5.5 第2课时用二次函数解决图形中的最值问题

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二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值

二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

九年级数学下册第5章二次函数 5.5 用二次函数解决问题作业设计 (新版)苏科版-(新版)苏科版

用二次函数解决问题第1课时、第2课时1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为()A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－73502．某产品的进货单价为每件90元，按100元一件出售时，每周能售出500件．若每件涨价1元，则每周销售量就减少10件，则该产品每周能获得的最大利润为() A．5000元 B．8000元C．9000元 D．10000元3．某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．4．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．5．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是()A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675 m 26．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是________，当边长x 为________米时，花圃有最大面积，最大面积为________平方米．7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的一边长为x (m)，占地面积为y (m 2)．(1)如图5－5－3①，则饲养室的一边长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图②，现要求在所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x 比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．图5－5－38．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (米)与小球运动的时间t (秒)之间的函数表达式是h ＝t －t 2，则小球的最大高度为________米．9．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是______m.10．小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？11．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为x (单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分)是关于x 的一次函数，其关系如下表：(1)求y 1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y 2(单位：分)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2－11x ＋78来描述，则李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短？并求出最短时间．12．某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数．公司发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？参考答案1．B[解析] 由题意，得y ＝(x －21)(350－10x )＝－10x 2＋560x －7350. 2．C3．3[解析] 由题意可得y ＝(6－x )x ，即y ＝－x 2＋6x ，当x ＝3时，y 有最大值． 4．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，把(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．(2)W ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2＋50x －400(10≤x ≤16)．∵W ＝－x 2＋50x －400＝－(x －25)2＋225，函数图像的对称轴是直线x ＝25，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大． ∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 最大，为144.即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．B[解析] 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(50－x )m ，设池底面积为S m 2，则S ＝x (50－x )＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2＋625.∴当x ＝25时，S 取得最大值，最大值为625.6．S ＝－2x 2＋10x 52252[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x )米，则S ＝x (10－2x )＝－2(x －52)2＋252(0<x <5)，所以当x ＝52时，花圃有最大面积，最大面积为252平方米．7．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252(0<x <50)，∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室的一边长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，占地面积y 最大．∵26－25＝1(m)≠2 m ，∴小敏的说法不正确． 8．9．24[解析] ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，飞机着陆后滑行到最大距离600 m ，然后停止滑行；当t ＝16时，y ＝576，∴最后4 s 滑行的距离是24 m.10．解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950(x 为整数)． ∵－2＜0，抛物线的开口向下，－412×（－2）＝414，∴当0≤x <414时，W 随x 的增大而增大；当414<x ≤50时，W 随x 的增大而减小，又∵x 取整数，故当x ＝10时，W 最大，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.即当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．11．解：(1)设乘坐地铁的时间y 1关于x 的一次函数表达式是y 1＝kx ＋b .把x ＝8，y 1＝18；x ＝10，y 1＝22代入，得⎩⎪⎨⎪⎧18＝8k ＋b ，22＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2， ∴y 1关于x 的函数表达式是y 1＝2x ＋2.(2)设李华从文化宫回到家里所用的时间为y 分，则y ＝y 1＋y 2，即y ＝2x ＋2＋12x 2－11x ＋78＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2＋792，∴当x ＝9时，y 最小值＝792.∴李华选择从B 地铁口出站，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短，最短时间为792分钟． 12．解：(1)由题意，知若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，由50x －1100＞0，解得x ＞22，∴22<x ≤100.