天津市2020届高三数学3月九校联考试卷理(含解析)

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2020届天津市南开中学高三上学期数学统练九试题(解析版)

f x 4 f x ,所以周期为 4,所以 f 1003 f 1 f 1 2 ,应选 A.
8．已知函数
设
表示中的较大值，
表
示中的较小值，记得最小值为
得最小值为 ,则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：设
由
得
，此时
，由
得
；由
得
；综上可知
时
，当
（）
，此时
；
，此时
时
，当
时
，所以
A． 2
B．π
C． 3 2
D．2π
【答案】B
【解析】试题分析： f x 2sin（x ） 2co（ s x ） 2sin（2x ）,故最小正
6
6
3
周期T 2 ,故选 B. 2
【考点】三角函数化简，周期公式
【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是
（）
A．2 B．3 【答案】A
C．4
D．6
【解析】因为 y f x 1 的图象关于直线 x 1 对称,所以 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，
所以
f(x) 为偶函数，令
x=-2, 则
f 2 f 2 2 f 2, f 2 f 2 f 2, f 2 0,
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8
f () 0 ，且 f (x) 的最小正周期大于 2 ，则
8
A． 2 ，
3
12
24
B． 2 ，
3
12
D． 1 ， 7
3
24
C． 1 ， 3

【答案】A
【解析】由题意

天津市天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷 (解析版)

