【步步高】高三数学大一轮复习 2.5指数与指数函数教案 理 新人教A版

§2.5 指数与指数函数2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1． 根式的性质(1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时na n＝a . 当n 为偶数时na n＝{ aa －a a2． 有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．3． 指数函数的图象与性质[难点正本 疑点清源]1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2． 指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论．3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．1． 化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2． 若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a < 2 或－2<a <－1.3． 若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案3解析 当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]． 因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]． 此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a ＝ 3.4． (2012·四川)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a<1，排除A ，B.当0<a <1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a<0，故选D.5． 设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2) 答案 A 解析 ∵f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.题型一 指数幂的运算例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可； (2)注意x 2＋x －2、x 32＋x －32与x 12＋x －12之间的关系．解 (1)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－23×(－1)＝11＋3－312＋23－2×23×23＝11＋3－3＋8－8＝11.(2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7， ∴(x ＋x －1)2＝49，∴x 2＋x －2＝47，又∵x 32＋x ＋－32＝(x 12＋x －12)·(x －1＋x －1)＝3×(7－1)＝18， ∴x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3＝3. 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对 于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a >0，b >0)．解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－5－2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.题型二 指数函数的图象、性质的应用 例2 (1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0(2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间．思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函 数的关系入手． 答案 (1)D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)解 依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)． ∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1， ∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)． 令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)， ∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数， 当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f (x )＝3x2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )答案 A解析 y ＝e x ＋e －xe x －e －x ＝1＋2e 2x－1，当x >0时，e 2x－1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1 ＋2e 2x－1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m＋μ＝________. 答案 1解析 由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 题型三 指数函数的综合应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最 值或值域来解决．解 (1)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象 有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解． (2)①当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x>0，∴x ＝1.②当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m ≥－(22t＋1)， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x) (a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 解 (1)因为函数的定义域为R ，所以关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数， 所以f (x )为增函数， 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数，所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数， 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)， 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1， 所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．3.利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)．(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式．也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式． 规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.[4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.[7分](2)方法一 由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.[9分] 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.[12分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0， 解得k <－13.[14分]方法二 由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分] 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]温馨提醒 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有 的x 都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立等价转化为t2－2t >－2t 2＋k 恒成立．这个转化易出错．其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－13.方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 失误与防范1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． 设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.2． 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x 的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ≥12，故选D.3． 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )答案 D解析 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x|x |＝{ a x ，x －a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．4． 若函数f (x )＝a|2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13 (a ＝－13舍去)， 即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m <n解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n . 6． 函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为__________． 答案 12或32 解析 当0<a <1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32.7. (2012·洛阳调研)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 －2解析 ∵{ a 2＋b ＝a 0＋b ＝－3，∴{ a ＝b ＝－4，∴a ＋b ＝－2.三、解答题(共25分)8． (12分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围． 解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.① (1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立．(2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥32，即34≤x <1. (3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 9． (13分)设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x(a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13. 又因为a >0，所以a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3. B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1x x ，x x ，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 C解析 当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数， F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．2． (2012·山东)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0答案 B解析 由题意知函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0. 当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0. 3． (2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是 ( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}答案 B解析 f (x )＝1＋2x －11＋2x －12＝12－11＋2x . ∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. ∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．二、填空题(每小题4分，共12分)4． 函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.答案 9解析 f (x )＝ax 2＋2x －3＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1，1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m＝10，解得m ＝9.5． 若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．6． 关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，34解析 由题意，得x <0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<1，从而0<2＋3a5－a <1，解得－23<a <34.三、解答题(13分)7． 设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e－x a ＋ae －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋ae －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－e x 2－e －x 2 ＝x 1－e x 2x 1＋x 2－e x 1＋x 2，∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴e x 1＋x 2>1，e x 1－e x 2<0，∴e x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝e －x a ＋a e－x ， 当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．。