第6课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

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二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(七大类型)(题型专练)(原卷版)

专题06 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（七大类型）【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴问题】1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（）A．（1，﹣4）B．（1，4）C．（0，﹣3）D．（2，﹣3）2．（2022秋•合川区期末）抛物线y＝﹣x2﹣6x的顶点坐标是（）A．（﹣3，9）B．（﹣3，﹣9）C．（3，﹣9）D．（3，9）3.（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定4．（2022秋•连平县校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表，则该函数图象的顶点坐标为（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）5．（2022秋•南充期末）若二次函数y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为（）A．c＝2B．c＝1C．c＝﹣2D．c＝06．（2022秋•新会区期末）二次函数y＝﹣x2+2x+m图象的顶点坐标是（1，3），则m＝（）A．1B．2C．3D．57．（2022秋•兰山区校级期末）已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．（2023•亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+8具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+4B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4D．y＝﹣2x2+4x 9．（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】10．（2021秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+311.（2023•温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（）A．2B．3C．4D．512.（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位13．（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3C．b＝0，c＝6D．b＝4，c＝614．（2023•阳泉二模）某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为y＝x2﹣6x+14，则原抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣4x+1B．y＝x2﹣4x+5C．y＝x2﹣8x+25D．y＝x2﹣8x+17 15．（2023•宁波模拟）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，则n 的值可以是（）A．3B．4C．5D．6 16．（2023•涡阳县模拟）将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣2x+3B．y＝x2﹣2x+4C．y＝x2+2x+4D．y＝x2+2x+3 17．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝6 18．（2023•坪山区一模）把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】19.（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小20.（2022秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5 21．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1 22．（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③B．①④C．①③④D．①②③④23．（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：x…1346…y…8182018…下列结论中，正确的是（）A．抛物线开口向上B．对称轴是直线x＝4C．当x＞4时，y随x的增大而减小D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大24．（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小25．（2022秋•苏州期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2 26．（2023•会昌县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…则以下结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1C．m的值为0D．抛物线不经过第三象限27．（2022秋•槐荫区期末）下列关于抛物线y＝x2+2x﹣3的说法正确的是①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣2；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④28．（2023•青白江区模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣7，下列结论正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，﹣1）C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．与x轴只有一个交点【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】29．（2023•天宁区模拟）已知点A（m，y1）B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞﹣3C．m＜﹣2D．m＞﹣2 30．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A （x1，y1），B（x2，y2），C（4，0）均在该抛物线上，且x1＜﹣2＜x2＜4，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞0B．0＞y2＞y1C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1 31．（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较32．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B （x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断33．（2023•灞桥区校级模拟）已知点A（n，y1）、B（n+2，y2）、C（x，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则n的取值范围是（）A．n＞﹣3B．n＜﹣3C．n＜﹣2D．n＞﹣2 34．（2023•莲池区二模）已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（）A．n≤1B．n＜2C．1＜n＜2D．n＞2【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】35．（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6 36．（2022秋•汝阳县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2 37.（2022秋•蔡甸区校级月考）已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣638.（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣B．4或﹣C．﹣4或D．4或39．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c 的值等于（）A．4B．﹣4C．﹣16D．1640．（2022秋•桥西区校级期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5B．﹣5或C．5或D．﹣5或41．（2022秋•长安区期末）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（）A．b＝2，c＝4B．b＝﹣2，c＝﹣4C．b＝2，c＝﹣4D．b＝﹣2，c＝4 42．（2022秋•宜阳县期末）当x＝﹣时，二次函数y＝2x2+3x﹣1的函数值最小．43．（2022秋•东丽区期末）当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则m的值为．44．（2022秋•天河区校级期末）当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，则a的值为．【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】45．（2023•大观区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（）A．B．C．D．46．（2023•老河口市模拟）二次函数y＝mx2+2x+n（m≠0）与一次函数y＝mx+mn 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．47.（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．48.（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．49．（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】50．（2023•顺庆区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0．②2a+b＜0．③4a+2b+c＜0．④4ac﹣b2＞8a．⑤a≤﹣1．其中，结论正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个51．（2023•兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤当x＝1数有最大值；⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；其中正确的序号有（）A．①②④B．②③⑤C．④⑤⑥D．②④⑤52．（2023•潮南区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0：②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中正确结论的个数是（）A．4B．1C．2D．3。

