中考数学压轴题必考题型二次函数的面积问题考点专练含解析强烈推荐
中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案
中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知顶点为325,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线过点()3,2D ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 、点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线AD 上方时，求PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．2．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点(6,0)E ，y 的最大值为9，点A 在x 轴正半轴上，点A 向右平移2个单位得到点B ，过点A ，B 作x 轴的垂线分别交抛物线于点D ，C ，设A 的坐标为(,0)t ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若OAD △与BCE 的面积分别记作1S 和2S ，当04t <<时，求12S S +的值；(3)若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积记作S ．①当04t <<时，求S 的最大值；①当3t ≥时，直接写出14S =时t 的值．4．如图，直线210y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和B ，点C 为OB 的中点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 是直线AB 上方的抛物线上的一点，且ABD 的面积为452． ①求点D 的坐标；①点P 为抛物线上一点，若APD 是以PD 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．5．如图，在Rt ABC △，90ABC ∠=︒该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A -，(0,2)B 和(4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点，当BCP 的面积最大时，求P 点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(4,0)B 和(0,4)C 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标：(2)在抛物线的对称轴上探求一点M 的坐标，使得点M 到点A 、点C 的距离之和最小；(3)在直线BC 上方的抛物线上探求一点P ，使得PBC 的面积最大，并求出PBC 的面积的最大值．7．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线向上平移433个单位得到新的抛物线，点E 是新抛物线上一点，点F 是已知抛物线对称轴上一点，若以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，写出点E 的坐标，并把求其中一个点E 的过程写出来．8．抛物线2y ax x c =-+与x 轴交于点()4,0A -和()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，点D 的横坐标为m ，四边形AOCD 的面积为S ．求S 关于m 的函数解析式，并求出S 的最大值．9．已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0和()()1,3,1,5A B --三点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作M ，如果过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点E ，连接MD ．已知点E 的坐标为()0,m ，求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）(3)延长DM 交M 于点N ，连接,ON OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S =△四边形？请求出此时点P 的坐标．10．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点()1,0A -和点()0,5B -．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP 的周长最小，请求出点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M ，使ACM ABC SS =若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．为抛物线上一点，且ABP的面积为13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()4,0A -，()0,4B -和()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式(3)求出S 的最大值；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(2)3y x k =--+（k 为常数）的顶点为C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ；点D 在抛物线上，且位于抛物线上点A ，C 之间（不与点A ，C 重合），回答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)求ACB △的面积；(3)若ACD 的周长为14，则四边形ABCD 的周长为________．15．抛物线22y x x m =-++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求m 的值；(2)求BCD △的面积；(3)若点P 是抛物线上的一点，当点P 在直线BC 的上方的抛物线上运动时，PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第 11 页 共 13 页参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)PAD S ∆有最大值4，此时点P 的坐标为()13，．2．(1)抛物线的函数表达式为26y x x =-+(2)当04t <<时1216S S +=(3)①当2t =时，S 有最大值16；①3t =或 5.5t =3．（1）24y x x =-+；（2）()2520299y x =--+；（3）()44D ,或()4,7D 或()4,1D -或()1,1D -- 4．(1)265y x x =-+-(2)①()2,3D ；①0或152+或512- 5．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时()23P ，．6．(1)234y x x =-++ 325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)当点P 坐标为()2,6时，PBC S 最大，最大值为8．(2)PBC的面积取值最大值为点E的坐标为．(1)1y=-2第12页共13页第 13 页 共 13 页 14．(1)(5,0)(2)18(3)20 15．(1)3m =(2)3(3)PBC S 有最大值，最大值为278 315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭。
中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)
学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。
了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。
S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法 割补法 平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为 时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为 ，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。
最新中考数学专题复习：二次函数的面积问题压轴训练(含答案)
2023年中考数学专题复习：二次函数的面积问题压轴训练1．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．(3)连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx =++的图像与x 正半轴相交于点B ，负半轴相交于点A ，其中A 点坐标是（－1，0），B 点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P 在第一象限的抛物线上运动，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交线段BC 于点E ，线段BC 把△CPD 分割成两个三角形的面积比为1△2，求P 点坐标；(3)如图2，若点H 在抛物线上，点F 在x 轴上，当以B 、C 、H 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若12PBC ABC S S =，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．5．如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．6．综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积； (3)在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线()20y ax x c a =++≠经过A ，B 两点与x 轴相交于点C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，连接PB ，当△PBC ＋△OBA ＝45°时，求点P 的坐标；(3)点M 为抛物线上任意一点，当13ABM ABC S S =△△::时，请直接写出点M 的坐标．8．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,(4,0)A B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -，点P 在抛物线上，连接,BC BP ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记DCE 的面积为1S ，DBP 的面积为2S ，当12S S 时，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在第二象限，点F 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与线段BC 交于点G ，当90PBC CFG ∠+∠=︒时，求点P 的横坐标．9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴相交于点A （0），B 0），与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ，点P 是x 轴上的一个动点，连接CP ，并把线段CP 绕着点C 按逆时针方向旋转60°，得到CQ ，连接PQ ，OQ ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到点D 时，求Q 点坐标，并判断点Q 是否在抛物线上；(3)当△OPQ P 的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，其对称轴1x =与x 轴交于点D ．图1 图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB ，PC ，CD ，求四边形PBDC 面积的最大值和此时点P 的坐标；(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y'对称轴上的一点，M 是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．12．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使23ABC ABD S S =△△若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与直线AC 交于点F ，直接写出BF 的长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax c a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标是(2,0)，顶点C 的坐标是(0,4)，M 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM 与y 轴交于点G ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记AOG MOG ，的面积分别为12,S S ．当122S S =，且直线CN AM ∥时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；(3)如图2，直线BM 与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得27OH OG -=．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点A （-2，0）．与点C （0，4）．与x 轴的正半轴交于点B ．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D 是抛物线上一点，AD 与线段BC 相交于点E ，且AD 将四边形ABDC 分成面积相等的两部分，求DE AE的值； (3)如果P 是x 轴上一点，△PCB =△ACO ，求△PCO 的正切值．15．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．17．如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝ax 2-8x +6（a ≠0）相交于A （4，6）和B （12，52），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PD △x 轴于点E ，交抛物线于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)当D 为抛物线顶点的时候，求△ADC 的面积；(3)是否存在这样的点P ，使△ADC 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．18．如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值19．如图：已知关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图像与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3）．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN△x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.20．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（9，0），与y轴交于点C，连接AC．BC．(1)求抛物线的解析式；(2)将△AOC以每秒一个单位的速度沿x轴向右平移，平移的时间为t秒，平移后的△A1O1C1与△ABC重叠部分的面积为S．当A1与B重合时，停止平移，求S与t的函数关系式；(3)点M在抛物线上，当△MAB＝2△ACO时，请直接写出点M的横坐标．答案1．(1)223y x x =--(2)P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，四边形ABPC 的最大面积为758(3)存在，P 点坐标为32⎫-⎪⎪⎝⎭2．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12) 或(12)或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2-4．(1)y =-x 2+4x -3或352,）或) (3)(72,54-)5．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198） 6．(1)233642y x x =-- (2)454(3)存在，151,4N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或1514N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或1514N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7．(1)2142y x x =-++(2)()6,8-和53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()12,4M ，()24,8M --8．(1)234y x x =--(2)()34P -，(3)点P 的横坐标为65-9．(1)2144y x =-+(2)Q ，4），点Q 在抛物线上(3)符合条件的点P 0），，0），（0），（0）10．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--，，(12--，11．(1)224233y x x =--； (2)PBDC S 四边形的最大值为174，此时点P 的坐标为3(2，5)2-； (3)点M 的坐标为(4,14)-或(0,2)M -或(2,2)-．12．(1)213222y x x =-++ (2)存在，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)13．(1)24y x =-+(3)存在，115,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =；(3)△PCO 的正切值13或3．15．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--， (3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-16．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-17．(1)抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣8x +6(2)18(3)当x ＝94时，S △ADC 最大值为：147818．(1)24.yx x (2)()2,8B(3)2,12,PPA PB -的最大值为19．(1)243y x x =-+(2)存在，P （2，2） （2，（2，3，（2（2，(3)当3322M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，3324N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，△BCN 的面积最大，最大面积为27820．(1)218333y x x =-- (2)()()()222236012012719602331591020t t t S t t t t t ⎧-+<≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩(3)274或454．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
九年级数学中考复习：二次函数压轴题—与面积有关的问题(含解析)
中考复习二次函数压轴题——与面积有关的问题（含答案解析）一、典型例题分析例1．（2019·辽宁初三月考）如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解析】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【答案解析】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ， ∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵C （0，﹣3）， ∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（12+，﹣12）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．例2: 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c +⎨⎩+⎧＝＝，解得：b=-4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2-4x+3；（2）令y=0，则x 2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=3点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，，∴或-3 ∴P 1（0，），P 2（0，）；②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3，∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2-t ，则DN=2t ，∴S △MNB =12×（2-t ）×2t=-t 2+2t=-（t-1）2+1，即当M （2，0）、N （2，2）或（2，-2）时△MNB 面积最大，最大面积是1。
中考复习之二次函数压轴之面积问题,含详细参考答案
