线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
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线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
探索新的实对称矩阵对角化方法
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
1线性代数 4.4实对称矩阵的对角化
2 x2 2 x3 0,
1
解之得基础解系
3 2.
2
第三步 将特征向量正交化.
因为1, 2 , 3是属于 A的 3 个不同特征值的
特征向量, 故它们必两两正交.
第四步 将特征向量单位化.
令 i
i i
,i
1,2,3,得
2 / 3
2 / 3
1/ 3
1 2/ 3 , 2 1/ 3 , 3 2/ 3.
由的任意性, 知实对称矩阵的特征值
都是实数.
性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征 向量是正交的。
证明 : 设1, 2是实对称阵 A的两个特征值 , (1 2 ),
x1, x2是对应于 1, 2的特征向量 ,
即
Ax1 1x1, Ax2 2 x2
由A AT , 有1x1T (1x1)T ( Ax1)T x1T AT x1T A
2
解之得基础解系
1 2 .
1
对 2 1,由(E A)x 0,得
x1 2 x2
0,
2
x1
2 x3 0,
2 x2 x3 0,
解之得基础解系
2
2 1 .
2
对 3 2,由(2E A)x 0,得
4 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
i , (i 1,2,, n)
,解齐次
线性方程组 (i E A)x 0
找出基础解系 pi1 , pi2 ,, pis
3）、将 p1, p2 ,, pn 正交化，单位化 ，
得一组正交单位
向量 1,2 ,,n ,这组列向量就构成了
正交矩阵 P
例4.4.2
已知1 6，2 3 3是实对称矩阵A的三个特征值，
实对称矩阵的对角化
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
线性代数—实对称矩阵的对角化
8 − 14 T T (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0)T . = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
第四节：实对称矩阵的对角化
。
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
思考题1解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
阵 ,且秩 r,故 为 存在 P ,使 可 得 逆阵
P1AP Er 0, 0 0
其中 Er是 r阶单位 . 阵 从 d 2 E 而 e A ) d t 2 P ( P e 1 P t P 1 ) (
矩P 阵 1,使得 P 1 1 A P 1 d ( n , i 0 , a , 0 )g ,
还可求得
de B tE ()(n )( )n 1,
即B与A有相同的特征 . 值
对应特 2 征 值 n0,有 n1个线性无
特征,故 向存量 在可逆 P2矩 ,使阵 得 P2 1BP2 ,
从而 P 1 1 A P 1 P 2 1 B P 2 ,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2 2 0 例 设A2 1 2,求一个正交矩阵P，
0 2 0 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
1 Tx1x2x30.
解之得基础解系
2
-1
1
，
3
-1
0
.
0
1
, 即 与 特 征 值 = - 1 相 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
2 3
将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
思考题1解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
阵 ,且秩 r,故 为 存在 P ,使 可 得 逆阵
P1AP Er 0, 0 0
其中 Er是 r阶单位 . 阵 从 d 2 E 而 e A ) d t 2 P ( P e 1 P t P 1 ) (
矩P 阵 1,使得 P 1 1 A P 1 d ( n , i 0 , a , 0 )g ,
还可求得
de B tE ()(n )( )n 1,
即B与A有相同的特征 . 值
对应特 2 征 值 n0,有 n1个线性无
特征,故 向存量 在可逆 P2矩 ,使阵 得 P2 1BP2 ,
从而 P 1 1 A P 1 P 2 1 B P 2 ,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2 2 0 例 设A2 1 2,求一个正交矩阵P，
0 2 0 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
1 Tx1x2x30.
解之得基础解系
2
-1
1
，
3
-1
0
.
