辅导第1期：三角恒等变换(含答案)
三角恒等变换课后习题答案
三角恒等变换课后习题答案三角恒等变换是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识。
通过学习三角恒等变换，我们可以更好地理解和应用三角函数的性质，解决与三角函数相关的问题。
在课堂上，老师通常会给我们一些练习题，来帮助我们巩固所学知识。
在本文中，我将为大家提供一些三角恒等变换课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
题目一：证明恒等式sin^2x + cos^2x = 1。
解答：我们知道，三角函数的定义是在单位圆上定义的。
设点P(x,y)为单位圆上的一点，且OP为单位圆的半径。
根据三角函数的定义，sinx = y，cosx = x。
因此，sin^2x = y^2，cos^2x = x^2。
根据勾股定理，我们知道x^2 + y^2 = 1。
所以，sin^2x + cos^2x = y^2 + x^2 = 1。
因此，恒等式成立。
题目二：证明恒等式tanx = sinx/cosx。
解答：根据三角函数的定义，tanx = sinx/cosx。
所以，恒等式成立。
题目三：证明恒等式1 + tan^2x = sec^2x。
解答：根据三角函数的定义，tanx = sinx/cosx，secx = 1/cosx。
所以，tan^2x= (sinx/cosx)^2 = sin^2x/cos^2x。
根据恒等式sin^2x + cos^2x = 1，我们可以得到sin^2x = 1 - cos^2x。
将其代入tan^2x中，得到tan^2x = (1 -cos^2x)/cos^2x。
进一步化简，得到tan^2x = 1/cos^2x - 1。
根据恒等式secx= 1/cosx，我们可以得到1/cos^2x = sec^2x。
将其代入tan^2x中，得到tan^2x = sec^2x - 1。
因此，恒等式成立。
题目四：证明恒等式cotx = cosx/sinx。
解答：根据三角函数的定义，cotx = cosx/sinx。
所以，恒等式成立。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知△ABC的平面直观图△是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三角形由平面图形转化到直观图形时，位于上的边长不变，位于轴上的长度减半，因此直观图与平面图比较底边长不变，高为平面图高的倍，【考点】平面图形的直观图2.下列函数中，最小正周期为π的偶函数为A．B．C．D．【答案】D【解析】A中函数为奇函数；B中函数最小周期为；C中由函数图像可知函数不具有周期性；D中函数周期为，且为偶函数【考点】三角函数的周期性奇偶性3.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若成等差数列，且公差大于0，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，将边化为角，直接求得；（2）因为三边成等差数列，所以，同样根据正弦定理，将边化角得到，第二步，考虑两角和的公式，所以将，两个式子平方相加能够解得，第三步，考虑的大小关系，得到．试题解析：（1）由，根据正弦定理得，所以（2）由已知和正弦定理以及（1）得①设，②①2＋②2，得③代入③式得因此【考点】1．正弦定理；2．两角和的余弦公式．4.如果，那么的值为（）A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】上下同时除以，得到：，解得．【考点】同角三角函数基本关系式5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．0D．-【答案】B【解析】平移个单位得到，令知满足，故选B．【考点】三角函数的图像与性质．6.（本小题满分12分）已知．（1）若且=l时，求的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；（2）若且时，方程有两个不相等的实数根，求b的取值范围及的值．【答案】（1）（2），或【解析】第一问首先利用数量积的坐标运算公式以及倍角公式，两角和的正弦公式化简f（x），再利用得，结合三角函数的图像性质得，第二问要使方程有两个不相等的实数根，须满足，，试题解析：解：当且=l时，当且时，且而，要使方程有两个不相等的实数根，须满足----12分又【考点】向量的数量积公式，倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的图像性质．7.计算的值是．【答案】【解析】【考点】两角和与差的正弦公式8.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，与比较可知：只需将向右平移个单位即可【考点】三角函数化简与平移9.已知角的终边过点，则的值是（）A．1B．C．D．－1【答案】C【解析】，，，所以原式等于．【考点】三角函数的定义10.的最大值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】函数可化为，显然最大值为1，故选C【考点】•辅助角公式 三角函数求最值11.（本小题满分12分）已知，．（1）求及的值；（2）求满足条件的锐角．【答案】（1）,;（2）【解析】（1）由同角三角函数的基本关系及角的范围即可求出,再由倍角公式及角的范围即可求出。
三角函数与恒等变换课后题答案
三角函数与恒等变换（课后习题答案）【N 】基础篇题型一、任意角的概念、弧度制1.解：337148514851018044ππππ−︒=−⨯=−=−+︒. 所以D 选项是正确的2.A解：与60︒终边相同的角一定可以写成36060k ⨯︒+︒的形式，k z ∈， 令1k =−可得，300−︒与60︒终边相同 所以A 选项是正确的.3.C本题主要考查扇形的弧长和面积公式。
扇形的面积为222ar =，扇形的周长为26r ar +=， 可解得2r =时1a =，1r =时4a =。
4.扇形面积公式.【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值.【分析】把扇形的圆心角换算为弧度制，利用弧度制下扇形面积公式求解即可.【解答】解：扇形的中心角为51506πα=︒=，所以扇形的弧长5I R 66πα===，根据扇形的面积公式，得所求面积15264S π=⨯=. 故选: A.题型二、三角函数1.解：若sin 0α<则角终边在三四象限， 又tan 0α<，则角的终边在二四象限 取交得α是第四象限 故答案为：D2.本题主要考查同角三角函数的基本关系。