天津中学2020年3月高三在线月考数学试卷一．选择题1.已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =I ( ) A. {1,2,3} B. {1,2} C. (0,3] D. (3,4]【答案】A 【解析】【分析】先求解集合,A B ,然后求解A B I .【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ，{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤，所以{}1,2,3A B =I .故选A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 3.函数422y x x =-++的图像大致为A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A.272π B.283π C.263π D.252π 【答案】B 【解析】【分析】计算出ABC ∆的外接圆半径r ，利用公式222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】ABC ∆的外接圆半径为2332sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为222223211233PA R r ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2221284433R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.5.如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值（精确到0.01）分别是（）A. 2.20，2.25B. 2.29，2.20C. 2.29，2.25D. 2.25，2.25【答案】C 【解析】【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数，利用最高矩形底边的中点值可得出众数. 【详解】由频率分布直方图得，自学时间在[)0.5,2的频率为()0.160.20.340.50.35++⨯=，自学时间在[)2,2.5的频率为0.520.50.26⨯=，所以，自学时间的中位数为0.50.3520.5 2.290.26-+⨯≈，众数为2 2.52.252+=.故选：C.【点睛】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（）A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，再由奇函数性质得()f x 在[0,1]上递增，在[1,1]-上单调递增．然后把自变量的值都转化到[1,1]-上，比较大小．【详解】设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，又()f x 在[1,2]上递减，∴12(2)(2)f x f x +>+，而11(2)()f x f x +=-，22(2)()f x f x +=-，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，∴()f x 在[1,0]-是递增，∵()f x 是奇函数，∴()f x 在[0,1]上递增，从而在[1,1]-上单调递增，(0)0f =，ln 2(0,1)a =∈，121()24b -==，12log 21c ==-，()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==，∴由10ln 2-<<得(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<．故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出[1,1]-上单调性，转化比较大小．7.已知双曲线M :22219x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F .若双曲线M 的右支上存在点P ，使12211sin sin cPF F PF F =∠∠，并且22PF =，则双曲线M 的离心率为（）B.2C.32D.43【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义求出1PF ，结合正弦定理求出c 的值，进而可求得双曲线M 的离心率为的值. 【详解】由题意得3a =，由于点P 在双曲线M 的右支上，由双曲线的定义得1226PF PF a -==，解得18PF =，在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，又12211sin sin cPF F PF F =∠∠，所以，211PF PF c =，即12PF c =，4c ∴=，因此，双曲线M 的离心率为43c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及双曲线定义的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.8.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点；④函数()f x 的最小值为. 其中所有正确结论的编号为（） A. ①② B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，化简函数()y f x =的解析式，利用整体代入法验证函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，可判断②的正误；求得方程()10f x -=在区间[],ππ-上的实数解，可判断③的正误；分别求出函数()y f x =在区间(),0-∞和[)0,+∞上的最小值，比较大小后可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①，()cos sin f x x x =+Q ，cos sin 666f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111111cos sin cos 2sin 266666f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1166f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()y f x =的周期不是2π，命题①错误；对于②，当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()y f x =在区间50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，命题②错误；对于③，()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，且该函数的定义域为R ，则函数()y f x =为偶函数，当[]0,x π∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5444x πππ≤+≤，令()10sin 42f x x π⎛⎫-=⇒+= ⎪⎝⎭，可得44x ππ+=或544x ππ+=，解得0x =或π，由于函数()y f x =为偶函数，则方程()10f x -=在区间[),0π-上的实根为x π=-. 所以，函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点，命题③正确；对于④，当0x ≥时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的最小值为由于函数()y f x =为R 上的增函数，则该函数在(),0-∞上的最小值为. 因此，函数()y f x =的最小值为，命题④正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数周期性、单调性、零点以及最值的判断，去绝对值，化简函数解析式是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.9.已知函数()221,01,01x x x h x x x x⎧-+>⎪=⎨+≤⎪-⎩，函数()()112g x h x mx m =--+-恰有三个不同的零点，则m 的取值范围是（）A. 10,22⎧⎫⎡-⋃-⎨⎬⎣⎩⎭B. 90,22⎧⎫⎡+⋃⎨⎬⎣⎩⎭C. (922⎧⎫⎤--⋃⎨⎬⎦⎩⎭D. (1-22⎧⎫⎤+⋃-⎨⎬⎦⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=，可转化为直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，考查直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-和曲线221y t t =-+相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数k 的取值范围.【详解】令1t x =-，由()0g x =可得()102h t mt +-=，则直线12y mt =-+与函数()y h t =的图象有三个交点，如下图所示：当直线12y mt =-+与曲线11t y t+=-在0t <相切时，由1121t mt t +-+=-，整理得()222310mt m t -+-=，所以，()2123022380m m m m +⎧<⎪⎨⎪∆=++=⎩，解得12m =-. 当直线12y mt =-+与曲线221y t t =-+在0t >时相切，由21212t t mt -+=-+整理得()21202t m t +-+=，所以，()2220220m m ->⎧⎪⎨∆=--=⎪⎩，解得22m =.由图象可知，当022m ≤<或12m =-时，直线12y mt =-+与曲线()y h t =有三个交点，因此，实数m 的取值范围是10,222⎧⎫⎡⋃-⎨⎬⎣⎩⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.二．填空题10.若11abi i=++，其中a 、b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=________．【解析】【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出a bi +的值.【详解】()()()1111122a i a a a bi i i i i -+===-++-Q ，则122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，因此，2a bi i +=-==【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.11.若圆()()2221:08C x a a y a ++=>+与圆222:4C x y +=的公共弦AB 的长为2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离为_________．【答案】1 【解析】【分析】将两圆方程相减可得出公共弦AB 的方程，求出圆2C 的圆心到直线AB 的距离，结合点到直线的距离公式求出正数a 的值，【详解】将圆1C 与圆2C 相减可得公共弦AB 所在直线的方程为20ax -=，所以，圆2C 的圆心到直线AB的距离为1d ==，即21d a==， 0a >Q ，可得2a =，则直线AB 的方程为1x =.因此，圆2C 上位于AB 右方的点到AB 的最长距离21d -=. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用相交弦长求参数，同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算，考查计算能力，属于中等题.12.将()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是_______. 【答案】5 【解析】【分析】写出展开式通项，求出展开式倒数第三项的系数表达式，根据已知条件得出关于n 的方程，即可求得正整数n 的值.【详解】()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，则展开式通项为13r n r rr n T C x -+=⋅⋅，由题意2n ≥，则倒数第三项的系数为2223990n n n n C C --⋅==，()()21!102!2!2n n n n n C n --∴===-，整理得2200n n --=，解得5n =. 故答案为：5.【点睛】本题考查根据项的系数求参数，考查运算求解能力，属于基础题.13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．【答案】65【解析】【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ:，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值.【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=. 故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14.已知实数若x 、y 满足0x y >≥，则42x y x yx y x y++++-的最小值是______．【答案】5 【解析】【分析】将所求代数式变形为3x y x yx y x y-++++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式最小值. 【详解】0x y >≥Q ，所以0x y x y +>->，()()423x y x y x y +=++-，()()335342x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x ++-++++=+=-+++≥=+-+-+-Q，当且仅当x y x y -=+时，即当0y =时，等号成立.因此，42x y x yx y x y++++-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.15.如图所示，在ABC ∆中，3AB AC ==，90BAC ∠=o ，点D 是BC 的中点，且M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，若13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，则DM BM ⋅u u u u r u u u u r的取值范围______．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，可知33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由13AM AB mAC u u u u r u u u r u u u r =+，可得到1x =，3y m =，结合M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，可得1233m <<，再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得到答案．【详解】解：建立如图所示的坐标系，33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭．设(),M x y ，13AM AB mAC u u u u r u ur u u Q u u r=+，()()()1,3,00,33x y m ∴=+，1x ∴=，3y m =．M 点在ACD ∆的内部(不含边界)，1233m ∴<<．则()22133917,32,3133919()2222416DM BM m m m m m m m u u u u r u u u u r ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1233m <<，所以1,22DM BM ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，故答案为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题16.在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C的对边，且222sin b A c a -+=. （1）求角A 的大小；（2）若2,3,b c ==求a 和()sin 2B A -的值.【答案】（1）3π；（2）a =【解析】【分析】（1）222sin 3b A c a -+=化为22223b c a A bc +-=，由余弦定理可得tan A =从而可得结果；（2）由余弦定理求得a =sin 7B =差的正弦公式可得结果.【详解】（1）由已知，得：222sin b A c a +=，由余弦定理，得：2222b c a A bc +-=，cos A A =，即tan A =()0,A π∈,所以3A π=.（2）2222cos a b c bc A =+-⋅214922372a ∴=+-⨯⨯⨯=a ∴= 又sin sin ab A B =2sin B =sin 7B ∴=，b a <Q 0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 227cos 1sin 7B B ∴=-=， 4sin22sin cos 37B B B ∴==,1cos27B =， ()sin 2B A ∴- sin2cos cos2sin B A B A =- 411337272=⨯-⨯3314=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17.如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，90DAB ∠=o ，24AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；（3）若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 221，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（27；（3）6. 【解析】【分析】（1）取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，证明四边形ADOM 为平行四边形，可得出//OD AM ，即//DF AM ，利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出平面ABE 与平面BEF 所成二面角的余弦值，进而可得出其正弦值；（3）设EP EF λ=u u u r u u u r ，[]0,1λ∈，计算出AP u u u r 的坐标，结合直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为22163求得实数λ的值，进而可求得AP 的长.【详解】（1）如下图所示，设CE DF O =I ，取BE 的中点M ，连接AM 、OM ，Q 四边形EDCF 为矩形，CE DF O =I ，O ∴为CE 的中点，M Q 为BE 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //AD BC Q ，12AD BC =，//OM AD ∴且OM AD =，所以，四边形ADOM 为平行四边形，则//AM OD ，即//AM DF ，AM ⊂Q 平面ABE ，DF ⊄平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）Q 四边形EDCF 为矩形，则DE CD ⊥，平面ABCD I 平面CDEF CD =，平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊂平面CDEF ，DE ∴⊥平面ABCD ，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,4,0B 、()0,0,2E 、()2,4,2F -，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =v，()2,0,2AE =-u u u v ，()0,4,0AB =u u u v ，由11140220m AB y m AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令11x =，则10y =，11z =，()1,0,1m =v ，设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =v，()2,4,2BE =--u u u v ，()4,0,2BF =-u u u v ，由222222420420n BE x y z n BF x z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令22x =，则24z =，21y =，则()2,1,4n =v ，cos ,7m n m n m n ⋅===⋅v vv v v v，sin ,m n ∴==v v 因此，平面ABE 与平面BEF；（3）Q 点P 在线段EF 上，设()()2,4,02,4,0EP EF λλλλ==-=-u u u v u u u v，()()()2,0,22,4,022,4,2AP AE EP λλλλ=+=-+-=--u u u v u u u v u u u v，由题意得cos ,63AP n AP n AP n⋅===⋅u u u v v u u u v vu u u v v ，整理得25270λλ+-=，[]0,1λ∈Q ，解得1λ=，此时()4,4,2AP =-u u u v，则6AP =u u u v .【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且()11,0F -，椭圆经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 过椭圆右顶点B ，交椭圆于另一点A ，点G 在直线l 上，且GOB GBO ∠=∠.若12GF AF ⊥，求直线l 的斜率．【答案】（1）22143x y +=；（2）10±.【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，利用b =b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点A 的坐标，由题中条件求出点G 的坐标，由12GF AF ⊥得出120FG F A ⋅=u u u r u u u u r，据此计算出实数t 的值，进而可求得直线l 的斜率.【详解】（1）易知点()21,0F，由椭圆的定义得1224a PF PF =+==，2a ∴=，b ===因此，椭圆的方程为22143x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，且斜率不为零，设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，设点()00,A x y ，联立2223412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得()2234120t y ty ++=，则021234t y t =-+，2028634t x t -=+，所以，点A 的坐标为2228612,3434t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，GOB GBO ∠=∠，则1G x =，可得1G y t =-，所以，点G 的坐标为11,t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12GF AF ⊥Q ，则120FG F A ⋅=u u u r u u u u r， 112,F G t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u v Q u u ，22224912,3434t t F A t t ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭u u u u v ，所以，21222018034t FG F A t -⋅==+u u u r u u u u r，解得t =，因此，直线l的斜率为1t =. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19.设{}n a 是等比数列的公比大于0，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列，已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式（2）设()()111nn n n a c a a +=++，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()2,2log 1,2n n n n b n kd a a n k≠⎧=⎨+=⎩，其中k *∈N ，求21i i n d =∑.【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）11221n n T =-+；（3）()1212314949i ni n d n n =+-⨯++=∑. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，利用等比数列的通项公式可求得q 的值，利用等差数列的通项公式建立有关1b 和d 的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；（2）由()()11121121212121n n n n n nc ---==-++++，利用裂项相消法可求得n T ；（3）求得1,22,2n n n n kd n n k-≠⎧=⎨⋅=⎩，利用等差数列的求和公式求出数列{}n b 前2n 项中奇数项的和，利用错位相减法求出数列{}n b 前2n 项中偶数项的和，相加即可得出结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，设等差数列{}n b 的公差为d ，11a =Q ，由322a a =+，得22q q =+，0q >Q ，解得2q =，则1112n n n a a q --==.由435a b b =+，5462a b b =+得1126831316b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11b d ==，则()11n b b n d n =+-=；（2）()()()()()()()()111111212121121212121212111n n n n n n n n n n n n na c a a ----+-+-+===-=++++++++， 0112111111111212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ；（3）1,22,2n n n n k d n n k -≠⎧=⎨⋅=⎩Q ，设数列{}n b 前2n 项中奇数项和偶数项的和分别为n A 、n B ，则()()2121135212n n n A n n +-=++++-==L ，1352122426222n n B n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，()3521214224222222n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，上式-下式得()412352122222143222222224214n n n n n B n n --++--=+⨯+⨯++⨯-⨯=+-⨯-L ()11113444164433n n n n n +++-⨯--=+-⨯=，()131449n nn B +-⨯+∴=，因此，()1212314949ii n nn nB dn n A =+-⨯++=+=∑. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.20.已知函数()ln f x x mx =-，m R ∈．（1）若()f x 在点()()1,1A f 处的切线与直线210x y ++=垂直，求函数()f x 在A 点处的切线方程；（2）若对于[)1,x ∀∈+∞，()0xf x m +≤恒成立，求正实数m 的取值范围；（3）设函数()()212H x x f x =+，且函数()H x 有极大值点1x ，求证：()211112m f x x x >--. 【答案】（1）210x y --=；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由()12f '=求得实数m 的值，可求出切点坐标，再利用点斜式方程可得出所求切线的方程；（2）令()ln mg x x mx x=-+，且有()10g =，对实数m 进行分类讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，结合()()10g x g ≤=可求得实数m 的取值范围；（3）由题意得出()10H x '=，可得出2111mx x =+，且101x <<，代入()()2111112mx h x f x x =++，利用导数证明出()10h x >对任意的()10,1x ∈恒成立即可.【详解】（1）()ln f x x mx =-Q ，则()1f x m x=-，直线210x y ++=的斜率为12k =-，由题意可得()112f m '=-=，解得1m =-，所以，()ln f x x x =+，则()11f =，则点()1,1A ，因此，所求切线的方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）[)1,x ∀∈+∞，()2ln 0xf x m x x mx m +=-+≤恒成立，即ln 0mx mx x-+≤恒成立，令()ln mg x x mx x=-+，其中1x ≥，且()10g =，则()()1g x g ≤对[)1,x ∀∈+∞恒成立， ()2221m mx x mg x m x x x-+-'=--=. ①当0m ≤时，对任意的[)1,x ∈+∞，()0g x '>，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，此时，()()10g x g ≥=，不合乎题意；②当0m >时，则214m ∆=-. （i ）若0∆≤，则12m ≥，对[)1,x ∀∈+∞，()0g x '≤，此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()10g x g ≤=，合乎题意；（ii ）若>0∆，则102m <<，令()0g x '=，得20mx x m -+=，解得10x '=>，2x '= 由韦达定理得121x x ''=，则必有211x x <<¢¢，当11x x '<<时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增；当1x x '>时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减.所以，()()()1max 10g x g x g '=>=，不合乎题意. 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）()()2211ln 22H x x f x x mx x =+=-+Q ，所以，()211x mx H x x m x x-+'=-+=，函数()y H x =的定义域为()0,∞+，由于函数()y H x =有极大值点，则240m '∆=->，解得2m <-或2m >.设方程210x mx -+=的两根分别为1x 、2x ，则12121x x m x x +=⎧⎨=⎩，若2m <-，则10x <且20x <，不合乎题意；若2m >，则1>0x 且20x >，合乎题意.由于函数()y H x =的极大值点为1x ，则12x x <，即1201x x <<<，当10x x <<时，()0H x '>；当12x x x <<时，()0H x '<；当2x x >时，()0H x '>.且()211110x mx H x x -+'==，可得2111mx x =+，令()()()()222112111111111111111ln ln 1222x x mx mx h x f x x mx x x x x x +=++=-++=-+++32111111ln 122x x x x x =-+++-， ()()()32222132********x x x x h x x x x x --+'=-++-=，当01x <<时，220x ->，则32320x x -+>，此时()0h x '<.所以，函数()y h x =在区间()0,1上单调递减，因为101x <<，则()()110h x h >=，因此，()211112m f x x x >--. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数研究不等式恒成立以及证明不等式，利用导数研究函数的单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

