高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程互动课堂学案新人教A版选修4_4
2021_2022学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成以下问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B直线参数方程的简单应用【例1】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，那么该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25t ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋15t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2t ′的几何意义．|t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，那么弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，那么点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 2．此题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，那么S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题]1．假设直线l 的倾斜角α＝0，那么直线l 的参数方程是什么？[提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合． 【例3】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)， ∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义， 知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选B. [答案] B 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，那么直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22[解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝________.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。
高中数学 第二讲 参数方程 2.3 直线的参数方程学案(无答案)新人教A版选修4-4(2021年整
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3直线的参数方程学习目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法:能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
学习重点:参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。
学习难点:如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e知识回顾: 我们学过的直线的普通方程都有哪些?学习过程:问题1已知一条直线过点),(000y x M ，倾斜角α,求这条直线方程。
问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。
问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。
问题4设0M M t =，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。
问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上,任取一点M (x ,y )的坐标表示出来 即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程:问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？问题70,M M te l t =由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？练习:1、直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=0020cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是（ ） A ， 020 B ， 070 C, 0110 D ， 01602、求直线01=-+y x 的一个参数方程。
精选2018版高中数学第二讲参数方程学案新人教A版选修4_4
第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在.跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a ＞3C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1). 答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cosθ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________.解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数)要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2) 3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.答案π6或5π610.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1， 圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？ 提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .) [预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ. 4.抛物线y 2＝2px 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sinα2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程课堂探究学案 新人教A版选修44
三 直线的参数方程课堂探究探究一 求经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直,,线的参数方程 由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程． 【例题1】已知直线l 过点P (3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点坐标．思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，解得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两条直线的交点坐标为(3,4)．探究二 直线参数方程的应用在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．【例题2】已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，求该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数t 的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t ′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．解：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋25 t ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15 t ′2＝9，整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则有t 1′＋t 2′＝－85，t 1′t 2′＝－4.所以|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝645＋16＝1255. 探究三 易错辨析易错点：错用参数的几何意义【例题3】已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t 2－6t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝6，t 1·t 2＝2，由于|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，从而|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|＝2，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝62－4×2＝27.错因分析：直线l 的方程中，参数t 的意义与直线参数方程的标准形式中参数t 的意义是不同的，后者是点M 与直线l 上的一点形成的有向线段MP 的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．正解：l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ＞0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝14.。