由sin tan cos ααα=得1sin cos 2αα=−，再由22cos sin 1αα+=得22sin (2sin )1αα+−=，即 25sin 1α=，因为2παπ<<，所以sin 0α>，故sin α=。
故本题正确答案为D 。
3.4.设出P 与地面高度与时间t 的关系，()sin()f t A t B ωϕ=++，由题意求出三角函数中的参数A ，B ，及周期T ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出ϕ，求出()35f 的值即可.详解：设P 与地面高度与时间t 的关系，()sin(f t A t ωϕ=+)(A 0,0,[0,2))B ωϕπ+>>∈，由题意可知：50A =，1105060B =−=，2T 21πω==，221πω∴=， 即2()50sin()6021f t t πϕ=++， 又因为(0)11010010f =−=，即sin 1ϕ=−，故32πϕ=， 2213()50sin 602f t t ππ+⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 23(35)50sin(35)6085212f ππ∴=⨯++=. 故选：B.5.6.7.由三角函数定义得3tan 2sin αα=，即sin 3cos 2sin ααα= ，得()223cos 2sin 21cos ααα==−解得1cos 2α=或cos 2α=−（舍去） 故本题答案为A 。
三角恒等变换1参考答案
1- 103, )- 三角恒等变换 1 参考答案1、26 ；2、sin α = 1-10 ；3、0；4、2；5、( 3 1 ；6、4 ；7、-1；8、 3 ；9、8；9310、λ =5 ；102 2 4 2、由条件可得sin β = 1+ cos α ， cos β =1- cos α，1- sin α1- sin α∵ sin 2 β + cos 2 β = 1 ，代入得： (1+ cos α ) 2 + (1- cos α ) 2= 11- sin α 1- sin α ⇒ 2 + 2 cos 2 α = 1- 2 sin α +sin 2 α ⇒ 3sin 2 α - 2 sin α - 3 = 0⇒ sin α =或sin α = > 1 （舍去）.∴sin α = .3、由题得α = tan α, β = tan β,∴α tan β = β tan α .所以α ⋅sin β=β ⋅ sin α ，∴α cos α sin β =β sin α cos β cos β cos α由题得(α + β )sin(α - β ) -(α - β )sin(α + β ) = -2α cos α sin β + 2β sin α cos β =0故答案为：04、(sin A +sin B +sin C )2= (cos A + cos B + cos C )2，去括号化简可得：cos 2A + cos 2B + cos 2C = -2cos(A + B ) - 2cos(B + C ) - 2cos(A + C ) = 2(cos A + cos B + cos C ) ，∴答案为 2；5、等式左边去括号，利用和差化积公式得到cotβ - α2，如下化简：3 sin α + sin β 左边=+ 1= 2sinα + βcosα - β 32 2 + 1 =3 β -α 1 cot + ； 2 cos α - cos β 2 2 -2sin α + β sin α - β 2 22 2 2 210、由tan θ = 1 (0 < θ < π ) ，得： sin θ =5 ， cos θ =2 5 ，2255由sin A sin B s in(C -θ ) = λ sin 22 5 C ，得： sin A sin B ( sin C 5 5cos C )= λ sin 2C ，1- 10 3 1+ 10 3 52 5 2 5 6 4 sin 2 C 即：= 1 ( sin C - cos C ) sin A sin B λ 5 5 1 1 2 cos A cos B 2 cos C sin C 2 cos C+ + ＝ + + ＝ + tan A tan B tan C sin A sin B sin C sin A sin B sin Csin 2 C＝ 2 cos C ＝ 1 ⨯ 1 ( sin C - cos C ) + 2 cos C sin A sin B sin C sin Csin C λ 5 5 sin C1 2 5 1 5 cos C 2 c os C＝ λ ⨯ 5 - λ ⨯ ⨯ + 5 sin C sin C＝k （k 为定值），即 2 5 sin C - 5 cos C +10λ cos C = 5k λ sin C ，k即 5(2sin C - cos C ) = 10λ( sin C - cos C ) 恒成立2所以，k ＝4，10λ = 5 ，λ = 10 11、（1） f (θ )、f (θ ) 在⎡0,π ⎤上均为单调递增的函数. …… 2 分1 3 ⎢⎣ 4 ⎥⎦对于函数 f (θ ) = sin θ - cos θ ，设 θ < θ , θ 、θ ∈⎡ 0,π ⎤ ，则 1 1 2 1 2 ⎢⎣4 ⎥⎦ f 1 (θ1) - f 1 (θ2 ) = ( s i n θ1 - s i n θ2 ) +( c o θs 2 - c o θs 1 )， s i n θ1 < s i n θ2 , c o θs 2 < c o θs 1 ，∴ f (θ )< f (θ ), ∴函数 f (θ ) 在⎡ 0, π ⎤上单调递增. …… 4 分1 1 12 1 ⎢⎣4 ⎥⎦（2） 原式左边= 2(s i n 6 θ + c o 6s θ )- (s i n 4θ + c o 4s θ)= 2(s i n 2θ + c o 2s θ )(s i n 4θ - s i n 2θ ⋅ c o 2s θ + c o 4s θ )- (s i n 4θ + c o 4s θ )=1 - s i n 2 2θ = c o 2s 2θ .…… 6 分又 原式右边= (cos 2 θ - sin 2 θ)2= cos 2 2θ .∴ 2 f (θ ) - f (θ ) = (cos 4 θ - sin 4 θ)(cos 2 θ - sin 2 θ ). …… 8 分（3） 当n = 1 时，函数 f (θ ) 在⎡ 0, π ⎤上单调递增，1 ⎢⎣ 4 ⎥⎦∴ f (θ ) 的最大值为 f ⎛ π ⎫= 0 ，最小值为 f (0) = -1.1 1 4 ⎪ 1⎝ ⎭当n = 2 时， f 2 (θ ) =1，∴ 函数 f 2 (θ ) 的最大、最小值均为 1.5 5 5 +⎛ 1 ⎫n ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎪ ⎝ 2 ⎭3⎪ ⎛ ⎫ 1n 1 n 2 1 2 2 1n ⎪ 2l 2l -2 n n n ⎪当n = 3 时，函数 f (θ ) 在⎡ 0,π ⎤上为单调递增. 