二次函数的图形与性质PPT教学课件

探究一
在同一坐标系中画出下列函数的图象：
y 3x2 ; y 3x2 2 ; y 3(x 1)2.
思考：它们的图象之间有什么关系？
y
o
x
【解析】
函数 y 3x 2 2的图象
向上平移2个单位
函数 y 3x2 的图象
向右平移1个单位
函数 y 3( x 1)2 的图象
y
o
x
【归纳升华】
连接中考：
• 13.正确描述昌乐西瓜、青州银瓜共同特点
的是 C
• A．两性花，自花传粉 • B.两性花，雌雄同株 • C.单性花，异花传粉 • D.单性花，雌雄异株
连接中考：
• 14.右图为青州蜜桃切面图，图中所示结构a
是由（ D）发育而来的。
• A.胚珠 • B.珠被 • C.受精卵 • D.子房壁
菜豆种子与玉米种子萌发过程的异同
相同点：种子吸水膨胀；胚根首先突破种皮，发育成根。随着胚轴伸长，使胚芽露出地面，胚芽发育成茎和叶。种子的胚就发育成幼苗。
不同点：菜豆种子的子叶包着胚芽出土，玉米种子的子叶不出土；玉米种子的胚乳留在土中；菜豆种子萌发所需的营养来自子叶，玉米种子萌发所需的营养来自于胚乳。
开口方向向上向下
对称轴顶点坐标直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
抓着今天，你就会前进一步；丢弃今天，你就会停滞不动.
第一章绿色开花植物的一生
自问自答：
• 1、完全花的结构？ • 2、解剖花实验？ • 3、单性花和两性花？举例 • 4、雌雄同株植物和雌雄异株植物? 举例 • 5、单生花和花序？举例

_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质

二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。

利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。

它们之间的关系如下：系数图象的特征系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。

二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件

例4 如图，四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|，因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减在对称轴左侧递增在对称轴右侧递增在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.

用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,ab ac y 442min -=;当0<a 时,a b ac y 442max -=. 虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质. 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a 的值”、“*”、“x ”、“∧”、“2”、“+”、“b 的值”、“*”、“x ”、“+”、“c 的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c bx ax x f ++=2的图象.如图4所示.4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y ”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P ,选中点P 和x 轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q .双击点P ,选中点Q ,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ 的中点'Q .6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,作图完成.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a∴7812=++-=++k h a∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x （D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y . 对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

教案教学内容二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质一、学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质；2.通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y=ax²+bx+c的性质，并会灵活应用.二、知识回顾：1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的相同，不同.抛物线y=ax2向平移个单位，向平移个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）对称轴是直线x=h.（3）顶点坐标是（h,k）.3．二次函数y=ax2，y=ax2+k的性质有哪些？请填写下表．二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2（x+3）2+5y=-3（x-1）2-2y=4（x-3）2+7y=-5（2-x）2-6三、知识梳理：1、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）二次函数y=ax²+bx+c的顶点和对称轴：一般地，二次函数y=ax ²+bx+c 可以通过配方化成y=a （x-h ）²+k 的形式，即y=a （x+a 2b ）2+a 4b -ac 42，所以二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的顶点为（-a 2b ，a 4b -ac 42），对称轴是直线x=-a2b。

例如y=x ²-2x+3可以配方成y=（x-1）²+2，其顶点为（1,2），对称轴为直线x=1. （2）二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的作法：二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的图象的常见作法有两种：五点法和平移法。

方法一：五点法①通过配方将二次函数y=ax ²+bx+c 化成二次函数的形式； ②确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴； ③以顶点为中心，左右对称各取两对点的坐标； ④用平滑的曲线将描出的点顺次连接起来。