人教版2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三直线的参数方程学习目标 1. 理解并掌握直线的参数方程.2. 能够利用直线的参数方程解决相关问题．知识点直线的参数方程思虑 1如图，π直线 l 过定点 M0( x0， y0)且倾斜角为α α ≠ 2，那么直线的点斜式方程是什么？答案y－ y0＝tanα( x－x0)．思虑 2在思虑1中，若令x－x0＝t cosα( t 为参数)，那么直线l 的参数方程是什么？x＝x0＋ tcos α，答案( t为参数 ) ．y＝y0＋ tsin α梳理(1) 直线的参数方程①过点 M( x ，y )，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，( t为参数 ) ；000y＝ y0＋tsin α②由α 为直线的倾斜角知，当0<α <π时， sin α>0.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示t 对应的点 M到 M0的距离．①当――→与 e(直线的单位方向向量) 同向时，t取正数；M0M②当――→与 e 反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t ＝0. M0M(3) 重要公式：设，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA，B，则|| ＝ |tBA t AB －t A|＝错误! .种类一直线的参数方程与一般方程的互化例 1(1) 化直线l 1的一般方程x＋ 3 －1＝ 0 为参数方程，并说明|t| 的几何意义；y(2) 化直线l2x＝－ 3＋ t ，的参数方程( t为参数 ) 为一般方程，并求倾斜角，说明 | t | y＝ 1＋ 3t的几何意义．解 (1) 直线l1与 x 轴交于点 M(1,0)，3又 k＝tanα＝－3，31∴ cos α＝－2， sin α＝2，3x＝ 1－2 t ，∴直线 l 1的参数方程为( t为参数 ) ．1y＝2t| t | 表示t对应的点M( x，y) 到M的距离．(2) 方程组变形为x＋ 3＝ t ，①y－ 1＝ 3t，②①代入②消去参数t ，y－1＝3( x＋3) ，可得k＝tan α＝π得直线的点斜式方程3，倾斜角α＝3，一般方程为 3x－y＋3 3＋ 1＝ 0.又∵①②两式平方相加，得(x ＋3) 2＋ (y－ 1)2＝ 42，t∴ | t | ＝错误 ! ，| t | 是定点M1( －3,1)到 t对应的点 M( x，y)的有向线段错误!的长的一半．反省与感悟(1) 一条直线能够由定点M( x ， y )，倾斜角α(0≤ α<π)独一确定，直线000上动点 M( x， y)的参数方程为x＝x0＋ tcosα ，( t为参数 ) ，这是直线参数方程的标y＝y0＋ tsin απx＝ x0，( t为参数 ) ．准形式，特别地，当α＝2时，直线的参数方程为y＝ y0＋ tb参数t 的几何意义也不相同，过定点 M 0( x 0，y 0) ，斜率为 的 ax ＝ x0＋ at ， 直线的参数方程是( a ， b 为常数， t 为参数 ) ．y ＝ y0＋ btx ＝－3＋3t ，追踪训练 1 已知直线 l ：2( t 为参数 ) ．1y ＝ 2＋ 2t(1) 分别求 t ＝ 0,2 ，－ 2 时对应的点 M ( x ，y ) ；(2) 求直线 l 的倾斜角；(3) 求直线 l 上的点 M ( － 3 3， 0) 对应的参数 t ，并说明 t 的几何意义．3解 (1) 由直线 l ：x ＝－3＋ 2 t ，( t 为参数 ) 知，当 t ＝ 0,2 ，－ 2 时，分别对y ＝ 2＋1t2应直线 l 上的点 ( －3， 2) ，(0,3) ，( －2 3，1) ．x ＝－ 3＋3t ，32(2) 方法一化直线 l ：1( t 为参数 ) 为一般方程为y － 2＝ 3 ( xy ＝ 2＋2t＋ 3) ，3设直线 l 的倾斜角为α，则 k ＝tan α ＝ 3 (0 ≤α <π ) ，π解得 α ＝.π故直线 l 的倾斜角为6 .x ＝－ 3＋ tcosπ6 ，方法二 易知直线 l ：( t 为参数 ) ，y ＝ 2＋ tsinπ 6π则直线 l 过定点 M 0( － 3， 2) ，且倾斜角为6 ，π故直线 l 的倾斜角为. (3)由 (2) 可知直线l的单位向量e ＝ cosπ， sinπ＝31，且0(－3，2) ，662，2M又已知 M(－33， 0) ，――→31∴ M0M＝(－2 3，－2)＝－4 2，2＝－ 4e，∴点 M(－33， 0) 对应的参数t＝－ 4，几何意义为 |――→――→M0M | ＝4，且M0M 与e方向相反．种类二直线参数方程的应用命题角度1求弦长 | AB| 问题例 2 已知抛物线y2＝ 8x的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线交抛物线于A， B 两点．(1)求| AB| ；(2)求 AB的中点 M的坐标及| FM|.解抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，x＝ 2＋1t ，依题意，设直线AB的参数方程为5( t为参数 ) ，其中 cosα＝1，25 y＝ t5sin α＝2，α为直线 AB的倾斜角．51x＝ 2＋t ，5将代入 y2＝8x，整理得 t 2－25t－ 20＝0.y＝2t5设 A， B 对应的参数值为t 1， t 2，则 t＋t＝ 25，t t＝－ 20.1212(1)|AB|＝| t－t |＝错误!＝错误!＝10.21→ →(2) 设AB的中点为M( x，y) ，则 AM＝ MB，→→→→∴ FM－ FA＝ FB－FM，→ 1→→ t1 ＋ t25e ，∴ FM ＝ (FA ＋FB) ＝ 2 e ＝2故点 M 对应的参数为 5，x ＝ 2＋ 5cos α，得 M (3,2) ，| FM | ＝t1 ＋ t2由2＝ 5.y ＝ 5sin αx ＝ x0＋ tcos α，( t 为参数 ) ，反省与感悟设二次曲线 C ： F ( x ， y ) ＝ 0，直线 l ：αy ＝ y0＋ tsin若是 l 与 C 订交于 A ，B 两点，那么将 l 的方程代入 F ( x ，y ) ＝0 后，可得 at 2＋ bt ＋ c ＝ 0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时 ――→ ――→α ，sin α ) ， M0A ＝t 1e ， M0B ＝ t 2e ，e ＝ (cos 于是易得以下两个常有的公式： (1)| | ＝ | t1－ 2| ； (2) 线段 AB 的中点 M 对应的参数tABt＝ t1 ＋ t2 ，且 | 0 | ＝|t1＋ t2| .2MM2π22追踪训练 2直线 l 过点 P 0( － 4,0) ，倾斜角 α ＝ 6 ，l 与圆 x ＋ y ＝7 订交于 A ，B 两点．(1) 求弦长 | AB | ；(2) 求 A ， B 两点坐标．，倾斜角 α＝ π， 解 (1) ∵直线 l 过点 P ( － 4,0)6x ＝－ 4＋3t ，∴可设直线 l 的参数方程为2( t 为参数 ) ，ty ＝ 2，3212t代入圆方程，得－ 4＋ 2 t ＋ 2＝ 7.整理得 t 2－ 4 3t ＋ 9＝ 0. ①设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，由根与系数的关系，得t 1＋ t 2＝ 4 3， t 1t 2＝ 9，∴ | AB | ＝ | t 2－t 1| ＝错误 ! ＝ 2错误 ! .(2) 解①得 t 1 ＝3 3， t 2＝ 3，代入直线参数方程x ＝－ 4＋3t ，21y ＝2t ，3 3 5 3 5 33 3得A 1，2 ，B － ，或A － ，， B1，.2222 222命题角度 2求积 ||·|0 | 问题MAMB1022例 3 过点 P 2 ， 0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋12y ＝ 1 交于点 M ，N ，求 | PM | ·|PN |的最小值及相应的 α 值．x ＝10π＋ tcos α ，解设直线为2(0 ≤ α < 2 ， t 为参数 ) ，y ＝ tsin α代入曲线 x 2＋ 12y 2＝ 1，并整理得 (1 ＋11sin 2α ) t 2＋ ( 10cos α ) t ＋3＝ 0.221由≥ 0 得， sin α ≤19，设 M ，N 对应的参数为 t 1，t 2，32∴ t 1t 2＝ 1＋ 11sin2 α ，323∴ | PM |·|PN | ＝ | t 1t 2| ＝1＋ 11sin2 α ＝ 2＋ 22sin2 α.21 19∴当 sin α ＝19时， | PM |·|PN | 获取最小值，且最小值为 20.反省与感悟 利用直线的参数方程，能够求一些距离问题，当求直线上某必然点到直线与曲线交点的距离时，依照直线参数方程中参数的几何意义解题更加方便．π追踪训练 3 已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ 6 ，(1) 写出直线 l 的参数方程；(2) 设 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 订交于两点 A ， B ，求点 P 到 A ， B 两点的距离之积．π解(1) 因为直线 l 过点 P (1,1) ，倾斜角为6 ，πx＝ 1＋ tcos 6 ，因此直线的参数方程为( t为参数 ) ，πy＝ 1＋ tsin，3x＝ 1＋2 t ，即( t为参数 ) 为所求．1y＝1＋2t(2) 因为点，都在直线l 上，因此可设它们对应的参数为t1 和t2，则点，B的坐标分A B A 别为3131A 1＋2t1，1＋2t1，B 1＋2t2，1＋2t2，把直线 l的参数方程代入圆的方程x2＋ y2＝4，整理获取 t 2＋(3＋ 1)t －2＝0，①因为 t 1和 t 2是方程①的解，进而 t1t 2＝－2.因此 | PA| ·|PB| ＝ |t t |＝|－ 2| ＝2.12种类三直线参数方程的综合应用2x＝－ 4＋2 t ，例 4已知曲线C1：( t为参数 ) ，2y＝2 tx＝－ 2＋ cos θ，C2：( θ为参数 ) ．