2020年三月重点中学九校联考数学试题(理科含答案)

则 P(X>Z 023)的值大约是
14.已知{an }是公差不为零的等差数列，Sn 为其前n项和若 S1, S2, S4成等比数列，且 a5 = 9,则数列
也｝的前n项和为 15.巳知F为抛物线C::c= 8y的焦点，P为C上一点，M(— 4,3) ,则 DPMF周长的最小值是 16.若对于曲线y= ex +zx上的任意一点处的切线ll' 总存在曲线y= ax+cos x上的一点处的切线l2 ,
A. {xx�l} C. {xix彦O}
B. {xlO 冬x冬l} D. {xlx<O或x>l}
2. 若3+Z 1 —1 —ii( 为虚数单位），则复数z的共枙复数的模是
A. 2迈
B. 20
C. 2瓦
D. 8
3. 在“新零售“模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某行业自由职业者
2020年三月重点中学九校联考高三数学（理科）
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 o. 5毫米黑色墨水答字笔将密封线内项目填写
清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅
笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 o. 5毫米黑色
使l1_ll2,则实数 a的取值范围是
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分）
巳知在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且

2020年天津京津中学高三数学理联考试卷含解析

2020年天津京津中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数，则（）．A．16 B．8 C．D．参考答案：A2. 某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是（ )A.6B.24C.120D. 840参考答案：C3. （8）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（A）（B）（C）（D）参考答案：D．4. 如图所示的函数的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算ω的值，再求出φ的值，写出f（x）的解析式，计算出f（﹣1）的值．【解答】解：根据题意，A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，所以函数的半周期为T==3，解得T=6；则ω==，函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）；由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=；又≤φ≤π，∴φ=；则f（x）=2sin（x+）．∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故选：D．5. 对于平面上点P和曲线C，任取C上一点Q，若线段PQ的长度存在最小值，则称该值为点P到曲线C的距离，记作，若曲线C是边长为6的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A. 36B.C. D.参考答案：D【分析】画出点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形，分别求出各部分图形的面积，作和得答案.【详解】点集S={P|d（P，l）≤1}所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为，等边三角形ABC外的三个矩形面积为6，等边三角形ABC内的部分面积为-=18-故面积和为，故选D.【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．6. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f （x）在开区间（a，b）内有极小值( )A．2个B．1个C．3个D．4个参考答案：B考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B 处取得极小值．解答：解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．7. 若集合A={1,2,3,4,5},集合,则图中阴影部分表示A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}参考答案：A【分析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.8. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣） B．[，）C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f2（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．【解答】解：∵f′（x）=，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当a＞0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜﹣a或f（x）＞0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a=0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f2（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；当a＜0时，f2（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞﹣a，要使不等式f2（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足f（3）≤﹣a＜f（2），得＜a≤，故选：C．9. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B10. 计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（）A．n＜7 B．n≤7 C．n≤8 D．n≤9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .在三棱锥P-ABC中，，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是_________.参考答案：5π【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出，平面，将三棱锥放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案.【详解】取中点为，连接，过点作的垂线，垂足为平面，平面平面，，平面，平面，即在中，，与重合，即，平面将三棱锥放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径所以三棱锥的外接球的表面积故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.12. 已知，函数的图象过(0，1)点，则的最小值是．参考答案：略13.在平面直角坐标系xOy 中，角的始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则__________．参考答案：【分析】角的终边与单位圆交点的纵坐标为，可以求出终边与单位圆交点的横坐标，这样可以求出角，也就能求出的值.【详解】设角的终边与单位圆交点的横坐标为，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为，所以，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，，综上所述.【点睛】本题考查了通过求一个角的终边与单位圆的交点的坐标，求此角二倍角的余弦值问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想.14. 设函数，则______.参考答案：略15. 已知中，，，则面积的最大值为；参考答案：16. 在中，点满足，则参考答案：3/1617. 复数（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为．参考答案：4【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi （a ，b ∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届全国第三次(3月)在线大联考(新课标Ⅲ卷)数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y = C ．0x = D ．0y =答案:D 解：因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 2．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-答案:C 解：因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S =C ．57S S =D ．56S S =答案:B 解：因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份答案:D 解：由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++3.0 3.84.5 4.55.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-答案:B 解：作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．6．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案:A 解：因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以()f x 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A.7．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．55-D 5答案:B 解： 2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则225cos ,||||515⋅-===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环，所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足，则数列{}n a的前60项的和为 A ．1830 B ．1830- C ．3660 D ．3660-答案:D 解：当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增 A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④答案:B 解：21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x +的图象.对于①，π4ππ())336g +=()g x 的图象不关于点12{x y =-=成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤()g x 的最大值为，最小值为-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B ． 11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案:D 解：连接,AC BD ，设ACBD H =，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 2，所以1,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ． 12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2C 2D ．22答案:C 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m+=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．二、填空题13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 答案:120- 解：由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-.14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.答案:9解：因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯=. 15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅的最大值为___________.答案:2 解：设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ-≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅的最大值为2. 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．答案:解：设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+，令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min ()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2-三、解答题17．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ；（2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠.答案:（1）3BD =，25123BC =-（2）15sin CBD +∠= 解：（1）在Rt ABD △中，由5cos ABD ∠=22sin 1cos 3ABD ABD ∠-∠，所以3sin ADBD ABD==∠.在BCD中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以25123BC =-（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD=∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66x x x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=. 18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ；（2）求二面角C MN D --的余弦值. 答案:（1）证明见解析；（2）22解：（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，在直角梯形ABMN 中,可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，因为BCBN B =，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-,(2,2,2)CN =-,(0,2,2)DN =-,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则00MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，设二面角C MN D--的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --的余弦值为3. 19．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.答案:见解析解：（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值2()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯．因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.根据题意得2(3,)5~X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积.答案:（1）22143x y +=；（2）3. 解：（1）设c =12,l l π2sin 3c =1c =，由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b == 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y+=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3. 21．已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<；（2）讨论()f x 的单调性.答案:（1）证明见解析；（2）()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数解：（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数,所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号. 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立，所以1()g x x<. （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---，当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=，即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0<g x ，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0<g x ，所以当(1,)x ∈+∞时()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数，综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．答案:(1)直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠;曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=;（2）||AB =解：（1）由82x t=+可得0x ≠，由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈．（1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．答案:(1)11[,]44-；（2）[4,0)-解：（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。