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

注意：一个二次函数必须同时满足三个条件： ①函数表达式是整式； ②化简后的自变量的最高次数是2； ③二次项系数不等于0
二、图象特征
（1）二次函数 y ax 2 bx c（a 0) 的图象是一条抛物线。
顶点坐标是（ -
b 2a
, 4ac b 2 4a
），对称轴是直线
x
b 2a
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
2a
4a
y x
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
y
x
开口方向顶点坐标对称轴增减性最值
向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时, 最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, 最大值为 4ac b2
2a
4a
三、确定二次函数的表达式
（1）一般式（知三点）：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线顶点坐标
对称轴位置
开口方向增减性最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件(人教版)

抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x=-b ,顶点
是
2a
b 4ac b2
b
4ac b2
（- 2a， 4a ）。当x=- 2a 时，函数取最值 4a ；
b
如果a>0，当x<- 2a时，y随x的增大而减小；
b
当x>- 2a时，y随x的增大而增大。
b
如果a<0，当x<- 2a 时，y随x的增大而增大；
答案：（1）:（1，1）（3）:下、（-2，10）
（2）:上、x＝-2 （4）：略
-7-
五：反思小结，观点提炼
本节课你有什么收获？有什么疑问？
-8-
作业：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2+2x （3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
（4）y=
1 2
x2-4x+3
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
-2-
一：设计问题，创设情境
问题1:你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
问题2:函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图象
有什么关系?
1
问题3:不画图象，你能直接说出二次函数y＝ 2x2-6x+21 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性和最值吗?
如果直接画二次函数的图象，由图象的对称性列表时，自变量取顶点横坐标-1及其左右的值，然后描点画图。由图象可以看出，在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右降落。由此得出：当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小。

人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计

《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。

在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。

二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。

使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。

这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。

从而提高课堂教学的效率。

三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。

二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。

四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1-�� + �� = -1, 1 + �� + �� = 3,
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知, 则列二元一次方程组求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解析式; (2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积. 解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4. (2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3, ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0), ∴B(3,0),即OB=3, 1 则S梯形COBD= (1+3)×3=6.
2
��
�� − 4��+c
即 y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成 y=a
�� 2 �� + 2�� 4��-�� + 4��
2
(顶点式).
由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式后,由顶点式 y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶点的公式得出顶点为
知识点一

22.1.6二次函数y=ax^2+bx+c的图像和性质

·观察图象，二次函数 y 1 x2 6x 21的性质是什
么？
2
2．探究二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的图和性质
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的图象和性质吗？
3．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
时，��随x增大而增长
当��
<
−
��
时，��随x增大而减小
当��
>
−
��
时，��随x增大而增长
4．巩固练习
（1）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
① y = 2x2 - 4x +5 开口向上、x = 1、（1， 3）． ② y = -x2 + 2x -3 开口向下、x = 1、（1，-2）．
抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距
离要根据h、k的值来决定.
平移规律:加上减下；加左减右；
方y法=ax12向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位y=a(x－h)2+k
方法2
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
移|k|个单位
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= 12（x2-12x+42） = 12（x2-12x+36-36+42） = 12（x - 6）2 +3