0
1
, 即 与 特 征 值 = - 1 相 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
2 3
将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
实对称矩阵正交对角化证明
实对称矩阵正交对角化证明实对称矩阵正交对角化是线性代数中非常重要的一个结果，它将一个实对称矩阵通过一个正交矩阵相似变换为对角矩阵。
这个结果在矩阵理论、物理学等领域有着广泛的应用。
下面我们将通过引入必要的定义、定理和证明，来生动、全面地讨论实对称矩阵正交对角化的证明。
首先，我们需要引入一些必要的定义。
一个矩阵是实对称矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且满足矩阵的转置等于它本身。
一个矩阵是正交矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且满足矩阵的转置乘以矩阵等于单位矩阵。
一个矩阵是对角矩阵，当且仅当它是一个方阵，并且除了对角线上的元素外，其他元素都为零。
接下来，我们引入一个非常重要的定理，即实对称矩阵的特征值是实数，且特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
这个定理的证明可以通过使用实对称矩阵对特征值问题的标准解法，即求解矩阵的特征多项式的根来完成。
我们不再详细证明这个定理。
有了上述定义和定理，我们可以开始证明实对称矩阵正交对角化的结论。
证明：对于一个n阶实对称矩阵A，我们需要证明存在一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以A再乘以P结果为一个对角矩阵。
首先，我们考虑实对称矩阵A的特征值和特征向量。
根据前面提到的定理，特征值都是实数，且对应特征值的特征向量是正交的，即如果特征值λ1和λ2不相等，则对应的特征向量v1和v2满足v1·v2=0，其中·表示向量的内积。
另外，不同特征值对应的特征向量也是线性无关的。
我们将这些特征向量组成一个矩阵P，其中每一列是一个特征向量。
显然，P是一个正交矩阵，因为P的每一列都是单位长度的，并且两两正交。
同时，由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的，所以P是可逆的。
下面我们证明P的逆矩阵乘以A再乘以P结果为一个对角矩阵D。
对于P的第i列，设其对应的特征值为λi，则有AP=PD，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。
左乘P的逆矩阵P-1，我们得到了P-1AP=DP-1，即A=PDP-1。
实对称矩阵的对角化
9
1
1
4
例4 将向量组 1 2 , 2 3 , 3 1
标准正交化.
1
1
0
解 2
1 2
1 , ( 2 , 1 )
(1, 1)
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 1
,
2
1 1
1
,
3
3
( 3 , 1 ) (1, 1)
第三节
实对称矩阵的对角化
并非所有方阵都可对角化,但是实对称 矩阵必可对角化.
为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要 研究向量内积和正交的概念和性质。
2
一、向量的内积, 正交和长度
定义 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an )T , (b1 , b2 ,, bn )T
的内积( , ) 定义为：
( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1T3 0 ,2T3 0 ,
即解齐次线性方程组,其系数矩阵为
1 1
1 2
11
1 0
1 3
10 ,
27
1 1
1 2
111(1,10,11)T
,
1 3
2
10(1,,基2,础1)解T 系, 为(1,0,1)T
,
属于特征值3的特征向量为 3 k(1,0,1)T ,k 为任意常数;
1 (2) 记 P 1 1
即 1, 2 , ,n 是单位正交向量组．
第四节 实对称矩阵的对角化
3. 对基础解系i1,i2 ,L ,iri 进行施密特正交化和单位化 得到正交的单位向量组i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
实对称矩阵对角化
给定 n 阶矩阵A，则 x → Ax
定义了一个从 Rn中到 Rn自身的映射，称之为 线性变换。 若 A 为正交矩阵，则称之为正交变换。
正交变换
性质：设 A 为正交矩阵，x1，x2Rn，y1=Ax1，
y2=Ax2，则
(y1，y2) = (x1，x2)； 保内积
||y1|| = ||x1||；
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。 称 A 为单位正交基 (标准正交基、规范正交基)： (1) A 是正交基；(2) A 中向量都是单位向量。
正交化方法
Schmidt方法： (1) 将向量 2“转到”与 1 垂直的地方； (2) 将向量 3“转到”与 1，2 垂直的地方；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则 (1) 为 A 的特征值 为实数；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则
(1) 为 A 的特征值 为实数；
证明：设 A = ， ≠ 0，则
T A T 取共轭得 T A T T 取转置得 T A T 于是， ， 即 为实数。
第 k 个分量
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。
正交向量组
…… 类似地，可以求出其它向量
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。 性质：(1) A为正交阵 A的列向量1，2，， n为Rn中的标准正交向量组，即标准正交基；
定义了一个从 Rn中到 Rn自身的映射，称之为 线性变换。 若 A 为正交矩阵，则称之为正交变换。
正交变换
性质：设 A 为正交矩阵，x1，x2Rn，y1=Ax1，
y2=Ax2，则
(y1，y2) = (x1，x2)； 保内积
||y1|| = ||x1||；
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。 称 A 为单位正交基 (标准正交基、规范正交基)： (1) A 是正交基；(2) A 中向量都是单位向量。
正交化方法
Schmidt方法： (1) 将向量 2“转到”与 1 垂直的地方； (2) 将向量 3“转到”与 1，2 垂直的地方；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则 (1) 为 A 的特征值 为实数；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则