2020年3月高三第二次在线大联考(天津卷)-数学(全解全析)

又 EE1 平面 E1EB ，所以 EE1 BC ．（6 分）
（2）由题意知 AE1 2 ， EE1 2 2 ， AE 2 ，所以 AE1 AE ，结合（1）可知 AE 、 AD 、 AE1 两两垂直，故以 AE 、 AD 、 AE1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（8 分）
所以“ x 4 ”是“ x2 x 12 0 ”的充分必要条件．故选 C．
3．A 【解析】由题意，该函数的定义域为 (0，
)
，可排除
B，C，由
f
(x)
ln x x
得
f '(x)
1 ln x2
x
，由
f '(x)
0
得 x e ，即函数 f (x) 在 (0,e) 上单调递增，在 (e, ) 上单调递减，排除 D，故选 A．
|12 7 | 42 32
1，
圆的半径 r d 1 ，故直线和圆相切．
12． 33 【解析】令 x 1可得 (1 3)5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 = 32 ，令 x 0 可得15 a0 ，即 a0 1 ，则
a1 a2 a3 a4 a5 32 1 33 ．
1
1 k2
1
2 k2
2
3
k2 1 ， k2 2
所以菱形 ABCD 的面积为
S 1 | AC | | BD | 6 2
(1 k 2 )2
6
(2 k2 ) (1 2k2 )
1 2
4k 4
k2 10k 2
4
6
1 2
4k 2
1 4 k2
(k 10
0) ，
∵ 4k 2
4 k2
10

2020年九师联盟2020届3月高三在线公益联考数学(理)试卷及答案

2020年九师联盟2020届3月高三在线公益联考数学（理）试卷★祝考试顺利★考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿．．．．．．．纸上作答无效．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若全集U ＝R,M ＝{x|1x<1},则U ðM ＝ A.{x|x ≤1} B.{x|0≤x ≤1} C.{x|x ≥0} D.{x|x<0或x>1}2.若13z i i=-+(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数的模是3.在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行,诸如淘宝店主、微商等等。

现调研某行业自由职业者的工资收入情况,对该行业10个自由职业者人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计,得出y 与x 具有线性相关关系,且线性回归方程为ˆy＝12x ＋60、若自由职业者平均每天工作的时间为5小时,估计该自由职业者年收入为A.120千元B.72千元C.60千元D.50千元4.函数f(x)＝()sin x x e e x x--的部分图象大致是5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛,按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由1名运动员完成,且每名运动员都要出场。

若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳,剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担,则中国队参赛的安排共有A.144种B.8种C.24种D.12种6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作,它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。

2020年天津南开区第九中学高三数学理期末试题含解析

2020年天津南开区第九中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在约束条件下，目标函数z=2x+y的值（）A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2 D．既无最小值，也无最大值参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A 2. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕ b=a；当a<b时，a⊕b=b2，函数f（x）=（1⊕x）·x（其中“·”仍为通常的乘法），则函数f（x）在[0，2]上的值域为（）A．[0,4] B．[1,4]C． [0,8] D．[1，8]参考答案：C略3. 函数的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1<x2时，都有，则称函数在D上为非减函数．设函数在[0，l]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②；③，则=A． B． C．1 D．参考答案：A4. 设的最大值为A 2BC 1 D参考答案：C解析：因为，5. 某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C略6. 下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（）A． B． C． D．参考答案：C略7. 如某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（）A、B、C、D、参考答案：A略8. 函数的零点所在的区间是（）A． B． C ．D．参考答案：B9. 设集合={0,1,2,3,4,5},={3,4,5,6}，则满足且的集合的个数是A．64 B． 56 C． 49 D ．8参考答案： B 略10. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A ． 4种B ．10种 C ．18种 D ．20种参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且与的夹角为，k 的值是参考答案：12. 对任意A 中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合A 中存在一个非零常数m ，使得对任意，都有x*m=x ，则称m 是集合A 的“钉子”.集合的“钉子”为．参考答案： 413. 用a ，b ，c 表示空间三条不同的直线，α，β，γ表示空间三个不同的平面，给出下列命题： ①若a⊥α，b⊥α，则a∥b； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若b ?α，b⊥β，则α⊥β；④若c 是b 在α内的射影，a ?α且a⊥c，则a⊥b．其中真命题的序号是．参考答案：①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线和平面，平面和平面之间垂直和平行的性质分别进行判断即可．解答：解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b 成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．①③④解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b 成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．③根据面面垂直的判定定理知，若b ?α，b ⊥β，则α⊥β成立，故③正确，④∵c 是b 在α内的射影，∴在b 上一点B 作BC⊥α，则C 在直线c 上，则BC⊥a，∵a⊥c， ∴a⊥平面BOC ，则a⊥b，故④正确，故答案为：①③④点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．14. 已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.参考答案：略15. D 已知实数满足，则目标函数的最大值是．参考答案：16. 已知点P （x ，y ）满足，的取值范围是．参考答案：[，2]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用的几何意义是可行域内的点到C （﹣1，﹣2）的斜率，只要求出斜率的最值即可．【解答】解：由已知对应的平面区域如图；而的几何意义为可行域内的点到C （﹣1，﹣2）的斜率，当与O 连接是直线的斜率最大，与B（4，0）连接时，直线的斜率最小，所以，，所以，的取值范围是[，2]；故答案为：[，2]．17. 已知等差数列的公差，若，则_____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届天津市高三第一次在线大联考(3月)数学试题(解析版)