3 ⎢⎣4 ⎥⎦∴ f 3(θ ) 的最大值为 f ⎛ π ⎫= 0 ，最小值为 f 4 3 (0)= -1. ⎝ ⎭当n = 4 时，函数 f (θ ) = 1 - 1 sin 2 2θ 在⎡ 0,π ⎤上单调递减，4 2 ⎢⎣4 ⎥⎦∴ f (θ ) 的最大值为 f (0) = 1，最小值为 f π = . …… 11 分4 4 4 4 ⎪ 2⎝ ⎭下面讨论正整数n ≥ 5 的情形：当n 为奇数时，对任意θ 、θ ∈⎡ 0, π ⎤且θ < θ ,1 2 ⎢⎣ 4 ⎥⎦1 2f (θ ) - f (θ ) = (sin n θ -sin n θ )+ (cos n θ - cos nθ )，以及 0 ≤ sin θ1 < sin θ2 <1, 0 < cos θ2 < cos θ1 ≤1，∴ sin n θ1 < sin n θ2 , cos n θ2 < cos n θ1，从而 f n (θ1) < f n (θ2 ) .∴ f (θ ) 在⎡ 0, π ⎤上为单调递增，则n ⎢⎣ 4 ⎥⎦f n (θ ) 的最大值为 f ⎛ π ⎫= 0 ，最小值为 f 44 (0) = -1 . …… 14 分⎝ ⎭当n 为偶数时，一方面有 f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ≤sin 2 θ + cos 2 θ =1 = f n (0) . 另一方面，由于对任意正整数l ≥ 2 ，有2 f (θ) - f (θ ) = (c o 2s l -2 θ -s i n 2l -2 θ )(c o 2s θ - s i n 2θ )≥ 0 ，∴ f n (θ ) ≥ 1 f 2n -2 (θ ) ≥ ≥ 1 n -1 f 2 (θ ) = 1 n -1 ⎛ π ⎫ = f n 4⎪ . ⎝ ⎭2 2 2 2∴ 函数 f (θ ) 的最大值为 f (0) =1 ，最小值为 f ⎛ π ⎫ = 2 . 4 ⎝ ⎭综上所述，当n 为奇数时，函数 f n (θ ) 的最大值为0 ，最小值为- 1 .当n 为偶数时，函数 f n (θ ) 的最大值为1 ，最小值为2 . …… 18 分。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则【答案】【解析】由，因此，.【考点】（1）诱导公式的应用；（2）同角三角函数的基本关系.2.已知0＜β＜＜α＜π，且，，求cos（α＋β）的值．【答案】．【解析】（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围．试题解析：解：，，∴＝＝，sin＝＝，∴＝＝＋sin sin＝×＋×＝，∴（α＋β）＝2－1＝2×－1＝－．【考点】根据三角函数值求值．3.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.4.已知，，且为锐角，则___________．【答案】【解析】由，两式平方相加得：，即有，由为锐角，且，知，从而得，因此，所以，观察式子的结构特点，注意解题技巧的积累．【考点】三角恒等变换之一：求值．5.设且则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，，故，即.故选C.【考点】二倍角公式的应用.6.已知，且．（１）求的值；（２）求的值．【答案】(1);(2)【解析】(1)=;(2)因为,由已知易求出,,则.试题解析：(1)原式=,则【考点】1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式7.已知向量，，，.（Ⅰ）若，求函数的值域；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数的值域为；（Ⅱ）实数的取值范围为.【解析】（Ⅰ）将向量语言进行转换，将问题转化为三角问题，通过换元进一步将问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题，从而得以解决；（Ⅱ）通过换元将问题转化为一元二次方程根的分布问题，通过数形结合，最终归结为解一个不等式组的问题.试题解析：（Ⅰ） 1分，，， 2分，，， 3分，， 4分，又，， 6分（Ⅱ）由得，令，，则，关于的方程有两个不同的实数解，，在有两个不同的实数解， 8分令，则应有11分解得 14分【考点】三角恒等变换及三个二次的综合应用.8.设a＝(sin56°－cos56°)， b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝ (cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是 ( ).A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】B.【解析】因为，，，又因为在内余弦函数单调递减，所以，即c<a<b.【考点】辅助角公式（化一公式），诱导公式，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式，余弦函数单调性.9.求值： ___________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.10. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．11. 4 sin．cos =_________．【答案】1【解析】根据正弦二倍角公式,可得．【考点】正弦二倍角公式．12.已知，（1）求；（2）求。
三角恒等变换答案解析