y＝ 1＋sin θ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线 C1和 C2订交于 A， B 两点，求| AB|.2(1) 由曲线x＝－ 4＋2t ，t y＋ 4，解1：消去参数，得＝C2xy＝，t2因此曲线 C1表示一条直线．x＝－ 2＋ cos θ，由曲线 C2：消去参数θ，y＝ 1＋ sin θ，得 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，因此曲线 C 表示以 ( － 2,1)为圆心， 1 为半径的圆．2(2) 方法一 2到直线 x － y ＋4＝ 0 的距离为 d ＝| －2－1＋4| 2圆心 C ( －2,1) 2＝ 2 ，因此 || ＝ 2 r2 －d2＝ 21－ 1＝ 2.AB22x ＝－ 4＋ 2 t ，方法二将直线的参数方程 C 1：( t 为参数 )y ＝2t2222代入曲线 C ： ( x ＋ 2) ＋ ( y － 1) ＝1，整理得 t 2－ 3 2 ＋4＝ 0.t设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1t 2＝ 4，因此 | | ＝ | t 1－ t 2|＝错误!＝错误!.AB引申研究1．若点 P ( －4,0) 是曲线 C 上的定点，本例其余条件不变，求| PA | ＋ | PB | 的值．1解 由曲线 C 2： x ＝－ 2＋ cos θ，知，y ＝ 1＋sin θ2 2曲线 C 是圆 ( x ＋2) ＋ ( y －1)＝ 1.2因为点 P ( －4,0) 在圆 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1 外，2x ＝－ 4＋ 2 t ，将直线的参数方程2y ＝ 2 t代入曲线 C 2： ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，得 t 2－ 32t ＋ 4＝ 0，设 A ， B 对应的参数为 t 1， t 2，则 t 1 ，t 2 同号，且 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t 1| ＋| t 2| ＝ | t 1＋t 2| ＝ 3 2.2．在研究 1 条件不变的情况下，求11|PA| ＋ |PB| 的值．解 由研究 1 知， t 1＋ t 2＝ 3 2 ，t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t ＋ t | ＝ 3 2，1 2| |·| |＝|1t 2|＝4.PAPBt11|PA| ＋ |PB|3 2因此|PA| ＋|PB| ＝|PA| ·|PB| ＝ 4 .反省与感悟(1) 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，能够经过方程组求出参数值，再依照参数值得出交点坐标．(2) 解题时若是波及求直线被曲线截得的线段的长度或许直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都能够利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．3x ＝ 5＋ 2 t ，追踪训练 4 已知直线 l ：( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴的1y ＝3＋ 2t正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ ＝ 2cos θ .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5 ，3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为A ，B ，求 | MA |·|MB | 的值；11(3) 求 |MA| －|MB| 的值．解 (1) 曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2cos θ 化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0.3(2) 将x ＝ 5＋ 2t ， 2＋2－2 ＝0，代入1xyxy ＝ 3＋ 2t得 t 2 ＋5 3t ＋ 18＝ 0.设这个方程的两个实根分别为t ，t ，12则由参数 t 的几何意义可知，| MA |·|MB |＝ | t t | ＝ 18.12(3) 由 (2) 知 t 1，t2为同号，| |MB| － |MA| | ＝ | |t2| － |t1| | ＝| t 2－ t 1| ＝错误 ! ＝错误 ! ，1 1 | |MB| － |MA| | 3∴ |MA|－ |MB|＝|MA| ·|MB|＝ 18.x＝ 2＋ 3t ，( t为参数 ) 上对应t＝ 0，t＝ 1 两点间的距离是 () 1．直线y＝－ 1＋ tA．1B.10C． 10D． 22答案B剖析因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不能够直接由 1－ 0＝1 来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程获取两点坐标(2 ，－ 1) 和 (5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即错误!＝错误!.x＝－ 3＋ tcos α，π2．直线y＝ 2＋ tsin α( t为参数，α＝6 ) 不经过 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Dx＝ 1－2t ，( t为参数 ) 与直线l2：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，则k3．若直线l1：y＝ 2＋kt y＝ 1－ 2s＝________.答案－ 1k剖析由－2· ( － 2) ＝－ 1，得k＝－ 1.5π4．设直线l过点A(2 ，－ 4) ，倾斜角为6，则直线 l 的参数方程为________．x＝ 2－3 t ，答案2( t为参数 )1y＝－ 4＋2t剖析∵α ＝5π，∴ cos α＝－3， sin α＝1，622 x＝ 2－3t ，∴ l 的参数方程为2( t为参数 ) ．1y＝－ 4＋2t5．素来线过点0(3,4) ，倾斜角α＝π，求此直线与直线 3＋2 ＝6 的交点M与0 之间P4x y P的距离．2x＝ 3＋2 t ，解设直线的参数方程为( t为参数 ) ，2y＝ 4＋t ，2将它代入已知直线3x＋2y－ 6＝0，22得 3 3＋2 t ＋ 2 4＋2 t ＝6，解得 t ＝－1125，∴| 0| ＝|t | ＝11 2.MP51．经过点M( x，y ) ，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋ tcos α，( t为参000y＝ y0＋ tsin α数 ) ．其中t表示直线l上以定点M为起点，随意一点M( x，y) 为终点的有向线段――→M0M 的数量，能够为正、为负，也能够为零．2．直线l：x＝ x0＋ tcos α，( t为参数 ) 与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参y＝ y0＋ tsin α数为 t，t .则| AB|＝ | t－t|.但 | MA| ＋ | MB| 与 | AB| 不完好相同，当t与 t异号时， | MA| 121200120＋| M0B| ＝ | AB| ＝ | t1－t2| ；当t1与t2同号时， | M0A| ＋ | M0B| ＝ | t1＋t2| ≠ | AB|.3．要注意差异直线参数方程可否为标准形式，若不是标准形式，则参数t 就不拥有相应的几何意义．一、选择题x＝ 1＋ 2t ，1．若直线的参数方程为( t为参数 ) ，则直线的斜率为 ()y＝ 2－3t23A. 3B．－232C. 2D．－3答案 B剖析x ＝ 1＋ 2t ， 3 7 3 直线的一般方程为 y ＝－ x ＋ ，因此直线的斜率为－ .y ＝ 2－ 3t222x ＝ 1＋ tcos α ， ( α 为参数， 0≤a <π ) 必过点 ()2．直线y ＝－ 2＋ tsin αA ．(1 ，－ 2)B ． ( －1,2)C ．( － 2,1)D ． (2 ，－ 1)答案Ax ＝ 1，剖析当 t ＝0 时，y ＝－ 2，因此直线必过点 (1 ，－ 2) ．3．已知直线 l 过点 A (2,1) ，且与向量 a ＝ ( －1,1) 平行，则点 P ( － 1，－ 2)到直线 l 的距离是 ( )A. 2B ．2 2C ．3 2D ． 2答案Cx ＝ 2－ t ， ( t 为参数 ) ．因为直线上的随意一点 M剖析 由已知得直线 l 的参数方程为y ＝ 1＋ t的坐标可表示为 (2 － t, 1＋ t ) ，因此 | PM |＝错误 ! ＝错误 ! ，当 t ＝ 0 时， | PM | 有最小值，最小值是 3 2，此时 | PM |为点 P 到直线 l 的距离．π4．直线 l 经过点 M 0(1,5) ，倾斜角为 3 ，且交直线 x － y － 2＝ 0 于点 M ，则 | MM 0| 等于 ()A. 3＋ 1B ． 6(3＋ 1)C ．6＋3D ． 6 3＋1答案B1x ＝ 1＋ 2t ，剖析由题意可得直线l的参数方程为( t 为参数 ) ，代入直线方程xy ＝ 5＋3t213 － y － 2＝ 0，得1＋2t－5＋ 2 t－ 2＝ 0，解得 t ＝－ 6(3＋ 1) ．依照 t的几何意义可知| MM |＝6(3＋1) ．5．若x ＝ x0－ 3λ ， x ＝ x0＋ tcos α ， y ＝ y0＋ 4λ( λ 为参数 ) 与( t 为参数 ) 表示同一条直线，y ＝ y0＋ tsin α则 λ 与 t 的关系是 ()A ．λ ＝ 5tB ． λ＝－ 5tC ．t ＝ 5λD ． t ＝－ 5λ答案 C剖析由 x －x 0，得－ 3λ ＝ t cos α ，由 y － y 0，得 4λ＝ t sin α，消去 α 的三角函数，得25λ 2＝ t 2，得 t ＝±5λ ，借助于直线的斜率，可除去t ＝－ 5λ ，因此 t ＝5λ .1x ＝ 1＋2t ，6．