2020届天津市高三第一次在线大联考（3月）数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合1,0,1,2,3,4{},{|,3}A B x x =-=∈≤R 则下图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{4}C ．{3,4}D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素，得解. 【详解】解：由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素．即(){1,0,1,2,3,4}{|3}{4}U A B x x =-∈>=R I I ð，所以阴影部分所表示的集合是{4}，故选：B ．【点睛】本题考查了韦恩图，重点考查了集合交、并、补的运算，属基础题.2．若复数z 满足1iz i =+，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,1)-C ．(1,1)D ．(1,1)--【答案】A【解析】由复数除法运算可得1z i =-，再确定复数z 对应的点的坐标即可. 【详解】解：由1iz i =+，得2i i(1i)i i i11z +==+=-，所以复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，故选：A ．【点睛】本题考查了复数除法运算，重点考查了复平面内复数z 对应的点的坐标，属基础题.3．函数2()ln f x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数的定义域可排除B ，D ，再结合导数的应用可排除A ，得解. 【详解】解：由函数2()ln f x x x =-可得，函数()f x 的定义域为{|0}x x >，故排除B ，D ，根据函数2()ln f x x x =-，可得'()f x =21212(0)x x x x x--=>，由'()f x >0，得22x >，即函数()f x 在2)2+∞上单调递增，由'()f x <0得202x <<，即函数()f x 在2(0,2上单调递减，可以排除A ，故选：C ．【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了导数的应用，属基础题.4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】B【解析】分析处理频率分布直方图中的数据求解即可. 【详解】解：依题意，得[12(0.050.050.15)]25n -⨯++=，解得50n =，故选：B ．【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.5．已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线223312y x -=的一个焦点，则a =（） A ．2 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】先求出双曲线、抛物线的标准方程，再求出双曲线、抛物线的焦点坐标，运算即可得解. 【详解】解：抛物线的方程为2(0)y ax a =>，即其标准方程为2()10x y a a>=，则其焦点坐标为F 1(0,)4a，又双曲线方程为223312y x -=，即其标准方程为2211233y x -=，则其焦点坐标为（0，1），由题意可得，114a=，解得14a =，故选：D ．【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，重点考查了双曲线、抛物线的焦点坐标的求法，属基础题.6．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则（）A ．113212111(())(log )(())233f f f <-<B ．113212111(())(())(log )233f f f <<-C ．113212111(log )(())(())323f f f -<<D ．113212111(())(())(log )323f f f <<-【答案】C【解析】由偶函数性质()()()f x f x f x -==，再结合函数的单调性即可得解. 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1122211(log )(log )(log 3)33f f f -==．又因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且11133221110()()()1log 3332<<<<<，所以113212111(log )(())(())323f f f -<<．故选：C ．【点睛】本题考查了偶函数的性质，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.7．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一．即()046hV S S S '=++，式中h ，S ，S '，0S 依次为几何体的高、上底面积、下底面积、中截面面积．如图，现将曲线21(0)4y x x =≥与直线4y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体，则利用辛卜生公式可求得该几何体的体积为（）A ．16πB ．32πC ．8πD ．16【答案】B【解析】根据“辛卜生公式”：()046hV S S S '=++，根据旋转体特点，结合已知即可得解. 【详解】解：由题意，该几何体的高为h y =时，其截面面积为244x y y π=π⋅=π，故可以利用辛卜生公式求该几何体的体积．由题意可知该几何体中，'0S =，048S π⨯2==π，2416S =π⋅=π，所以所求体积4(16048)326V =⨯++⨯=πππ，故选：B ．【点睛】本题考查了求旋转体体积，解题关键是能够理解“辛卜生公式”，重点考查了理解能力及运算能力，属基础题.8．已知函数2()2cos 23sin 4f x x x =+，则下列判断错误的是（） A ．函数()6y f x π=-的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的值域为[1,3]-D ．()f x 的图象关于点(,1)24-π对称【答案】A【解析】先利用降幂公式及辅助角公式可得()2sin(4)16f x x π=++，再结合三角函数的性质及值域逐一判断即可得解. 【详解】解：由题意，2()2cos 23sin4cos43sin412sin(4)16f x x x x x x π==++=++，对于选项A ，()6f x -π=2sin[4()]2sin(4)121cos46621x x x πππ-++=-+=-+，其最小正周期为242ππ=，故A 错误；对于选项B ，令4++,62x k k ππ=π∈Z ，得,124k x k ππ=+∈Z ，当1k =时，得3x π=，所以B 正确；对于选项C ，()2sin(4)16f x x π=++，由sin(4)[1,1]6x π+∈-，得()[1,3]f x ∈-，所以C正确；对于选项D ，令4+,6x k k π=π∈Z ，得,244k x k ππ=-+∈Z ，当0k =时，24x π=-，所以D 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题.9．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（） A．[1 B．C．(0,3-D．(0,3-【答案】D【解析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得01x =01x =+，要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，结合图象可知035k <<-，所以实数k 的取值范围为(0,35)-，故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题10．命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++<，写出命题p 的否定：__________．【答案】x R ∀∈，2220x x ++≥【解析】由特称命题的否定是全称命题即可得解. 【详解】解：由命题p 是特称命题，则其否定是全称命题，所以命题p 的否定为：x R ∀∈，2220x x ++≥．故答案为：x R ∀∈，2220x x ++≥. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题，属基础题. 11．621()x x的展开式中，2x -的系数为__________．【答案】15【解析】由621()x x 的展开式通项公式656216621C ()()(1)C rr r r r rr T x x x--+=-=-，令6522r-=-，再求解即可. 【详解】解：根据621)x 的展开式通项公式656216621C ()(1)C rr r r r rr T x x--+=-=-可得：令6522r-=-，解得2r =，所以2x -的系数为226C (1)15-=．故答案为：15. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，重点考查了运算能力，属基础题. 12．已知某篮球运动员投篮命中率为34，若在一次投篮训练中连续投篮100次，X 表示投进的次数，则X 的方差()D X =__________．【答案】18.75（填754也得分）【解析】由X 满足二项分布，利用方差公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，X 满足二项分布，故3375()100(1)=18.75444D X =⨯⨯-=，故答案为：18.75．【点睛】本题考查了二项分布及方差的求法，属基础题.13．点P 是圆22:(1)(1)1C x y -+-=上的动点，点Q 是直线:2l x y -=上的动点，若线段PQ 与直线l 的夹角始终为45︒，则线段PQ 的最小值是__________．【答案】2【解析】由点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 距离为d =性质可得||)PQ d r ≥-，再求解即可. 【详解】解：由题意，圆C 的圆心坐标为(1,1)，则圆心到直线:20l x y --=距离为d ==所以||)1)2PQ d r ≥-=故答案为：2【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 14．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为．【答案】3 【解析】试题分析：，所以原式变形为：，所以最小值是3．【考点】基本不等式求最值15．如图，在矩形ABCD 中，已知4AB =，2AD =，点E 是AD 的中点，点F 为边CD 上一点，若AF 与BE 相交于点G ，且10AF BE ⋅=-u u u r u u u r，则EF BG ⋅u u u r u u u r =__________．【答案】–8【解析】先建立平面直角坐标系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，E (0，1)．设(,2)F x ，则(,2)AF x =u u u r ，(4,1)BE =-u u u r，所以4210AF BE x ⋅=-+=-u u u r u u u r，所以3x =，所以(3,2)F ，所以直线AF 的方程为23y x =，易得直线BE 的方程为114y x =-+，联立23114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得128(,)1111G ，所以328(,)1111BG =-u u u r ，又因为(3,1)EF =u u u r，所以3283()181111EF BG ⋅=⨯-+⨯=-u u u r u u u r ，故答案为：-8．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．【答案】（1）（2【解析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c b C B=求解即可；（2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B =，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC V 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+，又3cos 5B =，4sin 5B =，故32422cos 55A =-⨯+⨯=，因为0πA <<，所以272sin 1cos A A =-=．因此πππ2372172+6cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+=⨯+⨯=．【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，2AB =，AC BD O =I ，PO ⊥底面ABCD ，点E 在棱PD 上．（1）求证：平面PBD ⊥平面ACE ；（2）若2OP =，点E 为PD 的中点，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（227．【解析】（1）由线面垂直的性质可得PO AC ⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，即可证明平面PBD ⊥平面ACE ；（2）先由二面角的平面的作法可得POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，再求解即可.【详解】证明：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又BD PO O =I ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ACE ，故平面PBD ⊥平面ACE ．（2）如图，连接OE ，则OE ⊂平面ACE ，由（1）可得，AC OE ⊥，AC OP ⊥，故POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，在菱形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ∠=︒，所以23BD =，3OD =，又2PO =，所以222(3)7PB PD ==+=，由点E 为PD 的中点，易得172OE PD ==，172PE PD ==，所以POE △为等腰三角形，在POE △内过点E 作高，垂足为H ，则1HO =，所以27cos cos 7HO POE HOE OE ∠=∠=== 即二面角P AC E --的余弦值为27．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，重点考查了二面角的平面角的作法及求法，属中档题.18．已知椭圆C ：2222 1(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点到左顶点的距离为1+2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，且以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）27y x -=或27y x +=-．【解析】（1）由已知条件可得22212a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，再求解即可；（2）以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F 等价于0FA FB ⋅=u u u r u u u r ，再联立直线与椭圆方程求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，依题意得2221a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得11a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）联立2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，化简得2234220x mx m ++-=，由2221612(22)8240m m m ∆=-⨯-=-+>，得m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，因为以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，所以0FA FB ⋅=u u u r u u u r．由（1）可知F （1，0），所以11(1,)FA x y =-u u u r ，22(1,)FB x y =-uu r ，所以11221212121212(1,)(1,)(1)(1)()1FA FB x y x y x x y y x x x x y y =-⋅=-⋅-=--++++u u u r u u u r ，因为212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++，所以22121212121212()1()2(1)()+10FA FB x x x x x x m x x m x x m x x m ⋅=+++++++-+=-+=u u u r u u u r ，即222242(1)()+1033m m m m -⨯+--+=，整理得23410m m +-=，解得(m ，所以直线l的方程为y x =，即y x =y x =．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，重点考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题. 19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11b =，2311a S +=，432b a b -=．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21log ,212,2n n n b a n m c n m +=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈，求*121211()()n i i i n c c =-+∈⋅∑N ．【答案】（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）21n n +．【解析】（1）由数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，结合已知条件求其基本量即可得解；（2）由2121n c n -=-，2121n c n +=+，即212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+，再累加求和即可得解.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ．由2311a S +=，432b a b -=，得11211133113a q b d b d a q b d ++=⎧⎨+-=+⎩，将11a =，11b =代入，得23820q d d q +=⎧⎨-=⎩，解得2q =（负值舍去），2d =，故12n n a -=，21n b n =-．（2）由21log ,212,2n n n b a n m c n m+=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈，得2121n c n -=-，2121n c n +=+，所以212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+，所以1212111111111111()(1)(1)233557212122121n i i i n c c n n n n =-+=⨯-+-+-++-=⨯-=⋅-+++∑L ．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了数列裂项累加求和法，属中档题.20．已知函数()ln 1,f x x x ax a =-+∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，求证：21(1)n n n n -+-<+⋅（3）求证：21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-．【答案】（1）(,1]-∞；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）不等式()0f x ≥恒成立等价于1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x ≤+，再构造函数1()ln F x x x=+，利用导数求其最小值即可得解；（2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x ≥-，然后令*21,n x n =>∈N ，即1ln2ln212n nn =>-，再不等式左右两边分别累加求和即可得解；（3）由（1）可知，当1a =时， 1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立，即要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-等价于21e (+ln (e 2)1)01x x x x x--+---≥，即只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥，再构造函数2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，利用导数求证即可.【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由()0f x ≥，得ln 10x x ax -+≥，所以1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x≤+．令1()ln F x x x =+，则'22111()x F x x x x -=-=，令'()0F x >，解得1x >，令'()0F x <，解得01x <<，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．所以函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =，所以1a ≤，即a 的取值范围是(,1]-∞．（2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令*21,n x n =>∈N ，得1ln2ln212n nn =>-，所以11ln212⨯>-，212ln212⨯>-，313ln212⨯>-，L ，1ln212n n ⨯>-，以上各式相加，得2111(12)ln2()222n n n +++>-+++L L ，所以11(1)(1)122ln2112212n n n n n n ⨯-+>-=-+-，即21(1)n n n n -+-<+⋅（3）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立．要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-，即证21e (+ln (e 2)1)01x x x x x --+---≥，只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥．令2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，则'()e 2(e 2)x h x x =---．令()e 2(e 2)x u x x =---，则'()e 2x u x =-．由'()0u x =，得ln2x =．当(0,ln2)x ∈时，'()0u x <，()u x 单调递减；当[ln2,)x ∈+∞时，'()0u x >，()u x 单调递增．即'()h x 在(0,ln2)上单调递减，在[ln2,)+∞上单调递增．而'(0)1(e 2)3e 0h =--=->，'(ln 2)(1)0h h'<=，所以0(0,ln2)x ∃∈，使得'0()0h x =．当0(0,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)e 1(e 2)10h =----=，所以对0x ∀>，()0h x ≥恒成立，即x 2e (e 2)10x x ----≥．综上所述，21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-成立.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型.。