1.解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2.解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3.解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4.解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5.解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6.解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 答案 D7.解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8.解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A9.解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎡⎦⎤1－22，1＋22. 答案 C10.解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A 11.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝tan α＋121－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201212.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案5913.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案1214.解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④ 15.证明左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．16.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73，∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.17.解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350. 18.解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.。
三角恒等变换(含答案)
2
4
4
4
从而 sin
−
4
=
−
4 5
，因此
tan
−
4
=
−
4 3
．故填
−
4 3
．
评注：此处的角还可由 cos
−
4
=
3 5
缩小至 2k +
2
−
4
2k
+
7 4
(k
Z)
，但没必要．
另外，还可利用
tan
−
π 4
tan
+
π 4
=
−1 来进行处理，或者直接进行推演，即由题意
cos
+
4
4
5
（A） 7 25
（B） 1 5
（C） − 1 5
（D） − 7 25
【解析】因为
cos
π 4
−
=
3 5
，
2 (cos + sin ) = 3，所以 cos + sin = 3
2
5
5
2 ，两边平方得，
1+sin 2 = 18 sin 2 = 7 ．故选 D．
25
25
2
解法二：
cos 2
4
= − 1 ．选 A 2
2
1+
cos
2
22
2
2
2
4．【2010 新课标文 10】若 sin = − 4 ， 是第三象限的角，则 sin( + ) = （ ）
5
4
（A） − 7 2 10
（B） 7 2 10
（C） − 2 10
三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)
三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（ ）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（ ） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（ ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是 ．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】 试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】 试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10． 【解析】 试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分 由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分 考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1． 考点：三角函数的图像与性质.。
三角恒等变换1
《三角恒等变换1》答案一、选择题二、填空题 12. 11161665 三、解答题 15. y max =258, y min =－3 16. 4π 17. 略18. (1)π (2)增区间：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，减区间：511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z(3)对称轴方程：5,212k x ππ=+ 对称中心：,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中k ∈Z《三角恒等变换2》答案13、43π 14、 23- 15、第四 16、 3三、解答题6563135********sin cos cos sin )sin(sin ,1312cos ,180B A ,120,1312cos 6023sin ,1312sin 1cos ,135sin 54sin ,53cos ,:.170002=⨯+⨯=+=+=∴=>+>∴-=>∴>±=-±===∴=∆B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时若可得又由中在解6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 54)cos(,135)sin(23,40432:.19-=⨯-+⨯-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<βαβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ解 右边左边证明=-+=-+⨯+=-+=++-=+=+=xx x xx x x x x xx x x x x x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)24cos 122(224cos 12cos 222sin 41)22cos 1()22cos 1(cos sin cos sin sin cos cos sin :.202222224422224321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0240271tan :.21πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-= 解22.