人教版九年级上数学教案 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第6课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质一、基本目标【知识与技能】1．能通过配方把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式．2．能正确求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标．3．掌握利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．【过程与方法】经历由y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与性质．【教学难点】用配方法确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标和对称轴．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标是__(h ，k )__，对称轴是__x ＝h __，当a __>0__时，开口向上，此时二次函数有最 __小__ 值，当x __＞h __ 时，y 随x 的增大而增大，当x __<h __时，y 随x 的增大而减小；当a __<0__时，开口向下，此时二次函数有最 __大__ 值，当x __<h __时，y 随x 的增大而增大，当x __＞h __时，y 随x 的增大而减小．2．一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝__a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a __.因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线__x ＝－b 2a __，顶点坐标是__⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a __. 3．从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看出：如果a >0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__减小__，当x >－b 2a ，y 随x 的增大而__增大__；如果a <0，当x <－b 2a，y 随x 的增大而__增大__，当x >－b 2a，y 随x 的增大而__减小__. 4．已知二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__y ＝－(x －2)2＋9__，对称轴是直线__x ＝2__，顶点是__(2,9)__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】求二次函数y ＝2x 2－x －1的开口方向、对称轴及顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象与性质是什么？【解答】∵y ＝2x 2－x －1＝2⎝⎛⎭⎫x －142－98，∴二次函数y ＝2x 2－x －1的开口向上，对称轴是直线x ＝14，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14，－98. 【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以通过配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，即y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，其对称轴是x ＝－b 2a ，顶点是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a . 【活动2】巩固练习(学生独学)1．抛物线y ＝－x 2＋4x －7的开口方向__向下__，对称轴是直线__x ＝2__ ，顶点坐标是__(2，－3)__.当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值，其值为__－3__.2．已知二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)有最大值，且ac ＝4，则二次函数的顶点在第__四__象限．3．已知二次函数y ＝－12x 2－2x ＋6. (1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)自变量x 在什么范围内时，函数值y ＞0？y 随x 的增大而减小？解：(1)∵y ＝－12x 2－2x ＋6＝－12(x 2＋4x )＋6＝－12[(x ＋2)2－4]＋6＝－12(x ＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x ＝－2.(2)令y ＝0得到－12x 2－2x ＋6＝0，解得x ＝－6或2，∴观察图象可知，－6＜x ＜2时，y ＞0，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？【互动探索】(引发学生思考)求解实际问题中的最值问题的关键是建立函数模型，此题中的函数解析式应该怎么建立？【解答】设该直角三角形的一条直角边为x ，面积是S ，则另一直角边为8－x .根据题意，得S ＝12x (8－x )(0＜x ＜8)，配方，得S ＝－12(x －4)2＋8. ∴当x ＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决实际问题的关键是建立数学模型，建立数学模型的关键是找出题中的等量关系．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质：(1)开口方向：当a >0时，向上；当a <0时，向下；(2)对称轴：直线x ＝－b 2a； (3)顶点坐标：⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ； (4)增减性：如果a >0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而减小，当x >－b 2a，y 随x 的增大而增大；如果a <0，当x <－b 2a ，y 随x 的增大而增大，当x >－b 2a，y 随x 的增大而减小．请完成本课时对应练习！。

二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(3种题型)九年级知识点(浙教版)(解析版)