2020年天津立德中学高三数学理联考试卷含解析

2020年天津立德中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合,，则等于（）．．．．参考答案：C2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B.C. D.参考答案：A【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体是半个圆锥，故故答案为：A3. 等差数列前项和为，若，，则（）A．15 B．30 C．31 D．64参考答案：A略4. 已知是虚数单位，则复数的虚部为： ( )A． B． C．D． 1参考答案：C5. 将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．2参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，所得函数的解析式为y=sinω（x﹣），再根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣）的图象，再根据所得图象关于点对称，可得ω??﹣=kπ，k∈Z，求得ω=2k，k∈Z，结合所给的选项，可取ω=2，故选：D．6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B7. 已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，补形找出异面直线所成角，求解三角形得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：几何体是三棱锥A﹣BCD，满足面ACD⊥面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD．最短棱为CD，最长棱为AB．在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，∴四边形BEDC为正方形，可得AE=2，在Rt△AEB中，求得AB=，∴cos∠ABE=．即最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为．故选：A．8. 已知实数x，y满足时，z=（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a≥b＞0）得y=，则斜率k=，则由图象可知当直线y=经过点B（1，4）时，直线y=的截距最大，此时，则a+b=（a+b）（）=1+4+，当且仅当，即b=2a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．设t=，∵a≥b＞0，∴0＜≤1，即0＜t≤1，则1+4+=5+t+在（0，1]上单调递减，∴当t=1时，1+4+=5+t+取得最小值为5+1+4=10．即a+b的最小值为10，故选：D．9. 等差数列的前项的和等于前项的和，若，则（A）3 （B）7 （C）10 （D）4参考答案：C因为，所以，即，于是，可知答案选C.另解：由已知直接求出.10. 曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线方程为（）A．5x＋y＋2＝0 B．y＝5x－2C．y＝5x＋2 D．5x－y＋2＝0参考答案：A曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线斜率为－5，所以切线方程为y＝－5x－2．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x，y为正实数，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中的真命题有．(写出所有真命题的编号)参考答案：①12. 在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={a|a}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量a1=(x1，y1)，a2=(x2，y2)， a1a2，当且仅当“”或“且”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若e1=(1,0)，e2=(0,1)，0=(0,0)，则e1e20；②a1a2,a2a3，则a1a3；③若a1a2，则对于任意a D,(a1+a)(a2+a)；④对于任意向量a0，0=(0,0)，若a1a2，则a a1>a a2．其中真命题的序号为参考答案：①②③13. 已知、满足，则的取值范围是参考答案：14. 已知函数的图像在某两点处的切线相互垂直，则的值为 .参考答案：15. 在△ABC 中，a=3，b=5，C=120°，则c= ．参考答案：7【考点】HR ：余弦定理．【分析】由余弦定理c2=a2+b 2﹣2abcosC ，代入可求．【解答】解：由余弦定理c 2=a 2+b2﹣2abcosC ，==49，∴c=7．故答案为：7．16. 定义在上的函数满足：①（c为正常数）；②当时，.若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于_____参考答案：1或2略17. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为12，则输出的S的值为_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