解：（1）2cos cos 1y x x x =+cos 2112x +=++11cos 22122x x =+++ 3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++ （2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈《三角恒等变换3》答案一、选择题二、填空题 1355 14 －233 15 －24 16 －1010 17 1 18 －725－1 三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.1 20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α. 解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇒cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0 又α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0.故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14，求cos4x 的值.解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14⇒12 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－14 ⇒sin2x ＝－12 ⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝12 .22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α ＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α ＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值.解：由条件知tanα、tanβ是方程x2－4px－2＝1的两根.∴⎩⎨⎧tanα＋tanβ＝4ptanαtanβ＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2《三角恒等变换4》答案一、选择题1. D ，2. D3. C 为钝角4. D ，，5. C ，为奇函数，6. B二、填空题2.3.4.(,0)2xπ∈-24332tan24cos,sin,tan,tan25541tan7xx x x xx==-=-==--25sin()5,21y x Tπϕπ=++==cos cos sin sin cos()0,cos0,cos0,A B A B A B C C C-=+>-><a=061b=060c=2cos242y x x x==-242Tππ==442222221sin cos(sin cos)2sin cos1sin22θθθθθθθ+=+-=-21111(1cos2)218θ=--=0000000tan20tan40tan60tan(2040)1tan20tan40+=+==-000020tan40tan20tan40=+200811sin21sin2tan2cos2cos2cos2cos2ααααααα++=+=222(cos sin)cos sin1tan2008cos sin cos sin1tanαααααααααα+++====---17,3922417 (sin cos)1sin,sin,cos212sin22339θθθθθθ+=+===-= 0360,22cos2cos cos2sin12sin2sin2222B C A A AA A++=+=-+当，即时，得三、解答题1. ①解：.②解：令，则2. 解：原式3. 解：（1）当，即时，取得最大值为所求（2）三角函数综合考试卷（参考答案）22132sin2sin12(sin)22222A A A=-+-=--+1sin22A=060A=max3(cos2cos)22B CA++=sin sin sin,cos cos cos,βγαβγα+=-+=-22(sin sin)(cos cos)1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-=-cos cos tαβ+=2221(sin sin)(cos cos),2tαβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t tαβαβ+-=+-=-2231722,,22222t t t-≤-≤-≤≤-≤≤200000002cos10cos5sin5sin10()4sin10cos10sin5cos5=--00000cos10cos102sin202cos102sin102sin10-=-=0000000000cos102sin(3010)cos102sin30cos102cos30sin102sin102sin10---+==cos30==sin2sin()2223x x xyπ=+=+2232xkπππ+=+4,3x k k Zππ=+∈y|4,3x x k k Zππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭2sin()2sin2sin232x xy y y xππ=+−−−−−→=−−−−−−−→=右移个单位横坐标缩小到原来的2倍3siny x−−−−−−−→=纵坐标缩小到原来的2倍一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1—5：CCABD 6—10：DAABC 11—12：CC 二、填空题：（每小题4分，共16分）13、8 14、1) 15、、③④三、解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、解：（1）∵1cos 7A =且(0,)2A π∈∴tan A =又22tan tan 21tan 47A A A ==-- （2）∵(0,)2A π∈ 1cos 7A =∴sin A =又2B A π<<∴ 02A B π<-< ∵13cos()14A B -=，∴sin()A B -=∴cos cos[()]B A A B =--cos cos()sin sin()A A B A A B =-+-21=∵(0,)2B π∈ ∴3B π=18、解：（1）∵cos221y x x m =++ ∴2sin(2)16y x m π=+++（2）1m = （3）Z k k k T ∈++=],32,6[;πππππ 19、解：在△ABD 中，由正弦定理：0sin sin 30AB BD ADB =∠⇒12BD=⇒2BD =⇒BD =在△CBD 中，由余弦定理：22202cos60CD BC BD BC BD =+-⋅⇒2220CD =+-⋅ ⇒213501504501050CD =+-=⇒CD =∴t ==（小时）答：该救援船到达D小时20、解：（1）由题得：tan AC a θ= ∴21()tan (0)22f a πθθθ=<< 设正方形的边长为x ，则s i n xBG θ=，由几何关系知：AGD θ∠= ∴cos AG x θ= 由BG AG a += ⇒ cos sin xx a θθ+= ⇒sin 1sin cos a x θθθ=+∴222sin ()(0)(1sin cos )2a g θπθθθθ=<<+（2）2()(1sin cos )1sin 21()2sin cos sin 24f g θθθθθθθθ+==++令：sin 2t θ= ∵02πθ<< ∴(0,1]t ∈ ∴11411()44t y t t t =++=++ ∵函数141()4y t t=++在(0,1]递减∴min 94y =（当且仅当1t =即4πθ=时成立）答：21()tan (0)22f a πθθθ=<< 222sin ()(0)(1sin cos )2a g θπθθθθ=<<+ 当 4πθ=时成立 min 94y =21、解：（1）∵tan tan b B c C = ∴sin sin cos cos B Cb c B C= 即：22cos cos b C c B = 即：2222222222a b c a c b b c ab ac+-+-= ⇒222222()()b a b c c a c b +-=+-⇒232232a b b bc a c c b c +-=+- ⇒ 2233220a b a c b c b c bc -+-+-= ⇒222()()()()0a b c b c b bc c bc b c -+-+++-=⇒222()()0b c a b bc c bc -++++= ∴b c =∴△ABC 为等腰三角形（2）设,AD DC m ==则2AB m =，根据面积公式得：11sin 2222ABC S AB AC A m ∆=⋅=⨯⨯根据余弦定理得：22222224353cos24AB AD BD m m m A m m m +-+--===⨯∴ABC S ∆==易知当253m =时，max ()2ABC S ∆=22、解：（1）当0b =时，()sin g x a x c =+ 当0a =时，值域为：{}c当0a ≠时，值域为：[||,||]a c a c -++ （或将a 分三类讨论也行）（2）当1a =，0c =时，()sin cos g x x b x =+且图象关于53x π=对称。
三角恒等变换(含答案)
三角恒等变换
一、单选题(共10道，每道10分)
1.的值为( )
A. B.1
C.-1
D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正切公式
2.的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦
3.已知，是第三象限角，则的值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的余弦公式
4.已知，，则的值是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正弦公式
5.已知，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：两角和与差的正切公式
6.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦
7.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切
8.若，则=( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦
9.已知，则的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦
10.设，则函数的最值是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
2023-2024学年高一上数学必修一：三角恒等变换(附答案解析)
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1．cos2π－1的值为( B ) 84
A. 2－1 B. 2＋1 C. 2 D. 2
4
4
4
2
解析：cos2π－1＝1＋cosπ4－1＝ 2＋1.
84
2
44
2．若sinα＋cosα＝1，则 tan2α等于( B ) sinα－cosα 2
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9．化简 cos(36°＋α)cos(α－54°)＋sin(36°＋α)sin(α－54°)＝0.
解析：原式＝cos[(36°＋α)－(α－54°)]＝cos90°＝0.
10．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆
交于
A，B
两点，如果点
A
的纵坐标为3，点 5
B
的横坐标为 5 ，则 13
3－ 2. 2
解析：由题可得
f(x)＝
22sin
2x－π4
＋3，所以最小正周期 2
T＝π，
最小值为3－ 2. 2
三、解答题(共 45 分)
12．(15 分)求证：ta1ncαo－s2tαanα2＝14sin2α. 2
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cos2α
cos2α
cos2α
证明：左边＝
1 sinα
－1－cosα sinα
2sin10°cos10°
1cos10°－ 3sin10°
2
2
＝
4sins3in02°－0°10°＝14.
4．tan13°＋tan32°＋tan13°tan32°等于( D )