(1) 为 A 的特征值 为实数；
证明：设 A = ， ≠ 0，则
T A T 取共轭得 T A T T 取转置得 T A T 于是， ， 即 为实数。
第 k 个分量
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。
正交向量组
…… 类似地，可以求出其它向量
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。 性质：(1) A为正交阵 A的列向量1，2，， n为Rn中的标准正交向量组，即标准正交基；
实对称矩阵一定可以正交对角化证明
实对称矩阵一定可以正交对角化证明实对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于本身。
这种矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。
而正交对角化是指将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。
下面我们来证明实对称矩阵一定可以正交对角化。
首先，我们知道实对称矩阵的特征值都是实数。
这可以通过谱定理来证明。
谱定理指出，对于任意一个实对称矩阵A，都可以通过正交变换Q将其对角化成一个对角矩阵D，即：A = QDQ^T其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ = I，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是A的特征值。
接下来，我们需要证明正交矩阵可以将任意实矩阵对角化。
这可以通过施密特正交化方法来证明。
施密特正交化方法是将一个线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
对于任意一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组{u1, u2, ..., un}：1. 令u1 = v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。
2. 对于i = 2, 3, ..., n，令ui = vi - (ui-1·vi)ui-1 - ... - (ui-1·v1)u1，其中·表示向量的内积。
3. 对于i = 1, 2, ..., n，令ei = ui/||ui||，其中||ui||表示ui的模长。
这样得到的向量组{e1, e2, ..., en}就是一个正交向量组。
此外，我们还可以通过调整每个向量的符号，将其转化为一个标准正交向量组，即ei·ej = δij，其中δij为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。
因此，对于任意一个实矩阵A，我们可以通过施密特正交化方法将其列向量转化为一个正交向量组Q。
这样，我们就得到了一个正交矩阵Q，满足Q^TQ = I。
接着，我们可以将A转化为一个对角矩阵D，其中D的对角线上的元素就是A的特征值。
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1
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
1 1 1
得 13 ,230 .
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
一. 实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理3.4.1 对称矩阵的特征值为实数.
定理3.4.1的意义
由于对称矩A的 阵特征值 i为实数 ,所以齐次
线性方程组
(Ai E)x 0 是实系数方程 ,由组 Ai E 0知必有实的基础解
系,从而对应的特征向以量取可实向.量
下 面 设 n阶 对 称 矩 阵 A的 特 征 多 项 式 均 为 ：
fA1n1 2n2 mnm，
其 中 n1n2 nmn,i j,ij.
定 理 3 . 4 . 3 设 1 ,2 是 对 称 矩 阵 A 的 两 个 特 征 值 ,p 1 , p 2 是 对 应 的 特 征 向 量 ,若 1 2 ,则 p 1 与 p 2 正 交 .
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
思考题1解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
阵 ,且秩 r,故 为 存在 P ,使 可 得 逆阵
P1AP Er 0, 0 0
其中 Er是 r阶单位 . 阵 从 d 2 E 而 e A ) d t 2 P ( P e 1 P t P 1 ) (
定理3.4.3 设A为n阶对称矩阵,则必有n阶 正交矩阵P,使得
P1 AP, 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.
定 理 3 . 4 . 3 表 明 ： 设 A 为 n 阶 对 称 矩 阵 ,是 A 的 特 征 方 程 的 r重 根 , 则 矩 阵 A E的 秩 R (A E )nr, 从 而 对 应 特 征 值 恰 有 r个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
P 1 A P P 1 P
其 中 d i a g 1 ,,1 ,2 ,,2 ,,m ,,m
二. 实对称矩阵的对角化
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值 ;
2. 由 A iE x0 ,求 A 的 出特 ; 征
de 2E t ( )detEr 0
2nr.
0 2Enr
1 Tx1x2x30.
解之得基础解系
2
-1
1
，
3
-1
0
.
0
1
, 即 与 特 征 值 = - 1 相 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
2 3
将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
将特征向量单位化
令 i
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
1
当 1 3 时 , 求 得 A 3 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
当 2 3 = 0 时 , 求 得 A 0 E x 0 的 基 础 解 系 为
-1
-1
2
1
，
3
0
.
0
1
对 应 ni重 特 征 值 i(i1,2, ,s),恰 有 ni个 线 性 无
关 的 实 特 征 向 量 ,把 它 们 正 交 化 并 单 位 化 ,即 得 ni个 单 位 正 交 的 特 征 向 量 .