又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元． (2)设每辆车的净收入为y 元．当0＜x ≤100时，y 1＝50x －1100. ∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1有最大值为50×100－1100＝3900；当x ＞100时，y 2＝(50－x －1005)x －1100＝－15x 2＋70x －1100＝－15(x －175)2＋5025，∴当x ＝175时，y 2有最大值为5025. ∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．第3课时1．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112x 2＋23x ＋53，由此可知铅球被推出的距离是() A ．10 m B ．3 m C ．4 m D ．2 m 或10 m2．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y ＝－15x 2＋的一部分(如图)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是()A ．3.5 mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间x (单位：s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？4．某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面的宽度AB 为()A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m5．建立如图所示的直角坐标系，某抛物线形桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的表达式为________________．6．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，当水面下降1米时，水面的宽度为多少米？7．某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米8．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度．9．冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，他在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB ，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似抛物线y ＝110x 2＋bx ＋c ，如图①，已知BD ＝8米，绳子最低点离地面的距离为1米．(1)求立柱AB 的长度；(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子(如图②)，MN 的长度为米，通过调整MN 的位置，使左边抛物线F 1对应函数表达式的二次项系数为14，顶点离地面米，求MN 与AB 的距离．10．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．A[解析] 令y ＝0，则－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2，由此可知铅球被推出的距离是10 m. 故选A.2．B[解析] 当y ＝时，－15x 2＋＝，解得x 1＝－1.5(舍去)，x 2＝，∴l ＝＋＝4(m)．故选B.3．解：(1)令y ＝15，有－5x 2＋20x ＝15，化简得x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，即飞行时间是1 s 或3 s.(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故令y ＝0，则有0＝－5x 2＋20x ，解得x 1＝0，x 2＝4，所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)． (3)y ＝－5x 2＋20x ＝－5(x －2)2＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时y ＝20.故在飞行过程中，当飞行时间为2 s 时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m. 4．C 5．y ＝－125(x －20)2＋16[解析] 由图可知抛物线的对称轴为直线x ＝20，顶点坐标为(20，16)．可设此抛物线的表达式为y ＝a (x －20)2＋16.又此抛物线过点(0，0)，代入得(0－20)2a ＋16＝0，解得a ＝－125，所以此抛物线的表达式为y ＝－125(x －20)2＋16.6．解：建立如图所示的直角坐标系，可知OA 和OB 的长均为AB 的一半，即2米，抛物线顶点C 的坐标为(0，2)，通过以上条件可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋2.把(－2，0)代入y ＝ax 2＋2，得出a ＝－，所以y ＝－x 2＋2.当y ＝－1时，有－1＝－x 2＋2，解得x ＝±6，所以当水面下降1米时，水面的宽度为2 6米．7．A[解析] 直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为4ac －b24a ＝4×（－1）×0－424×（－1）＝4，或将y ＝－x 2＋4x 化为顶点式也可得出结论．8．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，5)， ∴设y ＝a (x －3)2＋5，将(8，0)代入，得a ＝－15，∴y ＝－15(x －3)2＋5，即y ＝－15x 2＋65x ＋165(0<x <8)．(2)当y ＝时，即＝－15x 2＋65x ＋165，解得x 1＝7，x 2＝－1(舍去)．答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．(3)由y ＝－15x 2＋65x ＋165，可得原抛物线与y 轴的交点坐标为(0，165)．∵装饰物的高度不变， ∴新抛物线也经过点(0，165)．∵喷出水柱的形状不变， ∴a ＝－15.∵直径扩大到32米， ∴新抛物线过点(16，0)．设新抛物线的表达式为y 新＝－15x 2＋bx ＋c ，将点(0，165)和(16，0)代入，得b ＝3，c ＝165.∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920，∴当x ＝152时，y 新的最大值为28920.答：扩建改造后喷出的水柱的最大高度为28920米．9．解：(1)由题意可知抛物线的表达式为y ＝110(x －4)2＋1，即y ＝110x 2－45x ＋135.令x ＝0，得y ＝135，∴AB ＝135.答：立柱AB 的长度为135米．(2)由题意可以假设抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2＋mx ＋2.6.∵4×14×－m 24×14＝，∴m ＝±1.∵抛物线F 1的对称轴在y 轴右侧，14>0，∴b ＜0，∴b ＝－1，∴抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2－x ＋2.6.令y ＝，解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，不合题意，舍去， ∴x ＝3，∴MN 与AB 的距离为3米．10．解：(1)由题意可知函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图像经过点(0，0.5)，，3.5)， ∴错误!解得错误!∴抛物线的函数表达式为y ＝－2516t 2＋5t ＋12＝－2516(t －85)2＋92，∴当t ＝85时，y 最大值＝92.答：足球飞行的时间是85 s 时，足球离地面最高，最大高度是92 m.(2)把x ＝28代入x ＝10t ，得28＝10t ，∴t ＝2.8.25 16×2＋5×＋12＝＜，∴他能将球直接射入球门．当t＝时，y＝－。