直线( t 为参数 ) 和圆2＋ y 2＝ 16 交于 ， B 两点，则的中3xAABy ＝－ 33＋ 2 t点坐标为 ()A ．(3 ，－ 3)B ． ( － 3，3)C ．( 3，－ 3)D ． (3 ，－ 3)答案Dt3t2剖析将 x ＝1＋ 2， y ＝－ 3 3＋ 2 t 代入圆方程，得1＋2 ＋ － 3 3＋2 －8t ＋ 12＝0，则 t ＝2， t＝ 6，∴ t12因此 AB 的中点 M 对应参数 t ＝ t1 ＋ t2＝ 4，2 1 3∴ x ＝ 1＋ × 4＝ 3， y ＝－ 3 3＋ × 4＝－ 3，22故中点 的坐标为 (3 ，－ 3) ．AB M二、填空题7．已知直线 lx ＝ 1＋3t ，( t 为参数 ) 与直线 l 2：2 x － 4 ＝5 订交于点 1：yy ＝ 2－4t则 | AB | ＝ ________.3t 2＝ 16，2B ，且点 A (1,2) ，答案52剖析x＝ 1＋ 3t ，代入 2－4 ＝5，得15，0 .又(1,2) ，因此 |5将x t＝，则B 2| ＝ .y＝ 2－ 4t y2A AB 2 2x＝ 2＋2 t ，2 且在点M下方的8．直线( t为参数 ) 上到点M(2 ，－ 3) 的距离为2y＝－ 3－t2点的坐标是 ________．答案(3 ，－ 4)x＝2－2t ，剖析直线参数方程的标准式为2( t为参数 ) ，2y＝－ 3＋2 t则 M对应的参数为 t ＝－2，∴错误 !∴点 M的坐标为(3，－4)．9．已知直线l的参数方程为x＝－ 1＋ t ，为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正( ty＝1＋ t半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为23π5πρ cos2θ＝ 4ρ>0，<θ <，则44直线 l 与曲线 C的交点的极坐标为________．答案(2 ，π)x＝－ 1＋ t ，剖析因为直线 l 的参数方程为y＝ 1＋t ，因此直线 l 的一般方程为y＝ x＋2.因为曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ 4 ρ >0，3π<θ <5π，44可得曲线 C的直角坐标方程为 x2－y2＝4( x<0)．联立错误 ! 解得交点坐标为 ( －2,0) ，因此交点的极坐标为(2 ，π ) ．10．在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x＝ t －3，( t为参数 ) ，以原点O y＝ t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 ρ2 －4ρ cos θ ＋ 3＝ 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 __________ ．答案522剖析易得直线 l 的一般方程为 x － y ＋ 3＝ 0，圆 C 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，即 ( x － 2) 2＋y 2＝1，因此圆心到直线的距离 ＝错误!＝错误!.dl 过点 A ( －2,3) ，倾斜角为135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点 A 距离为 32的点的坐标．解 直线 l 的参数方程为x ＝－ 2＋tcos135 °， ( t 为参数 ) ，y ＝ 3＋tsin135 °2x ＝－ 2－ 2 t ，( t 为参数 ) ．①即2y ＝ 3＋ 2 t设直线上与点 A 距离为 3 2的点为 B ，且点 B 对应的参数为 t ，则 | AB | ＝ | t | ＝3 2.因此 t ＝±3 2.把 t ＝±32代入①，合适 t ＝ 3 2时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为 ( －5， 6) ；当 t ＝－ 3 2时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为 (1,0) ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝ 1＋ 4cos y ＝ 2＋ 4sinθ ，θ( θ 为参数 ) ，π直线 l 经过定点 P (3,5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，求 | PA | ·|PB | 的值．解 (1) 曲线 C ： ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16，1x ＝ 3＋2t ，直线 l ：( t 为参数 ) ．3y ＝ 5＋ 2 t三、解答题11．已知直线(2)将直线 l 的参数方程代入圆C的方程，可得t 2＋(2＋3 3) t －3＝0，设 t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，因此 | PA|| PB| ＝ | t1|| t2| ＝ | t1t2| ＝ 3.13．在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径r ＝1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3(2)x＝－ 1＋2 t ，( t为参数 ) 与圆交于A，B两点，求弦AB的长．若直线1y＝2t(1) 由已知得圆心C333 3 2 3 2解23，2，半径为 1，圆的方程为x－2＋y－2＝ 1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.3(2) 由x＝－ 1＋2t ，( t为参数 ) ，得直线的直角坐标方程为x－3y＋1＝0，1y＝2t3333－＋ 1圆心到直线的距离221＝＝，d22因此|AB|2＋d2＝1，解得 | AB| ＝ 3. 2四、研究与拓展2x＝－ 4＋2 t ，14．设直线的参数方程为( t为参数 ) ，点P在直线上，且与点M0( －2y＝t24,0)2，若将该直线的参数方程改写成x＝－ 4＋ t ，的距离为( t为参数 ) ，则在这个y＝ t方程中点 P 对应的 t 值为________．答案±12x＝－ 4＋2 t ，剖析由 | PM| ＝ 2知，t＝± 2，将其代入得点 P的坐标为(－02y＝2t ，3,1)x＝－ 4＋ t ，得 t ＝1或 t ＝－1.或 ( － 5，－ 1) ，将点P的坐标代入y＝ t ，15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为4cos θ. 以极点为原点，极轴为x 轴正半ρ ＝θsin2轴成立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1， l 2均过点 F(1,0)，且 l 1⊥l 2，直线 l 1的倾斜角为α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l 1， l 2的参数方程；(2)设直线 l 1和 l 2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB，CD的中点分别为 M， N，求 | MN|的最小值．解 (1)：y 2＝4x，1：x＝ 1＋tcos α，t为参数)，(F l y＝ tsin αx＝ 1－tsinα ，( t为参数 ) ．l ：2y＝ tcos α(2) 将lx＝ 1＋ tcos α，1：代入 y2＝4x，y＝tsin α得 t 2sin2α －4t cosα －4＝0，①tA ＋ tB2cos αM2＝sin2 α.则 t ＝将l 2 ：x＝ 1－tsin α，y2＝4 ，代入x y＝ tcos α得 t 2cos2α＋4t sinα －4＝0，②则 t N＝tC ＋ tD＝－2sin α，2cos2α于是 || ＝ |FM|2 ＋|FN|2 ＝t2M＋ t2NMNcos2αsin2 α 2 242＝ 2sin4 α＋cos4 α≥|sinαcos α |＝|sin2α|≥ 4 2，因为α ∈ [0 ，π ) ，因此当且仅当α＝π时，等号成立．4且此时知足方程①②的鉴别式均大于零，故 | MN|的最小值为 4 2.。
人教A版选修4-4 第二讲 第三节 直线的参数方程教案设计
三、直线的参数方程一、重点难点点拨重点：直线的参数方程难点：应用直线的参数方程去处理解决问题二、知能目标解读1．掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义。
2．能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题（弦长问题、中点问题等）3．通过关于直线和圆锥曲线的综合练习，进一步从中体会到参数方程的方便之处和参数的作用，增强在处理这一类问题中的参数意识。
三、授课内容1．经过点),(000y x P ，倾斜角α的直线l 的参数方程为）t t y y t x x 为参数(sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα 2．直线的参数方程（标准形式）中，||t 表示参数t 对应的动点),(y x M 与直线上的定点),(000y x M 这间的距离，就是有向线段→M M 0相对于→e 的坐标。
①设直线上的任意两点21,P P 对应的参数分别为21,t t ，则||||2121t t P P -=（弦长公式） ②位于直线上的三点21,,P P P 把对应的参数分别为21,,t t t ，若P 是线段21P P 中点，则有221t t t +=，特别，当210,P P P 为的中点时，有021=+t t 3、典例：【例12】已知直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交于B A ,两点,求线段AB 的长和点)2,1(-M 到B A ,两点的距离之积【解析】因为直线l 过定点M ,且l 的倾斜角为43π,所以它的参数方程是)(43sin 243cos 1为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ππ 即 )(222221为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--= 代入2x y =,得0222=-+t t 得,2,22121-=⋅-=+t t t t由参数的几何意义,得2||||||,10||||2121=⋅=⋅=-=t t MB MA t t AB【例13】.2221x t t x y y =+⎧⎪-=⎨=⎪⎩直线为参数）被双曲线上截得的弦长为。