A．－ 2 B. 2 C．－1 D．1 22
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高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.若x＝，则sin4x－cos4x的值为A．－B．－C．－D．－【答案】D【解析】因为==-，所以-=-=－，故选D。
【考点】本题主要考查二倍角的余弦公式、同角公式。
点评：二倍角的余弦公式具有多种形式，是高考考查的重点内容之一。
此类问题往往是先化简，再求值。
2.已知是方程的两个根，且，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】因为是方程的两个根，所以，因此：因为，所以则或而，则，故选B.【考点】本题主要考查两角和的正切公式。
点评：首先利用韦达定理求出，,再由两角差的正切公式对其进行化简，进一步求角。
此类问题，要注意角的范围。
3.设（）【答案】Ｂ【解析】，故选B。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：本题主要找已知角与要求的角的关系：，采取整体思想，再利用两角和与差的正切公式.“变角”是常用技巧之一，属常考题型。
4. .【答案】【解析】【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意公式的灵活运用。
5.已知,是方程的两根,求的值.【答案】【解析】为方程的两根，，而所以，.【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：利用韦达定理,两角和的正切公式及同角三角函数关系,先化简,再求值.“ 变角”是常用技巧。
6.是否存在锐角和，使得：(1) (2)同时成立？若存在，求及的值；若不存在，说明理由。
【答案】存在锐角，使得（1）、（2）同时成立。
【解析】由（1）将（2）代入上式则、是的两根，解之得由于，从而，将代入（1）式得：存在锐角，使得（1）、（2）同时成立。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：利用韦达定理,通过构造一元二次方程，简化了解题过程.存在性问题，常常从已知出发加以探究。
7.若，则＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以=，即，cos=，所以=，故选B。
【考点】本题主要考查“倍半公式”、诱导公式、同角公式的应用点评：此类问题，主要是通过三角恒等变换先“化一”，再求值。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知函数，，且求的值；设，，，求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确；(2)求解较复杂三角函数的时，寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；；（3）要注意符号，有时正负都行，有时需要舍去一个；（4）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：解：（1），解得. 5分（2），即，，即. 8分因为，所以，，所以. 12分【考点】（1）三角函数给值求值,(2）诱导公式的应用.2.化简得到（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数的诱导公式和倍角公式.3.【答案】【解析】本题为由切求弦，由已知利用两角差的正切公式计算可得的值，并将已知化为正切的形式，考虑恒等变化故在原式填一分母,然后弦化切（分子分母同除以）.试题解析：因为所以所以 3分故 7分10分【考点】由切求弦.4.已知、、是△的三内角，向量，且，，求.【答案】.【解析】首先运用内角和定理将问题转化为，这样只要研究、的三角函数值即可，由条件可以建立两个关于、的方程，可解出关于、的三角函数值，进而求出的值.试题解析：由，得，即 1分而∴∴， 3分7分∴ 9分∴为锐角，∴ 10分13分【考点】三角恒等变换中的求值问题.5.已知，则 .【答案】【解析】两式平方相加并整理得，所以.注意公式的结构特点，从整体去解决问题.【考点】三角恒等变换.6. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【答案】【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．7.已知＝2，则的值为；的值为_____．【答案】【解析】，又，，。
三角函数恒等变换含答案及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角函数恒等变换知识点和习题(含答案)教师版
三角函数恒等变换知识点和习题（含详解答案）一．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．半角公式2cos 12sinαα-±=2cos 12cosαα+±=αααcos 1cos 12tan+-±=（αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=）4.（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。
（αα2cos 1sin22-= αα2cos 1cos 22+=）（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5．三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
二．典例解析题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），例1：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：322）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）题型2：三角函数名互化(切化弦)例2（1）求值sin 50(1)o o（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）题型3：公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。
三角恒等变换复习答案