二次函数y=ax^2+bx+c(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．2(0)y ax bx c a =++≠=−+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++−+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a −⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =−+2b h a =−244ac b k a−=2y ax bx c =++2b x a =−24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质向上向下直线直线2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2b x a=−b x =−2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当值的情况．20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=−244ac b y a−=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【答案与解析】解法1（配方法）：． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．解法2（公式法）：∵，，，∴ 11122()2bx a=−=−=⨯−，．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．解法3（代入法）：∵，，，∴．将代入解析式中得，．2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =−+−2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =−+−=−−−=−−+−−211(1)422x =−−+−217(1)22x =−−−71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯−⨯−− ⎪−⎝⎭==−⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−111222b x a=−=−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1x =21711422y =−⨯+−=−∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).（2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.例2．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax2+bx+c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．【答案】A ．71,2⎛⎫− ⎪⎝⎭1x =24,24b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2286y x x =−+−【解析】解：∵y=ax2+bx+c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过一，二，三象限．故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．例3. 抛物线与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？【答案与解析】(1)由抛物线与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为，如图所示．(2)由得，．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)．∵，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．2(1)y x m x m =−+−+2(1)y x m x m =−+−+223y x x =−++2230x x −++=11x =−23x =2223(1)4y x x x =−++=−−+【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，【变式】某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．题型二、二次函数的最值例4．求二次函数的最小值.【答案与解析】解法1(配方法)：∵，∴ 当x ＝-3时，．解法2(公式法)：∵，b ＝3，2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++−+21(3)42x =+−4y =−最小102a =>12c =∴ 当时，．解法3(判别式法)：∵，∴ ．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．例5. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3．【答案与解析】∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．331222b x a =−=−=−⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯−−−====−⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++−=2690x x ++=(30)S L L =−2(30)L L =−−2(15)225L =−−+15L ∴=223y x x =−−2223(1)4y x x x =−−=−−4y =−最小值(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x ≤3)的图象是抛物线的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，；当x ＝2时，．【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线部分，易看出x ＝3时，；x ＝2时，．题型三、二次函数性质的综合应用例6．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc 的最大值．【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）．∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．【变式】如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．223y x x =−−223y x x =−−232330y =−⨯−=最大值222233y =−⨯−=−最小值223y x x =−−0y =最大值3y =−最小值2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =−−21y x bx c =+++22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =−−=−+=−++1b =−其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．例7.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【答案】D．【解析】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，，∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确 ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确；故选：D ．【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．例8. 一条抛物线经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1．（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则解得∴ 所求抛物线的解析式为．