2019_2020学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成下列问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B【例1】 已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25t ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋15t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2＝－4.根据参数t ′的几何意义．|t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．[探究问题]1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？[提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合． 【例3】 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)， ∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(a、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义， 知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. [答案] B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22[解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. [解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。
高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）4-4(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。
高中数学人教A版选修4 4学案第2讲 3 直线的参数方程 Word版含解析
高中数学人教A版选修4 4学案第2讲 3 直线的参数方程 Word 版含解析----c2a2432e-6ebe-11ec-b546-7cb59b590d7d高中数学人教a版选修4-4学案第2讲-3直线的参数方程word版含解析三条直线的参数方程．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)．能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)[基础研究]经过点(，)，倾斜角为α在教科书中排列直线的参数方程，阅读教科书~，并完成以下问题(\\\\(＝＋α＝＋α))直线的参数方程为(为参数)，其中参数的几何意义是：是直线上任一点(，)到定点(，)的距离，即＝.曲线(\\\\(＝－＋＝－))(为参数)与坐标轴的交点是()[提问笔记]、、、()．(，－)、()【解析】当＝时，＝，而＝－，即＝，得与轴的交点为；当＝时，＝，而＝-+，即=，与轴的交点为【答案】预览后，请记录您的问题并与“朋友”讨论：疑问：解惑：疑问：解惑：问题：消除疑虑：[小组合作型]! 误差线参数方程（\\\（=+，=+）的简单应用已知直线的参数方程为(为参数)，则该直线被圆＋＝截得的弦长是多少？【思路探索】考虑到参数方程标准形式中参数的几何意义，首先要对原始参数进行积分方成转转动为做记号准形状式错误的然后将该公式代入圆的方程中，得到一元二次方程，弦长为平方程两根之差的绝对值．[自主解决方案]将参数方程（\\\\（=+，=+）（作为参数）转换为线性参数方程。
标准表格是错误!(′为参数)，代入循环方程+=，get′+）=，排序，have′+'-=由根与系数的关系，′＋′＝－，′′＝－.根据参数′-’的几何意义==故直线被圆截得的弦长为.在线性参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可以通过-。
该问题容易出错的部分是，将问题中给出的参数方程直接代入要求解的圆方程中，忽略参数的变化。
2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程导学案 新人教A版选修4-4
2019-2020学年高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程导学案 新人教A 版选修4-4知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数),我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段M M 0的数量M 0M.联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点,直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈(0,π)时,M 在M 0的上方时,t>0；M 在M 0的下方时,t<0；M 与M 0重合时,t=0. 当α=90°时,⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时,点M 在点M 0的右侧；当t=0时,点M 与点M 0重合；当t<0时,点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式：⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tan α=a b,此时参数t′才有如前所说的几何意义.同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221(t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=ty t x 2,1(t 为参数)表示同一条直线,但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义.对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数),其中b≥0,若a>0,则直线的倾斜角α为锐角；若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题 1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式,正确使用这些结论可以简化运算,使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢? 探究:根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x (t 为参数),直线l 上点A,B 对应的参数分别为t A 、t B ,则(1)A 、B 两点之间的距离为｜AB ｜=｜t a -t b ｜,特别地,A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A |、|t B |；(2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +,若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0,反之亦然； (3)若直线上的点C 所对应的参数为t C ,C 点分所成的比为λ,则t c =λλ++1BA t t .问题2 通过学习直线参数方程后我们了解到：直线参数方程的一般形式中的参数不具有几何意义,只有标准形式中的参数才具有一定的几何意义.那么直线的一般参数方程怎样才能转化为标准的参数方程呢?探究:给出直线的非标准式参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数),根据标准式的特点,参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值,根据三角函数的性质知,其平方和为1,所以可以化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯++=+⨯++=t b a b a b y y t b a b a a x x 2222022220,(t 为参数),再近一步令cos α=22ba a +,sin α=22ba b +,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值,并且把22b a +t 看成相应的参数t,即得标准式的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数).由转化的过程可以看出,在一般参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)中,22b a +t 具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以,有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用,求出相应的t,再乘以22b a +即可继续使用参数的几何意义.问题3 直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何中最常见的问题,对于普通方程,可以把它们的方程联立,根据方程组解的情况来判断交点情况.那么对于参数方程,又该如何判断它们的交点情况呢?