由 n 1 n 2 n m n 知 ,
这样的特征向量共可得 n个.
由定理3.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n个单位特征向量两两正交.
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2 2 0 例 设A2 1 2,求一个正交矩阵P，
0 2 0 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
i i
,
i1,2,3.
1
3
1
2
1
6
得
1 Βιβλιοθήκη 1 3,2
1 2
,
3
1 6
.
1
0
2
3
6
命P1 ， 2 ， 3,
5 0 0 1 2 2
则AP0 1 0P1 2 1 2.
0 0 1
2 2 1
思考题1
设 n 阶实对 A 满A 称 2 足 A ,矩 且 A 的 阵 秩 r, 为
第三步 将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
1
3
1
2
1
6
得
1
1 3
,
2
1 2
,
3
1 6
.
1
0
2
3
6
命P1 ， 2 ， 3,
3 0 0
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
1 1 1
得 13 ,230 .
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
一. 实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理3.4.1 对称矩阵的特征值为实数.
定理3.4.1的意义
由于对称矩A的 阵特征值 i为实数 ,所以齐次
线性方程组
(Ai E)x 0 是实系数方程 ,由组 Ai E 0知必有实的基础解
系,从而对应的特征向以量取可实向.量
下 面 设 n阶 对 称 矩 阵 A的 特 征 多 项 式 均 为 ：
fA1n1 2n2 mnm，
其 中 n1n2 nmn,i j,ij.
定 理 3 . 4 . 3 设 1 ,2 是 对 称 矩 阵 A 的 两 个 特 征 值 ,p 1 , p 2 是 对 应 的 特 征 向 量 ,若 1 2 ,则 p 1 与 p 2 正 交 .
试求d行 e 2E t 列 A 的 式 . 值
思考题1解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
阵 ,且秩 r,故 为 存在 P ,使 可 得 逆阵
P1AP Er 0, 0 0
其中 Er是 r阶单位 . 阵 从 d 2 E 而 e A ) d t 2 P ( P e 1 P t P 1 ) (
定理3.4.3 设A为n阶对称矩阵,则必有n阶 正交矩阵P,使得
P1 AP, 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.
定 理 3 . 4 . 3 表 明 ： 设 A 为 n 阶 对 称 矩 阵 ,是 A 的 特 征 方 程 的 r重 根 , 则 矩 阵 A E的 秩 R (A E )nr, 从 而 对 应 特 征 值 恰 有 r个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
P 1 A P P 1 P
其 中 d i a g 1 ,,1 ,2 ,,2 ,,m ,,m
二. 实对称矩阵的对角化
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1. 求A的特征值 ;
2. 由 A iE x0 ,求 A 的 出特 ; 征
de 2E t ( )detEr 0
2nr.
0 2Enr
1 Tx1x2x30.
解之得基础解系
2
-1
1
，
3
-1
0
.
0
1
, 即 与 特 征 值 = - 1 相 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
2 3
将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
将特征向量单位化
令 i
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
1
当 1 3 时 , 求 得 A 3 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
当 2 3 = 0 时 , 求 得 A 0 E x 0 的 基 础 解 系 为
-1
-1
2
1
，
3
0
.
0
1
对 应 ni重 特 征 值 i(i1,2, ,s),恰 有 ni个 线 性 无
关 的 实 特 征 向 量 ,把 它 们 正 交 化 并 单 位 化 ,即 得 ni个 单 位 正 交 的 特 征 向 量 .
由 n 1 n 2 n m n 知 ,
这样的特征向量共可得 n个.
由定理3.4.2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n个单位特征向量两两正交.
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2 2 0 例 设A2 1 2,求一个正交矩阵P，
0 2 0 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
i i
,
i1,2,3.
1
3
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2
1
6
得
1 Βιβλιοθήκη 1 3,2
1 2
,
3
1 6
.
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命P1 ， 2 ， 3,
5 0 0 1 2 2
则AP0 1 0P1 2 1 2.
0 0 1
2 2 1
思考题1
设 n 阶实对 A 满A 称 2 足 A ,矩 且 A 的 阵 秩 r, 为
第三步 将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
1
3
1
2
1
6
得
1
1 3
,
2
1 2
,
3
1 6
.
1
0
2
3
6
命P1 ， 2 ， 3,
3 0 0