二次函数压轴之面积问题问题简介：1.抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．(1)求抛物线的解析式(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求 PBC面积最大时点P的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求A点、C点的坐标；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接AC，CP，BP，若四边形ACPB面积为63 8请求出此时点P的坐标；3.如图，抛物线y ＝24832999x x -++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ．点P 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，直线AD 交y 轴于点C ，过点P 作PF ∥AD ，交x 轴于点F ，PE ∥x 轴，交直线AD 于点E ，交直线DF 于点M ． （1）求直线AD 的表达式及点C 的坐标；（2）当四边形AFPE 的面积与△ADF 的面积相等时，求m 的值；4.如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点Q 是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q ，使S △QAB ＝S △CAB ，若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图1，抛物线y ＝12x 2+b x +c 与x 轴、y 轴分别交于点B （6，0）和点C （0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，其横坐标为m ，连接PB 、PC ，当△PBC 的面积为152时，求m 值；6.已知抛物线y ＝12x 2﹣3x +52与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上在第四象限的点，PBC S 13PAB S ∆∆=时．求点P 的坐标；7.已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A，B（点A在点B左侧），AB＝3，交y轴于点C，设抛物线的对称轴为直线x＝m，且m≥0．（1）用含m的代数式表示出点A、点B的坐标；（2）若抛物线上存在点P使得S△ABP＝S△ABC＝3（点P与点C不重合），且这样的点P 恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；8．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；9.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（其中m为实数，0＜m＜3），过动点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线解析式及点C的坐标；（3）连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM若△AEM的面积等于△MON面积的2倍，求m的值．10.如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；参考答案1. 解：方法一：过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，设P(m ,m 2-2m -3),易知BC 的解析式为y =x -3，则D(m ,m -3)铅垂高PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m 水平宽x B -x C =3，S △PBC =32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-) 方法二：将BC 向下平移，当它与抛物线相切时，此时△PBC 的面积最大设平移后的直线l解析式为y=x+m 与抛物线y =x 2-2x -3联立得x 2-3x -(m+3)=0,此时△=0，即有9+4(m +3)=0，m =214-此时方程的根为x 1=x 2=32，P 点的坐标为(32，154-) 方法三：过点P 作EF||x 轴，过点B 作BF△EF 于点F ，设P(m,m 2-2m -3)S △PBC =S 四EFBO -S △BOC -S △PCE -S △PBF =32(-(m 2-2m -3)-12(3-m)(m 2-2m -3)-12m(-(m 2-2m -3-3)=32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-)2. 解：(1)A(-1,0),C(0,-3)(2)易知AB=4，OC=3，故S △ABC =6，而S 四ACBP =S △ABC +S △BCP ，故S △BCP =158设P(m ，m 2-2m -3)，直线BC 的解析式为y=x -3，过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，则D(m ，m -3)，PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m ，S △BCP =32(-m 2+3m)=158得m 1=12，m 2=52，此时P 点的坐标为(12，154-)或(52，74-)3. 解：(1)y =43x +83，C(0，83) (2) 作DG 、PH 垂直于x 轴于点G 、H ，P(m ，24832999m m -++)，PH=|24832999m m -++|S AFPE =AF∙PH ，S △ADF =12AF∙DG ，即有|24832999m m -++|=2，解得m 1=1+2，m 2=1-2(舍去)m 3=1+2,m 4=1-2(舍去)，故m 的值为1+2或1+24. 解：(1)y =-x 2+2x +3(2)作CD||y 交AB 于点D ，易知直线AB 的解析式为y =-x +3，故D(1，2)，S ABC =3， 方法一：设Q(m ，-m2+2m+3)则E(m,-m+3)，则QE=|-m 2+2m+3-(-m+3)|=|-m 2+3m|S ABQ =32|-m2+3m|=3，解得m 1=1,m 2=2，m 3=32，m 4=32，故Q 点的坐标为(1，4)或(2，3)或(32+，12-)或(32，12-+)5. 解：(1)y=12x 2-52x -3 (3) 易知直线BC 的解析式为y =12x -3设P(m,12m 2-52m -3)，E(m ，12m -3)，PE=12m -3-(12m2-52m -3)=-12m2+3m,S PBC =12∙6∙(-12m 2+3m)=152，解得m 1=1，m 2=56. 解：(1)A(1，0)，B(5，0)y ＝12x2﹣3x+52 (2)易知直线BC 的解析式为y=-12x+52,设P(m,12m2﹣3m+52)，则E(m,-12m+52),PE=-12m+52-(12m2﹣3m+52)=-12m2+52m ，S PBC =52(-12m2+52m)，而S PAB =2(12m2﹣3m+52),PBC S 13PAB S ∆∆=得22152(3)1225153()222m m m m -+=+7. 解：(1)A(m -1.5,0)B(m+1.5,0)(2)1.a <0时，x 轴下方恰好存在两个纵坐标为-2的点，而x 轴上方有且仅有一点C ，则C 为最高点时，满足题意，故b =0，对称轴为直线x=0，m =0，得a =-89,抛物线的解析式为y=-89x 2+22. a >0时，x 轴上方有一个纵坐标为2的点，x 轴下方有一个纵坐标为-2的点，故(m ,-2)为其顶点，设y=a (x -m )2-2，点B(m+1.5，0)和(0,2)代入得a =89，m=2,故抛物线的解析式为y =89(x-2)2-28. 解:(1)y=x 2+2x -3(2) 易知M(-2，-3)故直线BM 的解析式为y =35x -95，D(-1，-4)过点D 、P 分别作DE 、PF 平行于y 轴，E(-1，-125),故DE=85，S △BDM =12∙385=125，设P(m ,m 2+2m -3)则F(m ,35m -95) PF=|35m -95-(m 2+2m -3)|=|-m 2+135m+65|,故S △BMP =12∙3|-m 2+135m+65|=125,解得m 1=0,m 2=-3(舍),m 3=12-,m 4=12-+，故点P 的坐标为(0，-3)或(12-，12)或(12-+，12)9. 解：(1)y=-x 2+2x+3(3) E(m ，0)，M(m ，-m 2+2m+3),直线BM 的表达式为y=(-m -1)x+3m+3，x=0时，y=3m+3, 故N(0，3m+3),S AEM =21(1)(23)2m m m +-++,2S MON =(3m+3)m,即21(1)(23)2m m m +-++=(3m+3)m ，解得m=-2或-1(舍去负值)，故-210. 解：(1)y=-x 2+2x+3(2) 设直线EH 的解析式为y =mx +7，与抛物线y=-x 2+2x +3联立得x 2+(m -2)x +4=0，∆=0，即有(m -2)2=16，得m=-2或6(舍),y =-2x +7，H(2,3)而M(2,-5)，HM=8；联立y =kx -2k -5抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k -2)x -2k -8=0，x F +x G =2-k ,x F ∙x G =-2k -8, x G -x FS FGH k =-2时，面积最小，最小值为。
中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．（1）求证：△BCQ△△ODQ；（2）求点P的坐标；（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．2．如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且△ACB=900，抛物线2=++y ax bx c经过A 、B 、C 三点，其顶点为M.（1）求抛物线2y ax bx c =++的解析式；（2）试判断直线CM 与以AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N ，使得BCN S 4∆=如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．3．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC△面积的最大值及此时点P的坐标；(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线237 :4l y=-上总存在一点E，使得MEN∠为直角．4．如图，顶点为P（2，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是（3，-3），求△OAP的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，l上有一点N，且点M、N关于点P对称，试证明：△ANM=△ONM．5．已知开口向下的抛物线223y x ax -=-+与x 轴的交点为A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的交点为C ，OC ＝3OA ．(1)求出该抛物线的解析式；(2)在抛物线第四象限上是否存在一点P ，使得△P AC 的面积等于△PBC 的面积的3倍，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)P 是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，经过点P 的直线交对称轴于G ，作PH △PG ，交对称轴于H ，当直线PG 与抛物线有且只有一个交点P 时，求证△PGH 的外心一定是某个定点，并求出这个定点的坐标．6．如图，已知等腰直角三角形ABC 90B 4AB BC == 点P 为AC 的中点，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件45EPF ∠=︒，设图中阴影部分图形的面积为1S ．(1)求证：APE CFP ∠=∠；(2)若AE CF =，求CF 的长；(3)设CPF 的面积为2S ，CF x =和12S y S =．求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值．7．如图，已知抛物线2y ax c =+过点（-2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：y =kx +2与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；(3)P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值；BPB'与ABC重叠部分的面积为判断ABC的形状，并证明；关于x的函数解析式，并直接写出自变量9．将抛物线2487y x x -=+先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C ，经过定点D 的直线2y kx =+()0k ≠交抛物线C 于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点O 为坐标原点．（1）直接写出抛物线C 的解析式和定点D 的坐标；（2）用字母S 表示三角形的面积，若21AOD BOD S S =-△△．请补充图1，求k 的值；（3）若点P 在直线=2y -上运动，且满足直线PA 与直线PB 分别与y 轴交于M 、N 两点，请补充图2，求证：OM 与ON 的积是定值．3（2）如图1，直线CD 交抛物线于另一点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点E 作//EF AC 交CD 于点F ．求证：//BF y 轴；（3）如图2，P 和Q 为抛物线上两点，直线BP ，BQ 交y 轴于点M ，N 和9OM ON ⋅=，求APQ △面积的最小值．12．已知抛物线()()2120y ax a x a =+--≠．(1)若1a =-，求该抛物线的顶点坐标；(2)若1a =，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包含点A ，B ）． △求PAB 面积的最大值，并求此时点P 的坐标；△点C 、D 是该抛物线上两点，且位于x 轴的两侧（点C 在点D 的右侧），点E 为直线4y x =-与y 轴的交点，连接EC ED 、．若直线OE 平分CED ∠，求证：C 、O 、D 三点共线．13．已知二次函数()()2211y kx k x k =-+++（0k ≠且k 为实数）．(1)求证：无论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个交点．(2)该函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．当ABC 的面积等于2时，求k 的值．14．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为y E，y F.(1)特例探究(填空)：当m＝1，n＝2时，y E＝____，y F＝____；当m＝3，n＝5时，y E＝____，y F＝____．(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．(3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．15．我们约定：图象关于y 轴对称的函数称为偶函数．(1)下列函数是偶函数的有________（填序号）；△2023y x =+；△220012020y x =-+；△ 6.09y x=；△220002023 6.19y x x =-+． (2)已知二次函数()()22111y k x k x =++-+（k 为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数2y ax bx c =++，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，若以AB 为直径的圆恰好经过点C ，求平移后新函数的解析式；(3)如图，已知偶函数2y ax bx c =++（0a ≠）经过()1,2和()2,5，过点()0,2E 的一次函数的图象与二次函数的图象交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点AB 分别作AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，取AB 的中点Q ，连接CQ 、DQ ，分别用1S ，2S 和3S 表示ACQ ，QCD 和QDB 的面积，若213S S S =⋅． △证明：13111S S +=； △求直线AB 的解析式．参考答案：1．【答案】（1）（2）P 的坐标是（5，0）；（3）S =2229(0)35{315279(3)8485x x x x x ≤≤-+-<≤． 2．【答案】1） 213y x +x+222=-．（2）直线CM 与以AB 为直径的圆相切. （3）．3．【答案】(1)228=+-y x x (2)PAC △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为()2,8P --(1)ABC是等腰直角三角形）24y x=【答案】解：（1）△的坐标为（2 -，2528△DG DE BC BE=，即5DG 31023=．△DG=1． △△D 的半径是1，且DG△BE ，△BE 是△D的切线．（3）由题意，得E （23-，0），B （2，2）．设直线BE 为y=kx+h ，则2k h 2{2k h 03+=-+=，解得，3k 4{1h 2==． △直线BE 为：31y x 42=+． △直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，对称轴直线为x=1 △点P 的纵坐标5y 4=，即P （1，54）． △MN△BE ，△△MNC=△BEC ．△△C=△C=90°，△△MNC△△BEC ．△CN MC EC BC =，即CN t 823=．△4CN t 3=． △4DN t 13=-． △PND 14555S DN PD t 1t 23434∆⎛⎫=⋅⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭ 2MNC 1142S CN CM t t t 2233∆=⋅⋅=⋅⋅= ()PDCM 11551S PD CM CD t 1t 22482=+⋅=⋅+⋅=+梯形（）． △()22PND MNC PDCM 2422S S S S t t t 13333∆∆=+-=-+=--+梯形（0＜t ＜2）． △抛物线()222S t 133=--+（0＜t ＜2）的开口方向向下 △S 存在最大值，当t=1时，S 最大=23．11．【答案】（1）243y x x =-+；（2）见解析；（3）APQ S 的最小值为1．(2)△PAB面积最大值13=，或k，n＝2时，(3) n＝2m,21x-(3)△。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案
(2)点 是线段 上的动点（除 、 外），过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ．
①当点 的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 ， 分别与抛物线对称轴交于 、 两点．试问， 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线 经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图 ，点 在 轴的负半轴上，且 ，连接 ，并延长交抛物线于点 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，请求出 的最大值及点 的坐标；
(3)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位到新抛物线 ，此时新抛物线顶点记为 ， 为新抛物线 上一点，若 是以 为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点 的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，直线 交 轴于点 和 轴于 点．
①连接 ，当 的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得 为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图 ，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，且顶点为 ，直线 经过 ， 两点．
(1)求直线 的表达式与抛物线 的表达式；
(2)如图 ，将抛物线 沿射线 方向平移一定距离后，得到抛物线为 ，其顶点为 ，抛物线 与直线 的另一交点为 ，与 轴交于 ， 两点 点在 点右边 ，若 ，求点 的坐标；
2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的面积问题考点专练(pdf,含解析)
解得，DE＝ 4 DM 5
∴DE＝﹣ 3 a2+ 12 a＝﹣ 3 （a﹣2）2+ 12 ，
55
5
5
当 a＝2 时，DE 取最大值，最大值是 12 ． 5
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次
函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式 1-1】．已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0．
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b= 7 ，即 y=﹣ 2 x+ 7 ，
2
32
此时交点
M1
坐标为（
3 2
，
5 2
）；
可得出两平行线间的距离为 9 13 ， 26
同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 9 13 的直线方程为 y=﹣ 2 x+ 1 ，
26
32
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于
点 Q，当 0＜m≤3 时，求线段 PQ 长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.