列表：描点、连线，如图所示：2y ax bx c =++x 2y =4x =420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,42,3.a b c ⎧=−⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎩21234y x x =−+−（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10，观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1．（3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．【变式】已知二次函数（其中a >0，b >0，c <0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C.【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江温州·统考二模）将二次函数282y ax ax =−+的图象向左平移m 个单位后过点()5,2，则m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再代入坐标求解即可．【详解】解：将二次函数()22824216y ax ax a x a=−+=−+−的图象向左平移m 个单位后的函数解析式为()24216y a x m a=−++−，∵平移后的图象经过点()5,2，0a ≠，0m >，∴()2542162am a −++−=，解得3m =或5m =−（舍去），故选：B ．2y ax bx c =++【点睛】本题考查二次函数的图象平移，解一元二次方程，熟练掌握图象平移规则是解答的关键． 2．（2023春·浙江·九年级阶段练习）在同一坐标系中，一次函数2y ax b =+与二次函数2y x a =−的图象可能是（）A． B ．C ．D ．【答案】C【分析】对a b 、的符号分类讨论即可确定正确的选项．【详解】当0a >时，一次函数2y ax b =+经过一、二、三象限，二次函数2y x a =−开口向上，顶点在y 轴的负半轴，B 不符合，C 符合要求；当a<0时，一次函数2y ax b =+经过一、二、四象限，二次函数2y x a =−开口向上，顶点在y 轴的正半轴，A 、D 选项均不符合；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小．3．（2023·浙江温州·统考二模）若把二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是（） A ．直线 2.5x =− B ．直线 2.5x = C ．直线 1.5x =− D ．直线 1.5x =【答案】D【分析】先将一般式化成顶点式222424b ac b y ax bx c a x a a −⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，然后分别求出平移后的函数解析式为224424b ac b y a x a a −⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，224124b ac by a x a a −⎛⎫=+−+⎪⎝⎭，将()00，代入整理得1640a b c ++=①，0a b c −+=②，−①②得1550a b +=，解得3b a =−，进而可得对称轴．【详解】解：222424b ac b y ax bx c a x a a −⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，向左平移4个单位的函数解析式为224424b ac by a x a a −⎛⎫=+++⎪⎝⎭，将()00，代入整理得1640a b c ++=①，向右平移１个单位的函数解析式为224124b ac by a x a a −⎛⎫=+−+⎪⎝⎭，将()00，代入整理得0a b c −+=②，−①②得1550a b +=，解得3b a =−，∴ 1.52ba −=， ∴二次函数图象的对称轴为直线 1.5x =，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的对称轴．解题的关键在于写出二次函数图象平移后的函数解析式．【答案】C【分析】根据二次函数的性质即可得到正确的选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠），当1x ≥时，则6y m ≤−，当1x <时，则y m ≤，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大；当1x ≥时，y 随x 的增大而减小， ∴0a <，∵当1x <时，则y m ≤， ∴二次函数的最大值为：m ，∵抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠）过点(2,)P m −，∴抛物线的解析式为：()22y a x m=++，∵当1x ≥时，则6y m ≤−，∴抛物线2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，且0a ≠）过点()16m −，，∴69m a m −=+， ∴23a =−，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，明确题意是解题的关键． 5．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c >+；③420a b c ++>；④23c b >；⑤()a b m am b +>+ （1m ≠的实数）其中正确结论有（）个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与y 轴的交点位置判断①；根据图象判断=1x −时，函数值的符号，判断②；根据对称性，判断2x =时，函数值的符号，判断③；结合对称轴和特殊点判断④；根据二次函数图像的顶点判断⑤，进而得出结论．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线1x =，与y 轴交于正半轴，∴a<0，12ba −=，0c >，∴20b a =−>， ∴<0abc ；故①错误；由图象可知：当=1x −时，对应的函数值小于0，即：<0a b c −+， ∴a c b +<；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴2x =和0x =的函数值相同，即：42a b c c ++=， ∵0c >，∴420a b c ++>；故③正确； ∵2b a =−，<0a b c −+， ∴102b b c −−+<，∴32c b<，即：23c b <；故④错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线1x =， ∴当1x =时，函数取得最大值为a b c ++， ∴()21a b c am bm c m ++>++≠，∴()()1a b m am b m +>+≠；故⑤正确；综上：正确的有3个；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与二次函数解析式的系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，利用数形【答案】A【分析】求出当1m =−时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数()2211y m x x x =−−+−，当2210x x −−=时，y 的值与m 无关，求出x 的值，即可得到定点，即可判断②；求出1211313122222x x m m ⎛⎫−=−−−=+> ⎪⎝⎭，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；即可判断③；当0m <时，抛物线的对称轴为104m x m −=>，则抛物线开口向下，当14x >时，只有当对称轴在14x =右侧时，y 才随x 的增大而减小，即21210y y x x −<−成立，即可判断④．