探究:对于直线的普通方程可以把直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量后,根据方程解的情况来判断直线和圆锥曲线的交点情况,对于直线的参数方程可以把参数坐标的横坐标和纵坐标直接代入圆锥曲线方程,得到关于参数t 的方程,判断方程的解的情况即可得到直线与圆锥曲线的交点情况.另外,由于直线的参数方程尤其是标准式的参数方程,根据方程容易画出相应的直线.所以,也可以根据方程画出相应的图形,采用数形结合来判断交点情况.当然有些问题也可以把直线的参数方程转化为普通方程来解. 典题·热题例1写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6)的距离. 思路分析：要写出参数方程,首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,则sin α=552,cos α=55,根据后边要求的点M 恰好在直线上,为了后边的运算方便,选择M 作为直线上的定点.要求点M 到A 、B 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.解：根据直线的普通方程可知斜率是2,设直线的倾斜角为α,则tan α=2,sin α=552,cos α=55, 所以直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 553,5521(t 为参数).经验证易知点A(3,7)恰好在直线上,所以只需由1+552t=3得t=5,即点M 到点A 的距离是5.而点B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数t 的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为58)63()81(22=-+-.误区警示本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容,随便取一个定点；②把点B(8,6)当成直线上的点很容易由1+552t=8得t=257.例2设直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22,224(t 为参数),点P 在直线上,且与点M 0(-4,0)的距离为2,如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧=+-=t y t x ,4(t 为参数),则在这个方程中点P 对应的t 值为( )A.±1B.0C.±21 D.±23 思路解析：由|PM 0|=2,知PM 0=2或PM 0=2-,即t=2±代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为(-3,1)或(-5,-1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=-1.答案：A深化升华 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义,合理使用其几何意义,可以简化运算,使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.例3求经过点(1,1),倾斜角为135°的直线截椭圆42x +y 2=1所得的弦长.思路分析：首先可以根据条件写出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数),代入椭圆的方程可得4)1(2t -+(1+t)2=1.这是一个关于t 的二次方程,根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值.解：由条件可知直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数),代入椭圆方程可得22)221(4)221(t t ++-=1,即25t 2+23t+1=0.设方程的两实根分别为t 1、t 2,则由二次方程的根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,52,5262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|=526524)526(4)(221221=⨯--=-+t t t t . 误区警示 本题主要使用参数方程中两点的距离公式,易错的地方是:转化参数方程时,计算135°的正弦和余弦值时出错,再者就是距离公式不会灵活使用,而一味地要使用参数的几何意义.例4已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点.求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l 的方程. 思路分析：本题可以使用直线的参数方程来解,也可以使用参数方程来解,但是使用普通方程解,运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角,写出直线的参数方程来解,就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算. 解：设直线的倾斜角为α,则它的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 3t y t x (t 为参数),由A 、B 是坐标轴上的点知y A =0,x B =0,∴0=2+tsin α,即|PA|=|t|=αsin 2,0=3+tcos α, 即|PB|=|t|=αcos 3-.故|PA|·|PB|=αsin 2(αcos 3-)=α2sin 12-. ∵90°<α<180°,∴当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.∴直线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,223(t 为参数),化为普通方程即x+y-5=0. 拓展延伸 直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式,而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.例5已知点M(2,3)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线的弦AB 所在的直线l 的方程. 思路分析：本题仍然可以根据直线过点M(2,3)设出直线的参数方程,假设弦的两个端点对应的参数分别为t a ,t b ,则由M 为弦的中点可知t A +t B =0.把直线的参数方程代入双曲线方程可得关于t 的二次方程,根据根与系数的关系建立方程即可. 解：根据条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得(2+tcos α)2-2)sin 3(2αt +=1.整理可得(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α-6sin α)t-3=0.设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t a ,t b ,因为M(2,3)为弦AB 中点,所以t A +t B =0, 由二次方程根与系数的关系可得αααα22sin cos 2sin 6cos 8--=0,即得8cos α-6sin α=0.易得tan α=34,即直线的斜率为34,可得参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 543,532(t 为参数).则直线的普通方程为y-3=34(x-2),即4x-3y+1=0. 深化升华 本节内容是直线的参数方程,要认真理解参数方程中参数的几何意义,只有这样才能切实感受到它带给我们的方便,还要注意掌握一些重要的性质.直线和圆锥曲线的关系是解析几何研究的主要内容,在解决有关问题时正确地使用参数方程,可以简化运算过程,使过程更加简单清晰.例6已知直线l 1:x-ky+k=0,l 2:kx-y-1=0,其中k 为参数,求l 1,l 2交点的轨迹方程. 思路分析：本题为求直线的交点轨迹方程问题,由直线方程的形式,既可以考虑参数方程来求解,又可以化为普通方程来求解,但在化为普通方程时需注意其等价性. 解法一：求出两直线的交点坐标,即解方程组⎩⎨⎧=--=+-.01,0y kx k ky x .当k 2≠1时,得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=11,12222k k y k k x （k 为参数）. 这就是所求轨迹的参数方程,但如果要求轨迹的普通方程,需消去参数k.解法二：由kx-y-1=0,当x≠0时,可得k=x y 1+,代入方程x-ky+k=0,得x-xy x y y 12+++=0,去分母,化简得x 2-y 2+1=0(x≠0).当x=0时,存在k=0,使得y=-1.所以所求轨迹的普通方程为x 2-y 2+1=0(y≠1).方法归纳 (1)解法二中,方程两边同除以x,会丢x=0的解；方程两边同乘以x,会增x=0的根,所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.(2)两种方法得到轨迹的不同形式的方程,只要把参数方程中的参数消去,便可得到同样的普通方程.。
高中数学 第二讲参数方程全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1(21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
数学人教A版选修4-4学案：课堂探究 第二讲三 直线的参