5.5用二次函数解决问题

5.5 二次函数的应用⑴
无锡金星中学萧婷
复习旧知
求下列二次函数的最大值或最小值：
(1) y 1 x 32 8
2 (2) y x2 4x 5
(3) y 2x2 4x 3
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕，制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可卖出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销售量减少20盒．（1）若设每盒售价为x元，则日销售量减少_______盒，求日销售量y（盒）与x的函数关系式. （2）若设每天的销售利润 W元，求W与每盒售价x的函数关系式.
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕，制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可卖出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销售量减少20盒．（3）若该店单从经济角度考虑，当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 W最大？最大利润是多少？
探索新知
问题一：每年12月22日左右是冬至节气，在无锡，到了冬至有吃团子的传统习俗。无锡穆桂英糕点店特在冬至来临前夕，制作了一批团子礼盒，每盒成本价是20元．店家规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为 25元时，每天可Байду номын сангаас出700盒；若每盒售价每提高1元，则日销售量减少20盒．（4）物价部门规定：该礼盒每盒的利润不得超过25元．当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 W最大？最大利润是

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)

二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可2、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）使用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变革的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变革的边的和最小值加上不变的边长3、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）使用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值2、不划定规矩图形面积最值问题1）支解。

高中数学中的二次函数与最值问题

高中数学中的二次函数与最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一，其与最值问题的关系更是难以忽视。

本文将系统地介绍二次函数的定义、性质以及如何利用二次函数求解最值问题。

一、二次函数的定义与性质二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形态。

以下是二次函数的一些重要性质：1. 零点：二次函数的零点是其对应的抛物线与x轴相交的点，即使得函数值为0的x值。

零点的求解可以通过因式分解、配方法或求根公式来实现。

2. 頂点坐标：二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a小于0时）或最低点（当a大于0时）。

顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算，y坐标则可将x值代入二次函数中得到。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过抛物线的顶点并平行于y轴的线。

对称轴的方程形式为x=-b/2a。

4. 单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大；当a小于0时，抛物线开口向下，函数值随x的增大而减小。

二、二次函数求解最值问题的方法在实际问题中，我们常常需要求解二次函数的最大值或最小值。

这些问题可能涉及到经济、物理、几何等领域。

以下是求解二次函数最值问题的常用方法：1. 完成平方：通过将二次函数表示成平方项的和来求解最值问题。

对于一般形式的二次函数，可以通过配方法来实现。

例如，对于函数y=ax^2+bx+c，可以通过将x^2+bx视为一个完全平方进行变形，从而得到最小值或最大值。

2. 求导数：利用导数的性质，求解二次函数的导数，并找到导数为0的点。

这些点即为原函数的最值点。

求导数的方法可以通过一阶导数、二阶导数等进行，具体视题目要求而定。

3. 利用顶点坐标：如果已知二次函数的顶点坐标，则直接取顶点的y值即为函数的最值。

4. 利用最值问题的性质：根据二次函数的几何特性，当a大于0时，函数有最小值；当a小于0时，函数有最大值。

九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)