【解析】
【分析】
2020 年中考数学压轴题：二次函数的面积问题考点专练
【考点 1】二次函数的线段最值问题 【例 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直 线 BC 上方抛物线上一动点，DE⊥BC 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段 DE 长度的最大值．
中考数学二次函数压轴题精选经典动点面积训练(含满分答案解析)
中考数学精选因动点产生的面积压轴题思路点拨1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．例 1 菏泽市中考压轴题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 2 河南省中考压轴题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例4 上海市松江区中考模拟压轴题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1例 6 扬州市中考压轴题如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P 在直线AB 下方的抛物线上运动，可以体验到，PD 随点P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是AB 的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以AE =．所以sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此sin ACP ∠=． 将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-．所以PD ． （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =；当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而211cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x =上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M 在线段FB 和FB 的延长线上．因为用点M 的纵坐标表示△ABM 的底边长，因点M 的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222tt t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+． （ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小． 可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =． 因此点M （3，58）在直线AC 上． 因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．思路点拨1．数形结合，用b 表示线段OE 、CD 、AE 、BE 的长．2．求△ODE 的面积，要分两种情况．当E 在OA 上时，OE 边对应的高等于OC ；当E 在AB 边上时，要利用割补法求△ODE 的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7思路点拨1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点．2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425； 当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得3x =±因为3x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．。
最新九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题(面积问题)附答案
2023年九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．已知抛物线27 32y ax x=++的对称轴是直线3x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点；过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3MN=时，求点M的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值；(4)平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标．3．综合与探究：如图，抛物线y＝ax²＋bx＋3与x轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA＝13OB，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0<m<3）．连接AC，BC，BD，CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△ BCD 的面积等于△AOC的面积时，求m的值；(3)当m＝2时，若点P是x轴上一动点，点Q是抛物线上一动点．试判断是否存在这样的点P，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线223y x x=-++与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．(1)求线段BC的长；(2)过点A作AE//BC，与y轴交于点D，与抛物线第四象限的图象交于点E，P为抛物线上位于第一象限的点，连接PE交BC于点H，连接DH，求四边形PCDH面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将原抛物线沿射线BC y'，y'与原抛物线交于点M，点N在直线BC上，且位于y轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a=++≠交坐标轴于A、B、C三点，1,4,90OA OB ACB==∠=︒，点D是直线BC下方抛物线上一点，设点D的横坐标为t，DE BC ⊥交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求当t 为何值时，线段DE 的长度最大？最大长度是多少？(3)是否存在点D 的位置，使CDE 与AOC 相似？若存在，请求出相应点D 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝12-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．(1)b ＝______；c ＝_______；(2)若直线l 经过点C ，点A 关于直线l 的对称点A ′恰好在线段BC 上，直线AA ′与抛物线交于另一点E ．△求点E 的坐标；△点P （x 0，y 0）是直线BE 上一点，若对于在第一象限内的抛物线y ＝12-x 2+bx +c 上的动点Q ，始终有S △QCA ′≤S △PCA ′，直接写出x 0的取值范围．7．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a <）经过点A 、B ．(1)c ＝ ；a 、b 之间的关系式为： ；(2)当0x <时，若2y ax bx c =++（0a <）的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围；(3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于1,0A ，()2,3C -两点，与y 轴交于点N ．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求直线AC 的函数关系式；(3)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．求APC △面积的最大值． 9．已知抛物线2y ax bx =+（a ，b 为常数，且0a ≠）的对称轴为1x =，且过点(1，12)．点P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为t ，直线AB ：4y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 在第一象限内或x 轴上，连接PA ，PB ，当PAB ∆面积最小时，求此时点P 的坐标；(3)对于函数2y ax bx =+，当1t x t ≤≤+时，此函数的最大值为m ，最小值为n ，是否存在t 的值使23m n -=．若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，开口向上的抛物线与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，与y 轴交于点C ，且AC BC ⊥，其中1x ，2x 是方程2340x x +-=的两个根．(1)求点C 的坐标，并求出抛物线的表达式；(2)垂直于线段BC 的直线l 交x 轴于点D ，交线段BC 于点E ，连接CD ，求CDE 的面积的最大值及此时点D 的坐标．11．如图抛物线y ＝ax 2+bx +6的开口向下与x 轴交于点A （﹣6，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一个动点（不与点C 重合）(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 是抛物线上一个动点，若△PCA 的面积为12，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线的顶点为D ，在抛物线上是否存在点E ，使得△EAB ＝2△DAC ，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图1，抛物线214y x bx c =-++经过点A (4，3)，对称轴是直线x =2，顶点为B ．抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过点A 作AD △x 轴于点D ，点E 是线段AC 上的动点(点E 不与A 、C 两点重合)．(1)求抛物线的函数解析式和顶点B 的坐标；(2)若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1:3的两个四边形，求点E 的坐标；(3)如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 也恰好落在抛物线上?若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线AB 交于A ，B 两点，其中A （0，1），B （4，﹣1）．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P ，Q 为直线AB 下方抛物线上任意两点，且满足点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为m +1，过点P 和点Q 分别作y 轴的平行线交直线AB 于C 点和D 点，连接PQ ，求四边形PQDC 面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y ＝x 2+bx +c 沿射线AB 平移线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，点G 为平面直角坐标系内一点，当点B ，E ，F ，G 构成以EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．14．已知抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为(1,0)-、点C 的坐标为(0,3)；(1)求该抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)如图1，有两动点D 、E 在COB △的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C O B →→方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B C →方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题：△当t= 时，BDE △的面积等于3310； △在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x bx c-++与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AD//BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线CB个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．(1)求点B的坐标．(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．△求抛物线的解析式．△若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．△设点Q是线段AC上的动点，作QD△x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．17．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上，已知点A （2，4），过点A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，抛物线2y ax bx c =++经过O ，A ，C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为抛物线上位于线段OC 所在直线上方部分的一动点，求点G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 是等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y ＝34x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交轴于点C ，点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（4，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，求△CPB 的面积最大时点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且△MCB ＝△ABC ，请直接写出点M 的坐标．19．已知抛物线214y x bx c =-++与直线AC 相交于A 、C 两点，且()2,0A -、()4,3C ．(1)填空：b=______，c=______；(2)DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．△连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；△CH AB⊥，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH 相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．20．综合与探究：如图，抛物线y1＝ax2﹣6ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为N，直线y212=-x﹣1与x轴交于点B，与抛物线交于点D，连接BC，DN，sin△OCB=．(1)求抛物线的解析式；(2)△点D的坐标为______，DN＝______；△当y1＜y2时，自变量x的取值范围是______；(3)若点P在直线AC上，且S△ABP：S△BCP＝1：3，求ABAP的值；(4)在第四象限内存在点E，使△ACE与△ABC相似，且AC为△ACE的直角边，请直接写出点E的坐标．参考答案：1．(1)217322y x x =-++；A （-1，0），B （7，0） (2)763(,)28P ，四边形PBOC 的面积最大为53916(3)点M 或M 或M （1，6）或M （6，72） 2．(1)245y x x =-++(2)(3)1258(4)()()()1237,4,3,4,3,14Q Q Q --3．(1)223y x x =-++(2)1m =2m =(3))1P ，()250P ，，()310P ，，()4P4．(1)线段BC 的长为(2)四边形PCDH 面积的最大值为8，及此时点P 的坐标为（2，3）；(3)存在，Q （1，﹣4）或Q （﹣2，3）．5．(1)213222y x x =--(2)2t =时，DE 最大，此时DE (3)存在，(3,2)D -或325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)32，2 (2)△E （103，139）；△x 0≤145或x 0≥2657．(1)2，21b a =+ (2)102a -≤< (3)存在，P （﹣1，2）或（1-1-，）8．(1)y ＝−x 2−2x ＋3(2)y ＝−x ＋1 (3)2789．(1)212y x x =-+ (2)P (2，0) (3)16-或7610．(1)()0,2C -，213222y x x =+-； (2)CDE S △最大为54，3,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)21262y x x =--+；(2)P 的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣31）或（﹣31）(3)E （12，398）或（72，578）12．(1)2134y x x =-++；()2,4 (2)835⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1235⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)存在，4313．(1)y ＝x 2﹣92x +1(2)最大值为154(3)G 坐标为（194194）或（134，﹣154），求解过程见解析14．(1)239344y x x =-++，375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭△1013,36⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,3) 15．(1)234y x x =-++(2)当m ＝2时，四边形BPCQ 的面积最大为18，此时P （2，6）．(3)(2,42,4-+---16．(1)点B 的坐标为(1,0)(2)△223y x x =+-；△(4,21)或()4,5-；△QD 有最大值94，点Q 的坐标为3(2-，9)2-．17．(1)23742y x x =-+；(2)G 点到直线OC G (2，4)； (3)存在，P 点的坐标为4233⎛⎫ ⎪⎝⎭，．18．(1)239344y x x =-- (2)92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭19．(1)1，3；(2)△4；D (0，1)；△存在这样的D 使△DEG 与△ACH 相似，坐标为1⎛ ⎝⎭20．(1)y 114=x 232-x ﹣4 (2)△（6，﹣4），154；△﹣2＜x ＜6(3)AB AP的值为(4)点E 的坐标为（2，﹣8）或（8，﹣20）或（10，﹣4）或（16，﹣16）。