数学- 2020年3月高三第一次在线大联考(天津卷)(全解全析)

2020年3月高三第一次在线大联考（天津卷）数学全解全析1．【答案】B【解析】由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后，剩下的元素．即(){1,0,1,2,3,4}{|3}{4}U A B x x =-∈>=R I I ð，所以阴影部分所表示的集合是{4}，故选B ． 2．【答案】A【解析】由i 1i z =+，得2i i(1i)i i i11z +==+=-，所以复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，故选A ． 3．【答案】C【解析】显然，函数()f x的定义域为{|0}x x >，故排除B ，D ，根据函数2()ln fx x x =-，可得()f 'x =21212(0)x x x x x --=>，由()f 'x >0，得x ()f x 在)+∞上单调递增，由()f 'x <0得0x <<()f x 在上单调递减，可以排除A ，故选C ． 4．【答案】B【解析】依题意，得[12(0.050.050.15)]25n -⨯++=，解得50n =，故选B ． 5．【答案】D【解析】抛物线2:(0)C y ax a =>，即2()10x y a a >=的焦点为F 1(0,)4a ，双曲线223312y x -=，即2211233y x -=的上焦点坐标为（0，1），由题意，得114a =，解得14a =，故选D ． 6．【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1122211(log )(log )(log 3)33f f f -==．又因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且11322110()()1log 332<<<<，所以113212111(log )(())(())323f f f -<<．故选C ．7．【答案】B【解析】由题意，该几何体的高为h y =时，其截面面积为244x y y π=π⋅=π，故可以利用辛卜生公式求该几何体的体积．由题意可知该几何体中，0S'=，048S π⨯2==π，2416S =π⋅=π，所以所求体积4(16048)326V =⨯++⨯=πππ，故选B ．8．【答案】A【解析】由题意，2()2cos 2cos412sin(4)16f x x x x x x π==+=++，所以()6f x -π=2sin[4()]2sin(4)121cos46621x x x πππ-++=-+=-+，其最小正周期为242ππ=，故A 错误（另解：函数()6y f x π=-的最小正周期与函数()2sin(4)16f x x π=++的最小正周期显然相等，均为242ππ=，故A错误）；令4++,62x k k ππ=π∈Z ，得,124k x k ππ=+∈Z ，当1k =时，得3x π=，所以B 正确；对于()2sin(4)16f x x π=++，由sin(4)[1,1]6x π+∈-，得()[1,3]f x ∈-，所以C 正确；令4+,6x k k π=π∈Z ，得,244k x k ππ=-+∈Z ，当0k =时，24x π=-，所以D 正确．故选A ．9．【答案】D【解析】依题意，画出21e ,0()12,02x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f x g x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得01x =-01x =+()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x的图象恰有三个交点，结合图象可知03k <<k 的取值范围为(0,3，故选D ．10．【答案】x ∀∈R ，2220x x ++≥【解析】命题p 是特称命题，它的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：x ∀∈R ，2220x x ++≥． 11．【答案】15【解析】根据通项公式得656216621C ()(1)C rrrr r rr T x x--+=-=-，令6522r -=-，解得2r =，所以2x -的系数为226C (1)15-=． 12．【答案】18.75（填754也得分）【解析】由于X 满足二项分布，故3375()100(1)=18.75444D X =⨯⨯-=．13．【答案】2【解析】由题意，圆C 的圆心为(1,1)，圆心到直线:20l x y --=距离为d =，所以||)1)2PQ d r ≥-=-14．【答案】32【解析】因为2,3,x y 成等差数列，所以26x y +=．又因为212=x y xy y x ++，且,x y 为正数，所以2x yxy+=11212213(2)()(5)5)6662x y x y y x y x ++=++≥⨯=，当且仅当22x y y x =，即2x y ==时等号成立． 15．【答案】–8【解析】以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，E (0，1)．设(,2)F x ，则(,2)AF x =u u u r ，(4,1)BE =-u u u r ，所以4210AF BE x ⋅=-+=-u u u r u u u r，所以3x =，所以(3,2)F ，所以直线AF 的方程为23y x =，易得直线BE 的方程为114y x =-+，联立23114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得128(,)1111G ，所以328(,)1111BG =-u u u r ，又因为(3,1)EF =u u u r ，所以3283()181111EF BG ⋅=⨯-+⨯=-u u u r u u u r ．16．【答案】（1）；（2【解析】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，（2分）因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．（4分）因为0πB <<，所以4sin 5B ，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（7分）（2）在ABC △中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，（8分）于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+，又3cos 5B =，4sin 5B =，故34cos 55A =-=，因为0πA <<，所以sin A ．（13分）因此πππ1cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+==．（14分） 17．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】方法一：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，（4分）又BD PO O =I ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ACE ，故平面PBD ⊥平面ACE ．（7分）（2）如图，连接OE ，则OE ⊂平面ACE ，由（1）可得，AC OE ⊥，AC OP ⊥，（9分）故POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，在菱形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ∠=︒，所以BD =，OD ，又2PO =，所以PB PD =，由点E 为PD的中点，易得12OE PD ==，12PE PD =，所以POE △为等腰三角形，在POE △内过点E 作高，垂足为H ，则1HO =，所以cos cosHOPOE HOEOE∠=∠==14分）即二面角P AC E--．（15分）方法二：易知菱形ABCD中，AC BD⊥，又PO⊥平面ABCD，故以点O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）易知平面PBD的一个法向量为(0,1,0)=n，由2AB=，120BAD∠=︒，可知(0,1,0),(0,1,0)A C-，则(0,2,0)AC=u u u r，（4分）所以ACu u u rP n，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面ACE，故平面PBD⊥平面ACE．（7分）（2）易知平面PAC的一个法向量为(1,0,0)=u，设平面ACE的法向量为(,,)x y z=v，由已知得，(0,0,2),((P D E，所以(1,1)CE=-u u u r，（9分）则200AC y CE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u ru u u r v v ，取2x =，得=v 是平面ACE 的一个法向量，（12分）所以cos ,〈〉=u v ，（14分）即二面角P AC E --．（15分） 18．【答案】（1）2212x y +=；（2）y x =或y x =．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，依题意得2221a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩，解得11a c b ⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值舍去），所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（5分）（2）联立2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，化简得2234220x mx m ++-=，由2221612(22)8240m m m ∆=-⨯-=-+>，得m <．（8分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，（10分）因为以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，所以0FA FB ⋅=u u u r u u u r．（11分）由（1）可知F （1，0），所以11(1,)FA x y =-u u u r ，22(1,)FB x y =-u u u r，所以11221212121212(1,)(1,)(1)(1)()1FA FB x y x y x x y y x x x x y y =-⋅=-⋅-=--++++u u u r u u u r，因为212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++，所以22121212121212()1()2(1)()+10FA FB x x x x x x m x x m x x m x x m ⋅=+++++++-+=-+=u u u r u u u r，即222242(1)()+1033m mm m -⨯+--+=，整理得23410m m +-=，解得(m =，所以直线l的方程为y x =，即y x =y x =．（15分）19．【答案】（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）21nn +．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ．由2311a S +=，432b a b -=，得11211133113a q b d b d a q b d++=+-=+⎧⎨⎩，（4分）将11a =，11b =代入，得23820q d d q +=⎧⎨-=⎩，解得2q =（负值舍去），2d =，故12n n a -=，21n b n =-．（7分）（2）由21log ,212,2n n n b a n m c n m+=-⎧=⎨=⎩，其中*m ∈N ，得2121n c n -=-，2121n c n +=+，（11分）所以212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+，（13分）所以1212111*********()(1)(1)233557212122121ni i i nc c n n n n =-+=⨯-+-+-++-=⨯-=⋅-+++∑L ．（15分）20．【答案】（1）(,1]-∞；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由()0f x ≥，得ln 10x x ax -+≥，所以1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x ≤+．令1()ln F x x x =+，则22111()x F'x x x x-=-=，（2分）令()0F'x >，解得1x >，令()0F'x <，解得01x <<，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．所以函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =，所以1a ≤，即a 的取值范围是(,1]-∞．（6分）（2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令*21,n x n =>∈N ，得1ln2ln212nnn =>-，（8分）所以11ln212⨯>-，212ln212⨯>-，313ln212⨯>-，L ，1ln212n n ⨯>-，以上各式相加，得2111(12)ln2()222n n n +++>-+++L L ，所以11(1)(1)122ln2112212n n n n n n ⨯-+>-=-+-，即21(1)n n n n -+-<+⋅12分）（3）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x +-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立．要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-，即证21e (+ln (e 2)1)01x x x x x--+---≥，只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥．令2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，则()e 2(e 2)x h'x x =---．令()e 2(e 2)x u x x =---，则()e 2x u'x =-．由()0u'x =，得ln2x =．当(0,ln2)x ∈时，()0u'x <，()u x 单调递减；当[ln2,)x ∈+∞时，()0u'x >，()u x 单调递增．即()h'x 在(0,ln2)上单调递减，在[ln2,)+∞上单调递增．而(0)1(e 2)3e 0h'=--=->，(ln2)(1)0h'h'<=，所以0(0,ln2)x ∃∈，使得0()0h'x =．（14分）当0(0,)x x ∈时，()0h'x >，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0h'x <，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h'x >，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)e 1(e 2)10h =----=，所以对0x ∀>，()0h x ≥恒成立，即x 2e (e 2)10x x ----≥．综上所述，21e 2ln (e 2)xx x x x+≥-++-成立．（16分）。