【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，

解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二根据函数的图像解决问题

二次函数线段最值问题解题方法

二次函数线段最值问题解题方法随着数学知识的不断深入，我们逐渐接触到各种各样的问题，其中“二次函数线段最值问题”是其中非常典型的一个。

这个问题的解法众多，但是本文将为大家介绍一个通用的解题方法。

一、题目分析在解题之前，我们必须先理解题目的含义。

对于“二次函数线段最值问题”，我们需要根据所给出的二次函数关系式以及数据，求出某一区间内的极值（最大值或最小值）。

二、寻找顶点寻找顶点是解决该问题的关键步骤之一。

因为当二次函数图像向上开口时，最低点的 $y$ 值就是最小值；反之，最高点的 $y$ 值就是最大值。

而顶点恰好就是这个最高点或最低点。

我们可以使用 $-\frac{b}{2a}$ 的公式求出这个顶点的坐标，其中 $a$、$b$ 分别是二次函数关系式中的系数。

三、确定区间我们确定了顶点之后，我们需要根据题目所给出的区间确定需要求值的范围。

在该区间之内进行数值计算才有意义。

一般来说，题目会给出区间的两个端点；如果没有给出，我们可以通过解关于 $x$ 的不等式得出。

四、计算极值通过前三个步骤，我们就可以开始计算极值了。

如果确定了极大值，只需要将区间内最高点的 $y$ 值找出即可；如果确定了极小值，我们需要找到区间内最低点的 $y$ 值。

在计算时，我们首先需要将顶点的横坐标 $-\frac{b}{2a}$ 代入二次函数关系式中，求出对应的 $y$ 值。

然后，我们将该值与区间的两个端点的 $y$ 值进行比较，找到最大值或最小值，并将其作为整个区间内的极值。

五、实例分析我们通过一道实例题来加深对“二次函数线段最值问题解题方法”的理解。

题目：对于 $y=x^2-2x+3$，在区间 $[1,3]$ 上，求其最小值。

解析：首先，我们可以利用公式 $-\frac{b}{2a}$ 求出顶点坐标 $(-\frac{-2}{2}, -1+4-3)$，即 $(1,0)$。

然后，我们将区间的两个端点 $1$ 和 $3$ 代入二次函数关系式，计算出对应的 $y$ 值，得到 $y=2$ 和 $y=6$。

二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用

二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。

在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。

一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。

1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。

即最值存在性与a的正负相关。

2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。

最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。

3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。

将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。

二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。

1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。

例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。

可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。

2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。

例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。

可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。

“二次函数”面积最值问题的几种解法

“二次函数”面积最值问题的几种解法以微课堂公益课堂，奥数国家级教练与四位特级教师联手执教。

二次函数是初中数学的一个重点、难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

而求三角形面积的最值问题，更是常见。

今天介绍二次函数考试题型种，面积最值问题的4种常用解法。

同学们只要熟练运用一两种解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题，就好。

原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。

考试题型，大多类似于此。

求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。

一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。

通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。

解法一：补形，割形法。

方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。

请看解题步骤。

解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。

这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。

铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。

因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。

这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。

解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。

设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。

解法三：切线法。

这其实属于高中内容。

但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。

解法四：三角函数法。

请大家认真看上面的解题步骤。

总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。

过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。

设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。

对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。

二次函数最值问题解题技巧

二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。

解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。

1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。

二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。

其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。

2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。

其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。

（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。

（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。

4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。

（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。

（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。

总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。

解二次函数的最值问题的步骤与技巧

解二次函数的最值问题的步骤与技巧二次函数是一种常见的数学函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数且a≠0。

解二次函数的最值问题是求解函数的最大值或最小值，这在数学及实际问题中都具有重要的意义。

本文将介绍解二次函数最值问题的步骤和技巧，帮助读者更好地理解和应用。

一、确定函数的开口方向要解二次函数的最值问题，首先需要确定函数的开口方向。

根据二次函数的导数和二次系数a的正负关系，可以判断函数的开口方向。

1. 当a＞0时，二次函数开口向上，图像形状为一个开口向上的抛物线，此时函数的最小值为负无穷，无最大值。

2. 当a＜0时，二次函数开口向下，图像形状为一个开口向下的抛物线，此时函数的最大值为负无穷，无最小值。

二、求出函数的顶点坐标函数的顶点是函数抛物线的最高点（当a＜0）或最低点（当a＞0）。

顶点坐标的求解可以通过求导或直接应用顶点公式完成。

1. 求解顶点坐标方法一：求导法通过对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，令导函数f'(x) = 0，即可得到顶点的横坐标x0。