课堂探究探究一 求经过点P (x 0，y 0)，倾斜角是α的直,,线的参数方程 由直线上一定点和直线的倾斜角，可直接写出直线的参数方程． 【例题1】已知直线l 过点P (3,4)，且它的倾斜角θ＝120°. (1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点坐标．思路分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ＝120°，得该直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可求得交点．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)．(2)把⎩⎨⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，解得t ＝0.把t ＝0代入⎩⎨⎧x ＝3－12t ，y ＝4＋32t ，得两条直线的交点坐标为(3,4)．探究二 直线参数方程的应用在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．直线的参数方程和普通方程可以进行互化．特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程形式．【例题2】已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，求该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？思路分析：本题考虑使用参数方程标准形式中参数t 的几何意义来做，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎨⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t ′的一元二次方程，弦长即为方程的两根之差的绝对值．解：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，并代入圆的方程，得⎝⎛⎭⎫1＋25 t ′2＋⎝⎛⎭⎫2＋15 t ′2＝9， 整理，得5t ′2＋8t ′－45＝0. 设方程的两根分别为t 1′，t 2′，则有 t 1′＋t 2′＝－85，t 1′t 2′＝－4. 所以|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′ ＝645＋16＝1255. 探究三 易错辨析易错点：错用参数的几何意义【例题3】已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2－t 2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t 2－6t ＋2＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝6，t 1·t 2＝2，由于|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，从而|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|＝2，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝62－4×2＝27.错因分析：直线l 的方程中，参数t 的意义与直线参数方程的标准形式中参数t 的意义是不同的，后者是点M 与直线l 上的一点形成的有向线段MP 的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义．正解：l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝⎛⎭⎫t 2，y ＝－1＋22⎝⎛⎭⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎨⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ＞0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t1′＋t2′＝32，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，所以|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝(t1′＋t2′)2－4t1′t2′ ＝14.。
高中数学 2.2.3直线的参数方程学案 新人教A版选修4-4 学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.3直线的参数方程学案 新人教A 版选修4-4【学习目标】1、掌握直线的参数方程及参数方程的几何意义。
2、能用直线的参数方程解决简单问题。
【重点难点】 直线的参数方程几何意义的应用。
【学习过程】 一、问题情景导入我们知道，经过点00,0()M x y ，倾斜角为α（α≠2π）的直线l 的普通方程是00tan ()y y x x α-=- 怎样建立l 的参数方程呢？二、自学探究：（阅读课本第35-36页，完成下面知识点的梳理）1、在直线l 上任取一点M （x,y ）,则0M M =（ ） 设e 是直线l 的单位向量，则e =（ ），（α∈[)0,π） 因为0M M ∥e ，所以存在实数t ∈R ，使0M M =t e 于是x=＿＿＿＿,y=＿＿＿＿因此，经过点00,0()M x y ，，倾斜角为α的直线l 的参数方程为x y =⎧⎨=⎩ （t 为参数） 2、因为e =（cos ,sin αα），所以e =1.由0M M =t e ，得到0M M t =。
因此，直线上动点M 到0M 的距离等于＿＿，若t ＿＿时，则0M M 的方向向＿＿，若t ＿＿时，则0M M 的方向向＿＿，若t ＿＿时，则0M M 的方向向＿＿三、例题演练：例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。
例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
例3、直线1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩ （α为参数，0≤α＜π)必过点 （ ）A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(2,-1)变式：直线l 的参数方程1sin 252cos 25x t y t ︒︒⎧=-⎨=+⎩ （t 为参数），那么直线l 的倾斜角是（ ） A.65︒B.25︒C. 155︒D.115︒例4、经过点P （-1,2），倾斜角为4π的直线l 与圆229x y +=相交于A,B 两点，求PA PB +和PA PB •的值。
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三 直线的参数方程互动课堂重难突破本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t 的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题 一、直线参数方程的意义相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养 二、直线参数方程的形式对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程.例如，对于直线普通方程y =2x +1，如果令x =t 即可得到参数方程⎩⎨⎧+==12,t y t x (t 为参数)；如果令x =2t则得到参数方程⎩⎨⎧+==14,2t y t x (t 为参数).这样随便给出的参数方程中的参数t 不具有一定的几何意义,但是在实际应用中也能简化某些运算.而过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=at y y a t x x sin ,cos 00(t 为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段−−→−MM 0的数量且cos 2α+sin 2α=1是标准参数方程的基本特征三、直线参数方程中参数的几何意义1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量,也就是(1)直线l 上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值,即|M 0M |=|t(2)若t >0,则M 0M 的方向向上;若t <0,则M 0M 的方向向下;若t =0,则点M 与点M 0重合. 2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角.根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x =2+t y =-4+t sin20°(t 为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线x =t y =-t cos20°(t 为参数)的倾斜角,有两种方法第一种方法:化为普通方程，求倾斜角. 把参数方程改写成⎩⎨⎧︒=︒=-,20cos 20sin 3t y t x －，消去t ，有y =-(x -3)co t20°， 即y =(x -3)ta n110°，所以直线的倾斜角为第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程⎩⎨⎧︒-=︒-+=110sin )(,110cos )(3t y t x令-t =t ＇，则⎩⎨⎧︒'=︒'+=,110sin ,110cos 3t y t x所以直线的倾斜角为110°.3.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法.