数学- 2020年3月高三第一次在线大联考(天津卷)(考试版)

f
((
1
)
1 3
)
2
f
((
1
)
1 2
)
3
D．f((来自1)1 2
)
3
f
((
1
)
1 3
)
2
f ( log1
2
1) 3
7．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这
两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次）多项式函数，那么这个几何体
的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一．即 V
A．函数
y
f
(x
) 的最小正周期为
6
C． f (x) 的值域为 [1,3]
B．
f
(x)
的图象关于直线
x
3
对称
D． f (x) 的图象关于点 ( ,1) 对称 24
9．已知函数
f
(x)
1 ex , x 0
1 2
x2
2x,
x
0
，函数
g(x)
k(x
1)
，若方程
f
(x)
g(x) 恰有三个实数解，则实数
h 6
S
S
4S0 ，
式中
h
，S
，S ，S0
依次为几何体的高、上底面积、下底面积、中截面面积．如图，现将曲线
y
1 4
x2
(x
0)
与直线 y 4 及 y 轴围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周得到一个几何体，则利用辛卜生公式可求得该几何
体的体积为
A． 16
B． 32

天津市2020届高三数学3月九校联考试题理(含解析)

17.在多面体
中，四边形
是正方形，平面 .
平面，
（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面
与平面
所成的锐二面角的大小为，若
存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【解析】【分析】 (1)由面面垂直的性质定理证明线面垂直即可； (2)在平面 DAE 内，过 D 作 AD 的垂线 DH，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面 FAG 的法向量和平面 EAD 的法向量求二面角的余弦值即可确定线段上是否存在点 . 【详解】(1)∵平面 ADE⊥平面 ABCD，平面 ADE∩平面 ABCD=AD，
天津市 2020 届高三数学 3 月九校联考试题理（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合均为全集
的子集，且
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
,因为
，所以中必有元素，
【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于
由图可得：
.
故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数确定参数的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（将答案填在答题纸上）
9.设复数满足
其中为虚数单位，则复数的虚部是_______．
【答案】1 【解析】【分析】
由题意可得：
，据此结合复数的运算法则计算确定 z 的虚部即可.
12.已知三棱锥
中，面，

2020年天津大港区第九中学高三数学理月考试题含解析

2020年天津大港区第九中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 关于函数，下列叙述有误的是( ）A. 其图象关于直线对称B. 其图象关于点对称C. 其值域是[－1,3]D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到参考答案：B【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。

【详解】当时，，为函数最小值，故A正确；当时，，，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；函数的值域为[－1,3]，显然C正确；图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D正确。

综上，故选B。

【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键。

2. 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B．3. 已知函数，，且f(x)在区间上递减，则（）A．2 B．3 C．6 D ．5参考答案：A4. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则等于A． B． C．1 D．2参考答案：B略5. 函数的递增区间是（）A.〔，）B.（，〕C.〔，〕D.〔，3〕参考答案：C6. 若是任意实数，且,则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．参考答案：D用特殊值法，可以排除A，B，C，由函数的性质可知，D正确。

天津市滨海新区2020届高三数学毕业班联考试卷理

天津市滨海新区2020届高三数学毕业班联考试卷理本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，上交答题卡。

参考公式：（1）34,3V R π=球（2） ,V S h =柱底 (3)1.3V S h =锥底 (4)若事件,A B 相互独立，则A 与B 同时发生的概率()()()P A B P A P B ⋅=⋅.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足i z i +-=-31）（，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤-+0001x y x y x ，则y x z 32-=的最小值是( )A. 1B. -21C. -3D. 0 3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4.已知集合{}5|4||1||<-+-=x x x A ，集合{})2(log ||22x x y x B -==，则””是““B x A x ∈∈的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 若dx x c b a ⎰===-π21sin 41,5,2ln ，则c b a ,,的大小关系为（）A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >>6. 在△ABC 中，23sin )sin(=+-A C B ，AB AC 3=，则角C ＝( ) A. π2 B. π3 C.π6或π3 D. π67.已知双曲线1322=-y x 的右焦点恰好是抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且M 为抛物线的准线与x 轴的交点，N 为抛物线上的一点，且满足||23||MN NF =，则点F 到直线MN 的距离为（）A. B. 1 C. D. 28. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(12)0(1)(2x x x x e xx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．]3,2()11,1(⋃+eB. }13{]3,2()11,1(ee +⋃⋃+C. }13{)3,2[)11,1(ee +⋃⋃+ D. ]3,2()21,1(⋃+e第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9. 在二项式251()x x-的展开式中，含7x 的项的系数是10.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是)(22221为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，则||AB ＝_________11.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是12.在平行四边形ABCD 中，,1,2==AD AB ∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若F 是线段 BC 上一动点，则⋅的取值范围是_________13. 若正实数,x y ，满足52=+y x ，则yy x x 121322-++-的最大值是 14. 3个男生和3个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共俯视图（第11题图）21侧（左）视图42正（主）视图有种（用数字作答）三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. (本小题满分13分) 已知函数21)6(sin )2cos(cos 3)(2--+-=ππx x x x f . （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若63)(],4,0[=∈x f x π，求cos2x 的值；16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片，2张印有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元，抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金。

天津市九校联考2023届高三模拟考试数学试题

试卷第21 页，共33 页
艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为 12 的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）
A． 4 6
B． 4 3
C． 2 6
D．6
9．已知函数
f
(x)
试卷第11 页，共33 页
A．样本的众数为 65
C．样本的平均值为 67.5
1000 人
5．设
a
=
log
1 2
3
,
b
=
1
e2
,
c
=
lg
2
,则（
）
B．样本的第 80 百分位数为 72.5 D．该校学生中低于 65kg 的学生大约为
A． a < b < c C． c < a < b
B． b<c<a D． a < c < b
(1)求角 B 的大小；
试卷第41 页，共33 页
(2)设 a = 4 ， b = 2 7 ．（ⅰ）求 c 的值；
（ⅱ）求 sin (2C + B) 的值．
17．如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^ 底面 ABC ， ÐBAC = 90° ．点 D ， E ， N 分别
为棱 PA ， PC ， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA = AC = 2 ， AB = 1．
=
Acos(wx + j ) （
A > 0 ，w
>0，
j
<
π 2
）的部分图象如图所示，关