将x0代入原函数，即可求得顶点的纵坐标f(x0)。

2. 求解顶点坐标方法二：顶点公式二次函数的顶点公式为x0 = -b/(2a)，f(x0) = f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c。

三、判断最值根据函数的开口方向和顶点的坐标，可以判断函数的最大值或最小值。

1. 当a＜0时，二次函数开口向下，函数的最大值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。

2. 当a＞0时，二次函数开口向上，函数的最小值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。

四、综合求解实例下面通过一个实例来综合运用以上步骤和技巧，解决一个二次函数的最值问题。

实例：求解函数f(x) = 2x^2 + 4x - 3的最值。

1. 确定开口方向：二次系数a = 2 > 0，说明函数开口向上。

5.5.1 用二次函数解决问题苏科版数学九年级下册教案

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题 5.5用二次函数解决问题（1）课型新授教学目标1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

2.了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识。

3.求出实际问题的最大值、最小值。

重点求出实际问题的最大值、最小值难点掌握实际问题中变量之间的二次函数关系教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动教学过程一．指导先学：1.函数y=2(x-1)2-3,当x= 时，函数y取得最值为。

2.函数y=-(x+2)2-1,当x= 时，函数y取得最值为。

3.函数y=x2-4x, 当x= 时，函数y取得最值为。

4.如果两个数的和是100，那么这两数积的最大值是多少？二．交流展示：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元。

试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？分析：根据预测，原360亩稻田今年可收益元，这是个量，所以该种粮大户的今年总收益y（元）随着的变化而变化。

根据题意，可得函数关系式。

将函数的一般式化为顶点式：用二次函数解决实际问题中的最值问题一般需要经过哪些步骤？学生回顾所学知识，先给配成顶点式，写出最值让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动教学过程三．释疑拓展：1.去年鱼塘里饲养育苗10千尾，平均每千尾的产量为1000kg，今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg，应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？2.某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润=销售价-进货价）（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？3.如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。

初中二次函数最值问题解题技巧

初中二次函数最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？配方法可是二次函数最值问题的一大绝招啊！就像给函数穿上合适的衣服，一下子就变得精神了。

比如说对于函数y=x²+2x-3，咱就可以配方成y=(x+1)²-4，这样最值不就一目了然啦！
2. 哇塞，还有公式法呢！这可是超级厉害的工具哟！就如同有了一把万能钥匙。

像求二次函数y=2x²-4x+1 的最值，直接代入公式，不就轻松搞定啦！
3. 嘿呀，判别式法也不能小瞧呀！它就像是一个侦探，能帮我们找出很多线索呢。

比如已知一个二次函数与某个条件的关系，用判别式说不定就能找到最值啦！
4. 哎呀呀，图像法可是直观得很呐！简直就是把二次函数展现在你眼前。

像看二次函数 y=-x²+2x+3 的图像，最高点不就是最大值嘛，多清楚呀！
5. 哇哦，构造法也很奇妙哟！就好似搭建一个独特的模型。

比如根据已知条件构造一个新的二次函数来求最值，是不是很有意思呀？
6. 嘿，别忘了还有变量替换法呢！这就像给函数变个小魔术，巧妙得很呐。

假设一个变量来替换某个式子，然后求最值，噫，真神奇！
7. 哈哈，对称性质法也是很有用的呀！相当于找到了函数的一个秘密通道。

知道二次函数的对称轴，那最值还远吗？
8. 哟呵，参数法也可以试试呀！就好像加入了一个特别的元素。

通过参数来求解最值，那感觉超棒的！
9. 总之呢，这么多的解题技巧，可得好好掌握呀！它们都是我们解决二次函数最值问题的有力武器，可别小瞧它们哦！用对了技巧，这些难题都不叫事儿！。