给出直线的非标准式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)，根据标准式的特点，参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质,知其平方和为1，所以可以化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯++=+⨯++=tb ababy y b ab aa x x 222222220,2 (t为参数)，再近一步令2222sin ,cos bab a b aa a +=+=,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值，并且把t b a 22+看成相应的参数t ＇,即得标准式的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧'+='+=at y y a t x x sin ,cos 00(t ＇为参数由转化的过程可以看出，在一般参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)中,t b a22+具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用，求出相应的t ，再乘以22b a +即可继续使用参数的几何意义四、根据直线的参数方程,判断直线间的平行和垂直等问题对于斜率存在的直线方程，主要从斜率的关系进行考虑，根据斜率进行判断.而直线的参数方程可以和普通方程之间进行互化，所以对于直线的参数方程也可以找到直线平行和垂直的关系.下面分别对直线参数方程的一般形式和标准形式进行说明首先给出直线l 1的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tb y y t a x x 1111, (t 为参数)和直线l 2的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tb y y t a x x 2222,(t 为参数).先考虑直线斜率都存在(b 1和b 2都不为0)的情况:直线l 1和l 2的斜率分别为11b a 和22b a .如果斜率相等即11b a ＝22b a ⇒a 1b 2-a 2b 1=0且两条直线不重合时，直线l 1和l 2平行.如果斜率都不存在即b 1=b 2=0时，如果两条直线不重合，则一定有直线l 1和l 2平行，代入上式仍然成立.所以可得一般性结论:如果不重合的两条直线l 1和l 2平行，那么a 1b 2-a 2b 1=0，反之也成立,即不重合的直线l 1∥l 2⇔a 1b 2-a 2b 1=0.由两条直线垂直的条件知斜率存在的直线斜率乘积应为-1，即2211b a b a ⨯=-1⇒a 1a 2+b 1b 2=0.并且易证，对于斜率不存在的情况上式也正确.所以若直线l 1和l 2垂直，则a 1a 2+b 1b 2=0，反之也成立,即l 1⊥l 2⇔a 1a 2+b 1b 2=0. 对于标准方程，由于容易看出直线的倾斜角，所以可以直接根据倾斜角来判断直线的平行和垂直五、根据标准参数t 的几何意义解题时,有如下常用结论 1.直线与圆锥曲线相交,交点分别对应t 1、t 2,则弦长l =|t 1-t 2|. 2.弦的中点M 对应的参数t m =.221t t +3.若直线的定点P 0(x 0,y 0)恰是弦的中点,则t 1+t 2=0,反之亦然.活学巧用【例1】写出直线2x -y +1=0的参数方程，并求直线上的点M (1，3)到点A (3，7)、B (8，6)的距离解析:要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α，则ta n α=2，则sin α=552，cos α=55，根据后边要求的点M 恰好在直线上，为了后边的运算方便,选择M 作为直线上的定点.要求点M 到A 、B 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以解:根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α， 则ta n α=2，sin α=552，cos α=55，所以直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 553,5521(t 为参数经验证易知点A (3，7)恰好在直线上，所以有1+552t =3,即t =5，即点M 到点A的距离是而点B (8，6)不在直线上，所以不能使用参数t 的几何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为.58)63()81(22=-+-点评:本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容，随便取一个定点；②把点B(8，6)当成直线上的点很容易由1+552t =8,得t =557.【例2】设直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22,224(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(-4，0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧=+-=t y t x ,4(t 为参数)，则在这个方程中点P对应的t 值为(A.±1B.0C.±21D.±23解析:由|PM 0|=2，知PM 0=2或PM 0=-2，即t =±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(-3，1)或(-5，-1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t =1或t =-1. 答案:A点评:直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，合理使用其几何意义，可以简化运算，使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.【例3】求直线l 1:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1343,1364(t 为参数)与直线l 2:x +y -2=0的交点到定点(4,3)的距离解:∵l 1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l 1的参数方程改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+=∙'+='+=∙'+=t t t y t t t x 132321323,133421334 (t ＇为参数把l 1的参数方程的标准形式代入x +y -2=0中得4+133t ＇+3+132t ＇-解得t ＇=-13, ∴|t ＇|=13.由|t ＇|的几何意义为交点到点(4,3)的距离∴所求的距离为|t ＇|=13.【例4】求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆42x+y 2=1所得的弦长解析:首先可以根据条件写出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆的方程可得一个关于t 的二次方程，根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值解:由条件可知直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆方程可得1)221(4)221(22=++-t t ，即5t 2+62t设方程的两实根分别为t 1、t2则由二次方程的根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,52,5262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是|t 1-t 2|=.524524)526(4)(221221=⨯--=-+t t t t点评:本题主要使用参数方程中两点的距离公式，易错的地方是:转化参数方程时，计算135°的正弦和余弦值时出错，再者就是距离公式不会灵活使用，而一味地要使用参数的几何意义. 【例5】 已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程解析:本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算 解:设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎨⎧+==at y a t x sin 2,cos 3＋(t 为参数)，由A 、B 是坐标轴上的点知y A =0，x B =0， ∴0=2+t sin α，即|PA |=|t |=asin 2;0=3+t cos α，即|PB |=|t |=-.cos 3a故|PA |·|PB |=.2sin 12)cos 3(sin 2aaa-=-∵90°<α<180°，∴当2α=270°,即α=135°时，|PA |·|PB |有最小值.∴直线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,223(t 为参数)，化为普通方程即x +y -点评:直线的参数方程和普通方程可以进行互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程. 【例6】设直线l 过点P (-3,3),且倾斜角为65π(1)写出直线l 的参数方程(2)设此直线与曲线C :⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 2y x (θ为参数)交于A 、B 两点,求|PA |·|PB(3)设A 、B 中点为M ,求|PM |.解:(1)直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=--=+-=.2136π5sin 3,2336π5cos3t t y t t x(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去,得4x 2+y 2-16=0.把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中,得4(-3-23 t )2+(3+21t )2-16=0,即13t 2+4(3+123)t由t 的几何意义,知|P A|·|P B|=|t 1·t2∴|P A|·|P B|=|t 1·t 2|=.13116(3)由t 的几何意义知中点M 的参数为,221t t +∴|PM |=21|t 1+t 2|=.13)3123(2+。