三角恒等变换复习答案1解析 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.2答案 A 解析 方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cosα)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z)，∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.方法二 由sin α＋cos α＝33，两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.3答案 A 解析 由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.4答案 D 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝3.5答案 B 解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 6答案 A 解析 sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79. 7答案 D 解析 ∵θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π.∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 8答案 C 解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝322.9答案 D 解析f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，由－π2≤x ≤π2，得－π6≤x ＋π3≤5π6.所以当x ＋π3＝π2时，f (x )有最大值2，当x ＋π3＝－π6时，f (x )有最小值－1.10 空11答案54解析 由诱导公式及倍角公式，得cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝54. 12答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－322cos 212°－1sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin－48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.13答案 π2解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝45×35－35×45＝0，∴α＋β＝π2.14答案713解析 由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－15，得sin αcos β＝730，cos αsin β＝1330，所以sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝713.15答案 17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250.16解 因为1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝1＋sin α2cos 2α－1－sin α2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α|＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z}．17解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝－43＋310.18思维启迪：(1)拆分角：α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tanα－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.19答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z)解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos 2x2＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z.所以所求区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z)．审题视角 (1)问首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得；(2)问由x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．20解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，[4分]所以f (x )的最小正周期为π.[6分](2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.[8分]于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；[10分]当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.[12分]21解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π12＝2[32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6]＋1＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＝1，此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z)，所以所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．补偿训练1、若2π-≤x ≤2π，则()3sin cos f x x x =+的取值范围是（ ）Ａ．[2,2]- Ｂ．[2,3]- Ｃ．[3,2]- Ｄ．[3,3]-3、ω为正实数，函数1()sincos222xxf x ωω=在[,]34ππ-上为增函数，则( )Ａ．0ω<≤32 Ｂ．0ω<≤2 Ｃ．0ω<≤247Ｄ．ω≥2 4、函数sin()cos 6y x x π=-的最小值________。