二次函数与平面直角坐标系中的最值问题

二次函数与平面直角坐标系中的最值问题在平面直角坐标系中，二次函数是一个重要的数学概念，经常用于描述各种变化的规律。

对于二次函数而言，最值问题是一个关键的应用，它帮助我们确定函数的最大值或最小值，对于解决实际问题具有重要意义。

本文将从理论和实践两方面探讨二次函数与平面直角坐标系中的最值问题。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

不同的二次函数在坐标系中呈现出不同的形状和位置，反映了函数的特点和变化规律。

二、二次函数的最值问题对于给定的二次函数，我们常常需要确定其最大值或最小值，以便更好地理解函数的性质和应用。

最值问题可以分为两种情况：一是二次函数顶点的最值问题，二是二次函数在给定区间内的最值问题。

1. 二次函数顶点的最值问题二次函数的顶点是函数图像的最高点（最大值）或最低点（最小值）。

根据二次函数的性质，当a>0时，函数的顶点为最小值；当a<0时，函数的顶点为最大值。

因此，对于给定的二次函数，我们可以通过求解顶点的横坐标和纵坐标来确定其最值。

例如，对于二次函数f(x) = 2x² + 3x - 1，我们可以通过求解顶点的横坐标和纵坐标来确定其最小值。

首先，横坐标x的值可以通过x = -b / (2a)的公式得到，即 x = -3 / (2*2) = -3/4。

然后，将x = -3/4带入函数中，得到f(-3/4) = 2*(-3/4)² + 3*(-3/4) - 1 = -23/8。

因此，该二次函数的最小值为-23/8。

2. 二次函数在给定区间内的最值问题除了顶点的最值问题，有时我们需要在给定的区间内确定二次函数的最大值或最小值。

这就要求我们找到函数的临界点，并在临界点和区间的端点上进行比较。

[详细讲解]利用二次函数求几何图形面积的最值问题

利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.现举例说明.方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。

2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。

3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。

例1（2006年旅顺口区中考试题）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图1），其中AF ＝2，BF ＝1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积.简析设矩形PNDM 的边DN ＝x ，NP ＝y ，则矩形PNDM 的面积S ＝xy （2≤x ≤4），易知CN ＝4－x ，EM ＝4－y .且有NP BC CN-＝BFAF（作辅助线构造相似三角形），即34y x --＝12，所以y ＝－12x +5，S ＝xy ＝－12x 2+5x （2≤x ≤4），此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝5，所以当x ≤5时，函数的值是随x 的增大而增大，对2≤x ≤4来说，当x ＝4时，S 有最大值S 最大＝－12×42+5×4＝12.说明本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间.例2（2006年南京市中考试题）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？简析因为矩形MFGN ∽矩形ABCD ，所以MNAD＝MF AB，因为AB ＝2AD ，MN ＝x ，所以MF ＝2x ，所以EM ＝EF －MF ＝10－2x ，所以S ＝x (10－2x )＝－2x 2+10x ＝－2(x －52)2+252，所以当x ＝52时，S 有最大值为252.说明本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解.例3（2006年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD .（1）当AD ＝4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米.①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）简析（1）当AD ＝4米时，S半圆=12π×22AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12π×22＝2π(米2).（2）①因为AD ＝2r ，AD +CD ＝8，所以CD ＝8－AD ＝8－2r ，所以S ＝12πr 2+AD ·CD ＝12πr 2+2r (8－2r )＝(12π－4)r 2+16r ；②由①知CD ＝8－2r ，又因为2米≤CD ≤3米，所以2≤8－2r ≤3，图 2 图1所以 2.5≤r ≤3，由①知S ＝(12π－4)r 2+16r ＝(12×3.14-4)r 2+16r ＝－2.43r 2+16r ＝－2.43(r －82.43)2+642.43，因为－2.43＜0，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴r ＝82.43≈3.3.又2.5≤r ≤3＜3.3，由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r ＝3时，S 有最大值，S最大值＝(12π－4)×32+16×3≈(12×3.14－4)×9+48＝26.13≈26.1(米2).即隧道截面面积S 的最大值约为26.1米2.说明本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力.例4（2006年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子；另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图4），王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点.（1）求FC 的长；（2）利用如图5求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x (cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？图3（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长.简析（1）由题意，得△DEF ∽△CGF ，FC DF ＝CGDE，即603060=-FC FC ，所以FC ＝40(cm).（2）如图5，设矩形顶点B 所对顶点为P ，则①当顶点P 在AE 上时，x ＝60，y 的最大值为60×30＝1800(cm 2)；②当顶点P 在EF 上时，过点P 分别作PN ⊥BG 于点N ，PM ⊥AB 于点M .根据题意，得△GFC ∽△GPN ，所以CGFG NG DF =，所以NG ＝23x ，所以BN ＝120－23x ，所以y ＝x (120－23x )＝－23(x －40)2+2400，所以当x ＝40时，y 的最大值为2400(cm 2)；③当顶点P 在FC 上时，y 的最大值为60×40＝2400(cm 2).综合①②③，得x ＝40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm 2.（3）根据题意，正方形的面积y (cm 2)与边长x (cm)满足的函数表达式为： y ＝－23x 2+120x .当y ＝x 2时，正方形的面积最大，所以x 2＝－23x 2+120x .解之，得 x 1＝0（舍去），x 2＝48(cm).图4图5所以面积最大得正方形得边长为48 cm.说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（3）小题只需根据题意列出方程就能解决.。