专题03 二次函数中面积问题压轴真题训练(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题03二次函数中面积问题压轴真题训练1．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y ＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【解答】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：m﹣4＝0，解得m＝4，∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），∵m＞2，∴2﹣m＜0，∴＜0，∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），当x＝0时，B（0，c），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：＝﹣2，∴c＝，∵B（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，∴OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，如图：∵A（﹣1，﹣1），∴AH＝1，在△AOB中，S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，∵﹣＜0，取最大值，最大值为，∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB答：△AOB面积的最大值是．2．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k 的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，由得：或，∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'关于y轴对称，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E（0，﹣3），OE＝3，∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'关于y轴对称，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，综上所述，k的值为或﹣；（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：由得：x2+kx﹣3＝0，设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），∵B、B'关于y轴对称，∴B'（﹣b，﹣b2），设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：，解得：，∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，∴直线AB'解析式为y＝•x+3，令x＝0得y＝3，∴直线AB'经过定点（0，3）．3．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，∴D（2，3）．又当x＝0，y＝3，∴C（0，3），∴线段CD∥x轴．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），；②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，因此可得：或，解得：或，∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．令x＝1得y M＝6﹣2m，y N＝2m+2，∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，∴NE+ME＝8．4．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN 的面积最大？最大面积是多少？（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解这个方程组得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，如图：设△BMN面积为S，根据题意得：ON＝t，BM＝．∵B（5，0），∴BN＝5﹣t，在y＝﹣x2+4x+5中，令x＝0得y＝5，∴C（0，5），∴OC＝OB＝5，∴∠OBC＝45°．∴ME＝BM sin45°＝，∴S＝BN•ME＝（5﹣t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜5，∴当时，△BMN的面积最大，最大面积是；（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣n2+4n+5），又A（﹣1，0），C（0，5），①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，∴，解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣7，∴Q（﹣7，12）；②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，∴，解得m＝0（舍去）或m＝7，∴Q（7，﹣2）；③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，∴，解得m＝1或m＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上所述，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．5．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，＝×4×（2+OD）＝12，∴S△BCD∴OD＝4，∴D（0，﹣4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣4，联立方程组，解得或，∴P（﹣3，﹣7）；（3）如图1，当B'在第一象限时，设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t+2），∴OH＝t，EH＝﹣t+2，∵D（0，﹣4），B（4，0），∴OB＝OD，∴∠ODB＝45°，∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，∴EB'∥CD，由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，在Rt△OHB'中，B'H＝，∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，∴BE＝+t﹣2，在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，解得t＝，∵0≤t≤4，∴t＝，∴B'（，）；如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，∵∠ABP＝45°，∴B'G∥x轴，∵将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，∴∠BOE＝∠B'EO，∴B'E∥B'O，∵B'E＝BO，∴四边形B'OBE是平行四边形，∴B'E＝4，∴B'（t﹣4，﹣t+2），由折叠可知OB＝OB'＝4，∴平行四边形OBEB'是菱形，∴BE＝OB，∴＝4，解得t＝4+或t＝4﹣，∵0≤t≤4，∴t＝4﹣，∴B'（﹣，）；综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，∵BP与x轴和y轴的夹角都是45°，BP与B'E的夹角为45°，∴B'E∥x轴或B'E∥y轴，当B'E∥y轴时，延长B'E交x轴于F，∴B'F⊥OB，∵∠CBA＝∠OB'E，∴△OB'F∽△CBO，∴OF：FB'：B'O＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴FO＝，B'F＝，∴B'（，）；当B'E∥x轴时，过B'作B'F⊥x中交于F，∴B'F⊥OF，B'E∥OB，∵B'E和BE关于OE对称，OB和OB'关于OE对称，∴BE∥OB'，∵∠FOB'＝∠OBC，∴△OB'F∽△BCO，∴B'F：FO：OB'＝1：2：，∵OB＝OB'＝4，∴B'F＝，OF＝，∴B'（﹣，）；综上所述：B'坐标为（，）或（﹣，）．6．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），∴，解得：．∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．∵，，∴．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，∴D（﹣8，8）；＝S△ABC，由题意得：S△ACD+S△ADC ∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ABC＝S△OAC＝OC•OA+AB•OC＝4×2+10×4＝4+20＝24；（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：．∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．7．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B （6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP 是平行四边形，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；②由①得y＝x2﹣x﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；（2）如图1，过点B作BG∥y轴交直线AD于G，过点E作EH∥y轴交直线AD于H，∵S1＝2S2，即＝2，∴＝2，∵BG∥y轴，EH∥y轴，∴BG∥EH，∴△BFG∽△EFH，∴＝＝2，即BG＝2EH，∵点G在直线y＝x﹣1上，BG∥y轴，∴G（6，﹣4），∴BG＝4，∴EH＝2，设E（x，x2﹣x﹣3），则H（x，x﹣1），∴EH＝x﹣1﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点坐标为G（2，﹣4），当x＝0时，y＝3，即点C（0，﹣3），∴点C′（0，3），G′（2，4），∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，∴BC∥C′G′，设点P的坐标为（s，s﹣3），∵点C′（0，3），G′（2，4），∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C′G′QP是平行四边形，∴点Q（s+2，s﹣2），当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：，∵0＜n＜6，∴s＝0，n＝6不符合题意，舍去；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，则，解得：或（不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．8．（2022•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m与x 轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M 使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m，∴﹣8+4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；（2）存在点M使AM+OM最小，理由如下：作O点关于BC的对称点O'，连接AO'交BC于点M，连接BO'，由对称性可知，OM＝O'M，∴AM+OM＝AM+O'M≥AO'，当A、M、O'三点共线时，AM+OM有最小值，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由对称性可知∠O'BM＝45°，∴BO'⊥BO，∴O'（4，4），设直线AO'的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，设直线BC的解析式为y＝k'x+4，∴4k'+4＝0，∴k'＝﹣1，∴y＝﹣x+4，联立方程组，解得，∴M（，）；（3）存在点P，使得最大，理由如下：连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），∴PG＝﹣t2+2t，∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝×4×PF，∴S△BCP∴PF＝﹣t2+t，∵CD⊥BC，PF⊥BC，∴PF∥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∵B、D两点关于y轴对称，∴CD＝4，∴＝﹣（t2﹣4t）＝﹣（t﹣2）2+，∵P点在第一象限内，∴0＜t＜4，∴当t＝2时，有最大值，此时P（2，4）．9．（2022•青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；＝6的点P？（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△P AB 如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴点E的坐标为（1，﹣2），∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．（3）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．＝6，∵S△P AB∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，＝6的点P，点P的坐标为（1﹣，3）或（1+，3）或∴存在满足S△P AB（0，﹣3）或（2，﹣3）．10．（2022•上海）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均ⅰ．如果S△OBP呈上升趋势，求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P 的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3．（2）i．∵y＝x2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），即点B是原抛物线的顶点，∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），∴抛物线平移了|m|个单位，＝×3|m|＝3，∴S△OPB∵m＞0，∴m＝2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，∴k≥2；ii．把P（m，n）代入y＝x2﹣3，∴n＝﹣3，∴P（m，﹣3），由题意得，新抛物线的解析式为y＝+n＝﹣3，∴Q（0，m2﹣3），∵B（0，﹣3），∴BQ＝m2，+，PQ2＝，∴BP＝PQ，如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝|m|，∵PB＝PQ，PC⊥BQ，∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°，∴tan∠BPC＝tan60°＝＝，∴m＝2或m＝﹣2（舍），∴n＝﹣3＝3，∴P点的坐标为（2，3）．轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P（m，0），则P A＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，＝S△PCA﹣S△PQA∴S△CPQ＝PA•CF﹣PA•QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，有最大值2，∴当m＝﹣1时S△CPQ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．11．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，∴，解得．∵A（4，0），B（1，4），＝×4×4＝8，∴S△OAB＝2S△P AB＝8，即S△P AB＝4，∴S△OAB过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，∴S△P AB∴PN＝．设点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．解得m＝2或m＝3；∴P（2，）或（3，4）．（3）∵PD∥OB，∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，∴△DPC∽△BOC，∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，∵＝＝，＝＝，∴+＝．设直线AB交y轴于点F．则F（0，），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，∵∠PDC＝∠OBC，∴∠PDG＝∠OBF，∵PG∥OF，∴∠PGD＝∠OFB，∴△PDG∽△OBF，∴PD：OB＝PG：OF，设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．∵1＜n＜4，∴当n＝时，+的最大值为．12．（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c 经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，∴当m＝0时，MF有最大值4，当n＝0时，NE有最大值4，＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），∵S四边形CMDN∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．13．（2023•沛县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax经过点A（4，0）和B（1，m）点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A，B两点）．（1）求a、m的值．（2）连接AB、OB，若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，求点C的坐标．（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问EH+FH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4a，解得：a＝4，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，即点B（1，3），即m＝3，故a＝4，m＝3；（2）延长AB交y轴于点N，过点C作CM∥AB交y轴于点M，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，即点N（0，4），即ON＝4，∵△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，∴MN＝ON＝2，即点M（0，6），∵CM∥AB，故直线CM的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+4x＝﹣x+6，解得：x＝2或3，即点C（2，4）或（3，3）；（3）是定值，理由：设点C（t，﹣t2+4t），由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣t（x﹣4），当x＝2时，y＝2t，即点E（2，2t），则EH＝2t，由点C的坐标得，直线CO的表达式为：y＝（﹣t+4）x，当x＝2时，y＝（﹣t+4）x＝﹣2t+8，即点F（2，﹣2t+8），则FH＝﹣2t+8，则EH+FH＝2t﹣2t+8＝8，为定值．14．（2023•柳南区一模）如图，已知抛物线的图象经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，顶点坐标D（1，4），连接BC交对称轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的一个动点，位于直线BC的上方（点P与B，C不重合），过P作y轴的平行线交BC于F点；①设点P的横坐标为m，当四边形DEFP是平行四边形时，求m的值；②在①的条件下，抛物线上是否存在点Q，使得△QBC的面积与△PBC的面积相等，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点坐标D（1，4），∴设二次函数解析式y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝1，x2＝3，∴点B（3，0），∵点C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把B（3，0），C（0，3）代入直线y＝kx+b（k≠0）得，解得，∴BC解析式为y＝﹣x+3，∵点D（1，4），∴点E（1，2），∴DE＝2，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点F（m，﹣m+3），∴PF＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2+3m，∵四边形DEFP是平行四边形，∴PF＝DE，∴﹣2+4＝﹣m2+3m，解得m1＝1（不合题意舍去），m2＝2，∴m＝2；②当点Q、点P在直线BC的同侧时，如图所示：∵四边形DEFP是平行四边形，∴PD∥BC，＝S△DBC，∴S△BPC＝S△QBC，∴当点Q与点D重合时，S△BPC∴点Q（1，4）；当点P与点Q在直线BC的异侧时，延长PD交y轴于H，在OC上截取CN ＝CH＝2，则N（0，1），过点N作BC的平行线交抛物线于点Q，如图所示：∵DP∥BC，∴设直线DP的解析式为y＝﹣x+d，将D（1，4）代入y＝﹣x+d得到4＝﹣1+d，解得d＝5，∴直线DP的解析式为y＝﹣x+5，∴点H（0，5），∵C（0，3），∴CH＝2，∵BC∥QN，NC＝CH，∴QN与BC的距离与DP与BC的距离相等，＝S△BCP，∴S△BCQ∵QN∥BC，点N（0，1），∴直线QN的解析式为y＝﹣x+1，联立方程组得，解得或，综上所述，满足题意的点，点，点Q3（1，4）．