【详解】解：当1m =−时，二次函数221122222y x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，此时函数图象的顶点坐标为12,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故①正确；当m≠0时，二次函数()()22221121211y mx m x m mx x mx m m x x x =+−−−=+−−−=−−+−，当2210x x −−=时，y 的值与m 无关，此时，1211,2x x ==−，当11x =时，0y =，当212x =−时，32y =−， ∴函数图象总过定点()1,0，13,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭：故②正确；当0y =时，()22110mxm x m +−−−=，∵0m >， ∵()()()222Δ1421961310m m m m m m =−−⨯−−=++=+>，∴12131131111,4422m m m m x x m m m −++−−−====−−，∴当0m >时，∴1211313122222x x m m ⎛⎫−=−−−=+> ⎪⎝⎭， ∴函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；故③正确；函数图象上任取不同的两点()111,P x y 、()222,P x y ，则当0m <时，抛物线()2211y mx m x m=+−−−的对称轴为11044m m x m m −−=−=>，∴抛物线开口向下，当14x >时，只有当对称轴在14x =右侧时，y 才随x 的增大而减小，即21210y y x x −<−成立，故④错误，综上可知，正确的是①②③，故选：A【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查了函数图象上的点的坐标特征，要求非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．二、填空题7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在同一坐标系中画出函数242y x x =−+−和24y x x =−+的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______．【答案】对称轴都为2x =（答案不唯一）【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为2x =，故答案为：对称轴都为2x =（答案不唯一）．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．8．（2019秋·浙江·九年级统考阶段练习）抛物线的图象如图，当x____________时，y ≤0．【答案】1x 3≤≤【分析】由图观察得出y=0时所对的x 的值，再根据开口方向，从而确定y ≤0时，x 的取值范围. 【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y ≤0时，1x 3≤≤.【点睛】本题是对二次函数图像的考查，准确找到而从函数零点位置是解决本题的关键，难度较小. 9．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）若将二次函数2(2)1y x =+−的图象向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，所得图象的函数表达式为2(3)4y x =+−，则h=______；k=______．【答案】 1 3【分析】根据函数图象的平移规则：左加右减、上加下减，即可得到答案．【详解】解：二次函数2(2)1y x =+−的图象向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，所得图象的函数表达式为2(3)4y x =+−，13h k ∴==，，故答案为：1，3．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规则：左加右减、上加下减是解题的关键．10．（2023秋·浙江·九年级期末）二次函数221y x x =−+−，当x 满足2m x m ≤≤+时，函数的最大值为4−，则m 的值为__________.【答案】3−或3【分析】分x 在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可．【详解】由二次函数221y x x =−+−得：0a <，∴抛物线开口向下，对称轴是1x =，如下图所示，当4y =−时，有2214x x −+−=−，解得=1x −或3，∴当1x <时，y 随x 的增大而增大，21x m ∴=+=−时，y 有最大值4−，3m ∴=−，当1x >时，y 随x 的增大而减小，3x m ==时，y 有最大值4−，3m ∴=−或3m =．故答案为3−或3．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题关键．【答案】41x −≤≤【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于()()1241A y B y −，，，，∴不等式2ax c kx m +≥+的解集是41x −≤≤．故答案为41x −≤≤．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 12．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数241y x x =−+，当14x −<<时，y 的取值范围是_______．【答案】36y −≤<【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．【详解】解：2241(2)3y x x x =−+=−−，∴抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,3)−，将=1x −代入241y x x =−+得1416y =++=，∴当14x −<<时，y 的取值范围是36y −≤<，故答案为：36y −≤<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．【答案】 5 1【分析】先把解析式配成顶点式得到()221y x =++，由于30x −≤≤，根据二次函数的性质得0x =时，y 的值最大；当2x =−时，y 有最小值，然后分别计算对应的函数值．【详解】解：()224521y x x x =++=++，当2x =−时，y 有最小值1，∵30x −≤≤，∴0x =时，y 的值最大，最大值为5；当2x =−时，y 有最小值1，故答案为：5；1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值． 14．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A −，，顶点坐标为()2n ，，与y 轴的交点在()()0304，，，之间（包含端点），则a 的取值范围为___________．【答案】1134a −≤≤−/1143a −≥≥− 【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到12ca =−，利用c 的取值范围可以求得a 的取值范围．【详解】∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()20A −，，对称轴2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标分别是()60，，∴2612−⨯−＝，∴12c a =−，则12c a =−． ∵y 轴的交点在()()0304，，，之间（包含端点），∴34c ≤≤， ∴113124c −≤−≤−，即1134a −≤≤−．故答案为：1134a −≤≤−．【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点坐标与系数的关系．二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题15．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）抛物线()21y x m x m =−+−+与y 轴交点坐标是()0,3．(1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3)当x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？【答案】(1)3m =，见解析(2)抛物线与x 轴的交点为()()1,03,0−,，顶点坐标为()1,4(3)当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小【分析】（1）把()0,3代入解析式，可求出m 的值，再画出抛物线解析式，即可求解；（2（3）直接观察抛物线图象，即可求解．【详解】（1）解：∵()21y x m x m =−+−+与y 轴交点坐标是()0,3，∴3m =，∴抛物线的解析式为223y x x =−++．列表如下：函数图象如图∶（2）解：由函数图象得，抛物线与x 轴的交点为()()1,03,0−,，顶点坐标为()1,4；（3）解：由函数图象可知，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1)2−，，(213)−，． (1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0x m ≤<的取值范围内，有最小值3−，有最大值1，求m 的取值范围．【答案】(1)抛物线解析式为241y x x =−+，对称轴为2x =；(2)24m <≤【分析】（1）把点(1)2−，，(213)−，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意画出图象，结合图象即可求解．