量和泊松比； E2，2——软弱下卧层的变形模量和泊松比。 由于土的泊松比变化不大（一般 =0.3~0.4）,故参数 f的大小主要取决于变形模量的比值E1/ E2 .
式中 αc——_为矩形均布荷载角点下的竖向附加应力系数 αc=f(l,b,z), (注意: b为荷载面的短边边长), 可根据l/b和z/b从表 4-5中查得。 2、任一点的应力—角点法
见黑板 例题4-3 （P.102)见黑板
（二）、三角形分布的矩形荷载 1.角点下的附加应力计算（注意，角点1和角点2不同） 角点1 P0 x 1 dP dxdy b l dP在1点下任意M处引起的竖直附加 b y 应力dz
2、双向偏心 若基底最小压力 pmin0, 基底最大、 最小压力计算公式
pmax,min F G Mx My B L Wx Wy
式中
Mx,My —竖直偏心荷载P对基 底x , y 轴的力矩(kNm);
Mx =P ex ; My = P ey Wx,Wy—基底分别对x , y轴的 抵抗矩 Wx = BL2/6 ，(m3)
p0=p- sz
其中 为0~1的系数
第四节 地基（中的）附加应力计算
地基附加应力： 指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 计算方法假设： 1、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力学 解答 2、将基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响 一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力计算
B、L —矩形基底的宽度和长度；
条基：在长度方向取1米
p F G P B B
P —为沿长度方向1米内的相应荷载值kN/m
（二）、偏心荷载作用
1、单向偏心 基底压力计算公式
pmax,min 6e F G (1 x ) BL B
（c）e>B/6, 应力重新分布 1/2×L ×pmax × 3K=P pmax=2P/( 3KL) 式中，K=B/2-e
3 p0 z 3 l b 1 z d z dxdy 2 2 2 5/ 2 0 0 2 (x y z ) p0 lbz (l 2 b2 2 z 2 ) lb [ arcsin ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (l z )(b z ) l b z (l z )(b z ) c p0
可认为土坝底部的接触压 力 分布与土坝的外形轮廓 相同, 其大小等于各点以 上的土柱重量。
柔性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面 的荷载分布形式相一致。
2. 弹性地基上的绝对刚性基础(EI=)
弹性解: 基础两端应力为无穷大 实际情况: 马鞍形
刚性基础： 基底压力的分布形式与作用在它上面 的荷载分布形式不相一致。
• 地基应力的分布规律
b
p
0.9 0.8 0.7 0.6
x
z
0.5
0.4
z z
四、大面积均布荷载
五、非均质地基的附加应力
（一）双层地基
1、硬土层覆盖于软土层上荷载中轴线附近，附加应力 减小，地基附加应力发生“应力扩散”。
2、可压缩土层覆盖于刚性岩层上，荷载中轴线附近，附加 应力增加，地基附加应力发生“应力集中”。
3、z=cost 在P处最大，随r ，z 结论：集中力P在地基中引起的附加应力的分布是向下 向四周无限扩散开的。
(二）局部荷载如何算？------等代荷载法 （1）M点与局部荷载的距离（即R）比荷载面尺寸大很多时， 用集中力代替局部荷载，直接用布氏公式计算； （2）迭加法 例题4-2：教材P98 见黑板
0 =（ 1 h1+ 2 h2 +…… ）/(h1+ h2 +…… ), 其中地下 水位以下的容重取浮容重，kN/m3 ;
d — 基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土 场地则应从老天然地面起算，d= h1+ h2 +…… , m
说明：当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在 沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉 降，，改取
3. 弹塑性地基上的有限刚性的基础(0<EI<) 实际情况: 马鞍形 (二)、荷载及土性的影响
目前，在地基计算中，允许采用简化方法，即假定基底压力按 直线分布的材料力学方法。
二、基底压力的简化计算 （一）、中心荷载作用 矩形
p F G P BL BL
式中 P—作用于基础底面的竖直荷载 G —基础及其上回填土的重量 G=GdBL , G为砼基础及其上回填土 的平均容重 G=20kN/m3
第三节 基底压力
（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基上在地基 与基础的接触面上产生的压力（地基作用 于基础底面的反力） （2）接触压力的大小影响因素 地基土和基础的刚度大小 荷载大小
基础埋深
地基土的性质
一、基底压力的分布规律 （一）基础的刚度的影响 1. 弹性地基上的完全柔性基 础(EI=0) 土坝(堤)、路基、油罐等 薄板基础、机场跑道。
E
由f及h/b查有关表格得出。 工程应用: 道路路面设计 ， 用坚硬的路面来降低应力 集中, 减小路面因不均匀变 形而破坏
（二）变形模量随深度增大的地基 应力集中，经验公式。
本章结束
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3P z 3 3P z 5 cos3 2 R 2
又可写成：
z
P 3 P z 2 2 [1 ( r / z )2 ]5/ 2 z2
α称为集中应力系数 讨论z的分布特征：
1、 沿P作用线方向（r=0的竖直线上）， z 随深度而减小；
2、r>0 的竖向线上，z ，z：0 增大 减小
3 p0 xz 3dxdy d z 2 2 b ( x y 2 z 2 )5/ 2
x
p0
2
z 1 z
p0
t1 可根据l/b和z/b从表4-8中查得。
z t1 p0
z