15．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN 的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P （m，﹣m2+2m+3）．点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，∴4＝+t，∴t＝，∴直线DT的解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣2，∴T（﹣2，0），∴OT＝2，∵B（3，0），∴OB＝3，∴BT＝5，∵DT＝＝5，∴TD＝TB，∵PM⊥BT，PN⊥DT，∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，∵D（1，4），B（3，0），∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，∴J（m，﹣2m+6），∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2＝﹣m2+4m+7＝﹣（m﹣2）2+11∵﹣1＜0，∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，∴PM+PN的最大值＝×11＝；解法二：延长MP交直线l与点H，易得直线l：y＝x+，∴H（m，m+）设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，∴C（﹣2，0），L（0，），∴CL＝，∴sin∠CLO＝，由LO∥HM，∴∠NHM＝∠CLO，∴sin∠NHM＝，∴PH＝m++m2﹣2m﹣3＝m2﹣m﹣，∴PN＝PH，∴PM+PN＝﹣m2+2m+3+（m2﹣m﹣）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴m＝2时，PM+PN的值最小，最小值为；（3）四边形AFBG的面积不变．理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，∴E（1，﹣2m+6），∵E，G关于x轴对称，∴G（1，2m﹣6），∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），∴F（1，2m+2），∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，∴四边形AFBG的面积＝×AB×FG＝×4×8＝16．∴四边形AFBG的面积是定值．16．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD 面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∴S△ADC＝＝＝8，∵S△ABC∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S＝，最大当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴P A＝PC，即：P A2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝，∴P（﹣1，），∵x P+x Q＝x A+x C，y P+y Q＝y A+y C∴x Q＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，y Q＝4﹣＝，∴Q（﹣2，）．17．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．此时y D＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，又∵S△PCB则BE：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，联立方程组或，解得：x＝6或﹣，故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．18．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴A（6，0），B（0，3），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，∴∠BOA＝∠DOA＝90°，在△BOA和△DOA中，。
二次函数与面积最值定值问题(六大类型)-2023年中考数学压轴题(解析版)
二次函数与面积最值定值问题(六大类型)1.考向分析题型一:二次函数与三角形面积最值问题1如图，已知抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)、顶点为B ，一次函数y =12x +2的图象交y 轴于M ，对称轴与x 轴交于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)已知P 是抛物线上一动点，点M 关于AP 的对称点为N ．①若点N 恰好落在抛物线的对称轴上，求点N 的坐标；②请直接写出△MHN 面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线y =12x 2+bx 过点A (-4，0)，∴12×(-4)2-4b =0，解得：b =2，∴该抛物线的表达式为y =12x 2+2x ；(2)①∵y =12x 2+2x ，∴抛物线对称轴为直线x =-22×12=-2，∵对称轴与x 轴交于点H ，∴H (-2，0)，∵A (-4，0)，∴AH =2，∵直线y =12x +2交y 轴于M ，∴M (0，2)，∴AM 2=OA 2+OM 2=42+22=20，设N (-2，n )，则NH =|n |，如图1、图2，∵M 、N 关于直线AP 对称，∴AN =AM ，即AN 2=AM 2，∴22+n 2=20，∴n =±4，∴点N 的坐标为(-2，-4)或(-2，4)；②如图，连接MH ，以点A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，过点A 作AN ⊥MH 于点F ，交⊙A 于点N ，则AN =AM ，在Rt △AMO 中，OM =2，OA =4，∴AM =OA 2+OM 2=42+22=25，∴AN =25，∵OH =OM =2，∠HOM =90°，∴△HOM 是等腰直角三角形，∠MHO =45°，MH =22，∴∠AHF =∠MHO =45°，在Rt △AFH 中，AH =OA -OH =4-2=2，∴AF =AH ×sin45°=2×22=2，∴NF =AN +AF =25+2，∴S △MHN =12MH •NF =12×22×(25+2)=210+2，故△MHN 面积的最大值为210+2．题型二:二次函数与三角形面积等积问题2如图，等腰直角三角形OAB 的直角顶点O 在坐标原点，直角边OA ，OB 分别在y 轴和x 轴上，点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过B ，C 两点的抛物线y =-x 2+bx +c 的解析式；(3)抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为D ，试判定OC 与BD 的大小关系；(4)若点M 是抛物线上的动点，当△ABM 的面积与△ABC 的面积相等时，求点M 的坐标．【解析】解：(1)∵点C 的坐标为(3，4)，且AC 平行于x 轴，∴点A 的坐标为(0，4)且OA =4，∵△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB =90°，∴OB =OA =4，∵点B 的坐标为(4，0)，设直线AB的解析式为：y=mx+n，由题意得4m+n=0n=4，解得：m=-1n=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4；(2)∵抛物线y=-x2+bx+c过B，C两点，∴-16+4b+c=0-9+3b+c=4，解得：b=3c=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4；(3)BD=OC；理由：∵抛物线的解析式为y=-x2+3x+4=-x-322+52，∴抛物线的对称轴直线为x=32，∵点B的坐标为(4，0)，点B与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为(-1，0)，∴BD=4-(-1)=5，∵点C的坐标为(3，4)，∴OC=32+42=5，∴BD=OC；(4)∵点C的坐标为(3，4)，且AC平行于x轴，∴AC=3，∴S△ABC=12AC•y C=12×3×4=6，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作MN∥y轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t，-t+4)，∴MN=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，∴S△AMB=12MN•x B=12×(-t2+4t)×4=-2t2+8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴-2t2+8t=6，解得：t=1或t=3(舍，该点为点C)，此时M的坐标为(1，6)或(3，4)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作MN∥x轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(t，-t2+3t+4)，则N的坐标为(t2-3t，-t2+3t+4)，∴MN=t2-3t-t=t2-4t，∴S△ABM=12MN•y A=12×(t2-4t)×4=2t2-8t，∵△ABM的面积与△ABC的面积相等，∴2t2-8t=6，解得：t=2±7，此时M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)；综上可得，M的坐标为(2+7，-1-7)或(2-7，7-1)或(1，6)．题型三:二次函数与四边形面积最值问题3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A(3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．【解析】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x=-b-2=1，∴b=2，∴y=-x2+2x+c，将(3，0)代入y=-x2+2x+c得0=-9+6+c，解得c=3，∴y=-x2+2x+3．(2)∵抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为(3，0)，∴由抛物线对称性可得点B坐标为(-1，0)，将x=0代入y=-x2+2x+3得y=3，∴点C坐标为(0，3)．(3)如图，可得图2中四边形面积最大，∵BC∥DE且BC=DE，图1图2图3∵y C-y B=y E-y D，∴y D=-3，将y=-3代入y=-x2+2x+3得-3=-x2+2x+3，解得x1=1-7(舍)，x2=1+7，∴点E横坐标为1+7+1=2+7，∴BE=2+7+1=3+7，∴S四边形BDEC =12BE•y C+12BE•|y D|=12×(3+7)×3+12×(3+7)×3=9+37．题型四:二次函数与面积分割问题4已知抛物线y=x2+4mx+4m2-4m-3的顶点C在定直线l上．(1)求C点的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：不论m为何值，抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)当抛物线的顶点C在y轴上，且与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)时，是否存在直线n满足以下三个条件：①n与抛物线相交于点M，N(点M在点N的左侧)，且与线段AC交于点P；②∠APN=2∠ACO；③n将△ABC的面积分成1：2的两部分．若存在，求出直线n的解析式；若不存在，请说明理由．【解析】(1)解：∵y=x2+4mx+4m2-4m-3=(x+2m)2-4m-3，∴顶点C(-2m，-4m-3)；(2)证明：∵C(-2m，-4m-3)，∴C点在直线y=2x-3上，∴定直线l为y=2x-3，联立方程组y=2x-3y=x2+4mx+4m2-4m-3 ，解得x=-2my=-4m-3或x=2-2my=-4m+1，∴两个交点分别为(-2m，-4m-3)，(2-2m，-4m+1)，∴d=(2-2m+2m)2+(-4m+1+4m+3)2=25，∴抛物线与定直线l的两交点间的距离d恒为定值；(3)解：存在直线n，理由如下：∵顶点C在y轴上，∴m=0，∴y=x2-3，令y=0，则x2-3=0，解得x=3或x=-3，∴A(-3，0)，B(3，0)，∴AB=23，∵抛物线关于y轴对称，∴∠ACO=∠BCO，∵∠APN=2∠ACO，∴∠APN=∠ACB，∴MN ∥BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =-33k +b =0 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，设直线MN 的解析式为y =3x +t ，直线MN 与x 轴的交点为H ，∵直线MN 将△ABC 的面积分成1：2，∴S △PAH =13S △ACB 或S △PAH =23S △ACB ，∴AH AB2=13或AH AB 2=23，∴AH 23=33或AH 23=63，解得AH =2或AH =22，∴H (2-3，0)或(22-3，0)，∴直线MN 的解析式为y =3x +3-23或y =3x +3-26．题型五:二次函数与面积比问题5如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =23x 2+bx -2的图象与x 轴交于点A (3，0)，B (点B 在点A 左侧)，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，作直线AD ．(1)填空：b = -43 ；(2)将△AOC 平移到△EFG (点E ，F ，G 依次与A ，O ，C 对应)，若点E 落在抛物线上且点G 落在直线AD 上，求点E 的坐标；(3)设点P 是第四象限抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交AC 于点T ．若∠CPT +∠DAC =180°，求△AHT 与△CPT 的面积之比．【解析】解：(1)把A (3，0)代入y =23x 2+bx -2，得23×9+3b -2=0，解得b =-43；故答案为：-43；(2)如图所示：由(1)得y =23x 2-43x -2，令x =0，y =-2，∴C (0，-2)，∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (0，2)，设直线AD ：y =kx +2，把A (3，0)代入y =kx +2，得3k +2=0，解得k =-23，∴直线AD 解析式：y =-23x +2，∵将△AOC 平移到△EFG ，∴OA =EF =3，FG =OC =2，设E m ，23m 2-43m -2 ，则G m -3，-23(m -3)+2 ，F m -3，-23(m -3)+4 ，∵EF ∥x 轴，∴23m 2-43m -2=-23(m -3)2+4，解得m =-3或m =4，∴E (-3，8)或4，103；(3)如图所示：过C 作CK ⊥AD ，CQ ⊥HP ，∵OD =2，OA =3∴AD =13，∵CK ⊥AD∴CD •AO =AD •CK ，∴CK =121313，DK =81313，AK =51313，∴tan ∠CAK =CK AK=125，∵CQ ⊥HP ，∴∠CPQ +∠CPT =180°，∵∠CPT +∠DAC =180°，∴∠CPQ =∠CAK ，∴tan ∠CPQ =tan ∠CAK =125，∴CQ PQ =125，设P n ，23n 2-43n -2 ，∴PQ =23n 2-43n ，CQ =n ，∴n 23n 2-43n =125，解得n =218，∴P 218，-2932，∴CQ =218，AH =3-218=38，∵tan ∠OAC =TH AH =OC OA =23，∴TH =23AH =23×38=14，∴TP =2132，∴S △ATH S △CPT =12×AH ×TH 12×TP ×CQ =8147，即△AHT 与△CPT 的面积之比为8：147．题型六:函数关系与面积问题6平面直角坐标系中，已知抛物线y =-x 2+(1+m )x -m (m 为常数，m ≠±1)与轴交于定点A 及另一点B ，与y 轴交于点C ．(1)当点(2，2)在抛物线上时，求抛物线解析式及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在(1)的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若∠DBA +∠ACB =90°，求点D 的坐标；(3)若点P 是抛物线的顶点，令△ACP 的面积为S ，①直接写出S 关于m 的解析式及m 的取值范围；②当58≤S ≤158时，直接写出m 的取值范围．【解析】(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，求出m 即可确定函数的解析式；(2)过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，由题意可知∠ACB =∠BDE ，求出tan ∠ACF =tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，求出t 的值即可求D 点坐标；(3)①求出P 1+m 2，(1-m )24，C (0，-m )，定点A (1，0)，B (m ，0)，AC 的解析式为y =kx +b ，y =mx -m ，再画出函数图象结合函数图象分类讨即可；②对①中求出的解析式分别进行求解即可．【解答】解：(1)将点(2，2)代入y =-x 2+(1+m )x -m ，∴m =4，∴y =-x 2+5x -4，令x =0，则y =-4，∴C (0，-4)，令y =0，则-x 2+5x -4=0，∴x =1或x =4，∴A (1，0)，B (4，0)；(2)如图1，过D 点作DE ⊥x 轴交于E ，过A 点作AF ⊥BC 交于F ，∵∠DBA +∠ACB =90°，∠DBA +∠BDE =90°，∴∠ACB =∠BDE ，∵B (4，0)，C (0，-4)，∴OB =OC =4，∴∠OBC =45°，∵BA =3，∴AF =322，∵A (1，0)，∴AC =17，∴CF =522，∴tan ∠ACF =AF CF =35，∴tan ∠BDE =BE DE=35，设D (t ，-t 2+5t -4)(0<t <4)，∴4-t -t 2+5t -4=35，解得x =4(舍)或x =83，∴D 83，209；(3)①∵y =-x 2+(1+m )x -m =-x -1+m 2 2+(1-m )24，∴P 1+m 2，(1-m )24，令x =0，则y =-m ，∴C (0，-m )，令y =0，则-x 2+(1+m )x -m =0，解得x =1或x =m ，∴定点A (1，0)，B (m ，0)，设AC 的解析式为y =kx +b ，∴k +b =0b =-m，解得k =m b =-m ，∴y =mx -m ，如图2，当m <-1时，S =S 梯形PNOC +S △OCA -S △PAN =12×(1-m )24-m×1+m 2+12×1×(-m )-12×1-1+m 2 ×(1-m )24=18m 2-18；如图3，当-1<m <0时，S =S 梯形PNOC +S △PNA -S △AOC =12×(1-m )24-m ×1+m 2+12×1-1+m 2 ×(1-m )24-12×1×(-m )=-18m 2+18；如图4，当0≤m <1时，设对称轴与直线AC 交于点M ，∴M 1+m 2，m 2-m 2，∴PM =-14m 2+14，∴S =12×-14m 2+14 ×1=-18m 2+18；如图5，当m >1时，过点C 作CM ⊥PN 交于点M ，∴M 1+m 2，-m ，∴S =S 矩形OCMN +S △APN -S △OCA -S △CMP =1+m 2×m +12×1+m 2-1 ×(1-m )24-12×1×m -12×1+m 2×(1-m )24+m =18m 2-18；综上所述：当m <-1时，S =18m 2-18；当-1<m <1，S =-18m 2+18；当m >1时，S =18m 2-18；②当m <-1时，58≤18m 2-18≤158，解得-4≤m ≤-6；当-1<m <0，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当0≤m <1时，58≤-18m 2+18≤158，此时m 无解；当m >1时，58≤18m 2-18≤158，解得6≤m ≤4；综上所述：当58≤S ≤158时，-4≤m ≤-6或6≤m ≤4．