二次函数的应用最值问题

二次函数的应用最值问题二次函数是一种常见的数学函数类型，它的应用十分广泛。

在实际问题中，我们经常会遇到需要求解二次函数的最值问题。

本文将通过几个具体的例子，来介绍二次函数的应用最值问题，并给出相应的解决方法。

一、抛物线问题首先，我们来考虑一个经典的抛物线问题。

假设有一只蚂蚁，它位于一个坐标轴上，初始位置为原点O(0,0)。

现在，蚂蚁开始向右移动，并以匀速行进。

在移动过程中，它经过了坐标点 P(a, a^2)，其中 a>0。

问题一：蚂蚁行进的轨迹是一条抛物线，那么蚂蚁到达最高点时，它的纵坐标是多少？解析：对于抛物线的最高点，我们可以通过求解二次函数的最值来得到。

设抛物线的方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。

由于抛物线经过点 P(a, a^2)，我们可以将其代入方程得到一个方程组。

根据方程组的解，我们可以求得 a 的值。

然后，将 a 代入原方程，即可计算出最高点的纵坐标。

问题二：蚂蚁离开原点 O 后，它到达最远的位置时，离原点的距离是多少？解析：要求解蚂蚁到达最远位置时离原点的距离，我们可以借助二次函数的顶点公式。

设抛物线的方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。

根据顶点公式，最远位置对应的横坐标是 x=-\frac{b}{2a}。

将 x 代入方程，即可计算出最远位置的纵坐标。

最后，根据勾股定理，计算距离即可。

二、面积最大问题接下来，我们考虑一个面积最大问题。

假设有一条固定长度的绳子，我们需要用它围成一个矩形。

问：如何确定矩形的长和宽，才能使得矩形的面积最大？解析：设矩形的长为 x，宽为 y。

根据题目的要求，我们有以下条件：1. 矩形的周长为固定长度，即 2x+2y=L，其中 L 是已知的常数；2. 矩形的面积为 x*y。

由于矩形的周长已知，我们可以将其中一个变量表示为另一个变量的函数。

例如，将 x 表示为 y 的函数：x=\frac{L}{2}-y。

将这个表达式代入矩形面积的函数中，即可得到一个只与 y 相关的公式，表示矩形面积 S 与 y 的关系。