【详解】（1）解：将点(1)2−，，(213)−，代入抛物线2y x bx c =++，得 211342b c b c −=++⎧⎨=−+⎩，得41b c =−⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为241y x x =−+，对称轴为：4222b x a −=−=−=；（2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，由图象可知：当24m <≤时，y 的最小值为3−，最小值为1，∴当0x m ≤<时，对应的函数的的最小值为3−，最小值为1，m 的取值范围为24m <≤．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． (1)用配方法将此函数化为2()y a x h =−+(2)画出此函数的图象，并结合图象直接写出【答案】(1)()2222y x =−−，顶点坐标为()22−，(2)图象见解析，13x <<【分析】（1）根据题意，化为顶点式即可求解；（2）根据顶点以及,x y 轴的交点，利用函数对称性画出函数图象，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：2286y x x =−+()2222x =−−即()2222y x =−−∴顶点坐标为()22−，（2）令0y =，22860x x −+=，解得：121,3x x ==令0x =，解得：6y =如图所示，根据函数图象可知，当13x <<时，0y <．【点睛】本题考查了画二次函数图象，顶点式，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键．【答案】(1)23y x x =−+； (2)3n =或2n =；(3)54m >．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为2111124y x n ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭，再代入()22B −，，解方程即可求解；（3）把点154P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入，求得a 的值，利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数23y x bx =++的图象经过点()13A ，， ∴313b =++，解得1b =-，∴该函数解析式为23y x x =−+；（2）解：22111324y x x x ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭，将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n 个单位后，函数解析式为2111124y x n ⎛⎫=−++− ⎪⎝⎭，把点()22B −，代入得211122124n ⎛⎫=−−++− ⎪⎝⎭，整理得25124n ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，解得3n =或2n =；（3）解：对于211124y x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，对称轴为12x =，当12x =时，函数的最小值为114， ∵点154P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在该函数图象上， ∴211115244a ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得32a =或12a =−，当32a =，即32x ≤时，函数的最小值为114，此时1144m −<，解得54m >；当12a =−，即12x ≤−时，函数的最小值为21111152244⎛⎫−−+= ⎪⎝⎭，此时1544m −<，解得14m >；综上，54m >．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m 的取值范围是解题的关键．【答案】(1)2a b =−(2)①4b >；②见解析【分析】（1）将()1,1−−，()0,1两点代入抛物线2(0)y ax bx c a =++≠中，进而得出答案；（2）①根据2x =−时，1y >，可得4211a b −+>，结合（1）中的结论可得答案；②表示二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性进行解答即可．【详解】（1）解：将()1,1−−和()0,1代入2y ax bx c =++，得1c b a −=−+①，1c =②，将②代入①得，2a b =−；（2）①解：∵2x =−，1y >，∴4211a b −+>，∵2a b =−，∴()42211b b −−+>，解得，4b >；②证明：∵2y ax bx c =++， ∴抛物线的对称轴142242b b x a b b =−=−=−−，∵4b >， ∴401b <<， ∴111422b −<<−−，∵20a b =−>，∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵12n m >≥−，∴Q 点在P 点的右侧，∴21y y >．【点睛】二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键． 20．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，二次函数2y x ax b =++的图像与直线3y x =−+的图像交于A ，B 两点，点A 的坐标为()4,7−，点B 的坐标为()1,2.(1)求二次函数2y x ax b =++的表达式.(2)点M 是线段AB 上的动点，将点M 向下平移()0h h >个单位得到点N .①若点N 在二次函数的图像上，求h 的最大值.②若4h =，线段MN 与二次函数的图像有公共点，请求出点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】(1)221y x x =+−； (2)①max 254=h ，②43m −≤≤−或01m ≤≤【分析】（1）待定系数法计算即可．（2）①设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h ，把(),3−+−m m h 代入221y x x =+−构造h 为函数的二次函数计算即可． ②当4h =，点N 的坐标为(),1m m −−代入解析式，确定m 的值，结合图像计算即可．【详解】（1）把()4,7−，()1,2代入2y x ax b =++得：491a b a b −+=−⎧⎨+=⎩，解得2a =，1b =-，∴221y x x =+−．（2）①设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h ．把(),3−+−m m h 代入221y x x =+−，得： 234=−−+h m m ， 232524⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭h m ， ∵10a =−<，当32m =−时，且满足41m −<<，∴max 254=h ． ②设点M 的坐标为()(),341−+−<<m m m ，则点N 的坐标为(),3−+−m m h .当4h =，点N 的坐标为(),1m m −−，把(),1m m −−代入得：230m m +=， ∴0m =或3m =−．∴43m −≤≤−或01m ≤≤．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．。

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
5
试一试
O
5
10 x
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？
二将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
? ?
y轴 y轴直线x=-2 直线x=-2 直线x=4
? ?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
讲授新课
一二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨
论
y 1 x2 6x 21 2
的图象和性质？
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
x

b 2a
2

4ac b2 4a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k