2.压轴题速练1一、解答题1(2023春·全国·九年级专题练习)已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与坐标轴分别交于点A (0,6)，B (6,0)，C (-2,0)，点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值，面积最大值是多少？【答案】(1)y =-12x 2+2x +6(2)当P 3,152 时，△PAB 的面积有最大值，最大值是272．【解析】(1)由题意得：36a +6b +c =04a -2b +c =0c =6，解得：a =-12b =2c =6，∴抛物线的表达式为：y =-12x 2+2x +6；(2)∵A (0,6)∴直线AB 的表达式为：y =kx +6，将点B 的坐标代入上式得：0=6k +6，解得：k =-1，∴直线AB 的表达式为：y =-x +6，点P 的横坐标为m ，则P m ,-12m 2+2m +6 ，过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，则D (m ,-m +6)，∴S =12×OB ×PD =12×6×-12m 2+2m +6+m -6 =-32(m -3)2+272，∴当m =3时，S 的值取最大，此时P 3,152；2(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A (-1，0)，B (6，0)，与y 轴交于点C ，点P 为第一象限内抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，连接 PB ．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2时，求点P 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+5x +6(2)P 12,334【解析】(1)∵抛物线y =ax 2+bx +6(a ≠0)与x 轴交于A -1,0 ,B 6,0∴a -b +6=036a +6b +6=0，∴a =-1b =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+5x +6；(2)∵抛物线y =-x 2+5x +6过点C ，∴C (0，6)，设直线BC 的解析式为 y =kx +n ，∴6k +n =0n =6，∴k =-1n =6 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +6，设P m ,-m 2+5m +6 ，则D m ,-m +6 ，∴PE =-m 2+5m +6，DE =-m +6，∵△PBD 与△BDE 的面积之比为1：2，∴PD ：DE =1：2，∴PE ：DE =3：2，∴3-m +6 =2-m 2+5m +6 ，解得m 1=12，m 2=6(舍去)，∴P 12,334；3(2023春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 过点A 、B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y =-x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OA =13OB ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M t ,0 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线对称轴上的一个动点，当DN =2t ，△MNB 的面积为154时，求出点M 与点N 的坐标；【答案】【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)3+262,0 ,1,3+26 【解析】(1)解：对于直线y =-x +3，令y =0，即-x +3=0，解得：x =3，令x =0，得y =3，∴B 3,0 ,C 0,3 ，∵A 为x 轴负半轴上一点，且OA =13OB ，∴A -1,0 ．将点A 、B 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c 中，得-1-b +c =0-9+3b +c =0 ，解得b =2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)解：由(1)知：A -1,0 ，B 3,0 ，抛物线解析式为y =-x 2+2x +3，∴对称轴x =-b 2a =-22×-1=1，∴D 点坐标为D 1,0 ，∵M t ,0∴BM =3-t ，∵S △MNB =12×BM ×DN =154，即12×3-t ×2t =154，当t <3时，12×3-t ×2t =154，化简得：4t 2-12t +15=0，∵Δ=b 2-4ac <0，∴方程无解；当t >3时，12×t -3 ×2t =154，解得t1=3+262,t2=3-262(舍)，∴DN=2t=3+26，∴点M的坐标为3+262,0，点N的坐标为1,3+262；4(2023·广西贵港·统考一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4，0)，B(1，3)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断S1S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】【答案】(1)y=-x2+4x(2)P(2，4)或(3,3)(3)见解析【解析】(1)解：将A(4，0)，B(1，3)代入y=ax2+bx得16a+4b=0a+b=3，解得：a=-1b=4，∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x；(2)解：设直线AB的解析式为：y=kx+t，将A4，0，B1，3代入y=kx+t得4k+t=0 k+t=3 ，解得：k=-1 t=4，∴直线AB的解析式为：y=-x+4，∵A4，0，B1，3，∴S△OAB=12×4×3=6，∴S△OAB=2S△PAB=6，即S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=3，∴PN=2，设点P 的横坐标为m ，∴P (m ,-m 2+4m )(1<m <4)，N (m ,-m +4)，∴PN =-m 2+4m -(-m +4)=2，解得：m =2或m =3；∴P (2,4)或(3，3)；(3)解：S 1S 2存在最大值．理由如下：∵PD ∥OB ，∴∠DPC =∠BOC ，∠PDC =∠OBC ，∴△DPC ∽△BOC ，∴CP :CO =CD :CB =PD :OB ，∵S 1S 2=CD CB =PD OB，设直线AB 交y 轴于点F ，则F (0，4)，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 交AB 于点G ，如图，∵∠PDC =∠OBC ，∴∠PDG =∠OBF ，∵PG ∥OF ，∴∠PGD =∠OFB ，∴PD ：OB =PG ：OF ，∴△PDG ∽△OBF ，∴PD ：OB =PG ：OF ，设P (n ,-n 2+4n )1<n <4 由(2)可知，PG =-n 2+4n --n +4 =-n 2+5n -4，∴S 1S 2=PD BO =PG OF=14PG =-14n -52 2+916，∵1<n <4，∴当n =52时，S 1S 2的最大值为916．5(2023·新疆克孜勒苏·统考一模)如图所示，抛物线y =-x 2+2x +3的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连结BC ．(1)求抛物线顶点D 的坐标；(2)在直线BC 上方的抛物线上有一点M ，使得四边形ABMC 的面积最大，求点M 的坐标及四边形ABMC 面积的最大值；(3)点E 在抛物线上，当∠EBC =∠ACO 时，直接写出点E 的坐标．【答案】【答案】(1)(1,4)(2)当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为758(3)(1,4)或-12,74【解析】(1)∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4．∴抛物线顶点D 的坐标为(1,4)；(2)令y =0，则x 2-2x -3=0，解得x 1=-1,x 2=3，∴点A -1,0 ,B 3,0 ，令x =0，则y =-3，∴点C 的坐标为(0,3)∴AB =3--1 =4,OC =3，∴S ΔABC =12AB ⋅OC =6∴△BCM 的面积最大时四边形ABMC 面积最大．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =0b =3，∴b =3k =-1 ，∴y =-x +3．设过点M 与y 轴平行的直线交BC 于点N ，M x ,-x 2+2x +3 ，N x ,-x +3 ，则MN =-x 2+2x +3 --x +3 =-x 2+3x ，S △BCM =12-x 2+3x ×3=-12x -32 2+278，∴当x =32时，△BCM 的面积最大，最大值为278，此时，y =-32 2+2×32+3=154，所以，当点M 32,154 时，四边形ABMC 面积最大，最大值为6+278=758(3)①连接CD ,BD ，作DM ⊥OC 于点M ．∵C (0,3),D (1,4)，∴CM =DM =1，∴△CDM 是等腰直角三角形，∴∠DCE =45°．∵B (3,0),C (0,3)，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∴∠BCD =90°，∵BC =32+32=32，CD =12+(-3+4)2=2，∴.tan ∠CBD =232=13，∴∠DBC =∠ACO ，∴点E 与点D 重合，∴点E 的坐标为(1,-4)，②作点D 关于BC 的对称点D ，作DN ⊥OC 于点N ，∵∠DMC =∠D NC =90°，∠DCM =D CN ，DC =D C ，∴△DCM ≌△D CN ，∴D N =DM =1,CM =CN =1，∴ON =3-1=2，∴D (-1,2)，设直线BD 的解析式为y =mx +n ,，则3m +n =0-m +n =2，解得m =-12n =32，所以，直线BD ′的解析式为y =-12x +32，联立y =-x 2+2x +3y =-12x +32，解得x 1=3y 1=0 (为点B 坐标，舍去)，x 2=-12y 2=74，所以，点H 的坐标为-12,74 ，综上所述，点E 的坐标为1,4 或-12,74时，∠EBC =∠ACO ．6(2023·广东珠海·统考一模)如图，抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ．点D 为抛物线第四象限一动点，连接AC 、BC 、BD 、AD ．(1)求抛物线的解析式；(2)当S △BCD =S △ABC 时，求此时点D 的坐标；(3)在第(2)问的条件下，延长线段AC 、DB 交于点E ．请判断△ADE 的形状，并说明理由．【答案】(1)y =-x 2+32x +2(2)D 5,-3(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由见详解【解析】(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，∵抛物线与x 轴交于点A -1,0 、B 4,0 ，与y 轴交于点C 0,2 ，∴a -b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：a =-12b =32c =2 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+32x +2；(2)连接OD ，，∵A -1,0 ，B 4,0 ，C 0,2 ，∴AB =5，OC =2，∴S △ABC =12AB ⋅OC =5，设D m ,-12m 2+32m +2 m >4 ，∵S △BCD =S △OBD +S △OBC -S △OCD =S △ABC ，∴12×4×12m 2-32m -2 +12×4×2-12×2×m =5，整理，得m 2-4m -5=0，解得：m 1=5，m 2=-1(舍去)，∴D 5,-3 ；(3)△ADE 是等腰直角三角形，理由如下：设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1，把A -1,0 ，C 0,2 代入，得-k 1+b 1=0b 1=2 ，解得：k 1=2b 1=2∴y =2x +2，设直线BD 的解析式为y =k 2x +b 2，把B 4,0 ，D 5,-3 代入，得4k 2+b 2=05k 2+b 2=-3 ，解得：k 2=-3b 2=12∴y =-3x +12，联立y =2x +2和y =-3x +12得，y =2x +2y =-3x +12 ，解得：x =2y =6 ，∴E 2,6 ，又∵A -1,0 ，D 5,-3 ，∴AE =-1-2 2+0-6 2=35，AD =-1-5 2+0+3 2=35，DE =5-2 2+-3-6 2=310，∴AE =AD ，AE 2+AD 2=DE 2，∴△ADE 是等腰直角三角形．7(2023春·上海·八年级专题练习)在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA =x ，S △PCE =y ．(1)求证：DF =EF ；(2)当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(3)点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形？如果能，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)y =12x 2-32x +8，0≤x ≤22 (3)能使△PEC 为等腰三角形，PA =0或PA =4【解析】(1)证明：延长FP 交AB 于点G ，∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形，∴DF =AG ，∠AGF =90°，∵正方形ABCD ，∴∠BAC =45°，∵∠AGF =90°，∴AG =GP ，∴DF =GP ，同理可得：CF =PF =BG ，∵PE ⊥PB ，∠AGF =90°，∴∠GBP +∠GPB =∠FPE +∠GPB =90°,∴∠GBP =∠FPE ，在△GBP 和△FPE 中，∵∠GBP =∠FPEPF =BG ∠BGP =∠PFE，∴△GBP ≌△FPE (ASA )，∴GP =EF ，∵DF =GP ，∴DF =EF ；(2)∵PA =x ，∴AG =GP =22x ，DF =EF =22x ，则DE =2x ，∴CE =4-2x ，∵PF =4-22x ，∴y =124-2x 4-22x =12x 2-32x +80≤x ≤22 ；(3)点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形；当点E 在CD 边上时，∵∠CEP ≥90°，若△PEC 为等腰三角形，只能是∠CPE =∠ECP =45°，则PE ⊥CE ，∵PE ⊥PB ，∴PB ∥CD ，∴PB ∥AB ，于是点P 在AB 上，又∵点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时PA =0；当点E 在DC 延长线上时，如图，若△PEC 为等腰三角形，只能是PC =CE ，设PA =x ，则PC =42-x ，EF =DF =AG =GP =22x ，PF =CF =BG =4-22x ，∴CE =EF -CF =22x -4-22x=2x -4，∵PC =CE ，∴42-x =2x -4，∴x =4，∴即PA =4；综上所述，当PA =0或PA =4时，△PEC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查正方形的性质的综合运用，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，综合运用这些性质进行推理，同时注意对等腰的分类讨论是解题的关键．8(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)在平面直角坐标系中xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +2a <0 的图像与x 轴交于点A (-1,0)、B (2,0)，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是二次函数图像上位于线段BC 上方的一个动点．①如图，连接AC ，CP ，AP ，AP 交BC 于点E ，过点P 作AC 的平行线交BC 于点Q ，将△PEQ 与△PCE的面积比S △PEQ S △PCE 记为a ，将△PCE 与△ACE 的面积比S △PCE S △ACE记为b ，当a +22b 有最大值时，求点P 的坐标；②已知点N 是y 轴上一点，若点N 、P 关于直线AC 对称，求CN 的长．【答案】(1)y =-x 2+x +2(2)①当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②CN =516【解析】(1)解：将A (-1,0)、B (2,0)，代入y =ax 2+bx +2中可得：a -b +2=04a +2b +2=0 ，解得：a =-1b =1 ，∴二次函数的表达式为：y =-x 2+x +2；(2)①当x =0时，y =2，则C 0,2 ，设BC 的解析式为：y =kx +b ，将B (2,0)，C 0,2 ，代入可得：2k +b =0b =2 ，解得：k =-1b =2 ，∴BC 的解析式为：y =-x +2，由题意可知，OB =OC =2，则△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵A (-1,0)，则OA =1，∴AC =OA 2+OC 2=5，∴sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，过点P 作PN ∥y 轴，QM ⊥PN ，设AP 与y 轴交于点D ，则∠ADO =∠APN ，∠QNM =∠BCO =45°，即：△MQN 为等腰直角三角形，∴QM =MN ，∵AC ∥PQ ，∴∠CAP =∠APQ ，△AEC ∽△PEQ ，则EQ CE =EP AE =PQ AC，又∵∠ADO =∠ACP +∠ACO ，∠APN =∠APQ +∠QPM ，∴∠ACO =∠QPM ，则：PM =PQ ⋅cos ∠QPN =PQ ⋅cos ∠ACO =255PQ ，QM =MN =PQ ⋅sin ∠QPN =PQ ⋅sin ∠ACO =55PQ ，则PN =PM +MN =355PQ ，即：PQ =53PN ，∵S △PEQ S △PCE =EQ CE ，S △PCE S △ACE =EP AE ，EQ CE =EP AE =PQ AC，∴a =b =EQ CE =EP AE =PQ AC =PQ 5=13PN ，∴a +22b =1+22 ×13PN ，则当PN 取最大值时，a +22b 有最大值，设P t ,-t 2+t +2 ，0<t <2，则N t ,-t +2 ，∴PN =-t 2+t +2 --t +2 =-t 2+2t =-t -1 2+1，即：当t =1时，PN 取最大值，此时点P 的纵坐标为1，即：当点P 的坐标为1,1 时，a +22b 有最大值；②由题意可知，点N 在点C 下方时，点N 关于直线AC 的对称点在AC 的左侧，不符合题意，点N 在点C 上方时，连接PN ，交AC 于H ，作PF ⊥y 轴，由对称可知，NH =PH =12PN ，CH ⊥PN ，则∠NHC =∠PFN =90°，∴∠NCH +∠CNP =∠CNP +∠FPN ，∴∠NCH =∠FPN∵∠ACO =∠NCH ，sin ∠ACO =55，cos ∠ACO =255，∴∠ACO =∠NCH =∠FPN ，设CN =m ，则NH =CN ⋅sin ∠NCH =55m ，∴PN =2NH =255m ，则PF =PN ⋅cos ∠FPN =45m ，NF =PN ⋅sin ∠FPN =25m ∴CF =CN -NF =35m ，则OF =OC +CF =2+35m ，∴点P 的坐标为：45m ,2+35m ，0<45m <2，即0<m <52，∵点P 在二次函数图象上，∴-45m 2+45m +2=2+35m ，解得：m 1=0(舍去)，m 2=516，∴CN =516．9(2023·黑龙江哈尔滨·统考一模)如图，在平面直角坐标系中，直线BC 的解析式为y =-x +6，直线BC 交x 轴和y 轴分别于点B 和点C ，抛物线y =-29x 2+bx +c 交x 轴于点A 和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第二象限抛物线上的点，连接PB 、PC ，设点P 的横坐标为t ，△PBC 的面积为S ．求S 与t 的函数关系式(不要求写出t 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点D 在线段OB 上，连接PD 、CD ，∠PDC =45°，点F 在线段BC 上，EF ⊥BC ，FE 的延长线交x 轴于点G ，交PD 于点E ，连接CE ，若∠GED +∠DCE =180°，DC >DE ，S △CDE =15，求点P 的横出标．【答案】(1)y =-29x 2+13x +6(2)S =23t 2-4t (3)3-3112【解析】(1)解：直线y=-x+6交x轴和y轴于点B和点C 令x=0时，y=6，即C0,6，令y=0时，x=6，即B6,0，∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：c=6-29×62+13×6+6=0，解得：c=6b=-13，∴解析式为y=-29x2+13x+6；(2)过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作CR⊥MN于R ∵P在抛物线上，P横坐标为t∴P t,-29t2+13t+6，∵M在直线BC上，∴M t,-t+6，∴MP=-t+6--29t2+13t+6=29t2-43t，S△PBC=S△MPB-S△MPC=12MP⋅OB=1229t2-43t×6=23t2-4t，即S=23t2-4t；(3)由(1)得，OB=OC=6，∴∠OBC=∠OCB=45°又EF⊥BC交x轴于点G，∴∠GFB=90°∴∠FGB=90°-∠FBG=45°即∠FGB=∠FBG=45°∴FG=FB又∠PDC=45°设∠PDA=α，∴∠CDA=45°+α=∠CBD+∠BCD=45°+∠BCD∴∠BCD=α=∠PDA又∠GED+∠DCE=180°(已知)∠GED+∠FED=180°(平角定义)∴∠DCE=∠FED，又∠FED=∠FGE+∠PDG=45°+a∴∠FED=∠CDA，∴∠DCE=∠CDA，过点D作DR⊥CE于R，如图所示∴在Rt△CRD中，∠CDR=90°-∠RCD=45°-α，∴∠RDE=∠CDE-∠CDR=α，，∴∠RDE=∠EDA=α，∵∠CRD=∠DOC=90°，∠DCE=∠CDA，CD=CD，∴△RCD≌△ODC(AAS)，∴RD=CO=6，CR=OD，∠CDR=∠DCO，又∵S△DCE=15，∴12CE×DR=15∴CE=5作EM⊥x轴于M，CN⊥EM于N，DT⊥CN于T，如图所示∵∠RDE=∠EDA，∠ERD=∠EMD=90°，DE=DE，∴△RED ≌△MED (AAS )，∴RE =EM ，RD =MD ，∵EM ⊥x ，CN ⊥EM ，DT ⊥CN ，∴四边形NTDM 为矩形，∴∠MDT =90°，∴∠CDT =∠MDT -∠CDE -∠EDA =45°-α=∠CDR ，∴△DCR ≌△DCT (AAS )，∴DR =DT ，∴DM =DT ，∴四边形NMDT 是正方形∴DM =MN =NT =DT =OC =6，设EM =ER =m ，则CR =5-m =CT ，如图所示：∴NE =6-m ，NC =NT -TC =m +1在Rt △NEC 中，6-m 2+m +1 2=52解得：m 1=2，m 2=3，∵CD >DE ，∴m <5-m ，即m <2.5，∴m =3不符合题意，应舍去；当m =2时，CT =OD =3=MO ，∴E -3,2 ，又点D 3,0 ，设直线ED 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =23k +b =0 ，解得：k =-13b =1 ，∴直线ED 的解析式为：y =-13x +1，y =-13x +1y =-29x 2+13x +6 ，∴x =3-3112或3+3112(舍)，∴P 的横坐标是3-311210(2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c a <0 与x 轴交于A -2,0 、B 4,0 两点，与y 轴交于点C ，且OC =2OA ．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，记m =S △CPM S △CDM，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+x +4(2)m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 (3)存在，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 【解析】(1)解：∵A -2,0 ，∴OA =2，∵OC =2OA ，∴OC =4，∴C 0,4 ，∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A -2,0 ，B 4,0 ，C 0,4 ，∴4a -2b +c =016a +4b +c =0c =4，解得：a =-12b =1c =4，∴该抛物线的解析式为y =-12x 2+x +4；(2)解：如图1，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于E ，连接CP ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∵B 4,0 ，C 0,4 ，∴4k +d =0d =4 ，解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，设P t ,-12t 2+t +4 ，则E t ,-t +4 ，∴PE =-12t 2+t +4-(-t +4)=-12t 2+2t ，∵直线y =kx +1k >0 与y 轴交于点D ，∴D 0,1 ，∴CD =4-1=3，∵PE ∥y 轴，即PE ∥CD ，∴△EMP ∽△CMD ，∴PM DM =PE CD =-12t 2+2t 3=-16t 2+23t ，∵m =S △CPM S △CDM =PM DM，∴m =-16t 2+23t =-16t -2 2+23，∵-16<0，∴当t =2时，m 取得最大值23，此时点P 的坐标为2,4 ；(3)解：存在这样的点Q 、N ，使得以P 、D 、Q 、N 四点组成的四边形是矩形．①当DP 是矩形的边时，有两种情形，a 、如图2-1中，四边形DQNP 是矩形时，由(2)可知P 2，4 ，代入y =kx +1中，得到k =32，∴直线DP 的解析式为y =32x +1，可得D 0,1 ，E -23,0 ，由△DOE ∽△QOD 可得OD OQ =OE OD，∴OD 2=OE ⋅OQ ,∴1=23⋅OQ ，∴OQ =32，∴Q 32,0 ．根据矩形的性质，将点P 向右平移32个单位，向下平移1个单位得到点N ，∴N 2+32,4-1 ，即N 72,3 ，b 、如图2-2中，四边形PDNQ 是矩形时，∵直线PD 的解析式为y =32x +1，PQ ⊥PD ，∴直线PQ 的解析式为y =-23x +163，∴Q 8,0 ，根据矩形的性质可知，将点D 向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N ，∴N 0+6,1-4 ，即N 6,-3 ．②当DP 是对角线时，设Q x ,0 ，则QD 2=x 2+1，QP 2=x -2 2+42，PD 2=13，∵Q 是直角顶点，∴QD 2+QP 2=PD 2，∴x 2+1+x -2 2+42=13，整理得x 2-2x +4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的N 的坐标为72,3 或6,-3 ．11(2023·山东济宁·统考一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，其中A (-4,0)、B (1，0)，M 是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m ，(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM ，交线段AC 于点D ，求S ΔADM S ΔADB的最大值(其中符号S 表示面积)；(3)连接CM ，是否存在点M ，使得∠ACO +2∠ACM =90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-34x 2-94x +3(2)S ΔADM S ΔADB 的最大值为45(3)存在，m =-319【解析】(1)解：(1)分别代入A (-4，0)、B (1，0)到抛物线解析式，解得：y =-34x 2-94x +3；故答案为：y =-34x 2-94x +3．(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，-4k +b =0b =3 ，解得：k =34b =3，∴直线AC 的解析式为y =34x +3，如图所示，过点M 作MG ∥x 轴交于AC 于点G ，过点A 作AF ⊥MB 交MB 与点F ，∴G 点的纵坐标与M 点的纵坐标相同，∵M 为抛物线y =-34x 2-94x +3上的一点，设M m ，-34m 2-94m +3 ，又∵G 点在直线AC 上，直线AC 的解析式为y =34x +3，∴G -m 2-3m ,-34m 2-94m +3 ，∴MG =-m 2-4m ，又∵MG ∥AB ，∴MD DB =MG AB =-m 2-4m 5，∵S ΔADM =12MD ⋅AF ,S ΔADB =12DB ⋅AF ，∴S ΔADM S ΔADB =DM DB，∴S ΔADB S ΔADB =DM DB =MG AB=-m 2-4m 5=-m 2+4m 5=-15m +2 2+45，∴S ΔADM S ΔADB 的最大值为45．故答案为：45．(3)过点C 作CP ∥x 轴，延长CM 交x 轴于点T ．∴∠MCO =90°,∠MCP =∠MTA ，∵∠ACO +2∠ACM =90°∠ACO +∠PCM +∠MCA =90°，∴∠MCP =∠MCA ，∴∠MCA =∠MTA ，∴△ACT 为等腰三角形，∴AC =AT ．在Rt △ACO 中，AC =AO 2+OC 2=42+32=5，∴AC =AT =5，∴OT =AT +OA =5+4=9，∴T (-9，0)，设直线CT 的解析式为y =kx +b ，将点T (-9，0)和点C (0，3)代入y =kx +b 中，解得：k =13b =3 ，∴直线CT 的解析式为y =13x +3，∵M 是直线CT 和抛物线y =-34x 2-94x +3的交点，-4<m <0，∴令-34m 2-94m +3=13m +3，∴9m 2+27m +4m =0，∴9m 2+31m =0，∴m 9m +31 =0，解得m =0(舍去)或m =-319故答案为：m =-319．12(2023·海南海口·海口市第九中学校考二模)如图①，已知抛物线L :y =x 2+bx +c 的图象经过点A 0,3 ，B 1,0 ．过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，连结OE ．(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；(3)若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2-4x+3；E(3,3)(2)P的横坐标为52；(3)3≤h≤4；(4)存在，点P的坐标是：5-52,1-52或3-52,5+12或3+52,1-52或5+5 2,5+12【解析】(1)解：∵抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，∴1+b+c=0c=3，解得b=-4c=3，∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，(2)如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，m2-4m+3)，设直线OE的解析式为y=kx，把点E(3，3)代入得，3=3k，解得k=1，∴直线OE的解析式为：y=x，∴G(m，m)，∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3，∴S△OPE=S△OPG+S△EPG=12PG×AE=12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，∴P 的横坐标为52(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则N (2，3)，如图2，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52或5-52，∵m =5+52>2，不合题意，舍去，∴m =5-52，此时m 2-4m +3=1-52，∴P 的坐标为5-52,1-52；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3+52>2，不合题意，舍去，∴m =3-52，此时m 2-4m +3=5+12，∴P 的坐标为3-52,5+12；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52，∵3-52<2，不合题意，舍去，∴m =3+52，此时m 2-4m +3=1-52，P 的坐标为3+52,1-52；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图5，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52,5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52,1-52 或3-52,5+12或3+52,1-52 或5+52,5+12．13(2023·广东珠海·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，其中点B 的坐标为(4,0)，与y 轴交于点C (0,2)．(1)求抛物线y =-12x 2+bx +c 和直线BC 的函数表达式；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上一个动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)连接B 和(2)中求出点P ，点Q 为抛物线上的一点，直线BP 下方是否存在点Q 使得∠PBQ =45°？若存在，求出点Q 的坐标．【答案】(1)y =-12x 2+32x +2，y =-12x +2(2)(2,3)(3)存在，-35，2325【解析】(1)把B (4,0)，C (0,2)代入y =-12x 2+bx +c 得：-8+4b +c =0c =2 ，解得b =32c =2，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+32x +2；设直线BC 的函数表达式为y =mx +2，把B (4,0)代入得：4m +2=0，解得m =-12，∴直线BC 的函数表达式为y =-12x +2；(2)过P 作PH ∥y 轴交BC 于H ，如图：设P t ,-12t 2+32t +2 ，则H t ,-12t +2 ，∴PH =-12t 2+32t +2--12t +2 =-12t 2+2t ，∴S ΔPBC =12PH ⋅OB =12×-12t 2+2t ×4=-t 2+4t =-(t -2)2+4，∵-1<0，∴当t =2时，S ΔPBC 取最大值4，此时P 的坐标为(2,3)；(3)直线BP 下方存在点Q ，使得∠PBQ =45°，理由如下：过P 作PM ⊥PB 交BQ 的延长线于M ，过P 作TK ∥x 轴，过B 作BK ⊥TK 于K ，过M 作MT ⊥TK 于T ，如图：由(2)知P (2,3)，∵B (4,0)，∴PK =2，BK =3，∵∠PBQ =45°，∴ΔPBM 是等腰直角三角形，∴∠MPB =90°，PB =PM ，∴∠KPB =90°-∠TPM =∠TMP ，∵∠K =∠T =90°，∴ΔBPK ≅ΔPMT (AAS )，∴PK =MT =2，BK =PT =3，∴M (-1,1)，由M (-1,1)，B (4,0)得直线BM 函数表达式为y =-15x +45，联立y =-15x +45y =-12x 2+32x +2 ，解得x =4y =0 或x =-35y =2325，∴Q 的坐标为-35，2325 ．14(2023·广西梧州·统考一模)如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0，点P 为线段AC 上的一动点(点P 与点A ，C 不重合)，过点P 作PQ ∥BC 交AB 于点Q ，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 的对应点为点D ，连接PD ，QD ，BD ．设点P 的坐标为t ，0(1)当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；(2)若△PDQ 与△ABC 重叠部分面积S 与点P 横坐标t 之间的函数解析式为S =a (t +6)2(-6<t ≤1)-67t 2+bt +647(1<t <8) ，其图象如图2所示，求a 、b 的值；(3)是否存在点P ，使得∠BDQ 为直角？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，0(2)a =27，b =247(3)67，0【解析】(1)解：∵A -6，0 ，B 0，8 ，C 8，0 ，∴OB =OC =8，∴∠C =45°．∵PQ ∥BC ，∴∠APQ =∠C =45°．由折叠的性质可得AP =PD ，∠APQ =∠DPQ =45°，∴∠DPA =90°．∵B 0，8 ，C 8，0 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +8，∵P t ，0 ，∴PA =t --6 =t +6．∵点D 恰好落在BC 上，∴D (t ，-t +8)，∴PD =-t +8，∴t +6=-t +8，解得：t =1，∴点P 的坐标为1，0 ；(2)解：∵PQ ∥BC ，∴可设直线PQ 的解析式为y =-x +m ，∴0=-t +m ，解得：t =m ，直线PQ 的解析式为y =-x +t ．∵A -6，0 ，B 0，8 ，∴直线AB 的解析式为：y =43x +8． 联立y =-x +t y =43x +8 ，解得：x =3t -247y =4t +247，∴Q 3t -247，4t +247．当-6<t ≤1时，点D 在△ABC 内部，此时重叠部分面积为△PDQ 的面积，由折叠可知S △PDQ =S △APQ =12AP ⋅y Q =12×t +6 ×4t +247=27t +6 2，∴a =27；当1<t <8时，点D 在△ABC 外部，由图象可得当t =4时，S =1287，∴-67×42+4b +647=1287，解得：b =247；(3)解：如图，过点Q 和点B 分别作PD 的垂线，交PD 于点M 和PD 延长线于点N ，∵∠BDQ 为直角，∴∠BDN +∠MDQ =90°∵∠BDN +∠DBN =90°，∴∠MDQ =∠DBN ，∴tan ∠MDQ =tan ∠DBN ，即QM DM =DN BN ．∵Q 3t -247，4t +247 ，M t ，4t +247，D t ，t +6 ，N t ，8 ，B 0，8 ，∴QM =t -3t -247=4t +247，DM =t +6-4t +247=3t +187，DN =8-(t +6)=2-t ，BN =t ，∴4t +2473t +187=2-t t，解得：t 1=67，t 2=-6(舍)．∴存在，点P 的坐标为67，0 ．15(2023·吉林长春·统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+ax +1(a 为常数)，经过点P 2,-7 ，点Q 在抛物线上，其横坐标为m ，将此抛物线上P 、Q 两点间的部分(包括P 、Q 两点)记为图像G ．。
(完整)中考复习专题—二次函数压轴题
(完整)中考复习专题—二次函数压轴题中考复习专题(七)--二次函数压轴题专训题型一：面积问题【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x轴于点4(3, 0),交y轴于点8.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)求ACAB的铅垂高CD及S;△鼐，若存在，求出P点△CAB△CAB【变式练习】1。
(2009广东省深圳市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(一2, 0),连结OA,将线段OA绕原点。
顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点8的坐标；(2)求经过A、0、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使^BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么4PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及4PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.2。
(2010绵阳)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(—4, 0), B (2,0),与y 轴交（完整）中考复习专题一二次函数压轴题于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与X轴、y轴分别交于F、G.3. （2012铜仁）如图，已知：直线y =-x + 3交x轴于点A，交y轴于点8,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、到1,0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1,0）,在直线y = -x + 3上有一点「，使AABO与AADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点£，使AADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点£的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】(2010山东聊城)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a/0)的对称轴为x = 1,且抛物线经过A (―1, 0)、C (0, -3)两点，与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴x = 1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使NPCB=90 的点P的坐标.第.3题图【变式练习】1.(2012广州)如图，抛物线y二-卫丁-金丁十力与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点8 4C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当4ACD的面积等于4ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线I过点E(4, 0),M为直线I上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线I的解析式.2.(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=〃(x + l)2+c(” > 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y = kx-3,与x轴的交点为N,且COSNBCO3<1010（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点「的坐标：若不存在，请说明理由；⑶过点人作x轴的垂线，交直线MC于点。
2024年中考数学压轴题(全国通用)：专题5二次函数与面积最值定值问题(学生版)
1．（2022•金坛区二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ x2+bx﹣2 的图象与 x 轴交于点 A
（3，0），B（点 B 在点 A 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，作直线 AD．
（1）填空：b＝
；
（2）将△AOC 平移到△EFG（点 E，F，G 依次与 A，O，C 对应），若点 E 落在抛物线上且点 G 落在直
挑战 2023 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题 5 二次函数与面积最值定值问题
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的 题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关 系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
2024年 九年级数学中考复习 二次函数与图形面积综合压轴题 专题训练(含答案)
(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AD上方时，求2．已知二次函数y=ax2线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，判断(3)在对称轴右侧抛物线上找一点出点P的坐标及此时四边形(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D 周长的最小值．(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA 的坐标．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，(3)在（2）条件下，是否存在点出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标是x，△(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求在，说明理由；(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点交于E点，求△ABE的面积．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，若线段DE将△AOC分成面积比为1:3两部分，，求点(3)如图2，连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO，若存在，若不存在，请说明理由．(1)求直线BC的表达式．(2)点E是直线BC下方抛物线上一动点，当△BCE的面积最大时，求点(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点请说明理由．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当∠ABD=∠BAC(3)在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在S△ABD，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．点P，使S△BDP=23(1)求抛物线的解析式．(2)将△AOC沿AB方向平移到△PMN．①如图2，若PM经过点C,PN与x轴交于点Q，求S△PCQ的值．S△AOC②如图3，直线y=1x与抛物线AB段交于点D，与直线AB交于点E，当顶点2上移动时，求△MPN与△OBD公共部分面积的最大值．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，C(0,4)两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标．(3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,4)三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标：(2)在抛物线的对称轴上探求一点M的坐标，使得点M到点A、点C的距离之和最小；(3)在直线BC上方的抛物线上探求一点P，使得△PBC的面积最大，并求出△PBC的面积的最大值．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P(m，n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC面积的最大值；(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上确定一点N，使得以A P M N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符及此时点F的坐标．17．如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、C(0,−3)两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求△BCE面积的最大值及此时点M的坐标；(3)在（2）的条件下：当△BCE的面积取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M，B，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)，交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，OQ，PA，PB．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△AOQ周长的最小值；(3)假设△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，且S=S1+S2，求S的最大值．20．如图1，抛物线y=x2+bx+c（a>0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1，0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式；(3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m(−3<m<−1)，点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N．①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标；②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．参考答案把A，D的坐标代入得{−k+3k+所以直线AD的解析式为y=过点P作x轴的垂线，分别交∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，∴点D在PC的垂直平分线上，∴点C与点P关于对称轴直线x=∵C(0,3)∴点P的坐标为(2,3)，∵S=S△DCP+S△CBP，四边形PBCD11∴A′C′=32+22=13，∴CD+AE=A′D+DC′，则当A′小，四边形ACDE的周长的最小值= =10+1+A′D+DC′=10+1+A′C′10+1+13；直线CP把四边形CBPA的面积分为又∵S△PCB：S△PCA=12EB则BE：AE=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(（3）过点P作PQ∥y轴交BC于点∴PF⊥y轴，∵二次函数y=x2−2x−3的图像与当y=0时，得y=x2−2x−3=5．解:（1）根据题意，得{0=−(−1)2−b+c0=−32+3b+c，解得{b=2c=3，∴抛物线解析式为：y=∴∠OPH=∠POH=45°，∴OH=PH，设M(m,−m2+2m+3)，则设直线BC的解析式为：y {0=3k+b3=b，解得{k=−1b=3，∴直线BC的解析式为：y∴PQ =−16x 2+56x +4−(−12x +4∴y =12×BO ×PQ =12×(−16x 2+即y =−23x 2+163x（3）解：y=0时，12x2−x−4解得x1=−2，x2=4，∴A(−2,0)，故AB=4−(−2)记过点A、B、D的圆的圆心为点则点G在线段AB的垂直平分线上，故可设同理，点G在线段DE的垂直平分线上，8．（1）解：∵抛物线y=∴{0=16a−4b+20=a+b+2，设点M的坐标为(n,0)，则OM=−n，MC 在Rt△MOC中，∵OM2+OC2=MC2，∴(−n)2+22=(n+4)2，解得n=−32，∴M(−3,0)，∴OC OM =ODPD，即OC⋅PD=OM⋅OD，设P(t,−12t2−32t+2)(−4<t<0)，∴2(−12t2−32t+2)=32(−t)，设点E的坐标为(∴EF=2m−4−(233由（1）知B(6,0)，∴OB=6∴−1+5 22=a+32，解得∴点P的坐标为(−②当AP为平行四边形的对角线时，如图．∴−1+a2=3+522，解得∴点P的坐标为③当AM为平行四边形的对角线时，如图．∴−1+32=a+522，解得∴点P的坐标为(−综上，点P的坐标为设直线BC为y=kx+b({0=6k+bb=−6，解得{k=1b=−6，∴直线BC为y=x−6，根据三角形的面积，当平行于直线此时，△PBC的面积最大，设F(a,12a2−2a−6)．当点F在x轴下方时，∵C(0,−6)，即OC=6，a2−2a−6=−6，∴12解得a1=0（舍去），a2=4，∴F(4,−6)．当点F在x轴的上方时，令y=6，设BD与AC的交点为点E，∵∠ABD=∠BAC，∴AE=BE，∵直线x=−1垂直平分AB，∴点E在直线x=−1上，∵∠ABD=∠BAC，∴BD∥AC，∵直线AC的解析式为y=34x+3∴可设直线BD的解析式为y=把B(2,0)代入y=34x+m中得0∴符合题意的直线解析式为y=∴F (m,34m−32)，∴PF =|−38m 2−34m +3−(34m−∴S △BDP =12PF ⋅(x B −x D )=12×∴|−38m 2−32m +92|=3，∴−38m 2−32m +92=3或−38m 2−32m ∴m 2+4m−4=0或m 2+4m−20②当4≤a≤6时，S=S△PEF=12EF⋅PF=12(a−32a+3)(−a+=14a2−3a+913．解：（1）∵抛物线（3）过点D 作DG ⊥x 轴交设点D 的横坐标为m ，∴D (m,−43m 2−83m +4)，∴DF =−43m 2−83m +4−(∵四边形ABCD 的面积=∴S △ADC =12×AG ×DF +（4）存在，理由如下：14．（1）解：由题意，设该抛物线的解析式为将C(0,4)代入，得4=−4a∴该二次函数的解析式为∵y=−x2+3x+4=−(∴顶点坐标为D(32,254)；（2）解：∵该抛物线的对称轴为直线故直线BC与坐标轴的交点即为点设直线BC的解析式为：将B(6，0)，C(0，−6)解得：{b=−6k=1，∴直线BC的解析式为：∴M (−1，−1)，EM =6，设F (m ，m 2−4m )，则N (m ∴FN =m−(m 2−4m )=−m ∵S 1=12FN (x B −x G )，S 2=∴S 1S 2=FNEM =−m 2+5m6=−16(m ∴当m =52时，S 1S 2的最大值为由（2）得，当ME最大时，∴DO=DB=DM=3 2∵∠BDM=90°，x2−2x−6交y轴于点∵抛物线y=12∴C(0,−6)∴OB=OC=6，∠BOC=90°∴∠BCO=45°∵O、O′关于直线BC对称∴BC与OO′互相垂直平分∴四边形BOCO′是正方形，∵PQ∥AC。
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a＝
3 4
解得，
b＝ 9
，
4
c＝3
抛物线的函数表达式为 y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3； 44
（2）过点 D 作 DM⊥x 轴交 BC 于 M 点，
由勾股定理得，BC＝ OC2 OB2 ＝5， 设直线 BC 的解析是为 y＝kx+b，
4k b＝0
则
b＝3
，
解得
k
3 4
，
b 3
44
4
②如图
2，当
0＜t≤1
时，PQ=
yP
yQ
mt 2
mt
=
m(t
1 )2 2
1 4
m
．
∵m＞0，
∴当 t=1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即 PQ 的最大值为 6．
综上所述，PQ 的最大值为 6．
【点睛】 此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答， 因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答． 【变式 1-2】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+mx+m﹣2 的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）． （1）求顶点 A 的坐标 （2）若 P 是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P 的坐标； （3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交 于 C，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值？若是，请求出 这个定值；若不是，请说明理由．
点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图 1，当-1≤t≤0 时；②如图 2，
当 0＜t≤1 时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1， mx2+mx=0，mx（x+1）=0， ∵m≠0， ∴x1=0，x2=-1． ∴抛物线与直线有两个交点． （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
∴直线 BC 的解析是为 y＝﹣ 3 x+3， 4
设点 M 的坐标为（a，﹣ 3 a+3）， 4
DM＝（﹣ 3 a2+ 9 a+3）﹣（﹣ 3 a+3）＝﹣ 3 a2+3a，
44
4
4
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ DE BO ，即 DE ＝ 4 ，
DM BC
DM 5
解得，DE＝ 4 DM 5
∴DE＝﹣ 3 a2+ 12 a＝﹣ 3 （a﹣2）2+ 12 ，
55
5
5
当 a＝2 时，DE 取最大值，最大值是 12 ． 5
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次
函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式 1-1】．已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0．
点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图
1，当-1≤t≤0
时，PQ=
yQ
yP
mt 2
mt
= m(t
1 )2 2
1 4
m．
∵m＞0，
当 t 1 时，PQ 有最大值，且最大值为 1 m ．
2
4
∵0＜m≤3，∴ 1 m ≤ 3 ，即 PQ 的最大值为 3 ．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于
点 Q，当 0＜m≤3 时，求线段 PQ 长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.
【解析】
【Hale Waihona Puke 析】标，根据勾股定理，可得答案． 【详解】 解：（1）把 B（3，﹣3）代入 y=﹣x2+mx+m2 得：﹣3=﹣32+3m+m2， 解得 m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1， ∴顶点 A 的坐标是（﹣1，1）； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q. ∵直线 OB 的解析式为 y=﹣x， 故设 P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n）， ∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n， ∴S△OPB= （﹣n2+3n）=﹣ （n﹣ ）+ ， 当 n= 时，S△OPB 的最大值为 ． 此时 y=﹣n2+2n= ， ∴P（ ， ）； （3）∵直线 OA 的解析式为 y=x， ∴可设新的抛物线解析式为 y=﹣（x﹣a）2+a，
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）
=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（ ， ）；（3） .
【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根 据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得 P 点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA 的解析式，可得 C、D 点的横坐
2020 年中考数学压轴题：二次函数的面积问题考点专练强烈推荐
【考点 1】二次函数的线段最值问题 【例 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直 线 BC 上方抛物线上一动点，DE⊥BC 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段 DE 长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3；（2）最大值是 12 ．
44
5
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据
相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
a b c＝0 解：（1）由题意得， 16a 4b c＝0 ，